ТЛУМАЧАЛЬНАЯ ЗАПІСКАmif.bspu.by/Matherials/Mathem/Шилинец Владимир...

ТЛУМАЧАЛЬНАЯ ЗАПІСКА

Рабочая праграма тэм “Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцый некалькіх

зменных” і “Інтэгральнае злічэнне для функцый некалькіх зменных” складзена на аснове

тыпавой праграмы па матэматычнаму аналізу для педагагічным універсітэтаў і

прызначаецца для студэнтаў 3-га курса дзённага аддзялення матэматычнага факультэта,

V семестр.

Першачарговыя і найбольш важныя праблемы, якія будуць разглядацца ў V

семестры наступныя:

1. Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцый некалькіх зменных.

2. Інтэгральнае злічэнне для функцый некалькіх зменных.

У адпаведнасці з гэтай праграмай студэнты 3-га курса знаёмяцца з такімі важнымі

паняццямі як дыферэнцавальнасць функцыі некалькіх зменных, няяўныя функцыі,

экстрэмум функцыі некалькіх зменных, кратныя і крывалінейныя інтэгралы.

У праграме утрымліваюцца скарыстанні асноўных паняццеў. Так, з дапамогай тэорыі

дыферэнцавальнасці функцый некалькіх зменных устанаўліваецца метад адшукання

абсалютнага экстрэмума непарыўнай функцыі некалькіх зменных на кампактным

мностве і распрацоўваецца метад Лагранжа даследавання функцый некалькіх зменных

на ўмоўны экстрэмум.

У інтэгральным злічэнні для функцый некалькіх зменных выкладаюцца метады

знаходжання плошчаў плоскіх фігур і паверхняў, аб’ёмаў цел, масы матэрыяльных фігур

і цел, цэнтры цяжару фігур і цел, статыстычныя моманты.

Вялікую роль мае пры вывучэнні матэрыяла самастойная работа студэнтаў.

Студэнты павінны выканаць дзве кантрольныя работы, індывідуальнае заданне па

тэмам, здаць два калоквіума і экзамен.

Пры планаванні практычных заняткаў у канцы семестра адводзіцца некалькі

заняткаў на паўтарэнне. Акрамя таго ў семестры плануецца дзве кантрольныя работы.

Для самастойнай работы прапануюцца пытанні, якія абмяркоўваліся на лекцыі або

на практычным занятку, але студэнты павінны даць больш глыбокае абмеркаванне гэтых

пытанняў, прывесці іншыя доказы некаторых тэарэм або іншыя прыкладанні некаторых

пытанняў тэорыі. Для самастойнай працы прапануецца кожнаму студэнту

індывідуальныя заданні, а ў якасці заліку па кожнаму раздзелу тэорыі cтудэнты

праходзяць тэсціраванне i здаюць калоквiўм.

Мэты і задачы курса

Мэта выкладання дысцыпліны — навуковае абгрунтаванне паняццяў

матэматычнага аналізу, першыя звесткі аб якіх даюцца ў сярэдняй школе, авалоданне

асноўнымі метадамі і прыёмамі матэматычнага аналізу. Падрыхтоўка навуковай базы

для выканання курсавых і дыпломных работ.

Патрабаванні да ўзроўню засваення зместу вучэбнай дысцыпліны

У выніку вывучэння курса студэнт павінен авалодаць наступнымі ведамі і

ўменнямі:

Студэнт павінен

знаць: сістэму асноўных паняццяў дадзенага раздзелу матэматычнага аналізу;

метады інтэгравання і формулы для знаходжання даўжынь, плошчаў і аб’ёмаў; дынаміку

развіцця паняцця ліміту і збежнасці, уключаючы шэрагі і вызначаныя інтэгралы;

элементы тэорыі функцыйных шэрагаў; уласцівасці аператараў у метрычных і лінейных

унармаваных прасторах.

умець: праводзіць доказ асноўных тэарэм курса; інтэграваць; параўноўваць

паняцці выпрастальнасці, квадравальнасці, кубавальнасці на школьным і вузаўскім

узроўні; выкарыстоўваць аналітычныя метады пры рашэнні ілюстрацыйных

практыкаванняў; карыстацца вучэбна-метадычнай і даведачнай літаратурай.

Cтруктура зместу вучэбнай дысцыпліны

Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай. Нявызначаны інтэграл.

Вызначаны інтэграл. Дадатак вызначанага інтэграла. Няўласны інтэграл.

Шэрагі. Лікавыя шэрагі. Функцыянальныя паслядоўнасці і шэрагі. Ступеневыя

шэрагі. Раскладанне функцыі ў ступеневы шэраг.

Асноўныя структуры матэматычнага аналізу. Метрычныя прасторы.

Кампактнасць. Нарміраваныя прасторы.

Усяго рабочая праграма па матэматычнаму аналiзу на трэцiм курсе разлiчана на 68

аўдыторныя гадзіны. У першым семестры 68 гадзін: лекцый – 34 гадзіны (з іх 2 гадзіны

КСР), практычных заняткаў – 34 гадзіны ( з іх 2 гадзіны КСР).

ЗМЕСТ ДЫСЦЫПЛIНЫ

РАЗДЗЕЛ I. Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных

Тэма 1. Функцыі некалькіх зменных. Асноўныя паняцці.

Паняцце сапраўднай функцыі некалькіх сапраўдных зменных. Прыклады. Ліміт функцыі

некалькіх зменных. Паўторныя ліміты. Непарыўнасць функцыі. Непарыўнасць

кампазіцыі непарыўных функцый

Тэма 2. Дыферэнцавальнасць функцыі некалькіх зменных.

Дыферэнцавальнасць функцыі некалькіх зменных. Паняцце частковых вытворных

функцыі некалькіх зменных. Правіла вылічэння частковых вытворных.

Дыферэнцавальнасць функцыі ў пункце. Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць. Сувязь

паміж дыферэнцавальнасцю і існаваннем частковых вытворных. Дастатковыя ўмовы

дыферэнцавальнасці функцыі ў тэрмінах частковых вытворных.

Тэма 3. Дыферэнцыял функцыі некалькіх зменных.

Паняцце дыферэнцыяла функцыі некалькіх зменных. Уласцівасці дыферэнцыяла.

Геаметрычны сэнс частковых вытворных і поўнага дыферэнцыяла функцыі дзвюх

зменных. Датычная плоскасць і нармаль да паверхні. Дыферэнцаванне складанай

функцыі. Частковыя вытворныя. Поўная вытворная. Інварыянтнасць формы першага

дыферэнцыяла адносна выбара зменных.

Тэма 4. Вытворная ў накірунку. Градыент.

Паняцце вытворнай у накірунку. Існаванне і вылічэнне вытворнай у накірунку.

Градыент.

Тэма 5. Няяўныя функцыі.

Паняцце няяўных функцый, якія зададзены аднім раўнаннем. Тэарэма існавання,

непарыўнасці і дыферэнцавальнасці няяўнай функцыі. Вылічэнне частковых вытворных

няяўнай функцыі. Датычная плоскасць і нармаль да паверхні, якая зададзена няяўным

раўнаннем.

Тэма 6. Частковыя вытворныя вышэйшых парадкаў.

Паняцце частковых вытворных вышэйшых парадкаў. Доказ тэарэмы аб роўнасці

змешаных частковых вытворных.

Тэма 7. Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў.

Паняцце дыферэнцыялаў вышэйшых парадкаў. Другі дыферэнцыял функцыі дзвюх

зменных. Дыферэнцыял парадку m у мнагамерным выпадку. Формула Тэйлара для

функцыі дзвюх зменных.

Тэма 8. Лакальны экстрэмум.

Азначэнне пунктаў лакальнага экстрэмуму функцыі некалькіх зменных. Неабходная

ўмова лакальнага экстрэмуму. Дастатковыя ўмовы лакальнага экстрэмуму для функцыі

дзвюх зменных. Правіла адшукання абсалютнага экстрэмуму непарыўнай функцыі

некалькіх зменных на кампактнам мностве.

Тэма 9. Умоўны экстрэмум.

Паняцце ўмоўнага экстрэмуму функцыі некалькіх зменных. Неабходная ўмова ўмоўнага

экстрэмуму. Метад множнікаў Лагранжа для знаходжання пунктаў умоўнага

экстрэмуму.

РАЗДЗЕЛ II. Інтэгральнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных

Тэма 1. Двайны інтэграл.

Азначэнне двайнога інтэграла. Разбіўка плоскай фігуры. Інтэгравальныя сумы і двайны

інтэграл. Геаметрычны сэнс двайнога інтэграла. Асноўныя ўласцівасці двайнога

інтэграла. Існаванне двайнога інтэграла. Дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцыі.

Вылічэнне двайнога інтэграла шляхамі звядзення да паўторнага.

Тэма 2. Замена зменных у двайным інтэграле.

Прывядзенне двайнога інтэграла да паўторнага ў выпадку прамавугольнага абсягу.

Прывядзенне двайнога інтэграла да паўторнага ў выпадку крывалінейнага абсягу.

Замена зменных. Агульны выпадак. Двайны інтэграл у палярных каардынатах.

Тэма 3. Трайны інтэграл.

Паняцце трайнога інтэграла. Існаванне трайнога інтэграла, яго ўласцівасці і вылічэнне.

Замена зменных у трайным інтэграле. Палярныя каардынаты ў прасторы. Цыліндрычныя

каардынаты.

Тэма 4. Некаторыя скарыстоўванні кратных інтэгралаў.

Плошча паверхні. Вылічэнне плошчы плоскіх фігур з дапамогай двайнога інтэграла.

Вылічэнне аб’ёмаў цел з дапамогай кратных інтэгралаў.

Тэма 5. Крывалінейныя інтэгралы.

Азначэнне крывалінейнага інтэграла па даўжыні дугі. Тэарэма існавання. Уласцівасці.

Азначэнне крывалінейнага інтэграла па каардынатах. Вылічэнне крывалінейных

інтэгралаў.

Тэма 6. Формула Грына.

Вывад формулы Грына. Скарыстанне крывалінейнага інтэграла для знаходжання

плошчы плоскай фігуры. Умовы незалежнасці крывалінейнага інтэграла ад шляху

інтэгравання. Аднаўленне функцыі дзвюх зменных па яе поўнаму дыферэнцыялу.

ВУЧЭБНА-МЕТАДЫЧНАЯ КАРТА

№ Назвы раздзелаў, тэмы заняткаў, пералік

вывучаемых пытанняў.

Колькасць аўдыторных

гадзiн

Матэрыяльнае

забеспячэнне

занятка

Літаратура

Формы

кантролю

ведаў

Лек

цы

і

Прак

тыч

ны

я з

анятк

і

Лаб

арат

орн

ыя з

анятк

і

Кір

авал

ьн

ая с

амас

той

ная

раб

ота

сту

дэн

та

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі

некалькіх зменных 18 16 3

1.1 Функцыі некалькіх зменных. Асноўныя

паняцці.

1.Паняцце сапраўднай функцыі некалькіх

сапраўдных зменных. Прыклады.

2.Скалярныя палі.

3.Вектарна-значныя функцыі некалькіх

зменных.

4.Вектарныя палі.

5.Ліміты функцыі.

6.Непарыўнасць.

2

Лекцыi (электронныя

носьбiты )

[1]-[19] Калоквiум

1.2 Функцыі некалькіх зменных. Асноўныя

паняцці.

1.Паняцце сапраўднай функцыі некалькіх

сапраўдных зменных. Прыклады.

2.Скалярныя палі.

3.Вектарна-значныя функцыі некалькіх

зменных.

2

5 1790-1793

1797-1800

Вуснае

апытанне

4.Вектарныя палі.

5.Ліміты функцыі.

6.Непарыўнасць.

1.3 Дыферэнцавальнасць функцыі некалькіх

зменных.

1.Паняцце частковых вытворных некалькіх

зменных.

2.Правіла вылічэння частковых вытворных.

Паняцце дыферэнцавальнасці функцыі

некалькіх зменных.

3.Сувязь паміж дыферэнцавальнасцю і

непарыўнасцю функцыі некалькіх зменных.

4.Сувязь паміж дыферэнцавальнасцю і

існаваннем частковых вытворных.

5.Дастатковыя умовы дыферэнцавальнасці

функцыі некалькіх зменных.

2


носьбiты )


1.4 Дыферэнцавальнасць функцыі некалькіх

зменных.

1.Часковыя вытворныя.

2.Дыферэнцыял.

3.Частковыя вытворныя складанай функцыі.

4

5 1805-1820

1851,1861-

1872 1876-

1881

1.Вуснае

апытанне

2.Самастойна

я работа

1.5 Дыферэнцыял функцыі некалькіх зменных.

1.Паняцце дыферэнцыяла функцыі некалькіх

зменных.

2.Уласцівасці дыферэнцыяла функцыі


3.Геаметрычны сэнс дыферэнцыяла.

4.Дыферэнцаванне складанай функцыі.

5.Частковыя вытворныя.

6.Поўная вытворная.

7.Інварыянтнасць формы першага

дыферэнцыяла адносна выбара зменных.

2

Лекцыi(электронныя

носьбiты)


1.6 Вытворная ў накірунку. Градыент.

1.Паняцце вытворнай ў накірунку.

2.Існаванне і вылічэнне вытворнай ў накірунку.

3.Градыент.

2


носьбiты )


1.7 Вытворная ў накірунку. Градыент.

1.Паняцце вытворнай ў накірунку.

2.Існаванне і вылічэнне вытворнай ў накірунку.

3.Градыент.

4

5 1882-1891 1.Вуснае

апытанне


я работа

1.8 Няяўныя функцыі.

1.Паняцце няяўных функцый, якія зададзены

адным раўнаннем.

2.Тэарэма аб існаванні, непарыўнасці і

дыферэнцавальнасці няяўнай функцыі.

3.Датычная плоскасць і нармаль да паверхні,

якая зададзена няяўным раўнаннем.

2


носьбiты)


1.9 Частковыя вытворныя вышэйшых парадкаў.

1.Паняцце частковых вытворных вышэйшых

парадкаў.

2.Доказ тэарэмы пра роўнасць змешаных

частковых вытворных.

2


носьбiты )


1.10 Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў.

1.Паняцце дыферэнцыялаў вышэйшых

парадкаў.

2.Другі дыферэнцыял.

3.Функцыі дзвюх зменных.

4.Формула Тэйлора для функцыі дзвюх

зменных.

2


носьбiты )


1.11 Няяўныя функцыі. Частковыя вытворныя

вышэйшых парадкаў.

1.Дыферэнцаванне няяўнай функцыі.

2.Частковыя вытворныя і дыферэнцыялы

вышэйшых парадкаў.

2

5 1942-1952

1892-1894,

1904-1907,

1918-1920

1.Вуснае

апытанне


я работа

1.12 Лакальны экстрэмум.

1.Азначэнне пунктаў лакальнага экстрэмума


2.Неабходная ўмова лакальнага экстрэмума.

3.Дастатковыя умовы лакальнага экстрэмума

для функцыі дзвюх зменных.

4.Правіла адшукання абсалютнага экстрэмума

непарыўнай функцыі некалькіх зменных на

2 1(л)


носьбiты )


кампактным мностве.

1.13 Умоўны экстрэмум.

1.Паняцце умоўнага экстрэмума функцый


2.Неабходная ўмова ўмоўнага экстрэмума.

3.Метад множнікаў Лагранжа для знаходжання

пунктаў умоўнага экстрэмума.

4.Прыклады.

2


носьбiты)


1.14 Лакальны экстрэмум. Абсалютны экстрэмум.

Умоўны экстрэмум

1.Азначэнне пунктаў лакальнага экстрэмума


2.Неабходная ўмова лакальнага экстрэмума.

3.Дастатковыя умовы лакальнага экстрэмума

для функцыі дзвюх зменных.

4.Правіла адшукання абсалютнага экстрэмума

непарыўнай функцыі некалькіх зменных на

кампактным мностве.

5.Паняцце умоўнага экстрэмума функцый


6.Неабходная ўмова ўмоўнага экстрэмума.

7.Метад множнікаў Лагранжа для знаходжання

пунктаў умоўнага экстрэмума.

2 2(пр)

5 2008-

2016, 2030-

2049

1.Вуснае

апытанне


я работа

3.Тэст па

тэме:

Дыферэнцыял

ьнае злічэнне

для функцыі

некалькіх

зменных

1.15 Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі

некалькіх зменных

2

1.Заданнi для

выканання кантрольнай

работы.

2.Iндывiдуальныя

заданнi.

Кантрольная

работа №1.

2. Інтэгральнае злічэнне для функцыі

некалькіх зменных 14 16 1

2.1 Двайны інтэграл.

1.Азначэнне двайнога інтэграла.

2.Існаванне двайнога інтэграла.


4.Дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці

функцыі.

3


носьбiты )


5.Геаметрычны сэнс двайнога інтэграла.

6.Вылічэнне двайнога інтэграла паўторным

інтэграваннем.

2.2 Замена зменных у двайным інтэграле.

1.Крывалінейныя каардынаты. Якабіян.

2.Двайны інтэграл у палярных каардынатах.

2


носьбiты)


2.3 Вылічэнне двайнога інтэграла. Замена зменных

у двайным інтэграле.

1.Азначэнне двайнога інтэграла.



4.Дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці

функцыі.

5.Геаметрычны сэнс двайнога інтэграла.

6.Вылічэнне двайнога інтэграла паўторным

інтэграваннем.

7.Крывалінейныя каардынаты. Якабіян.

8.Двайны інтэграл у палярных каардынатах.

4

5 2115-

2120,

2127-2135,

2136-2142,

2160-2171

1.Вуснае

апытанне


я работа

2.4 Трайны інтэграл.

1.Паняцце трайнога інтэграла.

2.Існаванне трайнога інтэграла. Ягоныя

ўласцівасці і вылічэнне.

3.Замена зменных у трайным інтэграле.

4.Памерныя каардынаты ў прасторы.

5.Цыліндрычныя каардынаты.

3 1(л)


носьбiты )


2.5 Вылічэнне трайнога інтэграла. Замена зменных

у трайным інтэграле.

1.Паняцце трайнога інтэграла. 2.Існаванне

трайнога інтэграла. Ягоныя ўласцівасці і

вылічэнне. 3.Замена зменных у трайным

інтэграле. 4.Памерныя каардынаты ў прасторы.

5.Цыліндрычныя каардынаты.

3

5 2250-

2255, 2258-

2264

1.Вуснае

апытанне


я работа

2.6 Некаторыя скарыстоўванні кратных інтэгралаў.

1.Плошча паверхні. 2.Вылічэнне плошчы

плоскіх фігур з дапамогай двайнога інтэграла.

3.Вылічэнне аб’ёмаў цел з дапамогай кратных

2


носьбiты)



2.7 Вылічэнне плошчаў і аб’ёмаў цел. Вылічэнне

плошчаў паверхні.

1.Плошча паверхні. 2.Вылічэнне плошчы

плоскіх фігур з дапамогай двайнога інтэграла.

3.Вылічэнне аб’ёмаў цел з дапамогай кратных


3

5 2177-

2181,

2197-2208,

2213-2219

1.Вуснае

апытанне


я работа

2.8 Крывалінейныя інтэгралы.

1.Азначэнне крывалінейнага інтэграла на

даўжані дугі.

2.Тэарэма існавання. 3.Уласцівасці.

4.Работа плоскага

2

1.Метадычны

дапаможнiк(электронн

ыя носьбiты)[20]

2. Лекцыi (электронныя

носьбiты )


2.9 Формула Грына.

1.Вывад формулы Грына.

2.Умовы незамежнасці крывалінейнага

інтэграла ад шляху інтэгравання.

3.Аднаўленне функцыі дзвюх зменных па яе

поўнаму дыферэнцыялу.

4.Скарыстанне крывалінейнага інтэграла для

знаходжання плошчы плоскай фігуры.

2




2. Лекцыi (электронныя

носьбiты )


2.10 Вылічэнне крывалінейных інтэгралаў.

1.Азначэнне крывалінейнага інтэграла на

даўжані дугі. 2.Тэарэма існавання.

3.Уласцівасці. 4.Работа плоскага 5.Вывад

формулы Грына. 6.Умовы незамежнасці

крывалінейнага інтэграла ад шляху

інтэгравання. 7.Аднаўленне функцыі дзвюх

зменных па яе поўнаму дыферэнцыялу.

8.Скарыстанне крывалінейнага інтэграла для

знаходжання плошчы плоскай фігуры.

4




5 2310-

2317, 2336-

2340

1.Вуснае

апытанне


я работа

3.Тэст па

тэме:

Інтэгральнае

злічэнне для

функцыі

некалькіх

зменных

2.11 Інтэгральнае злічэнне для функцыі некалькіх

зменных

2

1.Заданнi для

выканання кантрольнай

работы.

2.Iндывiдуальныя

заданнi.

Кантрольная

работа №2.

IНФАРМАЦЫЙНАЯ ЧАСТКА

ЛІТАРАТУРА АСНОЎНАЯ

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.:

Наука, 1979.-662 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2Т.-М.: Наука,

1968.- 440 с., 464 с.

3. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа: В 2Т.-М.:

ФИЗМАТЛИТ., 2002.-648 с., 464 с.

4. Бохан К.А., Егоров И.А., Лащенков К.В. Курс математического анализа: В

2Т.- М.: Просвещение, 1972.-511 с., 439 с.

5.Задачи и упражнения по математическому анализу. Под редакцией

Демидовича.М., 1972.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу.- М.: АСТ: Астрель., 2003.-560 с.

7. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по

математическому анализу.- М.: Просвещение, 1973.-255 с.

8. Задачник по курсу математического анализа: В 2ч./Под ред.

Н.Я.Виленкина. - М.: Просвещение, 1971.-350 с., 336 с.

9. Русак В.М. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі.- Мн: Выш. Шк., 1994.-431 с.

10. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по

математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999. -694 с.

11. Никольский С.М. Курс математического анализа т.2.,М.,1972.

12. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и

задачах функции одной переменной. - М.:Наука,1973. – 400с.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и

функционального анализа.- М.: Наука, 1972.- 496 с.

ЛІТАРАТУРА ДАПАМОЖНАЯ

14. Зорич В.А. Математический анализ. - М.: Наука, 1981.-544 с.

15. Райков Д.А.Одномерный математический анализ.- М.:Выш.шк.,1982.-

415с.

16. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2Т. - М.: Высш. шк.,

1981.-687 с., 584 с.

17. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа.- М.:

Просвещение, 1976.-640 с.

18. Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей

математике: В 3ч. – Мн. : Выш. шк., 1991. – 288с.

19. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический

анализ в задачах и упражнениях. – М.:Факториал, 1996. – 480с.

ТЭСТАВЫЯ ЗАДАННІ

1. Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных.

2. Інтэгральнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных.

КАНТРОЛЬНЫЯ РАБОТЫ

1. Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных.

2. Інтэгральнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных.

МАТЭРЫЯЛЬНАЕ ЗАБЕСПЯЧЭННЕ

1. Электронны вырыянт лекцый па тэме “Дыферэнцыяльнае злічэнне

для функцыі некалькіх зменных”.

2. Электронны варыянт лекцый па тэме “Інтэгральнае злічэнне для

функцыі некалькіх зменных”.

3. Электронны варыянт метадычнага дапаможнiка “Вылічэнне

крывалінейных інтэгралаў”.

ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Название

дисциплины,

с которой

требуется

согласование

Название

кафедры

Предложения

об изменениях в содержании

учебной программы

по изучаемой учебной

дисциплине

Решение, принятое

кафедрой, разработавшей

учебную программу (с

указанием даты и номера

протокола)

1. Дифференциальные

уравнения

Кафедра математического

анализа

Согласовано на уровне

разработки типовых программ

Протокол № 10 от 16 мая

2011 года

2. Теория функции Кафедра математического

анализа

Согласовано на уровне



2011 года

3. Алгебра Кафедра алгебры и геометрии Согласовано на уровне



2011 года

4. Геометрия Кафедра алгебры и геометрии Согласовано на уровне



2011 года

5. Введение в

специальность

Кафедра алгебры и геометрии Согласовано на уровне



2011 года

Заведующий кафедрой математического анализа А.Н. Ковальчук

Заведующий кафедрой алгебры и геометрии В.В. Шлыков

ТЛУМАЧАЛЬНАЯ ЗАПІСКАmif.bspu.by/Matherials/Mathem/Шилинец Владимир...

Documents

Transcript of ТЛУМАЧАЛЬНАЯ ЗАПІСКАmif.bspu.by/Matherials/Mathem/Шилинец Владимир...