Lời nói đầu Số phức (Complex numbers) là một khái niệm còn khá mới mẻ đối với các bạn học sinh ở bậc Trung học phổ thông hiện nay.Tuy nhiên, số phức là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các vấn đề toán học, đồng thời nó cũng có một số ứng dụng quan trọng trong một số lĩnh vực khác của khoa học.Vậy mà ở nước ta hiện ny có rất ít tài liệu nghiên cứu về số phức và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp.Vì vậy, thông qua cuốn sách này, tác giả hi vọng các bạn sẽ thuân lợi hơn trong việc tìm hiểu, làm quen, cũng như sử dụng số phức để giải quyết những bài toán ở phổ thông, từ đó các bạn có điều kiện để rèn luyên tư duy và học môn toán tốt hơn. Tập chuyên đè được chia làm 2 phần (chương) chính: chương một trình bày tóm tắt lịch sử và các khái niệm cơ bản về số phức;chương 2 bao gồm các dạng bài tập được phân loại kèm theo các thí dụ mih họa và bài tập dể các bạn rèn luyên thêm kĩ năng.Do khuôn khổ chuyên đề, ở phàn bài tập, tác giả chỉ đi sâu vào các ứng dụng của số phức trong đại số. Dù tài liệu còn ít ỏi và chưa được đa dạng nhưng với nỗ lực của mình, tác giả hi vọng cuốn chuyên đề sẽ giúp thầy cô giáo và các bạn học sinh cảm thấy hứng thú và yêu thích số phức, đồng thời thu được nhiều điều bổ ích. Chắc chắn rằng, cuốn sách sẽ không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của bạn đọc gần xa. Cuối cùng, xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tiến, người đã hướng dẫn tận tình, cùng với bạn bè trong lớp 10 Toán, đã giúp đỡ tác giả hoàn thành cuốn chuyên đề này.

Bắc Giang, ngày 20, tháng 7, năm 2007

Tác giả Nguuyễn Trần Trí

Mụclục

Trang Lời nói đầu 1 Chương I:Tổng quan về số phức §1.Lịch sử số phức 2 §2.Các kiến thức cơ bản về số phức 3

Chương II:Phân dạng bài tập và thí dụ §1.Các phép toán trong trường số phức 5 §2.Ứng dụng của số phức trong việc giải phương trình bậc 2, 11 phương trình đưa về bậc 2, hệ phương trình

§3.Các ứng dụng của công thức Moivre 15 §4.Công thức Ơ-le và ứng dụng 19 §5. Ứng dụng của số phức để giải các bài toán đa thức, 22 phân thức, tổ hợp, rời rạc…

§6.Sốphức trong ‘‘khai triển Phuriê hữu hạn’’và ứng dụng 28 để giải phương trình bậc 3

32 Các tài liệu tham khảo

1

CHƯƠNG I:Tổng quan về số phức§ 1.Lịch sử số phức

Trong thực tiễn của chúng ta, sự hình thành các hệ thống số đã được phát triể theo thứ tự:số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ và số thực. Sau đó, từ việc tiến xa hơn nữa về mặt khám phá như giải phương trình , số phức được ra đời. Nó được sử dụng lần đầu tiên vào thế kỉ XVI bởi các nhà toán học I-ta-

li-a.

Tác-ta-li-a Các-đa-nô

Sự tồn tại của số phức dược khẳng định bằng việc giải phương trình bậc ba mà Bombelli đưa ra. Cách giải của Bombelli phụ thuộc vào cách đặt vấn đề của Các-na-đô và Tác-ta-li-a.Vào khoảng năm 1722, Moivre, một nhà toán học nổi tiếng thời đó đưa ra công thức: z = r( ). Công thức này được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực lượng giác. Số phức hiện nay được sử dụng nhiều dưới dạng a+ib hoặc re bởi Ơ-le. Có những vấn đề tưởng chừng như bất khả thi nhưng vói sự xuất hiện của số phức chúng ta lại giải được.

Ơ-le là người đã đưa ra kí hiệu i để biểu thị cho vào năm 1777. Nó đã được sử dụng từ giữa thếkỉ XVI .Ngoài ra công thức Ơ-le dùng để định nghĩa cho hàm số sin, cos còn là một bước ngoặt cho sự phát triển lượng giác. Ở thế kỉ 19, hai nhà toán học nổi tiếng Gauss và Cauchy cũng đưa ra nhiều công trình đáng kể. Quyển sách đầu tiên giới thiệu về ứng dụng của số phức được Danois và Wessen trình bày vào năm 1799. Bên cạnh đó, nhà toán học Thụy Sỹ Suisse Argand đã đưa ra mặt phẳng để minh họa số phức khi mới làm quen. Người ta có thể xem số phức đóng một vai trò quan trọng trong đại số. Hiện nay, các khóa học toán ở cuối phổ thông hoặc đại học đều được học các ứng dụng của số phức. Hơn nữa, việc tìm kiếm và biểu diễn véctơ không gian ba chiều đã được Hamiltơn xây dựng vào năm 1843. Đó là những vấn đề liên qua đến lí thuyết nhóm, vành, trương mà (corp) mà toán cao cấp đề cập đến.

D’Alembert phát biểu rằng:``Trong trường số phức C, mọi đa thức đều có đúng n nghiệm”.Kết quả này được Gauss chứng minh vào năm 1799 .

2

K.Gauss D’Alembert (1777-1855) (1717-1783)

§ 2.Các kiến thức cơ bản về số phức 1.Giới thiệu về số phức:

Định lý 1( thừa nhận): Tồn tại một tập hợp C chứa R sao cho:

- C dược trang bị một phép toán cộng và một phép toán nhân thỏa mãn tất cả các tính chất

như trong R ( có nghĩa là phép toán thực hiện trên R vấn đúng trên C).- Có một phần tử i sao cho i =1.- Mọi phần tử z trong C đều được viết dưới dạng z = a+ib (a,b R)

Số a là phần thực của z, kí hiệu Re(z)Số b là phần ảo của z, kí hiệu Im(z)

Với z = a+ib ; z’= x+iy thì z = z’ x = avà y = b

3

2. Biểu diễn hình học của số phức: Trong mặt phẳng, kí hiệu E, lấy một hệ tọa độ Đề -các vuông góc Oxy thì mỗi điểm M của E xác định bởi tọa độ (x;y) của nó trong hệ tọa độ đó. Bây giờ ta gọi số phức (x+iy) là tọa vị của , đặt z = x+iy. Ta có thể viết M(z) và gọi E là mặt phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức là đông nhất E với C. Cácđiểm thuộc Ox có tọa vị thực nên còn gọi Ox là trục thực,

tương tự gọi Oy là trục ảo. Điểm A có tọa vị là 1 nên còn gọi là điểm đơn vị, điểm B có tọa vị i thuộc trục Oy gọi là điểm đơn vị ảo.

Mỗi điểm M E xácđịnh véctơ gọi là bán kính véctơ của M3.Các phép toán: Xét 2 số phức z = a+ib và z’= a’+ib’: Tổng: z+z’= ( a+a’) + i( b+b’)

Tích: z+z’= ( a+ib).( a’+ib’) = (aa’-bb’) + i(ab’+ba’) Hiệu:z-z’= ( a-a’) + i( b-b’)

Thương:

4.Số phức liên hợp: Định nghĩa: Cho 2 số phức z = a+ib, số phức có dạng a-ib được gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là . Định lý: Với mọi số phức z và z’ ta luôn có:

; ; ;

và với z 0.

5. Mođun của một số phức: Định nghĩa: Xét số phức a+ib.

Người ta gọi mođun của số phức z, kí hiệu là là một số thực được xác định bởi công thức:

Tính chất của mođun Với mọi số phức z và z’ cho trước ta luôn có:

1.

4

2. ( bất đẳng thức tam giác )

3. ( nếu z 0)

6. Acgumen của một số phức: Cho số phức z 0và M là một ảnh của số phức ztrong mặt phẳng phức. Acgumen cúaố phức z là số đo

góc( ; ), nói một cách khác đó là góc giữa 2véctơ và chiều dương của trục hoành.

Ta thường kí hiệu Acgumen của z là Arg(z)7.Dạng lượng giác của 1số phức: Định lý: Cho số phức z = a+ib

Nếu z được viết dưới dạng z = +i trong đó r = và =Arg(z) thì ta nói đây là dạng

lượng giác của số phức z. Sự liên hệ giữa dạng lượng giác và dạng đại số:

Chú ý: Số phức 0 không có dạng lượng giác R và được gọi là tọa độ của của điểm M(z) arg(z.z’) = arg(z)+arg(z’)

8.Lũy thừa của một số phức: Công thức Moivre: Với mọi R và n N, ( +i ) = +i

Căn bậc n của một số phức: Giả sử, z = r( +i ), thế thì:

( k = 0;1;2;3;…;n-1)Nhận xét: căn bậc n của một số phức có đúng n giá trị

5

CHƯƠNG II: Phân dạng Bài tập và Thí dụ§1.Các phép toán trong trường số phức

A.Thí dụ minh hoạ 1.Dạng đại số:Thí dụ 1:Tính:

(1+2i)+(3-i)=1+3+(2-1).i=4+i (1+2i)(3-i)=1(3-i)+2(3-1)=3-i+6i-2i =3+2+(6-1)i=5+5iThí dụ 2:Viết các số phức sau dưới dạng đại số a+bi:

a) b) c) d)

e) f)

Lời giải: Bằng cách nhân cả tử và mẫu số cho số phức liên hợp của mẫu số ta được:

a)

b)

c)

Bằng cách làm tương tự ta có:

d)

e)

f) =

Thí dụ 3: Tính căn bậc hai của số phức: =a+bi

Lời giải:

Gọi số phức cần tìm là z=x+yi

Số phức z thoả mãn đề bài tức là:

Từ đó, và phải thoả mãn:

Mặt khác, ta thấy rằng và tích xy cùng dấu với b khi Vậy,

+)Nếu thì

6

+)Nếu thì

*)Áp dụng : tính z trong các trường hợp sau: a)

b)

Thí dụ 4: Kí hiệu là số phức nghịch đảo của số phức z ; z=a+bi

Chứng minh rằng:

Lời giải: Giả sử =x+yi

Ta có: (a+bi)(x+yi)=1+0i (ax-by)+(ay-bx)i=1+0i

Giải hệ trên ta được:

Vậy,

Thí dụ 5: Giải phương trình sau:

+3 =

Biểu diễn tập nghiệm phương trình trên mặt phẳng phức.

Lời giải: đặt z= x+yi thì =x-yi và =

Ta có: (*) x+yi+3(x-yi)=( ).

4x-2yi = 2 +i

Vậy tập nghiệm của phương trình (*)là một nửa đường thẳng đi qua gốc toạ độ có phương trình y =Thí dụ 6: Chứng minh hằng đẳng thức:

Và cho biết ý nghĩa hình học.Lời giải: Ta có:

7

Do đó:

(*)Ý nghĩa hình học của bài toán: Tổng bình phương 2 đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương các cạnh của hình bình hành đó.2.Dạng lượng giác:Thí dụ 7: Tính:

a) b)

Lời giải: Tacó:

a)

b)

Thí dụ 8: Tìm dạng lượng giác của:

từ đó tínhLời giải:Trước hết,ta có:

Ta suy ra:

Thí dụ 9: Cho .Tính theo

Lời giải: Ta có:

8

Thí dụ 10:Xét 2số phức và tìm điều kiện để:

a) là số thực b) là số thuần ảo

Lời giải:Tacó ; ở dạng lượng giác:

và

Khi đó:

Vậy:

a) là số thực

2 điểm có toạ vị ; thẳng hàng với gốc O

b) là số thuần ảo

2điểm có toạ vị ; tạo với gốc O một góc vuông.B.Bài tập đề nghị: 1.Dạng đại số:Bài tập 1:Tính: a) với

b) vớiTừ đó hãy suy ra:

Bài tập 2:Chứng minh rằng: z=(1+2i)(2-3i)(2+i)(3-2i) là một số thực

Bài tập 3: Tìm x và y thực thoả mãn: (1+2i)x+(3-5i)y=1-3iBài tập 4: Cho a,b hãy xác định sao cho

(x+ai)(b+yi)=4+3iBiên luận theo a và b

Bài tập 5:

a)Hãy tính: ;

b)Hãy tính căn bậc hai của số phức sau:3-4i ; -15+8i; -3-4i; -8+6i.

Bài tập 6:Giải phương trình:

a) -z=1+2i b) +z=2+i

Bài tập 7:Hãy thực hiện các phép tính sau:

a) b) c)

9

d) e)

Bài tập 8: Tính mođun và acgumen của các số phức sau:a) b) c)(1-i)( )

d) e)

Bài tập 9: a)Với mọi , , chứng minh rằng:

b)Với mọi z , hãy chứng minh rằng:

Khi nào có dấu đẳng thức?

c) Chứng minh rằng:

Bài tập 10:

a)Chứng minh rằng:

b)Sử dụng kết quả trên chứng minh định lí Côsin: Trong ABC thì:

Bài tập 11: Cho z và w là số phức

a)Chứng minh rằng khi và chỉ khi z và w có cùng acgumen

b)Chứng minh rằng . Hỏi khi nào có:

+)

+)

Bài tập 12:Cho các số phức mà

Chứng minh rằng trong n số phức đó có m số mà tổng của chúng có mođun lớn hơn hoặc bằng .

2.Dạng lượng giác:Bài tập 13: Tính:

a) b)

c) d)

Bài tập 14: Chứng tỏ rằng và

Bài tập 15: Tính chính xác biểu thức sau: A=

Bài tập 16: Tính:

10

a) Căn bậc 6 của b) Căn bậc 8 của

Bài tập 17: Tính:

Bài tập 18: Chứng minh rằng:

a) b)

Bài tập 19:Cho

a) Xét 2 số phức và .Tính , theo , từ đó suy ra

b) Biểu diễn acgumen của , và theo .

c) Viết số phức dưới dạng đại số; từ đó suy ra theo

11

§2.Ứng dụng của số phức trong việc giải phương trình bậc 2, phương trình đưa về bậc 2, hệ phương trình

A.Thí dụ minh hoạ:

Thí dụ 1:Giải phương trình:

Lời giải:Phương trình đã cho có:

Do đó, phương trình có ngiệm:

hoặc

Thí dụ 2:Giải các phương trình:a) b)

Lời giải: a)Tacó:

+)Xét phương trình :∆

Áp dụng kết quả ở thí dụ 3, §1 ta được:

Dođó; phương trình có 2nghiệm:

+)Xét phương trình :∆

Áp dụng kết quả ở thí dụ 3, 1 ta được:

Dođó; phương trình có 2nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức liên hợp: và

và

b)Tacó:

12

+)Xét phương trình có:∆

Áp dụng kết quả ở thí dụ 3, 1 ta được:

Dođó; phương trình có nghiệm:

+)Xét phương trình :∆

Áp dụng kết quả ở thí dụ 3, 1 ta được:

Dođó; phương trình có nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức liên hợp:

và

và

Thí dụ 3:Giải phương trình: (1)

Lời giải: Đặt ,khi đó (1) trở thành:

Nếu thì ,k=0;1;2

Nếu thì ,k=0;1;2

Vậy, phương trình (1) có nghiệm:

hoặc

với k=0;1;2 Thí dụ 4:Giải phương trình sau:

13

(1)

Lời giải:

Phương trình (1) có:∆

Nếu thì phương trình (1)có 2 nghiệm:

Nếu thì phương trình (1)có nghiệm duy nhất:z = 0Vậy, nếu thì phương trình có nghiệm z=0

nếu thì phương trình có 2 nghiệm ;

Thí dụ 5: Tính nếu

Lời giải:Từ giả thiết suy ra:

Theo công thức Moivre:

Do đó:

Thí dụ 6: Tìm các cặp số phức thỏa mãn:

Biểu diễn dưới dạng lượng giác các cặp số vừa tìm được.Lời giải:

Hệ đã cho tương đương với:

Phương trình (*) có:

14

Vậy (*) có 2 nghiệm là:

+)Với thì:

+)Với thì:

Vậy, có 2 cặp số thỏa mãn đề bài là:

B. Bài tập đề nghị:Bài tập 1: Giải các phương trình sau:a) b)c) d)Bài tập 2: Giải các phương trình sau:a) b)

c)

d) e)

f) g)Bài tập 3: Giải và biện luận phương trình sau:

Bài tập 4:Giải hệ phương trình sau:

a) b)

Bài tập 5:Giải hệ phương trình sau:

15

§3.Các ứng dụng của công thức Moivre A. Thí dụ minh họa:

Thí dụ 1: Tính và theo tanx và cotx

Lời giải: Theo công thức Moivre ta có: (cosx+isinx)n = cosnx+isinnx

Mặt khác, theo công thức nhị thức Newton tacó:

Từ đó suy ra:

+)Với n chẵn, ta có:

Do đó,

Lại có:

Dođó,

+)Với n lẻ ta có:

Dođó,

Lại có:

Dođó,

Thí dụ 2: Rút gọn các tổng sau đây:a) cosx+cos3x+cos5x+…+cos(2n-1)xb) sinx+sin3x+sin5x+…+sin(2n-1)x

Lời giải: Ta xét các tổng sau:S = cosx+cos3x+…+cos(2n-1)x+i[sinx+sin3x+sin5x+…+sin(2n-1)x]

16

= (cosx+isinx)+(cosx+isinx)3+…+(cosx+isinx)2n-1

= (cosx+isinx)

=

= [sinx(cosx-cos(2n+1)x)-cosx(sinx-sin(2n+1)x)]+

+ [cosx(cosx-cos(2n+1)x)-sinx(sinx-sin(2n+1)x)]i

=

=

Từ đó ta suy ra:

a) cosx+cos3x+cos5x+…+cos(2n-1)x =

b) sinx+sin3x+sin5x+…+sin(2n-1)x =

Thí dụ 3: Tính tổng:

và

Lời giải:Ta có: Tn+iSn = (cosα+isinα)+q[cos(α +β)+isin(α+β)]+…+qn [cos(α+nβ)+isin(α+nβ)] = (cosα+isinα)+[1+q(cosβ+isinβ )+…+qn(cosnβ+isinnβ )] = (cosα+isinα)[1+qε+…+(qε)n ] với ε = cosβ+isinβ

Từ đó:Tn+iSn = (cosα+isinα) = (cosα+isinα)

=

Vậy,

Thí dụ 4: Chứng minh đẳng thức:

Lời giải:

17

Ta thấy: (k = 0;1;2;…;6)là các nghiệm của phương trình x7 = 1.

Suy ra, xk (k = 0;1;2;…;6) là các nghiệm của phương trình: x6+x5+x4+x3+x2+x+1 =0

(1)

Đặt .Khi đó, phương trình (1) trở thành:

y3+y2+-2y-1 = 0 (2)

Ta thấy : (k= 0;1;2;…;6)

Mà

Nên 2 (k=1;2;4)là các nghiệm của phương trình (2)

Đặt:

Do α;β;γ là các nghiệm của phương trình (2) nên theo định lí Viét ta có:

Đặt: ;

(3) Tương tự có: (4)Nhân vế với vế của (3) với (4) và đặt AB = z ta được:

z3-9z2-27z-20=0 (3-z)3=7

z =

Do đó,

Vậy, tóm lại ta được:

B. Bài tập đề nghị:Bài tập 1: Hãy biểu diễn theo sinx và cosx:a)cos5x b)cos8x c)sin6x d)sin7xBài tập 2: Hãy biểu diễn theo tanxa)tan6x b)cot7x c)tan11x d)cõtnBài tập 3:Hãy biểu diễn cos5θ và sin5θ theocos, sin các góc bội của θ.Bài tập 4:Tính (1+cosα+isinα)n

Bài tập 5: Tính:a) b)

Bài tập 6:1. Cho số phức u = 1+i.

a)Đặt Sn= .Chứng tỏ rằng với λn là một số thực phụ thuộc vào n.

18

b)Chứng minh rằng với n chẵn

2.Giả sử n = 24, chứng minh rằng:

Bài tập 7: Tính cosα và sinα theo sin5α và cos5α .Bài tập 8: Tính tổng:

1.a) b)

Trong đó, a1;a2;a3;…ak là cấp số nhân công bội

2.a) b)

Trong đó, a1;a2;a3;…ak là cấp số nhân công bội và b1;b2;b3;…bk là một cấp số cộng công sai d

Bài tập 9:Chứng minh đẳng thức:

Bài tập 10: Tính:a) b)

19

§4.Công thức Ơ-le và ứng dụng

A.Kiến thức bổ sung:a.Định nghĩa:Với mọi α ta định nghĩa rằng: b.Công thức Ơ-le:

Với mọi α : và

B.Thí dụ minh họa:Thí dụ 1:

a) Phân tích thành nhân tử: theo

b)Với mọi số thực và n là một số tự nhiên

Tính:S = 1+cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx S’= sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx Lời giải:

a) Ta có: .Từ đó suy ra:

b) Tacó: điều kiện:

Dựa vào kết quả câu a ta có: và

Vậy:

Tách phần thực và phần ảo riêng ta thu được:

và

Thí dụ 2:Hạ bậc

Lời giải:

Tacó:

Vậy,

Thí dụ 3:Viết biểu thức dưới dạng tổng của những hạng tử bậc nhất .Lời giải:

Áp dụng công thức Ơ-le ta được:

Khai triển ta được:20

Vậy, ta được:

Thí dụ 4:Cho α là 1 số thực;α .Xét phương trình sau:

(E):

a.Cho biết z là 1 nghiệm của (E)

Chứng minh rằng:nếu thì z là một số thực.

b.Biểu diễn theo .

c.Cho z là một số thực, đặt với .Chứng minh (E) tương đương với một phương trình ẩn

.Giải phương trình đấy.Lời giải: a.Bằng cách lấy mođun mỗi vế của phương trình (E) ta được:

Mà ;Vậy MA=MB

trong đó,M(z);A(i);B(-i)Vậy, M nằm trên đường trung trực của đoạn AB, tức là M thuộc trục hoành z là số thực.b. Ta có:

và

Do đó,

(E)

Vì nên

c.z là một số thực, đặt

21

Nghiệm của (E) là và

C. Bài tập đề nghị :Bài tập 1:

Tính mođun và acgumen của và

Bài tập 2:

a)Chứng minh rằng:

b) Từ đó suy ra:

Bài tập 3:Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:

a) b) c)

d)

Bài tập 4:Đặt α ; β là những số thực được xác định bởi:

Chứng minh rằng 4α-β =

(Hướng dẫn:Kiểm chứng rằng bằng cách dùng máy tính.)

(*)Ghi chú:Công thức trên do John Machin nghĩ ra, nó cho phép tính gần đúng giá trị của .Bài tập 5:Chứng minh rằng: với mọi

Bài tập 6:Chứng minh rằng nếu mà thì:

22

§5. Ứng dụng của số phức để giải các bài toán đa thức, phân thức, tổ hợp, rời rạc…A. Thí dụ minh họa:Thí dụ 1:

a) Hãy chia x4 + ix3 - ix2 + x + 1 cho x2 – ix + 1.b) Tìm số dư trong phép chia: x128 + x19 + x91 cho x2 + x + 1.

Lời giải:a) Ta có:x4 + ix3 - ix2 + x + 1 x2 – ix + 1x4 – ix3 + x2 x2 + 2ix – (3 + i)

2ix3 - (i+1)x2 + x + 1

2ix3 + 2x2 + 2ix

- (3+i)x2 – (1-2x)x + 1 - (3+i)x2 + (3i-1)x - (3+i) (-5i+2)x + (4+i)

Vậy

b) Vì x2 + x + 1 là đa thức bậc hai nên số dư trong phép chia phải là nhị thức bậc nhất.Ta có: x129 + x19 + x91 = Q(x) (x2 + x + 1) + ax +b

Cho ta được:

Vậy số dư cần tìm trong phép chia là x2 – 1.Thí dụ 2: Phân tích tổng sau thành tích các thừa số bậc nhất: x4 – 2x2cos + 1.Lời giải:

Xét phương trình: x4 – 2x2cos + 1 = 0.Đặt x2 = z, phương trình trở thành: z2 + -2zcos + 1 = 0’= cos2 - 1 = i2(1-cos2 ) = i2sin2 .Do đó: z1 = cos + isin ; z2 = cos - isin

Và x1 = cos + isin ; x2 = -cos - isin ; x4 = -cos + isin .

Vậy x4 – 2x2cos + 1 = (x - cos - isin ) (x + cos + isin ) (x - cos + isin ) (x + cos - isin )

23

Thí dụ 3: Phân tích phân thức sau thành tổng các phân thức đơn giản:

Lời giải:

Xét phân thức: , ta có:

x6 + 1 = (x2)3 + 1 = (x2 + 1) (x4 – x2 + 1)Mà x4 – x2 + 1= (x2 + 1)2 – 3x2 = (x2 - x + 1) (x2 - x + 1)

Do đó:

Quy đồng mẫu số và bỏ mẫu chung ta được:1 = (Ax + B) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1) + (Cx + D) (x2 + 1) (x2 + x + 1) + (Mx + N) (x2 + 1) (x2 -

x + 1)

Thay x = i vào ta được: 1 = 3(Ai + B) = 3Ai + 3B A = 0; 3B = 1 B = .

Thay x = vào ta được:

Cân bằng phần thực và phần ảo ở 2 vế ta được: .

Thay x = - vào ta được: 1=

Cân bằng phần thực và phần ảo ở 2 vế ta được: N = ; M = .

Vậy:

Thí dụ 4: Mỗi đỉnh của một đa diện có 3 cạnh . Có thể tô màu 3 cạnh tại mỗi đỉnh bằng 3 màu khác nhau. Chứng minh rằng: ta có thể gán cho mỗi đỉnh một số phức zi ≠ 1 để cho tích các số quanh các mặt là 1.Lời giải:

Đặt w = e . Ta đánh số các cạnh là 1; w; w2 tương ứng với các màu của chúng.

Bây giờ, tại một đỉnh, ta gán cho đỉnh đó số w nếu nhìn từ ngoài đa diện, ta thấy các cạnh 1; w; w 2 ngược chiều kim đồng hồ hoặc gán nhãn số w2 cho các đỉnh này nếu các cạnh đó cùng chiều kim đồng hồ.

Giả sử ngược chiều kim đồng hồ thì lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai sẽ được w.Giả sử cùng chiều kim đồng hồ , ta lấy 2 số bất kì đã gán theo chiều kim đồng hồ thì số thứ nhất chia cho

số thứ hai sẽ được w2.Vì thế, đây là cách khác để gán nhãn: lấy hai số tùy ý gán trên hai cạnh theo chiều kim đồng hồ rồi chia

số thứ nhất cho số thứ hai.Bây giờ, ta di chuyển vòng quanh các đỉnh của một mặt theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Điều này

có nghĩa ta chọn 2 cạnh của một đỉnh theo chiều kim đồng hồ, và ta có thể nhận được số gán trên đỉnh bằng cách lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai. Do đó, nếu các cạnh được gán số a 1; a2;…; an thì các số được gán

trên đỉnh là: và tích của chúng bằng 1.

Thí dụ 5: Cho a là một số thực dương. Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương m, ta có đẳng thức:

24

(z + a)2m – (z – a)2m = 4maz

Lời giải:Đặt f(z) = (z+a)2m - (z-a)2m thì f là đa thức bậc 2m-1, hệ số của hạng tử bậc cao nhất đó là:

.

Viết f(z) = (z + a)2m thì dễ thấy f có các không điểm tọa vị z mà .

Tức là .

Vậy

Để ý rằng m+j = -j.

Mặt khác, nếu = cos + isin ( ≠ 2l; l Z) thì nên có 2m -1 không điểm có tọa vị 0; ±

iacot k (k = 1; 2; …; m-1).

Từ đó f(z) = Az

Dễ thấy (do cot k = tan ( (m - k)) nên suy ra A = 4ma.

Trước khi sang ví dụ 6,7 ta có một chút kiến thức bổ sung:

Cho đa thức f(x) = và số nguyên dương m. Ta có:

với

Từ = m nếu k chia hết cho m

Hoặc = 0 nếu k không chia hết cho m.

Suy ra tổng các số ak với k chia hết cho m bằng .

Cho m, k là hai số nguyên dương với m > 1.

Khi đó: = m-1 nếu k chia hết cho m

= -1 nếu k không chia hết cho m.

Thí dụ 6:Cho p là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n nguyên tố cùng nhau với p. Tìm số các bộ (x 1; x2; ...; xp-1) gồm p-1 số tự nhiên sao cho tổng x1 + 2x2 + …. + (p-1)xp-1 chia hết cho p, trong đó mỗi số x1; x2; …; xp-1 đều không lớn hơn n-1.Lời giải:

Xét đa thức f(x) = xn-1 + xn-2 + … + x + 1 và đặt F(x) = f(x) f(x2) … f(xp – 1).

25

Bằng cách khai triển đa thức F(x) ta có thể viết:

F(x) = trong đó ak là số các bộ (x1; x2; …; xp-1) với mỗi xj 0; 1; …; n-1 sao cho x1 + 2x2 + …

+(p - 1)xp-1 = k.Vậy số các bộ (x1; x2; … xp-1) gồm p-1 số tự nhiên thảo mãn điều kiện bài toán, bằng tổng của các số a k

với k chia hết cho p.

Mặt khác, tổng của các số ak với k chia hết cho p bằng với .

Để ý rằng f(x) = nếu x ≠ 1 và k j ≠ 1 với k, j = 1; 2; …; p-1.

Do đó f(k j) = với k, j = 1; 2; … ; p-1.

Nhân các đẳng thức ở trên với k = 1; 2; … ; p-1 ta được:

F(j) = f(j) f(2j)…f(p-1) = với j=1; 2; …; p-1. Vì (n; p) = 1 nên (j; p) =

(nj; p) = 1 với j = 1; 2; …; p-1 do đó (n j; 2 n j; …; (p-1)n j) và (j; 2j; …; (p-1) j) là những hoán vị của (; 2; …; p-1) với j = 1; 2; …; p-1.

Nên với mọi j = 1; 2; …; p-1 thì F(i) = 1.Mặt khác, F(0) = F(1) = np-1.

Vậy số các bộ (x1; x2; …; xp-1) thỏa mãn điều kiện bài toán là: .

Thí dụ 7: Cho 3 số nguyên dương m, n, p. Trong đó:+) n + 2 m.+) m > pTìm số các bộ (x1; x2; …; xp) sao cho tổng:

x1; x2; …; xp n.

Lời giải:Xét đa thức (x n + x n-1 + … + x ) p

Bằng cách khai triển đa thức f(x), ta có thể viết; f(x) = trong đó: ak là các bộ (x1; x2; …; xk) với

xj 1; 2;…; n sao cho .

Vậy số các bộ (x1; x2; …; xp) gồm p số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán bằng tổng các số ak với k chia hết cho m.

Ta biết rằng tổng của các số ak với k m bằng .

Vì m > p > 1 j ≠ 1 với j = 1; 2; ..; m-1.

Để ý thấy f(x) = nếu x ≠ 1. Do đó với j = 1; 2; …; m-1 thì

26

Từ đó f(j ) = với j = 1; 2; …; m – 1.

Lấy tổng các đẳng thức ở trên với j= 1; 2; …; m – 1 ta được:

Chú ý rằng k không chia hết cho m với k = 1; 2; …; p.

Vì m > p và = m -1 nếu k chia hết cho m hoặc = -1 nếu k không chia hết cho m.

Nên ta có:

Chú ý rằng: f(0) = f(1) = np, vậy số các bộ (x1; x2; …; xp) gồm p sốnguyên dương thỏa mãn đề bài là:

B. Bài tập đề nghị:Bài tập 1:Tìm điều kiện để:

a) (x3 + px + qi) chia hểt cho x2 + mx -1b) x4 + px2 + q + i chia hết cho x2 + mx +1

Bài tập 2:Tìm số dư trong phép chia:

a) (x12 + x8 + x1991) cho (x4 + x2 +1)b) (x21 + x12 + x1991) cho (x4 – x2 +1)

Bài tập 3:Hãy phân tích các phân thức sau thành tổng của các phân thức đơn giản:

Bài tập 4:Xét phương trình bậc 5 sau: P(z) = z5 – 5z4 + 12z3 – 26z2 + 32z – 24

a) Chỉ ra sự tồn tại giá trị a và đa thức Q(x) bậc 3 có hệ số thực thỏa mãn: P(z) = (z2 + a2). Q(x)

b) Khảo sát hàm số thực Q(x). Tìm tất cả các nghiệm của P(x).Bài tập 5:Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: phương trình zn+1 – zn – 1 = 0 có một nghiệm nằm trên đường tròn đơn vị z=1 nếu và chỉ nếu n 4(mod 6).Bài tập 6:

27

Cho n số phức zi thoả mãn:z1+z2+….+zn= 1.

Chứng minh rằng: ta có thể tìm được một tập con mà tổng của chúng có môđun .

Bài tập 7:Cho m là một số nguyên dương cố định. Hãy tính xem có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện zn = z với n = m1989 nhưng không thỏa mãn đẳng thức zn = z với n = m1; n = m2; …; n = m1988.Bài tập 8:

Xét phân thức dạng F(x) = (a, b, c, d R; ad – bc ≠ 0)

Với phân thức G(x) = , đặt phân thức:

(GoF)(x) = G(F(x)) =

Với mỗi số phức z = a+ ib ≠ 0 (a, b R), xét phân thức Fz(x) = . Chứng minh rằng: với mọi số

nguyên dương n, Fzn(x) = (Fz o Fz o … o Fz)(x).Bài tập 9:

a) Cho các số thực dương an > an-1 > an-2 > … > a0 (n 1). Chứng minh rằng: mọi nghiệm của: a0zn + a1zn-1+…+an = 0.

b) Cho các số thực dương a0; a1; …; an (n 1).

Kí hiệu p = min

Chứng minh rằng: mọi nghiệm z0 của: a0zn + a1zn-1 + … + an = 0 đều có môđun thỏa mãn: p z0 q Bài tập 10:Xét đa thức: f(x) = x2 -2 và kí hiệu f2(x) = f(f(x)). Chứng minh rằng: mọi nghiệm của phương trình fn(x) = x là các nghiệm thực phân biệt.Bài tập 11:Cho p là số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n. Tìm số các bộ (x1; x2; …; xp-1) gồm p-1 số tự nhiên sao cho:

và xj n – 1.

Bài tập 12:Cho p là số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n > 2p. Tìm số tập con X của tập 1; 2; …; n, biết rằng X chứa đúng 2p phần tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hết cho p.Bài tập 13:Cho m, n N*; n+2 chia hết cho m. Hãy tính số các bộ năm số nguyên dương (x, y, z, t, v) thỏa mãn:+) x + y + z + t + v chia hết cho m.+) x, y, z, t,v n.Bài tập 14:Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con X của tập 1; 2;…; 2p+1 biết rằng X chưa đúng p phần tử và tổng số các phần tử của X khi chia cho p số dư bằng 1

28

§6.Sốphức trong ‘‘khai triển Phuriê hữu hạn’’và ứng dụng để giải phương trình bậc 3.A.‘‘Khai triển Phuriê hữu hạn’’và ứng dụng:I.‘‘Khai triển Phuriê hữu hạn’’1.Định nghĩa:

Cho số nguyên , ta kí hiệu ; .

Cho dãy số phức , kí hiệu là P

Hãy tìm khi triển Phuriê hữu hạn của dãy tức là tìm dãy số phức sao cho:

tức

Kí hiệu P0là dãy và

(n lần) Thì(*) còn có thể viết lại được là:

Các số được gọi là các hệ số của khai triển.

(*)Chú ý:Do và tổng quát

Nên (*) còn có thể viết đượcdưới dạng :

Từ đó xét các dãy:

thì (*) còn có thể viết được dưới dạng:

2. Hệ số khai triển:Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các hệ số khai triển

Trước hết để ý rằng:

và nếu (p-q) chia hết cho n; nếu (p-q) không chia hết cho n

Thật vậy, khi(p-q) chia hết cho n thì

Còn khi (p-q) không chia hết cho n thì:

Vậy từ suy ra

Từ đó, (**)

Ngược lại từ (**)dễ dàng suy ra được (*)Vậy khai triển hữu hạn tồn tại và duy nhất3.Một vài tính chất của khai triển:

a) là tọa vị trọng tâm của hệ n điểm có tọa vị

29

b)

c)Tất cả các số thực khi và chỉ khi thực và

(*)Chứng minh:Thật vậy, tính chất a và b là hiển nhiênXét tính chất c:

Nếu thực và thì các số của dãy Qj đều thực vì mà

cũng thực nên đẳng thức chứng tỏ mọi

Ngược lại, nếu mọi thì rõ ràng là số thực, còn đẳng thức

cùng với chứng tỏ

II.Ứng dụng của khai triển để giải phương trình bậc 3:Trước hết, phương trình bậc 3 nào cũng có thể dễ dàng biến đổi về dạng:

Bằng cách đặt , phương trình sẽ có dạng:

Gọi là các nghiệm của phương trình .1.Xét trường hợp α;β :

Xét khai triển Phuriê của dãy có dãy hệ số

(trong đó )

Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét ta có;

Từ phương trình i) suy ra (1)

Từ phương trình ii) và đẳng thức ,suy ra (2)

Từ phương trình iii) ta được: (3)

(theo công thức khai triển Phuriê)

Từ (2) và (3) là nghiệm của phương trình:

( phương trình giải thức)

30

Đặt ∆’ = thì được ( là 1căn bậc 2 của ∆’)

Lấy là một căn bậc 3 của thì từ phương trình (2) ta tính được .Sau đó dùng công thức khai triển

Phuriê ta tính được: ( )

(*)Chú ý: do có 2 căn bậc 2 của ∆’ , 3 căn bậc 3 của nên có thể có 6 giá trị, dẫn đến 6 hoán vị của bộ

2.Xét trường hợp ta có các trường hợp:

a) : lấy là căn bậc 2 số học của ∆’ rồi lấy căn bậc 3 thực của ta được thực rồi từ (2)

thực

Từ đó ta được một nghiệm thực zo, 2 nghiệm z1;z2 là 2 nghiệm phức liên hợpb) ∆’< 0:gọi và là các căn bậc hai số âm của ∆’< 0 thì:

là 2 số phức liên hợp

Từ đó theo khai triển Phuriê ta được 3 nghiệm thực

c) ∆’=0: lấy là số thực ta thấy phương trình có 3 nghiệm thực Bài tập đề nghịBài tập 1:Cho dãy n số phức ; gọi là dãy hệ số khai triển Phuriê của dãy đã cho

tức

a) Cho dãy số phức .Xét dãy số phức xác định bởi:

( phép đổi xyclic)

Gọi là dãy hệ số khai triển Phuriê của dãy:

Chứng minh rằng: trong đó,

(gọi là đa thức biểu diễn phép đổi xyclic đang xét)

Từ đó suy ra:

b)Chứng minh rằng: (đặt zn=z0)

Ứng dụng:Xét tứ giác AoA1A2A3 nhận điểm O làm trọng tâm.

Chứng minh rằng:

31

Tương tự với ngũ giác AoA1A2A3A4 :

Hãy chứng minh:

Từ đó hãy mở rộng ra trường hợp n-giác:

32

Các tài liệu tham khảo1. Số phức và các ứng dụng-Phạm Thành Luân.2. Bài tập toán cao cấp (tập một)-Nguyễn Đình Trí3. Số phức với hình học phẳng-Đoàn Quỳnh4. Dãy số và giới hạn-Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh5. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.6. Giải tích 12-Phan Đức Chính (chủ biên)7. Chuyên đề số phức-Nguyễn Văn Tiến.8. Các tài liệu từ Internet

33