Post on 17-Sep-2018
Chuyên Đề Số Phức
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
Phương pháp
Cho hai số phức ta cần nhớ các định nghĩa và phép tính cơ bản sau:
Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau.
Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với , thì
Nếu thì
Nếu thì
Nếu thì
Nếu thì I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Cho số phức: . Tính các số phức sau: Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
a) b)
c) ; d) Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) ; b) ; c)
d) ; e)
Ví dụ 4. Viết các số phức sau đây dưới dạng
a)
b) c)
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2
www.thuvienhoclieu.com
z a bi, z' a' b'i, a,b,a',b'
2 2 2 2 2
a a'z z' .b b'
z z' a a' b b' i; z z' a a' b b' i.z.z' a bi a' b'i aa' bb' ab' a'b i.
a' b'i a bi aa' bb' ab' a'b iz' z'.z .z z a b a b
ni n
n 4k k kn 4k 4i i i 1
n 4k 1 k n 4ki i i 1.i i
n 4k 2 k n 4k 2i i i 1. 1 1
n 4k 3 k n 4k 3i i i 1. i i
3 1z i2 2 2 3 2z; z ; (z) ;1 z z .
z 9 5i 1 2i ; z 4 3i 4 5i ;
3z 2 i
2iz .
i 1
1A1 i 4 3i
5 6iB4 3i
1C1 3i2 2
3 2iDi
20261 7i4 3i
a bi, a,b R :
3 3z 2 i 1 2i 3 i 2 i ;
1 i 3 i 1 2iz ;1 i 2 i 1 i
22 i 1 iz ;
2 1 i 3 1 i
Chuyên Đề Số Phức
d) ; e) Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau:
Ví dụ 6. Cho . Tìm các số để a) là số thực b) là số ảo.Ví dụ 7. Tìm để:
a) Số phức là số thuần ảo.
b) Số phức là số thực.Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho , với từng trường hợp
c)
d)
Ví dụ 9. Chứng minh rằng :
Ví dụ 10. a) Tính mô-đun của số phức z biết .
b) Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun của số phức .
Ví dụ 11. Xét số phức: . Tìm m để
Ví dụ 12. Tính
Ví dụ 13. Số phức thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức: .
Ví dụ 14. Cho số phức , với số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất,
lớn nhất của .Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i. B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3
5
32 i
z1 2i
6
51 i
z .2 2i
21 i 5a)z 3 4i; b) z 3 2i; c)z ; d)z 3 i 2 .3 2i
z 2a 1 3b 5 i, a,b a,bz z
m R
2z 1 1 mi 1 mi
m 1 2 m 1 iz
1 miz z'
a)z 3x 9 3i, z' 12 5y 7 i;b)z 2x 3 3y 1 i, z' 2y 1 3x 7 i.
2 32(x 2y i) 3 i y x 1 1 i 26 14i.
962 2 2
4
3 ix y 2i 3i 1 y 2x 320 896i
1 i
100 98 963 1 i 4i 1 i 4 1 i .
3z 3i 2 i 2i
z
31 3i
z1 i z iz
i mz1 m m 2i
1z.z2
2 3 2012S 1 i i i ... i .
z x 2yi x,y z 1
P x y
z cos2 sin cos i
z
z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2.
Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức và . Tính môđun
của số phức
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức Tìm số phức
A. B. C. D. Ví dụ 17. (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tìm số phức liên hợp của số phức
A. B. C. D.
Ví dụ 18: (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tính môđun của số phức thoả mãn
A. B. C. D. Ví dụ 19: ( Đề Thử nghiệm lần 1-Bộ Giáo dục). Xét số phức thoả mãn
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B. C. D. II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho Tính:
1.1. Tính A. B. C. D.
1.2. Tính A. B. C. D.
1.3. Tính A. B. C. D.
Câu 2. Tính lũy thừa bằng
A. B. C. D.
Câu 3. Tính lũy thừa bằngA. B. C. D.
Câu 4. Tính lũy thừa bằngA. B. C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4
www.thuvienhoclieu.com
1 1z i 2 2 3z i
1 2.z z
1 2 13z z 1 2 5z z 1 2 1z z 1 2 5z z
2 5 .z i w iz z
7 3 .w i 3 3 .w i 3 7 .w i 7 7w i
(3 1)z i i
3z i 3z i 3z i 3z i
zz(2 i) 13i 1
34.z 34z 5 34
3z
343
z
z10(1 2i) z 2 i.z
3 z 22 2z
12
z 1 32 2 z
1 2 3z 1 3i,z 2 i,z 3 4i.
1 2 3z 2z z
1 4i 2 4i. 2 5i 4 6i
1 2 2 3z z z z
1 4i 2 3i. 2 5i. 1 6i
21 2 3 2 3z z z z z
11 45i 20 33i. 20 35i 11 61i
20061 i
10032 i 10032 i 20062 i 20062 i
32 3i
46 9i 4 9i 4 19i 6 12i
54 5i 4 3i
32i 9i 19i 12i
Chuyên Đề Số Phức
Câu 5. Tính lũy thừa bằng
A. B. C. D.
Câu 6. Tính lũy thừa bằngA. B. C. D.
Câu 7. Viết các số phức dưới dạng ,
A. B. C. D.
Câu 8. Viết các số phức dưới dạng ,
A. B. C. D.
Câu 9. Tính A. B. C. D.
Câu 10. Tính A. B. C. D.
Câu 11. Tính
Câu 12. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. B. C. D.
Câu 13. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. B. C. D.
Câu 14. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. B. C. D.
Câu 15. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. B. C.
D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 5
22 i 3
4 2 3i 1 2 6i 3 3i 6 3i
31 3i2 2
6 4 4 1
1 i 2 2 iz5 i 3 3 i 5
a bi a,b
6 i 34 4
2 i 54 4
3 i 53 3
2 3 2i 7
3 3
10
117 8i
z8 7i
a bi a,b
4 7i133 133
8 7i
113 113
4 7i23 23
4 5i
123 123
77
1 1A i2i i
i i i 1
33101 i 1B 1 i 2 3i 2 3i ;
1 i i
13 3i 33 31i 13 32i 3 32i
2 3 20C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i
2x 1 1 2y i 2 x 3y 2 i
1 3x ,y3 5
1 1x ,y5 5
1 1x ,y3 5
1 3x ,y3 5
4x 3 3y 2 i y 1 x 3 i
5 2x ,y11 11
5 2x ,y11 11
5 2x ,y11 11
5 2x ,y11 11
3x 3 5i y 1– 2i 7 32i
x 6;y 1 x 6;y 1 x 6;y 1 x 6;y 1
y 1x 11 i 1 i
x 1;y 1 x 1;y 1 338 61x ;y49 49
x 1;y 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. B.
C. D.
Câu 17. Các cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. B.
C. D.
Câu 18. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để là số thực
A. B. C. D.
Câu 19. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để là số ảo
A. B. C. D.
Câu 20. Tìm số thực m để bình phương của số phức là số thực.A. B. C. D.
Câu 21. Cho số phức . Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
Câu 22. Cho Hãy viết dưới dạng đại số của . A. B. C. D.
Câu 23. Tính tổng A. B. C. D.
Câu 24. Cho hai số phức liên hiệp thỏa mãn và Tính
A. B. C. D.
Câu 25. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn: A. B. C. D. Câu 26. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn
Tìm n.A. B. C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 6
www.thuvienhoclieu.com
y1 2 3ix i 3 3i
x,y 0;12 ; 1;15 x,y 0;2 ; 1;5
x,y 10;2 ; 10;5 x,y 1;2 ; 1;15
x i 1 yi 3 2i x 1 4i
x,y 1;1 ; 1;2 5x,y 1; 2 ; ;42
1x,y ;2 ; 1; 32
1 3x,y 1; ; 2;
2 2
2x iy
x 1y 1
x 1y 1
x 0y 0
x 2y 1
2x iy
x 03x y 2 2
x 03x y
x 0x 3y 2 2
x 0x 3y
m 3iz1 i
m 2 m 3 m 4 m 5
z 3 2i w iz z
z 2 3i, x,y .
3 2z zw z zz 1
z 6 z 6 z 6 i z 6 i
2 3 2012S i 2i 3i ... 2012.i .1006 1006i 1006 1006i 1006 1006i 1006 1006i
,
2 R
2 3. .
3 3 2 5
3c a bi 107i.
400 312 198 123
z 4i.
z nn 14 n 149 697 789
Chuyên Đề Số Phức
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn .Tìm mô đun của số phức
A. B. C. D.
Câu 28. Tìm số thực m biết: và ( trong đó i là đơn vị ảo)
A. B. C. D.
Câu 29. Tìm phần thực của số phức: thỏa mãn phương trình:
.A. B. C. D.
Câu 30. Cho số phức . Tìm m, biết số phức có môđun bằng 9.
A. B. C. D.
Câu 31. Cho số phức . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho
tồn tại m để
A. B. C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 7
1 3iz
1 i z iz
2 3 5 7
i mz1 m m 2i
2 mzz2
m 1m 1
m 0m 1
m 0m 1
m 2m 1
nz 1 i ,n
4 4log n 3 log n 9 3
6 8 8 9
m 3iz m1 i 2w z
m 1m 1
m 3m 1
m 3m 1
m 3m 3
i mz ,m
1 m m 2i
z 1 k
5 1k2
5 2k2
5 1k2
5 2k2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC
Phương pháp
Trong mặt phẳng phức, số phức được biểu diễn bằng :
Điểm kí hiệu
Vectơ
Vectơ Biểu diễn hình học của
và đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
và đối xứng với nhau qua trục Ox.
Biểu diễn hình học của
Gọi M, lần lượt biểu diễn số phức biểu biểu diễn số phức z’. Ta có:
và biểu diễn số phức ;
và biểu diễn số phức ;
biểu diễn số phức kz. Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì :
I. CÁC VÍ DỤ MẪUVí dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số phức a,b,c. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G. Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.
b) Nếu thêm giả thiết chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức
a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :
z, và Chứng minh rằng:
a) tam giác OMA vuông tại M;
b) tam giác MAB là tam giác vuông;
c) tứ giác OMAB là hình chữ nhật.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 8
www.thuvienhoclieu.com
z x yi, (x,y )
M x;y , M z
OM x;y
u (x;y)
z, z, z
M z M z
M z M(z)
' 'z z ,z z ,kz k
u z; 'M ,v
OM OM'
u v z z’
OM OM' M'M
u v z z’ kOM, ku
OM z ;AB b a .
a b c ,
a b c 0.
a 2 2i,b 1 i,c 5 mi m R .
3 i 3 z3
i z.3
z C,
z C,
z C,
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 4. Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức
a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng;
b) Xét hàm số Đặt Tính a’, b’,c’c) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức a’, b’, c’. Định k để A’, B’,
C’ là ba điểm thẳng hàng;
d) Nếu lần lượt biểu diễn các số phức z, z’. Chứng minh rằng là số ảo.Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vuông tại A’.
Ví dụ 5. Cho số phức
a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai
b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất.Ví dụ 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.Ví dụ 7. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức và B’ biểu diễn số phức Chứng minh rằng: Tam giác và tam giác đồng dạng.Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số:
a) Tìm các số theo thứ tự biểu diễn các vectơ
b) Tính và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn biểu diễn số phức nào? II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và . Lúc đó, tam giác OAB là tam giác gì A. Tam giác cân B. Tam giác đềuC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân
Câu 2. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức và
( trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng). Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
A. B.
C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 9
a 1 i, b i, c 1 ki, k .
2w f z z . a' f a ,b' f b ,c' f c .
u,v
zu vz'
z m m 3 i,m
y x
2yx
4i 2 6i; 1 i 1 2i ;
i 1 3 i
z' 0zz'. OAB OA'B'
1 i, 1 i, 2i, 2 2i.
1 2 3 4z ,z ,z ,z AC,AD,BC,BD.
31
2 4
zz ,z z
1 iz ' z2
1 2 3z ,z ,z
' ' '1 2 3z ,z ,z
' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z ' ' '
1 2 3 1 2 3z z z z z z
' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z 2 2 2 2 '2 '2
1 2 3 1 2 3z z z z' z z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 3. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
. Chọn khẳng định đúngA. ABCD là hình bình hành B. C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn
Câu 4. Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức và Câu 4.1. Xác định sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giácA. B. C. D. Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?A. Tam giác cân B. Tam giác đềuC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật
A. B. C. D. Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu
diễn số phức Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
A. B.
C. D. Câu 6. Xét ba điểm A, B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân
biệt thỏa mãn . Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
A. B.
C. D.
Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức khác 0 thỏa mãn
đẳng thức . Tam giác OMN là tam giác gì?A. Tam giác cân B. Tam giác đềuC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân
Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức và Tìm x sao choCâu 8.1. Tam giác ABC vuông tại BA. B. C. D. Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại CA. B. C. D.
Câu 9. Cho là biểu diễn của hai số phức và . Gọi là biểu diễn của số
phức . Hãy phân tích qua
A. B. C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10
www.thuvienhoclieu.com
4 3 3 i; 2 3 3 i; 1 3i; 3 i
AD 2CB
a 1,b 1 i 2c b .
1 1 1 0
2d 1 i. 2d 1 i. 2d 1 i. 2d 1 i.
1 2 2z ,z ,z .
1 2 2z z z . 1 2 2z z z
1 2 21 z z z3
1 2 21 z z z3
1 2 2z ,z ,z 1 2 3z z z
1 2 3z z z 0.
1 2 3z z z 1 2 3z z z 0
1 2 2 3 3 1z z z z z z 0 2 2 21 2 3z z z
1 2z , z
2 21 2 1 2z z z z
2a 1 i,b a c x i, x .
x 1 x 2 x 3 x 5
x 7 x 2 x 3 x 5 u,v 1 3i 3 2i
x
6 4ix
u,v
24 14x u v11 11
24 14x u v
11 11
24 14x u v11 11
24 14x u v
11 11
Chuyên Đề Số Phức
Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức
lập thành Câu 10.1.Tam giác vuông tại AA. Quỷ tích của z là đường thẳng
B. Quỷ tích của z là đường tròn
C. Quỷ tích của z là đường elip D. Quỷ tích của z là Parabol Câu 10.2.Tam giác vuông tại BA. Quỷ tích của z là đường thẳng
B. Quỷ tích của z là đường thẳng
C. Quỷ tích của z là đường thẳng trừ gốc tọa độ
D. Quỷ tích của z là đường thẳng trừ gốc tọa độCâu 10.3 Tam giác vuông tại CA. Quỷ tích của z là đường thẳng
B. Quỷ tích của z là đường thẳng
C. Quỷ tích của z là đường tròn
D. Quỷ tích của z là hai đường thẳng Câu 11. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức
thỏa mãn Hỏi điểm biểu diễn của là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?A. Điểm P. B. Điểm Q.C. Điểm M. D. Điểm N.
Câu 12. (Đề thử nghiệm lần 1 của bộ). Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i.C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i.
x
y
-4
3O
M
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11
2 3z,z ,z
x 1. 2 2x y 1
22 yx 1.1 2
21y x
2
x 0.
y 0
x 0,
y 0,
x 2
y 1
221 1x y
2 4
y 0, x 0
z(1 ) 3 .i z i z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp
Giả sử các điểm lần lượt biểu diễn các số phức
o thuộc đường trung trực của đoạn AB.
o
thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và
Đặt và
Hệ thức tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa o Nếu biết một hệ thức giữa x,y, ta tìm được một hệ thức giữa u,v và suy ra
được tập hợp các điểm M’.o Nếu biết một hệ thức giữa u,v ta tìm được một hệ thức giữa x,y và suy ra
được tập hợp các điểm M.I. CÁC VÍ DỤ MẪUVí dụ 1. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường thẳng }
a) b) c) với Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường tròn }
a) ; b)
c) ; d) . Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}:
Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo thực}
a) là số ảo; b) là số thực.
Ví dụ 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức , với
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn .Tìm tập hợp biểu diễn số phức .Ví dụ 7. Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn: . {Hình vành khăn}Ví dụ 8. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
kiện
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 12
www.thuvienhoclieu.com
M, A ,B z, a, b.
z a z b MA MB M
z a z b k, k R,k 0,k a b MA MB k
M
w f z .
z x iy w u iv x,y,u,v R .
w f z x,y,u,v
z i z i ; z 1 3i 1;z 1 i
0 0z z z z 1 0 0z 1 i.
z 3 4i 2 z i 1 i z
2 3z 2iz 2i z 0 2iz 1 5
z 1 z 1 4.
2z 1z 1
z 1 , z 2iz 2i
'z 2z 3 i 23z i z.z 9
z 1 2
w 2z i
1 z i 2
2z i z z 2i
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn Ví dụ 10 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) là số thực dương với ; b)
c) ; d)
Ví dụ 11. Gọi và là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức z và z’
Đặt và
a) Tính theo và tính x,y theo .
b) Cho M di động trên đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính Tìm tập hợp các điểm M’.
c) Cho M di động trên đường thẳng , tìm tập hợp các điểm M’.
Ví dụ 12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANCâu 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều là
A. Đường thẳng B. Đường thẳng
A. Đường thẳng D. Đường thẳng Câu 2. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Đường thẳng B. Đường thẳng
A. Đường thẳng D. Đường thẳng Câu 3. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện làA. Đường thẳng B. Đường trònA. Đường elip D. Đường ParabolCâu 4. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Hai đuờng thẳng , B. Hai đuờng thẳng ,
A. Hai đuờng thẳng , D. Hai đuờng thẳng ,
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 13
z 3z 2 i 3 z
z iz i z i
22z z
2z 2z 5 13
z 2 2log 1.
4 z 2 1
M M' 1, z 0 .z
z x iy z' x' iy', x,y,x',y' R
x’,y’ x,y x’,y’
R 2.
d :y x 1
z x yi
2y x 1
a) ; b)1 z 2.y 2x
2 z i z
4x 2y 3 0 4x 2y 3 0
x 2y 3 0 x 9y 3 0
z 2i z 1 i
x y 3 0 x 2y 3 0
x 2y 3 0 x y 1 0
5 1 i z 3 2i 1 7i z i
z z 3 4
1x2
7x2
1x2
7x2
1x2
7x2
1x2
7x2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 5. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Hai đuờng thẳng B. Hai đuờng thẳng
A. Hai đuờng thẳng D. Hai đuờng thẳng Câu 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Hai đuờng thẳng , . B. Hai đuờng thẳng , .C. Hai đuờng thẳng , . D. Hai đuờng thẳng , .Câu 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Đuờng thẳng B. Đường tròn
C. Đường thẳng D. Đường tròn tâm và bán kính
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Đuờng tròn B. Đường tròn
C. Đường tròn D. Đường tròn tâm và bán kính
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Đuờng tròn B. Đường tròn
C. Đường tròn D. Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Đuờng tròn B. Đường tròn
C. Đường tròn D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 14
www.thuvienhoclieu.com
z z 1 i 2
1 3 1 3y ;y2 2
1 3 1 3y ;y
2 2
1 5 1 3y ;y2 2
1 5 1 3y ;y
2 2
2z 1 z z 2
x 0 y 0 x 0 y 2
x 0 x 2 x 2 y 2
z 1 i 2
x y 2 0 2 2x 1 y 1 4
x y 2 0 I 1; 1
R 2.
z 3z 1
2 2 18 9x y y 08 8
2 2 18 9x y y 08 8
2 2 18 9x y y 08 8
9I 0;8
1R .8
z 3 2i 2z 1 2i
2 2 2 4 8x y x y 03 3 3
2 2 2 4 8x y x y 03 3 3
2 2 2 4 8x y x y 03 3 3
2 2 2 4 8x y x y 03 3 3
z i 1 i z
22x y 1 2 22x y 1 2
2 2x 1 y 1 2 2 2x 1 y 1 2
Chuyên Đề Số Phức
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện là
A. Đuờng elip B. Đuờng elip
C. Đuờng elip D. Đuờng elip Câu 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện làA. Đuờng tròn B. Đuờng elipC. Đuờng parabol D. Đuờng thẳngCâu 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện làA. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tungB. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tungC. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoànhD. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoànhCâu 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện là
A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm , bán kính 2
B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại và các bán kính lớn và nhỏ
lần lượt là
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm , bán kính 1
D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại và các bán kính lớn và nhỏ
lần lượt là Câu 13. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho
là số thực. A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độB. Tập hợp điểm là trục hoành
C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm
D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi
Câu 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho là một số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm bán kính
B. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 15
z 4i z 4i 10
22 yx 19 16
22 yx 1
16 9
22 yx 14 3
22 yx 1
9 4
z 2 z 2 5
2 z z 2
1 z 1 i 2
I 1; 1
A 1;12;1
I 1; 1
I 1; 12;1
z iz i
A(0;1)A(0;1)
z 2 3iuz i
I 1; 1 R 5
I 1; 1 R 5 A 0;1 ; B 2; 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
C. Đường tròn tâm bán kính
D. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm .
Câu 15. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện làA. Ba cạnh của tam giácB. Bốn cạnh của hình vuôngC. Bốn cạnh của hình chữ nhậtD. Bốn cạnh của hình thoi
Câu 16. Gọi M và P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức và
. Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau đây:
Câu 16. 1. M thuộc đường thẳng d:
A. Đường thẳng
B. Tia
C. Đường thẳng
D. Tia
Câu 16.2. M thuộc đường thẳng d:
A. Đường thẳng
B. Parabol
C. Đường tròn
D. Elip
Câu 16.3. M thuộc đường tròn
A. Đường thẳng
B. Parabol
C. Đường tròn
D. Elip
Câu 16.4. M thuộc hypebol
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 16
www.thuvienhoclieu.com
I 1;1 R 5
I 1;1 R 5 A 0;1 ; B 2; 3
z x yi x y 1
z x iy, x,y R
2w z
y 2x
4d' :y x3
4d' :y x,x 0.3
4d' :y x3
4d' :y x,x 0.3
y x 1
1 1d':y x .3 3
21 1P :y x .2 2
2 2x 1 y 3 3
22 yx 125 16
2 2C :x y 1;
1d':y x .3
21P :y x4
2 2x y 1
22x y 1
2
1C :y x 0 .x
Chuyên Đề Số Phức
A. Đường thẳng
B. Đường thẳng
C. Đường thẳng
D. Đường thẳng Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn là số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm bán kính
B. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm .
C. Đường tròn tâm bán kính
D. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm .Câu 19. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức ,
biết z là số phức thỏa mãn: .
A. Đường tròn
B. Đường tròn
C. Đường tròn
D. Đường tròn Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn:
, biết z là số phức thỏa .
A. Đường tròn tâm bán kính
B. Đường tròn tâm bán kính
C. Đường tròn tâm bán kính
D. Đường tròn tâm , bán kính .Câu 21. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức
biết z là số phức thỏa mãn: .
A. Đường tròn tâm bán kính
B. Đường tròn tâm bán kính
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 17
d':x 2
d':y 2
d':y 1
d':y 2
z i z iz 1 z 1
1I ;02
1R2
1I ;02
1R2
1;0
1I ;02
1R4
1I ;02
1R4
0;1
w iz 1
3z 2i 1 8
2 2C : x 3 y 1 4
2 2C : x 3 y 1 2
2 2C : x 3 y 1 4
2 2C : x 3 y 1 4
w z 2 i z 1 2i 1
I 1;2 R 2
I 2;1 R 2
I 1;1 R 1
I 3;3 R 1
w 1 2i z 3 z 2 5
I 1;2 R 5
I 2;1 R 5
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
C. Đường tròn tâm bán kính .
D. Đường tròn tâm , bán kính .
Câu 22. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức với .
A. Hình tròn tâm , .
B. Đường tròn tâm , .
C. Hình tròn tâm bán kính .
D. Đường tròn tâm , bán kính .
Câu 23. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức biết
rằng số phức z thỏa mãn
A. Hình tròn tâm , .
B. Đường tròn tâm bán kính
C. Đường tròn tâm bán kính .
D. Hình tròn tâm bán kính
Câu 24. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức với .
A. Hình tròn tâm , .
B. Đường tròn tâm bán kính
C. Đường tròn tâm bán kính .
D. Hình tròn tâm ,
Câu 25 (Đề minh họa của bộ). Cho các số phức thỏa mãn . Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r 4. B. r 5. C. r 20. D. r 22.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 18
www.thuvienhoclieu.com
I 1;4 R 5 5
I 1;3 R 5
z' 1 i 3 z 2 z 1 2
I 3; 3 R 4
I 3; 3 R 4
I 1; 4 R 5
I 1;3 R 5
w 1 i 3 z 2
z 1 2.
I 3; 3 R 4
I 3;3 R 4
I 3; 3 R 4
I 3; 3 R 4.
z' 2z 3 i 23z i zz 9
I 3; 3 R 4
I 3;3 R 4
I 3; 3 R 4
7I 3;4
73R4
z 4z
(3 4 )w i z i
Chuyên Đề Số Phức
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 19
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨCPhương pháp: Ta nhắc lại một số công thức cơ bản sau:
Cho số phức . Lúc đó
.
. Công thức này chứng minh dễ dàng như sau:
I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
Áp dụng: Cho ba số phức đều có môđun bằng 1. Chứng minh
Giải
Giả sử:
a) Ta có:
và nên
Mà
Vậy .
b) Ta có:
Mặt khác:
Vậy .
c) Ta cần chứng minh bổ đề sau:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 20
www.thuvienhoclieu.com
z x yi, x,y
z x yi
2 2z x y .
2z z.z
2 22 2 2z.z x yi x yi x y x y z .
1 11 2 1 2 1 2 1 2 2
2 2
z za) z z z z ; b) z .z z .z ; c) , z 0z z
1 2 3z ,z ,z
1 2 3 1 2 2 3 1 3z z z z z z z z z .
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i, z x y i, x ,x ,y ,y
1 1 1z x y i 2 2 2z x y i 1 2 1 2 1 2z z x x y y i
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x x y y i z z x x y y i
1 2 1 2z z z z
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x x y y x y x y i
1 2 1 2z .z z .z
11z z , z 0
Chuyên Đề Số Phức
Vì nên ta có
Áp dụng bổ đề trên, ta có:
(ĐPCM)
Áp dụng: Vì nên
Lưu ý: Ta có công thức tổng quát sau: Cho n số phức bất kỳ.
Ta luôn có:
Trước hết ta chứng minh:
Giả sử: và
Trong đó:
Ta có:
Hay
Bây giờ ta chứng minh bằng quy nạp
Với Giả sử
Ta có:
Suy ra:
Mặt khác:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 21
1z. 1z
111 1z. 1 z. 1 z zz z
111 11 1 1 2 1 2
2 2 2 2
z z1 1z . z . z .z z . z .z z z z
1 2 3z z z 1
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 1
1 2 3 1 2 31 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
z z z z z z z z z z z z 1 1 1z z z z z zz z z z z zz z z
z z z z z z z z z
1 2 nz ,z ,...,z
1 2 3 n 1 2 3 n
1 2 3 n 1 2 3 n
z z z ... z z z z ... zz z z ...z z .z .z ...z .
1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z
k k kz a b i, k 1,2,3,...,n
nk
k 1z z a bi
n nk k
k 1 k 1a a , b b
n n n n
k k k k kk 1 k 1 k 1 k 1
z a bi a b a b i z
1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z
1 2 3 n 1 2 3 nz z z ...z z .z .z ...z **
n 2: 1 1 1 2 2 2z a b i, z a b i
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b i
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a a b b a b a b i
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy với đẳng thức đúng.
Giả sử (**) đúng với ta sẽ chứng minh hệ thứ đúng với
Thật vậy:
Đặt , ta có:
Với hai số phức và ta có:
Hệ thức cuối được chứng minh với
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
a) ; b) Áp dụng: Tìm mô đun các số phức sau:
Hướng dẫn giải
a) Cách 1. Đặt
Ta có: và
Từ đó:
Mặt khác:
Do đó:
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
Cách 2. Vì nên
Suy ra:
b) Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Thật vậy: hay
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 22
www.thuvienhoclieu.com
n 2
n k, n 2 n k 1
1 2 kz z z ...z 1 2 3 n 1 2 3 kz z z z ...z z .z .z ...z
z k 1z k 1 k 1 1 2 3 k k 1z.z z.z z .z .z ...z .z
n k 1.
1 2 1 2z .z z . z 11
2 2
zzz z
2 22 2
4 4
x y i 2xyx y 2xyiu , w , x,y .x y 2i xyxy 2 i x y
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i, z x y i, x ,x ,y ,y
2 21 1 1z x y 2 2
2 2 2z x y
2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
z z x y , x y x y x y
x x y y x y y x 1
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x y i x y i x x y y x y y x i
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x x y y x y y x x x y y x y y x 1
2z z.z
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2z .z z .z .z .z z .z .z .z z .z .z .z z . z
1 2 1 2z .z z .z
11 *z z ,z
1 1 1 1z. 1 z . 1z z z z
11 *z z ,z
Chuyên Đề Số Phức
Áp dụng bổ đề trên ta có: Cách 2.
Vì nên
Lưu ý: Không có công thức: Với mọi số phức : . Tuy nhiên ta
có bất đẳng thức sau:
Thật vậy, gọi biểu diễn , biểu diễn thì biểu diễn
Ta có:
* TH 1: Khi thì :
Do đó:
* TH 2: Khi thì rõ ràng
Vậy
Áp dụng: Ta sẽ áp dụng Ta có:
Tương tự:
Ví dụ 3. a) Chứng minh: Số phức z là số thực khi và chỉ khi
Vận dụng: Cho hai số phức đều có mođun bằng 1, . Chứng minh
là số thực.
b) Chứng minh: Số phức z là số ảo khi và chỉ khi
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 23
1 11 11
1 1 2 1 2 1 22 2 2
zz 1z . z .z z z z zz z z
2 2z z
1 2 1 2 1 2 11 1 2 1 22 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
z .z z . z z . z zz z .z z .zz zz .z z z z z
1 2z ,z 1 2 1 2z z z z
1 2 1 2z z z z
1u 1z
2u 2z
1 2u u 1 2z z
1 2 1 2z z u u
1 2z z 0
22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22 2 21 2 1 2 1 2 1 2
u u u u u u 2u .u u u 2u u cos u , u
u u 2u u u u z z
1 2 1 2 1 2z z u u z z
1 2z z 0 1 2 1 2z z z z
1 2 1 2 1 2z z z z , z ,z
11
2 2
zzz z
22 2 2 22 22 2
4 4 2 2 4 44 4
22 2
22 2
x y 4x yx y 2xyix y 2xyiuxy 2 i x y 2x y x yxy 2 i x y
x y1
x y
2 2 22 2
2 2
x y i 2xy x yx y 2xyw 1.
x y 2i xy x y 4xy x y
z z .
1 2z ,z 1 2z .z 1
1 2
1 2
z zz1 z z
z z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vận dụng: Chứng minh hai số phức phân biệt thỏa khi và chỉ khi
là số ảo. Giải
Đặt
a) Ta có: z là số thực.
Vậy, z là số thực khi và chỉ khi
Vận dụng: Ta có:
, tương tự ta có
Xét
b) Ta có:
Vậy, z là số ảo khi và chỉ khi
Vận dụng: Ta có
là số ảo
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn là số thực. Chứng minh rằng z là số thực.Giải
Ta biết rằng số phức w là số thực Do đó
là số thực
là số thực.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 24
www.thuvienhoclieu.com
1 2z ,z 1 2z z
1 2
1 2
z zz z
z a bi, a,b
z z a bi a bi 2bi 0 b 0
z z
2
1 1 1 11
1z z z 1 zz
22
1zz
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2 1 21 2
1 1z z z z z z z z z zz z ÑPCM1 11 z z 1 z z1 z z 1 z .z 1 .
z z
z z a bi a bi 2a 0 a 0 z laø soá aûo.
z z
1 2
1 2
z zz z
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z z z z z z z z z z z0 0z z z z z z z z z z z zz z .z z z z .z z 0
z z . z z z z . z z 0
2 z z z z 0 z z z z z z z z
2z 1z 1
w w.
2z 1z 1
2z 1 2z 1 2z 1 2z 1z 1 z 1 z 1 z 1
2z 1 z 1 2z 1 z 1
2zz 2z z 1 2zz 2z z 1 z z z
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 5. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
Giải
a) Ta có
Suy ra:
Vậy z là số thực.b) Ta có
Vậy z là số thực.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng
c) Với mọi số phức Chứng minh rằng:
Giảia) Ta có:
b) Ta có:
Mặt khác: Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 25
n n 2n
n6 17i 3 28i 13 6ia) z ; b) z 3 4i4 3i 5 6i 4 5i
n n
n n6 17i 3 28iz 3 2i 3 2i4 3i 5 6i
n nn n n n
n nz 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i
3 2i 3 2i z
2n nn 2n n 2 n
nn n n
13 6iz 3 4i 2 i 3 4i 2 i 3 4i4 5i3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25
2 2 2 2a) z z' z z' 2 z z' , z,z'
2 22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2b) 1 z .z z z 1 z z z z , z ,z
1 2 3z ,z ,z .
2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 21 2 3
z z z z z z z z z z z z
4 z z z .
2 2
2 2 2 2
VT z z' z z' z z' .z z' z z' .z z'
z z' z z' z z' . z z'
z.z z.z' z'z z'.z' zz z.z' z'z z'.z'
2 z 2z' 2 z z' VP
2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2
1 2 1 2
VT 1 z .z z z 1 z .z .1 z .z z z .z z
1 z .z 1 z z z z z z
1 z z z z *
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh. c) Ta có
Tương tự
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được
Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu số phức thì Giải
Ta có:
, mặt khác ta có: .Do đó:
Đặt lúc đó ta được
Ví dụ 8. Chứng minh rằng nếu thì .Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 26
www.thuvienhoclieu.com
2 21 2 1 2
2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
VP 1 z z z z
1 2z z z z z 2z z z 1 z z z z **
21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 1
21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 2
21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 3
21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 4
2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 21 2 3
z z z z z z z z z z z z
4 z z z .
331z 2z
1z 2.z
33
31 1 1z z 3 zz zz 1 2 1 2z z z z
33 3
3 31 1 1 1 1 1z z 3 z z 3z 2 3zz z z zz z
1a zz
23 1a 2 3a a 2 a 1 0 a 2hay z 2
z
z 1
2z i 12 iz
Chuyên Đề Số Phức
Giải
Giả sử theo giả thiết ta có Khi đó:
Do đó:
Ví dụ 9. Cho và là hai số phức thỏa Chứng minh rằng với
mọi số thực a, ta có: Giải
Giả sử với . Khi đó
Ta có:
(2) đúng, dẫn đến điều phải chứng minh.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mỗi số phức , có ít nhất 1 trong hai bất đẳng
thức sau xảy ra hoặc
Hướng dẫn giải
Giả sử ta có đồng thời .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 27
z a bi, a,b 2 2 2 2a b 1 a b 1
22
2 2
2a 2b 1 i 4a 2b 12a 2b 1 i2z i2 iz 2 b ai 2 b ai 2 b a
222 22 2
2 2
2 2
4a 2b 12z i 1 1 4a 2b 1 2 b a2 iz 2 b a
a b 1
1z 2z 1 2 1 2z 2z 2z z .
1 2 1 2z az az z .
1 2z p qi, z r si p,q,r,s
1 2 1 22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
z 2z 2z z p 2r i q 2s 2p r i 2q s
p 2r q 2s 2p r 2q s
p 2r q 2s 2p r 2q sp 4pr 4r q 4qs 4s 4p 4pr r 4q 4qs sr s p q 1
1 2 1 22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
z az az z p ar i q as ap r i aq s
p ar q as ap r aq s
p ar q as ap r aq sp 2apr a r q 2aqs a s a p 2apr r a q 2aqs sp q a p q r s a s r
a 1 p q a 1 r s 2
z
1z 12 2z 1 1
2
1z 12 *
z 1 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Đặt . Lúc đó
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được:
(vô lý). Từ đó ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 10*. Cho
là ba số thực phân biệt sao cho . Chứng minh rằng: Nếu
là các số thực thì và Hướng dẫn giải
Vì là ba số thực phân biệt và nên
đều khác không
và .
Nếu là các số thực thì ta có
Do đó:
Tương tự:
.
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức Ta có:
Tương tự:
Suy ra:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 28
www.thuvienhoclieu.com
z a bi, a,b
2 2 22
22 2 2 2 22 2 2 2
1 2 a b 4a 1 0 11 a b2*
a b 2 a b 0 21 a b 4a b 1
22 2a b
22a 1 0
1 2 3z ,z ,z 1 2 3z z z r 0
1 2 3 2 3 1 3 1 2z z z , z z z , z z z r 1 1 2 3z z z 1.
1 2 3z ,z ,z 1 2 3z z z r 0
1 2 3 1 2 2 3 3 1z , z , z , z z , z z , z z
21 1 2 2 3 3z z z z z z r
1 2 3 2 3 1 3 1 2z z z , z z z , z z z
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 2 3 1 2 3 1
3 1 2 3 1 2 3 1 2
z z z z z z z .z zz z z z z z z .z zz z z z z z z .z z
2 2 22 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 34 2 21 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3
r z z z r z z z r z z z z z zrz z z z z .z z .z z z z z r z r z z z z r zz z z z z z
21 2 3 2 3 1 3 1 2
2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
z z z z z z z z zrz z z z z r z z z r z z z r z
a c a cb d b d
2 1 2 3 2 3 1 1 2 31 2 3 12 22 2 21 2 3 1 2 3 11 2 3 2 3 1 2 3 1
z z z z z z z 1 z zz z z z 1rz z z z z r z z rz z r z z z r z z z z r
2 2 1 231 2 1 22 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 21 2 3 1 2
z 1 z 1z 1z 1 z 1 z zr r 1z z z z z z z zz r z r z r z r z r
221 2 3 2
1 2 31 2 1 2 31 2 32 1 1
1
z z z r z z z r r 1r 1z 1 z z z 11 z z z 1z 1 z rz r
Chuyên Đề Số Phức
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho số phức . 1.1. Phần thực của số phức z bằng:A. B.
C. D. 1.2. Phần ảo của số phức z:
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Vậy chọn đáp án 1.1.D và 1.2 B
Câu 2. Cho số phức . Khẳng định nào sau đây đúng
A. và . B. và .
C. và . D. và .Hướng dẫn giải
Ta có
Vậy và . Vậy chọn đáp án A.
Câu 3. Cho z là số phức thỏa mãn là số ảo. Tìm khẳng định đúng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giảiTa có:
là số ảo
Vậy Vậy chọn đáp án B. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 29
z x yi, x,y
z z z z 1 z z2
1 z z2
1 z z2i
1 z z2i
1 z z2
1 z z2
z x yi, x,y z x yi.
1x z zz z 2x 2Töø ñoù1z z 2yi y z z2i
z a bi, a,b
a z b z a z b z
a z b z a z b z
22 2
2
z a a az a b
z b b b
a z b z
z 1z 1
z 5 z 1 z 2 z 2
z 1z 1
z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 10 0z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
2
z 1 .z 1 z 1 .z 1 0
z 1 . z 1 z 1 . z 1 0 z.z 1 z 1 z 1
z 1.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 4. Cho . Khẳng định nào sau đây sai
A. là số thực B. là số thực
C. là số ảo D. là số thực
Hướng dẫn giải
Định hướng: Ta sử dụng kết quả sau: và z là số ảo khi và chỉ khi
Ta có:
Vậy là số thực
B) Vậy là số thực
C) . Vậy là số ảo
D) Vậy là số ảo. Vậy đáp án D sai.
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn là số thực. Khẳng định nào sau đây sai
A. B. là số ảo C. D. Hướng dẫn giải
là số thực
Vậy là số thực.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 6. Đẳng thức bằng
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 30
www.thuvienhoclieu.com
1 2z ,z
1 2 1 2z z z .z 22z z
33
z zz z
22z z
1 z.z
z z z
z z
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
A) z z z .z z z z .z z .z z .z z .z z z
z z z .z z z z .z
1 2 1 2z z z .z
2 222 2 2z z z z z z . 22z z
3 3 33 3 3
z z z z z zz z z z z z
33
z zz z
2 2 22 2 2z z z z z z.
1 z.z 1 z.z 1 z.z
22z z1 z.z
2z 1z 2
z z z z z z
2z 1z 2
2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1z 2 z 2 z 2 z 2z 2 z 2
2z.z 4z z 2 2z.z z 4z 2 5z 5z z z
z
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
1 z z z z i z iz i z iz4
Chuyên Đề Số Phức
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Suy ra:
Vậy chọn đáp án B. Câu 7. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Vậy chọn đáp án A.
Câu 8. Cho số phức thỏa điều kiện . Tìm khẳng định đúng
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 31
1
2
zz
1 2z .z 1 2z z 1 2z z
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
z z z z i z iz i z iz
z z z z z .z z .z z z z z z .z z .z
iz z z z z .z iz .z iz z z z z .z iz .z4z z
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21z z z z z z i z iz i z iz , z ,z .4
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z
2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
2 21 2
z z 1 z z z z z z z z 1 z z z z z z
1 z 1 z
z6z i 12 3iz
z 1 z 3 1z3
1z3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ta có:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 9. Gọi z là số phức khác 0 sao cho Tìm khẳng định đúng
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
, mặt khác ta có:
.Do đó:
Đặt lúc đó ta được:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Cho thỏa . Tìm khẳng định đúng
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử: với Theo đề:
Từ (1)
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 32
www.thuvienhoclieu.com
6z i 1 6z i 2 3iz2 3iz
2 2
2
6z i 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz
1 127z.z 3 z z9 3
338z 9.z
2z 3.z 2z 3.z
2z 3.z 2z 3.z
33 3
3 32 8 2 2 8 2z z 3z. z z 6 zz z z zz z
1 2 1 2z z z z
33
3
33
3
3
2 8 2z z 6zz zz
2 8 2 2z z 6 z 9 6zz z zz2 2z 6z 9 0z z
1a zz
3 2a 6a 9 0 a 3 a 3a 3 0 a 3.
a,b,c,d na bi c di
n2 2 2 2a b 2 c d 2 2 2 2a b c d
2 2 n 2 2a b 2 c d n2 2 2 2a b c d
c di r cos isin 2 2r c d 1 .
n n n 2 2c di r cosn isinn a bi r a b 2
n2 2 2n 2 2r c d r c d
Chuyên Đề Số Phức
Từ (2)
Vậy . Vậy chọn đáp án D. Câu 11*. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm khẳng định đúng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Hay: (*)Đặt với Từ (*) suy ra:
Xét các trường hợp:
Nếu thì nên:
Do đó (mâu thuẫn).
Nếu thì nên:
Suy ra (mâu thuẫn).
Nếu thì (thỏa mãn)
Vậy . Vậy chọn đáp án B. Cách 2. Casio nhanh chống bằng cách thử trực tiếp.
CHỦ ĐỀ 5. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆNPhương pháp
Tìm số phức thật ra là tìm phần thực x và phần ảo y của nó.
Chú ý rằng: , khi là số thực
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 33
n 2 2 2n 2 2r a b r a b
n2 2 2 2a b c d
10 911z 10iz 10iz 11 0.
z 1 z 1 z 1 1z3
10 9 911z 10iz 10iz 11 0 z 11z 10i 11 10iz.
9 11 10izz
11z 10i z x iy x,y .
2 2 2 29
2 2 2 2
10 x y 11 220y f x,y11 10izz11z 10i g x,y11 x y 10 220y
z 1 2 2x y 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
g x,y 11 x y 10 220y 10 x y 21 x y 10 220y
10 x y 11 220y f x,y .
9z 1 z 1
z 1 2 2x y 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
g x,y 11 x y 10 220y 10 x y 21 x y 10 220y
10 x y 11 220y f x,y .
9z 1 z 1
z 1 g x,y f x,y
z 1
z x yi, x,y
22z z22z z z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
,
. Khi đó:
. Khi đó là số ảo (thuần ảo) khi , là số thực khi .
Trong trường hợp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm các điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện.
Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất )
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNGVí dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn
d) ; e) Giải
a) Đặt . Phương trình trở thành :
Vậy số phức cần tìm là .
b) Đặt
Phương trình trở thành:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 34
www.thuvienhoclieu.com
x 0z x yi 0 y 0
1 1 1 2 2 2z x y i; z x y i 1 2
1 21 2
x xz z y y
z x yi, x,y z x 0 zy 0
( )
M ( )
2a) z z 0; 2b) z z 0; 2c)z 2z.
2z z z 3z z
zf) z 2.z
z x yi, x,y 2z z 0
2 2 2 22 2 2 2 x y x y 0x y 2xyi x y 02xy 0
22 2 2 2
2 2 2
x 0 y 0 x 0 y 0x 0y yy y 0 x x 0
x 0 x 0 x 0y 0 y 0x 0 x 0y y y y 0 y y 0
x 0 x 0 x 0y 0 y 1 y 1
z 0, z i, z i
2 2 2z x-yi
z x yi, x,y z x y 2xyi
2z z 0
Chuyên Đề Số Phức
Với thay vào (*) ta được:
Với thay vào (*) ta được:
Vậy các số phức cần tìm là
c) Đặt Phương trình trở thành
Với , (1)
với , (1)
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Giả sử . Khi đó:
TH1: ta được
TH2:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 35
2 2 2 2
2 22 22 2
x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0x x y 0 *
x x y 0x x y 0 y 0y 2x 1 02xy y 0 1x 2
y 02 x 0x x 0 x 1
1x 2
3y 23y 2
1 3 1 3z 0, z 1, z i, z i.2 2 2 2
z x yi x,y R z x yi. 2z 2z
2 22 2 x y 2x (1)x y 2xyi 2x 2yixy y (2)
(2) y x 1 0 y 0,x 1.
y 0 2x 2x 0 x 0 x 2.
x 12y 3 y 3
z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3
z x yi x,y
22 2 2
2 2 2 22 2 2 2
z z z x yi x y x yi
x y x y xx y x y 2xyi x yi2xy y
1x 2
2 2 2 21 1 1 1 3y y y y4 4 2 4 4
2 2
2 4 2 4 2
3 3y 0 y 5 2 54 y4 21 3 19y y y 16y 40y 5 04 2 16
2y 0 x x x x 0 x y 0.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là:
e) Giả sử
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm
Cách 2:
hoặc
Khi thì , do đó là một nghiệm của phương trình
Khi nên phương trình hay
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm .
f) Gọi số phức . Điều kiện:
Ta có:
Giải hệ ta được: hoặc (loại)Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán. Vậy số phức cần tìm là .Ví dụ 2. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình
a) ; b) ; Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 36
www.thuvienhoclieu.com
1 5 2 5z 0;z i2 2
z x yi x,y z x yi
33 3 2 2 3
2 23 2
2 3 2 2
2 22
22 2
z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yi
x x 3y xx 3xy x3x y y y y 3x y y
x 0 x 0,y 0 z 0x 3y 1 0 x 0,y 1 z iy 0 x 1,y 0 z 13x y 1 0
z 0,z i,z 1
2 4 2 2 23 3z z z.z z.z z z z z z 1 0
2z 0 2z 1 0
2z 0 z 0 z 0 3z z
z 1 0 z 0 3 3z z z.z z.z 4z z.z 1
2
2 22
z 1 0 z 1z 1 z 1 0 z iz 1 0
z 0,z i,z 1
za bi; a,b
a 0z 0 b 0
2 2z z 2 z z.z 2z a bi a b 2 a biz
2 22 2 a a b 2aa a b bi 2a 2bib 2b
a 1b 0
a 0b 0
z 1 z 1
3z 2z 8 2z 2011 0 2 3c) z z
Chuyên Đề Số Phức
a) Đặt . Ta có phương trình
Gọi
Ta có
Với
Với
Vậy
b) Đặt Khi đó:
Do đó
Nếu thì (vô lý). Do đó . Dẫn đến
Vậy số phức z cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
thay vào (*)
, thay vào (*) .
Vậy Ví dụ 3 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức thỏa mãn:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 37
t z 2z
3 3 2
2
t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0t 2
t 2t 1 3i
t 2t 4 0t 1 3i
z a bi a,b
t z 2z a bi 2 a bi a 3bi
a 2 a 2t 2 a 3bi 2 z 23b 0 b 0
t 1 3i a 3bi 1 3i
a 1a 1 3z 1 .i3 33b 3 b 3
3z 2;z 1 i3
z a bi a,b
2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi
2 22 2 2 a b 2011 0z 2011 0 a b 2011 2abi 02ab 0
b 0 2a 2011 0 b 0 a 0 b 2011
2011.i
z x yi
2 3 2 2 3
2 2 3xy 0
z z x y 2xyi z 0 x y z 0 *
x 0
22 3
3y 0
y z 0 y 0 z 0z 0
y 0 z x 2 3x x 0 x 0, x 1
z 0, z 1
z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
a) ; b) .
c) ; d) . Giải
a) Ta có:
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là .
b) Đặt .Lúc đó:
Vậy phần thực của là , phần ảo là .
c) Đặt , ta có:
Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17.Phần thực của số phức cần tìm là , phần ảo là 1.
d) Đặt . Từ giả thiết ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng .
Ví dụ 3. a) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần
ảo của số phức .
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết rằng .Giải
a) Giả sử . Từ giả thiết suy ra
.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 38
www.thuvienhoclieu.com
21 i 2 i z 8 i 1 2i z 22 3i z 4 i z 1 3i
22 3i z 4 i z 1 3i z 2z 3 2i
21 i 2 i z 8 i 1 2i z 2z 1 i 2 i 1 2i 8 i
z 2i 2 i 1 2i 8 i 8 i 1 2i8 iz 2 3i2i 1 5
3
z x yi z x yi, x,y
2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i6x 4y 8 x 26x 4y 2 x y i 8 6i .2x yb 6 y 5
z 2 5z a bi, (a,b )
2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i6a 2b 8 a 76a 2b 4a 2b i 8 6i 4a 2b 6 b 17
3z a bi, (a,b )
3a 3 a 1a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2i b 2 b 2
2
z 1 2i z 2 1 2i
2w z 3z
25iz z 4 3i z 26 6i2 i
z x yi (x,y )
2x 4 x 2 z 2 ix y 1 y 1
Chuyên Đề Số Phức
Do đó .
b) Gọi .
Ta có
Do đó .Vậy phần thực là -4, phần ảo là 3.
Ví dụ 4. a) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thuẩn ảo.
b) Tìm số phức z thỏa mãn và z là số ảo.
c) Tìm số phức z thỏa mãn và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo.
d) Cho số phức z thỏa mãn là số thực và
e) Tìm số phức z biết và là số thuần ảo.Giải
a) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số thuần ảo nên
Ta có hệ:
Vậy các số phức cần tìm là:
b) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số ảo nên .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 39
22w z 3z 2 i 3 2 i 3 i
z a bi, (a,b )
z 4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i
22a 16b 14a 18b i 130 30i22a 16b 130 a 3 z 3 4i14a 18b 30 b 4
25i 3 4i25i 4 3iz 25
z 2 2zz 2
z 5
1 3i z z 2 5i 1
iz 1 2 1 i z 1 2i
z x yi, x,y
2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2
22 2 2z x yi x y 2xyi 2 2x y 0
2 2 2
2 2 2x y 2 x 1x y 0 y 1
1 2 3 4z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.
z x yi, x,y
2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *
z x yi x 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Thay vào (*) ta được
Vậy các số phức cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên thay vào
phương trình (*) ta được:
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Gọi
Ta có
là số thực
ta có
(thỏa mãn)
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là
e) Đặt và , khi đó ta có:
Số phức này là số ảo, do đó ta có:
.
Thay vào (*) ta có .
Ví dụ 5. a) Tìm số phức z thỏa mãn và
b) Tìm số phức z thỏa mãn: và .
c) Tìm số phức z biết: và
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 40
www.thuvienhoclieu.com
x 02 y 2y 4 .y 2
1 2z 2i, z 2i.
z x yi, x,y
2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *
x 2y
2 25y 25 y 5 y 5.
1 1z 2 5 5i, z 2 5 5i
z a bi; a,b
1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i
1 3i z b 3a 0 b 3a
z a bi 2 2z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1
a 27a 5
7 21z 2 6i;z i.5 5
z' 1z' iz 1 z *i
2z' 2 z' z'
1 i 1 i1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z'i i
1 i z' 1 i z' 1 i z' 1 i z'
21 i .2 1 i z' z' 2i z' 1 iz'
z 1;z 1 2i
z 2 i 10 zz 25
22z 2z.z z 8 z z 2
z 2 z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14
Chuyên Đề Số Phức
d) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: và
e) Tìm số phức z thỏa mãn và .
f) Tìm số phức z thỏa mãn và .Giải
a) Gọi z = a + bi ,
Ta có:
Từ giả thiết ta có:
và
Giải hệ (1) và (2) ta được
Vậy các số phức cần tìm là: hoặc
b) Gọi , ta có:
Từ (1) và (2) tìm được .Vậy các số phức cần tìm là và .
c) Ta có:
Đặt
Dẫn đến:
Kết hợp với giả thiết ban đầu:
Nên kết hợp lại ta được số phức:
d) Gọi . Từ bài toán suy ra:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 41
z i 1z 1
z i 1z 3i
z 1 5 17 z z 5zz 0
z 1 2i 5 z.z 34
a R,b R
z 2 i a 2 b 1 i;
z 2 i 10 2 2a 2 b 1 10 1
z.z 25 2 2a b 25 2
a 3 a 5b 4 b 0
z 3 4i z 5
z x yi 2 2 2z x yi; z z zz x y x,y
22 2 2z 2z.z z 8 4 x y 2 1
z z 2 2x 2 x 1 2
x 1; y 1
1 i 1 i
2z z 3i 2z z 3i 10
2 z z 3i z z 10
z a bi, z a bi
5 3b2a 3b 5 a 2
2 2z 2 a b 4
13 3 3z 1 3i; z i7 7
z x yi, x,y
x 1y,x 0y 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
.Vậy e) Đặt , ta có:
Mặt khác
Thay (2) vào (1) được . Kết hợp với (1) có Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là và .
f) Gọi
Ta có
Từ (1) và (2) ta có hệ
Vậy .
Ví dụ 6. a) Cho số phức z thỏa mãn phương trình . Tính mô-đun của z.
b) Tìm mô-đun của số phức z biết .
c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của số phức z.
d) Tìm mô-đun của số phức z, biết rằng
e) Cho hai số phức thỏa các điều kiện sau: và Hãy
tính Giải
a) Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 42
www.thuvienhoclieu.com
2 22 2
2 22 2
x y 1 x 10 y x y x y 18y 8x y 1 x y 3
z 1 i
z a bi
2 2 2 2z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1
2 2 3417 z z 5z.z 0 a b a 25
24a 24 a 55 2b 9 b 3
5 3i 5 3i
z a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5
2 2a 1 b 2 5 1
2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2
2 2
2 22 2
a 3b 5
a 2b 7a b 2a 4b 20 3aa b 34a b 34 529b 5
29 3z 3 5i, z i5 5
1 i z 2 i z 4 i
z 3z 1 2i
2z 1 i z 11i
z 4 3i z 26 6i2 i
1 2z ,z 1 2z 3z 4 1 2z z 1.
1 23z z .
Chuyên Đề Số Phức
Gọi
b) Đặt . Khi đó theo giả thiết ta có:
c) Đặt
Vậy .
d) Gọi . Ta có:
Vậy Cách 1.
Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 43
1 i z 2 i z 4 i *
z a bi (a,b )
a 2* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 i b 1z 5
z a bi, (a,b )
1a 1a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i4 4b 1
1 17z 116 4
z a bi, (a,b )
2 2 2
2 2
22 2
2
z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11ia b 2abi a b a b 11 i
a b a 2a b 2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a b a b 1 a b 1 a 32ab a b 11 2ab a b 11 b 22b 2b 12 0
2 2z a b 13
z a bi a,b
z 4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i22a 16b 14a 18b i 130 30i
22a 16b 130 a 314a 18b 30 b 4
z 3 4i z 5
21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 22 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16
z 3 z z z z 9z 16 1 3 z z z z 9 16z z z z 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy
Cách 2. Đặt Ta có
Lúc đó:
Do đó:
Ví dụ 7. a) Tìm số phức z thỏa mãn: .
b) Tìm số phức z thỏa mãn .
c) Tìm số phức z thỏa mãn
d) Tìm số phức z thỏa mãn .
e) Tìm số phức z thỏa mãn .Giải
a) Ta có:
Giải (1): Đặt . Phương trình (1) trở thành:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 44
www.thuvienhoclieu.com
21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
3z z 3z z 3z z 3z z 3z z
9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4
1 23z z 2.
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y
2 2 2 21 2 1 1 2 2z z 1 x y x y 1
2 21 2 1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
z 3z 4 x 3x y 3y 16x y 9 x y 6 x x y y 166 x x y y 6 x x y y 1
2 2 21 2 1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2
3z z 3x x 3y y9 x y x y 6 x x y y 10 6 4
1 23z z 2.
2 2z i z z 0
z 1 1 izi1z
z
1 iz 1 i z .1 i z
2z iz 1 1 i z1 i
2 iz z 2i 2z2 i 1 2i
22 2
2z i 0 1
z i z z 0z z 0 2
z x yi, x,y
Chuyên Đề Số Phức
Với thay vào (*) ta được: (vô nghiệm)
Với thay vào (*) ta được:
Vậy
Giải (2): Đặt . Phương trình (2) trở thành:
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
b) Điều kiện: .
Giả sử . Khi đó trở thành:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 45
2 2 2 2
2 2
x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0x y
x y 0 x y2xy 1 0 2xy 1 0 *
x y 22x 1 0
x y2 22x 1 0 x 2
1 22 2 2 2z i, z i.2 2 2 2
z a bi, a,b
2 2 2 2
2 22 2
a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0a b a 0 **
a b a 0 b 02ab b 0 1a 2
b 0 2 a 0a a 0 a a 1 0 a 1
3 4z 0, z 1
1a 2 2 21 1 3 3b 0 b b4 2 4 2
5 61 3 1 3z i, z i.2 2 2 2
z 0, z 1
2
2
z z 1 1 iz z z 1 1 izPT i i z 1 iz z 1 i
z 1 z 1z 1
z i z z 1 i *
z x yi; x,y *
2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0
x 0x 0 x 0y 1
y y y 1 0x y x y y 1 0 y 1 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Nếu thì , thỏa mãn điều kiện.
Nếu thì , khi đó không thỏa mãn điều kiện.
Vậy số phức cần tìm là .
c) Đặt với ). Ta có
+) Với tac có thỏa mãn (1). Suy ra
+) Với tac có không thỏa mãn (1), loại
d) Đặt với . Khi đó
Vậy hoặc
e) Ta có
(1).
+) Gỉa sử .
Lúc đó: (1)
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 46
www.thuvienhoclieu.com
x 0,y 1 2 z 1 2 i
x 0,y 1 z i z 1
z 1 2 i
(z x yi 2 2x,y ;x y 0
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i z
x y i x y x y x y i
x y x y x y x y x y
1 x y x y x y x y 1
x y 0 1xy 0
x y x y 1 2
x 0, 22 y y 1 y 1, z i
y 0, 22 x x 1 x 1,
z x yi x,y 2z iz 1 1 i z1 i
2 2
2 2
2 2
2
x 1 yi 1 ix 1 yi 1 i x y23x 1 y 3x 1 y i 2 x y
x 0,y 1y 3x 13x 1 y 2 x y3 1x ,y10x 3x 03x 1 y 0 10 10
z i3 1z i10 10
2 iz z 2i 2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i
2 4i 2 i z 4 3i z
z a bi a,b
2 4i 2 i a bi 4 3i a bi
Chuyên Đề Số Phức
Vậy số phức cần tìm là .
Ví dụ 8. a) Tính môđun của số phức z biết và z có phần thực dương.
b) Tìm số phức z có phần ảo bằng 164 và thỏa : .
c) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và là một số thuần ảo.
d) Tìm số phức z thỏa mãn: là số thực và .Giải
a) Giả sử
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Suy ra
môđun của số phức z là:
b) Gọi
Theo giả thiết, ta có
c) Giả sử . Theo bài ra ta có:
Số phức .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 47
2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1 z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1
z i 1
3z 12i z
*nz 4iz n
z 1 2i z 3 4i z 2iz i
z 1 . z 2i z i 2
z x yi x 0,x,y
33 3 2 2 3
3 2 2 2
2 3 2 3
z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yi
x xy x x 3y 1 dox 0 .3x y y 12 y 3x y y 12 y
2 2x 3y 1
2 3 3 23 y 1 y y 12 y 2y y 3 0 y 1 x 4 x 2 dox 0 .
z 2 y z 5
z a 164i a
z a 164i4i 4i a 164i 4i a 164i nz n a 164i n
a 656 a 656a 164i 656 a n i 4 a n 164 n 697
z x yi x 1 y 2 i x 3 4 y i
2 2 2 2x 1 y 2 x 3 y 4 y x 5
2
22x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 iz 2iw x 1 y iz i x y 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
w là một số ảo
Vậy
d) Giả sử Khi đó:
Từ (1) và (2) ta được hoặc
Vậy
Ví dụ 9. a) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có mođun nhỏ nhất.
b) Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất.
d) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất.
Giải
a) Đặt . Khi đó Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn
tâm I(2;-3) và bán kính
Ta có: khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn và gần O nhất.
Đó là điểm (Bạn đọc tự vẽ hình).
Ta có: Kẻ Theo định lý talet ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 48
www.thuvienhoclieu.com
2
22
x y 2 y 1 0 12x 72y 3 0, x y 1 0 * 23yy x 5 7
12 23z i7 7
z a bi, a,b
z 1 . z 2i a 1 bi . a 2 b ia a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1
22z 2 2 a b 1 2 2
a 1, b 0 1 12a , b5 5
1 21 12z 1, z i5 5
3z 2 3i 2
z 1 z 2i z
z 3i iz 3 10
z 2 i z 1 4i
z x yi, x,y 2 23 9z 2 3i x 2 y 32 4
3R= .2Min z
1M
OI= 4 9 13. 1M H Ox.
Chuyên Đề Số Phức
Vậy
b) Giả sử . Khi đó:
Để là số thực thì hay . Suy ra tập hợp
các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là số thực là đường thẳng có phương trình .
Để nhỏ nhất thì M phải là hình chiếu của lên .
Từ đó tìm được nên .
c) Áp dụng công thức:
Ta có:
. Giải bất phương trình ta có
Vậy đạt được khi
d) Giả sử . Khi đó:
và
Vậy thỏa mãn đề bài.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 49
1 11
313M H OM 78 9 132 M H ;3 OI 2613313OH 26 3 132 OH .2 1313
26 3 13 78 9 13z= i13 26
z x yi x,y
z 1 z 2i x 1 yi x 2 y i
z 1 z 2i x 1 2 y xy 0 2x y 2 0
z 1 z 2i
2x y 2 0
z O 0;0
4 2M ;5 5
4 2z i5 5
2z.z z ; z w z w
2 222100 z 3i iz 3 2 z 3i iz 3 z 3i iz 3
222 z 3i iz 3
2 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3
24 z.z 9 4z 36 z 4
min z 4
z 3i iz 3z 4, z 4
z 4
z a bi, a,b
z 2 i a 2 b 1 i z 1 4i a 1 b 4 i
2 2 2 2
2 22 2 2
z 2 i z 1 4i a 2 b 1 a 1 b 4 a 2 b
z a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2
z 1 i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức: .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Cách 1. Giả sử
Ta có
. Vậy . Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giảiĐặt , suy ra
.
Thay vào phương trình đã cho ta có
Vậy .Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Số số phức z thỏa mãn .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Gọi . Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 50
www.thuvienhoclieu.com
z 2 z z 2 6i
2z 6i5 2z 6i5
2z 6i5 2z 6i5
z x yi (x,y )
z 2 z z 2 6i x yi 2 x yi x yi 2 6i
25x yi 2 6i x;y ; 65
2z 6i5
2 1 1z z z 1 z z i2 2
z a bi (a,b )
2 2 2z a bi, z a b , z z 2bi, z z 2a
2 2a b bi 1 ai
2 21a b
a b 1 21b a a b2
1 1 1 1z i, z i2 2 2 2
2 2z 1 z 1 10i z 3
z a bi a,b 2 2z 1 z 1 10i z 3
2 22 2
2
2
a 1 2 a 1 bi b a 1 b 10i a bi 32a a 1 2ab 3b 10 i 0
2a a 1 02ab 3b 10 0
1a;b 1; 2 a;b ; 52
Chuyên Đề Số Phức
Vậy hoặc . Vậy chọn đáp án C
Câu 4. Biết là hai số phức thỏa điều kiện: . Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Có hai số phức cần tìm
Suy ra: . Vậy chọn đáp án A.
Câu 5. Tìm số phức z thỏa mãn A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có:
Với , ta có , thỏa mãn (1). Suy ra .
Với , ta có , không thỏa mãn (1).Vậy .Vậy chọn đáp án D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 51
z 1 2i 1z 5i2
1 2z ,z 22 z 1 z 1 1 i z 1 2z z
3 11i10 10 3 11i10 10
3 11i10 103 11i10 10
2 2 2
2 22 2 2 2
2 2
22 2
2 z 1 z 1 1 i z 2 a bi 1 a bi 1 1 i a b
3a 1 a b3a 1 bi a b i a bb a b
a 0 3ab 3a 1 a 010a 3a 0 3 10a b 1 1103a 1 a b b 3a 1 b 10b 3a 1
1 23 1z i; z i10 10
1 23 11z z i10 10
1 iz 1 i z1 i z
1 i i 1 i i
2 2z x yi, x,y , x y 0
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 22 2
1 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i z
x y i x y x y x y i
x y 0 1x y x y x y x y x y xy 0x y x y 11 x y x y x y x y 1 2
x 0 22 y y 1 y 1 z i
y 0 22 x x 1 x 1
z i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 6. Biết là số phức thỏa mãn: . Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi , ta được:
Vậy . Suy ra .
Câu 7. Biết là số phức thỏa mãn: thỏa mãn phương trình .
Tính .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Điều kiện . Gọi . Phương trình đã cho tương đương với:
Vậy hoặc . Suy ra: Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Tìm mô đun số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 52
www.thuvienhoclieu.com
1 2z ,z 2 2z 1 z 1 10i z 3 2 21 2z z .
111 i4 111 i 111 4i 44 i
z a bi a,b 2 2a bi 1 a bi 1 10i a bi 3
22
a 1b 22a a 1 02a a 1 2ab 3b 10 i 0 12ab 3b 10 0 a 2b 5
1z 1 2i, z 5i2 2 21 2
111z z i4
1 2z ,zz 10 4 3i1 i z
1 2
1 1z z
7 23i25 50 7 23i25 50
7 23i25 507 23i25 50
z 0 z a bi a,b
2 2
2 2
2
z.z 10 1 i 4 3i 1 i z a b 10 10i a 7b 7a b ia b 10 a 7b7a b 10
a 2 a 2,b 45a 19a 18 0 9a 9 13a ,b5b 10 7a 5 5b 10 7a
z 2 4i 9 13z i5 5
1 2
1 1 7 23iz z 25 50
2 iz z 2i 2z2 i 1 2i
1 2 2 2 2
Chuyên Đề Số Phức
Giả sử
Vậy số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án B.
Câu 9. Tìm số phức z thỏa điều kiện:
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Phương trình trở thành :
Vậy z cần tìm là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 10. Tìm môđun số phức z thỏa điều kiện:
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình trở thành :
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 53
2 iz z 2i 2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i
2 4i 2 i z 4 3i z 1
z a bi, a,b
1 2 4i 2 i a bi 4 3i a bi2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1 z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1
z 1 i z 2
z z 1 i z z 2 3i 4 i.
1 1z i.2 2 1 1z i.2 2
1 1z i.2 2 1 1z i.2 2
z x yi z x yi, x,y
z z 2xz z 2yi
z z 1 i z z 2 3i 4 i
2x 1 i 2yi 2 3i 4 i 2x 2xi 4yi 6y 4 i1x2x 6y 4 22x 6y 2x 4y i 4 i 2x 4y 1 1y 2
1 1z i.2 2
i z zz z 4 6i.1 i 2 2i
z 101 z 10 z 1 z 11
z x yi z x yi, x,y
i z zz z 4 6i1 i 2 2i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy z cần tìm là Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Tìm Số số phức thỏa điều kiện: A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi ta có:
Kết luận . Vậy chọn đáp án B.
Câu 11. Biết là số phức thỏa điều kiện: Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Gọi , khi đó (*) trở thành:
Vậy . Vậy chọn đáp án C.
Câu 12 . Tìm số phức z thỏa điều kiện A.
B. C. D. Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 54
www.thuvienhoclieu.com
22x 2yi 2x 2y4 6i 4 6i1 i 1 i2 1 i 2 1 i2x 1 i y 1 i 2x y 2x y i4 6i 4 6i21 i 1 i2x y 8 x 12x y 12 y 10
z 1 10i z 101.
i z zz z 4 6i1 i 2 2i
1 2 3 4
z a bi, a,b
2 2
2 23 a bi 4 a bi 1 a b 5 7i
a 0 a 1a b a 1b 1 b 17b 7
z i, z 1 i
z z1 i z 5 7i.1 i
1wz
1 1w i10 5 1 1w i10 5
1 1w i10 5 1 1w i10 5
z a bi a,b 2 a bi a bi 2 12i
a 2 a 2a 3bi 2 12i 3b 12 b 4
1 1z 2 4i w i10 5
z 2z 2 4i
w 1 2i 1 1w i3 5 2z 4i.3
1w 2i14
a) Ñaët z x yi z x-yi , x,y .
Chuyên Đề Số Phức
Vậy Vậy chọn đáp án C.
Câu 13. Biết là các số phưc thỏa mãn điều kiện . Tìm
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Vậy Suy ra: . Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Tìm số số phức thỏa mãn điều kiện . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
Từ (2) hoặc
Với Suy ra hoặc hoặc
Với Suy ra
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 55
23x 2 xx yi 2 x yi 2 4i 3x-yi 2-4i 3y 4 y 4
2z 4i.3
1 2z ,z 2z 2z 0 1 2z z
1 21z z2
1 2z z 2 1 2z z 2 2 1 2z z 2
Ñaët z x yi z x-yi , x,y .
2 2 2 2
2 22 2
x y 2xyi 2 x yi 0 x y 2x 2xy 2y i 0x y 2x 0 *x y 2x 0y 02y x 1 0x 1
y 02 x 0x 2x 0 x 2
x 1 2y 3 y 3.
1 2z 3i, z 2 3i. 1 2z z 2
2z 2z 0
2 3 1 0
2 2 2z x yi, x,y R z x y 2xyi.
2 2 2 2 2z 2z 0 x y 2xyi 2 x y
2 2 2 2x y 2 x y 12xy 0 2
x 0 y 0.
2
2 2 22x 0, y 2y y 2y 2 y y 2 y1 y 2y 2y
z 0 z 2i z 2i.
y 0, 1 2 2 2x 2 x x 2 x 0 x 0.
z 0.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy phương trình hoặc hoặc Vậy chọn đáp án B.
Cách khác: Ta giải phương trình hệ quả rồi thử lại.
Phương trình (1)
hoặc
Với
Với phương trình (1) Thử lại: Ta thế các giá trị của z vừa tìm được vào phương trình (1).
Với ta có phương trình (1) được nghiệm đúng.
Với ta có và
Vậy phương trình được nghiệm đúng.
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 14. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tính A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành:
Vậy số phức z cần tìm là: . Suy ra .Vậy chọn đáp án D.
Câu 15. Biết là các số phức thỏa điều kiện . Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 56
www.thuvienhoclieu.com
2z 2z 0 z 0 z 2i z 2i.
2z 2z 0 22 2z 2z z 2z z 2z
z 0 z 2.
z 0 z 0.
z 2, 2 2 2 2z 4 0 z 4 z 4i z 2i.
z 0, 2z 0
z 2i, 22 2z 2i 4i 4 2z 2 2i 2.2 4.
2z 2z 0
1 2 3z 0,z 2i,z 2i.
1 2z ,z 22z z 1 0 1 2
1 1z z
i i 1 i 0
z x yi, x,y 22z z 1 0
2 2 2 2 2
22 2
x y 2xyi x y 1 0 2y 1 2xyi 0x 0x 0 y 02y 1 0 11 1 yy y2xy 0 2 2 2
1 1z i,z i2 2
1 2
1 1 0z z
1 2 3 4z ,z ,z ,z2z i i.z 1
1 2 3 4z z z z
3 2 3 2 3
z x yi, x,y 2 2z i i z i iz iz 1
Chuyên Đề Số Phức
Vậy số phức z cần tìm là: .
Suy ra .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 17. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tìm số phức có phần ảo âm
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt Phương trình
Từ
o Với Suy ra Vậy o Với
o Với
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 57
2 22 2 2
2 2
2 2
x y yx yi i x yi x y 2xyi y xi2xy x
1yx 0x y y 0 21 1x 2y 1 0 y y 0 x 04 2
1yx 0 x 0 2y 0 y 1 3x 2
3 1 3 1z 0,z i,z i,z i2 2 2 2
1 2 3 4z z z z 3
z2z i z 0 z
1z 1 i2
1 1z i2 2
1 1z i2 2
1z 1 i2
z x yi, x,y R 2 2 2 2 2z i z 0 x y 2xyi i x y
2 2
2 2
x y 0 1
2xy x y 2
1 y x.
2 22xy x, x2 2 x 0 y 0. z 0.y x:
2
2 2 22
x 02x x 2 12 2x 2x 2x x 2 x
22x x 21x2
x 0 y 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
o Với
o Với Vậy chọn đáp án C.
Câu 18. Biết là số phức thỏa điều kiện Tìm số phức có phần thực dương
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
o Với
Suy ra
o Với
(vô nghiệm)Vậy số phức z cần tìm là:
và Vậy chọn đáp án C.
Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 58
www.thuvienhoclieu.com
1 1x y2 2
1 1x y .2 2
z2iz z 1 0. z
22 5 2 5z i.4 4
2
2 3 2 3z i.2 2
22 10 2 10z i.4 4
2
2 5 2 5z i.2 2
z x yi, x,y R
2 2 2 2 2iz z 1 0 i(x y 2xyi) x y 1 0
2 2 2 2
2 2
2 22 2
( 2xy x y 1) x y i 0x y 1x y 0 x y
2xy x y 1 0 2xy x y 1 0 2
2 2 2x y : 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0
2 2 10 2 102 x x 2 1 0 x x4 4
2 10y x .4
2 2 2y x, 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0
22 x x 2 1 0
12 10 2 10z i4 4
2
2 10 2 10z i.4 4
2z z z z 1 1 i 2
z 1 i. z 1 i. z 1 i. z 1 i.
Chuyên Đề Số Phức
Đặt . Ta có :
Như vậy phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có 1 nghiệm Vậy chọn đáp án D.
Câu 20. Tìm số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Suy ra:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 21*. Số số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Xét là nghiệm của phương trình
Xét . Đặt , từ giả thiết ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 59
z x yi, x,y
2z z 2x 2yi x yi x 3yi
z z 1 1 i 2 2x 1 1 i 2 2x 1 2x 1 i
x 2x 1 x 1x 3yi 2x 1 2x 1 i 3y 2x 1 y 1
z 1 i.
21 2i z z 4i 20
z 1 i. z 3 i. z 1 2i. z 4 3i.
z a bi, (a,b ) z a bi
21 2i z z 4i 20 2a 4b 4a 4b i 4i 20a 2b 10 a 4. Vaäy z 4 3i.a b 1 b 3
z 2z.z 1 z 2 6iz
1 2 0 z 4
z 0
z 0 2 2z a bi; a,b ,a b 0
2 2
2 2 3 2 2 3
z 3z 1 2z 6z z.i z.z 3z 1 2z .z 6z z z.i
z 3z 1 2z a bi 6z .i z . 3z 1 2az 6z 2bz i
2 2 22 2 2
23 2
z . 3z 1 4az . 3z 1 2az z . 3z 1 2a 3z b 06z 2bz 0 3z b 0 a 0,b 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có
Thế (3) vào(1), ta được: (do )
Vậy ta có hai số phức cần tìm là Vậy chọn đáp án B.
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Giả sử với và a, b không đồng thời bằng 0.
Khi đó
Khi đó phương trình
. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có , thế vào (1) ta có Với (loại)Với . Ta có số phức . Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Tìm số phức z biết . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi Theo đề cho ta suy ra:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 60
www.thuvienhoclieu.com
2 2
2 2 2
b b 1 12a b b 1 12a 13z b 3a 3b b 2a 0,b 0 a 0,b 0
2 2 2 249a 4b a b 39
2 216 3 2b b b b a ,3 13 13 a 0,b 0
2 3z i.13 13
2 3z 0,z i.13 13
25z 8 6iz w iz 3
3 4i 5i 4i z 1 4i
z a bi a;b
2 21 1 a biz a bi; z a bi a b
2 2
25 a bi25z 8 6i a bi 8 6iz a b
2 2 2 2
2 2 2 2
a a b 25 8 a b 1
b a b 25 6 a b 2
3b a4
a 0 a 4
a 0 b 0
a 4 b 3 z 4 3i
z 2 3i z 1 9i
3 4i 1 5i z 2 i z 1 4i
z a bi a,b z a bi
a 3b 1 a 2a bi 2 3i a bi 1 9i a 3b 3a 3b i 1 9i 3a 3b 9 b 1
Chuyên Đề Số Phức
Số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án C.
Câu 24. Tính mô- đun của số phức biết (i là đơn vị ảo).A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
a) Đặt , ta có
. Vậy mô-đun của số phức bằng .
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của z.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử . Ta có:
Vậy . Vậy chọn đáp án B.
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của z.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
cĐặt . Khi đó:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 27. Số số phức z thỏa và là số thực là: A. B. C. D. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 61
z 2 i
z i z i z i 2iz
3 4i 1 5i z 2 i z 1 4i
z a bi, (a,b ) z i z i 2iz
2 2
2 2 22 2 2
z.z i z z 1 2iz a b 1 2ai 2b 2ai
a b 1 2b a b 2b 1 2 a b 1 22a 2a
22z i a b 1 i a b 1 2 z i 2
1 2i z 2 2i z i
12
53
15
13
z a bi, (a,b )
1 2i a bi 2 2i a bi i 3a 4b bi i43a 4b 0 a 3b 1 b 1
2 2 16 5z a b 19 3
2 z 1 3z i 5 i
2 2 2 2 4
z a bi, (a,b )
2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi 1 5i a 1 5 1 b i 0a 1 z 2b 1
z 2 3z6 2 5 4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
Gọi Theo giả thiết ta có:
Vậy .Vậy chọn đáp án A.
Câu 28. Tìm nghịch đảo của số phức z, biết thỏa mãn và là số thuần ảo.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử thì Với hoặc , ta có:
Vì là số thuần ảo nên
Kết hợp ta có . Vậy số phức đó là .Vậy chọn đáp án C.
Câu 29. Tìm mo đun số phức z thỏa mãn và là số thực.A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Giả sử .
Suy ra .
Từ giả thiết là số thực nên ta có .Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 62
www.thuvienhoclieu.com
3 3 2 2 3z a bi, (a,b ) z a 3ab 3a b b i
2 2 22 22 22 3 2 22 2
b 0 b 0a b 4 a 4 a 2a b 2 b 0 a 1b 3a3a b b 0 b 3a b 3a 3a 4
z 2, z 2, z 1 3, z 1 3, z 1 3, z 1 3
z z 2i z 2 4i z iz i
1 5 i4 12 3 5 i17 17
3 5 i17 17 3 5i2 2
z a bi, (a,b ) z 2i z 2 4i a b 4 1
a 0 b 1
222
2 22 2
a b 1 2a b 1 ia b 1 ia b 1 iz ia b 1 iz i a b 1 a b 1
z iz i
22 a b 1a b 1 0 a 1 b
13 5a , b2 2
3 5z i2 2
z 22z 1 i
2 1 2 2 2
z a bi a,b
2 1 i2z a bi a 1 b 1 i1 i 2
2z 1 i b 1
Chuyên Đề Số Phức
Khi đó
Vậy số phức cần tìm là và . Từ đây suy ra .Vậy chọn đáp án
Câu 30. Tính mô-đun của số phức z, biết và z có phần thực dương.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử
Do . Thế vào (2) ta được:
Giải phương trình (3) ta được . Do nên .
Vậy . Vậy chọn đáp án D.
Câu 31. Tìm z thỏa mãn điều kiện :
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Vậy nghiệm của phương trình là: Vậy chọn đáp án A.
Câu 32. Tìm số số phức z thỏa mãn: .A. 5 B. 3 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 63
2z 2 a i 2 a 1 2 a 3.
z 3 i z 3 i z 2
3z 12i z
2 z 7 z 3 z 5
33z x yi, x,y . z 12i z x yi 12i x yi
3 23 2 2 3
2 3x 3xy x 1
x 3xy 3x y y 12 i x yi3x y y 12 y 2
2 2x 0 1 x 3y 1
2 3 33 3y 1 y y 12 y 2y y 3 0 3
2y 1 x 4 x 0 x 2
z 2 i z 5
4z i 1z i
z 0,z 1,z i. z 0,z 1 z i,z i z i,z 0
2
2
z i 1 (1)z iptz i 1 (2)z i
z 1 z 11 ii i (loaïi) z iz 1 z 1(1) ; (2)z 1 z 0 z 1 z 11 iz 1 z 1
z 0,z 1,z i.
4iz 2 7 24iz 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Nhận xét: Nếu làm bằng cách gọi , thay vào và tính toán vế trái, rồi đồng nhất phần thực và phần ảo của 2 vế sẽ rất dài và dẫn tới hệ đẳng cấp bậc 4 rất cồng kềnh. Áp dụng cách tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay , ta có cách giải ngắn gọn:
Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
Lần lượt tay vừa tìm được vào công thức (*), ta tìm được:
. Vậy chọn đáp án C.
Câu 33. Biết là các số phức thỏa mãn và là số thuần
ảo. Tính .A. 51 B. 30 C. 41 D. 22
Hướng dẫn giải
Đặt
Do đó Như thế
Để là số thuần ảo thì
Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu đề toán là và
Vậy chọn đáp án D.
Câu 34. Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo.A. , B. ,B. , D. , , ,
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 64
www.thuvienhoclieu.com
z a bi
''
'iz 2 2 3zz z *z 3 z i
'z11 1 19 3 11 5 3z i; i; i;2 i2 2 10 10 4 4 2
1 2 3z ,z ,z z 3i 1 iz 9z z
2 2 21 2 3z z z
z x yi, x,y
2 22 2z 3i 1 iz x y 3 i 1 y ix x y 3 1 y x
2 2y 3 1 y y 2
z x 2i
2 2 2
9 x 2i9 9 9x 18z x 2i x 2i x 2 iz x 2i x 4 x 4 x 4
9z z 22x 0 x 09xx 0
x 5x 5x 4
z 2i, z 5 2i z 5 2i
z 5 2z i
z 2 i z 2 i z 2 i z 1 2i
z 2 i z 1 2i z 2 i z 2 i z 1 2i z 1 2i
Chuyên Đề Số Phức
Gọi Với hoặc Với hoặc Vậy chọn đáp án D.
Câu 35. Tìm số phức z có phần ảo âm, biết và số phức có phần ảo bằng 1. A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Vì ;
có phần ảo bằng 1 nên
Thay (2) vào (1) ta được:
Với
Với Vậy có hai số phức là và .Vậy chọn đáp án C.
Câu 36. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và là số thực.A. 5 B. 3 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Gọi
Có
w là số thực
Từ (2) có , thay vào (1) được phương trình:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 65
2 2 2
2 22 2a b 5 b b 2 0
z a bia b 1 0 a b 1
b 1 a 2 z 2 i z 2 i
b 2 a 1 z 1 2i z 1 2i
z 1 1 1 i z 1
z i z 2 i z 1 i z 3 i
z x yi x,y z x yi
2 2z 1 1 x 1 y 1 1
1 i z 1 x y 1 x y 1 i
1 i z 1 x y 1 1 x 1 y 1 2
2 2 2 y 0y 1 y 1 2y 2y 0 y 1
y 0 x 2 z 2
y 1 x 1 z 1 i
z 2 z 1 i
z 5z 7iz 1
2 2z x yi z 5 x y 25 1
2 22 2
x x 1 y y 7 xy x 1 y 7z 7iw iz 1 x 1 y x 1 y
xy x 1 y 7 0 2
7 x 1y *2x 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Thay vào (*) tìm được y tương ứng từ đó tìm được các số phức: ;
; .
Câu 37. Tìm môđun số phức z biết là một số thuần ảo và
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt . Khi đó:
u là số thuần ảo khi và chỉ khi:
Ta có:
Từ (1) và (2) ta có: . Vậy chọn đáp án B.
Câu 39. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 66
www.thuvienhoclieu.com
4 3 2 22x 2x 25x x 12 0 x 3 x 4 2x 1 0
2x 3;x 4;x 2
z 3 4i z 4 3i
2 7 2z i2 2
z 2 3iu z i
z 1 3i z 1 i
365z 5265z 5
215z 5235z 5
z x yi, x,y
22
2 2
22
x 2 y 3 i x y 1 ix 2 y 3 iu x y 1 i x y 1x y 2x 2y 3 2 2x y 1 i
x y 1
2 22 2
22x y 2x 2y 3 0 x 1 y 1 5 1x y 1 0 x;y 0;1
2 2 2 2z 1 3i z 1 i x 1 y 3 x 1 y 1x 2y 2 0 2
3 16 265x;y ; z5 5 5
z 1 2i 2
2 4z 1 2 i5 5
2 4z 1 2 i5 5
2 4z 1 2 i5 5
2 4z 1 2 i5 5
Chuyên Đề Số Phức
Gọi ; Gọi là điểm biểu diễn số phức .
Ta có :
Đường tròn có tâm I(1;2). Đường thẳng OI có phương trình Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
hoặc
Chọn nên số phức
Vậy chọn đáp án C.
Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của .
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giảiGiả sử . Từ giả thiết:
Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm bán kính . Gọi M là điểm biểu diễn của z, ta có:
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 67
z x yi, x,y M x;y
z 1 2i 2 2 2x 1 y 2 4
2 2x 1 2C : y 4
y 2x
2 2y 2xx 1 y 2 4
2x 15
2x 15
2x 15
4y 25
2 4z 1 2 i5 5
z 2 i 2z 1 i
z
min maxz 10 3; z 10 3 min maxz 10 3; z 10 3
min maxz 10 3; z 10 3 min maxz 10 3; z 10 3
z x yi
z 2 i 2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 iz 1 i
2 2 2 2 22x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 3 10
I 0; 3 R 10
IM IO OM IM IO 10 3 OM 10 3
min maxmin maxz OM 10 3; z OM 10 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ
nhất của .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giảiGiả sử .
Từ giả thiết:
Ta có
Tập hợp biểu diễn của z là đường thẳng . Gọi M là điểm biểu diễn của z.
Tìm được . Suy ra: . Vậy chọn đáp án B.
CHỦ ĐỀ 5. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆNPhương pháp
Tìm số phức thật ra là tìm phần thực x và phần ảo y của nó.
Chú ý rằng: , khi là số thực
,
. Khi đó:
. Khi đó là số ảo (thuần ảo) khi , là số thực khi .
Trong trường hợp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm các điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 68
www.thuvienhoclieu.com
z 3 i z 1 3i
z
minz 2 minz 2 2 minz 2min
2z 2
z x yi
w z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i
2 2x y 4x 4y 6 2 x y 4 i
w x y 4 0
d :x y 4 0
minminz OM OM d
M 2;2 z 2 2i minz 2 2
z x yi, x,y
22z z22z z z
x 0z x yi 0 y 0
1 1 1 2 2 2z x y i; z x y i 1 2
1 21 2
x xz z y y
z x yi, x,y z x 0 zy 0
( )
Chuyên Đề Số Phức
Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất )
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNGVí dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn
d) ; e) Giải
a) Đặt . Phương trình trở thành :
Vậy số phức cần tìm là .
b) Đặt
Phương trình trở thành:
Với thay vào (*) ta được:
Với thay vào (*) ta được:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 69
M ( )
2a) z z 0; 2b) z z 0; 2c)z 2z.
2z z z 3z z
zf) z 2.z
z x yi, x,y 2z z 0
2 2 2 22 2 2 2 x y x y 0x y 2xyi x y 02xy 0
22 2 2 2
2 2 2
x 0 y 0 x 0 y 0x 0y yy y 0 x x 0
x 0 x 0 x 0y 0 y 0x 0 x 0y y y y 0 y y 0
x 0 x 0 x 0y 0 y 1 y 1
z 0, z i, z i
2 2 2z x-yi
z x yi, x,y z x y 2xyi
2z z 0
2 2 2 2
2 22 22 2
x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0x x y 0 *
x x y 0x x y 0 y 0y 2x 1 02xy y 0 1x 2
y 02 x 0x x 0 x 1
1x 2
3y 23y 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy các số phức cần tìm là
c) Đặt Phương trình trở thành
Với , (1)
với , (1)
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Giả sử . Khi đó:
TH1: ta được
TH2:
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là:
e) Giả sử
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 70
www.thuvienhoclieu.com
1 3 1 3z 0, z 1, z i, z i.2 2 2 2
z x yi x,y R z x yi. 2z 2z
2 22 2 x y 2x (1)x y 2xyi 2x 2yixy y (2)
(2) y x 1 0 y 0,x 1.
y 0 2x 2x 0 x 0 x 2.
x 12y 3 y 3
z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3
z x yi x,y
22 2 2
2 2 2 22 2 2 2
z z z x yi x y x yi
x y x y xx y x y 2xyi x yi2xy y
1x 2
2 2 2 21 1 1 1 3y y y y4 4 2 4 4
2 2
2 4 2 4 2
3 3y 0 y 5 2 54 y4 21 3 19y y y 16y 40y 5 04 2 16
2y 0 x x x x 0 x y 0.
1 5 2 5z 0;z i2 2
z x yi x,y z x yi
33 3 2 2 3
2 23 2
2 3 2 2
2 22
22 2
z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yi
x x 3y xx 3xy x3x y y y y 3x y y
x 0 x 0,y 0 z 0x 3y 1 0 x 0,y 1 z iy 0 x 1,y 0 z 13x y 1 0
Chuyên Đề Số Phức
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm
Cách 2:
hoặc
Khi thì , do đó là một nghiệm của phương trình
Khi nên phương trình hay
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm .
f) Gọi số phức . Điều kiện:
Ta có:
Giải hệ ta được: hoặc (loại)Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán. Vậy số phức cần tìm là .Ví dụ 2. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình
a) ; b) ; Giải
a) Đặt . Ta có phương trình
Gọi
Ta có
Với
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 71
z 0,z i,z 1
2 4 2 2 23 3z z z.z z.z z z z z z 1 0
2z 0 2z 1 0
2z 0 z 0 z 0 3z z
z 1 0 z 0 3 3z z z.z z.z 4z z.z 1
2
2 22
z 1 0 z 1z 1 z 1 0 z iz 1 0
z 0,z i,z 1
za bi; a,b
a 0z 0 b 0
2 2z z 2 z z.z 2z a bi a b 2 a biz
2 22 2 a a b 2aa a b bi 2a 2bib 2b
a 1b 0
a 0b 0
z 1 z 1
3z 2z 8 2z 2011 0 2 3c) z z
t z 2z
3 3 2
2
t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0t 2
t 2t 1 3i
t 2t 4 0t 1 3i
z a bi a,b
t z 2z a bi 2 a bi a 3bi
a 2 a 2t 2 a 3bi 2 z 23b 0 b 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Với
Vậy
b) Đặt Khi đó:
Do đó
Nếu thì (vô lý). Do đó . Dẫn đến
Vậy số phức z cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
thay vào (*)
, thay vào (*) .
Vậy Ví dụ 3 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức thỏa mãn:
a) ; b) .
c) ; d) . Giải
a) Ta có:
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là .
b) Đặt .Lúc đó:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 72
www.thuvienhoclieu.com
t 1 3i a 3bi 1 3i
a 1a 1 3z 1 .i3 33b 3 b 3
3z 2;z 1 i3
z a bi a,b
2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi
2 22 2 2 a b 2011 0z 2011 0 a b 2011 2abi 02ab 0
b 0 2a 2011 0 b 0 a 0 b 2011
2011.i
z x yi
2 3 2 2 3
2 2 3xy 0
z z x y 2xyi z 0 x y z 0 *
x 0
22 3
3y 0
y z 0 y 0 z 0z 0
y 0 z x 2 3x x 0 x 0, x 1
z 0, z 1
z
21 i 2 i z 8 i 1 2i z 22 3i z 4 i z 1 3i
22 3i z 4 i z 1 3i z 2z 3 2i
21 i 2 i z 8 i 1 2i z 2z 1 i 2 i 1 2i 8 i
z 2i 2 i 1 2i 8 i 8 i 1 2i8 iz 2 3i2i 1 5
3
z x yi z x yi, x,y
Chuyên Đề Số Phức
Vậy phần thực của là , phần ảo là .
c) Đặt , ta có:
Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17.Phần thực của số phức cần tìm là , phần ảo là 1.
d) Đặt . Từ giả thiết ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng .
Ví dụ 3. a) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần
ảo của số phức .
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết rằng .Giải
a) Giả sử . Từ giả thiết suy ra
.
Do đó .
b) Gọi .
Ta có
Do đó .Vậy phần thực là -4, phần ảo là 3.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 73
2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i6x 4y 8 x 26x 4y 2 x y i 8 6i .2x yb 6 y 5
z 2 5z a bi, (a,b )
2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i6a 2b 8 a 76a 2b 4a 2b i 8 6i 4a 2b 6 b 17
3z a bi, (a,b )
3a 3 a 1a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2i b 2 b 2
2
z 1 2i z 2 1 2i
2w z 3z
25iz z 4 3i z 26 6i2 i
z x yi (x,y )
2x 4 x 2 z 2 ix y 1 y 1
22w z 3z 2 i 3 2 i 3 i
z a bi, (a,b )
z 4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i
22a 16b 14a 18b i 130 30i22a 16b 130 a 3 z 3 4i14a 18b 30 b 4
25i 3 4i25i 4 3iz 25
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 4. a) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thuẩn ảo.
b) Tìm số phức z thỏa mãn và z là số ảo.
c) Tìm số phức z thỏa mãn và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo.
d) Cho số phức z thỏa mãn là số thực và
e) Tìm số phức z biết và là số thuần ảo.Giải
a) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số thuần ảo nên
Ta có hệ:
Vậy các số phức cần tìm là:
b) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số ảo nên .
Thay vào (*) ta được
Vậy các số phức cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên thay vào
phương trình (*) ta được:
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Gọi
Ta có
là số thực
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 74
www.thuvienhoclieu.com
z 2 2zz 2
z 5
1 3i z z 2 5i 1
iz 1 2 1 i z 1 2i
z x yi, x,y
2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2
22 2 2z x yi x y 2xyi 2 2x y 0
2 2 2
2 2 2x y 2 x 1x y 0 y 1
1 2 3 4z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.
z x yi, x,y
2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *
z x yi x 0
x 02 y 2y 4 .y 2
1 2z 2i, z 2i.
z x yi, x,y
2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *
x 2y
2 25y 25 y 5 y 5.
1 1z 2 5 5i, z 2 5 5i
z a bi; a,b
1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i
1 3i z b 3a 0 b 3a
Chuyên Đề Số Phức
ta có
(thỏa mãn)
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là
e) Đặt và , khi đó ta có:
Số phức này là số ảo, do đó ta có:
.
Thay vào (*) ta có .
Ví dụ 5. a) Tìm số phức z thỏa mãn và
b) Tìm số phức z thỏa mãn: và .
c) Tìm số phức z biết: và
d) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: và
e) Tìm số phức z thỏa mãn và .
f) Tìm số phức z thỏa mãn và .Giải
a) Gọi z = a + bi ,
Ta có:
Từ giả thiết ta có:
và
Giải hệ (1) và (2) ta được
Vậy các số phức cần tìm là: hoặc
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 75
z a bi 2 2z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1
a 27a 5
7 21z 2 6i;z i.5 5
z' 1z' iz 1 z *i
2z' 2 z' z'
1 i 1 i1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z'i i
1 i z' 1 i z' 1 i z' 1 i z'
21 i .2 1 i z' z' 2i z' 1 iz'
z 1;z 1 2i
z 2 i 10 zz 25
22z 2z.z z 8 z z 2
z 2 z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14
z i 1z 1
z i 1z 3i
z 1 5 17 z z 5zz 0
z 1 2i 5 z.z 34
a R,b R
z 2 i a 2 b 1 i;
z 2 i 10 2 2a 2 b 1 10 1
z.z 25 2 2a b 25 2
a 3 a 5b 4 b 0
z 3 4i z 5
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
b) Gọi , ta có:
Từ (1) và (2) tìm được .Vậy các số phức cần tìm là và .
c) Ta có:
Đặt
Dẫn đến:
Kết hợp với giả thiết ban đầu:
Nên kết hợp lại ta được số phức:
d) Gọi . Từ bài toán suy ra:
.Vậy e) Đặt , ta có:
Mặt khác
Thay (2) vào (1) được . Kết hợp với (1) có Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là và .
f) Gọi
Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 76
www.thuvienhoclieu.com
z x yi 2 2 2z x yi; z z zz x y x,y
22 2 2z 2z.z z 8 4 x y 2 1
z z 2 2x 2 x 1 2
x 1; y 1
1 i 1 i
2z z 3i 2z z 3i 10
2 z z 3i z z 10
z a bi, z a bi
5 3b2a 3b 5 a 2
2 2z 2 a b 4
13 3 3z 1 3i; z i7 7
z x yi, x,y
x 1y,x 0y 3
2 22 2
2 22 2
x y 1 x 10 y x y x y 18y 8x y 1 x y 3
z 1 i
z a bi
2 2 2 2z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1
2 2 3417 z z 5z.z 0 a b a 25
24a 24 a 55 2b 9 b 3
5 3i 5 3i
z a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5
2 2a 1 b 2 5 1
2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2
Chuyên Đề Số Phức
Từ (1) và (2) ta có hệ
Vậy .
Ví dụ 6. a) Cho số phức z thỏa mãn phương trình . Tính mô-đun của z.
b) Tìm mô-đun của số phức z biết .
c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của số phức z.
d) Tìm mô-đun của số phức z, biết rằng
e) Cho hai số phức thỏa các điều kiện sau: và Hãy
tính Giải
a) Ta có:
Gọi
b) Đặt . Khi đó theo giả thiết ta có:
c) Đặt
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 77
2 2
2 22 2
a 3b 5
a 2b 7a b 2a 4b 20 3aa b 34a b 34 529b 5
29 3z 3 5i, z i5 5
1 i z 2 i z 4 i
z 3z 1 2i
2z 1 i z 11i
z 4 3i z 26 6i2 i
1 2z ,z 1 2z 3z 4 1 2z z 1.
1 23z z .
1 i z 2 i z 4 i *
z a bi (a,b )
a 2* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 i b 1z 5
z a bi, (a,b )
1a 1a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i4 4b 1
1 17z 116 4
z a bi, (a,b )
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy .
d) Gọi . Ta có:
Vậy Cách 1.
Ta có:
Vậy
Cách 2. Đặt Ta có
Lúc đó:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 78
www.thuvienhoclieu.com
2 2 2
2 2
22 2
2
z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11ia b 2abi a b a b 11 i
a b a 2a b 2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a b a b 1 a b 1 a 32ab a b 11 2ab a b 11 b 22b 2b 12 0
2 2z a b 13
z a bi a,b
z 4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i22a 16b 14a 18b i 130 30i
22a 16b 130 a 314a 18b 30 b 4
z 3 4i z 5
21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 22 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16
z 3 z z z z 9z 16 1 3 z z z z 9 16z z z z 2
21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
3z z 3z z 3z z 3z z 3z z
9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4
1 23z z 2.
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y
2 2 2 21 2 1 1 2 2z z 1 x y x y 1
2 21 2 1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
z 3z 4 x 3x y 3y 16x y 9 x y 6 x x y y 166 x x y y 6 x x y y 1
Chuyên Đề Số Phức
Do đó:
Ví dụ 7. a) Tìm số phức z thỏa mãn: .
b) Tìm số phức z thỏa mãn .
c) Tìm số phức z thỏa mãn
d) Tìm số phức z thỏa mãn .
e) Tìm số phức z thỏa mãn .Giải
a) Ta có:
Giải (1): Đặt . Phương trình (1) trở thành:
Với thay vào (*) ta được: (vô nghiệm)
Với thay vào (*) ta được:
Vậy
Giải (2): Đặt . Phương trình (2) trở thành:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 79
2 2 21 2 1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2
3z z 3x x 3y y9 x y x y 6 x x y y 10 6 4
1 23z z 2.
2 2z i z z 0
z 1 1 izi1z
z
1 iz 1 i z .1 i z
2z iz 1 1 i z1 i
2 iz z 2i 2z2 i 1 2i
22 2
2z i 0 1
z i z z 0z z 0 2
z x yi, x,y
2 2 2 2
2 2
x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0x y
x y 0 x y2xy 1 0 2xy 1 0 *
x y 22x 1 0
x y2 22x 1 0 x 2
1 22 2 2 2z i, z i.2 2 2 2
z a bi, a,b
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
b) Điều kiện: .
Giả sử . Khi đó trở thành:
Nếu thì , thỏa mãn điều kiện.
Nếu thì , khi đó không thỏa mãn điều kiện.
Vậy số phức cần tìm là .
c) Đặt với ). Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 80
www.thuvienhoclieu.com
2 2 2 2
2 22 2
a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0a b a 0 **
a b a 0 b 02ab b 0 1a 2
b 0 2 a 0a a 0 a a 1 0 a 1
3 4z 0, z 1
1a 2 2 21 1 3 3b 0 b b4 2 4 2
5 61 3 1 3z i, z i.2 2 2 2
z 0, z 1
2
2
z z 1 1 iz z z 1 1 izPT i i z 1 iz z 1 i
z 1 z 1z 1
z i z z 1 i *
z x yi; x,y *
2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0
x 0x 0 x 0y 1
y y y 1 0x y x y y 1 0 y 1 2
x 0,y 1 2 z 1 2 i
x 0,y 1 z i z 1
z 1 2 i
(z x yi 2 2x,y ;x y 0
Chuyên Đề Số Phức
+) Với tac có thỏa mãn (1). Suy ra
+) Với tac có không thỏa mãn (1), loại
d) Đặt với . Khi đó
Vậy hoặc
e) Ta có
(1).
+) Gỉa sử .
Lúc đó: (1)
Vậy số phức cần tìm là .
Ví dụ 8. a) Tính môđun của số phức z biết và z có phần thực dương.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 81
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i z
x y i x y x y x y i
x y x y x y x y x y
1 x y x y x y x y 1
x y 0 1xy 0
x y x y 1 2
x 0, 22 y y 1 y 1, z i
y 0, 22 x x 1 x 1,
z x yi x,y 2z iz 1 1 i z1 i
2 2
2 2
2 2
2
x 1 yi 1 ix 1 yi 1 i x y23x 1 y 3x 1 y i 2 x y
x 0,y 1y 3x 13x 1 y 2 x y3 1x ,y10x 3x 03x 1 y 0 10 10
z i3 1z i10 10
2 iz z 2i 2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i
2 4i 2 i z 4 3i z
z a bi a,b
2 4i 2 i a bi 4 3i a bi
2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1 z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1
z i 1
3z 12i z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
b) Tìm số phức z có phần ảo bằng 164 và thỏa : .
c) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và là một số thuần ảo.
d) Tìm số phức z thỏa mãn: là số thực và .Giải
a) Giả sử
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Suy ra
môđun của số phức z là:
b) Gọi
Theo giả thiết, ta có
c) Giả sử . Theo bài ra ta có:
Số phức .
w là một số ảo
Vậy
d) Giả sử
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 82
www.thuvienhoclieu.com
*nz 4iz n
z 1 2i z 3 4i z 2iz i
z 1 . z 2i z i 2
z x yi x 0,x,y
33 3 2 2 3
3 2 2 2
2 3 2 3
z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yi
x xy x x 3y 1 dox 0 .3x y y 12 y 3x y y 12 y
2 2x 3y 1
2 3 3 23 y 1 y y 12 y 2y y 3 0 y 1 x 4 x 2 dox 0 .
z 2 y z 5
z a 164i a
z a 164i4i 4i a 164i 4i a 164i nz n a 164i n
a 656 a 656a 164i 656 a n i 4 a n 164 n 697
z x yi x 1 y 2 i x 3 4 y i
2 2 2 2x 1 y 2 x 3 y 4 y x 5
2
22x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 iz 2iw x 1 y iz i x y 1
2
22
x y 2 y 1 0 12x 72y 3 0, x y 1 0 * 23yy x 5 7
12 23z i7 7
z a bi, a,b
Chuyên Đề Số Phức
Khi đó:
Từ (1) và (2) ta được hoặc
Vậy
Ví dụ 9. a) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có mođun nhỏ nhất.
b) Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất.
d) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất.
Giải
a) Đặt . Khi đó Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn
tâm I(2;-3) và bán kính
Ta có: khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn và gần O nhất.
Đó là điểm (Bạn đọc tự vẽ hình).
Ta có: Kẻ Theo định lý talet ta có:
Vậy
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 83
z 1 . z 2i a 1 bi . a 2 b ia a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1
22z 2 2 a b 1 2 2
a 1, b 0 1 12a , b5 5
1 21 12z 1, z i5 5
3z 2 3i 2
z 1 z 2i z
z 3i iz 3 10
z 2 i z 1 4i
z x yi, x,y 2 23 9z 2 3i x 2 y 32 4
3R= .2Min z
1M
OI= 4 9 13. 1M H Ox.
1 11
313M H OM 78 9 132 M H ;3 OI 2613313OH 26 3 132 OH .2 1313
26 3 13 78 9 13z= i13 26
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
b) Giả sử . Khi đó:
Để là số thực thì hay . Suy ra tập hợp
các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là số thực là đường thẳng có phương trình .
Để nhỏ nhất thì M phải là hình chiếu của lên .
Từ đó tìm được nên .
c) Áp dụng công thức:
Ta có:
. Giải bất phương trình ta có
Vậy đạt được khi
d) Giả sử . Khi đó:
và
Vậy thỏa mãn đề bài.II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức: .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Cách 1. Giả sử Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 84
www.thuvienhoclieu.com
z x yi x,y
z 1 z 2i x 1 yi x 2 y i
z 1 z 2i x 1 2 y xy 0 2x y 2 0
z 1 z 2i
2x y 2 0
z O 0;0
4 2M ;5 5
4 2z i5 5
2z.z z ; z w z w
2 222100 z 3i iz 3 2 z 3i iz 3 z 3i iz 3
222 z 3i iz 3
2 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3
24 z.z 9 4z 36 z 4
min z 4
z 3i iz 3z 4, z 4
z 4
z a bi, a,b
z 2 i a 2 b 1 i z 1 4i a 1 b 4 i
2 2 2 2
2 22 2 2
z 2 i z 1 4i a 2 b 1 a 1 b 4 a 2 b
z a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2
z 1 i
z 2 z z 2 6i
2z 6i5 2z 6i5
2z 6i5 2z 6i5
z x yi (x,y )
Chuyên Đề Số Phức
Ta có
. Vậy . Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giảiĐặt , suy ra
.
Thay vào phương trình đã cho ta có
Vậy .Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Số số phức z thỏa mãn .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Gọi . Ta có
Vậy hoặc . Vậy chọn đáp án C
Câu 4. Biết là hai số phức thỏa điều kiện: . Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 85
z 2 z z 2 6i x yi 2 x yi x yi 2 6i
25x yi 2 6i x;y ; 65
2z 6i5
2 1 1z z z 1 z z i2 2
z a bi (a,b )
2 2 2z a bi, z a b , z z 2bi, z z 2a
2 2a b bi 1 ai
2 21a b
a b 1 21b a a b2
1 1 1 1z i, z i2 2 2 2
2 2z 1 z 1 10i z 3
z a bi a,b 2 2z 1 z 1 10i z 3
2 22 2
2
2
a 1 2 a 1 bi b a 1 b 10i a bi 32a a 1 2ab 3b 10 i 0
2a a 1 02ab 3b 10 0
1a;b 1; 2 a;b ; 52
z 1 2i 1z 5i2
1 2z ,z 22 z 1 z 1 1 i z 1 2z z
3 11i10 10 3 11i10 10
3 11i10 103 11i10 10
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Có hai số phức cần tìm
Suy ra: . Vậy chọn đáp án A.
Câu 5. Tìm số phức z thỏa mãn A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có:
Với , ta có , thỏa mãn (1). Suy ra .
Với , ta có , không thỏa mãn (1).Vậy .Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Biết là số phức thỏa mãn: . Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi , ta được:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 86
www.thuvienhoclieu.com
2 2 2
2 22 2 2 2
2 2
22 2
2 z 1 z 1 1 i z 2 a bi 1 a bi 1 1 i a b
3a 1 a b3a 1 bi a b i a bb a b
a 0 3ab 3a 1 a 010a 3a 0 3 10a b 1 1103a 1 a b b 3a 1 b 10b 3a 1
1 23 1z i; z i10 10
1 23 11z z i10 10
1 iz 1 i z1 i z
1 i i 1 i i
2 2z x yi, x,y , x y 0
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 22 2
1 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i z
x y i x y x y x y i
x y 0 1x y x y x y x y x y xy 0x y x y 11 x y x y x y x y 1 2
x 0 22 y y 1 y 1 z i
y 0 22 x x 1 x 1
z i
1 2z ,z 2 2z 1 z 1 10i z 3 2 21 2z z .
111 i4 111 i 111 4i 44 i
z a bi a,b 2 2a bi 1 a bi 1 10i a bi 3
Chuyên Đề Số Phức
Vậy . Suy ra .
Câu 7. Biết là số phức thỏa mãn: thỏa mãn phương trình .
Tính .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Điều kiện . Gọi . Phương trình đã cho tương đương với:
Vậy hoặc . Suy ra: Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Tìm mô đun số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Giả sử
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 87
22
a 1b 22a a 1 02a a 1 2ab 3b 10 i 0 12ab 3b 10 0 a 2b 5
1z 1 2i, z 5i2 2 21 2
111z z i4
1 2z ,zz 10 4 3i1 i z
1 2
1 1z z
7 23i25 50 7 23i25 50
7 23i25 507 23i25 50
z 0 z a bi a,b
2 2
2 2
2
z.z 10 1 i 4 3i 1 i z a b 10 10i a 7b 7a b ia b 10 a 7b7a b 10
a 2 a 2,b 45a 19a 18 0 9a 9 13a ,b5b 10 7a 5 5b 10 7a
z 2 4i 9 13z i5 5
1 2
1 1 7 23iz z 25 50
2 iz z 2i 2z2 i 1 2i
1 2 2 2 2
2 iz z 2i 2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i
2 4i 2 i z 4 3i z 1
z a bi, a,b
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án B.
Câu 9. Tìm số phức z thỏa điều kiện:
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Phương trình trở thành :
Vậy z cần tìm là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 10. Tìm môđun số phức z thỏa điều kiện:
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình trở thành :
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 88
www.thuvienhoclieu.com
1 2 4i 2 i a bi 4 3i a bi2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1 z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1
z 1 i z 2
z z 1 i z z 2 3i 4 i.
1 1z i.2 2 1 1z i.2 2
1 1z i.2 2 1 1z i.2 2
z x yi z x yi, x,y
z z 2xz z 2yi
z z 1 i z z 2 3i 4 i
2x 1 i 2yi 2 3i 4 i 2x 2xi 4yi 6y 4 i1x2x 6y 4 22x 6y 2x 4y i 4 i 2x 4y 1 1y 2
1 1z i.2 2
i z zz z 4 6i.1 i 2 2i
z 101 z 10 z 1 z 11
z x yi z x yi, x,y
i z zz z 4 6i1 i 2 2i
22x 2yi 2x 2y4 6i 4 6i1 i 1 i2 1 i 2 1 i2x 1 i y 1 i 2x y 2x y i4 6i 4 6i21 i 1 i2x y 8 x 12x y 12 y 10
Chuyên Đề Số Phức
Vậy z cần tìm là Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Tìm Số số phức thỏa điều kiện: A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi ta có:
Kết luận . Vậy chọn đáp án B.
Câu 11. Biết là số phức thỏa điều kiện: Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Gọi , khi đó (*) trở thành:
Vậy . Vậy chọn đáp án C.
Câu 12 . Tìm số phức z thỏa điều kiện A.
B. C. D. Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Vậy Vậy chọn đáp án C.
Câu 13. Biết là các số phưc thỏa mãn điều kiện . Tìm
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 89
z 1 10i z 101.
i z zz z 4 6i1 i 2 2i
1 2 3 4
z a bi, a,b
2 2
2 23 a bi 4 a bi 1 a b 5 7i
a 0 a 1a b a 1b 1 b 17b 7
z i, z 1 i
z z1 i z 5 7i.1 i
1wz
1 1w i10 5 1 1w i10 5
1 1w i10 5 1 1w i10 5
z a bi a,b 2 a bi a bi 2 12i
a 2 a 2a 3bi 2 12i 3b 12 b 4
1 1z 2 4i w i10 5
z 2z 2 4i
w 1 2i 1 1w i3 5 2z 4i.3
1w 2i14
a) Ñaët z x yi z x-yi , x,y .
23x 2 xx yi 2 x yi 2 4i 3x-yi 2-4i 3y 4 y 4
2z 4i.3
1 2z ,z 2z 2z 0 1 2z z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Vậy Suy ra: . Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Tìm số số phức thỏa mãn điều kiện . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
Từ (2) hoặc
Với Suy ra hoặc hoặc
Với Suy ra
Vậy phương trình hoặc hoặc Vậy chọn đáp án B.
Cách khác: Ta giải phương trình hệ quả rồi thử lại.
Phương trình (1)
hoặc
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 90
www.thuvienhoclieu.com
1 21z z2
1 2z z 2 1 2z z 2 2 1 2z z 2
Ñaët z x yi z x-yi , x,y .
2 2 2 2
2 22 2
x y 2xyi 2 x yi 0 x y 2x 2xy 2y i 0x y 2x 0 *x y 2x 0y 02y x 1 0x 1
y 02 x 0x 2x 0 x 2
x 1 2y 3 y 3.
1 2z 3i, z 2 3i. 1 2z z 2
2z 2z 0
2 3 1 0
2 2 2z x yi, x,y R z x y 2xyi.
2 2 2 2 2z 2z 0 x y 2xyi 2 x y
2 2 2 2x y 2 x y 12xy 0 2
x 0 y 0.
2
2 2 22x 0, y 2y y 2y 2 y y 2 y1 y 2y 2y
z 0 z 2i z 2i.
y 0, 1 2 2 2x 2 x x 2 x 0 x 0.
z 0.
2z 2z 0 z 0 z 2i z 2i.
2z 2z 0 22 2z 2z z 2z z 2z
z 0 z 2.
Chuyên Đề Số Phức
Với
Với phương trình (1) Thử lại: Ta thế các giá trị của z vừa tìm được vào phương trình (1).
Với ta có phương trình (1) được nghiệm đúng.
Với ta có và
Vậy phương trình được nghiệm đúng.
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 14. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tính A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành:
Vậy số phức z cần tìm là: . Suy ra .Vậy chọn đáp án D.
Câu 15. Biết là các số phức thỏa điều kiện . Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 91
z 0 z 0.
z 2, 2 2 2 2z 4 0 z 4 z 4i z 2i.
z 0, 2z 0
z 2i, 22 2z 2i 4i 4 2z 2 2i 2.2 4.
2z 2z 0
1 2 3z 0,z 2i,z 2i.
1 2z ,z 22z z 1 0 1 2
1 1z z
i i 1 i 0
z x yi, x,y 22z z 1 0
2 2 2 2 2
22 2
x y 2xyi x y 1 0 2y 1 2xyi 0x 0x 0 y 02y 1 0 11 1 yy y2xy 0 2 2 2
1 1z i,z i2 2
1 2
1 1 0z z
1 2 3 4z ,z ,z ,z2z i i.z 1
1 2 3 4z z z z
3 2 3 2 3
z x yi, x,y 2 2z i i z i iz iz 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy số phức z cần tìm là: .
Suy ra .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 17. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tìm số phức có phần ảo âm
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt Phương trình
Từ
o Với Suy ra Vậy o Với
o Với
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 92
www.thuvienhoclieu.com
2 22 2 2
2 2
2 2
x y yx yi i x yi x y 2xyi y xi2xy x
1yx 0x y y 0 21 1x 2y 1 0 y y 0 x 04 2
1yx 0 x 0 2y 0 y 1 3x 2
3 1 3 1z 0,z i,z i,z i2 2 2 2
1 2 3 4z z z z 3
z2z i z 0 z
1z 1 i2
1 1z i2 2
1 1z i2 2
1z 1 i2
z x yi, x,y R 2 2 2 2 2z i z 0 x y 2xyi i x y
2 2
2 2
x y 0 1
2xy x y 2
1 y x.
2 22xy x, x2 2 x 0 y 0. z 0.y x:
2
2 2 22
x 02x x 2 12 2x 2x 2x x 2 x
22x x 21x2
x 0 y 0
Chuyên Đề Số Phức
o Với
o Với Vậy chọn đáp án C.
Câu 18. Biết là số phức thỏa điều kiện Tìm số phức có phần thực dương
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
o Với
Suy ra
o Với
(vô nghiệm)Vậy số phức z cần tìm là:
và Vậy chọn đáp án C.
Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 93
1 1x y2 2
1 1x y .2 2
z2iz z 1 0. z
22 5 2 5z i.4 4
2
2 3 2 3z i.2 2
22 10 2 10z i.4 4
2
2 5 2 5z i.2 2
z x yi, x,y R
2 2 2 2 2iz z 1 0 i(x y 2xyi) x y 1 0
2 2 2 2
2 2
2 22 2
( 2xy x y 1) x y i 0x y 1x y 0 x y
2xy x y 1 0 2xy x y 1 0 2
2 2 2x y : 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0
2 2 10 2 102 x x 2 1 0 x x4 4
2 10y x .4
2 2 2y x, 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0
22 x x 2 1 0
12 10 2 10z i4 4
2
2 10 2 10z i.4 4
2z z z z 1 1 i 2
z 1 i. z 1 i. z 1 i. z 1 i.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Đặt . Ta có :
Như vậy phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có 1 nghiệm Vậy chọn đáp án D.
Câu 20. Tìm số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Suy ra:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 21*. Số số phức z thỏa mãn . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Xét là nghiệm của phương trình
Xét . Đặt , từ giả thiết ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 94
www.thuvienhoclieu.com
z x yi, x,y
2z z 2x 2yi x yi x 3yi
z z 1 1 i 2 2x 1 1 i 2 2x 1 2x 1 i
x 2x 1 x 1x 3yi 2x 1 2x 1 i 3y 2x 1 y 1
z 1 i.
21 2i z z 4i 20
z 1 i. z 3 i. z 1 2i. z 4 3i.
z a bi, (a,b ) z a bi
21 2i z z 4i 20 2a 4b 4a 4b i 4i 20a 2b 10 a 4. Vaäy z 4 3i.a b 1 b 3
z 2z.z 1 z 2 6iz
1 2 0 z 4
z 0
z 0 2 2z a bi; a,b ,a b 0
2 2
2 2 3 2 2 3
z 3z 1 2z 6z z.i z.z 3z 1 2z .z 6z z z.i
z 3z 1 2z a bi 6z .i z . 3z 1 2az 6z 2bz i
2 2 22 2 2
23 2
z . 3z 1 4az . 3z 1 2az z . 3z 1 2a 3z b 06z 2bz 0 3z b 0 a 0,b 0
Chuyên Đề Số Phức
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có
Thế (3) vào(1), ta được: (do )
Vậy ta có hai số phức cần tìm là Vậy chọn đáp án B.
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Giả sử với và a, b không đồng thời bằng 0.
Khi đó
Khi đó phương trình
. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có , thế vào (1) ta có Với (loại)Với . Ta có số phức . Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Tìm số phức z biết . A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi Theo đề cho ta suy ra:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 95
2 2
2 2 2
b b 1 12a b b 1 12a 13z b 3a 3b b 2a 0,b 0 a 0,b 0
2 2 2 249a 4b a b 39
2 216 3 2b b b b a ,3 13 13 a 0,b 0
2 3z i.13 13
2 3z 0,z i.13 13
25z 8 6iz w iz 3
3 4i 5i 4i z 1 4i
z a bi a;b
2 21 1 a biz a bi; z a bi a b
2 2
25 a bi25z 8 6i a bi 8 6iz a b
2 2 2 2
2 2 2 2
a a b 25 8 a b 1
b a b 25 6 a b 2
3b a4
a 0 a 4
a 0 b 0
a 4 b 3 z 4 3i
z 2 3i z 1 9i
3 4i 1 5i z 2 i z 1 4i
z a bi a,b z a bi
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án C.
Câu 24. Tính mô- đun của số phức biết (i là đơn vị ảo).A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
a) Đặt , ta có
. Vậy mô-đun của số phức bằng .
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của z.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử . Ta có:
Vậy . Vậy chọn đáp án B.
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của z.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
cĐặt . Khi đó:
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 96
www.thuvienhoclieu.com
a 3b 1 a 2a bi 2 3i a bi 1 9i a 3b 3a 3b i 1 9i 3a 3b 9 b 1
z 2 i
z i z i z i 2iz
3 4i 1 5i z 2 i z 1 4i
z a bi, (a,b ) z i z i 2iz
2 2
2 2 22 2 2
z.z i z z 1 2iz a b 1 2ai 2b 2ai
a b 1 2b a b 2b 1 2 a b 1 22a 2a
22z i a b 1 i a b 1 2 z i 2
1 2i z 2 2i z i
12
53
15
13
z a bi, (a,b )
1 2i a bi 2 2i a bi i 3a 4b bi i43a 4b 0 a 3b 1 b 1
2 2 16 5z a b 19 3
2 z 1 3z i 5 i
2 2 2 2 4
z a bi, (a,b )
2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi 1 5i a 1 5 1 b i 0a 1 z 2b 1
Chuyên Đề Số Phức
Câu 27. Số số phức z thỏa và là số thực là: A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi Theo giả thiết ta có:
Vậy .Vậy chọn đáp án A.
Câu 28. Tìm nghịch đảo của số phức z, biết thỏa mãn và là số thuần ảo.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử thì Với hoặc , ta có:
Vì là số thuần ảo nên
Kết hợp ta có . Vậy số phức đó là .Vậy chọn đáp án C.
Câu 29. Tìm mo đun số phức z thỏa mãn và là số thực.A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Giả sử .
Suy ra .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 97
z 2 3z6 2 5 4
3 3 2 2 3z a bi, (a,b ) z a 3ab 3a b b i
2 2 22 22 22 3 2 22 2
b 0 b 0a b 4 a 4 a 2a b 2 b 0 a 1b 3a3a b b 0 b 3a b 3a 3a 4
z 2, z 2, z 1 3, z 1 3, z 1 3, z 1 3
z z 2i z 2 4i z iz i
1 5 i4 12 3 5 i17 17
3 5 i17 17 3 5i2 2
z a bi, (a,b ) z 2i z 2 4i a b 4 1
a 0 b 1
222
2 22 2
a b 1 2a b 1 ia b 1 ia b 1 iz ia b 1 iz i a b 1 a b 1
z iz i
22 a b 1a b 1 0 a 1 b
13 5a , b2 2
3 5z i2 2
z 22z 1 i
2 1 2 2 2
z a bi a,b
2 1 i2z a bi a 1 b 1 i1 i 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Từ giả thiết là số thực nên ta có .
Khi đó
Vậy số phức cần tìm là và . Từ đây suy ra .Vậy chọn đáp án
Câu 30. Tính mô-đun của số phức z, biết và z có phần thực dương.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử
Do . Thế vào (2) ta được:
Giải phương trình (3) ta được . Do nên .
Vậy . Vậy chọn đáp án D.
Câu 31. Tìm z thỏa mãn điều kiện :
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Vậy nghiệm của phương trình là: Vậy chọn đáp án A.
Câu 32. Tìm số số phức z thỏa mãn: .A. 5 B. 3 C. 4 D. 2Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 98
www.thuvienhoclieu.com
2z 1 i b 1
2z 2 a i 2 a 1 2 a 3.
z 3 i z 3 i z 2
3z 12i z
2 z 7 z 3 z 5
33z x yi, x,y . z 12i z x yi 12i x yi
3 23 2 2 3
2 3x 3xy x 1
x 3xy 3x y y 12 i x yi3x y y 12 y 2
2 2x 0 1 x 3y 1
2 3 33 3y 1 y y 12 y 2y y 3 0 3
2y 1 x 4 x 0 x 2
z 2 i z 5
4z i 1z i
z 0,z 1,z i. z 0,z 1 z i,z i z i,z 0
2
2
z i 1 (1)z iptz i 1 (2)z i
z 1 z 11 ii i (loaïi) z iz 1 z 1(1) ; (2)z 1 z 0 z 1 z 11 iz 1 z 1
z 0,z 1,z i.
4iz 2 7 24iz 3
Chuyên Đề Số Phức
Hướng dẫn giảiNhận xét: Nếu làm bằng cách gọi , thay vào và tính toán vế trái, rồi đồng nhất phần thực và phần ảo của 2 vế sẽ rất dài và dẫn tới hệ đẳng cấp bậc 4 rất cồng kềnh. Áp dụng cách tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay , ta có cách giải ngắn gọn:
Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
Lần lượt tay vừa tìm được vào công thức (*), ta tìm được:
. Vậy chọn đáp án C.
Câu 33. Biết là các số phức thỏa mãn và là số thuần
ảo. Tính .A. 51 B. 30 C. 41 D. 22
Hướng dẫn giải
Đặt
Do đó Như thế
Để là số thuần ảo thì
Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu đề toán là và
Vậy chọn đáp án D.
Câu 34. Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo.A. , B. ,B. , D. , , ,
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 99
z a bi
''
'iz 2 2 3zz z *z 3 z i
'z11 1 19 3 11 5 3z i; i; i;2 i2 2 10 10 4 4 2
1 2 3z ,z ,z z 3i 1 iz 9z z
2 2 21 2 3z z z
z x yi, x,y
2 22 2z 3i 1 iz x y 3 i 1 y ix x y 3 1 y x
2 2y 3 1 y y 2
z x 2i
2 2 2
9 x 2i9 9 9x 18z x 2i x 2i x 2 iz x 2i x 4 x 4 x 4
9z z 22x 0 x 09xx 0
x 5x 5x 4
z 2i, z 5 2i z 5 2i
z 5 2z i
z 2 i z 2 i z 2 i z 1 2i
z 2 i z 1 2i z 2 i z 2 i z 1 2i z 1 2i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Gọi Với hoặc Với hoặc Vậy chọn đáp án D.
Câu 35. Tìm số phức z có phần ảo âm, biết và số phức có phần ảo bằng 1. A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Vì ;
có phần ảo bằng 1 nên
Thay (2) vào (1) ta được:
Với
Với Vậy có hai số phức là và .Vậy chọn đáp án C.
Câu 36. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và là số thực.A. 5 B. 3 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Gọi
Có
w là số thực
Từ (2) có , thay vào (1) được phương trình:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 100
www.thuvienhoclieu.com
2 2 2
2 22 2a b 5 b b 2 0
z a bia b 1 0 a b 1
b 1 a 2 z 2 i z 2 i
b 2 a 1 z 1 2i z 1 2i
z 1 1 1 i z 1
z i z 2 i z 1 i z 3 i
z x yi x,y z x yi
2 2z 1 1 x 1 y 1 1
1 i z 1 x y 1 x y 1 i
1 i z 1 x y 1 1 x 1 y 1 2
2 2 2 y 0y 1 y 1 2y 2y 0 y 1
y 0 x 2 z 2
y 1 x 1 z 1 i
z 2 z 1 i
z 5z 7iz 1
2 2z x yi z 5 x y 25 1
2 22 2
x x 1 y y 7 xy x 1 y 7z 7iw iz 1 x 1 y x 1 y
xy x 1 y 7 0 2
7 x 1y *2x 1
Chuyên Đề Số Phức
Thay vào (*) tìm được y tương ứng từ đó tìm được các số phức: ;
; .
Câu 37. Tìm môđun số phức z biết là một số thuần ảo và
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Đặt . Khi đó:
u là số thuần ảo khi và chỉ khi:
Ta có:
Từ (1) và (2) ta có: . Vậy chọn đáp án B.
Câu 39. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 101
4 3 2 22x 2x 25x x 12 0 x 3 x 4 2x 1 0
2x 3;x 4;x 2
z 3 4i z 4 3i
2 7 2z i2 2
z 2 3iu z i
z 1 3i z 1 i
365z 5265z 5
215z 5235z 5
z x yi, x,y
22
2 2
22
x 2 y 3 i x y 1 ix 2 y 3 iu x y 1 i x y 1x y 2x 2y 3 2 2x y 1 i
x y 1
2 22 2
22x y 2x 2y 3 0 x 1 y 1 5 1x y 1 0 x;y 0;1
2 2 2 2z 1 3i z 1 i x 1 y 3 x 1 y 1x 2y 2 0 2
3 16 265x;y ; z5 5 5
z 1 2i 2
2 4z 1 2 i5 5
2 4z 1 2 i5 5
2 4z 1 2 i5 5
2 4z 1 2 i5 5
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Gọi ; Gọi là điểm biểu diễn số phức .
Ta có :
Đường tròn có tâm I(1;2). Đường thẳng OI có phương trình Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
hoặc
Chọn nên số phức
Vậy chọn đáp án C.
Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của .
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giảiGiả sử . Từ giả thiết:
Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm bán kính . Gọi M là điểm biểu diễn của z, ta có:
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 102
www.thuvienhoclieu.com
z x yi, x,y M x;y
z 1 2i 2 2 2x 1 y 2 4
2 2x 1 2C : y 4
y 2x
2 2y 2xx 1 y 2 4
2x 15
2x 15
2x 15
4y 25
2 4z 1 2 i5 5
z 2 i 2z 1 i
z
min maxz 10 3; z 10 3 min maxz 10 3; z 10 3
min maxz 10 3; z 10 3 min maxz 10 3; z 10 3
z x yi
z 2 i 2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 iz 1 i
2 2 2 2 22x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 3 10
I 0; 3 R 10
IM IO OM IM IO 10 3 OM 10 3
min maxmin maxz OM 10 3; z OM 10 3
Chuyên Đề Số Phức
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ
nhất của .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giảiGiả sử .
Từ giả thiết:
Ta có
Tập hợp biểu diễn của z là đường thẳng . Gọi M là điểm biểu diễn của z.
Tìm được . Suy ra: . Vậy chọn đáp án B. CHỦ ĐỀ 6. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC
BÀI TOÁN 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT SỐ PHỨCI. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau đây với ẩn z:
a) b) Giải
a) Ta có:
Vậy số phức z cần tìm là: b) Ta có:
Vậy số phức z cần tìm là: Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 103
z 3 i z 1 3i
z
minz 2 minz 2 2 minz 2min
2z 2
z x yi
w z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i
2 2x y 4x 4y 6 2 x y 4 i
w x y 4 0
d :x y 4 0
minminz OM OM d
M 2;2 z 2 2i minz 2 2
2 i z z 2i 1; 1 i z 2i 2 i.
2 i z z 2i 1 z 2 i 1 1 2i z 1 i 1 2i
2
21 2i 1 i1 2i 1 2i i 2i 1 3i 1 3z z i.1 i 1 1 2 21 i 1 i 1 i
1 3z i.2 2
2 i 1 i2 i1 i z 2i 2 i z 2i z 2i1 i 1 i 1 i
2
22 i 3i 1 3i 1 7z 2i z 2i z i.2 2 21 i
1 7z i.2 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau đây với ẩn z:
a) b) Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau đây với ẩn z:
Giải
a) Ta có
b) Ta có
Ví dụ 4. Giải phương trình sau: Giải
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 5. a) Cho số phức z thỏa mãn . Tính mô-đun của số phức .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 104
www.thuvienhoclieu.com
2i 1 3i 1z ;i 2 i 3
2 3
z 5i 2 .2i i 12i 1
2i 1 3i 1 3i 1 2i 1 3i 1 i 2z x : . 1i 2 i 3 i 3 i 2 i 3 2i 1
22i 1 3 4i; 3 2i i.i i
2
25i 2 2i 1z 5i 2 37 9z ii 1 i 1 2 22i 1
a) 5 4i z 3 2i 4 i ; b) z 2 i 3i z 1 3i .
3 2i 4 i 14 5i 50 815 4i z 3 2i 4 i z i5 4i 5 4i 41 41
2z 2 i 3i z 1 3i i.z 2i 3i 9i z 3iz9 i 13 351 4i z 9 i z i1 4i 17 17
2iz 3 z 5i z 3 6i 0.
2iz 3 0
2iz 3 z 5i z 3 6i 0 z 5i 0z 3 6i 0
3 3z z i2i 2z 5i z 5i
z 3 6iz 3 6i
3z i, z 5i, z 3 6i.2
1 i z 2z 2
w z 2 3i
Chuyên Đề Số Phức
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm mô-đun của số phức
. Giải
a) Đặt . Theo đề ra ta có: nên .Khi đó .
Vậy .
b) Ta có:
.
Khi đó:
b) Ta có:
.
Từ đó . Suy ra .
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của z.
Giải
Cách 1. Đặt , khi đó . Theo bài ra ta có:
Cách 2. Ta có:
Suy ra: II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Giải phương trình
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 105
1 i2 i z 5 i1 i
2w 1 z z
z a bi (a,b )
3a b 2 a 1a b 0 b 1
z 1 i
w z 2 3i 1 i 2 3i 3 4i
2 2w 3 4 5
1 i2 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i1 i
2w z z 5 5i w 5 2.
1 i 52 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i1 i 2 i
2w 1 z z 6 5i w 36 25 61
2 i 1 i z 4 2i
z a bi, (a,b ) z a bi
2 2
a 3 4 a 12 i 1 i z 4 2i a 3 1 b i 4 2i 1 b 2 b 3z 1 3i z 1 3 10.
2 i 1 i z 4 2i z 4 2i 2 i 1 i 1 3i
z 1 3i z 10
2 3i z z 1.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Giải phương trình .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy Vậy chọn đáp án B.
Câu 2. Giải phương trình
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Điều kiện: . Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành:
Vậy z cần tìm là: . Vậy chọn đáp án D.Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 106
www.thuvienhoclieu.com
1 3z i.10 10 1 3z i.10 10
1 3z i.10 10 1 3z i.10 10
2 21 3i1 1 32 3i z z 1 2 3i 1 z 1 1 3i z 1 z i.1 3i 10 101 3
2 i z 4 0
1 3z i.5 5 8 4z i.5 5
5 3z i.10 10 1 3z i.13 13
2 2
4 2 i4 8 42 i z 4 0 z i.2 i 5 52 1
8 4z i.5 5
2 i 1 3iz .1 i 2 i
1 3z i.5 5 8 4z i.5 5
22 4z i.25 25 1 3z i.13 13
2 i 1 3i 1 3 1 7 1 7 1 3 22 4z i z i z i : i z i.1 i 2 i 2 2 5 5 5 5 2 2 25 25
2z 1 1 iz i
1 3z i.5 5 1 4z i.5 5
1 1z i.2 2 1 1z i2 2
z i
2
2
2z 1 1 i 2z 1 1 i z i 2z 1 1 i z i iz ii 1 ii i i 1 12 1 i z i 1 1 1 i z i z z i.1 i 1 i 2 21 i 1 i
1 1z i2 2
Chuyên Đề Số Phức
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Điều kiện: Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình: .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Giải (1): Giải (2):
Vậy phương trình có 2 nghiệm là và . Vậy chọn đáp án C.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: Ta có: .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 107
i 1 1 .z 2 i 3 6i
1 3z i.7 7 2 4z i.3 3
3 21z i.10 10 3 5z i2 2
z 0
i 1 1 i 1 1 i 2 i 1 2iz 2 i 3 6i z 2 i z 4 13 1 2i 3 1 2i 1 2i
3 2 ii 2 i 1 2i i 1 2i i 7 iz 5 z 15 15 z 153 1 4
15i 7 i15i 15 105i 3 21z z i.7 i 49 1 10 107 i 7 i
11 2i z 2 i iz 0i
z 1,z i z 1,z i z i,z i z i,z 1
1iz 0 (1)1 i1 2i z 2 i iz 0i 1 2i z 2 i 0 (2)
2(1) i z 1 0 z 1 0 z 1
2 i 1 2i2 i 2 2 i 4i(2) z z z i z i1 2i 1 41 2i 1 2i
z i z i
37 i 3 i
2z 12i 1
z 1 z i z i z 2
1z .2 32i 1 11 2i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy chọn đáp án D.
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của số phức .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Nên .. Vậy .Vậy chọn đáp án A.
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của z.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có: Vậy chọn đáp án C.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 108
www.thuvienhoclieu.com
33
3
7 i 3 i 7 i 2z 1 2i 1 3 i2z 12i 1
2i 1 3 i 11 2i 3 i2z 1 5 z 2.7 i 7 i
22 i z 2z 1 .10 5i3 i
z 2i z i 1 z i z 2 i
22
2 2
2 2
2 i z 2z 1 2 i z 10 5i 2z 1 3 i10 5i3 i
2 i 10 5i 10 5i z 2 3 i z 3 i
10 5i 2 3 i z 3 i 2 i 10 5i
26 7i z 7 26i z i.
z 5i 2i 3z 2 i
z 2i
4 2 2 2 2 3 2
z 5i 4 12i2i 3 z 5i 3 2i z 2 i z 4 2iz 2 i 2 2i
z 2i 4 4i z 2i 4 2
1 3i1 2i z 2 i1 i
3 2 2 2 3 2
1 3i 1 71 2i z 2 i z i z 21 i 5 5
Chuyên Đề Số Phức
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 109
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
BÀI TOÁN 2. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAIPhương pháp1. Ta nhắc lại căn bậc hai của số phức
Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn được gọi là một căn
bậc hai của w. Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình a) Trường hợp w là số thực
Căn bậc hai của 0 là 0. Xét số thực
Khi , ta có
Phương trình hoặc
Vậy số thực a dương có hai căc bậc hai là và
Khi , ta có
Phương trình hoặc
Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là và
Ví dụ: -1 có hai căn bậc hai là i và –i.
có hai căn bậc hai là ai và –ai.
b) Trường hợp
Đặt ,
z là căn bậc hai của w
Giải hệ phương trình này, ta luôn tính được hai nghiệm
Mỗi nghiệm (x;y) của hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai của số phức Kĩ thuật MTCT tìm căn bậc hai của số phức
Giả sử ta cần tìm căn bậc hai số phức
Bước 1: Nhập vào màn hình và ấn phím {lưu lại số phức }
Bước 2: Nhập vào màn hình rồi ấn phím
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 110
www.thuvienhoclieu.com
2z w
2z w 0.
w a 0
a 0 2z a z a z a .
2z a 0 z a z a.
a a.
a 0 2 2 2z a z ai z ai z ai .
2z a 0 z ai z ai.
ai ai.
21 i
2 2 2a a .i 2a
w a bi a,b R,b 0
z x yi x,y R
22 2 2z w x yi a bi x y 2xyi a bi
2 2x y a.2xy b
x;y .
z x yi
w a bi.
z a bi, a,b
a bi a bi
arg AnsAns 2
Chuyên Đề Số Phức
Bước 3: Ấn phím nếu màn hình không hiển thị đầy đủ. Lúc này máy sẽ hiển thị số phức dạng
Bước 4: Kết luận căn bậc hai cần tìm là Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức
Hướng dẫn thực hành Bước 1: Nhập vào màn hình và
ấn phím
Bước 2: Nhập vào màn hình
rồi ấn phím ta được kết quả là
Bước 3: Bỏ qua vì màn hình đã hiển thị
Bước 4: Kết luận căn bậc hai cần tìm là
2. Phương trình bậc hai
Xét phương trình: (A,B,C là số phức ) (1)
Ta có
Nếu có 2 căn bậc hai là và , phương trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt là: và
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép Chú ý:
Ta chứng minh được với mọi phương trình bậc hai hệ số thực, nếu
và là một nghiệm thì cũng là nghiệm của phương trình đó.
Do tính chất của phép nhân số phức, định lí Vi-et vẫn đúng cho phương trình bậc hai với ẩn Do đó các cách tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai vẫn áp dụng được.
Chẳng hạn:
;
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 111
S D
i
i
z 5 12i
5 12i
arg AnsAns 2
2 3i
2 3i
2 3i
2Az Bz C 0 A 0
2B 4AC.
0,
1Bz 2A
2
Bz .2A
0, 1 2Bz z .2A
z x yi
x,y R y 0 z x yi
z C.
CA B C 0 z 1,z A CA B C 0 z 1,z .A
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ PHỨC
Bước 1: Ghi vào màn hình Bước 2: Ấn CALC và khai báo các hệ số
Ví dụ: Giải phương trình Dùng MTCT
Vậy hai nghiệm của phương trình là:
I. MỘT SỐ VÍ SỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức
Giải
a) Gọi z là căn bậc hai của , ta có:
hoặc Vây -9 có hai căn bậc hai là 3i và -3i.
b) Gọi là căn bậc hai của 3+4i, ta có:
Từ (2) và thay vào (1) ta được:
Với
Vậy có hai căn bậc hai là và Dùng MTCT
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 112
www.thuvienhoclieu.com
2 arg D B E B ED B 4AC:E D :X :Y2 2A 2A
2z 2 1 2i z 7 4i 0;
z 1 2i,z 3 2i
1a) 9; b)3 4i; c)1 3i; d) .4i
92 2 2z 9 z 9i z 3i z 3i.
z x yi, x,y R
22 2 2
2 22 2
z 3 4i x yi 3 4i x y 2xyi 3 4ix y 3 1x y 3
2xy 4 xy 2 2
x 0 2y x
22 4 2
2 2x 1 loaïi41 x 3 x 3x 4 0
x x 4
2 x 2 y 1x 4 x 2 y 1
3 4i 2 i 2 i .
Chuyên Đề Số Phức
Vậy có hai căn bậc hai là và
c) Gọi , là căn bậc hai của Lúc đó:
Từ (2) và thay vào phương trình (1) ta được
Với
Với
Vậy có hai căn bậc hai của là và Dùng MTCT
Vậy có hai căn bậc hai của là và
d) Gọi là căn bậc hai của Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 113
3 4i 2 i 2 i .
z x yi x,y R 1 3i
2 22 2 2 x y 1 1
x yi 1 3i x y 2xyi 1 3i2xy 3 2
x 0 3y 2x
2
2 4 22 2
1x loaïi3 321 x 1 4x 4x 3 0 x .234x x 2
3 3 2x y 2x 22
3 3 2x y .2x 22
1 3i6 2z i2 2
6 2 i.2 2
1 3i6 2z i2 2
6 2 i.2 2
z x yi, x,y R 14i
222 2 2
2 2
2 442
2
1 i iz x yi x y 2xyi4i 4i 41 11y yx y 0 y8x 8x8x1 1 12xy x 0 x64x 1 04 6464x
1 1 2 1 21 x x xy 4 48x 2 2 2 2 2 2 hoaëc1 1 2 2x y y y .8 8x 4 4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy có hai căn bậc hai là và Dùng MTCT
Vậy có hai căn bậc hai là và Nhận xét: Mọi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
Ví dụ 2. a) Tìm số phức thỏa mãn:
b) Tìm số phức thỏa mãn: Giải
a) Đặt , ta có:
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với
Với
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là
b) Ta có và
Suy ra:
Theo kết quả trên ta có hoặc
Đặt
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 114
www.thuvienhoclieu.com
14i
2 2z i4 4 2 2z i .4 4
14i
2 2z i4 4 2 2z i .4 4
z 2z 164 48 5i
w 4w 164 48 5i
z x yi, x,y R
22
2 2
2 2
z 164 48 5i x yi 164 48 5ix y 2xyi 164 48 5ix y 164 1xy 24 5 2
x 0 24 5y x
2 2
2 4 22
x 18024 51 x 164 x 164x 2880 0 x 4x x 16
x 4 y 6 5.
x 4 y 6 5.
2z 164 48 5i
z 4 6 5i, z 4 6 5i.
2z 164 48 5i 4w 164 48 5i
4 2 2 2 2w z w z w z 0 w z.
2z 4 6 5i w 4 6 5i 2w 4 6 5i.
w x yi, x,y R .
Chuyên Đề Số Phức
Trường hợp 1: Với ta có
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với
Với
Vậy
Trường hợp 2: Với ta có
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với
Với
Vậy
Kết luận: Có 4 số phức w thỏa mãn là:
,
Ví dụ 3. a) Tìm số phức z thỏa mãn
b) Tìm số phức z thỏa mãn
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 115
2w 4 6 5i 2x yi 4 6 5i
2 22 2 x y 4 1
x y 2xyi 4 6 5i2xy 6 5 2
x 0 3 5y x
2 22 4 2
2x 53 5x 4 x 4x 45 0 x 3x x 9
3 5ix 3 y 5x
3 5ix 3 y 5.x
w 3 5i .
2w 4 6 5i, 2x yi 4 6 5i
2 22 2 x y 4 1
x y 2xyi 4 6 5i2xy 6 5 2
x 0 3 5y x
2 22 4 2
2x 93 5x 4 x 4x 45 0 x 5x x 5
3 5x 5 y 3x
3 5x 5 y 3.x
w 5 3i .
4w 164 48 5i
w 3 5i w 5 3i .
4z 1;
4z 1 1.z i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Giải
a) Ta có:
Với ta đặt ta có:
Từ (2) và thay vào (1) ta được
o Với
o Với
Vậy
Kết luận: b) Theo kết quả câu a ta có:
Xét 4 trường hợp:
Trường hợp 1:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 116
www.thuvienhoclieu.com
4 4 2 2 2 2z 1 z i z i z i 0 z i.
2z i, z x yi, x,y R
2 22 2 2 x y 0 1x yi i x y 2xyi i2xy 1 2
x 0 1y 2x
2 4 22
1 1 1 1x x x x .4 2 24x
1 1 1x y .2x2 2
1 1 1x y .2x2 2
1 1z i .2 2
4
1 1z i2 2z 11 1z i .2 2
4z 1 1 iz iz 1 2 21 .z i z 1 1 iz i 2 2
Chuyên Đề Số Phức
Trường hợp 2:
Trường hợp 3:
Trường hợp 4:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 117
2
2
z 1 1 i 2z 2 1 i z i 2z 2 z i iz 1z i 2 22 1 i 2 1 i2 1 i2 1 i z 2 1 i z
2 1 i 2 1 i 2 1 i
2 1 1 2 2 1 i 2 2 2 2 2 1 i 1 2 2 1 iz
4 2 2 2 22 1 1
1 2 2 1 i 1 iz z .2 22 2 1
2
2 2 2
2
z 1 1 i( ) 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i 2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i
2 1 i 2 1 i 2 2 1 i2 1 iz2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 1
2 2 2 2 2 1 i 2 1 2 1 i 2 1 2 1 iz
4 2 2 2 2 2 2 11 iz .2 2
2
2
z 1 1 1 i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i 2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i
2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 12 1 iz2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 12 2i 1 i 1 iz z .
4 2 2 2 2 2 2 2 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Kết luận:
hoặc hoặc
hoặc .Ví dụ 4. Giải các phương trình bậc hai sau đây:
a) b)
c) d) Giải
a) Phương trình: có các hệ số nên phương trình
có hai nghiệm là
b) Phương trình
(chú ý là )
c) Phương trình
d) Phương trình có:
Phương trình có hai nghiệm là MTCT
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 118
www.thuvienhoclieu.com
2
2
z 1 1 1 i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i 2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i
2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 12 1 iz2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 12 2i 1 i 1 iz z .
4 2 2 2 2 2 2 2 2
4z 1 1 i1 zz i 2 2
1 iz2 2
1 iz
2 2 2 2
1 iz2 2 2 2
2z 4z 5 0; 2z 8z 16 2i 0;
22z 1 9 0; 2 25z 3z 0.4
2z 4z 5 0 A B C 1 4 5 0
1 2z 1,z 5.
22z 8z 16 2i 0 z 4 2i
2 2z 4 1 i 2 21 i 1 i 2i 1 1 2i 2i
z 4 1 i z 5 iz 4 1 i z 3 i
2 2 2 22z 1 9 0 2z 1 9 2z 1 3i
1 3z i2z i 3i 2 22z i 3i 1 3z i2 2
2 25z 3z 04
22 253 4. 0 16 4i .4 3 4iz .2
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 5. Giải các phương trình bậc hai hệ số phức sau đây:
a) b)
c) ; d) Giải
a) Phương trình có:
Đặt
Ta có
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với ; Với Vậy
Phương trình có hai nghiệm là Lời bình: Việc tìm căn bậc hai của số phức ta dùng MTCT cho nhanh
b) Phương trình có:
Phương trình có hai nghiệm là:
c) Phương trình có:
Đặt
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 119
2z 7z 11 3i 0; 2z 2 1 2i z 7 4i 0;
2z 2 2 i z 6 8i 0 2z 2 i z i 1 0.
2z 7z 11 3i 0 49 44 12i 5 12i
2x yi , x,y R .
2 22 x y 5 1x yi 5 12i2xy 12 2
x 0 6y x
2
2 4 22 2
x 4 x 3361 x 5 x 5x 36 0 x 3x x 9
x 3 y 2 x 3 y 2. 23 2i .
1 27 3 2i 7 2 2iz 5 i, z 2 i.2 2
5 12i
2z 2 1 2i z 7 4i 0
2' 1 2i 7 4i 1 4 4i 7 4i 4.
1 2z 1 2i 2 1 2i, z 1 2i 2 3 2i.
2z 2 2 i z 6 8i 0
2' 2 i 6 8i 4 1 4i 6 8i 3 4i.
2 22 x y 3, 13 4i x yi , x,y R2xy 4, 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Từ (2) và thay vào (1) ta được:
Với ; Với Vậy
Phương trình có nhiệm là:
d) Phương trình có các hệ số thỏa mãn
Suy ra phương trình có hai nghiệm là Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức :
b) Giải
a) Điều kiện
Phương trình cho tương đương với: hay
Cách 1: Phương trình này có biệt số
hoặc
Cách 2: Gọi là căn bậc hai của , khi đó hay
suy ra
hoặc
b) Ta có:
Phương trình có hai nghiệm là: và Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
Giải
a) Phương trình đã cho trở thành
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 120
www.thuvienhoclieu.com
x 0 2y x
2
2 4 22 2
x 441 x 3 x 3x 4 0 x 1.x x 1
x 1 y 2 x 1 y 2. 2' 3 4i 1 2i .
1 2z 2 i 1 2i 3 i,z 2 i 1 2i 1 3i.
2z 2 i z i 1 0
a b c 1 2 i i 1 0.
1 2z 1,z 1 i.
4z 3 7ia) z 2i.z i
2z 1 i z 6 3i 0
z i
4z 3 7i z i z 2i
2z 4 3i z 1 7i 0 *
223 4i i 4i 4 i 2
* z 1 2i z 3 i
x yi x,y 2x yi 3 4i
2 2x y 2xyi 3 4i
2 2x y 3 x,y 2;1 , 2;12xy 4
* z 1 2i z 3 i
2 21 i 4 6 3i 24 10i 1 5i
z 1 2i z 3i.
2 22 2 2 2 2a) z z 4 z z 12 0; b) z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0.
2Ñaëtt z z.
Chuyên Đề Số Phức
Với
Với
Vậy nghiệm của phương trình là: b) Cách 1. Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cách 2. Đặt . Phương trình đã cho trở thành
.
Ta có:
Phương trình (*) có hai nghiệm:
Với
Với Ví dụ 8. a) Hãy giải phương trình sau trên tập hợp số phức
.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 121
22
2t 6 z z 6 0t 4t 12 0 t 2 z z 2 0
2
1 23z i2 2z z 6 0
1 23z i2 2
2 z 1z z 2 0 z 2
1 23 1 23z i, z i, z 1, z 2.2 2 2 2
22 2 2
22 2 2 2
2 22 22 2
2 2
2
2
z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0
z 3z 6 2z z 3z 6 z 4z 0
z 3z 6 z 2z 0 z 4z 6 2z 0
z 4z 6 2z z 4z 6 2z 0
z 2z 6 0 z 1 5iz 3 3z 6z 6 0
z 1 5i, z 3 3.
2t z 3z 6
2 2t 2zt 3z 0 *
2 22 2' 2z 3z 4z 2z
t z 2z, t z 2z.
2 2 z 1 5it z 2z z 3z 6 z 2z z 2z 6 0z 1 5i
2 2 z 3 3t z 2z z 3z 6 z 2z z 6z 6 0 .z 3 3
2 2 2z i z i 5z 5 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
b) Giải phương trình: Giải
a) Viết lại phương trình về dạng:
Khai triển, rút gọn, nhân tử hóa Giải các phương trình, thu được và rồi kết luận.
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
Vậy phương trình có các nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm hoặc
Ví dụ 9. a) Gọi là hai nghiệm của của phương trình bậc hai hệ số phức
Chứng minh rằng: và
Áp dụng 1: Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm là
Tính B vá C.
b) Cho hai số phức có tổng và tích Chứng minh rằng và
là hai nghiệm của phương trình bậc hai Áp dụng 2: Tìm hai số phức có tổng bằng 4 và tích bằng
Giải
a) Phương trình có Gọi là một căn bậc hai của
Phương trình có hai nghiệm là: Ta có :
và
Áp dụng 1: có hai nghiệm là Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 122
www.thuvienhoclieu.com
2z z z 3 z 2 10, z
22 2z 1 5z 5 0
2 2z 1 z 4 0
z i z 2
2 2b) PT z z 2 z 1 z 3 10 z 2z z 2z 3 10
2t z 2z 2t 3t 10 0
z 1 it 2t 5 z 1 6
z 1 6; z 1 i
z 1 2i z 3 i
1 2z ,z
2Az Bz C 0, A 0 . 1 2Bz z A
1 2
Cz .z .A
21 i z Bz C 0
1 2z 2,z 1 2i.
1 2z z S 1 2z .z P. 1z 2z2z Sz P 0.
4 2i.
2Az Bz C 0 2B 4AC. .
1 2B Bz ,z .2A 2A
1 2B B Bz z 2A 2A A
2 22 2
1 2 2 2B B 4ACBB B Cz .z . .2A 2A A4A 4A
21 i z Bz C 0 1 2z 2,z 1 2i.
Chuyên Đề Số Phức
Áp dụng kết quả trên ta có:
Từ (1)
Từ (2) Vậy và
b) Hiển nhiên là hai nghiệm của phương trình bậc hai
Áp dụng 2: Gọi hai số phức phải tìm là và Theo giả thiết ta có
và
Do đó và là hai nghiệm của phương trình bậc hai hay
Phương trình trên tương đương với:
Vậy phương trình
có hai nghiệm là
Ví dụ 10. Cho phương trình bậc hai hệ số thực (1), với
a) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm thực thì nghiệm còn
lại cũng là số thực.
b) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm thực không là số
thực thì cũng là một nghiệm.Áp dụng: Tìm phương trình bậc hai hệ số thực biết phương trình có 1 nghiệm là
.Giải
a) Ta biết rằng phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm là và
Theo công thức Vi-et ta có
Vì nên và ta cũng có Vậy
b) Ta có là nghiệm của phương trình nên:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 123
1 2
1 2
B Bz z 2 1 2i 1A 1 iC Cz .z 2. 1 2i 2A 1 i
2B 1 i 3 2i 3 2i 2i 3i 5 i
2C 1 i 2 4i 2 4i 2i 4i 6 2i.
B 5 i C 6 2i.
1 2z ,z
2 21 2 1 2 1 2z z z z 0 z z z z z .z 0 z Sz P 0.
1z 2z .
1 2S z z 4 1 2P z .z 4 2i.
1z 2z 2z Bz P 0
2z 4z 4 2i 0. 2z 2 2i
2 2z 2 1 i z 2 1 i z 2 1 i 3 i,z 2 1 i 1 i.
1 2z 3 i,z 1 i.
2Az Bz C 0 A 0.
1z
2z
0z
0z
2 i
2Az Bz C 0 1z
2z . 1 2Bz z A
A,BB
A
1z . 2z .
0z 2Az Bz C 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
( Vì liên hiệp của số thực là chính số thực đó
suy ra
Vậy cũng là nghiệm của phương trình .Áp dụng: Theo chứng minh trên, phương trình bậc hai hệ số thực có 1 nghiệm là
thì nghiệm kia là
Ta có và
Vậy là hai nghiệm của phương trình bâc hai: hay
Ví dụ 11. Biết là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính:
Giải
Theo định lý Vi-et ta có:
Do đó:
Ví dụ 12. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình ; M, N lần
lượt là các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 124
www.thuvienhoclieu.com
2 20 0 0 0Az Bz C 0 Az Bz C 0
20 0A z Bz C 0
0z 2Az Bz C 0
1z 2 i 2z 2 i.
1 2S z z 2 i 2 i 4 2 21 2P z .z 2 i 2 i 2 i 4 1 5.
1 2z ,z 2z Sz P 0 2z 4z 5 0.
1 2z ,z 22z 3iz 3i 1 0
2 2 3 3 4 4 1 21 2 1 2 1 2
2 1
z za)z z ; b)z z ; c)z z ; d) .z z
1 2
1 2
3z z i21 3iz .z 2
22 21 2 1 2 1 2
33 31 2 1 2 1 2 1 2
22 2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22 21 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2
6 3a) z z z z 2z z 1 i23 3 7 3b) z z z z 2z z z z i2 8
c) z z z z z z 2z z z z 2z z 2z z
31 15i16 2z z 2z zz z z z 43 9d) i.z z z z z z 20 20
1 2z , z 2z 4z 9 0
1 2z , z
Chuyên Đề Số Phức
Phương trình đã cho có nên có hai nghiệm .
Từ đó .
Đáp số: .
Ví dụ 13. a) Giải phương trình:
b) Tìm số phức B để phương trình bậc có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Giảia) Ta có
Giải (1): Ta có
Giải (2):
Vậy nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 14. a) Tìm để phương trình nhận số phức làm nghiệm. b) Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức là nghiệm của phương
trình .Giải
a) Theo đề, ta có:
b) Tính .
Suy ra
Từ đó, có hệ
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 125
2' 4 9 5 5i 1;2z 2 i 5
M 2; 5 , N 2; 5 MN 2 5
MN 2 5
2 2z i z 2iz 1 0
2z Bz 3i 0
22 2
2z i 0 1
z i z 2iz 1 0z 2iz 1 0 2
12
2
2 2z i2 2z i2 2z i2 2
22z 2iz 1 0 z i 0 z i
1 22 2 2 2z i, z i, z i2 2 2 2
a,b 2z az b 0 z 1 i
z 2 3i
2z az b 0
2 21 i a 1 i b 0 1 2i i a ai b 0
a 2 0 a 2a 2 i a b 0 a b 0 b 2
2z 1 6i, az 2a 3a i
2z az b 2a b 1 3a 6 i
2a b 1 0 a 23a 6 0 b 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 15. Tính mô-đun của số phức , biết số phức
là nghiệm của phương trình .Giải
Ta có:
Vì là nghiệm của phương trình nên:
Ta có
Ví dụ 16. Cho phương trình , với a là tham số. Tìm
để (1) có hai nghiệm thỏa mãn là số ảo, trong đó là số phức có phần ảo dương.
Giải
Từ giả thiết suy ra không phải là số thực. Do đó , hay
Suy ra
Ta có là số ảo là số ảo
Đối chiếu với điều kiện (*) ta có giá trị của a là .
Ví dụ 17. a) Tìm để phương trình có hai nghiệm
phân biệt thỏa mãn .
b) Gọi là hai nghiệm phức phân biệt của phương trình
Tìm số phức m sao cho .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 126
www.thuvienhoclieu.com
w b ci b,c
8
71 i 1 2i
1 i
2z bz c 0
4
0 32i 1 2i 2 1 2i 1 iz 3 i2i2i 1 i
0z 2z bz c 0
2 8 3b c 0 b 63 i b 3 i c 0 w 6 10i6 b 0 c 10
2 2w 10 6 2 34
28z 4 a 1 z 4a 1 0 1
a 1 2z , z12
zz 2z
1 2z , z ' 0
2 2 24 a 1 8 4a 1 0 4 a 6a 1 0 a 6a 1 0 *
2 2
1 2 1a 1 a 6a 1 i a 1 a 6a 1 i
z , z z4 4
12
zz 2
1z
2 2 2 a 0a 1 a 6a 1 0 a 2a 0 a 2
a 0, a 2
m 2 24z 4 m 1 z m 3m 0
1 2z ,z 1 2z z 10
1 2z ,z 2z m 4i z 1 7i 0
1 22 1
z z 3 iz z 2
Chuyên Đề Số Phức
c) Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: có tổng bình phương hai nghiệm bằng .
Giải
a) là nghiệm của phương trình: nên nếu gọi
với
Giả thiết cho:
Mặt khác theo Viet ta có :
hoặc
b) Xét phương trình . Ta có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Vi-ét, ta có
Mặt khác
c) Giả sử là nghiệm của phương trình đã cho và với .
Theo bài toán ta có: Suy ra dẫn tới hệ:
hoặc II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có: Phương trình đã cho có hai nghiệm là:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 127
2z mz i 0
4i
1 2z ,z 2 24z 4 m 1 z m 3m 0
1 2z a bi z a bi a,b
2 21 2 1 2z z 10 z z 10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10a b a b 2 a b 10 4 a b a b 4
2 2 21 2
m 3m m 3m 10z .z hay m 3m m 24 4 4
m 5
2z m 4i z 1 7i 0 1 2m 4i 4 7i 1
1 20 m 4i 4 7i 1 0
1 2 1 2z z m 4i;z .z 1 7i
2 21 2 1 22 1 1 2
z z z z3 i 3 iz z 2 z .z 2
1 2z ,z m a bi a,b
2 21 2z z 4i 2m 2i
2 2a b 0 m 1 i2ab 2
m 1 i
2z 2z 5 0
1 2 z -1 2i; z -1-2i. 1 2 z -1 2i; z -1-2i.
1 2 z 1 2i; z -1 2i. 1 2 z -1 2i; z -1 2i.
2' 4 4i . 1 2 z -1 2i; z -1-2i.
2z 1 3i z 2 1 i 0
1 2 z 2i; z -1-i. 1 2 z 2i; z -1 i.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
C. D. Hướng dẫn giải
Ta có: . Phương trình đã cho có hai nghiệm là:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình .A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có: . Ta tìm căn bậc hai của
Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 128
www.thuvienhoclieu.com
1 2 z 1 2i; z -1 2i. 1 2 z -1 2i; z i.
22i 1 i
1 21 3i 1 i 1 3i 1 iz 2i; z 1 i.2 2
2z 2 2 i z 7 4i 0
1 2 z 1 2i; z -1-i. 1 2 z 1 2i; z -1 i.
1 2 z 1 2i; z -1 3i. 1 2z 2 i, z 2 3i.
2 2' 2 i 7 4i 4 4i
1 2z 2 i, z 2 3i.
22iz 3z 4 i 0
1
1
1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 2
1 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2
1
1
1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 2
1 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2
1
1
1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 2
1 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2
1
1
1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 2
1 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2
' 9 8i 4 i 17 32i x yi
2
2 2 22256x 17x y 17 xx yi 17 32i162xy 32 y x
Chuyên Đề Số Phức
Từ đó, phương trình có hai nghiệm phức là:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Ta có
Suy raVậy chọn đáp án A.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có là một căn bậc hai của
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 129
2
17 1313x 217 1313x 2 17 1313x16 2y x 16y x
1
1
1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 2
1 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2
29z 12iz 11 9i 0
1 21 1 2 z 2i; z i.3 3 3 1 2
1 1 2 z 2i; z i.3 3 3
1 21 1 2 z 2i; z i.3 3 3 1 2
1 1 2 z 2i; z i.3 3 3
2 2' 6i 9 11 8i 135 72i 3 12i
1 2
6i 3 12i6i 3 12i 1 1 2z 2i;z i9 3 9 3 3
2z 2i 1 z 1 5i 0
1 2 z 1 2i; z -1 i. 1 2z i 1; z 2 3i
1 2 z 1 i; z -1 3i. 1 2z 2 i, z 2 3i.
2 2' 2i 1 4 1 5i 7 24i 3 4i 3 4i
1 2z i 1; z 2 3i
2iz 2 1 i z 4 0
1 2 z 1 2i; z -1 i. 1 2z 2; z 2i.
1 2 z 1 i; z -1 i. 1 2z 2 4i, z 2 4i.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: Vậy chọn đáp án B.
Câu 8. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: Vậy chọn đáp án D.
Câu 9. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: Vậy chọn đáp án C.
Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình: .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình: .
A. B.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 130
www.thuvienhoclieu.com
2 2' 1 i 4i 1 i
1 2z 2; z 2i.
2z 5 i z 8 i 0
1 2 z 1 3i; z -1 4i. 1 2z 2 2i; z 2 2i.
1 2 z 1 5i; z -2 5i. 1 2z 2 i; z 3 2i.
2 25 i 4 8 i 8 6i 1 3i
1 2z 2 i; z 3 2i.
22z 2 5 2i z 28 4i 0
1 2 z 1 7i; z -1 5i. 1 2z 2 2i; z 2 i.
1 2z 3 4i; z 2 2i. 1 2z 2 2i; z 3 2i.
2 2' 5 2i 2. 28 4i 35 12i 1 6i
1 2z 3 4i; z 2 2i.
2z 3 4i z 1 5i 0
1 2z 1 i; z 2 3i. 1 2z 3 2i; z 2 2i.
1 2z 1 5i; z 1 2i. 1 2z 2 2i; z 3 3i.
2 23 4i 4 1 5i 3 4i 1 2i
1 2z 1 i; z 2 3i.
22z 3z 1 iz 4 3z i 0
15 1z 1 i; z i.13 13 1 2z 3; z 5 2i.
Chuyên Đề Số Phức
C. D. ,
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Ta có
Suy ra
và
vậy phương trình có hai nghiệm là và .Vậy chọn đáp án D.
Câu 12. Tìm các số thực b,c để phương trình (với ẩn z): nhận làm một nghiệm.
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Theo đề, làm một nghiệm của phương trình:
Nên
Vậy, Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình : Tính giá
trị của biểu thức .
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 131
1 2z 1; z 1 2i. z 1
5 1z i13 13
22 3i z 4i 3 z 1 i 0
2 24i 3 4 2 3i 1 i 3 4i 1 2i
1
3 4i 1 2iz 12 2 3i
2 2 2
3 4i 1 2i 1 i 2 3i1 i 5 1z i2 3i 13 132 2 3i 2 3
z 15 1z i13 13
2z bz c 0 z 1 i
b 2,c 2. b 2,c 3. b 1,c 2. b 2,c 2.
z 1 i 2z bz c 0
2 b c 0 b 21 i b 1 i c 0 b c 2 b i 0 .2 b 0 c 2
b 2,c 2.
22z – 4z 11 0.
2 21 2
21 2
z zAz z
2 2 172
5 12
12
2
3 2z 1 i22z – 4z 11 03 2z 1 i2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Lúc đó: .
Vậy chọn đáp án B.
Câu 14. Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm của phương trình: . Tính giá
trị của biểu thức A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình có hai nghiệm là: và
và .
Vậy Vậy chọn đáp án C.
Câu 15. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá
trị của biểu thức .A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có .
Do đó phương trình có hai nghiệm là .
.Vậy chọn đáp án D.
Câu 16. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính
giá trị của biểu thức .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 132
www.thuvienhoclieu.com
2 2
2 21 2
21 2
3 2 3 21 i 1 i2 2z z 17A 23 2 3 2z z 1 i 1 i2 2
2z 2z 10 0
2 21 2A z z
15 17 20 10
2 22 4.10 36 36i
1z 1 3i 2z 1 3i.
2 21z 1 3 10 2 2
1z 1 3 10
2 21 2A z z 20.
1 2z , z 22z 4z 11 0
2 21 2z z
15 37 21 11
2' 18 18i
1 22 3 2i 2 3 2iz , z2 2
2 21 2
4 18 4 18z z 114 4
1z 2z 2z 2z 17 0
1 2A i z i z
A 2 23 A 2 10,A 2 11
A 2 26,A 2 5 A 2 10, A 2 26
Chuyên Đề Số Phức
Ta có Phương trình đã cho có hai nghiệm là và .
Nếu thì
Nếu thì Vậy chọn đáp án D.
Câu 17. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Giải phương trình ta được
Vậy chọn đáp án B.
Câu 18. Tìm nghiệm của phương trình :
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Giải (1):
Giải (2): có Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 133
2 2' 1 17 16 4i
1 4i 1 4i
1z 1 4i A 2 i 1 4i 21 3i 2 10
1z 1 4i A 2 i 1 4i 21 5i 2 26
1z 2z 2z 4z 7 0
10 101 2z 3 2 z 3 2
5 0 2 1
1 2z 2 3i; z 2 3i
10 10 10 101 2
10 10 5 55 5
5 5 5
z 3 2 z 3 2 3 1 i 3 1 i
3 1 i 1 i 3 2i 2i
6 i i 0
2x i 2 x 2 i x 7i 1 0
z 3 i,x 1 2i. z 3 i,x 1 2i.
z 3 i,x 1 2i. z 3 i,x 1 2i.
2
2x i 2 0 1
x i 2 x 2 i x 7i 1 0x 2 i x 7i 1 0 2
x 2 i
2x 2 i x 7i 1 0 2 22 i 4 7i 1 7 24i 4 3i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 19. Biết là nghiệm của phương trình
19.1. Tính A. B. C. D.
19.2. Tính A. B. C. D.
19.3. Tính
A. B. C. D.
19.4. Tính A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-et ta có:
Do đó:
Câu 20. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương
trình . Tính độ dài đoạn thẳng .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Xét phương trình: có .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 134
www.thuvienhoclieu.com
1 22 i 4 3i 2 i 4 3ix 3 i; x 1 2i.2 2
1 2z ,z 2z 2 i z 3 5i 0.
2 21 2z z
3 14i 3 14i 3 14i 3 14i
4 41 2z z
193 74i 193 74i 193 74i 193 74i
2 21 2
1 1z z
93 157i.289 578 93 157i.289 578
93 157i.289 578 93 157i.289 578
4 42 1 1 2z z z z .
67 251i. 67 251i. 67 251i. 67 251i.
1 2
1 2
z z 2 iz .z 3 5i
22 21 2 1 2 1 2
22 2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22 21 2 1 21 2
2 2 2 21 2 1 2 1 2
34 4 3 32 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
z z z z 2z z 3 14i
z z z z z z 2z z z z 2z z 2z z
193 74iz z 2z zz z1 1 93 157i.289 578z z z z z z
z z z z z z z z z z z z 3z z z
2z 67 251i.
2z 2z 3 0 AB2 2 3 2 2 3 3
2z 2z 3 0 2' 1 3 2 i 2
Chuyên Đề Số Phức
Phương trình có hai nghiệm .
.
Vậy .
Câu 21. Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính
. A. B. C. D.
Hướng dẫn giảiTa có:
Vậy chọn đáp án A
Câu 22. Gọi lần lượt là hai nghiệm của phương trình
và thỏa mãn . Tìm giá trị của biểu thức
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Do nên ta có và
Ta có
Câu 23. Gọi lần lượt là hai nghiệm của phương trình . Tính giá
trị của biểu thức A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 135
1 2z 1 i 2; z 1 i 2
A 1; 2 ; B 1; 2
AB 2 2
z 11 z 1z 2
z 4iz 2i
1 2 2 3
2 2 z 2 3iz 11 z 1 z 4z 13 0, ' 9 9iz 2 z 2 3iz 4i 2 iz 2 3i 12 iz 2i
1 2z ,z 2z 1 3i z 2 2i 0
1 2z z 2 21 1
1 2A z 1 z
13
32
12
32
2 z 2iz 2i 1 i z 2i. 1 i 0 z 2i z i 1 0 z i 1
1 2z z 1z 2i 2z i 1
2 2 2 221 1 2
11 1 i 1 3A z 1 i 1 i 12i i 2 2 2
1 2z ,z 2z 4z 7 0
10 101 2Q z 3 2 z 3 2
1 3 0 5
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Định hướng: Ta sẽ tiến hành giải phương trình đầu tiên để tìm ra sau đó
tiến hành lắp vào biểu thức cần tính ta có: . Đến đây vì mũ 10 lơn nên ta sẽ tiến hành làm từng lớp một, tức là:
Từ đó ta có lời giải như sau:Phương trình đã cho tương đương với:
Do Q là biểu thức đối xứng với nên không mất tính tổng quát, giả sử
Lúc đó:
Vậy chọn đáp án C. Lưu ý: Cũng có thể dùng dạng lượng giác của số phức để giải quyết bài toán này.
Câu 24. Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn . Tính .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có hoặc
Với ta có Vậy chọn đáp án B.
Câu 25. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B.
C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 136
www.thuvienhoclieu.com
1 2z ,z
10 1053 1 i 1 i
5 510 10 2 25 5
5 5 5 55 5
3 1 i 1 i 3 1 i 1 i
3 2i 2i 6 i i 0
22 22z 4z 7 0 z 2 3 z 2 i 3 z 2 i 3
1 2z ,z
1
2
z 2 i 3z 2 i 3
2 2 10 10 10 1010 101 2
5 55 5 5 5
Q z 3 2 z 3 2 i 3 3 i 3 3 3 i 1 3 i 1
3 2i 2i 6 i i 0
2z 6z 13 0
6z z i
13 17 7 7 3
2 2 22z 6z 13 0 z 3 4 z 3 2i z 3 2i z 3 2i
z 3 2i
6 6z 3 2i 4 i 17z i 3 3i
2z 2cos .z 1 0
1 2z cos isin , z cos isin 1 2z cos isin , z cos isin
1 2z cos isin , z cos isin 1 2z cos isin , z cos isin
Chuyên Đề Số Phức
Hướng dẫn giải
Ta có: Phương trình đã cho có hai nghiệm
Vậy chọn đáp án A.
Câu 26. Tìm nghiệm của phương trình
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm
Vậy chọn đáp án B.
Câu 31. Biết phương trình không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Nếu phương trình có một nghiệm thực r thì:
Từ phương trình (2) ta có:
Nếu thì từ (1) suy ra phương trình này không có nghiệm thực.
Nếu thì từ (1) suy ra Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thực khi và chỉ khi Vậy chọn đáp án C. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 137
22 24cos 4 4sin 2sin .
1
2
2cos 2isinz cos isin ;22cos 2isinz cos isin2
2z cos isin z isin .cos 0.
1 2z isin , z isin 1 2z cos , z isin
1 2z cos , z isin 1 2z cos , z cos
2 2 2
2cos isin 4isin .cos cos sin 2isin .cos
cos isin
1
1
cos isin cos isinz cos2cos isin cos isinz isin2
21 i x i x 1 i 0
.3 1 2 3
2 2 2
22 2
2
1 i r i r 1 i 0 r r 1 i r r 0
r r 1 0,(1)r r 1 0 r r 1 01 r 1 0, 2r r 1 0r r 0
1 2r r 1 0,
r 1 1 1 0 2.
2.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 32. Cho và là các số phức thỏa mãn Giả sử là các
nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện với m là số phức.
32.1. Tìm giá trị lớn nhất của
A. B. C. D.
32.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Sử dụng định lý Viet ta có
Do đó:
Từ suy ra Do đó điểm M biểu diễn số phức m trên mặt phẳng phức thuộc đường tròn tâm I(4;5) và bán kính R=7. Ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của OM. Đường thẳng OI cắt đường tròn tại hai điểm A,B với Onằm giữa Avà I. Vì
nên:
32.1. Giá trị lớn nhất của khi khi đó:
Vậy chọn đáp án A.
32.2. Giá trị nhỏ nhất của khi khi đó:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 33. Tìm mô-đun của số phức biết số phức là
nghiệm của phương trình .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 138
www.thuvienhoclieu.com
1z 2z 21 2z 4z 16 20i. ,
21 2x z x z m 0 2 7,
m.
maxm 7 41. maxm 9 47. maxm 7 34. maxm 5 35.
m.
maxm 3 47. maxm 7 41. maxm 7 34. maxm 5 35.
1 2z , . z m.
2 21 24 z 4z 4m 16 20i 4m
2 7 4 5i m 7.
2 2OI 4 5 41
m M B,
maxm OB OI IB 7 41.
m M A,
minm OA IA OI 7 41.
w b ci
12
6 6
1 3i 2 i
1 3i 1 i
2z 8bz 64c 0
2 5 7 29 19
3 2 31 3i 1 3 3i 3.3i 3 3i 8
Chuyên Đề Số Phức
Do đó
Theo giả thiết ta có
Vậy chọn đáp án C.
Câu 34. Cho a,b,c là 3 số phức phân biệt khác 0 và . Nếu một nghiệm
của phương trình có môđun bằng 1 thì khẳng định nào sau đây đúng
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Giả sử là nghiệm của phương trình với . Theo định lý Viet
ta có Suy ra
Bởi vì
Vậy chọn đáp án D.
Câu 35. Tìm nghiệm của phương trình: .
A. B.
C. , D. Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 139
3 2 3
2
1 3i 1 3 3i 3.3i 3 3i 8
1 i 2i
12 4
6 2 36
1 3i 2 i 8 2 i 8 2 i 8 1 2i 8 16ii8 2i1 3i 1 i
28 16i 8b 8 16i 64c 0
2
2 2
1 2i b 1 2i c 0 2b 4 i b c 3 02b 4 0 b 2 w 2 5 29b c 3 0 c 5
a b c
2az bz c 0
2c ab 2a bc b ac 2b ac
1 2z ,z 2az bz c 0 z 1
1 2 21
c c 1z z z .a a z 21
c c 1z . 1a a z
21 2 1 2 1 2 1 2
bz z , a b z z 1,suyra z z z z 1a
22 2
1 2 1 2 1 21 2
1 1 b cz z 1 z z z .z b acz z a a
2iz 3 iz 33 4 0z 3i z 3i
1 55 1 5z i,z i17 17 7 7 z 3i,z 3i 4
1 55z i17 17 z 3i1 5z i,z 3i 47 7
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Đặt . Phương trình đã cho trở thành
Với
Với Vậy chọn đáp án C.
Câu 36. Tìm nghiệm của phương trình:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình đã cho trở thành
Với Với Vậy chọn đáp án D.
Câu 37. Tính giá trị của biết là
nghiệm phức của phương trình .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Phương trình cho
Giải : ta có
Suy ra
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 140
www.thuvienhoclieu.com
iz 3t z 3i
2 t 4t 3t 4 0 t 1
iz 3t 4 4 iz 3 4 z 3i iz 3 4z 13iz 3i
13i 3 1 554 i z 13i 3 z i4 i 17 17
iz 3t 1 1 iz 3 z 3i 1 i z 3 3i z 3i.z 3i
2z 3 i 6 z 3 i 13 0.
z 3i,z 1 2i z i,z 3i 4
z 3i 4,z 3i z 3i,z i
t z 3 i
2 t 3 2it 6t 13 0 t 3 2i
t 3 2i z 3 i 3 2i z 3i.
t 3 2i z 3 i 3 2i z i.
2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1
1 2 3 4z ,z ,z ,z
2 25z 6iz 2 3z 2iz 0
1225
1345
1123
267
2 23z 2iz 0 1 ,5z 6iz 2 0 2
1 22i1 z 0,z 3
2 2' 3i 10 1
3 43i 1 1 3 3i 1 1 3z i;z i5 5 5 5 5 5
Chuyên Đề Số Phức
Do đó:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 38. Gọi là bốn nghiệm của phương trình
trên tập số phức, tính tổng: .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của phương trình là:
Thay vào biểu thức Vậy chọn đáp án C.
Câu 39. Cho là các nghiệm của phương trình: .
Tính A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Vậy chọn đáp án C.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 141
2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1
2 2
24 1 3 1 30 1 i 1 i 1 i 19 5 5 5 5
4 17 6 17 6 5 289 36 131 i i9 25 25 25 25 9 625 625 45
1 2 3 4z ,z ,z ,z 2z 1 z 2 z 2z 2 0
2 2 2 21 2 3 4
1 1 1 1Sz z z z
25
35
54
67
1 2 3 4z 1,z 2,z 1 i,z 1 i
2 2 2 2 2 21 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 5S 1 4 4z z z z 1 i 1 i
1 2 3 4z , z , z , z 2 2z 1 z 2z 2 0
2014 2014 2014 20141 2 3 4S z z z z
5 4 2 3
2 2
2z 1 i z iPT z 1 iz 2z 2 0
2014 2014 20142014S i i 1 i 1 i
10071007 2 1007 1007 10072 1007 1007 1007i i 2i 2i 2 2 i 2 i 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BAPhương Pháp
Theo định lý cơ bản của đại số, phương trình bậc ba có đúng 3 nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
1) Để giải phương trình bậc ba tổng quát (1), ta
cần biết một nghiệm của phương trình. Khi đó phương trình (1) được biến đổi thành phương trình tích
Muốn xác định ta có thể dùng một trong hai cách:
Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức cho thương
sẽ là Cách 2: Dùng sơ đồ Horner sau đây để xác định hệ số A,b,c của đa thức
thương là .
2) Đôi khi ta có thể xác định bằng cách nhẩm nghiệm như sau:
Nếu thì phương trình có 1 nghiệm là =1.Nếu thì phương trình có 1 nghiệm là .
3) Việc biến đổi thành phương trình tích có thể thực hiện dễ dàng nếu ta có thể đặt nhân tử chung.
4) Ta biết rằng nếu một phương trình đa thức hệ số thực có 1 nghiệm phức
thì cũng là 1 nghiệm. Như vậy:o Mọi phương trình bậc ba hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực, nghĩa
là- Hoặc có 3 nghiệm thực- Hoặc có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức (không thực) liên hợp nhau.o Muốn giải phương trình bậc 3 hệ số thực, ta thường phải tìm nghiệm
thực của phương trình rồi biến thành phương trình tích. Nghiệm thực này có thể tính chính xác nhờ máy tính bỏ túi (nếu là nghiệm hữu tỉ).
o Nếu biết phương trình bậc 3 hệ số thực có 1 nghiệm không là số
thực thì cũng là nghiệm, nên phương trình phải có dạng
Chia cho sẽ tìm được thừa số
Như vậy phương trình có 3 nghiệm là
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 142
www.thuvienhoclieu.com
3 2Az Bz Cz D 0 A 0
0z
020 2
z z 01 z z Az bz c 0
Az bz c 0
2Az bz c,
3 2Az Bz Cz D 0,z z
2Az bz c.
2Az bz c
0z
A B C D 0 0zA B C D 0 z 1
0z x yi x,y ,y 0 0z x yi
P z 0
0z 0z
1 0 0P z z z z z z z 0.
P z 20 0 0 0 0 0z z z z z z z z z .z 1z z .
0 0 1z ,z ,z .
Chuyên Đề Số Phức
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) biết 1 nghiệm là .
b) biết 1 nghiệm là .
c) biết 1 nghiệm là Giải
a) Chia đa thức cho ta được thương là . Do đó, phương trình đã cho viết thành:
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
b) Chia đa thức cho ta được thương là
. Do đó, hương trình đã cho viết thành:
Giải (1):
Giải (2): Ta có: Ta đi tìm căn bậc hai của
Đặt
Từ (ii) suy ra:
Từ (1) suy ra:
(loại) hoặc
Với Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 143
3 2z 2 i z 2 2i z 2i 0 1z i
3 2z 4z 4 i z 3 3i 0 1z i
3 2z z 2 2i z 2 4i 0 1z 1 i.
3 2z 2 i z 2 2i z 2i z i 2z 2z 2
3 2 2z 2 i z 2 2i z 2i 0 z i z 2z 2 0
2 2z i 0 z i z i
z 1 iz 2z 2 0 z 2z 2 0
1 2 3z i; z 1 i; z 1 i.
3 2P z z 4z 4 i z 3 3i z i
2z 4 i z 3 3i
3 2 2z 4z 4 i z 3 3i 0 z i z 4 i z 3 3i 0
2
z i 0 1z 4 i z 3 3i 0 2
1 z i
24 i 12 12i 16 1 8i 12 12i 3 4i.
23 4i x yi , x,y
2 22 2 x y 3 ix y 2xyi 3 4i
2xy 4 ii
2x 0, y x
2 4 224x 3 x 3x 4 0x
2x 1 2x 4 x 2.
x 2 y 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Với
Như vậy:
Phương trình có 2 nghiệm là:
Vậy nghiệm của phương trình là:
c) Chia đa thức cho ta được thương là:
. Do đó, phương trình đã cho viết thành:
Giải (1):
Giải (2): Ta có
Đặt
Tư (ii) suy ra:
Từ (i) suy ra:
hoặc (loại)
Với
Với
Như vậy:
Phương trình (2) có 2 nghiệm là
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: Ví dụ 2.Giải các phương trình:
a) và biết phương trình có 1 nghiệm là
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 144
www.thuvienhoclieu.com
x 2 y 1.
22 i .
3 2z 4z 4 i z 3 3i 0
4 i 2 i 4 i 2 iz 1 i, z 3.2 2
z i, z 1 i, z 3.
3 2P z z z 2 2i z 2 4i z 1 i
2z iz 1 3i
3 2z z 2 2i z 2 4i 0
22
z 1 i 0 1z 1 i z iz 1 3i 0
z iz 1 3i 0 2
1 z 1 i
2i 4 12i 5 12i.
25 12i x yi , x,y R
2 22 2 x y 5 ix y 2xyi 5 12i
2xy 12 ii
6x 0,y x
2 4 22
36x 5 x 5x 36 0x
2x 4 2x 9 x 2.
x 2 y 3
x 2 y 3.
22 3i .
i 2 3i i 2 3iz 1 2i; z 1 i2 2
1 2 3z 1 i; z 1 2i; z 1 i.
3 2z 1 i z az b 4i 0,a,b R z 1 i.
Chuyên Đề Số Phức
b) và biết phương trình có 1 nghiệm là
c) Tìm các số a, b, c để phương trình nhận và làm nghiệm.
Giải
a) Theo đề: là nghiệm cuả phương trình nên
Với phương trình đã cho trở thành:
Vì phương trình có 1 nghiệm là ta chia đa thức
cho ta được thương là . Do đó, phương
trình tương đương với
Vậy phương trình có 3 nghiệm
b) Ta có: là nghiệm của phương trình nên
Với phương trình đã cho trở thành:
Biết là 1 nghiệm, chia đa thức cho ta
được thương là: . Do đó, phương trình: tương đương với:
Giải (1):
Giải (2):
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 145
3 2z aiz i b z 2 2i 0,a,b R z 1 i.
3 2z az bz c 0 z 1 i z 2
z 1 i 3 2z 1 i z az b 4i 0
3 21 i 1 i 1 i a 1 i b 4i 0 a b 0a b a 4 i 0 a 4,b 4.a 4 0
a 4,b 4 3 2z 1 i z 4z 4 4i 0.
z 1 i,
3 2P z z 1 i z 4z 4 4i z 1 i 2z 4
3 2z 1 i z 4z 4 4i 0
22 2
z 1 i z 1 iz 1 i z 4 0 z 2i.z 4 4i
z 1 i, z 2i, z 2i.
z 1 i. 3 2z aiz i b z 2 2i 0,a,b R
3 2
2 3 2 21 i ai 1 i i b 1 i 2 2i 0
1 3i 3i i ai 1 2i i i i b bi 2 2i 01 3i 3 i 2a i 1 b bi 2 2i 0
3 2a b 0 a 33 2a b b 3 i 0 b 3 0 b 3.
a 3,b 3
3 2z 3iz i 3 z 2 2i 0.
z 1 i 3 2P z z 3iz i 3 z 2 2i z 1 i
2z 1 2i z 2i 3 2z 3iz i 3 z 2 2i 0
2
2z 1 i 0 1
z 1 i z 1 2i z 2i 0z 1 2i z 2i 0 2
1 z 1 i
2 z 12 z 1 2i z 2i 0, A B C 0 z 2i.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: .c) Vì và là nghiệm của phương trình nên
Ví dụ 3. a) Cho phương trình: , gọi lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức:
.
b) Giải phương trình sau trong tập hợp số phức:
c) Giải phương trình sau trên tập số phức . Giải
a) Ta có:
có 3 nghiệm là:
Lúc đó:
b) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là: c) Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 146
www.thuvienhoclieu.com
z 1 i, z 1, z 2i
z 1 i z 2
33
3 22 a 2 2b c 0 4a 2b c 8 0
b c 2a b 2 i 01 i a 1 i b 1 i c 0b c 2 0 a 42a b 2 0 b 6 .4a 2b c 8 0 c 4
3 2z 5z 16z 30 0 1 1 2 3z , z , z
2 2 21 2 3A z z z
3z 6z 9 0.
3 2z 3iz 3z 2i 0
3 2z 5z 16z 30 0 1 2 3z 3; z 1 3i; z 1 3i
2 22 2 2 21 2 3A z z z 3 1 3i 1 3i 7
3 22
z 3pt z 9z 3z 9 0 z 3 z 3z 3 0z 3z 3 0
z 33 3 3 3z i, z i2 2 2 2
3 3 3 3z 3, z i, z i.2 2 2 2
Chuyên Đề Số Phức
Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm thuần ảo
.Giải
Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo.Đặt (a là số thực khác 0), thay vào phương trình ta được:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuần ảo là .
Ví dụ 5. Giải phương trình: , trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thuần ảo.
GiảiGiả sử là một nghiệm của phương trình. Khi đó, ta có:
là một nghiệm của phương trình nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
Vậy phương trình đã cho có nghiệmII. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 147
3 33 2 3
2
2
z 3iz 3z 2i 0 z i i 0 z i i 0
z 2i z i i z i 1 0
z 2i z 2ii 3 i 3 i 3z 2i z 0 z z2 4 2 2 2
i 3 i 3z z2 2 2
i 3 i 3z 2i; z ; z2 2
3 22z 5i 3 z 8i 4 z 4i 4 0
z ai
3 2
2 3 2
2
3 2
2 ai 5i 3 ai 8i 4 ai 4i 4 03a 8a 4 i 2a 5a 4a 4 0
3a 8a 4 0 a 22a 5a 4a 4 0
z 2i
3 2z 2 2i z 5 4i z 10i 0
z xi
3 2
2 3 2x i 2 2i x 5 4i x 10i 0
2x 4x x 2x 5x 10 i 0
2
3 22x 4x 0 x 2 x 2ix 2x 5x 10 0
22
z 2i z 2iz 2i z 2z 5 0 z 1 2iz 2z 5 0
z 2i;z 1 2i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 1. Tìm nghiệm củaphương trình .
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Các hệ số của phương trình thỏa mãn:
Vậy phương trình nhận là nghiệm.
Phương trình
Giải (1):
Giải (2): Ta có
Phương trình (2) có 2 nghiệm là
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 2. Tìm nghiệm củaphương trình .
A.
B.
C.
D. Hướng dẫn giải
Các hệ số của phương trình thỏa mãn: nên phương trình nhận là 1 nghiệm.
Phương trình
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 148
www.thuvienhoclieu.com
3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0
1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i. 1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.
1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i. 1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.
3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0
A B C D 1 1 2i 2 1 i 2 0.
z 1
3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0
22
z 1 0 1z 1 z 2iz 2 0
z 2iz 2 0 2
(1) z 1
2 2' i 2 1 2 3 3i
z 1 3 i.
1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.
3 2z 2iz 2 i z 3 i 0
1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2
1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2
1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2
1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2
3 2z 2iz 2 i z 3 i 0
A B C D 1 2i 2 i 3 i 0 z 1
3 2z 2iz 2 i z 3 i 0
Chuyên Đề Số Phức
Giải (1):
Giải (2): Phương trình (2) có hai nghiệm là:
,
Kết luận: phương trình có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 3. Biết là nghiệm của phương trình
Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: Vậy chọn đáp án B.
Câu 4. Biết là nghiệm của phương trình . Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 149
22
z 1 0 1z 1 z (1 2i)z 3 i 0
z (1 2i)z 3 i 0 2
(1) z 1
21 2i 12 4i 1 4 4i 12 4i 15.
11 2i 15i 1 1z 2 15 i2 2 2
21 2i 15i 1 1z 2 15 i.2 2 2
3 2z 2iz 2 i z 3 i 0
1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2
1 2 3z ,z ,z 3 2z 2 i z z 2 i 0.
1 2 3A z z z
2 3 2 5 2 7 2 5
3 2z 2 i z z 2 i 0
2 2z z 2 i z 2 i 0 z 2 i z 1 0
2 2z 2 i 0 z 2 i z 2 i
z i.z 1 0 z 1
z 2 i, z i, z i.
1 2 3z ,z ,z 3 2z 3iz 3z 9i 0
1 2 3
1 1 1z z z
2 32 3 2 3
3 2 7
5 2 5
4
3 33 2
2
z 3iz 3z 9i 0 z i 2i 0z iz i z i 2i z i 4 0 .z 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy nghiệm của phương trình là:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Ta thấy phương trình nhận là nghiệm.
Chia đa thức cho ta được thương là . Do
đó, phương trình tương đương với:
Giải (1): .
Giải (2): . Ta có: Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm là:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Ta thấy phương trình: có 1 nghiệm là z=3.
Chia đa thức cho z-3 ta được thương là . Do đó,
phương trình tương đương với:Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 150
www.thuvienhoclieu.com
z i, z 3.
3 22z 9z 14z 5 0
1z , z 3 i, z 3 i2 1z , z 2 i, z 3 i2
1z , z 2 i, z 3 i2 1z , z 2 i, z 2 i2
3 22z 9z 14z 5 0 1z 2
3 2P z 2z 9z 14z 5 1z 2 22z 8z 10
3 22z 9z 14z 5 0
22
1z 0 11 2z 2z 8z 10 02 2z 8z 10 0 2
11 z 2
22 z 4z 5 0 2' 4 5 1 i
z 2 i.
1z , z 2 i, z 2 i2
3 2z 7z 17z 15 0
1z , z 3 i, z 3 i2 1z , z 2 i, z 3 i2
1z , z 2 i, z 3 i2 1z , z 2 i, z 2 i2
3 2z 7z 17z 15 0
3 2P z z 7z 17z 15 2z 4z 5
3 2z 7z 17z 15 0
Chuyên Đề Số Phức
Giải (1):
Giải (2): Ta có:Do đó phương trình (2) có hai nghiệm:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 7. Cho phương trình biết phương trình có
1 nghiệm là Tìm tổng mô đun hai số phức còn lại
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Phương trình: hệ số thực có 1 nghiệm là
Suy ra cũng là nghiệm.
Do đó phương trình phải có dạng:
Chia đa thức cho
ta được thương là
Phương trình tương đương với
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 8. Cho phương trình và biết phương trình có nghiệm thuần ảo. Tìm bA. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi nghiệm thuần ảo của phương trình là ai ai thỏa mãn phương trình:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 151
22
z 3 0 1z 3 z 4z 5 0
z 4z 5 0 2
1 z 3
2' 4 5 1 i
z 2 i.
1 2 3z 3, z 2 i, z 2 i.
3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0
1z 3 2i.
13 7 13 5 13 3 13 2
3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0
1z 3 2i.
1z 3 2i
1z z z 3 2i z 3 2i 0.
3 2P z z 6 2 z 13 6 2 z 13 2
2z 3 2i z 3 2i z 6z 13, z 2.
3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0
z 2 z 3 2i z 3 2i 0.
1 2 3z 2,z 3 2i,z 3 2i.
3 2z 2z 25z b 0,b R
3 25 50 5
a R
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ta có: Với (loại)Với Vậy chọn đáp án C.
Câu 9. Cho phương trình và biết phương trình có ngiệm thực. Tìm các nghiệm của phương trình
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Gọi x là nghiệm thực của phương trình: ta có:
Suy ra phương trình có dạng:
với z=2 là nghiệm thực của phương trình.
Chia đa thức cho z-2 ta được thương là .
Do đó, phương trình tương đương với:
Giải (1):
Giải (2): Ta có: . Phương trình (2) có hai nghiệm là:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 152
www.thuvienhoclieu.com
3 2 3 2
23
2
ai 2 ai 25ai b 0 a i 2a 25ai b 0b 2a 1
2a b a 25a i 0a 25 a 0 2
a 02 a 5
a 0 b 0
a 5 b 50.
3 2z bz 9 i z 6 2i 0,b R
1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i. 1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.
1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i. 1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.
3 2z bz 9 i z 6 2i 0,b R
3 2
3 2
3 2
x bx (9 i)x 6 2i 0x bx 9x 6 2 x i 02 x 0 x 2
b 5x bx 9x 6 0
3 2z 5z 9 i z 6 2i 0,
3 2P z z 5z 9 i z 6 2i 2z 3z 3 i
3 2z 5z 9 i z 6 2i 0
22
z 2 0 1z 2 z 3z 3 i 0
z 3z 3 i 0 2
1 z 2
29 12 4i 3 4i 1 2i
1 2z 2 i, z 1 i
1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.
Chuyên Đề Số Phức
Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Biến đổi phương trình thành: .
Đặt thì phương trình trở thành:
.
Với :
Với :
Với :
Vậy phương trình có 3 nghiệm: Vậy chọn đáp án C.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 153
3 2z i z 1 2iz 2 01 i 2i
1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i. 1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.
z 1 2i, z i, z 2 i. 1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.
3 2z i z i 2 01 i 1 i
z iw 1 i
3 2 2
22 2
w w 2 0 w 1 w 2w 2 0w 1w 1
w 2w 2 0 w 1 i 0
w 1w 1 iw 1 i
w 1z i 1 z 1 2i1 i
w 1 i z i 1 i z i1 i
w 2 i z i 2 i z 2 i1 i
z 1 2i, z i, z 2 i.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN SỐ PHỨCPhương Pháp
Với dạng phương trình trùng phương, ta đặt , sẽ đưa về phương trình bậc hai theo w. Giải phương trình này, ta tính w rồi lại giải phương trình
để tính z.
Nếu thì phương trình có 1
nghiệm là . Chia cho , phương trình
tương đương với phương trình
Nếu thì phương trình có 1
nghiệm là . Chia cho , phương trình
P(z)=0 tương đương với phương trình Như vậy ta nên viết các hệ số của phương trình để xem phương trình có rơi vào hai trường hợp đặc biệt này không.
Trường hợp phương trình hệ số thực, nếu biết 1 nghiệm (không là số
thực) thì cũng là nghiệm. Do đó phương trình có dạng:
Khi khai triển phương trình này và đồng nhất với phương trình đã cho sẽ tìm được hệ số b và c.
Giải phương trình: ta được nghiệm
Như vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
a)
b)
c)Giải
a) Phương trình: ta coi là phương trình bậc hai theo , phương
trình có 2 nghiệm là hoặc
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 154
www.thuvienhoclieu.com
2w z
2w z
A B C D E 0 4 3 2Az Bz Cz Dz E 0
z 1 4 3 2P z Az Bz Cz Dz E z 1
P z 0 3 2z 1 Az bz cz d 0.
A B C D E 0 4 3 2Az Bz Cz Dz E 0
z 1 4 3 2P z Az Bz Cz Dz E z 1
3 2z 1 Az bz cz d 0.
0z
0z
20 0z z z z Az bz c 0.
2Az bz c 0 1 2z ,z .
0 0 1 2z ,z ,z ,z .
4 2z 4z 5 0
4 2z 8 8i z 63 16i 0
4 2iz 2 1 2i z 8 0.
4 2z 4z 5 0 2z
2z 1 2 2z 5 5i
z 1z 5i.
Chuyên Đề Số Phức
b) Đặt phương trình (1) trở thành
Phương trình (2)
Với
Với
Vậy phương trình (1) có 4 nhiệm là:
c) (1)
Đặt phương trình trở thành
(2)
Phương trình (2) có 2 nghiệm là:
Với
Với
Vậy phương trình có 4 nghiệm là: Ví dụ 2. Cho phương trình bậc bốn hệ số thực
Biết phương trình có 1 nghiệm .Tính m và nghiệm còn lại.
Giải
Ta có là nghiệm của phương trình:
Phương trình trở thành (1)
Ta biết rằng nếu một phương trình đa thức hệ số thực nhận là 1 nghiệm
phức, không thực, thì cũng là nghiệm của phương
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 155
2w z , 4 2z 8 8i z 63 16i 0
2 2
2 2w 8 8i w 63 16i 0 w 2 4 4i w 63 16i 2
' 4 4i 63 16i 32i 63 16i 63 16i 1 8i
w 4 4i 1 8i 5 12iw 4 4i 1 8i 3 4i
22w 5 12i z 5 12i 3 2i z 3 2i .
22w 3 4i z 3 4i 2 i z 2 i .
z 3 2i ,z 2 i .
4 2iz 2 1 2i z 8 0
2w z , 4 2iz 2 1 2i z 8 0
2iw 2 1 2i w 8 0
2 22 2' 1 2i 8i 1 4i 4i 8i 1 4i 4i 1 2i .
1 2 21 2i 1 2i 1 2i 1 2i 2 2iw 4, w 2i.i i i i
2 2w 4 z 4i z 2i
22w 2i z 1 i z 1 i .
4 2iz 2 1 2i z 8 0 z 2i,z 1 i .
4 3 2P z z 4z 9z mz 20 0,m R. 1z 2i
1z 2i 4 3 2z 4z 9z mz 20 0
4 3 22i 4 2i 9 2i m 2i 20 016 32i 36 2mi 20 0 32 2m i 0 m 16.
4 3 2P z z 4z 9z 16z 20 0
1z
1z x yi, x,y R,y 0 1z x yi
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
trình. Như vậy phương trình nhận 2 nghiệm là Do đó phương trình (1) phải có dạng:
Đồng nhất hệ số của hai phương trình (1) và (2) ta được
Vậy phương trình
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình: có hai nghiệm là số thuần ảo.
Giải
Đặt là nghiệm của phương trình nên
Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4. Phương trình có 4 nghệm không thực với các giá trị thực a, b, c, d. Biết tích hai trong bốn nghiệm đó là và tổng của hai nghiệm còn lại là . Tìm giá trị của b
Giải
Gọi 4 nghiệm của phương trình là Khi đó
nên ta suy ra (*).
Theo bài ra ta có .Vì nên cũng như phải là các số phức liên hợp, do đó
.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 156
www.thuvienhoclieu.com
1 2z 2i,z 2i.
2
2 2
4 3 2
P z z 2i z 2i z az b 0, a,b R
P z z 4 z az b 0
P z z az b 4 z 4az 4b 0, 2
a 4, b 5.
4 3 2P z z 4z 9z 16z 20 0
2
2 22
2 2
2
z 4 0z 4 z 4z 5 0z 4z 5 0
z 4 0 z 4 z 2iz 4z 5 0 z 2 i.
z 2i, z 2 i.
4 3 2z 4z 14z 36z 45 0
2 2 3 3 4 4z bi z b , z ib , z b
z bi
34 2
4 24 2 3
3
b 4 ib 14 b 36ib 45 0
b 14b 45 0b 14b 45 i 4b 36b 0 b 34b 36b 0
z 3i
4 3 2x ax bx cx d 0
13 i
3 4i
4 3 2x ax bx cx d 0 , , , .
4 3 2x ax bx cx d x x x x , x
b
. 13 i, 3 4i
a,b,c,d R . ; . ;
3 4i, . 13 i
Chuyên Đề Số Phức
Theo (*) thì
Vậy giá trị cần tìm của b là 51.
Ví dụ 5. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: Giải
Biến đổi phương trình đã cho về dạng:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức: Giải
Nhận xét không là nghiệm của phương trình (1) vậy
Chia hai vế PT (1) cho ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
PT (3) có 2 nghiệm
Với ta có
Có
PT(4) có 2 nghiệm:
Với ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 157
b
b 3 4i 3 4i 13 i 13 i 51.
4 3 2z 4z 11z 14z 10 0
222 22
z 2z 2z 2z 7 z 2z 10 0z 2z 5
2
2
z 1 iz 2z 2 0 z 1 i
z 1 2iz 2z 5 0z 1 2i
z 1 i; z 1 i; z 1 2i; z 1 2i.
24 3 zz z z 1 02
z 0 z 0
2z2
21 1 1z z 0z 2z
1t z z 2 2
21t z 2z
2 221z t 2z
2 5t t 02
251 4. 9 9i2
1 3i 1 3it , t2 2
1 3it 2
21 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 4z 2
2 221 3i 16 8 6i 9 6i i 3 i
1 3i 3 i 1 3i 3 i i 1z 1 i, z4 4 2
1 3it 2
21 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 5z 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Có
PT(5) có 2 nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Vậy phương trình có các nghiệm II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm tổng mô đun các nghiệm của phương trình
biết phương trình có nghiệm thực
A. B. C. D.
Hướng dẫn giảiGọi là nghiệm thực của phương trình, ta có:
(1)
Như vậy phương trình được biến đổi thành phương trình tích có dạng:
Đồng nhất phương trình (1) và (2) ta được:
Vậy phương trình (1) tương đương với:
Giải (i):
Giải (ii): Ta có: . Phương trình (ii) có hai nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 158
www.thuvienhoclieu.com
2 221 3i 16 8 6i 9 6i i 3 i
1 3i 3 i 1 3i 3 i 1 iz 1 i, z4 4 2
i 1 i 1z 1 i, z 1 i, z , z2 2
3 3 3 3z 3; z i; z i2 2 2 2
4 3 2z z 3 i z 4z 4i 4 0,
5 2 3 2 3 2 7 2
z x
4 3 2x x 3 i x 4x 4i 4 0
4 3 2 2
2
4 3 2
x x 3x 4x 4 i x 4 0
x 4 0 x 2.x x 3x 4x 4 0
2 2 2
4 3 2
z 2 z 2 z az b 0 z 4 z az b 0
z az b 4 z 4az 4b 0, 2
a 1b 4 3 i a 14a 4 b 1 i4b 4i 4
22 2
2z 4 i
z 4 z z 1 i 0z z 1 i ii
2z 4 z 2
21 4 4i 1 2i
1 21 1 2i 1 1 2iz , z 1 i2 2
1 2 3 4z 2,z 2,z i,z 1 i.
Chuyên Đề Số Phức
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Biết phương trình có có nghiệm thuần ảo. Tìm tổng mô đun của các nghiệm phức có phần ảo dương.A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi nghiệm thuần ảo của phương trình là ta có:
Vậy 2 nghiệm thuần ảo của phương trình là và phương trình có dạng phương trình tích:
Đồng nhất phương trình này với phương trình đã cho ta được:
Phương trình trở thành:
Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
Suy ra: Vậy chọn đáp án C.
Câu 3. Cho phương trình: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thựcA. B. C. D.
Hướng dẫn giải Các hệ số của phương trình là:Ta có Suy ra phương trình có 1 nghiệm: .
Chia đa thức cho , ta biến đổi:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 159
4 3 2z 2iz z 2iz 2 0
2 3 1 5
xi, x R ,
4 4 3 3 2 2 4 3 2
22 2 2
2 3 2
3 2
x i 2ix i x i 2i.xi 2 0 x 2x x 2x 2 0x x 2x 1 2 x 1 0 x x 1 2 x 1 0
x 1 x x 1 2 0 x 1 x x 2 0x 1 0 x 1
x 1.x x 2 0
z i
2 2 2
4 3 2
z i z i z az b 0, a,b C z 1 z az b 0
z az b 1 z az b 0.
a 2i a 2ib 1 1 b 2
22
z i z iz i z i z 2iz 2 0 z i 1z 2iz 2 0
z i, z i, z 1 i, z 1 i.
i 1.
4 3 2z 3z 2 i z 3z 3 i 0 1 .
2 0 1 4
A 1;B 3;C 2 i;D 3;E 3 i.
A B C D E 0. z 1
4 3 2P z z 3z 2 i z 3z 3 i z 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Phương trình (2) lại có các hệ số thỏa mãn: Do đó phương trình (2) có 1 nghiệm z= -1.
Suy ra (3) có 2 nghiệm là
Kết luận: Phương trình (1) có 4 nghiệm là:
Câu 4. Cho là nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị
của biểu thức: .
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Ta có:
Giải ta có
Suy ra Do đó
Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 160
www.thuvienhoclieu.com
3 2
3 2z 1
1 z 1 z 2z iz 3 i 0 z 2z iz 3 i 0, 2
A ' B' C' D' 1 2 i 3 i 0.
22
2
z 12 z 1 z 3z 3 i 0 z 3z 3 i 0, 3
9 12 4i 3 4i 1 2i
z 1 i, z 2 i.
z 1, z 1, z 1 i, z 2 i.
1 2 3 4z ,z ,z ,z4z i 12z i
2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1
1345
115
914
113
4 4 4z i 1 z i 2z i2z i
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2
z i 2z i 0 z i 2z i z i 2z i 0
5z 6iz 2 3z 2iz 0 3z 2iz 0 1 ,5z 6iz 2 0 2
1 22i1 z 0,z 3
2 2' 3i 10 1
3 43i 1 1 3 3i 1 1 3z i,z i5 5 5 5 5 5
2 2 2 21 2 3 4
2 22
P z 1 z 1 z 1 z 1
4 1 3 1 30 1 i 1 i 1 i 19 5 5 5 54 17 6 17 6 5 289 36 131 i i9 25 25 25 25 9 625 625 45
Chuyên Đề Số Phức
Câu 5. Biết là nghiệm của phương trình
Tìm .A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình nên
Giải (*) {Kĩ thuật MTCT}
Ghi vào màn hình: Ta được nghiệm của phương trình:
Chỉ cần thay đổi các hệ số của phương trình ta tìm được nghiệm của phương trình (2)
Suy ra:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 6. Giải phương trình:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Dễ thấy là nghiệm của phương trình nên
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 161
1 2 3 4z ,z ,z ,z24 3 zz z z 1 0.2
2 2 2 21 2 3 4
1 1 1 1 0z z z z
5 3 7 9
z 0
22
21 1 1 1 1 5pt z z 0 z z 02 z z z 2z
2
2
1 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 *z 2 ....1 1 3i 2z 1 3i z 2 0 **z z 2
2 arg D B E B ED B 4AC:E D :X :Y2 2A 2A
4 3 2z 4z 7z 16z 12 0
z 1,z 3,z 3i,z 2i z 1,z 3,z 2i,z 5i
z 1,z 3,z 6i,z 2i z 1,z 3,z 2i,z 2i
z 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 162
www.thuvienhoclieu.com
3 2 2
2
(pt) z 1 z 3z 4z 12 0 z 1 z z 3 4 z 3 0z 1z 1 z 3z 3 z 2i
z 4 0 z 2i
Chuyên Đề Số Phức
CHỦ ĐỀ 7. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHPhương pháp
Ta nhắc lại cách giải hệ phương trình bằng định thức như sau:
; ;
Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất:
Nếu và hoặc thì hệ vô nghiệm
Nếu thì hệ có vô số nghiệm. Ngoài phương pháp định thức trên ta có thể sử dụng phương pháp cộng
đại số, phương pháp rút thế... Ngoài ra ta còn có thể dựa vào tính chất tập hợp điểm số phức để giải và
biện luận hệ phương trình.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNGVí dụ 1. Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
Giảia) Ta có các định thức
Vậy hệ phương trình có nghiệm với
b) Ta có các định thức
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 163
a bD ab' a'ba' b' xc bD cb' c'bc' b' y
a bD ab' a'ba' b'
D 0yx DDx ; y .D D
D 0 xD 0 Dy 0
x yD D D 0
3 i x 4 2i y 2 6i 2 i x 2 i y 6a) ; b)
4 2i x 2 3i y 5 4i 3 2i x 3 2i y 8
x
y
3 i 4 2iD 3 i 2 3i 4 2i 4 2i 21 23i4 2i 2 3i2 6i 4 2iD 2 6i 2 3i 5 4i 4 2i 2 44i5 4i 2 3i3 i 2 6iD 3 i 5 4i 4 2i 2 6i 23 21i4 2i 5 4i
x,y
x2 2
y2 2
2 44i 21 23iD 2 44ix 1 iD 21 23i 21 23D 23 21i 21 23i23 21iy iD 21 23i 21 23
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy hệ phương trình có nghiệm với
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau với hai ẩn và :
a) b) Giải
a) Ta có:
b) Hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau với hai ẩn và :
a) b) Giải
a) Ta có: Đặt hệ phương trình trở thàn
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 164
www.thuvienhoclieu.com
x
y
2 i 2 iD 2 i 3 2i 3 2i 2 i 2i3 2i 3 2i6 2 iD 6 3 2i 8 2 i 2 4i8 3 2i2 i 6D 8 2 i 6 3 2i 2 4i3 2i 8
x,y
x
y
D 2 4ix 2 iD 2iD 2 4iy 2 iD 2i
z w2z w 4 ;2iz w 0
z w 4 3iz iw 3 2i
2z w 42z w 4 2z w 42 2i z 42iz w 0 2iz w 0
2 1 i 2 1 i2 z z 1 izz 1 i 1 i 1 11 i w 2 2iw 4 2z w 4 2 1 iw 4 2z
z w 4 3i (1)z w 4 3i1 i w 1 5i (2)z iw 3 2i
1 5i 1 i1 5i 1 5 i 5i(2) w 3 2i1 i 1 i1 i 1 i(1) z 4 3i w 4 3i 3 2i 1 i.
z 1 iw 3 2i
z w
z w w i;z w z i
z w 1 w2z w 2 i w
z w w iz w w i
z w z i z z w i
z x yi, w u vi , (x,y,u,v ),
Chuyên Đề Số Phức
Vậy phương trình có 1 nghiệm là :
b) Ta có: Đặt và thì hệ phương trình trở thành
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là :
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình trên tập số phức: .Giải
Ta có:
Khử x ta có hệ:
Lúc đó: Vậy hệ có nghiệm là:
Ví dụ 5. Tìm số phức thỏa mãn
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 165
x 0x 0 x 0 u 0
x y 2v i ix yi 2vi i y 2v 1 u 0 3y2yi u vi i u 0 y 2v 1u 2y v i i 52y v 1 2y v 1 1v 5
3z i5 ;1w i5
z w w 1z w 1 w2z w 2 i w 2z w w 2 i
z x yi, w u vi(x,y,z,v R)
x 1x 2u 1y 0x 2u yi 1x yi 2u 1 y 0u 02x 2y 2v i 2 i2x 2yi 2vi 2 i 2x 2
12y 2v 1 v 2
z 11w i2
x iy 2z 10x y 2iz 20ix 3iy 1 i z 30
x iy 2z 10 x iy 2z 10x y 2iz 20 x y 2iz 20ix 3iy 1 i z 30 x 3y i 1 z 30i
i 1 y 2 1 i z 104y 1 i z 20 30i
x 3 11i.
x 3 11iy 3 9iz 1 7i
1 2z ,z1 22 2
1 2
z .z 5 5iz z 5 2i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Giải
Ta có:
Ta có
Nên là nghiện phương trình:
Ta được nghiệm:
Nên là nghiện phương trình:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình hai ẩn:
Giải
Từ (2) suy ra: Từ (1) suy ra:
Do đó: nên tức là
Suy ra: tức là Từ và suy ra nên bằng 1 hoặc bằng -1.
Từ và (2) suy ra tức hoặc .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 166
www.thuvienhoclieu.com
1 22 2
1 2
z .z 5 5iz z 5 2i
22 21 2 1 2 1 2z z z z 2z z
2 2 1 21 2 1 2
1 2
1 2
1 2
z z 1 4i5 2i z z 2 5 5i z z 15 8i z z 1 4iz z 1 4i* z .z 5 5i
1 2z ,z 2z 4i 1 z 5 5i 0
z 2 iz 1 3i
2 i; 1 3i ; 1 3i;2 i
1 2
1 2
z z 1 4i* z .z 5 5i
1 2z ,z 2z 1 4i z 5 5i 0
z 2 iz 1 3i
1 1 1 1
2 2 2 2
z 2 i z 1 3i z 2 i z 1 3i; ; ;z 1 3i z 2 i z 1 3i z 2 i
3 5
2 4z w 0 (1)z (w) 1 (2)
126z w 1. 6 10z w
1210w w 1 22w 1 w 1
106z w 1 z 1.1w w 1210w w 1 2w 1 w
2w 1 2z 1 z 1 z 1
Chuyên Đề Số Phức
Mà (1): nên và
Vậy hệ có hai nghiệm .
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương: ,(dễ thấy không thỏa mãn).
Thế vào phương trình thứ hai cảu hệ ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Nhận xét: Việc biến đổi phương trình bậc 4 có nghiệm thực thì không quá khó khăn, có thể dùng máy tính để nhẩm nghiệm và đoán nhân tử chung. Thế nhưng với phương trình bậc 4 nghiệm phức (và không có nghiệm thực) thì việc dùng máy tính để nhẩm nghiệm rồi đoán nhân tử chung là không thể. Vậy nên ta phải dùng kĩ thuật giải phương trình bậc 4 để phân tích nhân tử chung một cách nhanh chóng:
.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 167
3 5z w 0 z 1 w 1 z 1 w 1
z,w 1; 1 ; z,w 1;1
2 22z w zw 7 z,wz w 2w 2
w 72 z w w 7 z 2 w
w 2
22 4 3 2
2 2
w 7 w 2w 2 w 6w 15w 2w 57 02 ww 7w 19 w w 3 0
2
2
2 2
7 27 7 3i 3w w2 4w 7w+19 0 2 21 11w w 3 0 1 11 ww 2 22 4
7 3i 3 5 3i 3w z2 27 3i 3 5 3i 3w z2 21 i 11 3 i 11w z2 21 i 11 3 i 11w z2 2
5 3i 3 7 3i 3 5 3i 3 7 3i 3z;w ; , ; ,2 2 2 23 i 11 1 i 11 3 i 11 1 i 11; , ;2 2 2 2
24 3 2 2 2w 6w 15w 2w+57=0 w 3w 6w 2w 57
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Bây giờ ta thêm vào 2 vế một lượng là (để vế trái được một bình phương đúng):
(*)Muốn vế phải là một bình phương đúng (hoặc có thể là lượng âm của bình phương đúng: ) thì:
Vì lí do “thẩm mỹ” nên chúng ta chọn . Thay vào (*):
Ví dụ 8. Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :
Giải
Gọi là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (1) là
hình tròn tâm , bán kính ( kể cả biên ).
Ta có Tập hợp các điểm M có tọa độ z thỏa mãn
(2) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm , bán kính( kể cả biên ).Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ.Ví dụ 9. Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z:
Giải
Gọi là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( kể cả
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 168
www.thuvienhoclieu.com
2 22m. w 3w m
22 2 2w -3w m 2m 6 w 2 1 3m w m 57
2A
2' 2 77 3 330 1 3m 2m 6 m 57 0 m 11 m 4
m 11 m 11
2 22 2 2 2w -3w+11 16w 64w 64 4w 8 w -7w+19 w +w+3 0
z 3 i 2 (1)2z 9 2i 5 (2)
z x yi x,y
A 3 i R 2
9 5(2) z i2 2
9B i2
5R 2
z 3 2i 1 (1)z 1z 1 2i 2 (2)
z x yi x,y
Chuyên Đề Số Phức
đường trung trực ), với và . Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa
mãn (2) là hình tròn tâm , bán kính ( kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho làgiao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình vẽ
Ví dụ 11. Cho ba số phức thỏa mãn hệ
Tính giá trị biểu thức Giải
Vì , do đó có thể đặt:
Suy ra
Mà nên
Ta có
Suy ra hoặc hoặc hoặc , do đó hai trong ba số bằng nhau.
Giả sử thì hay ta có .
Do đó
Vậy hoặc hoặc .
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình: .
A. B. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 169
A 3 2i B 1
E 1 2i R 2
1 2 3z ,z ,z
1 2 3
31 22 3 1
z z z 1zz z 1z z z
1 2 3T az bz cz ;a,b,c R
31 21 2 3
2 3 1
zz zz z z 1 , 1z z z
1 22 3
z zcosx isinx, cosy isinyz z
3 3 21 2 1
z z z. cos x y isin x y .z z z
31 22 3 1
zz z 1z z z
cosx cosy cos x y 1sinx siny sin x y 0
0 sinx siny sin x y
x y x y x y x y2sin cos 2sin cos2 2 2 2x y x y x y x y x y2sin cos cos 4sin sin sin .2 2 2 2 2 2
x k2 y k2 x y k2 1 2 3z ,z ,z
1 2z z3 31 1
3 1 3 1
z zz z0z z z z 2
33 1
1
z 1 z izz
2 21 2 3 1 1 1 1az bz cz az bz icz z a b ic a b c
2 2a b c 2 2b c a 2 2a c b
3x 1 i y 2 14iix 2i 1 y 4 9i
x,y 1 5i; 3 2i . x,y 1 5i;3 2i .
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
C. D. Hướng dẫn giải
Ta có
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình
A. B.
C. D. Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ (2) ta có: thay vào phương trình thứ nhất ta
được:
Lúc đó: .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .
Câu 3. Tìm số nghiệm của hệ phương trình A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ nhất ta được: thế vào phương trình thứ (2) ta
được:
Ta có
Do đó Vậy chọn đáp án B. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 170
www.thuvienhoclieu.com
x,y 1 5i; 3 2i . x,y 1 5i; 3 2i .
x
y
3 1 iD 3 1 2i i 1 i 4 7ii 1 2i2 14i 1 iD 2 14i 1 2i 4 9i 1 i 39 13i4 9i 1 2i
3 2 14iD 3 4 9i i 2 14i 2 29ii 4 9i
x,y 1 5i; 3 2i .
x 3y 2 3i2x y 5 2i
17 9i 1 4ix,y ;7 7
17 9i 1 4ix,y ;7 7
17 9i 1 4ix,y ;7 7
17 9i 1 4ix,y ;7 7
y 2x 5 2i
17 9ix 3 2x 5 2i 2 3i 7x 17 9i x 7
1 4iy 7
17 9i 1 4ix,y ;7 7
2 2
x 2 i y 2.
x 3iy 5 15i
1 2 0 4
x 2 2 i y
23 7i y 4 2 i y 1 15i 0 *
2' 120 22i 11 i
y i x 3 2i
* 26 51i 45 76iy x29 29
Chuyên Đề Số Phức
Câu 4. Số nghiệm của hệ phương trình A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Ta có
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình
A.
B.
C.
D. Hướng dẫn giải
Ta có hệ tương đương:
Do đó ta có hệ mới: nên u, v là nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Vậy chọn đáp án D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 171
2 2z w zw 8z w 1
1 2 3 4
2z w zw 8 zw 5 zw 13hpt i iiz w 3 z w 5z w 2 z w 15 0
3 i 11 3 i 11w w2 2i ;3 i 11 3 i 11z z2 25 i 27 5 i 27w w2 2ii5 i 27 5 i 27z z2 2
2 2u v 4uv 0u v 2i
u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .
u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .
u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .
u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .
2u v 2uv 0 4 2uv 0 uv 2u v 2i
u v 2iuv 2
2z 1 3 i
z 2iz 2 0z 1 3 i
u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Câu 6. Cho hệ phương trình . Tính
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-et thì là nghiệm của phương trình
Tóm lại, hệ đã cho có hai nghiệm là
Vậy chọn đáp án D.
Câu 7. Giải hệ phương trình hai ẩn: Hướng dẫn giải
Ta có:
Theo định lí Vi-et là nghiệm của phương trình:
Tóm lại, hệ đã cho có hai nghiệm là
Câu 8. Cho ba số phức thỏa mãn hệ
Tính giá trị của biểu thức với n là số nguyên dương.A. B.
C. D.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 172
www.thuvienhoclieu.com
1 22 21 2
z z 4 iz z 5 2i
1 2
1 1z z
1 3 i2 10 1 3 i2 10
1 3 i2 101 3 i2 10
1 2
1 2
z z 4 ihpt . z z 5 5i
1 2z ,z
22t 4 i t 5 5i 0, 5 12i 2 3i4 i 2 3it 3 i2 . 4 i 2 3it 1 2i2
1 2z ;z 3 i;1 2i ; 1 2i;3 i
3 3
z w 3 1 iz w 9 1 i
33 3z w z w -3zw z w =9 1 i
z w 3 1 ihpt . zw 5i
1 2z ,z
22t 3 1 i t 5i 0, 2i 1 it 2 i . t 1 2i
z;w 2 i;1 2i ; 1 2i;2 i
1 2 3z ,z ,z1 2 3
1 2 3
z z z 1z z z 1
2n 1 2n 1 2n 11 2 3S z z z
S 2 S 1 1S 2S 4
Chuyên Đề Số Phức
Hướng dẫn giải
Vì nên . Do đó
Vậy là ba nghiệm của phương trình:
Chứng tỏ trong ba số phức phải có một số bằng 1 và hai số còn lại đối
nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó :
Vậy ta có tổng S=1Chú ý: Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn hình học số phức hoặc dùng dạng lượng giác ( ví dụ dưới đây)
Câu 9. Giải hệ phương trình:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
Nhân (2) với 3 rồi cộng với (3) ta được
Lúc đó hệ phương trình trở thành:
Giải hệ trên ta được: Vậy chọn đáp án C.
Câu 10. Tìm số nghiệm của hệ phương trình A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 173
1 2 3z z z 1 1 2 31 2 3
1 1 1z , z , zz z z
1 2 3 1 2 31 2 3
1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 1 1 z z z z z z 1z z zz z z z z z z z z a
1 2 3z ,z ,z
1 2 3z ,z ,z
1 2 3z 1;z z
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 2 3 2 zS z z z 1 z z 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
z z z 4 2i 12z z z 2 5i 2z 2z 3z 9 2i 3
1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i . 1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .
1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i . 1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .
1 23z 2z 6 7i 4
1 27z 5z 15 17i 5
1 2 3
1 2
1
z z z 4 2i3z 2z 6 7i7z 5i 15 17i
1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
z z z 1z z z 1z z z 1
S 2 S 1 S 3 S 6
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ta có lưu ý sau: Chứng minh rằng nếu 3 số phức thõa mãn:
thì một trong 3 số đó phải bằng 1.Thật vậy
Ta có:
Nếu thì
Nếu thì , gọi điểm P biểu diễn số phức thì
P sẽ không trùng với O và nên đường trung trực của OP
cắt đường tròn đơn vị rại hai điểm và cũng là hai điểm biểu diễn
Do đó hoặc hoặc .
Vậy hoặc hoặc Áp dụng: giải hệ phương trình trên thì có một ẩn bằng 1 và tổng hai ẩn còn lại bằng 0.
Xét thì có nên
Từ giả thiết nên hay thì có hoặc
Vậy hệ có 6 nghiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba Vậy chọn đáp án D.
Câu 11. Cho hệ phương trình Tìm khẳng định đúngA. Hệ có nghiệm duy nhấtB. Hệ đã cho vô nghiệmC. Nghiệm của hệ là những số thựcD. Thành phần nghiệm của hệ có một số thực và một số phức
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
Ta có (*)
Từ (*) ta có , vì thế . Do đó nên hệ
có dạng
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 174
www.thuvienhoclieu.com
1 2 3z ;z ;z
1 2 3
1 2 3
z z z 1z z z 1
1 2 3 1 2 3z z z 1 1 z z z
z 1 2 3z z 0
z 1 11 z 0 1 2 31 z z z 0
1 2 31 z z z
11, z
2 3z ,z . 2 3 1z 1,z z 2 1 3z z ,z 1
1z 1 2z 1 3z 1.
1z 1 2 3z z 0 2 3z z .
1 2 3z z z 1 23z 1 2 2
3z 1 i 2 3z i,z i
2 3z i,z i.
1,i, i .
3 2
5 3z w 0.z w 1
3 2
5 3z w 0 (1)z w 1 (2)
15 103 2 10 915 95 3
z wz w 0 w w 1z w 1z w 1
10 9w w 1 w 1 910 91 w w w. w.w w w 13 5
5 5z 1 z .z 1 z 1z 1 z 1
Chuyên Đề Số Phức
Thử lại thấy thỏa mãn, vậy hệ đã cho có nghiệm Vậy chọn đáp án D.
Câu 12. Tìm số phức z thỏa mãn :
A. B. C. D. Hướng dẫn giải
Gọi số phức
Hệ
Vậy số phức cần tìm là : . Vậy chọn đáp án D. Câu 13. Tìm tham số m để hệ phương trình phức có nghiệm duy nhất:
, (ẩn z là số phức)
A. , B. ,
C. , D. , Hướng dẫn giải
Gọi
Theo giả thiết, ta có
là hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường tròn (C):
Và đường thẳng :
Đường tròn (C) có tâm và bán kính .
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất tiếp xúc với (C).
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 175
z;w 1;1
2 2
2z i z z 2i
z (z) 4
331z 4 i4
331z 4 i4
331z 4 i4
331z 4 i4
z x yi x,y
2 x (y 1)i (2y 2)i4xyi 4
2 3
3
x x 4y 4 1y1 1y y 4x x
331z 4 i4
z 3i 1 1z i 1 m z
m 1 3 m 1 15 m 1 3 m 1 5
m 1 5 m 1 15 m 1 5 m 1 3
z x yi, x,y
x 1 y 3 i 1x 1 y 1 i m x yi
2 2 2 2
2 2 2 22
x 1 y 3 1 x 1 y 3 1 *2 m 1 x 2y 2 m 0x 1 y 1 m x y
* 2 2x 1 y 3 1
22 m 1 x 2y 2 m 0
I 1;3 R 1
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Đặt , ta có
Vậy giá trị cần tìm là hay Vậy chọn đáp án A. Câu 14. Tìm nghiệm của hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và là tham số thực khác 0.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức là , . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường
tròn này có tâm E biểu diễn số phức và bán kính nên
có phương trình là Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực
này đi qua trung điểm của đoạn thẳng CD
và nhận làm véctơ pháp tuyến nên có
phương trình là . Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung
trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm thỏa mãn (*) và (**), tức là
nghiệm của hệ phương trình sau:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 176
www.thuvienhoclieu.com
2
2 22
m 2m 6d I, R 1 m 1 7 4 m 1 4
4 m 1 4
2t m 1 t 0
2 2t 7 4t 4 t 7 4t 4 t 18t 45 0 t 3,t 15
2t 3 m 1 3 m 1 3
2t 15 m 1 15 m 1 15
m 1 3 m 1 15
z 4 2i i (1)z 2z 2 1 (2)z 2i
z 2 2i, z 2 2i. z 2 2i, z 2 2i.
z 2 2i, z 2 2i. z 2 2i, z 2 2i.
4 2i 2
1 i1R 6 2i 3 i 102
2 2x 1 y 1 10 *
2, 2i
H 1 i
CD 2 2i
2 x 1 2 y 1 0 x y 0 **
x;y
2 2 2 2x y 0 y xx 1 y 1 10 x 1 x 1 10
Chuyên Đề Số Phức
hoặc .Vậy nghiệm của hệ phương trình là: Vậy chọn đáp án A.
Câu 15. Số nghiệm của hệ phương trình sau với z là ẩn số : A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Hướng dẫn giải Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn tâm E, bán kính . Phương trình đường tròn này là:
(*). Gọi A, B theo thứ tự là các điểm
biểu diễn số phức . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số . Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa độ
và có bán kính
Phương trình đường tròn Appollonius là : (**) Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai đường tròn (*) và (**), tức là
các điểm thỏa mãn hệ phương trình sau:
hoặc .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 177
y x x 2x 2 y 2
x 2y 2
z 2 2i, z 2 2i.
z 1 4i 3 (1)
z 3 2i 2 (2)3z i2
1 4i
R 3
2 2x 1 y 4 9
33 2i, i2
k 2
2
2
33 2i 4 i2a k bf 1 2i1 41 k
2k a bR1 k
32 3 2i i2 1 2i 51 4
2 2x 1 y 2 5
x;y
2 2 2 2
2 2 2 2x 1 y 4 9 x y 2x 8y 8 0
x y 2x 4y 0x 1 y 2 5
22 2 2y 2 xx y 2 0
x y 2x 4y 0 x 2 x 2x 4 2 x 0
2y 2 x x 1
y 1x x 2 0
x 2y 4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là và .Vậy chọn đáp án C.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 178
www.thuvienhoclieu.com
z 1 i z 2 4i
Chuyên Đề Số Phức
CHỦ ĐỀ 8. DẠNG LƯỢNG GIÁC SỐ PHỨC
Bài toán 1: Viết số phức dưới dạng lượng giácPhương pháp1. Để viết số phức dưới dạng lượng giác
Trước hết ta biến đổi:
Như vậy: . Đặt và Từ đó suy ra là 1 acgumen của .2. Chú ý các công thức biến đổi lượng giác:
*
I. Các ví dụ điển hình thường gặpVí dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) 5; b) -3 b)7i; d) .
Giải
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b) c) d)
Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 179
z a bi,(a,b ) z r(cos isin )
2 22 2 2 2
a bz a b ( i)a b a b
2 2r a b 2 2
acosa b
2 2
bsina b
z
2*1 cos isin 2cos 2isin cos2 2 2
2cos cos isin2 2 2
sin 11 itan 1 i (cos isin )cos cos
2i
5 5 1 0i 5 cos0 isin0 .
3 3 1 0i 3 cos +sin i .
7i 7 0 i 7 cos isin .2 2
2i 2 0 i 2 cos isin2 2
1 i 3; 3 i 3;1 3i;3 3
7 3 7i.3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
a)
b)
c)
d) Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b)
c) Giải
a)
b)
c)
Ví dụ 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) ; b) c)
Giải
a) Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 180
www.thuvienhoclieu.com
1 31 i 3 2 i 2 cos isin .2 2 3 3
1 i3 i 3 3 1 i 6 6 cos isin .4 42 2
1 3 2 1 3 2i i cos isin .3 3 3 2 2 3 3 3
7 3 7 3 14 3 1 3 14 37i 1 i 3 i cos isin .3 3 3 2 2 3 3 3
1 3i 1 2i ; 1 i 1 3 2 i ;
2 2i . 2 3 2 4 i ;
21 3i 1 2i 1 6i 3i 2i 5 5i 5 1 i
1 1 3 35 2 i 5 2 cos isin .4 42 2
1 i 1 3 2 i 1 3 2 3 2 1 i
3 3 3 1 i 3 3 1 3 1 i
3 13 1 3 i 2 3 1 i2 2
2 3 2 cos isin .6 6
2 2i . 2 3 2 4 i 2 6 2 8 6 4 2 2 2 i
6 2 6 6 6 2 i 6 2 6 1 i
1 12 6 2 6 i2 2
12 6 2 cos isin .4 4
12 2i
3 i ;1 2i
1 i 3.1 i
Chuyên Đề Số Phức
b)
c)
Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b) Giải
a) Ta có:
b)
Cách khác:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 181
1 1 2 2 cos isin
2 2i 4 4 42 1 i 4 cos isin4 4
2
3 i 1 2i3 i 3 2 6i i 5 5i 1 i1 2i 1 41 2i 1 2i 1 2i
1 12 i 2 cos isin .4 42 2
1 i 3 2 7 7cos isin 2 cos isin1 i 3 4 3 4 12 122
i13
1 3 1 3 i.
sini 1 261 1 itan 1 i cos isin cos isin .6 6 6 6 63 3cos cos
6 6
sin sin
3 31 3 1 3 i 1 tan 1 tan i 1 1 i3 3 cos cos
3 3
1 1cos sin cos isin i3 3 3 3cos cos
3 31 1cos sin sin cos i
3 3 3 3cos cos3 3
1 12cos 2sin .i3 4 3 4cos cos
3 3
2 2 cos isin 2 2 cos isin .12 12 12 12
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Mà Do đó:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 182
www.thuvienhoclieu.com
1 31 3 1 3 i 1 3 1 i1 3
tan tan4 31 3 1 i
1 tan .tan4 3
1 3 1 itan 1 3 1 itan .4 3 12
sin12 1 31 3 1 i cos isin
12coscos 1212
.12
1 3 1 3cos cos cos .cos sin .sin .12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 2
1 31 3 1 3 .i cos isin12 12cos
12
2 2 cos isin .12 12
Chuyên Đề Số Phức
II. Bài tập tự luyệnBài tập 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b)
c) d)
Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có
Bài tập 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) ; b) ;
c) d) Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 183
2 i 3 i 2 2 i 2
6 2i
1 i 1 ( 3 2)i 33 2i 3 i3
2 22 i 3 i 5 5i 5 2 i 5 2 cos isin .2 2 4 4
2 2 i 2 2 2 1 2 2 1i i cos isin6 2i 4 4 2 2 2 2 4 4
1 i 1 ( 3 2)i 3 3 1 3 i 1 3 3 i
3 12 2 3 i 2 2 3 cos isin .2 2 3 3
3 7 3 33 2i 3 i 7i 7 i3 3 3
14 3 1 3 14 3i. cos isin .3 2 2 3 3 3
2 1 i 2 3 i
1 2 1 i; 1 2 3 i.
1 12 1 i 2 1 i 2 1 cos isin4 42 2
22 2cos 2isin .cos 2 2cos cos isin .8 8 8 8 8 8
3 i 5 52 3 i 2 1 2 1 cos isin2 2 6 6
2 5 5 5 5 5 52 2cos isin .cos 4cos cos isin .12 12 12 12 12 12
1 2 1 i 2 1 2 1 2 1 i
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
d)
Bài tập 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài tập 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 184
www.thuvienhoclieu.com
2
1 i2 1 2 1 i 2 2 1 12 2
3 32 2 1 1 cos isin4 4
3 3 32 2 1 2cos 2isin .cos8 8 8
3 3 32 2 2 1 .cos . cos isin .8 8 8
1 2 3 i 2 3 2 3 2 3 i
2
3 i2 3 2 3 i 2 2 3 12 2
2 2 3 1 cos isin6 6
2 2 3 2cos 2issin .cos12 12 12
4 2 3 cos . cos isin .12 12 12
a) z cos isin ; b)z 5 cos isin .9 9 6 6
z cos isin cos isin cos isin9 9 9 9 9 9
cos isin .10 10
5 5z 5 cos isin 5 cos isin 5 cos isin6 6 6 6 6 6
a) cos isin ; b) cos isin ; c) cos isin .
cos isin cos isin cos isin
Chuyên Đề Số Phức
b) Ta có:
c) Ta có: Bài tập 5. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Khi thì dạng lượng giác là
Khi thì dạng lượng giác là
Khi thì không có dạng lượng giác.b) Ta có
Khi thì dạng lượng giác là
Khi thì dạng lượng giác là
Khi thì không có dạng lượng giác.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 185
cos isin cos isin
cos isin cos isin .
1 cos isina) ; b) 1 cos isin 1 cos isin .
1 cos isin
2
2
2sin 2isin cos1 cos isin 1 cos isin 2 2 21 cos isin 1 cos isin 2cos 2isin cos
2 2 2sin icos
2 2tan . itan2 2cos isin
2 2
tan 02 tan cos isin
2 2 2
tan 02 tan cos isin
2 2 2
tan 02
1 cos isin 1 cos isin
2sin sin icos .2cos cos isin2 2 2 2 2 2
2sin cos isin2 2 2
sin 02 2sin cos isin
2 2 2
sin 02 2sin cos isin
2 2 2
sin 02
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Bài toán 2: Áp dụng công thức Moivre để thực hiện các phép tínhPhương pháp
*
*
*
*
*
I. Các ví dụ điển hình thường gặpVí dụ 1. Tính các giá trị của số phức sau và viết kết quả của chúng dưới dạng
b) ;
Giải
a) Ta có:
b) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 186
www.thuvienhoclieu.com
n(cos isin ) cosn isinn
, , , ,(cos isin )(cos isin ) cos( ) isin( )
, ,, ,
cos isin cos( ) isin( )cos isin
21 cos isin 2cos 2isin cos2 2 2
2cos cos isin2 2 2
sin 11 itan 1 i (cos isin )cos cos
a bi, a,b
2 2 3 3a)A cos isin cos isin . 7 7 14 14
7 cos isin4 4B
5 cos isin12 12
3
4
cos isin5 5c) C
cos isin15 15
2 2 3 3A cos isin . cos isin7 7 14 14
2 3 2 3cos isin cos isin i.7 14 7 14 2 2
7 cos isin4 4 7B cos isin
4 12 4 1255 cos isin12 12
7 105 35cos isin i.6 6 10 105
Chuyên Đề Số Phức
c) Ta có
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để là số thực.(Trích đề thi thử số 1 năm 2012, TT 46/1 Chu Văn An, Huế)
Giải
Ta có:
Do đó
Số đó là số thực khi và chỉ khi Số nguyên dương bé nhất cần tìm là .Ví dụ 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
; b)
c) d) Giải
a) Ta có
b) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 187
3
4
3 3cos isin cos isin5 5 5 5C
4 4cos isincos isin 15 1515 153 4 3 4 1 3cos isin i.5 15 5 15 2 2
n3 i1 i
3 i 2 cos isin ;1 i 2 cos isin6 6 4 4
3 i 5 52 cos isin1 i 12 12
n n23 i 5n 5n2 cos isin
1 i 12 12
5n 5n 5nsin 0 k k k12 12 12
n 12
9 91 i 1 ia) A2 2
7 71 i 3 1 i 3B
2 2
6 65 5C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3 ;
5 5
4 4
1 i 3 1 i 3D
1 i 1 i
99 9 91 i 1 iA cos isin cos isin4 4 4 42 2
9 9 9 9cos isin cos isin4 4 4 49 9 9 9cos isin cos isin cos cos 24 4 4 4 4 4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
c) Ta có
d) Ta có
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau
a)
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 188
www.thuvienhoclieu.com
7 7 771 i 3 1 i 3B cos isin cos isin2 2 3 3 3 3
7 7 7 7cos isin cos isin3 3 3 3
7 7 7 7cos isin cos isin 2isin i 33 3 3 3 3
6 65 5
6 65 5
5656
556
C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3
1 i 3 1 i 1 i 1 i 32 2 2 22 2 2 22 2 2 2
2 2 cos isin cos isin3 3 4 4
2 2 cos isin cos4 4 3
6
isin3
8
8
6 6 5 52 2 cos isin cos isin3 3 4 4
5 5 6 62 2 cos isin cos isin4 4 3 3
8 95 5 5 5 52 2 cos isin cos isin 2 2cos 5124 4 4 4 4
5 55 55 5
4 4 4 44 4
5555
5 422
1 3 1 32 i 2 i1 i 3 1 i 3 2 2 2 2D
1 i 1 i 1 i 1 i2 22 2 2 2
2 cos isin2 cos isin 3 33 3
2 cos isin2 cos isin 4 44 4
5 55 5 cos isincos isin 3 33 38 8cos isin5 5cos isin
4 41 i 3 1 i 38 82 2 2 2
81 1
4 45 5 5 5A 1 cos isin 1 cos isin ;3 3 3 3
Chuyên Đề Số Phức
b) ; c) .Giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 189
4
4
1 cos isin6 6B
1 cos isin6 6
2
2
8 81 cos isin3 3C8 81 cos isin3 3
4 4
4 42 2
4 4
5 5 5 5A 1 cos isin 1 cos isin3 3 3 3
5 5 5 5 5 52cos 2isin cos 2cos 2isin cos6 6 6 6 6 6
5 5 5 5 5 52cos cos isin 2cos cos isin6 6 6 6 6 6
5 52cos cos isin6 6
445 5 5 52cos cos isin6 6 6 6
4 42 3 20 20 2 3 20 20cos isin cos isin
2 6 6 2 6 620 209 2cos 18cos 9.6 6
4 4
4 4
1 cos isin 1 cos isin6 6 6 6B
1 cos isin 1 cos isin6 6 6 64 4 2 21 cos isin 1 cos isin6 6 3 3
4 4 2 21 cos isin 1 cos isin6 6 3 3
1 co
2 2 2cos cos isins isin 3 3 33 32 21 cos isin 2cos cos isin3 3 3 3 3
1 i 3cos isin3 3 3 3 2 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 5. a) Chứng minh số phức là số thực.(Trích Trường THPT Kon Tum, lần 3 – 2012)
b) Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn là số thực.(Trích Trường THPT Quế Võ số 1, lần 4 – 2013)
Giảia) Ta có:
b) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 190
www.thuvienhoclieu.com
2 2
2 2
2
2
8 8 2 21 cos isin 1 cos isin3 3 3 3C8 8 2 21 cos isin 1 cos isin3 3 3 3
2 2 4 41 cos isin 1 cos isin3 3 3 3
42 2 1 cos1 cos isin 33 3
4isin3
2 2
2 2
2 2 2 2 2 22sin 2isin cos 2sin 2isin cos3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 22sin 2isin cos 2sin 2isin cos3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 22sin sin icos sin icos3 3 3 3 32 22 2 2 sin icos2sin sin icos 3 33 3 3
cos isin6 6
cos isin6 6
cos isin6 6 1 i 3cos isin .
6 6 6 6 2 2cos isin6 6
241 iz3 3i
n3 i 3A
3 3i
242424
2424
12 12
2 cos isin4 41 iz
3 3i2 cos isin
6 6cos 6 isin 6 1 1
40962 cos4 isin4 2
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 6. Giả sử z là số phức thỏa mãn . Tìm số phức (Trích Trường THPT Chuyên ĐH Vinh – 2012)
Giải
Từ giả thiết ta có
Với ta có:
Với ta có:
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .(Trích Trường THPT Phan Bội Châu, Nghệ An lần 2 – 2013)
Giải
Đặt
Do đó Phần thực của z là 16, phần ảo của z là 16.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 191
n n3 i n nA cos isin cos isin2 6 6 6 6
nA sin 0 n 6k, k , k 16
2z 2z 4 0
71 3 zw
2 z
2z 2z 4 0 2z 1 3 z 1 3i
z 1 3i
77 7
7 7
cos isin1 i 4 43 3i 1w .3 3i 8 23 i cos isin
6 6
7 7cos isin1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i7 7 8 32 328 2 3 icos isin6 6
z 1 3i
77
7 7
cos isin1 i 4 41w .8 23 i cos isin
6 6
7 7cos isin1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i7 7 8 32 328 2 3 icos isin6 6
z 1 2 i 3 i2z 2i
9z
z x yi, x,y z x yi
z 1 2 i 3 i 4 2i z 3 i z 2 4i x y 7y 3x i 2 4i2z 2i
x y 2 x y 1 z 1 i7y 3x 4
99 9 9z 2 cos isin 16 16i4 4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 8. Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm số n
nguyên dương nhỏ nhất sao cho .(Trích Trường THPT Nguyễn Văn Cừ, Bắc Ninh lần 3 – 2013)
Giải
Phương trình (1). (1) có
Do đó các căn bậc hai của là .
Vậy (1) có các nghiệm là
Ví dụ 9. Cho là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực,
phần ảo của số phức: , biết có phần ảo dương.(Trích Trường THPT Can Lộc, Hà Tĩnh lần 2 – 2014)
Giải
Vì nên phương trình có hai nghiệm phức: (do có phần ảo dương)
Ta có:
Do đó: Vậy phần thực bằng 1, phần ảo bằng 0.
Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất nên từ (*) suy ra .
Ví dụ 10. Cho số phức z biết . Viết dạng lượng giác của . Tìm phần thực và
phần ảo của số phức
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 192
www.thuvienhoclieu.com
1 2z , z2 5z 2cos z 1 0
21
n n1 2z z 1
2 5z 2cos z 1 021
2 25 5' cos 1 sin21 21
'5isin21
1 25 5 5 5z cos isin , z cos isin21 21 21 21
1 2z , z 2z 2z 4 0 2013
1
2
zwz
1z
3 1 2z 1 3i, z 1 3i 1z
2 2 21
2
1 3iz 1 3i 1 3i cos isinz 4 2 2 3 31 3i
2013 40261
2
z cos isin cos1342 isin1342 1z 3 3
n nn n
1 2
n n
5 5 5 5z z 1 cos isin cos isin 121 21 21 21
5 5 5 5cos isin cos isin 121 21 21 21
n5 n5 n5 n5cos isin cos isin 121 21 21 21
n5 n5cos cos21
121
n5 n5 7 42kcos cos k2 n k *21 3 21 3 5 5
n 7
z 1 3i z
5w 1 i z
Chuyên Đề Số Phức
GiảiCách 1: Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Do đó:
Suy ra:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là
Cách 2: Dạng lượng giác của số phức
Ta có:
Áp dụng công thức Movie, ta có
Vậy phần thực
của số phức w là và phần ảo của số phức w là II. Bài tập rèn luyệnBài tập 1. Tính các giá trị của số phức sau và viết kết quả của chúng dưới dạng
; b) ;
Hướng dẫn giải
a) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 193
1 i 3z 2 2 cos i.sin2 2 3 3
5 5 5 1 i 3z 32 cos i.sin 32 16 16i 33 3 2 2
w 1 i 16 16i 3 16 1 3 16 1 3 i
5w 1 i z 16 16 3 16 16 3
z 1 3i
r 1 3 2r 21cos z 2 cos isin
2 3 333sin
2
5 5 5 5 1 i 3z 2 cos i.sin 32 16 1 i 33 3 2 2
5w 1 i z 1 i .16 1 i 3 16 1 3 1 3 i 16 1 3 16 1 3 i
16 16 3 16 16 3
a bi, a,b
5 5a) A 5 cos isin cos isin9 9 36 36
5i 3B
cos isin6 6
10
5
2 22 cos isin 3 cos isin3 3 3 3c) C .
7 72 cos isin6 6
5 5A 5 cos isin cos isin9 9 36 36
5 5 5 2 5 25 cos isin 5 cos isin i .9 36 9 36 4 4 2 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
b) Ta có
c) Ta có
Bài tập 2. Cho số phức . Tìm m nguyên để là số thực, là số ảo
Hướng dẫn giải
Ta có:
Bài tập 3. Cho số phức . Tính .(Trích Trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – 2013)
Giải
Ta có
Suy ra
Bài tập 4. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm phần thực của số phức .(Trích Trường THPT Chuyên Trần Phú, lần 2 – 2013)
Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 194
www.thuvienhoclieu.com
5 5
3 cos isin 3 cos isin2 2 2 2i 3B
5 5cos isincos isin cos isin 6 66 6 6 6
5 5 3 33 cos isin 3 cos isin i2 6 2 6 3 3 2 2
10
5
2 22 cos isin 3 cos isin3 3 3 3
C7 72 cos isin6 6
20 2032 3 cos isin cos isin3 3 3 3
35 3532 cos isin6 6
20 35 20 353 cos isin3 3 6 3 3 6
7 73 cos isin6 6
3 i 3 33 i2 2 2 2
m7 iz4 3i
z z
mm27 i m mz 2 cos isin (*)
4 3i 4 4
z laø soá thöïc m 4k, k ; z laø soá aûo m 4k 2, k
z 1 3i 7z
1 3z 1 3i 2 i 2 cos isin2 2 3 3
7 7 7z 128 cos isin 128 cos isin 64 64 3i3 3 3 3
z 6 7iz1 3i 5
2013z
Chuyên Đề Số Phức
Gọi số phức thay vào (1) ta có:
Vậy phần thực của là
Bài tập 5. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực,
phần ảo của số phức .(Trích Trường THPT Chuyên Quảng Bình, lần 2 – 2014)
Giải
Ta có Áp dụng công thức Moa-vrơ:
. Phần thực của w là -1, phần ảo là 0.
Bài tập 6. Cho các số phức z thỏa mãn: . Chứng minh rằng z có phần thực bằng 1.
(Trích Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị - 2014)Giải
Ta có không thỏa mãn phương trình nên .
nên đặt
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 195
z a bi, a,b z a bi
a bi 1 3ia bi 6 7i 6 7ia bi a bi1 3i 5 10 5
10a 10bi a 3b i b 3a 12 14i9a 3b i 11b 3a 12 4i9a 3b 12 a 111b 3a 14 b 1
2013
20132013a b 1 z 1 i z 1 i 2 cos isin4 4
1006 2013 20132 . 2 cos isin4 4
2013z1006 100620132 2.cos 2
4
1 2z , z 2z z 1 0 2014 20141 2w z z
12
2
1 3z i2 2z z 1 01 3z i2 2
1 21 3 1 3z i cos isin ; z i cos isin2 2 3 3 2 2 3 3
2014
1
2014
2
2014 2014 2 2z cos isin cos isin cos isin3 3 3 3 3 3
2014 2014 2 2z cos isin cos isin cos isin3 3 3 3 3 3
2 2w cos cos 13 3
5 52 z z
z 0; z 2
55 5 2 z2 z z 1
z
2 z 0z
2 z r cos isinz
5
52 z r cos5 isin5 1 1 cosk2 isink2z
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Nên
Vậy z luôn có phần thực là 1.
Bài tập 7. Biết rằng số phức thỏa mãn . Hãy tính Hướng dẫn giải
Từ
Bài tập 8. Cho Tính
Hướng dẫn giải
Ta có:
a) Ta có
Do đó:
b) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 196
www.thuvienhoclieu.com
2 z k2 k2 2 k2 k21 cos isin 1 cos isin 0z 5 5 z 5 5
2 2 2
2 2z k2 k2 k k k1 cos isin 2cos cos isin5 5 5 5 5k k k kcos isin cos isin k5 5 5 5 1 itan
k 5k k k coscos cos i sin 55 5 5
z1z 1z
2010
20101z
z
20102010
1 3z i cos isin1 12 2 3 3z 1 z 2z 1 3 zz i cos -isin
2 2 3 3
1 i 3z .2
12 6 9 6 3
8 4 2 2 3 8
2 3 9 10 2009 2010 2011
a) A z z 1; b) B z z z 1;c) C z 2z z ; d) D 1 z z z ... z ;e) E 1 z z z ... z z ; f) F z z z .
1 i 3z cos isin2 3 3
1212 12 12z cos isin cos isin 1
3 3 3 3
66 6 6z cos isin cos isin 1
3 3 3 3
12 6A z z 1 3
99 9 9z cos isin cos isin 1
3 3 3 3
Chuyên Đề Số Phức
Vậy
Cách 2. Ta có thể xem B là tổng của cấp số nhân 4 số hạng liên tiếp, số hạng đầu là 1,
công bội là . Suy ra ta có:
Với Vậy
c) Ta có
Vậy
d) Ta có là tổng của cấp số nhân có 9 số hạng, số hạng đầu bằng 1, công bội là
Do đó:
với
Do đó:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 197
66 6 6z cos isin cos isin 1
3 3 3 3
33 3 3z cos isin cos isin 1
3 3 3 3
9 6 3B z z z 1 0
3z
434 129 6 3
1 3 3
1 z1 q 1 zB z z z 1 u1 q 1 z 1 z
12 3z 1, z 1. B 0.
22 2 2 1 i 3z cos isin cos isin
3 3 3 3 2 2
44 4 4 1 i 3z cos isin cos isin
3 3 3 3 2 2
88 8 8 1 i 3z cos isin cos isin
3 3 3 3 2 2
8 4 2C z 2z z 2
2 3 8D 1 z z z ... z z
9 9
11 q 1 qD u .1 q 1 q
9z 1
4 1 i 31 1 4D 1 i 3.1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 32 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
e)
Ta có là tổng của cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu
bằng 1, công bội là
Do đó:
Với
Và
.
Vậy
f) Ta có
Với
Vậy .
Bài tập 9. Chứng minh rằng:
a) và
b) Cho số phức .
Tính
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 198
www.thuvienhoclieu.com
2 3 9 10E 1 z z z ... z z
z
1111 111 z1 q 1 zE1 q 1 z1 z
1 i 3 3 i 3z z 12 2 2
1111 11 11 1 i 3z cos isin cos isin
3 3 3 3 2 2
11 3 i 3z 12 2
3 3i 3 3i 1 i 32 2E .2 23 3 3 3ii
2 2
2009 2010 2011 2009 2F z z z z 1 z z
2 21 i 3 1 i 3z z 1 z z 02 2 2
F 0
6 2sin12 4
6 2cos .
12 4
6 2 6 2z i4 4
2 22 2
1 1 1 1A z z 2 ; B z z 2iz zz z
Chuyên Đề Số Phức
Hướng dẫn giải
a) Ta có
b) Theo câu a) ta có
Ta có
Do đó:
Vậy .
Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức . Trong đó n thỏa mãn:
.Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 199
6 2sin sin sin cos cos sin12 3 4 3 4 3 4 4
6 2cos cos cos cos sin sin12 3 4 3 4 3 4 4
222
6 2 6 2z i cos isin4 4 12 12
1 1z 1 z 1hay z.z 1 z vaø zz z
2 22 2
222
1 1 1 1A z z 2 z z 2z zz z
z z 2.z.z z z z z z z vôùi z z 2cos12
22A 2cos 2cos 2 2cos 2cos 2 1 cos 2cos
12 12 12 12 6 123 6 2 6 22 1 2. 2 3 .2 4 2
4 2 3 6 2A2
2 22 2
22
1 1 1 1B z z 2i z 2i zz zz z
z z 2i z z z z z z 2i - z z
2isin .2cos 2i 2isin 2isin 2i 2isin12 12 12 6 12
1 6 2 6 6 22i sin 1 sin 2i 1 i.6 12 2 4 2
nz 1 i , n
4 5log n 3 log n 6 4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Phương trình: có nghiệm duy nhất là (vì VT của phương trình là một hàm số đồng biến nên đồ thị của nó cắt đường thẳng tại một điểm duy nhất)Ta có:
Suy ra .
Bài tập 11. Cho số phức . Viết z dưới dạng lượng giác. Tìm phần
thực và phần ảo của số phức .Giải
Ta có:
Khi đó:
Vậy phần thực của w là , phần ảo là .
Bài tập 12. Tìm điều kiện đối với các số phức a,b,c sao cho với mọi số phức z thỏa mãn
thì là số thực.Lời giải
Vì là số thực nên ta có các giá trị đặc biệt: Chọn thì (1) Chọn thì (2) Chọn thì (3) Chọn thì (4)
Từ (1) và (2) ta có Nhưng từ (3) và (4) ta có do đó Khi đó, từ (1) và (3) thì
Vì nên đặt ta có:
khi và chỉ khi
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 200
www.thuvienhoclieu.com
4 5log n 3 log n 6 4 n 19y 4
19 1919 1919
19 19 9 9
1 1z 1 i 2 i 2 cos isin4 42 2
19 19 1 12 cos isin 2 i 2 i.24 4 2 2
9Rez 2 512
7 i 3z1 2i 3
5w 1 i 3 z
22
7 i 3 1 2i 37 i 3z 1 i 31 2i 3 1 2 3
z 2 cos isin3 3
5
5
w 1 i 3 2 cos isin3 3
5 5 1 i 31 i 3 .2 cos isin 32. 1 i 3 32 32i 33 3 2 2
32 32 3
z 1 2az bz c
2az bz c
z 1 a b c R.
z 1 a b c R.
z i a ib c R.
z i a ib c R. b R. ib R b 0.
a,c R.
z 1 z cos isin R
2az bz c a cos2 isin2 b cos isin cacos2 c iasin2 R
asin2 0,
Chuyên Đề Số Phức
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi .Vậy giá trị cần tìm là và c là một số thực tùy ý.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 201
a 0a b 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Bài toán 3. Tìm môđun và acgumen của số phức
Phương pháp: Nhìn chung các bài tập này có cách giải như sau: Giả sử ta cần tìm một acgumen của số phức z. Ta cần biến đổi sao cho z có dạng
1. Với ta có mô đun của là
Và 1 acgumen của là thỏa ;
2. Với thì có mô đun là và 1 acgumen của là
3. Với
4. Với I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Cho số phức . Tìm một acgumen của số phức z.Giải
Do neân . Vậy, một acgumen của z là Ví dụ 2. Cho số phức z có mô đun bằng 1 và là một acgumen của z
a) Tìm một acgumen của
b) Tìm một acgumen của nếu Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra a) Ta có
Vậy một acgumen của z là
b) Ta có :
Nếu thì . Lúc đó là một acgumen của
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 202
www.thuvienhoclieu.com
z r cos isin
z a bi,(a,b ) z 2 2r a b
z
2
2 2
acosa b
2
2 2
bsina b
z r(cos isin ) z r z
z r(cos isin ) r cos( ) isin( )
z r(sin icos ) r cos( ) isin( )2 2
z 1 sin icos , 02
2
z 1 sin icos 1 cos isin2 2
2sin 2isin cos4 2 4 2 4 2
2sin sin icos4 2 4 2 4 2
2sin cos isin4 2 4 2 4 2
02
2sin 04 2
4 2
zz
z z cos 0
z cos isin
cos isinz cos isin cos 2 isin 2z cos isin cos isin
2
z z 2cos
cos 0 z z 2cos 2cos cos0 isin0 0
z z
Chuyên Đề Số Phức
Nếu thì . Lúc đó là một acgumen
Ví dụ 3. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a) ; b)
c) ; d)
e) Giải
a)
Vậy
b)
Vậy
c)
Vậy
d)
Vậy
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 203
cos 0 z z 2cos .( 1) 2cos cos isin
z z
z 1 cos isin4 4
z 1 cos isin3 3
2 2z 1 cos isin5 5
z 1 sin isin3 6
z 1 sin isin .6 6
2z 1 cos isin 2cos 2isin cos4 4 8 8 8
2cos cos isin8 8 8
r 2cos8
.8
2z 1 cos isin 2cos 2isin .cos3 3 6 6 6
2cos cos isin 2cos cos isin6 6 6 6 6 6
r 2cos 36
.6
22 2z 1 cos isin 2sin 2isin .cos5 5 5 5 5
3 32sin sin icos 2sin cos isin .5 5 5 5 10 10
r 2sin5
310
z 1 sin isin 1 cos 2isin3 6 6 6
22cos 2isin cos12 12 12
11 112cos cos isin 2cos cos isin12 12 12 12 12 12
r 2cos12
1112
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
e)
Vậy Ví dụ 4. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a) b)
c) d) Giải
Ta kí hiệu r và lần lượt là môđun và acgumen của số phức z, ta có
a)
Vậy
b)
Vậy
c)
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 204
www.thuvienhoclieu.com
z 1 sin isin 1 cos isin6 6 3 3
22sin 2isin .cos6 6 6
1 7 72sin sin icos 2. sin icos6 6 6 2 6 6
2 2cos isin .3 3
r 12 .3
1 1z 1 i;2 2
z 2 2 i 2;
z 2 3 3 i 3; 3 2 1z i.3 3 3
1 1z 1 i 1 cos isin4 42 2
22cos 2isin .cos 2cos cos isin8 8 8 8 8 8
2cos cos isin8 8 8
r 2cos8
.8
2 i 2z 2 2 i 2 2 1 2 1 cos isin2 2 4 4
22 2sin 2isin .cos 4sin sin icos8 8 8 8 8 8
3 3 3 34sin cos isin 4sin cos isin8 8 8 8 8 8
r 4sin8
3 .8
3 1z 2 3 3 i 3 2 3 1 i 2 3 1 cos isin2 2 6 6
22 3 2cos 2isin .cos 4 3cos cos isin12 12 12 12 12 12
Chuyên Đề Số Phức
Vậy
d)
Vậy
Ví dụ 5. Gọi là hai nghiệm của phương trình: có phần thực âm. Tính môđun và acgumen của các số phức sau:
a) b)
c) d) Giải
Ta gọi r và lầ lượt là môđun và acgumen của số phức w.
Giải phương trình: ta được 2 nghiệm là:
có phần thực âm và
a) Ta có: ; Suy ra:
Vậy w có môđun và một acgumen là: b) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 205
r 4 3cos12
.12
3 2 1 2 3 1 2 3 1z i i 1 i3 3 3 3 3 3 3 2 2
22 42sin 2isin .cos sin sin icos3 12 12 12 3 12 12 124 4 7 7sin sin icos sin cos isin3 12 12 12 3 12 12 12
4r sin3 127 .12
1 2z ,z 21z 2iz 4 0,z
21 2w z .z ;
1
2
zw ;z 2
1 2w z 2 z 2 ; 1 2w z . 2 z .
2z 2iz 4 0
1 13 1 5 5z 3 i 2 i 2 cos isin ,z2 2 6 6
23 1z 3 i 2 i 2 cos isin .2 2 6 6
21
5 5z 4 cos isin3 3
2z 2 cos isin .
6 6
21 2
5 5 11 11w z .z 4.2. cos isin 8 cos isin .3 6 3 6 6 6
r 8116
23 1z 2 3 i 2 2 1 i 2 1 cos isin2 2 6 6
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Suy ra:
Vậy có môđun và acgumen là
c) Ta có theo câu b) và
Suy ra
Vậy có môđun và một acgumen là: Cách khác: Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng công thức Vi-et:
Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 206
www.thuvienhoclieu.com
22 2sin 2isin .cos 4sin sin icos12 12 12 12 12 12
7 74sin sin isin 4sin cos isin .12 12 12 12 12 12
1
2
5 52 cos isinz 6 6 1 5 7 5 7w cos isinz 2 6 12 6 127 7 2sin4sin cos isin 1212 12 121 3 3 1cos isin cos isin .
12 12 4 42sin 2sin12 12
1
2
zwz 2
1r2sin
12
.4
27 7z 2 4sin cos isin
12 12 12
1
2
3 1z 2 3 i 2 2 1 i 2 1 cos isin2 2 6 6
2 2cos 2isin .cos 4cos cos isin12 12 12 12 12 12
11 114cos cos isin .12 12 12
1 211 11 7 7w z 2 z 2 4cos cos isin .4sin cos isin
12 12 12 12 12 1211 7 11 716.sin .cos cos isin
12 12 12 12 12 12
18 18 3 38.sin . cos isin 8sin cos isin6 12 12 6 2 2
3 34cos cos isin .12 2 2
1 2w z 2 z 2
r 43 .2
1 2 1 2z z 2i, z z 4.
1 2 1 2 1 2w z 2 z 2 z .z 2 z z 4 4 2.2i 4 4i
3 34 0 i 4 cos isin .2 2
Chuyên Đề Số Phức
d)
Với
và Suy ra
Vậy có môđun và acgumen là: Ví dụ 6. Tìm môđun và một acgumen của số phức z thỏa mãn phương trình:
Giải
Ta có
Đặt Ta có:
Chọn ta được
Vậy có 2 số phức z thỏa mãn là:
có môđun , một acgumen là và có môđun , một acgumen là
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 207
1 2 1 2 1 2 1 2w z . 2 z w z . 2 z z . 2 z z . z 2 .
15 5 5 5z 2 cos isin 2 cos isin6 6 6 6
5 52 cos isin 2 cos isin6 6 6 6
27 7z 2 4sin cos isin .
12 12 12
1 27 7w z . z 2 2 cos isin .4sin cos isin
6 6 12 12 127 7 5 58sin . cos isin 8sin . cos isin
12 6 12 6 12 12 12 125 5w 8sin . cos isin 8sin . co
12 12 12 12
5 5s isin .12 12
1 2w z . 2 z
r 8sin12
5 .12
2
21 z i.1 z
2
2 2 2 22
1 z 1 ii 1 z i iz 1 i z 1 i z1 i1 z
22
1 i 2i1 i 1 iz i cos isin
1 1 2 21 i 1 i
z 1. 2z cos isin z cos2 isin2 .
2z cos isin cos2 isin2 cos isin2 2 2 2
2 k2 k .2 4
k 0,1 1 25, .
4 4
2
21 z i1 z
1z r 1 1 4
2z r 1
5 .4
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 7. Trong các acgumen của số phức , tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất.
(Trích Ebooktoan.com số 13 – 2013)Giải
Ta có
Theo công thức Moavơrơ ta có: . Từ đó suy ra z có các họ
acgumen là: . Ta thấy với thì acgumen dương nhỏ nhất của z là .
Ví dụ 8. Tìm acgume âm lớn nhất của số phức .Giải
Aps dụng công thức Moa vro, ta có:
Các acgumen của z đều có dạng . Ta có hay
Acgumen âm lớn nhất của z tương ứng với
Vậy acgumen cần tìm của z là
Ví dụ 9. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: .(Trích Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ – 2013)
Giải
Ta có:
Giả sử
Từ (1) và (2) suy ra:
Cho ta nhận được các giá trị acgumen tương ứng của số phức là
Từ đó phương trình đã cho có 4 nghiệm lần lượt là:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 208
www.thuvienhoclieu.com
81 3i
1 31 3i 2 i 2 cos isin2 2 6 3
8 8 8z 2 cos isin3 3
8 2k , k3
k 2
43
10z 1 i 3
10 1010 10 101 3z 1 i 3 2 i 2 cos i.sin
2 2 3 3
10 1010 10 4 4z 2 cos i.sin 2 cos i.sin3 3 3 3
4 k2 k Z3
4 2k2 0 k3 3
k ..., 4, 3, 2, 1
k 1
23
4z i 1 i 3
4 4 2 2z i 1 i 3 z i 2 cos isin 13 3
4 4z i r cos isin , r z i r cos4 isin4 2
44r 2
r 22cos4 cos k3 k6 22sin4 sin
3
k 0, 1, 2 z i
1 2 3 42 5, , ,
6 3 3 6
Chuyên Đề Số Phức
hay
hay
hay
hay Nhận xét: Dạng lượng giác luôn phát huy được ưu thế của mình khi xử lí các biểu thức lũy thừa bậc cao của số phức.
Ví dụ 10. Gọi là nghiệm của phương trình . Tìm số n nguyên
dương nhỏ nhất sao cho Giải
Đặt (1). Biệt thức của (1) là
.
Vậy (1) có các nghiệm là và
Vì n là số nguyên nhỏ nhất nên từ suy ra:
Ví dụ 11. Tìm số phức z thỏa mãn: biết có một acgument bằng một acgument
của cộng với . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .Giải
Đặt . Khi đó có một acgument bằng acgument của cộng
với nên với .
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 209
4z i 2 cos isin6 6
4418 2z 1 i2 2
4 2 2z i 2 cos isin3 3
4 42 18z 1 i2 2
4z i 2 cos isin3 3
4 42 18z 1 i2 2
4 5 5z i 2 cos isin6 6
4418 2z 1 i2 2
1 2z ,z2 5z 2cos z 1 0
21
n n1 2z z 1
2 5z 2cos z 1 021
2' 2 2 25 5 5cos 1 sin isin
21 21 21
15 5z cos isin21 21
25 5z cos isin21 21
n nn n
1 25 5 5 5z z 1 cos isin cos isin 121 21 21 21
n n5 5 5 5cos isin cos isin 121 21 21 21
n5 n5 n5 n5cos isin cos isin 121 21 21 21n5 n5 n5cos cos 1 2cos 121 21 21
n5 n5 7 42kcos cos k2 n k *21 3 21 3 5 5
* n 7
z 2i
z 2 4
T z 1 z i
z a bi a,b z 2i z 2
4 z 2i r cos i.sin
4 4z 2
r 0
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Suy ra
Ta có:
do (*)Ap dụng bất đẳng thức Cosi,ta được:
Suy ra , đẳng thức xảy ra khi
Vậy, giá trị lớn nhất của T là , đạt khi II. Bài tập áp dụngBài tập 1. Tính môđun và một acgumen của số phức sau
Hướng dẫn giải
a) Ta có
Vậy b) Ta có
Vậy c) Ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 210
www.thuvienhoclieu.com
2 22 2
a b 2 i a a 2 b b 2 a 2 b 2 abz 2i iz 2 a 2 bi a 2 b a 2 b
2 22 2
a a 2 b b 2 a 2 b 2 abi 0
a 2 b a 2 b
2 2
2 2
a b 2
a 2 b 0 *
a b 2 0
T z 1 z i a 1 bi a b 1 i
2 22 2a 1 b a b 1 3 2a 3 2b
2 2 2T 2 6 2a 2b 2 6 2 a b 20
T 2 5 a b 1
2 5 z 1 i
35
5 i 18 8ia)z ; b)z ;2 3i 4 9i
1 3i 3 3 ic)z ; c)z .2 i 3 2i
5 i 2 3i5 i 13 13iz 1 i2 3i 132 3i 2 3i
1 12 i 2 cos isin4 42 2
r 8.
18 8i 4 9i18 8iz 2i 2 cos isin
4 9i 2 24 9i 4 9i
r 8
.2
Chuyên Đề Số Phức
Vậy
d)
Ta có
Suy ra
Vậy
Bài tập 2. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm mô-đun của số phức
.(Trích đề thi thử Người Thầy – 2013)
Giải
Gọi . Ta có:
, thay vào (2) ta có
Suy ra
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 211
55 55
5 55
1 3i 2 i1 3i 5 5iz 1 i2 i 52 i 2 i
2 22 i 2 cos isin2 2 4 4
5 5 5 5 52 cos isin 4 2 cos isin4 4 4 4
r 4 25 .4
33 3 iz .
3 2i
3 3 i 3 2i 9 2 6 3 3 i3 3 i3 43 2i 3 2i 3 2i
7 7 3i 1 31 i 3 2 i 2 cos isin .7 2 2 3 3
3 3
33 3 iz 2 cos isin 2 cos isin3 33 2i
r 8.
1 i 3 z z 3
5 10w 1 z z
z a bi a,b
2 2
2 22 2
2
1 i 3 z z 3 1 i 3 a bi a b 3
a b 3 a b 3a b 3 a b b a 3 i 3b a 3 0
4a 4a 3 1
b a 3 2
22
3a3 4a 0 141 a1 3 24a 3 4a a a2 2
3b2
1 i 3z cos isin2 2 3 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Do đó
Vậy
Bài tập 3. Tìm số phức z biết rằng và có một acgumen
bằng .(THPT Chuyên Đại học Vinh, lần 2 – 2013)Giải
Ta có
Đặt . Khi đó:
Theo bài ra ta có: . Suy ra
Từ giả thiết của bài toán ta có:
Từ đó ta có .
Bài tập 4. Viết dạng lượng giác của số phức z biết và có một acgumen
bằng . (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội lần 3 – 2013)Giải
Ta có /
Gọi là một acgumen của z. Ta có Từ đó suy ra:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 212
www.thuvienhoclieu.com
5 10 5 5 10 10w 1 z z 1 cos isin cos isin3 3 3 3
1 i 3 1 i 31 1 i 32 2 2 2
w 1 i 3 2
z 2z 3 i
1 i z
1 3 1 3 i
6
2 21 i z 1 i 1 3i. 1 3 1 3 i
41 3 1 3 i 1 3 1 3
1 cos isin2 3 3
z r cos isin , r 0
1 i z r cos isin2 3 31 3 1 3 i
3 6 3
3r rz i2 2
3r r i 3r ri 3 i2 2
2 2
2 2 22r 23r r 3 r 1 r 1 r 4 r 1 22 2 r
3
3 1z 3 i, z i3 3
22z .z 16 i.z
6
222 22z .z 16 z.z 16 z 16 z 2
z 2 cos isin
i.z 2i cos isin 2 sin icos 2 cos isin2 2
Chuyên Đề Số Phức
Chọn sao cho
Vậy z có dạng lượng giác là .
Bài tập 5. Tìm số phức z biết là số thực và có một acgumen là . (THPT Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An lần 1 – 2013)
Giải
Vì và có một acgumen là nên có một acgumen là , suy
ra z có một acgumen là .
Gọi
Ta có là số thực khi và chỉ khi:
. Vậy .
Bài tập 6. Tìm số phức z sao cho có một acgumen bằng và (THPT Chuyên Vĩnh Phúc khối B, D, lần 5 – 2013)
Giải
Đặt
có một acgumen bằng
Lại có:
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài tập 7. Trong các số phức z thỏa mãn , số phức nào có nhỏ nhất. Khi đó acgumen của nó bằng bao nhiêu?
(Trích GSTT Group lần 4 – 2014)Giải
Đặt
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 213
2 6 3
z 2 cos isin3 3
2z 2z1zz
3
z.z 1 0 1 z.z 1zz z
3
1z 3
3
r r 3z r cos isin a bi a , b , r 03 3 2 2
2 2 2z 2z a b 2a 2b a 1 i
a 1 r 22b a 1 0b 0 r 0
z 1 3i
z iz i 2
z 1 z i
2 2
2 22 2
x y 1z i 2xz x yi, x,y iz i x y 1 x y 1
z iz i 2
2 2
22 2 2
22
x y 1 0x y 1 x y 1 1
x 02x 0x y 1
z 1 z i x 1 y x y 1 i
2 22 2x 1 y x y 1 x y 2
2 2 2x y z i2 2 2
z 4 3i 1 z
2 2z a bi z a b
2 2z 4 3i a 4 b 3 i a 4 b 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Áp dụng Bunhia copski:
nhỏ nhất khi
Dấu “=” xảy ra khi:
. Acgumen của z là: .
Bài tập 8. Tìm số phức z thỏa mãn và có một acgumen bằng . (Trích Trường THPT Chuyên ĐH Vinh, lần 3 – 2014)
Giải
Đặt .
Suy ra . Khi đó:
Theo giả thiết ta có . Khi đó .
Suy ra
(vì )
Vậy .
Bài tập 9. Xét số phức z thỏa điều kiện a) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức thỏa (*)b) Trong các số phức z thỏa (*) tìm số số phức có acgumen dương và nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 214
www.thuvienhoclieu.com
x
y
300
450
22
22
I
O 1
K
2 2 2 2z 4 3i 1 a 4 b 3 1 1 a b 2 3b 4a 25
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3b 4a 3 4 b a 5 a b 1 a b 10 a b 25
1 a b 5 1 6 a b 4 6 z 4
z z 4
2 2
3b 4a 0 16ab a 16 12 4 35 z i 4 i123 4 5 5 5 5b5a b 16
z 4 cos isin 4arcos k25
z 2i 2 3 3 i z 3
z r cos isin , r 0
z r cos isin
3 i z 2r cos isin6 6
6 3 6
3r rz i2 2
3r rz 2i 2 3 2 i 2 32 2
2223r r2 12 r 2r 8 0 r 2
4 2
r 0
z 3 i
2z 2 i 2 1(*)
z
Chuyên Đề Số Phức
b) Kẻ tiếp tuyến OK với đường tròn. Dễ thấy nên
Vậy
Bài tập 10. Tìm số phức sao cho và có một acgumen bằng .Hướng dẫn giải
Từ
Lúc đó: . Vì có 1 acgumen bằng nên có dạng
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy
Bài tập 11. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao
cho sao cho số phức có một acgument bằng Hướng dẫn giải
Giả sử thì
Do có một acgument bằng nên ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 215
2 22 2 1a)M(z) (C): x y2 2 4
OI 1
IK 1sinIOK IOKIO 2 6
KOx4 6 12
3z OK cos isin cos isin12 12 2 12 12
3z cos isin2 12 12
zz i 1z 3i
z 1 6
xz i 1 vôùi z x yiy 1z 3i
z 1 x 1 i 1 z 1 6
z 1
z 1 r cos isin ,r 06 6
rx 1 i 3 i 22
r 3x 1 x 3 12r r 21
2
z 2 3 1 i laø soá phöùc caàn tìm
zz 2z 2 3
z x yi, x,y 2 2
2 22 2z 2 x y 4 4y iz 2 x 2 y x 2 y
z 2z 2 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Do đó:
Từ (1) và (2) ta suy ra và
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 216
www.thuvienhoclieu.com
2 2
2 22 2x y 4 4y i r cos isin ,r 03 3x 2 y x 2 y
2 2
2 2
2 2
x y 4 r 12x 2 y4y r 3 22x 2 y
y 0
2 22
2 24y r 3 2 4x y2 3 3x 2 y
2 4Taäp hôïp ñieåm M(z) caàn tìm laø phaàn ñöôøng troøn taâm I 0; , baùn kính 3 3
naèm phía treân truïc thöïc (y 0)
Chuyên Đề Số Phức
Bài toán 4. Áp dụng công thức Moavrơ để tính căn bậc n của số phứcPhương pháp1. Tính căn bậc hai của số phức w: Căn bậc hai của số phức là số phức w thỏa
*Căn bậc hai của 0 bằng 0
* Với
Đặt thì
*Số phức có 2 căn bậc hai đó là và
TT có căn bậc n:
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác
Giải
Ta có
Đặt là một căn bậc hai của w, ta có:
Vậy w có hai căn bậc hai là: và
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 217
z2w z
z 0, z r(cos isin ),r 0
w R(cos isin )
2 2w z R (cos2 isin2 ) r(cos isin )
2R r2 k2 ,
R r
k ,2
z r(cos isin ) r cos isin
2 2
r cos isin2 2
n nw z R (cosn isinn ) r(cos isin )
nR rn k2
nR rk2
2
1 3w i.2 2
1 3w i cos isin .2 2 3 3
z r cos isin
2 2z w r cos2 isin2 cos isin3 3
r 1 r 1
2 k2 ,k Z k ,k Z.3 6
1z cos isin6 6
27 7z cos isin .6 6
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: Giải
Ta có:
w có môđun và một acgumen
Suy ra căn bậc ba của w là số phức z có: Môđun và một acgumen
Lấy thì có ba giá trị:
Vậy có 3 căn bậc ba là: Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác:
Giải
Ta có: có môđun và một acgumen Suy ra căn bậc bốn của w là số phức z có: môđun và một acgumen
Lấy ta có 4 giá trị của
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy w có 2 căn bậc hai là:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 218
www.thuvienhoclieu.com
w 1 i 3.
1 3 2 2w 1 i 3 2 i 2 cos isin2 2 3 3
R 22 .3
3r 2
k2 2 k2 ,k Z.3 3 9 3
k 0,1,2
1 2 32 2 2 8 2 4 14, , .9 9 3 9 9 3 9
w 1 i 3
3 31 2
33
2 2 8 8z 2 cos isin , z 2 cos isin ,9 9 9 914 14z 2 cos isin .9 9
w i.
w i cos isin2 2
R 1
.2
r 1
k2 k ,k Z.4 4 8 2
k 0,1,2,3 :
1 2 3 45 9 3 13, , , .
8 8 2 8 8 8 8 2 8
w 1 i 3 i .
1 i 3 1w 1 i 3 i 2 .2. i2 22 2
2 2 cos isin cos isin 2 2 cos isin4 4 6 6 4 6 4 6
5 58 cos isin .12 12
Chuyên Đề Số Phức
Bài tập 2. Tìm căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác
Hướng dẫn giải
Ta có:
w có môđun R=1 và acgumen
Suy ra căn bậc ba của w là số phức z có: môđun và một acgumen
Với k = 0,1,2 ta có ba giá trị của .
Vậy có 3 căn bậc 3 là:
Bài tập 3. Tính căn bậc bốn của Hướng dẫn giải
Ta có: có:
Lấy ta có 4 giá trị cuả
Vậy có 4 căn bậc 4 là:
Bài tập 4. Tính căn bậc năm của
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 219
41
4 42
5 5z 8 cos isin24 245 5 29 29z 8 cos isin 8 cos isin .24 24 24 24
2 2w i2 2
2 2w i cos isin2 2 4 4
.4
3r 1 1
k2 k2 ,k Z.3 3 12 3
1 2 32 7 4 15 5, , .
12 12 3 12 12 3 12 4
2 2w i2 2
1 2 37 7 5 5z cos isin , z cos isin , z cos isin .
12 12 12 12 4 4
3 1w i.2 2
3 1 7 7w i cos isin2 2 6 6
r 1k2 7 k ,k Z.
4 4 24 2
k 0,1,2,3 :
1 3
2 4
7 7 31; ;24 24 247 19 7 3 43; .24 2 24 24 2 24
3 1w i2 2
1 2
3 4
7 7 19 19z cos isin , z cos isin24 24 24 2431 31 43 43z cos isin , z cos isin .24 24 24 24
w i.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
Căn bậc năm của số phức là số phức z thỏa mãn
Vì . Đặt ta có
Lấy ta được 5 giá trị của :
Vậy có 5 căn bậc năm của i là:
Bài tập 5. a) Viết dưới dạng lượng giác.
b) Tính và suy ra các căn bậc bốn của Hướng dân giải
a)
b)
Các căn bậc 4 của là :
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 220
www.thuvienhoclieu.com
w i 5z i.
5 5z i 1 z 1 z 1 z cos isin ,
55z i cos isin cos isin2 2
cos5 isin5 cos isin2 2
k25 k2 ,k Z2 10 5
k 0,1,2,3,4
1 2 3
4 5
2 4 9, ,10 10 5 2 10 5 10
6 13 8 17, .10 5 10 10 5 10
1 2 3
4 5
9 9z cos isin , z cos isin , z cos isin ,10 10 2 2 10 1013 13 17 17z cos isin , z cos isin .10 10 10 10
0z 3 i
40z w 8 8i 3.
0z 2 cos isin6 6
40z 8 8i 3.
8 8i 3 0 12 2z 2 cos isin ,z 2 cos isin ,
6 6 3 3
2 37 7 5 5z 2 cos isin ,z 2 cos isin6 6 3 3
Chuyên Đề Số Phức
M C L CỤ ỤCHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC......................................................................3
Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình....................................................3
Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác..........................................................................................................................................10
Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức.....................................................20
Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn............23
Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức.....................................27
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 221
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨCBài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình: Lấy (2) nhân sau đó cộng (trừ) (1) vế theo vế ta được :
Đặt , biểu diễn (*) thông qua các đại lương I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: Giải
Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai nhân i ta được
là một căn bậc ba của số phức Ta có:
có ba căn bậc ba là
Vậy với ta được nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: .Giải
Hệ đã cho tương đương với Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ 2 nhân i ta đươc
là một căn bậc 3 của .Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 222
www.thuvienhoclieu.com
f(x;y) g(x;y) (1)h(x;y) k(x;y) (2)
if(x;y) h(x;y).i g(x;y) k(x;y).i (*)
z x yi z,z,| z| ,...
3 2
2 32x 6xy 5 .6x y 2y 5 3
33 2 2 3 1 32x 6xy i 6x y 2y 5 5 3i x yi 5 i2 2
z x yi
1 35 i2 2
1 3 1 35 i 5 cos isin 5 i2 2 3 3 2 2
3 3 30 1 0
7 7 13 13z 5 cos isin , z 5 cos isin , z 5 cos isin9 9 9 9 9 9
0 1 2z z ,z z ,z z
3 3 3
3 3 3
7 13x 5cos x 5cos x 5cos9 9 9, ,
7 13y 5sin y 5sin y 5sin9 9 9
3 2 2 2
3 2x 3xy 3x 3y 3x 0y 3x y 6xy 3y 1 0
3 2
2 3
x 1 3y x 1 1
3 x 1 y y 1
3 22 3x 1 3y x 1 i 3 x 1 y y 1 i
3x 1 iy 1 i z x 1 iy 1 i
Chuyên Đề Số Phức
nên có ba căn bậc ba là
Vậy với ta được nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: .Giải
Cách 1. Lấy (2) nhân sau đó cộng với (1) ta được
Đặt . Lúc đó: .
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: .
Cách 2. Ta thấy không là nghiệm của hệ phương trình
Nhân (1) với , nhân (2) với ta được
trừ vế theo vế ta được
Nhân (1) với , nhân (2) với ta được
cộng vế theo vế ta được
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 223
1 i 2 cos isin4 4
1 i
6 6 60 1 2
3 3 17 17z 2 cos isin , z 2 cos isin ,z 2 cos isin4 4 4 4 4 4
0 1 2z z ,z z ,z z
6 6 6
6 6 6
3 17x 1 2cos x 1 2cos x 1 2cos12 4 12, ,
3 17y 2sin y 2sin y 2sin12 4 12
2 2
2 2
3x yx 3 (1)x yx 3yy (2)x y
i
2 2 2 2 2 2
3x y x 3y i 3 x yi x yi ix yi 3 x yi 3(*)
x y x y x y
z x yi;x,y
2
3 i z 3 i z 2 i(*) z 3 z 3z 1 iz| z|
x 2y 1x yi 2 i
x yi 1 i x 1y 1
x,y 2;1 , x,y 1; 1
x 0,y 0
x y
22
2 2
22
2 2
3x xyx 3xx yxy 3yy 0x y
2 2x y 3 3x (*)
y x
2
2 2
2
2 2
3xy yxy 3yx yx 3xyxy 0x y
2xy 1 3y (*)
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ta được hệ
Đáp số:
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: .Giải
Lấy (2) nhân sau đó cộng với (1) ta được
Đặt . Lúc đó phương trình (*) trở thành
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là .
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình với nghiệm với : .Giải
Điều kiện: . Đặt .
Hệ đã cho có dạng: . Đặt . Ta có .Từ hệ đã cho ta có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 224
www.thuvienhoclieu.com
2 2x y 3 3x2xy 1 3y
x,y 2;1 , x,y 1; 1
3 2 2 2
3 2 2 2x 3xy x 1 x 2xy y (1)y 3x y y 1 y 2xy x (2)
i
3 2 3 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 2 2
3 2 2
x 3xy x 1 y 3x y y 1 i x 2xy y y 2xy x i
x 3x(yi) 3x (yi) (yi) x yi 1 i x 2xyi y 2xy x i y i
x yi x yi i 1 x yi x yi i (*)
z x yi; x,y
3 2z 1
z 1 i z z 1 i 0 z 1 z 1 z 1 i 0 z 1z 1 i
x 1 x 1 x 1y 0 y 0 y 1
x;y 1;0 ; x;y 1;0 ; x;y 1;1
x,y
12x 1 23x y
12y 1 63x y
x 0y 0y 3x
u 3x,v y u,v 0
2 2
2 2
12u 1 2 3u v
12v 1 6u v
z u iv 2 21 u viz u v
2 2 2
2 2
2
12 12u 1 iv 1 2 3 6u v u v
u iv 12u iv 12 2 3 6i z 2 3 6izu v
z 2 2 3iz 12 0 ,(*)
Chuyên Đề Số Phức
Giải phương trình (*), ta có suy ra các nghiệm:
Vì nên ta có: , suy ra nghiệm của hệ là:
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình trên tập số phức: .(Đề thi học sinh giỏi Romania năm 2002)
Giải
Xét hệ phương trình
Rõ ràng và x,y,z đôi một khác nhau.
Từ (1) và (2) ta có
Hay
Tương tự hệ đã cho trở thành (4)
Cộng vế với vế ta được
Kết hợp với (4) ta có: Suy ra
Đặt thì từ và x,y,z đôi một khác nhau nên
với
Mà nên
Ta có nên a=1
Vậy các số phức cần tìm là các hoán vị của
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: .Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 225
2' 6 6 3i 3 3 i
z 3 3 3 3 i,z 3 3 3 3 i
u,v 0 u 3 3,v 3 3
x;y 4 2 3;12 6 3 .
x x y x z 3y y x y z 3z z x z y 3
x x y x z 3, 1y y x y z 3, 2z z x z y 3, 3
x,y,z 0
x x y x z y y x y z x x z y y z
2 2x y xz yz.
2 2
2 2
2 2
x y xz yzy z yx zxz x zy xy
2 2 2x y z xy yz zx.
2 2 2x yz,y zx,z xy. 2 2 2x y z xyz.
a xyz 2 2 2x y z xyz a
23 3 3x a,y a,z a 3 21,1 0.
x x y x z 3 2a 1 1 3.
2 2 31 1 1 3
x,y,z 2(1, , ).
3 2
3 2x 3xy 1y 3x y 3
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta sẽ đi
đến giải phương trình bậc ba: Phương trình này không có nghiệm đặc biệt!
Xét số phức . Vì ,nên từ hệ đã cho ta có
, tương tự cách làm ở chương 1, ta tìm được 3 giá trị của là:
, , Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là:
Bài tập 2. Giải hệ phương trình trong tập số thực: .Hướng dẫn giải
Xét số phức
Vì , nên từ hệ đã cho suy ra:
(*)Các số phức thỏa mãn (*):
Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là:
Bài tập 3. Giải hệ phương trình với nghiệm với : .Lời giải
Điều kiện Đặt . Ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 226
www.thuvienhoclieu.com
3 23t 3t 3 3t 1 0
z x iy 3 3 2 2 3z x 3xy i 3x y y
3 2 2z 1 3i 2 cos isin3 3
z
3 2 22 cos isin9 9
3 8 82 cos isin
9 9
3 14 142 cos isin9 9
3 3 3
3 3 3
2 8 14x 2cos x 2cos x 2cos9 9 9; ;2 8 14y 2cos y 2sin y 2sin9 9 9
4 2 2 4
3 3
x 6x y y 31x y y x4
z x iy.
4 2 2 4 3 3z 6x y y 4i x y y x
4z 3 i 2 cos isin6 6
4 4
4 4
13 132 cos isin , 2 cos isin24 24 24 2425 25 37 372 cos isin , 2 cos isin24 24 24 24
4 4 4 4
4 4 4 4
13 25 37x 2cos x 2cos x 2cos x 2cos24 24 24 24; ; ;
13 25 37y 2sin y 2sin y 2sin y 2sin24 24 24 24
x,y R
2 2
2 2
16x 11yx 7x y
11x 16yy 1x y
2 2x y 0. z x iy 2 2x yi1 .
z x y
Chuyên Đề Số Phức
Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho tương đương với:
Phương trình có hai nghiệm nên hệ đã cho có các
nghiệm hoặc Chú ý: Muốn giải được các hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng số phức, cần
nhớ một công thức cơ bản của số phức, đăc biệt là với mỗi số phức thì ta có
là bình phương mođun và .
Bài tập 4. Giải hệ phương trình với nghiệm với : .Hướng dẫn giải
Từ hệ suy ra Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số
về dạng nình phương mođun của số phức, chỉ cần đặt với
Hệ đã cho có dạng:
Đặt . Ta có: Hệ đã cho tương đương với:
Giải phương trình (*), ta có suy ra các nghiệm là
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 227
2 2 2 2
2 2 2 2
2
16x 11y 11x 16yx i y 7 ix y x y
x iy x iyx iy 16 11i 7 ix y x y
16 11iz 7 i z 7 i z 16 11i 0z
2z 7 i z 16 11i 0 z 2 3i,z 5 2i
x;y 2; 3 x;y 5;2 .
z x iy
2 2x y 2 2x iy1 z
z zz x y
x,y
310x 1 35x y3y 1 1
5x y
x 0, y 0.
u 5x,v y u,v 0.
2 2
2 2
3 3u 12u v
3v 1 1u v
z u iv 2 21 u iv .z u v
2 2 2 2
2 2
2
3 3 3u 1 iv 1 i2u v u v
u iv 3 3 3 2 2iu iv 3 i zz 22u v
2z 3 2 2i z 6 0,(*)
2' 34 12 2i 2 6i
2 2iz 2 2i,z .2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vì nên do đó
Vậy nghiệm cần tìm là
Bài tập 5. Giải hệ phương trình: .Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Nhận thấy là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu thì hệ đã cho viết thành Suy ra:
Đặt ta có phương trình
Với ta được nghiệm của hệ là
Với ta được nghiệm của hệ là
Với ta được nghiệm của hệ là
Bài tập 6. Giải hệ phương trình: Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 228
www.thuvienhoclieu.com
u,v 02 2iz2
2 1u ,v 1 x ,y 1.2 10
1x;y ;1 .10
4 4 3 2
22 2 3 3 2
x y 4x 3xy 2x 4y 0
2x y 3x y 2xy 3y 2x 1 1 2y 4y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y 3x x y 2 x 2y 0
2xy x y 3y x y 4 x y 2 2x y 0
x y 0
2 2x y 0
2 22 2
2 2
x 2yx y 3x 2. 0x y2x y2xy 3y 4 2. 0x y
2 22 2 2 2x 2y 2x yx y 3x 2. i 2xy 3y 4 2. 0x y x y
22 2 2 2x iy y ixx yi 3 x yi 2 4. 4i 0
x y x y
2 2 2 2x iy y ix1 iz x yi ,
z zx y x y
2 3 2
2
2 4iz 3z 4i 0 z 3z 4iz 2 4i 0z z
z 1z 1 z 2z 4i 2 0 z 3 i
z 1 i
z 1
x 0y 0
z 3 i
x 3y 1
z 1 i
x 1y 1
13x 1 2x y
17y 1 4 2x y
Chuyên Đề Số Phức
(Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1996)Hướng dẫn giải
Từ hệ suy ra
Đặt
Hệ đã chho có dạng: Đặt
Ta có: Hệ đã cho tương đương với:
Giải (*): Vì nên các nghiệm:
Ta có nghiệm và do đó nghiệm của hệ là:
hoặc
Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giácPhương pháp
Cho dạng lượng giác số phức ; ; . Ta có các công thức sau:
Công thức Moa-vrơ :
Nếu với . Lúc đó I. Các ví dụ điển hình thường găp
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 229
x 0,y 0.
u x,v y, u,v 0 .
2 2
2 2
1 2u 13u v
1 4 2v 17u v
z u iv.
2 21 u iv .z u v
2 2
2
u iv 2 4 2 1 2 4 2u iv i z iz3 7 3 7u v
2 4 2z i z 1 0,(*)3 7
2 22 4 2 4i 4 2 2i3 7 21
1 2 2 2 1 2 2 2z i 2i 2 i3 7 21 3 21 7
1 2 2 2 1 2 2 2z i 2i 2 i3 7 21 3 21 7
u,v
221 2 2 2x &y 23 21 7
1 2 2 2x &y 23 21 7
z r cos isin 1 1 1 1z r cos isin 2 2 2z r cos isin
1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
z rz .z r r cos( ) icos( ) ; cos( ) icos( )z r
n nz r cos(n ) isin(n )
1 1 1 2 2 2z a b i; z a b i; 1 2 1 2a , a , b , b 1 2
1 21 2
a az z
b b
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
GiảiĐặt . Ta có:
Mặt khác: .
Từ (1) và (2) ta được:
Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát sau: Biểu diễn theo các lũy thừa của vơi n là số nguyên dương bất kỳ.
Áp dụng công thức Moivre ta có Mặt khác, theo công thức khai triển nhị thức Newton:
Từ đó suy ra:
Trong đó:
Cụ thể: Với ta có:
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
a) ; b) Giải
Xét Ta có
Mặt khác:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 230
www.thuvienhoclieu.com
3 3sin3 3sin 4sin ; cos3 3cos 4cos
z cos isin
3 2 33 3 2
3 2 2 3
3 3
z cos isin cos 3cos .i.sin 3cos . isin isin
cos 3i 1 sin sin 3cos 1 cos i.sin
4cos 3cos i 3sin 4sin (1)
3z cos3 isin3 (2)
3 3sin3 3sin 4sin ; cos3 3cos 4cos
cosnx; sinnxcosx; sinx
ncosx isinx cosnx isinnx
n 0 n 1 n 1 2 2 n 2 2n n n3 3 n 3 3 n 1 n 1 n 1 n n n
n n n
cosx isinx C cos x iC cos xsinx i C cos xsin x
i C cos xsin x ... i C cosxsin x i C sin x
0 n 2 n 2 2 4 n 4 4n n n1 n 1 3 n 3 3n n
cosnx C cos x C cos xsin x C cos xsin x ... Msinnx C cos xsinx C cos xsin x ... N
m 2m
m 2m 2m2m 1
1 sin x, n 2mM , m
1 C cosxsin x, n 2m 1
m 1 2m 1 2m 12m
m 2m 1
1 C cosxsin x, n 2mN , m
1 sin x, n 2m 1
n 4
0 4 2 2 2 4 4 4 24 4 41 3 3 3 3 34 4
cos4x C cos x C cos xsin x C sin x 8cos x 8cos x 1sin4x C cos xsinx C cosxsin x 4cos xsinx 4cosxsin x
3 5 1cos cos cos7 7 7 2
3 5 1sin sin sin cot .7 7 7 2 14
z cos isin .7 7
3 5 3 5 3 5z z z cos cos cos i sin sin sin7 7 7 7 7 7
Chuyên Đề Số Phức
Từ (1) và (2) suy ra:
và
Ví dụ 3. Cho . Tính Giải
Đặt . Khi đó:
Mà nên , suy ra:
Ta lại có nên .
Chú ý: Ta cũng có kết quả .
Ví dụ 4. Tính tổng với và
GiảiĐặt Theo công thức nhân và cộng thức Moivre ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 231
73 5
2 2
22
z z 1 z 1 1z z z1 zz 1 z 1 1 cos isin
7 71 cos isin 1 17 7 i cot
2 2 141 cos sin
7 7
3 5 1cos cos cos7 7 7 2
3 5 1sin sin sin cot .7 7 7 2 14
2 6sina sinb ,cosa cosb2 2
sin a b .
1 2z cosa isina,z cosb isinb
1 26 2z z i 2 cos isin2 2 6 6
1 26 2z z i 2 cos isin2 2 6 6
2 21 1 1 2 2 2z z z 1,z z z 1
1 21 2
1 2 1 2
z z1 1z zz z z z
1 21 2
1 2
cos isin cos isinz z 6 6 6 6z z cos isin3 3z z cos isin cos isin6 6 6 6
1 2z .z cos a b isin a b 3sin(a+b) sin
3 2
1cos a b cos3 2
n a 2k k :
A cosx cos x a cos x 2a ... cos x naB sinx sin x a sin x 2a ... sin x na
z cosx isinx,w cosa isina.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
(Vì nên ).
Vậy
Xét phần thực và phần ảo của hai vế ta được:
Nhận xét: Từ hai loại công thức trên, xét các trường hợp riêng:a) Nếu thì suy ra:
b) Nếu thì ta có:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 232
www.thuvienhoclieu.com
kk
k
zw cosx isinx cosa isina
zw cosx isinx coska isinka cos x ka isin x ka .Xeùt A iB cosx isinx cos x a isin x a
cos x 2a isin x 2a ... cos x na isin x na
n 12 n 1 wz zw zw ... zw z
1 w
a 2k w 1
n 1 1 cos n 1 a isin n 1 a1 wA iB z cosx isinx1 w 1 cosa isina
n 1 n 1 n 1sin a sin a icos a2 2 2cosx isinx
a a asin sin icos2 2 2
n 1sin a n 1 n 1 a a2 sin a icos a sin icos cosx isinxa 2 2 2 2sin2
n 1sin a na na2 cos isin cosx isinxa 2 2sin2
n 1sin a na2 cos xa 2sin2
naisin x2
n 1 n 1sin a sin ana na2 2A cos x ;B sin xa a2 2sin sin2 2
x 0
n 1sin a na21 cosa cos2a .... cosna cosa 2sin2
n 1sin a na2sina sin2a ... sin3a ... sinna sina 2sin2
x 2a
sin2 n 1 acosa cos3a cos5a ... cos 2n 1 a
2sina
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 5. Chứng minh các công thức:
Giải
Ta có:
Do đó là nghiệm dương của phương trình
Vậy suy ra
Nhận xét: Áp dụng công thức ta tính được biểu thức
Để làm được bài toán này trước hết ta chứng minh công thức sau:
Thật vậy:
Sử dụng công thức Ta có:
Ví dụ 6. Giải phương trình: Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 233
2sin n 1 asina sin3a sin5a ... sin 2n 1 a
sina
0 05 1 5 1a) sin18 ; b) cos36 .4 4
0 0 0 0
3 0 0 0 0
2 0 2 0
cos54 sin36 cos 3.18 sin 2.18
4cos 18 3cos18 2sin18 cos184sin 18 2sin 18 1 0
0sin18 24x 2x 1 0.
0 5 1sin184
0 2 0 5 1cos36 1 2sin 18 .4
0 5 1sin184
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1sin2 sin18 sin22 sin38 sin42 sin58 sin62 sin78 sin821024
0 0 1sinasin 60 a sin 60 a sin3a.4
0 0
0 0 0 0
2 2 2 2
sinasin 60 a sin 60 a
sina sin60 cosa sinacos60 sin60 cosa sinacos60
3 1 3 1sina cosa sina cosa sina2 2 2 2
3 1 3 1sina cos a sin a sina 3 1 sin a sin a sin3a.4 4 4 4
0 0 1sinasin 60 a sin 60 a sin3a.4
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
sin2 sin18 sin22 sin38 sin42 sin58 sin62 sin78 sin82sin2 sin58 sin62 sin18 sin42 sin78 sin22 sin38 sin82
1 1 5 1sin6 sin54 sin66 sin18 .64 256 4
1cosx cos2x cos3x .2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Đặt thì
Phương trình đã cho trở thành
(*)Vì không là nghiệm nên với ta có:
(*)
Hay nên với Vì nên không nhận giá trị k=3.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Vậy nghiệm cần tìm của hệ đã cho hoặc
Ví dụ 7. Chứng minh rằng Lời giải
Đặt Khi đó:
Mặt khác (do ),
nhưng nên suuy ra Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.Ví dụ 8. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn các điều kiện
Chứng minh rằng (Đề nghị IMO năm 1989)
Giải
Đặt
Ta có
. Do đó nên
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 234
www.thuvienhoclieu.com
z cosx isinx
2 4 6
2 3z 1 z 1 z 1cosx ,cos2x ,cos3x
2z 2z 2z
2 4 6
2 3z 1 z 1 z 1 1
2z 22z 2z
6 5 4 3 2z z z z z z 1 0
z 1 z 1
6 5 4 3 2 7z 1 z z z z z z 1 0 z 1 0
7z 1 cos isin
2k 2kz cos isin7 7
k 0;6. z 1
3 5 9x m2 ,x m2 ,x m2 ,x m2 ,7 7 7 711 13x m2 ,x m2 ,m Z.7 7
x;y 2;1 x;y 1; 1 .
3 2 1sin sin .10 10 8
1 z zz cos isin z ,sin .10 10 z 10 2i
3 2
3 2 2 2z z z z 3 1sin sin z z i z z 1 (1).10 10 2i 2i 8 8
5 4 3 25 5z cos isin i z iz z iz 1 010 10
z 1
4 3z iz;iz z 2 2z z i z z 1 0,(2).
cosa cosb cosc sina sinb sinc m
cos a b c sin a b c
cos a b cos b c cos c a m.
x cosa isina,y cosb isinb,z cosc isinc.
x y z cosa cosb cosc i sina sinb sinc
m.cos a b c i.m.sin a b c mxyz x y z mxyz 1 1 1 m.xy yz zx
Chuyên Đề Số Phức
Vì nên
Vậy
Từ đó ta có II. Bài tập rèn luyệnBài tập 1. Chứng minh rằng:
a) Hướng dẫn giải
Xét , ta có , nên z là nghiệm khác -1 của phương
trình . Ta có:
+)
nên
+)
Do đó xét phần thực của đẳng thức ta suy ra được:
;Bài tập 2. Hãy biểu diễn qua
Hướng dẫn giải
Ta có: Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải và tách phần thực và phần ảo ta có
Từ đó suy ra:
Bài tập 3. Cho là các số thực thỏa mãn và
Chứng minh rằng: và
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 235
x y z 1 1 1 1x x,y y,z z.
1 1 1 m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c axy yz zx
i sin a b sin b c sin(c a) m
cos a b cos b c cos c a m.
2 3 1 2 3 1 3cos cos cos ; b)sin sin sin cot .7 7 7 2 7 7 7 2 14
z cos isin7 7
7z cos isin 1
7z 1 0 7z 1 0
7z 1 0 6 5 4 3 2 2 3 3z 1 z z z z z z 1 0 z z z 1 z 1
3 3 3 3 3 31 z 1 cos isin 2sin . sin isin7 7 14 14 14
31 1 3 3 1 1 3sin icos icot3 14 14 2 2 141 z 2sin
14
2 3 2 3 2 3z z z cos cos cos i sin sin sin7 7 7 7 7 7
2 33
1z z z1 z
2 3 1cos cos cos7 7 7 2
2 3 1 3sin sin sin cot .7 7 7 2 14
tan5x tanx
5cos5x isin5x cosx isinx
5 3 2 4
4 2 3 5cos5x cos x 10cos xsin x 5cosxsin xsin5x 5cos xsinx 10cos xsin x sin x
3 5
2 45tanx 10tan x tan xtan5x .
1 10tan x 5tan x
a,b,c sina sinb sinc 0
cosa cosb cosc 0.
sin2a sin2b sin2c 0 cos2a cos2b cos2c 0.
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Giải
Đặt , ta có:
nên
Vì thế:
=
Nên Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh.
Bài tập 4. Giải phương trình Lời giảiTa có không là nghiệm của phương trình.
Đặt với Ta có
Vậy phương trình đã cho trở thành:
Nếu thì nên
Vì và nên
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là
Nếu thì nên:
Vì và nên
Suy ra nghiệm cần tìm là
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 236
www.thuvienhoclieu.com
1 2 3z cosa isina;z cosb isinb;z cosc isinc
1 2 3 1 2 3z z z 0, z z z 1 kk
1 z k 1;2;3 .z
22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z 2 z z z z z z
21 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 1 10 2z z z 2z z z z z zz z z
1 2 3 1 2 32z z z z z z 0
cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c 0
1cosx cos3x cos5x cos7x cos9x .2
cosx 1
z cosx isinx x 0;2 .
1
1 n nz 1,z cosx isinx,2cosx z z , 2cosnx z z
3 5 7 93 5 7 9
2 4 18 9 20 11 9
11 9 11 9
1 1 1 1 1z z z z z 1z z z z z1 z z ... z z z 1 z zz 1 z 1 0 z 1,z 1
9z 1 9z cos0 isin0 k2 k2z cos isin ,k 0;8.9 9
x 0;2 z 1k2x ,k 1;8.9
k2x 2m k 1;8 ,m Z.9
11z 1 11z cos isin
k2 k2z cos isin ,k 0;10.11 11
x 0;2 z 1k2x ,k 0;9.
11
k2x 2m k 0;9 ,m Z.11
Chuyên Đề Số Phức
Vậy các nghiệm của phương trình là: và
Bài tập 5. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
a)
Giải
Đặt
Suy ra
a) Ta có: nên lượng giác:
Từ đó ta được: và
b) Với thì
Mặt khác, từ suy ra Vì thế:
Do đó
Vậy nên
Bài tập 6. Chứng minh rằng: Giải
Xét số phức có
Ta có Đẳng thức cần chứng minh trở thành
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 237
k2x 2m k 1;8 ,m Z9
k2x 2m k 0;9 ,m Z.11
cosa cosb cosc sina sinb sinc 0
cos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c
cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b) b sin5c 0
x cosa isina,y cosb isinb,z cosc isinc.
x y z cosa cosb cosc i sina sinb sinc 0
3 3 3 2 2 2x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx
3 3cosa isina cosb isinb cosc isinc
3 cosa isina cosb isinb cosc isinccos3a cos3b cos3c i sin3a sin3b sin3c
3 cos a b c isin(a b c)
cos3a cos3b cos3c 3cos a b c sin3a sin3b sin3c 3sin a b c
x y z 0 5 5 5 2 2 22 x y z 5xyz x y z
x y z 1 1 1 1x x,y y,z z.
22 2 2
2 2
x y z x y z 2 xy yz zx
x y z 2xyz x y z x y z 2xyz x y z 0
5 5 5x y z 0
5 5 5cosa isina cosb isinb cosc isinc 0cos5a cos5b cos5c i sin5a sin5b sin5c 0
cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b sin5c 0.
0 0 0 01 1 1 1 .
cos6 sin24 sin48 sin12
0 0z cos6 isin6 , 15 0 0z cos90 isin90 i.
2 4 8 160 0 0 0
2 4 8z 1 z 1 z 1 z 1cos6 ,sin12 ,sin24 ,sin48
2z 2iz 2iz 2iz
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Rút gọn và chú ý ta có
Hay: (đúng)Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài tập 7. Giả sử và là nghiệm của phương trình và .
Chứng minh Giải
Ta có . Không mất tính tổng quát, lấy . Theo giả
thiết .
Lúc đó : Tương tự :
Do đó . Mặt khác :
Từ đó ta có được :
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 238
www.thuvienhoclieu.com
2 4 8
2 4 8 162z 2iz 2iz 2iz 0
z 1 z 1 z 1 z 1
z 0 16 14z 1 iz z 1 0.
15 15 2z z 1 iz iz 0 iz 1 i iz 0
2x 2x 2 0 cot y 1
n n
ny y sinn
sin
2x 2x 2 0 x 1 i 1 i, 1 i
cot y 1 y cot 1
n
n nn
cos 1y cot 1 1 i i cosn isinnsin sin
n
n nn
cos 1y cot 1 1 i i cosn isinnsin sin
n nn
1y y .2isinnsin
2i
n n
ny y sinn
sin
Chuyên Đề Số Phức
Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức
Cho số phức . Lúc đó môđun của số phức
Cho các số phức . Ta có các bất đẳng thức thường dùng sau :
I. Các ví dụ điển hình thường gặpVí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có :
.Giải
Bất đẳng thức tương đương với
Xét .
Ta có
Mặt khác :
Áp dụng : ta được
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi ta có :
Giải
Xét
Ta có :
Áp dụng : ta được
Ví dụ 3. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 239
z a bi;a,b 2 2z a b
1 2 3z ;z ;z
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3z z z z ; z z z z z z
a,b,c
2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ac a b c 2ac 2 a b
2 22 2 2 2a c b a c b 2 a b
1 2z a c bi; z a c bi
2 22 21 2z a c b ; z a c b
2 2 2 21 2 1 2z z 2a 2bi z z 4 a b 2 a b
1 2 1 2z z z z
2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ac a b c 2ac 2 a b
,
4 4 2 2cos cos sin sin 2
2 2 2 21 2 3z cos cos .i; z sin ; z sin .i
4 4 2 21 2 3z cos cos ; z sin ; z sin ;
2 2 2 21 2 3 1 2 3z z z cos cos .i sin sin .i 1 i z z z 2
1 2 3 1 2 3z z z z z z
4 4 2 2cos cos sin sin 2
a,b,c 0 ab bc ac abc
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c 3 *ab cb ac
2 2 2
2 2 21 2 1 2 1 2bñt * 3
b c aa b c
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Theo giả thiết: . Do đó:
Áp dụng : ta được
. Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là bốn số thực thỏa mãn điều kiện :
.
Chứng minh rằng : Giải
Từ giả thiết ta có :
Xét
Ta có :
Vì nên
II. Bài tập áp dụngBài tập 1. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có :
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét số phức :
Lúc đó :
Vì
Bài tập 2. Chứng minh rằng với ta luôn có
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 240
www.thuvienhoclieu.com
1 2 1
2 2 2
1 2 32 2 2
1 2 3
2
1 2
1 2 1 2 1 2Xeùt z i; z i; z i.a b b c c a
1 2 1 2 1 2Ta coù: z ; z ; zb c aa b c
1 1 1 1 1 1Maët khaùc: z z z 2 ia b c a b c
1 1 1 z z z 3a b c
1 1 1ab bc ac abc 1a b c
1 2 z z z 3
1 2 3 1 2 3z z z z z z
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c 3ab cb ac
2 2 2 2a b 1 2 a b ; c d 36 12 c d
62 2a c b d 2 1 .
2 2 2 2a 1 b 1 1; c 1 d 1 36.
1 2 3z 1 a 1 b i; z c 6 d 6 i; z 5 5i
1 2 3z z z c a d b i
1 2 3 1 2 3z z z z z z
62 2 2 21 6 5 2 c a d b a c b d 2 1
x ,
2 2x 2x 5 x 2x 5 2 5
2 22 2x 1 2 1 x 2 2 5
1 2z x 1 2i; z 1 x 2i
1 2z z 2 4i
2 22 2 2 21 2 1 2z z z z x 1 2 1 x 2 2 4 2 5 ÑPCM
x,y,z
Chuyên Đề Số Phức
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét
Vì Bài tập 3. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có :
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét
Ta luôn có :
Bài tập 4. Chứng minh rằng với ta luôn có
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 241
2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z
2 22 22 2y y 3 z z 3x x y yz z
2 2 2 2
1 2 1 2y y 3 z z 3 1 3z x i; z x i z z y z y z i2 2 2 2 2 2
2 22 2
1 2 1 2
222 2
y y 3 z z 3z z z z x x2 2 2 2
1 3y z y z y yz z .2 2
x
2 2 2 21 1 16 32 1 1 4 8x 2 x x x 4x 10 x x 4 2 2.2 2 5 5 2 2 5 5
2 2 2 2
2 2 2 222 2
1 32 64 8 16x 4 x x x 8x 20 x x 4 2 42 5 5 5 5
16 8 4 8x 4 4 x 2 x x5 5 5 5
4 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
16 4 8z x 2i; z 4 x 2i; z x 8i; z x i5 5 5
z z 4 4i; z z 4 4i
1 2 3 4 1 2 3 4
2 2 2 222 2
2 22 2
z z z z z z z z
16 8 4 8x 4 4 x 2 x x5 5 5 5
12 164 4 4 2 4 ÑPCM5 5
x,y,z
2 2 2 2 2 2x xy y y yz z x xz z 3 x y z .
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét Ta có :
Vì nên
Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức NiutơnPhương phápTa nhắc lại công thức khai triển nhị thức Niutơn
Ta lưu ý rằng : thì I. Các ví dụ điển hình thường gặpVí dụ 1. Tính tổng
GiảiTa có:
Ví dụ 2. Chứng minh rằng Lời giải.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 242
www.thuvienhoclieu.com
2 2 22 2 2y y 3 z z 3 x x 3x y z2 2 2 2 2 2
3 x y z
1 2 3y y 3 z z 3 x x 3z x i; z y i; z z i2 2 2 2 2 2
1 2 33 3z z z x y z x y z i2 2
1 2 3 1 2 3z z z z z z
2 2 22 2 2
2 2
y y 3 z z 3 x x 3x y z2 2 2 2 2 2
9 3x y z x y z 3 x y z .4 4
nn k n k k o n 1 n 1 1 n 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n nk 0
a b C a b C a C a b C a b ... C ab C b
*m 4m 4m 1 4m 2 4m 3i 1; i i; i 1; i i
2 4 6 1 3 5 71 n n n 2 n n n na) S 1 C C C ... b)S C C C C ...
n 1 2 2 n nn n n2 4 6 1 3 5 7n n n n n n n
n n n
n n1 2
1 i 1 C i C i ... C i
1 C C C ... i C C C C ... (1)
n n1 i 2 cos i 2 sin (2)4 4
n nTöø (1) vaø (2) suy ra: S 2 cos ; S 2 sin4 4
0 2 4 6 98 100 50100 100 100 100 100 100C C C C ... C C 2
Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 3. Tính các tổng sau
GiảiXét khai triển
Lấy đạo hàm hai vế
Thay bởi ta được
Mặt khác:
Vậy
II. Bài tập rèn luyênBài tập 1. Chứng minh rằng:
GiảiXét khai triển nhị thức Newton:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 243
100 0 1 2 2 100 100100 100 100 1000 2 4 100 1 3 5 99100 100 100 100 100 100 100 100
2 100 50 50
0 2 4 100 50100 100 100 100
1 i C C i C i ... C i
C C C ... C C C C ... C i
1 i 2i 1 i 2i 2
Vaäy: C C C ... C 2
0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 151 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 15
A C 3C 5C 7C .... 13C 15C ;B 2C 4C 6C 8C .... 14C 16C .
15 0 1 2 2 3 3 12 12 13 13 14 14 15 1515 15 15 15 15 15 15 151 x C C x C x C x ... C x C x C x C x
15 0 1 2 2 3 3 4 12 13 13 14 14 15 15 1615 15 15 15 15 15 15 15x 1 x C x C x C x C x ... C x C x C x C x
15 14 0 1 2 2 3 3 12 12 13 1315 15 15 15 15 15
14 14 15 1515 15
1 x 15x 1 x C 2C x 3C x 4C x ... 13C x 14C x
15C x 16C x
x i
15 14 0 1 2 2 3 3 12 12 13 1315 15 15 15 15 15
14 14 15 1515 15
0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 15
1 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 15
1 i 15i 1 i C 2C i 3C i 4C i ... 13C i 14C i
15C i 16C i
C 3C 5C 7C .... 13C 15C
2C 4C 6C 8C .... 14C 16C i
15 1415 14 15 14
15 7 7 7 7 7 7 11 7
1 i 15i 1 i 2 cos isin 15i 2 cos isin4 4 4 4
2 22 i 15i.2 i 2 2 i 15.2 16.2 2 i 2 2 i2 2
0 2 4 6 12 14 1115 15 15 15 15 151 3 5 7 13 15 715 15 15 15 15 15
A C 3C 5C 7C .... 13C 15C 2B 2C 4C 6C 8C .... 14C 16C 2
n0 2 4 6 81 n n n n n
n1 3 5 7 92 n n n n n
nS C C C C C ... 2 cos4
nS C C C C C ... 2 sin4
n 0 1 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 n nn n n n n n n1 i C iC i C i C i C ... i C i C
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Vì nên ta có:
(1)Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(2)Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 2. Tính tổng Hướng dẫn giải
Chú ý rằng nên:
Vì
và nên:
Vậy ta có
Bài tập 3. Tính tổng
Giải
Đặt thì Do đó ta có:
Vì nên:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 244
www.thuvienhoclieu.com
k
1,(k 4m)i,(k 4m 1)i1,(k 4m 2)i,(k 4m 3)
m
n 0 2 4 1 3 5n n n n n n1 i C C C ... i C C C ....
nn nn n n1 i 2 cos isin 2 cos isin
4 4 4 4
1 3 5 72n 2n 2n 2n
1 1 1 1S C C C C ...2 4 6 8
2k 1 2k2n 2n 1
1 1C C2k 2n 1
1 3 5 72n 2n 2n 2n
2 4 6 82n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 4 6 82n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1 1 1 1S C C C C ...2 4 6 81 1 1 1C C C C ...
2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 C C C C ...
2n 1
2n 1 0 2 4 1 3 52n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 i C C C ... i C C C ...
2n 12n 1 2n 1 2n 11 i 2 cos isin4 4
2n 10 2 4 62n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2n 1C C C C ... 2 cos4
2n 11 2n 1S 1 2 cos .2n 1 4
n
0 1 2 n 1 nn n n n n0 1 2 n 1 nn n n n n
A C cosa C cos2a C cos3a ... C cosna C cos(n 1)aB C sina C sin2a C sin3a ... C sinna C sin(n 1)a
z cosa isina nz cosna isinna.
0 1 2n n n
n 1 nn n
n0 1 2 2 3 3 n nn n n n n
A iB C cosa isina C cos2a isin2a C cos3a isin3a
... C cosna isinna C cos(n 1)a isin(n 1)a
z C C z C z C z ... C z z 1 z
a a a1 z 1 cosa isina 2cos cos isin2 2 2
Chuyên Đề Số Phức
Vậy Nhận xét: Cho n là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 245
n
n n
n n
a a aA iB cosa isina 2cos cos isin2 2 2
a na na2 cos cosa isina cos isin2 2 2a n 2 n 22 cos cos a isin a2 2 2
n n n na n 2 a n 2A 2 cos cos a, B 2 cos sin a2 2 2 2
5 5 a 7acosa 5cos2a 10cos3a 10cos4a 5cos5a cos6a 2 cos cos2 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thứcPhương phápI. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Chứng minh rằng đa thức chia hết cho đa thức với mọi số tự nhiên n.
Vì nên có nghiệm là
Đặt Ta có:
Giải
Trong các bài toán về phép chia đa thức, muốn chứng minh chia hết cho , ta
chứng minh mọi nghiệm của đa thức đều là nghiệm của đa thức . Cách làm
này gặp phải khó khăn nế như không có nghiệm thực, tuy nhiên số phức giáp ta giải quyết vấn đề này.
Vậy cũng là nghiệm của , do đó chia hết cho Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 và số thực thỏa mãn
, đa thức chia hết cho đa thức .Giải
Xét phương trình nên có nghiệm
là hai số phức liên hợp.
Đặt ta có:
Suy ra hay Vậy chia hết
Ví dụ 3. Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức chia hết cho đa thức
.Lời giải
Các nghiệm cuả đa thức là:
Đặt Vì là hai số phức liên hợp, nên chỉ cần tìm n sao cho
(khi đó sẽ bằng không).
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 246
www.thuvienhoclieu.com
4n 2 4n 2x 1 x 1 2x 1
2x 1 0 x i x i 0 2x 1 i.
4n 2 4n 2f x x 1 x 1 .
4n 2 4n 2 2n 12n 1fi fi 1 i 1 (2i) 2i 0
4n 2 2n 1 2n 14n 2fi fi 1 ( i 1) 2i 2i 0
f x g x
g x f x
g x
i f x f x 2x 1.
sin 0 nx sin xsinn sin n 1 2x 2xcos 1
2 ' 2 2 2x 2xcos 1 0, cos 1 i sin
1 2x cos isin ,x cos isin
2P x x sin xsinn sin n 1
1P x cosn isinn sin cos isin sinn sin n 1cosn sin cos sinn sin n 1 0
1P x 0 2P x 0. P x 2x 2xcos 1.
2n nx x 1 2x x 1
2x x 1 1 21 3i 1 3ix ,x
2 2
2n nf x x x 1. 1 2x ,x 1f x 0
2f x
Chuyên Đề Số Phức
Ta có: nên
Vậy đa thức chia hết cho đa thức khi và chỉ khi n là số nguyên dương không chia hết cho 3.
Ví dụ 4. Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức chia hết cho đa thức
.Lời giải
Các nghiệm của đa thức là:
Đặt
Vì do đo
Vậy giá trị cần tìm của n là những số nguyên dương chia cho 6 dư 1 hoặc chia 6 dư 5.Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:
a) ; b) Giải
a) Ta có
Mà:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 247
11 3i 2 2x cos isin
2 3 3
2n n
1
1
1
2 2 2 2f x cos isin cos isin 13 3 3 3
4n 2n 4n 2nf x cos cos 1 i sin sin3 3 3 3
2n 2n4n 2n cos 2cos 1 0cos cos 1 0 3 33 3f x 04n 2n 2n 2nsin sin 0 sin 2cos 1 03 3 3 3
2n2cos 1 0 n 3k 1, k3
2n nx x 1 2x x 1
n nx 1 x 1
2x x 1
2x x 1 1 21 3i 1 3ix ,x .
2 2
n nf x x 1 x 1.
1 11 3i 1 3i 2 2x cos isin x 1 cos isin
2 3 3 2 3 3
1
1
2n 2n n nf x cos isin cos isin 1.3 3 3 3
n n2n n cos 2cos 1 0cos cos 1 0 3 33 3f x 02n n n nsin sin 0 sin 2cos 1 03 3 3 3
n2cos 1 0 n 6k 1.3
4x 4 24 2x 1 x x 1
24 4 2 2x 4 x 2i x 2i x 2i
2 22 2x 1 i . x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i
2 2 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2
Chuyên Đề Số Phức www.thuvienhoclieu.com
Nên b) Ta có:
Bằng cách giải các phương trình bậc hai , ta phân tích được thành tích:
Mặt khác:
Vậy II. Bài tập áp dụngBài tập 1. Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho đa thức
chia hết cho đa thưc Hướng dẫn giải
Các nghiệm của đa thức là:
Đặt , ta có , nhưng
Nếu thì .
Nếu thì
Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức chia hết chho
đa thức Bài tập 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:
a) ; b) Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vì
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 248
www.thuvienhoclieu.com
2 2 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2
4 2 2x 4 x 2x 2 x 2x 2
2 244 2 2 2(x 1) x x 1 x 1 i x x 1
2 22 2x 1 i x x 1 . x 1 i x x 1
2 2x 1 i x x 1 1 i x i x 1 i
2 2x 1 i x x 1 1 i x i x 1 i
2 2 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2 21 i x i . 1 i x i 2x 2x 1
24 2 2 2x 1 x x 1 x 2x 2 2x 2x 1 .
2n 2n 2nx 1 x 1 2x 4x 1.
4x 1 1, i.
2n 2n 2nf x x 1 x 1 2x f 1 f 1 0
2n 2n n n n2nfi i 1 i 1 2i 2i 2i 2 1
n 2m, m m2m 1fi 2 1 2 0 m
n 2m 1, m fi 2 0.
2n 2n 2nx 1 x 1 2x
4x 1.
2 22x 1 x 3
2 223x 5x 4 5x 3
2 22 22 2 2x 1 x 3 x 1 i x 3 2 2x ix 1 3i x 3x 1 3i
2x ix 1 3i x 1 i x 1 2i
Chuyên Đề Số Phức
Vậy
b)
Ta có:
Vì vậy
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 249
2x ix 1 3i x 1 i x 1 2i
2 2 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2
2 2 2x 1 2i x 1 2i x 1 4i x 2x 5
2 22 2 2x 1 x 3 x 2x 2 x 2x 5 .
2 22 22 2 23x 5x 4 5x 3 3x 5x 2 i 5x 3
2 23x 5 1 i x 4 3i . 3x 5 1 i x 4 3i
23x 5 1 i x 4 3i x 2 i 3x 1 2i
23x 5 1 i x 4 3i x 2 i 3x 1 2i
2 2 2x 2 i x 2 i x 2 i x 4x 5
2 2 23x 1 2i 3x 1 2i 3x 1 4i 9x 6x 5
2 22 2 23x 5x 4 5x 3 x 4x 5 9x 6x 5 .