Post on 14-Aug-2020
1
Пирютко О.Н.
Ошибки на экзаменах по математике
2
Оглавление Предисловие ................................................................................................................................... 3
Раздел 1 ........................................................................................................................................... 4
Вычислительные ошибки ......................................................................................................... 4
Раздел 2 ......................................................................................................................................... 28
Ошибки в тождественных преобразованиях ........................................................................ 28
Раздел 3 ......................................................................................................................................... 37
Ошибки при решении уравнений ........................................................................................... 37
Раздел 4 ......................................................................................................................................... 66
Ошибки при решении неравенств .......................................................................................... 66
Раздел 5 ......................................................................................................................................... 95
Функции и их свойства ........................................................................................................... 95
Раздел 6 ....................................................................................................................................... 111
Логические ошибки ............................................................................................................... 111
Раздел 7 ....................................................................................................................................... 117
Рациональные решения ......................................................................................................... 117
Раздел 8 ....................................................................................................................................... 158
Задания тестов........................................................................................................................ 158
3
Предисловие
Книга адресована школьникам для подготовки к конкурсным экзаменам.
В ней классифицированы ошибки, которые допускают абитуриенты на
вступительных экзаменах в Вузы, указаны причины таких ошибок, приведена
теория и алгоритмы, исключающие возможность их появления.
Книга ориентирована на школьников различных уровней подготовленности.
В первых пяти главах рассматриваются как грубые ошибки, которые
допускаются при слабой подготовленности абитуриентов, так и ошибки,
которые могут допустить школьники с высокими оценками по математике в
экзаменационных заданиях.
Как правило, такие ошибки допускаются в заданиях, которых нет в
школьных учебниках, но для их решения нужны только знания школьной
программы.
Кроме того, в книге уделено внимание особенностям подготовки к тестам. В
разделе «Рациональные решения» предлагаются приемы решения задач,
которые способствуют успешному решению тестовых заданий.
Задачи этого раздела решены несколькими способами, среди которых и
наиболее короткие и рациональные, знание методов таких решений
особенного актуально в условиях тестирования.
4
Раздел 1
Вычислительные ошибки
§1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями 1. Ошибки при выполнении действий с обыкновенными дробями:
а) 8
5
5
3
3
2, правильное решение:
15
41
15
19
15
910
35
33
53
52
5
3
3
2
б) 7
22
7
23 , правильное решение:
7
52
7
272
7
2
7
72
7
212
7
23
в) ,6
12
2
12
3
14 правильное решение:
6
51
6
111
6
12
6
322
32
31
23
212
2
1
3
12
2
12
3
14 .
2. При выполнении совместных действий с десятичными и обыкновенными
дробями довольно часто обыкновенные дроби заменяются их десятичными
приближениями, тогда результат выполнения всех действий оказывается
приближенным, а не точным.
Например, 6,03,03,03,03
1. 0,6- приближенное значение суммы.
30
13
30
3
30
10
10
3
3
13,0
3
1.
30
13- точное значение суммы.
3. При упрощении выражений, содержащих бесконечные периодические
дроби, следует эту бесконечную десятичную дробь не округлять, а записать в
виде обыкновенной дроби, так как результат округления есть приближенное
значение бесконечной периодической дроби.
Например:
а) 0,(6) =0,66666…= .3
2
9
6
9,0
6,0
1,01
6,0...
1000
6
100
6
10
6
б) 1, 24(65)=1,24+0,0065+ 0,000065+0,00000065+…=101,01
0065,0
100
24=
=900
2811
900
65
100
241
Для справки
5
1.Чтобы записать бесконечную периодическую дробь в виде
обыкновенной, можно использовать формулу суммы бесконечно –
убывающей геометрической прогресси S = q
b
1
1 .
Геометрическая пргрессия называется бесконечно – убывающей, если ее
знаменатель │q│
6
4. При выполнении действий с десятичными дробями:
а) 2,6 2,60 1,17 - неправильно; правильно будет: 1,17
1,57 1,43
б) 1,9 ∙ 0,01 ≠ 0,19; правильно будет: 1,9∙ 0,01 = 0,019 ; Ошибка в том, что запятая перенесена на столько знаков, сколько
нулей после запятой, а нужно перенести на столько знаков, сколько всего
цифр после запятой.
в) 7,6 : 0,02 ≠ 38; правильно будет: 7,6 : 0,02=380.
Для справки
Правила действий с обыкновенными дробями.
b
aобыкновенная дробь, a, b – натуральные числа.
а – числитель дроби, b – еѐ знаменатель;
если а
7
8
35
8
384
8
34 ,
7
43
7
176
7
16 .
b) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо:
1) разделить числитель на знаменатель: получится частное и
остаток;
2) частное записать в целую часть;
3) остаток записать в числитель новой дроби;
4) в знаменателе новой дроби записать прежний знаменатель.
Примеры:
13
32))3(213:29(
13
29остаток ;
4
12))1(24:9(
4
9остаток .
2. а) Сокращение дробей – это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, не равное нулю, т.е. это деление числителя и
знаменателя на их наибольший общий делитель.
Примеры:
28
24(замечаем, что числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же
число 4 и делим числитель и знаменатель на это число).
7
6
4:28
4:24.
6
5
7:42
7:35.
b) Приведение дробей к общему знаменателю.
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:
1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;
2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие
множители из разложения второго знаменателя;
3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из разложения первогознаменателя.
Примеры: приведите дроби к общему знаменателю 15
2
18
5и .
Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
518
55 умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель
5 из второго разложения.
числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого
разложения.
15
2,
90
25
518
55
18
5
2315
232 =
90
12, 90 – общий знаменатель дробей
15
2
18
5и .
8
3. а) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
1. записать их с общим знаменателем; 2. сложить (вычесть) числители получившихся дробей, результат
записать в числитель новой дроби;
3. в знаменатель новой дроби записать общий знаменатель. Примеры:
.6
5
6
23
23
21
32
31
3
1
2
1
.42
13
42
49
221
22
314
33
21
2
14
3
.24
1
24
910
38
33
212
25
8
3
12
5
4.) Умножение дробей.
Чтобы умножить дроби, надо:
1. перемножить их числители и результат записать в числитель новой дроби;
2. перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель новой дроби;
3. сократить (если можно) полученную дробь. Примеры:
34
21
217
37
2:417
2:314
417
314
4
3
17
14
.11
3
13:4:4413
13:4:394
4413
394
44
39
13
4
68
33
417
311
4
3
17
11
5. Деление дробей.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо:
1. Делимое (первую дробь) оставить без изменения; 2. делитель (вторую дробь) заменить на обратную ей (поменять
числитель и знаменатель местами);
9
3. выполнить умножение первой дроби на обратную второй по правилу умножения дробей (4).
4. Примеры:
84
65
614
135
6
13
14
5
13
6:
14
5
2
11
2
3
11:5:522
11:5:1115
522
1115
5
11
22
15
11
5:
22
15.
6. Действия со смешанными числами.
а) При сложении и вычитании смешанных чисел целые и дробные части
складываются (вычитаются) отдельно.
Примеры:
5
35
5
1
5
232
5
13
5
22
28
16
28
115
28
295
28
8215
47
42
74
735
7
2
4
314
7
21
4
34
21
52
21
7122
73
71
37
342
3
1
7
413
3
11
7
43
3
2
3
1
3
3
3
11
3
112
3
112
20
191
20
111
20
12
20
452
45
41
54
5135
4
13
5
15
b) При умножении и делении смешанные числа записываются в виде
неправильных дробей, и действия выполняются по правилам 4 и 5.
Примеры:
2
111
2
23
52
235
5
23
2
5
5
34
2
12
.58
27
292
93
29
9
2
3
9
23:
2
11
1
.111
11
41
114
4
11
1
4
4
114
4
324
10
10
1
17:345
17:117
34
1
5
1734:
5
23
Правила действий с десятичными дробями.
1. Сложение дробей. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби
( например, 0,6 + 2,15), надо:
1) записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая
оказалась под запятой: 0,6
2,15
2) уравнять число знаков после запятой, дописывая нули:
0,60
2,15
3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на
запятую; в полученном результате запятую поставить под
запятыми в данных дробях:
0,60
2,15
2,75
Примеры:
1,316+ 7,45=8,766
+1,316 2,3 – 1,45 =0,85
7,45
8,766 2,30
1,45
2. Умножение дробей. 0, 85
Чтобы умножить одну десятичную
дробь на другую ( например, 0,43 ∙ 0,2), надо:
1) выполнить умножение, не обращая внимание на запятую:
43 ∙ 2=86
2) в полученном результате отделить справа запятой столько
цифр, сколько их в обоих сомножителях вместе после
запятой ( в первой дроби 0,23 после запятой 2 цифры, во
11
второй дроби 0,2 после запятой 1 цифра; 2+1=3, значит,
отделить надо 3 цифры):
0,43 ∙ 0,2=0,046
Примеры:
3,15∙ 2 = (315∙ 2=630, отделить надо 2 цифры)=
=6,30=6,3;
Деление десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число
( например, 18,24:6) надо:
1) разделить на это число целую часть дроби ( 18:6=3 ) ;
2) поставить в частное запятую ( 18,24:6=3,… );
3) далее делить как на натуральное число ( 18,24:6=3,06 ).
Примеры:
0,15 : 5= 0,03; 65,13 : 13=5,01 .
Деление десятичной дроби на десятичную дробь. Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь
(например, 0,43 : 0,2) , надо:
1) в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой (в делителе 0,2
после запятой одна цифра, значит, надо перенести запятую на 1
цифру, получим:4,3 : 2);
2) выполнить деление на натуральное число ( 4,3 : 2=2,15 ). Примеры:
45,03 : 0.003=45030 : 3 = 15010;
0,033 : 1,1 = 0,03.
3. а) Чтобы обыкновенную дробь представить в виде десятичной,
надо числитель дроби разделить на знаменатель
Примеры:
8,05:45
4. 04,304,0325:23
25
23
Чтобы выполнить действия с обыкновенными и десятичными дробями,
можно десятичные дроби перевести в обыкновенные.
Примеры:
35
34
35
1420
5
2
7
44,0
7
4.
72
7
1036
75
10
7
36
57,0
36
5
12
13
§2. Вычисление значений выражений, содержащих степени
1. Часто допускаются ошибки при выполнении действий со степенями с отрицательными и дробными показателями.
Примеры
а) Вычислить значение выражения : ( 2-1
+3-1
)-1
.
( 2-1
+3-1
)-1
≠( 2-1
)-1
+(3-1
)-1
, так степень суммы не равна сумме
степеней слагаемых.
Для вычисления значения этого выражения выполним указанные действия
по порядку, т.е.
сначала в скобках выполним возведение в степень: 2-1
= 2
1, 3
-1=
3
1,
затем – сложение: 6
5
3
1
2
1,
последнее действие – возведение суммы с степень 5
11
5
6
6
51
.
б) Вычислить: 21
2
1
22 .
4
1
2
1
2
1
222 ,так как при умножении степеней с одинаковыми
основаниями показатели складываются
Правильное решение: 2222 121
2
1
.
в) Вычислить: 31
125 .
33
1
125125 , так как при возведении числа в степень с
отрицательным показателем показатель степени меняется на
противоположный ( 3
1
3
1на ), а не на обратный, а основание степени
– на обратное число (125 на 1/125).
Правильное решение: 5
15)5(125
5
1
)5(
1
125
1125 13
133
1
3
1
33
1
3
1
или
г) Вычислить: 2∙3-1
.
2∙3-1
≠ 6
1, т.к. в минус первую степень возводится только множитель
3.
Правильное решение: 2∙3-1
=2∙3
1= .
3
2
д) Вычислить: 21
2 .
14
2
2
1
2
12 , так как степень числа с дробным показателем m/n (m –
целое, n – натуральное, большее 1) равна корню n -ой степени и
этого числа в степени m.
Правильное решение: 22 21
.
Для справки
Определение и свойства степени с рациональным
показателем
1. Степень числа a c натуральным показателем n>1 (an) равна
произведению n множителей, каждый их которых равен a.
Например, a3=a∙a∙a, 5
4=5∙5∙5∙5=625.
Степень числа а≠0, с показателем, равным нулю, равна 1.
Например, 60=1; (-5)
0=1.
Степень числа а≠0, с отрицательным целым показателем равна
дроби, в числителе которой 1, а в знаменателе - степень с тем же
основанием и противоположным показателем, т. е n
n
aa
1, n –
натуральное число.
Например, 3-2
= 9
1
3
12
, .3
4
4
31
Степень числа a> 0, c дробным показателем n
m, где n – натуральное,
n >1, m- целое, равна корню n-ой степени из числа a в n- ой степени, т.е.
n mnm
aa .
Например, .1001010 33 232
.2
1
8
188 33 13
1
15
Свойства степеней
1. an∙am=an+m; 2. an:am=an-m, a≠0; 3. (an)m=anm; 4. (ab)n=an bn; 5. (a:b)n=an :bn, b≠0. Эти свойства выполняются для всех рациональных показателей и
оснований, указанных в определениях.
Пример
Найдите значение выражения: )125,0)(125,0(
9
18
44
5,1
3
2
Решение:
)125,0)(125,0(
9
18
44
5,1
3
2
=
465,0
23
15,0
23
125,0
274
)1)25,0(
32
)125,0)(125,0(
32
2
1
24
1
32
4
1
4
1
5,123
23
.
16
§3. Вычисление значений выражений, содержащих корни
1.Большое число ошибок допускается при применении тождества,
справедливого для любого действительного a и натурального n.
.0,
,0,2 2
еслиaa
еслиaaaan n
Пример:
Найдите значение выражения : 324324 .
Вначале выполняются верные преобразования:
324324 = 22 )31()31( , далее заменяя 2)31( на 1- 3 ,
получают неверное решение 1- 3 +1+ 3 =2.
Ошибка заключается в том, что число (1- 3 ) отрицательное ( 3 >1), а,
следовательно, 2)31( = 3 -1.
Тогда правильное решение будет таким:
324324 = 22 )31()31( = 3 -1+ 3 +1 =2 3 .
2. Неверно применяются свойства корней.
а) 743 216366 , т.к. при умножении корней с разными
показателями следует привести их к одинаковым показателям, т.е.
б) 12 312 434 343 443 366366366 = .6666)6(6366 6 512 1012 6412 3247 34
в) 74 3 55 , так при извлечении корня из корня показатели корней
перемножаются, т.е. 12344 3 555 .
г) -2 4 44 3)2(3 , т.к. под знак арифметического корня вносится
только положительный множитель, т. е.
-2 4 44 323 .
д) aa 3)3(4 44 , так как арифметический корень из числа есть число
неотрицательное, т.е.
aa 3)3(4 44 .
е) 2)2(4 4 , правильное решение : 2)2(4 4 .
17
ж) 34 6 aa при a < 0, правильное решение : 34 6 aa , при a
18
3.Свойства корней n- ой степени
Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a
и b выполняются равенства:
а) m nmk nk aa , к > 0,
например, 5625625 412 3 .
б) ,nnn baab
например, 3279393 3333
в) ,0,bb
a
b
an
n
n
например, 4
1
64
1
256
4
256
433
3
3
.
г) ,mk nkm n aa k>0,
например, 124 53 5 222 = 822222 312 361212 1512 20
д) nkk n aa ,
например, 222 12 124 3 12 .
4. Основные тождества
а)Для любого действительного числа a и для n – четного верно
равенство:
.
,
,a
ноеотрицательnеслиa
льноенеотрицатеaеслиaan n
.
б)Для любого действительного числа a и для n – нечетного верно
равенство:
aan n .
Например,
.33,3)3(,3)3(,33 5 55 56 66 6
в)Для любого неотрицательного числа a и n – натурального верно
равенство:
aan
n .
Например,
19
разложить на множители x-4, где x>0.
Представим x в виде 2
x , тогда получим x-4=2
x -4 = ).2)(2( xx
20
§4. Вычисления, связанные с логарифмами
а) log20,5≠√2, т. к. 2
√2≠0,5.
Правильное решение: log20,5=-1, т. к. по определению логарифма
числа 0,5 по основанию 2, 2-1
=0,5.
б) log23 + log27 ≠ log210, т. к. сумма логарифмов не равна логарифму
суммы.
Правильное решение: log23+ log27= log221, т.к. сумма логарифмов
равна логарифму произведения.
в) log221- log27≠ log214, т. к. разность логарифмов не равна логарифму разности.
Правильное решение: log221- log27= log23, т.к. разность
логарифмов равна логарифму частного.
г) 2 -log25 ≠-5.
Правильное решение: 2 -log
25 =(2
log2
5)
-1 =5
-1=0,2, так как по
основному логарифмическому тождеству a log
ab =b, b>0, a>0, a ≠1.
д) 5
1
2
122
5log
5log
1
2log
2
25 - это неверно, ошибка в попытке применить
определение степени с дробным показателем, при этом само
определение применяется неверно ( nnn
n 22,2
12
11
), но и
применить это правило здесь нельзя, поскольку знаменатель log2 5 –
число не натуральное.
е) n
n
2
12
1
, nn 221
, где n – натуральное число, большее 1.
ж) Вычислите 12log13log 1312 1312 ≠ 1213
Правильное решение:
12log13log 1312 1312 =
01313131313)12(131212log12log12log13log
1
12log13log
1
13log12log13log
13log
131313121312121312
12
Для справки
21
1.Логарифмом числа b по основанию a, где b > 0, a > 0, a ≠ 1,
называется показатель степени, в которую нужно возвести число a,
чтобы получить число b.
Например, log216=4, так как 24=16, log39=2, так как 3
2 = 9.
Обозначение: logab, читается: логарифм числа b по основанию a.
Если основание a равно 10, то логарифм называется десятичным и
обозначается lgb, если основание равно числу e, то логарифм
называется натуральным и обозначается lnb.
Например,
lg100 = 2 , так как 102 =100,
lg0,1 = -1, так как 10 -1
= 0,1
lne =1, так как e1=e.
2. Основное логарифмическое тождество:
ba balog , b > 0, a > 0, a ≠ 1.
Например, 4log
47 =7;
8log
87 =7;
0,1log
0,17=7.
3. Свойства логарифмов
а) logab + logac = logabc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.
Например, log2⅔ +log21,5= log2 (2/3)∙(1,5) = log21=0.
б) logab - logac = loga (b:c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.
Например, log23 - log21,5= log2 (3:1,5) = log22 =1.
в) logabn =nloga b, где b>0, a>0, a≠ 1.
Например, log445 =5 log44 =5∙1=5.
г) формула перехода от одного основания логарифма к другому
loga b =a
b
c
c
log
log , где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.
Например, log29 = 2log
2
2log
9log
33
3 .
4. Дополнительные часто используемые формулы
a) logarx =
r
1log a x, x>0, a>0, a 1.
Например, 9log2
19log 222
22
в) logarx
r = log a x, x>0, a>0, a 1.
Например, 3log3log9log 22
22 22
г) clog
ab = b
loga
c, a>0, a 1, b > 0, c >0, b 1, c 1.
Например, 2log
35 = 5
log3
2.
23
§5. Вычисления, связанные с тригонометрическими
функциями
1. Ошибки, связанные с неверным применением формул приведения:
а) sin (3π-α) = cosα. Это неверно.
Следует помнить, что формулы приведения применяются к
тригонометрическим функциям от выражений вида (n2
+ α) или (n2
-
α),где n – целое число. Поэтому аргумент, если это возможно, приводится к
такому виду.
В данном случае получим: 3π- α =62
-α. 6 – четное число, поэтому название
функции синус не меняется: sin(3π-α) = sinα - это верное решение.
б) tg (x - 2
3π) = ctgx. Это неверно.
Следует аргумент x - 2
3π привести к виду n
2- α, т.е. x -
2
3π = - (
2
3π-x).
Верно будет: tg(x - 2
3π) =- tg(
2
3π-x) =-ctgx.
в) sin (4
) = sinα, sin (6
) = cosα - это неверно выполненные
преобразования.
Ошибка заключается в том, что применены формулы приведения, которые
здесь применить нельзя: числа 4
, 6
нельзя представить в виде произведения
целого числа n и числа 2
.
2. При вычислении значений тригонометрических функций по значению одной из них ошибки допускаются при определении знака значения
тригонометрической функции.
a) Найдите значение cosx, если tgx =0,75, x [π; 3/2π].
Ответ: 0,8 - неверный.
Правильное решение:
24
Из формулы tg²x + 1 = 1/ cos²x найдем cosx = - 8.0175.0
1
1
1
22 xtg,
причѐм знак «- » берется потому, что при x [π; 3/2π] cosx < 0.
б) Найдите cos (x+y), если cos x = -3/5, а cos y = ⅓ , x [ π; 3/2π], y [0; π/2].
Ответ cos (x+y) = - 3/5-1/3= -14/15 является неверным.
Правильное решение:
Запишем формулу cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny. В правой части этой
формулы значения sinx и siny не известны .Найдем их:
sin x = - x2cos1 =
5
4
5
31
2
, знак «-» ставится потому, что
x [ π; 3/2π], а в третьей четверти синус отрицательный.
sin y = + y2cos1 =
3
22
3
11
2
, знак «+» ставится потому, что
y [0; π/2], а в первой четверти синус положительный.
Подставим найденные значения в формулу cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny,
получим: cos(x + y)=15
283
3
22
5
4
3
1
5
3.
3. Большое число ошибок допускается при вычислении значений обратных тригонометрических функций.
а) arccos(-0,5)=- 60º- это неверный ответ.
По определению arccosx – это угол, заключенный в промежутке [0; 180º],
поэтому arccos(-0,5)=180º -60º =120º - правильный ответ.
б) arccoscos 370º = 370º - это неверно найденное значение.
Обозначим arccoscos370º = α , тогда по определению arccosa имеем:
cos 370º = cosα, но угол α не принадлежит промежутку [0; 180º],
поэтому следует заменить 370º другим углом, косинус которого равен
косинусу 370º, а сам угол принадлежал бы промежутку [0; 180º].
cos370º = cos (360º + 10º) = cos10º.
Таким образом, arccoscos 370º =10º- верный ответ.
в) аналогично предыдущему, аrсsinsin20 =20 – неверно найденное значение.
Следует обратить внимание, что число 20 – это не градусная мера угла (не
20º), а радианная ( 1 радиан =
57180
).
25
sin 20= sin(20-2π∙3), (20-2π∙3) [0; π/2], поэтому аrсsinsin20=20-6π.
4.Ошибки, связанные с неправильным определением промежутка, содержащего заданный угол.
а) Определить знак числа sin4.
Ответ sin4>0 - неверный, так как 4 радиана – это угол, принадлежащий
третьей четверти (4≈57º∙4=228º) , а в третьей четверти синус отрицательный,
т.е. sin 4 < 0.
б) Сравните значения выражений сos 34º и сos 330º.
Ответ сos34º >сos 330º - неверный, так как углы 34º и 330º не принадлежат
одному промежутку монотонности функции y=cosx. Заменим сos330º на
равное значение сosα так, чтобы α принадлежал одному промежутку
монотонности с углом 34º. Используя свойство периодичности косинуса,
получим: сos330º= сos(330º-360º) = cos30º.
Далее 30º π- 3 (перенесем в правую часть число 4, а в левую – π,
получим π/2 > 1), то сos(3/2π- 4) < сos (π-3), а -сos(3/2π- 4) > -сos (π-3),
следовательно, sin4 > сos 3.
Для справки
1.a)Область определения (D) тригонометрических функций : D(sin x) = (-∞; +∞); D(cosx) = (- ∞; +∞); D(tgx) :{ x│x R , х ≠ π/2 +πk} , k –
целое число.
b) Множество значений (E) тригонометрических функций:
E(sinx) = [-1; 1]; E(cosx) = [-1; 1]; E (tgx) = (-∞; +∞).
2.Период функций y =sinx и y =cosx равен 2π, период функции y=tgx равен π.
3.Функции y= sinx и y=tgx являются нечетными, функция cosx – четная:
26
sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) =cosx.
4.Промежутки знакопостоянства и нули функции.
Промежутки знакопостоянства функции – числовые промежутки, на
которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или
отрицательной). y
Промежутки знакопостоянства функции sinx: sinx
sinx > 0 х (2πk; π +2πк), k – любое целое число;
sinx < 0 х (π +2πк; 2πk), k – любое целое х
число.
Промежутки знакопостоянства функции cosx: y
сosx > 0 х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k – любое cosx целое число;
cosx < 0 х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое целое число. х
y
Промежутки знакопостоянства функции tgx: tgx
tgx > 0
х (πk; π/2 +πк), k – любое целое число;
tg x < 0
х (-π/2 +πк; πk), k – любое целое число.
Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение
функции равно нулю.
Нули функции sinx: sinx=0, x= πк, k – любое целое число.
Нули функции cosx: cosx= 0, x = π/2 +πк, k – любое целое число.
Нули функции tgx: tgx =0, x= πк, k – любое целое число.
5. Функция f(x) называется возрастающей на множестве М, если для любых двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению
аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то
f(x1)>f(x2), а если х1
27
Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М,
называется монотонной на этом множестве.
Функция y=sinx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое
целое число.
Функция y=cosx возрастает на промежутках (- π+2πк; 2πk), k – любое целое
число.
Функция y=sinx убывает на промежутках (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое
целое число.
Функция y=cosx убывает на промежутках (2πк; π+2πk), k – любое целое
число.
Функция y=tgx возрастает на промежутках (- π/2 +πк; π/2+πk), k – любое
целое число.
28
Раздел 2
Ошибки в тождественных преобразованиях
§1. Ошибки в действиях с многочленами
1. Большое число ошибок допускается при расскрытии скобок, если перед скобками стоит знак «минус».
Пример:
- (х - 2y +3) ≠ x + 2y - 3,
правильное решение: -(х - 2y + 3) = - x + 2y -3.
2. При умножении многочлена на многочлен допускаются ошибки в знаках,
если перед произведением стоит знак «минус».
Пример:
- (х-3)(2х-5) ≠ - 2х² - 6х - 5х +15,
правильное решение: - (х-3)(2х-5) =-2х² + 6х + 5х -15 = -2х² + 11х -15.
3. Ошибки при разложении многочленов на множители.
Пример:
n6- n
3+ n
2+n+1=n
3(n
3-1)(n
2+n+1)- это неверно,
так как при разложении на множители способом группировки
группы слагаемых заключаются в скобки ((n6- n3 )+ (n2+n+1)),
затем из каждого многочлена в скобках выносится общий множитель (n
3(n
3-1)+(n
2+n+1) = n
3(n-1)(n
2+n+1)+ (n
2+n+1)),
затем выносится общий множитель (n2+n+1) полученных произведений.
Правильное решение: n6- n
3+ n
2+n+1 = (n
6- n
3 )+ (n
2+n+1) =
= n3(n
3-1)+(n
2+n+1) = n
3(n-1)(n
2+n+1) +(n
2+n+1) = (n
2+n+1)( n
3(n-1)+1) =
(n2+n+1)( n
4 –n
3+1).
4. Ошибки в разложении квадратного трехчлена на множители.
Пример:
2x2 + 5x +3 = (x-1)(x-1,5)- это неверное решение.
Две типичные ошибки: нет числового множителя 2, неверно поставлены
знаки в скобках.
Правильное решение: корни трехчлена -1 и -1,5.
2x2 +5x+3 =2(x+1)(x+1,5) = (x+1)(2x+3).
5. Ошибки в применении формул сокращенного умножения.
Грубые ошибки:
a 2 - b
2 ≠ ( a- b)
2 , a
2 + b
2 ≠ (a-b)(a+b),
29
a3- b
3 ≠ (a-b)(a
2- ab+ b
2), a
2+ab+ b
2≠ ( a+ b)
2.
Для справки
Чтобы разложть квадратный трѐхчлен на множители, надо:
1) найти корни х1 и х2 уравнения ах² + bх + с=0 (если корней нет,то квадратный трѐхчлен разложить на множители нельзя);
2) разложить квадратный трѐхчлен на множители по формуле: ах² + bх + с = а ( х – х1) ( х – х2).
§2. Ошибки в действиях с алгебраическими дробями
1. Ошибки при сокращении дробей.
22
22 a
a
aa,
такая ошибка - самая распространенная: «сокращение на слагаемое».
Правильное решение: 2
1
a:2a
a:1)a(a
2a
1)a(a
2
2 a
a
aa.
Для справки
Сократить алгебраическую дробь – это значит числитель и
знаменатель дроби разделить на их общий множитель.
Чтобы сократить алгебраическую дробь ( например, 305
362
a
a)
надо:
1) разложить числитель и знаменатель на множители: числитель: а² - 36 = (а-6)(a+6);
знаменатель: 5а +30 = 5(а-6)
2) определить общий множитель: это (а+6); 3) разделить числитель и знаменатель на этот общий множитель:
5
6
)6(:)6(5
)6(:)6)(6(
)6(5
)6)(6(
305
362 a
aa
aaa
a
aa
a
a
иногда пишут:
(а-6)(а+6)
5(а+6)
30
2. Ошибки при сложении алгебраических дробей:
а))2)(2(
422
)2)(2(
)2(2
)2)(2(
4
2
2
4
42 aa
aa
aa
a
aa
a
aa
a .
Распространеннная ошибка допущена при вычитании числителя второй
дроби из числителя первой дроби.
Если перед дробью стоит знак «-», то следует поменять знак перед
каждым слагаемым в числителе вычитаемого;
правильно будет так:
)2)(2(
8
)2)(2(
424
)2)(2(
)2(2
)2)(2(
4
2
2
4
42 aa
a
aa
aa
aa
a
aa
a
aa
a .
б)Другая распространенная ошибка - при отыскании общего знаменателя
дробей:
25)5(
25)53(
)255(
)25(
5
53
255
2522
2
2 xx
x
xx
xx
xx
x
x
x.
Дополнительные множители для каждой дроби определены неправильно
(выбраны недостающие слагаемые, а нужны – недостающие множители).
Правильное решение:
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
5
5
)5(5
)5(
)5(5
2510
)5(5
251525
5)5(
5)53(
)5(5
)25(
5
53
255
25 222
2
Для справки
Приведение дробей к общему знаменателю.
Чтобы привести две алгебраические дроби к общему знаменателю надо:
1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие
множители из разложения второго знаменателя;
3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие
множители из первого разложения.
в)Еще одна грубая ошибка:
2222
2
3322
2
3322
3
))((
3)(3
))((
)(3
yxyx
xyyx
yxyxyx
xyyx
yx
xy
yxyxyx
yx
yx
xy
yxyx
yx
Выполнено неверное сокращение дроби ))((
3)(22
2
yxyxyx
xyyx на x – y,
31
так как сокращать можно только на общий множитель числителя и
знаменателя, а числитель не разложен на множители.
Следует разложить числитель дроби на множители, а затем выполнить
сокращение, если это возможно.
Правильное решение:
))(())((
3)(3
))((
)(322
22
22
2
3322
2
3322 yxyxyx
xyyx
yxyxyx
xyyx
yx
xy
yxyxyx
yx
yx
xy
yxyx
yx
= yx
1.
г) Еще одна грубая ошибка. «Почленное деление»:
xxx
xx
x
x 2222
11 - это ошибочные преобразования.
На самом деле, почленное деление означает представление дроби в виде
суммы дробей с тем же самым знаменателем, т.е.
1
11
1
1
1
)1)(1(
1
11
1
22
xx
xx
xx
x
x
x
x.
§3.Ошибки в преобразованиях, содержащих степени с дробными показателями и корни.
Примеры:
1.Сокращение дроби выполнено неправильно 33
2
1
2
1
2
3
2
3
yx
yx
yx.
Допущено сразу две ошибки: отдельно сокращены соответственно
уменьшаемые и вычитаемые разностей; при делении степеней с
одинаковыми основаниями показатели были также разделены.
Правильное решение: yyxx
yx
yyxxyx
yx
yx2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
))((.
2.Разложение на множители выполнено неправильно )1( 41
22
1
2 xxxx .
32
Следует помнить, что выносить за скобки следует множитель с
наименьшим показателем ( 21
x ), а при делении степеней с одинаковыми
основаниями показатели степеней вычитаются 23
2
1
2 : xxx .
Правильное решение: ).1( 23
2
1
2
1
2 xxxx
3. Выражение 1212 xxxx тождественно равно 2 1x
только при x≥2.
Действительно, 12 xx = 2)11(112)1( xxx = 11x .
1111 xx , если 011x , т.е. 11x или x ≥2.
Если 1 ≤ x
33
Правильное представление степени в виде многочлена :
22
1
4
1
4
1
2
1
)( yyxx = 21
4
3
2
1
4
3
2
1
2
1
2
1
2
1
222 xyyxyxyxyx .
Для справки
Формула квадрата суммы трех слагаемых
(a+b+c)2 = a
2+b
2+c
2 +2ab+2ac+2bc.
7. )( abaaab - такое разложение на множители без
дополнительных условий неверно.
Заметим, что baab , если a ≥ 0 и b ≥ 0,
если же a ≤ 0 и b ≤ 0, то baab .
Поэтому )( abaaab при условии a ≥ 0 и b ≥0,
но )( abaaab при a < 0 и b < 0.
8. Грубая ошибка ,3)3( 36 2 aa
правильное решение ,3)3( 36 2 aa или
3,3)3( 36 2 еслиaaa и .3,3)3( 36 2 еслиaaa
Для справки
Свойство корня
,2 2 nkn k aa где ZkNn , .
§4. Ошибки в тождественных преобразованиях тригонометрических выражений
1.Грубая ошибка: 62
31
6sin2sin
3sinsin
xx
xx .
34
Правильное решение: x
x
xx
xx
xx
xx
4cos
cos
4cos2sin2
cos2sin2
6sin2sin
3sinsin.
Для справки
Сумма синусов двух углов:
ssiinnxx ++ssiinnyy ==22ssiinn2
yxccooss
2
yx
Разность синусов двух углов:
ssiinnxx -- ssiinnyy ==22ssiinn2
yxccooss
2
yx
Сумма косинусов двух углов:
cosxx ++ccoossyy ==22cos2
yx ccooss
2
yx
Разность косинусов двух углов:
cosxx –– ccoossyy == --22 ssiinn 2
yxssiinn
2
yx
2. Результат упрощения выражения 222 sinsin)coscos1( при
20 не равен cos β - cos α.
Правильное решение: 222 sinsin)coscos1(
= )cos1)(cos1(coscoscoscos21 2222 22 coscoscos2cos
= 2)cos(cos = cos α- cos β,
так как косинус в первой четверти убывает, то из условия 2
0 следует
cos β < cos α, тогда по тождеству .0,
,0,2 2
еслиaa
еслиaaaan n 2)cos(cos =
=cosα- cos β.
3. 2244
66
cossincossin
cossin.
Грубая ошибка: отдельно сокращены соответственно уменьшаемые и
вычитаемые разностей, тогда как сокращение возможно только на общий
множитедь числителя и знаменателя.
Правильное решение:
)cos)(sincos(sin
)coscossin)(sincos(sin
cossin
cossin2222
422422
44
66
=
35
= (sin2α
+cos
2α)
2-2 sin
2α
cos
2α= 1-0,5 sin
22α.
Для справки
Формулы двойного аргумента
Синус двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx
Косинус двойного аргумента: cos2x = cos2 x - sin
2 x
Тангенс двойного аргумента:
tg2x = ,21
2
xtg
tgx ,,
24,,
2ZnnxZkkx
4. arcsin (sinx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для
-π/2 ≤ x ≤ π/2.
Если x > π/2, то arcsinx(sinx)= (-1)к-1
(k π-x), где k выбрано таким образом,
что k π-x ≤π/2.
5. arccos(cosx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для
0≤ x ≤ π.
Если x > π или - π≤ x
36
Арккосинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке ;0 ,
косинус которого равен a: аrcсоs a = α, cos α =a, ;0 .
Арктангенсом числа a называется угол, заключенный в промежутке
2;
2тангенс которого равен a: аrctg a = α, tgα=a,
2;
2
§5. Ошибки в тождественных преобразованиях выражений, содержащих логарифмы.
1. Если n N, то logab2n
≠2nlogab.
Ошибка в том, что равенство logab2n
=2nlogab справедливо только для b>0.
Если by.
)(4)(4)57( 22)(log)(log2
252
49 yxyxxyyx .
Правильное решение:
)(4)57()(4)57( 2)(log)(log22)(log)(log 57
225
249 yxyx
yxyxxyyx =
xyyxyxyxyxyx 8)(4)(4)(4)( 22
37
Раздел 3
Ошибки при решении уравнений
Упражнение 1
Решите уравнение: 0)2(4 xx .
Задание 1 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
0)2(1 xx .
числа 1 и 2
- корни
2 –
посторонний
корень
корень
уравнения
- число 1.
Неверно применяется
условие равенства
произведения двух
множителей нулю:
произведение двух
множителей равно
нулю, если хотя бы
один из множителей
равен нулю, а другой
при этом не теряет
смысла.
Решение 0)2(1 xx
01
01
02
x
x
x
x=1
Для справки
Условие равенства нулю произведения нескольких
множителей: для того,чтобы произведение нескольких
множителей равнялось нулю, достаточно, чтобы хотя бы
один из них равнялся нулю, а другие при этом не теряли
смысла.
Задание 2 Неверный
ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
11
1
x
x.
x R
x=1- не
корень
уравнения
);1()1;(x
Не учтено условие
существования
дроби 1
1
x
x
38
Упражнение 2
Решите уравнение 11
12
2
x
x.
Задание 3 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
01
1
x
x.
x=1
x=1- не
корень
уравнения
Корней
нет
Не учтено условие
существование дроби
1
1
x
x
Решение 01
1
x
x
01
01
x
x x Ø
Упражнение 3
Решите уравнение 012
12
x
x.
Задание 4 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
032
x
xx.
Корни:
3;0;-3
x = 0- не
корень
уравнения
Корни:
3;-3
Не учтено условие
существования дроби
x
xx 32
Решение 1
1
1
x
x
01
11
x );1()1;(x
Для
справки
Условие равенства дроби нулю: для того, чтобы дробь равнялась
нулю, необходимо и достаточно, чтобы ее числитель был равен
нулю, а знаменатель – отличен от нуля.
39
Решение 032
x
xx
0
0)3(
0
032
x
xx
x
xx
.3
,33
x
xx
Упражнение 4
Решите уравнение 03
||32
x
xx.
Задание 5 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
0)2(3
x
xx
Корни: 2; 3
x=2- не
корень
уравнения
Корень
уравнения
x = 3
Не учтено
условие
существования
корня
Решение: 0)2(3
x
xx
02
03
0
03
x
x
x
x
x =3
Упражнение 5
Решите уравнение 03
)2(3
x
xx.
Задание 6 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
(x-3)(x2 -1)
=2(x-3)
Корни:-1;
1
Потерян
корень
уравнения
x=3
Корни
уравнения:
-1;1;3
Потерян корень при
делении обеих частей
уравнения на выражение
x-3, которое обращается в
ноль при х = 3, число 3
служит корнем уравнения
(x-3)(x2 +1) =2(x-3).
40
Решение: (x-3)(x2 +1) =2(x-3) ((x-3)(x
2 -1=0)
.1
,1
,3
x
x
x
Упражнение 6
Решите уравнение: (x-6)(x2 - 3) =(x-6).
Задание 7 Неверный
ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
│x-10│∙
∙(log2(x -3))
=2(x-10)
Корни:
7; 10; 3,25
Число 7-
не корень
Корни
уравнения:
10; 3,25.
Корень 7 был найден при
условии x > 10 и этому
условию не
удовлетворяет.
Решение: │x-10│ (log2(x -3)) =2(x-10)
.
2)3(log
10
3
10
2)3(log
10
2
2
x
x
x
x
x
x
25,3
,10
x
x
Упражнение 7
Решите уравнение: x - 1 ( log2(x-2)) = x-1.
Задание 8 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
x2 + x-1 =
3
Корни:
2
171;
-1; 2
2
171-
не
корень
Корни
уравнения:
-1;
2
171.
Корень 2
171 был найден при
условии x ≥ 1 и этому условию
не удовлетворяет, а корень 2
найден при условии x
41
Решение x2 + x-1 = 3
02
1
04
1
2
2
xx
x
xx
x
1
,2
171
x
x
Упражнение 8
Решите уравнение x2 + x+1 = 2.
Задание 9 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
xx 15 2
Корни:
-1; 2
2-
не
корень
Корень
уравнения:
-1
x =2 – посторонний корень,
получен при решении
уравнения 5-x2 = (1-x)
2
неравносильного данному.
Решение
xx 15 2 5-x2 = (1-x)
2 2
1
x
x.
Проверка: x=-1, 22),1(1)1(5 2 равенство верное,
значит x=2 – корень данного уравнения.
x=2, 11,2125 2 равенство неверное, значит x=2 – не
корень данного уравнения.
Упражнение 9
Решите уравнение xxx 165 2
Задание 10 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
Корни:
4- не
корень
Корень
уравнения 0
x = 4
не удовлетворяет
42
(x-4) log2(1-x) =
=0
4; 0 условию существования
логарифма:
1-x > 0, при х = 4 первый
множитель равен нулю, а
второй при этом
значении переменной не
имеет смысла.
Решение
(x-4) log2(1-x) = 0 10)1(log
0)1(log
01
04
2
2
xx
x
x
x
Упражнение 10
Решите уравнение (x2-4) log2(2-x) = 0.
Задание
11
Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
13 2x
Корень:
1
Потерян
корень
x=-1
Корни
уравнения:
1 и -1
Переход от данного
уравнения к уравнению
132
x не равносилен. Корни
данного уравнения 1 и -1, а
уравнение 132
x имеет
только один корень 1, так
как по определению
степени с дробным
показателем основание
степени положительно.
.
Решение 13 2x
1
,111 233 2
x
xxx
Упражнение 11
Решите уравнение 43 2x .
43
Задание
12
Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
5
2
x =1
Корни:
1 и -1.
x=-1- не
корень
Корень
уравнения:
1
Переход от данного
уравнения к уравнению
13 2x не равносилен.
Корень данного уравнения
=1, так как по определению
степени с дробным
показателем основание
степени положительно, а
уравнение 13 2x имеет
корени 1 и -1.
Решение: 52
x =1 11252
5
5
2
xx
Упражнение 12
Решите уравнение 52
x =4.
Задание
13
Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
13xx .
Корень:
3
Потеряны
корни 1 и
-1
Корни
уравнения:
-1; 1;3.
Корень x = 3 получен
при условии x > 0,
x ≠1, по определению
степени с целым
показателем основание
степени может быть
равным 1 и
отрицательному числу
Решение При условии x > 0, x ≠1, имеем 13xx0, откуда x =3
44
По определению степени с целым показателем основание
степени может быть равным 1 и отрицательному числу.
Проверяем 1, получаем 11-4
= 1, т.е.
1 – корень уравнения. Среди отрицательных чисел только -1 в
четной степени равняется 1. Поэтому возможный
отрицательный корень -1.
Проверим: получим (-1)-1-3
= 1, значит x = -1 – корень уравнения.
13xx
.1
,1
,3
1)1(
1
11
1
03
,1
,0
31
31
x
x
x
x
x
x
x
x
Упражнение 13
Решите уравнение 1)1( 3 xx .
Задание 14 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
x2 -1 =
(x-1) 92x .
Корни:
1 и -5.
x=1 и x=-5 –
посторонние
корни
Корней
нет
При x =1 не выполняется
условие существования
квадратного
корня x2 – 9 ≥ 0; при x = -
5 левая часть уравнения
положительна, а правая –
отрицательна.
Решение
x2 -1 = (x - 1) 92x
0))91)(1(
9
2
2
xxx
x
xxx
x
9)1(
1
22Ø
45
Упражнение 14
Решите уравнение x2 -16 = (x - 4) 12x .
Задание 15 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
x2 -1 =
(x - 1) 92x .
Корень
4
Потерян
корень
x=1
Корни
уравнения
4 и 1
Потеря корня x = 1 произошла
при делении обеих частей
уравнения на x-1. Это
выражение обращается в ноль
при x =1, х =1 корень данного
уравнения.
Решение
x2 -1 = (x - 1) 92x
4
1
1
9)1(
1
22
x
x
x
xx
x
Упражнение 15
Решите уравнение: 4x2 -1 = (2x - 1) 52x .
Задание
16
Неверный
ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
lg x2 = 4
Корень:
100
Потерян
корень
x =-100
Корни
уравнения
100 и -100
Ошибка в применении
формулы lg x2 = 2lgx. Эта
формула верна только
при x > 0. Если же x < 0,
то lg x2 = 2lg(-x), поэтому
второй корень получен
из уравнения lg(-x) = 2, а
первый из уравнения
lgx = 2.
Решение lg x2 = 4 2lg│x│=4 lg│x│=2 │x│=100
100
100
x
x
46
Упражнение 16
Решите уравнение lg x2 = 6.
Задание 17 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
sin x·
·tg0,5x= 0.
x = πn,
n Z
Посторонние
решния
x=π(2k+1),
n Z .
x=2πn,
n Z .
Неверно применяется
условие равенства
произведения двух
множителей нулю:
при x = πn первый
множитель равен
нулю, а второй при
этом значении
переменой не
определен, если n –
нечетное целое число.
Решение sin x tg0,5x = 0
Zkkx
x
xtg
,2
5,0
0sin
05,0
x =2πn, n Z .
Упражнение 17
Решите уравнение sin2x x tg x = 0.
Задание
18 Неверный ответ Ошибка
Верный
ответ
Причина
ошибки
Решите
уравнение
sinx =-2
,)2arcsin()1( kx k
где Zk
Не
существует
arcsin(-2)
Уравнение
не имеет
корней
Это
уравнение
не имеет
корней, так
как
множество
значений
синуса -
47
отрезок
[-1;1].
Решение
sinx =-2, так как E(sinx) = [-1;1], то данное уравнение не имеет
решения.
Для
справки
Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое
постоянное число.
а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение sinx = a не имеет решений.
Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.
б)Ecли a= 1, то решение уравнения : x= .,22
Znn
в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= - .,22
Znn
г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x= ., Znn
д) Ecли |a| ,1 то x=(-1)narcsina+πn, n Z .
Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде
x=(-1)narcsin0,3+πn, n Z .
Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое
постоянное число.
а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение cosx = a не имеет решений.
Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.
б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x= .,2 Znn
в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= .,2 Znn
г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=2
., Znn
д) Ecли a ,1 то x= arccosa+2πn, n Z .
Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде
x= arccos0,3+2πn, n Z .
Уравнение tgx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое
постоянное число.
Решение уравнения x=arctga + πn, n Z .
Например, решение уравнения tgx=3, будет x=arctg3 + πn, n Z .
Замечание: если a=0, то x= πn, n Z .
Упражнение 18
Решите уравнение sin 5x = 5.
48
Задание 19 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
sin2x –
sinxcosx = 0
x = π/4+πn,
n Z
Потеряно
решение
x = πk,
k Z
x =π/4+πn,
n Z ,
x = πk,
k Z .
в делении обеих частей
уравнения на sinx.
При x = πk, n Z sinx = 0 и
уравнение обращается в
верное равенство т.е.
x = πk, k Z - решение
данного уравнения.
Решение
sin2x – sinxcosx=0
Zkkx
Znnx
tgx
Znnx
xx
x
,4
,
1
,
0cossin
0sin
Упражнение 19
Решите уравнение cos2x – sinxcosx = 0.
Задание 20 Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
tg3x= tg 5x
x = πk/2,
k Z
Постороннее
решение
x =π/2+ πk,
k Z
x = πn,
n Z .
Не при всех x из
серии
x = πk/2, k Z
определены tg3x и
tg5x (иначе – не все
корни из серии
x = πk/2, k Z входят
в ОДЗ переменной
данного уравнения).
49
Решение
tg3x= tg 5x
05cos
03cos
,53
x
x
Zkkxx
0)2
5cos(
0)2
3cos(
,2
k
k
Zkkx
Nnnk
Zkkx
,12
,2 x = πn, n Z .
Для
справки
Условие равенства тангенсов двух углов:
tgα = tg β
Zmm
Znn
Zkk
,
,2
,2
Упражнение 20
Решите уравнение: tg2x= tg 6x.
Задание
21
Неверный
ответ Ошибка Верный ответ
Причина
ошибки
Решите
уравнение
сos4x =
0,5
x= Zkk,212
Неверно
найдено
второе
слагаемое
.,212
Zkk
x
Для
отыскания
x
в левой
части
равенства
только
первое
слагаемое
разделили
на 4.
Решение
сos4x = 0,5 4x = Zkk ,23
Zkk
,4
2
62,
x = Zkk
,212
50
Упражнение 21
Решите уравнение tg 4x = 3
Задание
22
Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
cosx+sinx
=1
x = πn/2,
n Z
Посторонние
решения:
x = π+ 2πn,
n Z ,
x = -π/2+ 2πk,
k Z .
x =2πn,
n Z ,
x = π/2+
2πk,
k Z .
Метод решения
заключался в возведении
обеих частей уравнения
в квадрат, т.е. от данного
уравнения перешли к
уравнению - следствию
sin 2x = 0, не все корни
которого являются
корнями данного.
Решение
sin x + cos x = 1(1).Поскольку период функциии y= sin x + cosx
равен 2π, то найдем решения уравнения (1) на этом периоде,
например на отрезке [0; 2π] Поскольку │sinx│≤1 и │cosx│≤1, и
для x из промежутка (π/2; 2π) по крайней мере, одна из
функций ( синус или косинус ) неположительна и не принимает
значения, равные 1, то в этом интервале решений нет. На
оставшемся отрезке [0; π/2] очевидные решения x = 0, x = π/2,
других решений на интервале (0; π/2) нет, поскольку значения
синуса и косинуса на этом интервале численно равны катетам
прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 1.
С учетом периода решения данного уравнения: x =2πn, n Z ,
x= π/2+ 2πk, k Z .
Упражнение 22
Решите уравнение 3sin x + cos x = 1.
Задание
23
Неверный
ответ Ошибка
Верный
ответ Причина ошибки
Решите
уравнение
2sin x +
x = π k, Zk .
На cos