Post on 08-Jul-2020
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования "Тульский государственный университет"
Кафедра физики
Семин В.А., Семина С.М.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическии занятиям по дисциплине
ФИЗИКА
Электромагнетизм
Тула 2012
2
Методические указания к практическим занятиям по дисцип-лине "физика" "Электромагнетизм" составлены доц. Семиным В.А. и асс. Семиной С.М., обсуждены на заседании кафедры физики ЕНФ протокол № от " " 2012г. Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин
Методические указания пересмотрены и утверждены на засе-
дании кафедры физики ЕН факультета протокол № ___ от «____» ________ 200_ г.
Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин
3
1. Цели и задачи практических занятий: а) Изучение основных физических явлений и идей, овладение фунда-ментальными понятиями, законами и теориями современной и клас-сической физики, а также методами физического исследования. б) Формирование научного мировоззрения и современного физическо-го мышления. в) Овладение приемами и методами решения конкретных задач из различных областей физики. Объём и сроки выполнения данного вида работ соответствуют учебными планами студентов дневной формы обучения специально-стей 020000 естественные науки, 090900 информационная безопасность, 120000 геодезия и землеустройство, 130000 геология, разведка полез-ных ископаемых, 140000 энергетика, энергетическое машинострое-ние и электротехника, 150000 металлургия, машиностроение и ма-териалообработка, 160000 авиационная и ракетно-космическая тех-ника, 170000 оружие и системы вооружений, 190000 транспортные средства, 200000 приборостроение и оптотехника, 220000 автома-тика и управление, 230000 информатика и вычислительная техника, 240000 химическая и биотехнологии, 260000 технология продовольст-венных продуктов и потребительских товаров, 270000 строительст-во и архитектура, 280000 безопасность жизнедеятельности, приро-дообустройство и защита окружающей среды
2. План занятий.
1. Разбор вопросов студентов по домашнему заданию. 2. Решение типовых задач на доске. 3. Самостоятельное решение студентами некоторых задач на занятии и подведение итогов. 4. Формулировка домашнего задания.
3. Темы занятий.
1. Расчет напряжености электрического поля, созданного дискрет-ными и распределенными зарядами. 2. Расчет потенциала электрического поля, созданного дискретны-ми и распределенными зарядами. Расчет напряженности электриче-ского поля при известной функции потенциала (x,y).
4
3. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника. Закон Джоуля - Ленца. Законы Ома и правила Кирхгофа. 4. Контрольная работа по темам 1–3. 5. Расчет силы тока через поперечное сечение проводника. Закон Ома в локальной и интегральной форме. Теорема о циркуляции векто-ра магнитной индукции. 6. Суперпозиция магнитных полей. Виток с током в магнитном поле. Сила Лоренца. 7. Э.Д.С. индукции и самоиндукции. Электрические затухающие и вынужденные колебания. 8. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны. Вектор Пойн-тинга. 9. Контрольная работа по темам 5–8. 10. Дополнительная глава. Использование теоремы Гаусса в диф-ференциальной и интегральной формах.
4. Электронная версия http://physics.tsu.tula.ru/students/metodich_files/practich-elmag.pdf
5
Занятие 1 Расчет напряженности электрического поля, созданного дискрет-ными и распределенными зарядами.
Точечный заряд q создает вокруг себя электрическое поле с напряженностью
2 rkqE er
? ? , (1.1)
где 2
92
Н м9 10Кл
k , r – расстояние от заряда
до точки О, в которой исследуется поле, re? – единичный вектор, направленный по радиус-вектору r? от точечного заряда q до точки О.
Из (1.1) следует, что если заряд q положительный, то напряжен-ность электрического поля E
? направлена от точки О в ту же сторону,
что и вектор re? . В случае, если заряд q отрицательный, то вектор E?
направлен противоположно вектору re? . Если в пространство поместить два (или несколько) точечных электрических заряда (см. рис.1), то они будут создавать в точке О электрическое поле, напряженность которого резE
? можно найти с по-
мощью принципа суперпозиции полей, то есть векторно складывая на-пряженности полей 1E
? и 2E
?, создаваемые зарядами 1q и 2q в точке О
независимо друг от друга (метод параллелограмма). Таким образом
рез 1 2iE E E E ? ? ? ?
(1.2)
На рис.1 приведен пример с положительным зарядом 1q и отрица-тельным зарядом 2q . В точке О заряд 1q создает поле, модуль напря-
женности которого равен 11 2
1
kqEr
. Аналогично, заряд 2q в точке О
создает поле, модуль напряженности которого равен 22 2
2
kqEr
. Возводя
левую и правую части формулы (1.2) в квадрат, получим выражение
Рис. 1
6
2 2 2рез 1 2 1 22 cosE E E E E , где – угол между векторами 1E
? и 2E
?.
Таким образом модуль напряженности результирующего поля равен:
2 2рез 1 2 1 22 cosE E E E E (1.3)
Если в пространстве находится три и более электрических заряда, то формулу (1.2) проще всего записать в проекциях на оси декартовой системы координат:
рез 1 2 3 ...x x x xE E E E , рез 1 2 3 ...y y y yE E E E , (1.4) рез 1 2 3 ...z z z zE E E E .
Используя теорему Пифагора и формулы (1.4), можно найти мо-дуль напряженности результирующего поля:
рез рез рез
2 2 2рез x y zE E E E (1.5)
Пример задачи.
Заряды 1q = 1 мкКл и 2q =2 мкКл находятся на серединах соседних сторон квадрата со стороной b = 1 м и создают электрическое поле с на-пряженностью резE
? в точке Р, находящейся в вершине квадрата (см.
рис. 2). Найти величину горизонтальной и вертикальной проекции векто-ра резE
?, а также его модуль резE
?
Решение:
Проведем оси х и у вдоль двух сторон квадрата, а начало отсчета поместим в точку Р. Расстояния от зарядов 1q и 2q
до точки Р равны 1 0,52br м,
22
25 0,5 5
2 2br b b
м.
Можно найти косинус и синус угла : Рис. 2
7
2
2cos5
br
; 2 4 1sin 1 cos 15 5
Воспользуемся формулами (3.4) и (3.5), а затем и (3.7): 6 6
91 2рез 1 2 2 2 2 2
1 2
10 2 10 2cos cos 9 10 48,90,5 0,5 5 5x
kq kqE E Er r
кВ/м
9 62
рез 2 2 22
9 10 2 10 1sin sin0,5 5 5y
kqE Er
6,43 кВ/м
2 2 2 2рез рез рез 48,9 6,43 49,3x yE E E кВ/м
Модуль вектора резE?
можно найти с помощью формулы (3.3), не находя его проекции:
2 2
1 2 1 2рез 2 2 2 2
1 2 1 2
2 29 6
2 2 2 2
2 cos
1 2 1 2 29 10 10 2 49,3 кВ/м0,5 0,5 5 0,5 0,5 5 5
kq kq kq kqEr r r r
Ответ: рез 48,9xE кВ/м; рез yE 6,43 кВ/м; рез 49,3E ?
Электрическое поле часто создается не дискретными зарядами, а распределенны-ми в пространстве. В разных ситуациях можно встретить распределение заряда по объему, поверхности или по тонкой ли-нии, при этом вводятся плотности элек-трического заряда:
объемная – dqdV
, поверхностная – dqdS
, линейная – dqdl
,
где dq – элементарный заряд, который может быть распределен или по объему dV , или по поверхности dS , или на участке линии dl .
В любом из этих случаев необходимо разбить заряженную область на малые элементы и выразить их заряд через плотность, например dq dV для объемного распределения (см. рис.3). В этом случае применение принципа суперпозиции (1.2) для нахождения напряжен-
Рис.3
8
ности электрического поля E?
в векторной форме вызывает большие трудности из-за бесконечного числа элементарных зарядов dq, рас-пределенных в пространстве. В этом случае необходимо воспользо-ваться не векторным сложением вкладов полей dE
?, а сложением их
проекций : x xE dE , y yE dE (1.6)
и далее по формуле (1.5) найти результирующую напряженность.
Пример задачи
Заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной плотностью
3
3
0
0
sin , 02
sin ,2
.
Определить проекцию на ось x напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полукольца, если 0 = 1 мкКл/м.
Решение:
Как видно из рис.4, проекция на ось х напряженности электрического поля, созданного элементарным зарядом dq dl в точке О равна:
cosxdE dE
Учитывая, что dl Rd , а cos sind d , получим
2 3 30 0
2 2 20 2
24 4 9 60 0 0
0 2
sin sincos cos cos
sin sin 9 10 101 1 4500 В/м4 4 4 2 2
xk kk dlE Rd Rd
r R R
k k kR R
Ответ: 4,5 кВ/м
Рис.4
9
Задачи для работы на практическом занятии.
1.1 Заряд 1q = 1 мкКл находится в вершине квадрата со стороной b =1 м, а заряд 2q =2 мкКл – в центре. Найти модуль напряженности электрического поля в точке Р, находящейся в другой вершине этого квадрата (см. рис.).
Ответ: 42,8 кВ/м
1.2 Заряды 1q = 1 мкКл и 2q = – 2 мкКл находятся в соседних вершинах квадрата со стороной b = 50 см. Найти величину горизонтальной проекции напряженно-сти электрического поля в точке Р, находящейся на се-редине противоположной стороны квадрата (см. рис.).
Ответ: 25,8 кВ/м
1.3 Вдоль стержня длины b = 80 см равномерно распределен заряд q = 4 мкКл. Найти величину напряженности электри-
ческого поля в точке A на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его конца (см. рис.). Ответ: 180 кВ/м
1.4 Тонкий стержень заряжен нерав-номерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью
2 , 0A x x b , где х - координата точ-ки на стержне, b =3 м – длина стержня, А = 2 мкКл/м3. Чему равна ве-личина напряженности электрического поля, создаваемого этим заря-дом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?
Ответ: 54 кВ/м 1.5 Заряд распределен по тонкому кольцу радиуса R с линейной плотностью
2
2
0
0
sin , 2 2
sin , 2 3 2
.
Определить величины проекций напряженности электрического поля в центре кольца на оси x и у,проведенных по двум перпендику-лярным диаметрам, если R = 2 м, 0 = 5 мкКл/м.
Ответ: Еx = 30 кВ/м, Ey = 0
10
1.6э. Электрическое поле создано точеч-ными зарядами q1 и q2. Если q1 = +q, q2 = –q, а расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке
С ориентирован в направлении ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) равен 0
1.7э. Электрическое поле создано точеч-ными зарядами q1 и q2. Если q1 = +q, q2 = –q, точка С находится на расстоянии а от заряда
q1 и на расстоянии 2а от q2, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении ...
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) равен 0
Задачи для самостоятельной работы. 1.8с. Заряды 1q = 2 мкКл и 2q = 3 мкКл находятся в соседних вершинах квадрата со стороной b =1,5 м. Найти модуль напряженности электрического поля в точке Р, находящейся в центре квадрата (см. рис.).
Ответ: 28,8 кВ/м
1.9с. Заряд 1q = 4 мкКл находится в вершине квад-рата со стороной b = 60 см, а заряд 2q = – 3 мкКл – на середине стороны. Найти модуль напряженности элек-трического поля в точке Р, находящейся в центре квад-рата (см. рис.).
Ответ: 212,5 кВ/м
1.10с. Заряд 1q = 3 мкКл находится в вершине квадрата со стороной b = 90 см, а заряд 2q = – 1 мкКл – на середине стороны. Найти величину вертикальной проекции напряженности электрического поля в точке
Р, находящейся в противоположной вершине квадрата (см. рис.). Ответ: 7,81 кВ/м
11
1.11с. Вдоль стержня длины b = 40 см равномерно распределен заряд с ли-нейной плотностью = 250 нКл/м .
Найти величину напряженности электрического поля в точке A на продолжении стержня на расстоянии а =10 см от его конца (см. рис.).
Ответ: 18 кВ/м
1.12с. Тонкий стержень заряжен не-равномерно. Электрический заряд рас-пределен по нему с линейной плотностью
3 , 0A x x b , где х – координата точки на стержне, b = 4 м – длина стержня, А = 3 мкКл/м4. Чему равна величина напряженности электрического поля, создаваемого этим за-рядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?
Ответ: 216 кВ/м
1.13с. Заряд распределен по тонкому по-лукольцу радиуса R = 120 см с линейной
плотностью 2
2
0
0
cos , 0 2
cos , 2
.
Определить проекцию на ось x напряженно-сти электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полу-кольца, если 0 = 400 нКл.
Ответ: 4 кВ/м
1.14с. Заряд распределен по тонкому кольцу радиуса R = 30 см с линейной плотностью
4
4
0
0
sin , 2 2
sin , 2 3 2
.
Определить величину проекции на ось x напряженности электриче-ского поля, создаваемого этим зарядом в центре кольца, если, 0 = 3 мкКл/м.
Ответ: 72 кВ/м
12
Занятие 2.
Расчет потенциала электрического поля, созданного дискретными и распределенными зарядами. Расчет напряженности электриче-ского поля при известной функции потенциала (x, y).
Электростатическое поле точечного заряда характеризуется не только вектором напряженности E
? (см. (1.1)), но и потенциалом :
kqr
. (2.1)
Из (2.1) видно, что потенциал – это скалярная величина, которая может быть как положительная, так и отрицательная в зависимости от знака заряда. Используя принцип суперпозиции полей, можно найти потенциал результирующего электрического поля в заданной точке О как алгеб-раическую сумму потенциалов полей, созданных каждым зарядом не-зависимо друг от друга (см. рис. 1):
1 2рез 1 2
1 2
... ...ikq kqr r
(2.2)
Пример задачи.
Заряд 1q = 1,2 мкКл находится в вершине квадрата со стороной b = 2 м, а заряд 2q = – 5 мкКл– в центре. Найти потенциал электрического поля в точке Р, нахо-дящейся в другой вершине этого квадрата (см. рис.).
Решение:
Найдем из рисунка 1r = b = 2 м, 2 2r b = 1,41 м и подставим данные в формулу (2.2):
6691 2
рез1 2
5 101,2 109 10 26,52 1,41
kq kqr r
кВ
Ответ: рез = –26,5 кВ
13
Для рассчета потенциала электрического поля, созданного распределенным зарядом с известной функцией объемной, поверхностной или линейной плотности заряда, применим принцип суперпозии (2.2) в виде
kdqdr
(2.3)
– где r – расстояние от малого элемента с зарядом dq до точки О (см. рис.3), dq dV для объемного распределения, dq dS для рас-пределения по поверхности или dq dl для распределения по тон-кой линии.
Пример задачи.
Положительный заряд распределен по тон-кому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной
плотностью 2
0
, где 0 < < ,
0 = 1 мкКл/м. Определить потенциал, созда-ваемый этим зарядом в центре полукольца.
Решение: Выделим элемент dl = Rd на полуокружности и, учитывая, что расстояние от элемента до точки О равно r R , по формуле (2.3) рас-считаем потенциал в точке О:
2 3 9 60 0 0
20 0
9 10 .10 3,143 3 3L
k k kk dl Rdr R
= 9,42 кВ
Ответ: 9,42 кВ
14
Пример задачи.
Тонкий стержень заряжен не-равномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной
плотностью 2
0xb
, где х – ко-
ордината точки на стержне, b = 1 м – длина стержня, 0 = 1 мкКл/м. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?
Решение:
Выделим элементарный заряд dq на стержне длиной dx на рас-стоянии х от начала координат О (см. рис.5). Учитывая, что r = x, а dq = dx, найдем по формуле (2.3) потенциал в точке О:
2
0 2 9 60 0
20 0
9 10 102 2 2
bb
L
xk dxk kk dl xb
r x b
= 4,5 кВ
Ответ: 4,5 кВ
Рассмотрим пробную частицу с электрическим зарядом 0q , нахо-дящуюся в электростатическом поле с напряженностью E
? и обла-
дающую потенциальной энергией W . Как известно, электростатиче-ское поле потенциально, следовательно работа поля по перемещению частицы равна убыли потенциальной энергии:
x y zdA F dr F dx F dy F dz dW ? ? (2.4)
Из (2.4) можно сделать выводы относительно проекций силы, дей-ствующей на частицу:
xWFx
, y
WFy
, z
WFz
, (2.5)
где ; ;W x W y W z – частные производные по х, у, z.
Рис.5
15
Представим силу в векторном виде:
gradx y zW W WF iF jF kF i j k Wx y z
? ?? ? ? ? ?. (2.6)
Градиент энергии взаимодействия частицы с полем gradW W ?
,
где – i j kx y z
?? ? ? – дифференциальный оператор "набла".
Разделим уравнение (2.6) на 0q и, учитывая, что 0
F Eq
?
?, а
0
Wq
,
получим связь между напряженностью электростатического поля E?
и электрическим потенциалом :
gradE i j kx y z
?? ? ?, (2.7)
где grad это вектор, направленный в сторону наибыстрейшего воз-растания потенциала.
Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность в си-ловом поле, в каждой точке которой потенциал одинаков. Таким обра-зом, если частица 0q перемещается по эквипотенциальной поверхно-сти, то ее потенциальная энергия не изменяется, и работа над части-цей в этом случае не совершается. Из (2.4) следует, что сила, дейст-вующая на частицу перпендикулярна перемещению, а значит и экви-потенциальной поверхности. Из (2.7) можно сделать вывод, что напряженность E
? направлена
в сторону наибыстрейшего убывания потенциала перпендикулярно эквипотенциальной поверхности. Используя формулу (2.7) можно рассчитать проекции вектора E
?:
, ,x y zE E Ex y z
. (2.8)
Модуль вектора E?
можно найти по формуле: 2 2 2
x y zE E E E E ?
(2.9)
16
Пример задачи.
Потенциал электростатического поля зависит от координат по за-кону 10 10Ax y . Найти величину напряженности электрического по-ля в точке 0 0,P x y , если А = 2 В/м20, 0 1x м, 0 2y м.
Решение:
По формуле (2.8) рассчитаем проекции вектора напряженности E?
:
10 10 10 10 10 910xE Ax y Ay x Ay xx x x
,
10 10 10 10 10 910yE Ax y Ax y Ax yy y y
,
,0z
x yE
z
.
Подставляя значения координат 0 0,x x y y , получаем: 10 910 2 2 1 20480xE В/м, 10 910 2 1 2 10240yE В/м
Результат подставляем в (2.9):
2 22 2 2 20480 10240 0 22897x y zE E E E В/м
Ответ: Е = 22,9 кВ/м
Пример задачи.
Потенциал электростатического поля зависит от координат по зако-ну 10 15Ax By . Найти модуль напряженности электрического поля в точке 0 0,P x y , если А = 2 В/м10, В = 3 В/м15, 0 1x м, 0 2y м.
Решение:
10 15 10 910xE Ax By A x Axx x
,
10 15 15 1415yE Ax By B y Byy y
, , 0zE x yz
.
17
Подставляя значения координат 0 0,x x y y , получаем: 910 2 1 20xE В/м, 1415 3 2 737280yE В/м
Результат подставляем в (2.9):
2 22 2 2 20 737280 0 737280x y zE E E E В/м
Ответ: Е = 737 кВ/м
Задачи для работы на практическом занятии.
2.1 Заряд 1q = 1 мкКл находится в вершине квад-рата со стороной b = 20 см, а заряд 2q = 2 мкКл – на середине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине противопо-
ложной стороны квадрата (см. рис.). Ответ: 130 кВ
2.2 Заряд 1q = 2 мкКл находится в вершине квадра-та со стороной b = 40 см, а заряд 2q = –3 мкКл – на се-редине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине стороны квадрата (см. рис.). Ответ: – 55,2 кВ
2.3 Вдоль стержня длины b = 40 см рав-номерно распределен заряд q = 2 мкКл. Найти потенциал в точке A на продолжении стержня
на расстоянии a = 60 см от его конца (см. рис.). Ответ: 22,0 кВ
2.4 Положительный заряд распределен по тон-кому полукольцу радиуса R = 50 см с линейной
плотностью 0 exp , 02
,
0 = 2 мкКл/м. Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца. Ответ: 11,7 кВ 2.5 Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону 5 2Ax y , где А = 4 В/м7. Найти величину напряженности электрического поля в точке 0 01 , 2P x м y м . Ответ: 81,6 В/м.
18
2.6 Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону 4 3Ax By , где А = 2 В/м4, В = 3 В/м3. Найти величину на-пряженности электрического поля в точке 0 02 , 3P x м y м .
Ответ: 103 В/м
2.7 Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону sin sinAx B Cy . Найти величину напряженности элек-
трического поля в точке 0 0,P x y . A 2 рад/м, B 3 В, C 4 рад/м,
0 1x м, 0 2y м. Ответ: 1,9 В/м 2.8э. На рисунке показаны эквипотенциаль-
ные линии системы зарядов и значения потен-циала на них. Вектор напряженности электриче-ского поля в точке А ориентирован в направле-нии...
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; 2.9э. В некоторой области пространства создано
электростатическое поле, вектор напряженности кото-рого в точке Р(x1,y1) направлен вдоль оси х. Какая за-висимость потенциала электрического поля от коорди-нат ,x y может соответствовать такому направле-нию напряженности? 1) 2xy 2) 23y 3) 23x 4) 44x 2.10э. На металлический шар поместили положительный заряд Q. За-висимость потенциала электрического поля от расстояния до центра шара будет описываться графиком...
а) б) в) г)
19
2.11э. Две бесконечные параллельные пластинки равномерно за-ряжены равными по величине и разноименными по знаку поверхност-ными плотностями заряда. Если ось Х направить перпендикулярно пластинкам, то зависимость величины напряженности электрического поля в зависимости от х будет представлена графиком...
а) б) в) г)
2.12э. Потенциал электрического поля зависит от ко-ординаты х, как показано на рисунке. Какой рисунок пра-вильно отражает зависимость проекции напряженности электрического поля от координаты х?
а) б) в) г)
Задачи для самостоятельной работы.
2.13с. Заряды 1q = 2 мкКл и 2q = 3 мкКл находятся в соседних вершинах квадрата со стороной b = 20 см. Найти потенциал электрического поля в точке Р, деля-щей сторону квадрата на два равных отрезка (см. рис.).
Ответ: 350 кВ
2.14с. Заряд 1q = 4 мкКл находится в вершине квад-рата со стороной b = 40 см, а заряд 2q = – 5 мкКл – на середине стороны. Найти потенциал электрического по-ля в точке Р, находящейся в противоположной вершине
квадрата (см. рис.). Ответ: – 37,0 кВ
2.15с. Вдоль стержня длины b = 80 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью 2 мкКл/м. Найти потенциал в
точке A на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его кон-ца (см. рис.). Ответ: 29,0 кВ
20
2.16с Тонкий стержень заряжен неравно-мерно. Электрический заряд распределен по не-му с линейной плотностью 5
0 , 0x x b , где х - координата точки на стержне, b = 2 м – длина стержня. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале ко-ординат О, совпадающем с концом стержня, если 0 = 10 мкКл/м6?
Ответ: 576 кВ
2.17с Положительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 50 см с линейной плотностью 2
0 sin , 0 . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре по-
лукольца, если 0 = 1 мкКл/м. Ответ: 14,1 кВ
2.18с. Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону 3 45 6x y (В). Найти величину напряженности электри-ческого поля в точке 0 0,P x y 0x 3 м, 0y 2 м. Ответ: 235 В/м
2.19с. Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону exp cosA Bx C Dy . Найти величину напряженности
электрического поля в точке 0 0,P x y . 1A В, 2B м–1, 3C В,
4D рад/м, 0 1x м, 0 2y м. Ответ: 19,0 В/м;
2.20с. В некоторой области пространства создано электростатическое поле, вектор напряженности которо-го в точке Р(x1,y1) направлен под некоторым углом к оси х (см. рис.). Какая зависимость потенциала электрическо-го поля от координат ,x y может соответствовать та-кому направлению напряженности? 1) 34y 2) 23xy 3) 2 25 3x y 4) 22x
2.21с. Электрон перемещается в кулоновском поле за-ряженной частицы из точки А в точку В в одном случае по траектории 1, в другом случае по траектории 2. Как соот-носятся величины работ, совершаемых электрическим по-лем над электроном, в этих двух случаях? а) 1 2A A ; б) 1 2A A ; в) 1 2 0A A ; г) 1 2 0A A
21
Занятие 3. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника. Закон Джоуля - Ленца. Законы Ома и правила Кирхгофа.
Сила тока определяется, как заряд, протекающий через попереч-ное сечение провода за единицу времени, т.е.
dqIdt
. (3.1)
Если известна зависимость силы тока I t , то из (3.1) можно вы-разить заряд, протекающий за малый промежуток времени:
dq Idt , (3.2)
и за любой промежуток времени
1
0
t
t
q Idt (3.3)
При перемещении электрического заряда q из точки 1 в точку 2 электрическое поле со-вершает работу
A q , (3.4)
где 2 1 – разность потенциалов. В законе Ома используют другую величину – напряжение или па-дение напряжения: 1 2U . Таким образом (3.4) мож-но переписать в другом виде: A qU . Для малого промежутка времени, используя (3.2), преобразуем (3.4) следующим образом:
dA dqU IdtU IUdt Pdt , (3.5) где P IU – электрическая мощность. Используя закон Ома для однородного участка цепи U IR , и подставляя его в (3.5), получим закон Джоуля-Ленца:
2dQ dA I Rdt или 2
1
2t
t
Q I Rdt (3.6)
В формуле (3.6) учтено то обстоятельство, что работа электрического поля, совершенная над электрическими зарядами, не приводит к уве-личению их кинетической энергии, а выделяется в виде тепла dQ .
22
Пример задачи.
По проводу сопротивлением 1R = 20 Ом течет переменный элек-трический ток. Сила тока изменяется по закону 105I t (А). Чему рав-но количество тепла, выделившееся в проводе, и количество электри-чества, прошедшее через сечение провода за промежуток времени от
0 0t до 1t = 2 с?
Решение:
Подставим функцию силы тока от времени в формулу (3.3) и (3.6): 11 11 11
10
0 0
25 5 5 93111 11
tt tq t dt Кл.
112 c21 21
2 20 711
0 0
25 25 20 25 4,99 1021 21
tt R tQ t R dt
Дж = 49,9 МДж
Пример задачи.
По проводу сопротивлением 1R = 30 Ом течет переменный элек-трический ток. Сила тока изменяется по закону sinI A t ,
где А = 4 А/с, 2
рад/с. Чему равно количество теплоты, выделив-
шейся в проводе, и количество электричества, прошедшее по проводу за промежуток времени от 0 0t до 1t = 0,5 с?
Решение: Подставим функцию силы тока от времени в формулу (3.3) и (3.6):
11 1 22 2 2 1
1 10 0 0
2
1 cos2 sin 2sin2 2 2
4 30 sin 0,50,5 43,6 Дж2
tt t A Rt tQ A t R dt A R dt t
11
00
cos cos0,5 cos0 8sin 4 2,552
tt tq A t dt A
Кл.
23
Электрическая схема всегда содержит множество элементов, таких как резисто-ры, конденсаторы, источники тока, катуш-ки индуктивности. Эти элементы связаны соединительными проводами. В сложной схеме всегда есть узлы и контуры. Узлы – это точки, в которой соединя-ются три и более проводов. На рис.6 узла-ми будут точки А и В.
Контур – это замкнутая линия, проведенная вдоль соединитель-ных проводов так, что нигде не пересекает саму себя. На рис.6 изо-бражены два контура I и II. Обход вдоль этих контуров здесь выбран по часовой стрелке (в общем случае можно выбрать произвольно). Обычно известны характеристики всех элементов, входящих в схему, т.е. сопротивления резисторов, Э.Д.С. источников тока и т.д. Рассчитать схему – значит найти все токи, текущие по разным цепям. В этом могут помочь правила Кирхгофа.
1-е правило Кирхгофа: 0iI , (3.7)
или алгебраическая сумма всех сил токов, сходящихся в узле, равна 0. Токи, втекающие в узел берутся со знаком "–", а токи вытекающие из узла – со знаком "+". Таким образом для узла В на рис.6 можно за-писать 2 3 1 0I I I . (3.8)
2-е правило Кирхгофа: i i iI R E , (3.9)
– алгебраическая сумма падений напряжений на каждом элементе контура равна алгебраической сумме э.д.с. в этом контуре. Падение напряжения на сопротивлении считается положительным, если направление тока через это сопротивление совпадает с направле-нием обхода контура, выбранного произвольно. Э.Д.С. считается положительной, если при обходе контура осуще-ствляется переход через источник от "–" (меньший отрезок) к "+" (больший отрезок). Запишем формулу (9.3) для двух контуров:
Контур I: 1 1 2 2 1I R I R E (3.10) Контур II: 3 3 2 2 2I R I R E (3.11)
Рис.6
24
Таким образом, чтобы рассчитать схему, т.е. найти токи 1I , 2I и
3I , надо решить систему уравнений (3.8), (3.10), (3.11). Если известны некоторые токи, то расчет схемы упрощается, и можно иногда обойтись решением всего одного уравнения.
Пример задачи.
Найти Э.Д.С. 1E , если
1 4R Ом, 2 6R Ом, 3 3R Ом,
2 1E В, 3 4E В,
1 3I А, 2 2I А. Внутренними сопротивлениями источни-ков тока пренебречь.
Решение:
Запишем формулу (9.3) для контура I (см. рис.7). 1 1 2 2 3 1 2I R I R E E E И выразим отсюда 1E :
1 1 1 2 2 3 2E I R I R E E =34 + 26 – 4 + 1 = 21 В Ответ: 1E = 21 B
Задачи для работы на практическом занятии.
3.1 По проводу сопротивлением 1R = 2 Ом течет переменный
электрический ток. Сила тока изменяется по закону 3I A t , где А =
2 А/с3/2. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе, и количество электричества, прошедшее по проводу за время t = 2 c? Ответ: Q = 16 Дж; q = 3,2 Кл 3.2 По проводу сопротивлением 1R = 3 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону expI A Bt , где А = 5 А, В = 0,5 с–1. Чему равно количество теплоты, выделившей-ся в проводе за время 1t = 2 с, а также заряд, прошедший по проводу за это же время?
Ответ: Q = 64,8 Дж; q = 6,32 Кл
Рис.7
25
3.3 По проводу сопротивлением 1R = 3 Ом течет переменный элек-трический ток. Сила тока изменяется по гармоническому закону
cosI A t , где А = 4 А, = /3 с–1. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе за половину периода, а также заряд, про-шедший по проводу за это же время?
Ответы: Q = 72 Дж; q = 0 Кл
3.4. Через сопротивление R = 5 Ом начинает течь ток, возрастаю-щий со временем по закону 2I At . Какое тепло выделится на со-противлении к моменту t = 5 с, если за это время через сопротивление протечёт заряд q = 5 Кл? Ответ: 45 Дж
3.5 В схемезаданы, 1 1R Ом, 2 2R Ом,
3 3R Ом, 4 4R Ом, 1 2E В, 2 1I А,
3 2I А. Внутренние сопротивления источни-ков тока пренебрежимо малы. Найти: 1) величины и направления сил токов 1I ,
4I и 5I , протекающих через резисторы 1R , 4R и 5R соответственно; 2) величину э.д.с. Е2. Отв.: 1I 1 А (влево); 4I 1,5 А (вниз); 5I 3,5 А (вверх); Е2 = 1 В.
3.6э. На рисунке представлена часть элек-трической схемы, для которой известны только некоторые параметры: 3 1R Ом, 2 4R Ом, а источники имеют одинаковые внутренние со-противления. Потенциалы 2 2 В, 3 5 В, а сила тока через сопротивление 3R равна
3 1I А. Чему равна сила тока через сопротивление 2R ? а) 1,0 А; б) 0,6 А; в) 0,5 А; г) нельзя рассчитать, т.к. не хватает данных
3.7. В схеме заданы ЭДС Е1 = 21 В и Е2 = 7 В, сопротивления r 1 = 1 Ом, r 2 = 2 Ом, R 1 = 5 Ом, R
2 = 3 Ом, R = 5 Ом. Найти тепловую мощность, выделяющуюся на сопротивлении R. Ответ: 2,74 Вт.
26
3.8э. Напряженность электрического поля в проводнике увеличи-ли в 2 раза. Как изменилась удельная тепловая мощность (тепло, вы-деляющееся за единицу времени в единице объема)? а) увеличилась в 2 раза; б) увеличилась в 4 раза; в) увеличилась в 8 раз; г) уменьшилась в 2 раза.
3.9э. Сила тока, текущего по проводнику, ме-няется во времени, как показано на рисунке. Ка-кой заряд протечет сквозь поперечное сечение проводника в промежуток времени
от t1 = 1 c до t2 = 3 c?
а) 7 Кл; б) 12 Кл; в) 10,5 Кл; г) 1,5 Кл.
3.10э. Реостат сопротивлением 10 Ом подключен к источнику тока с внутренним сопротивлением 1 Ом, как показано на рисунке. Если движок реостата перемещать из крайнего правого положения влево, то мощность тока в реостате будет …
а) сначала увеличиваться, а затем уменьшаться б) сначала уменьшаться, а затем увеличиваться в) непрерывно увеличиваться г) непрерывно уменьшаться
Задачи для самостоятельной работы.
3.11э. Реостат сопротивлением 0,5 Ом подключен к источнику тока с внутренним сопротивлением 1 Ом, как показано на рисунке. Если движок реостата перемещать из крайнего правого положения влево, то мощность тока в реостате будет …
а) сначала увеличиваться, а затем уменьшаться б) сначала уменьшаться, а затем увеличиваться в) непрерывно увеличиваться г) непрерывно уменьшаться
3.12с. По проводу сопротивлением 1R = 25 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону sinI A t , где = 40 с–1. Чему равно количество электричества, прошедшее за по-ловину периода, если за это время в проводе выделилось 5 Дж тепла?
Ответ: 63,7 мКл
27
3.13с. По проводу сопротивлением 1R = 12 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону expI A Bt , где В = 0,01 с–1. Сколько тепла выделится в проводе за две секунды, если за это время по проводу прошел заряд 5 Кл?
Ответ: 150 Дж
3.14с. В схеме даны 1 2R Ом, 3 3R Ом,
4 5 4R R Ом, 1 1E В, 2 4E В, 1 2I А,
2 3I А. Внутренние сопротивления источни-ков тока пренебрежимо малы. Найти сопротивление 2R , направления и си-лы токов через резисторы 3R , 4R , 5R и через
источник 2E . Чему равна эдс 3E ? Ответы: 0,33 Ом, 3I = 1 А (вправо), 4I = 0,75 А (вниз),
5I = 1,75 А (вверх), 6I = 3,75 А (вниз), 3E = 14 В
3.15э. На рисунке представлена часть элек-трической схемы, для которой известны только некоторые параметры: 1 4R Ом, 2 1R Ом, а ис-точник 1 5 В и имеет нулевое внутреннее со-противление. Потенциалы 1 8 В, 2 2 В, а си-ла тока через сопротивление 1R равна 1 1I А. Чему равна сила тока через сопротивление 2R ?
а) 7 А б) 5 А в) 3 А г) нельзя рассчитать, т.к. не хватает данных
28
Занятие 4.
Расчет силы тока через поперечное сечение проводника. Закон Ома в локальной и интегральной форме.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.
Плотность тока равна силе тока, протекающего сквозь единич-ную площадку, расположенную перпендикулярно линиям тока:
dIjdS
. (4.1)
Зная распределение плотности тока в пространстве, можно расчи-тать полный ток сквозь произвольную поверхность S :
cosS S
I j dS j dS ??
, (4.2)
где вектор dS dS n ? ? , а n? – это единичный вектор нормали к пло-
щадке dS ; – угол между векторами j?
и n? . Если проводник сделан в виде тонкой по-лосы, и известна линейная плотность тока i, то полный ток можно найти по формуле:
I i x dx , (4.3)
где dx – ширина полоски, вдоль которой течет ток dI Закон ома в локальной форме утверждает, что плотность тока
пропорциональна напряженности электрического поля E?
, создающе-го этот ток:
j E ??
, (4.4) где – удельная проводимость вещества, проводящего ток.
Обратная величина удельной проводимости называется удельным сопротивлением:
1
. (4.5)
Из (2.8) в случае однородного электрического поля в куске провода длиной l следует:
U E x E l . (4.6)
29
Преобразуя (4.3) можно вывести закон Ома для однородного уча-стка цепи:
S Uj S E l I
l R
, (4.7)
где lRS
(4.8)
– сопротивление участка длины l с поперечным сечением S .
Пример задачи.
По неоднородному цилиндрическому проводу ра-диуса R = 2 мм течет ток. Найдите силу тока, проте-кающего через поперечное сечение проводника, ес-
ли зависимость плотности тока от расстояния r до оси задается фор-
мулой 20
0rj r jR
, где 0j 1 А/мм2.
Решение: Разобъем поперечное сечение проводника (круг радиуса R) на кольца радиуса r и шириной dr (см. рис.8). Площадь такого кольца равна 2dS rdr , а угол между j
? и dS
? равен 0. Используя формулу
(4.2), найдем полный ток, протекающий через все поперечное сечение проводника:
20 22221
20 200 0 0
0 0 00
2 22 1,14
22 11
RR Rj j j Rr rI j rdr r AR R R
Ответ: I = 1,14 A
Пример задачи По неоднородному проводу квадратного сечения b b течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение проводника, если плот-ность тока зависит от расстояния x от одной из бо-
ковых граней по закону 99
0xj x jb
, где 0j 2 А/мм2; b = 5 мм.
Рис.8
30
Решение: Разобъем поперечное сечение проводника (квадрат b b ) на узкие полоски шириной dx и вы-сотой b (см. рис.9). Площадь такой полоски равна dS bdx а угол между j
? и dS
? равен 0. Исполь-
зуя формулу (4.2), найдем полный ток, протекаю-щий через все поперечное сечение проводника:
99 210099
98 980 0 0
0 0 00 100 100
bb bj j j bx xI j bdx x dxb b b
Ответ: I = 0,5 A
Пример задачи Вдоль средней линии проводящей полосы шириной 2b течет ток. Найдите силу тока, протекающего по всей полосе, если линейная плотность тока зависит от расстояния x до средней линии по закону
199
0xi x ib
, где 0i 2 А/мм; b = 4 мм.
Решение: Выделим на плоскости параллельно средней линии на расстоянии х
узкую полоску шириной dx (см. рис.10). Используя формулу (4.3) най-
дем полный ток: 199 199 200
199 1990 0
0 00 0
22
200 100
bb b
b
i i bx x xI i dx i dxb b b
Ответ: I = 0,08 А
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции:
0 iГ
Bdl I ??
? (4.9)
– циркуляция по замкнутому контуру вектора ин-дукции магнитного поля равна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность S, ограниченную контуром, умноженной на магнит-ную постоянную 7
0 4 10 Гн/м. Cила тока
Рис.9
Рис.10
31
считается положительной, если направление тока в точке пересечения с поверхностью S совпадает с направлением положительной нормали к поверхности в этой точке, и отрицательный, если направление тока противоположно направлению этой нормали. Положительная нормаль определяется по правилу правого винта по отношению к направлению обхода Г (см. рис.).
Если один из токов охватывается контуром N раз, то в формуле (4.9) такой ток будет складываться N раз.
Пример задачи.
По цилиндрическому проводнику радиуса R = 2 мм течёт ток, плот-ность которого меняется с расстоянием r от оси проводника по закону
20 expj j Br , где B 1 мм–2 0j = 3 А/мм2. Найти индукцию маг-
нитного поля в точке, находящейся на расстоянии 1 2r R от оси про-водника.
Решение: Выделим замкнутый контур Г, совпадающий с линией индукции магнитного поля в виде окружности радиуса 2R , ось которой совпадает с осью провод-ника. Разделим сечение этого контура на полоски ра-диуса r , шириной dr и площадью 2dS rdr и най-дем суммарный ток, пронизывающий этот контур:
22 2 2
0 00
2 20 2 10
0
exp 2 exp
exp 31 exp 4 1 5,951
R
R
I jdS j Br rdr j Br d r
j Br j BR e AB B
Циркуляция вектора B?
по этому контуру равна 12Bdl B r B R ??
?
Из формулы (4.9) следует, что 2
00 1 exp
4j BRB RB
и
32
2 7 2
1 70 0-2
4 10 3А/мм1 exp 1 11,9 104 2 мм 1мм
j BRB eRB
Тл.
Ответ: 1,19 мкТл
Задачи для работы на практическом занятии.
4.1. По неоднородному цилиндрическому прово-ду радиуса R = 2 мм течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение проводни-
ка, если плотность тока зависит от расстояния r до оси по закону : а) 2
0j r j r R , где 0j 1,5 А/мм2;
б) 20 expj r j Br , где j0 = 4 А/мм2, В= 0,01 мм–2.
Ответ: а) 9,42 А; б) 49,2 А.
4.2. По неоднородному проводу квадратного сечения b b течет ток. Найдите силу тока, про-текающего через поперечное сечение проводни-ка, если плотность тока зависит от расстояния x от одной из боковых граней по закону:
а) 5
0xj x jb
, где 0j 3 А/мм2; b = 4 мм.
б) 0 sin xj x jb
, где 0j = 2 А/мм2, b 5 мм.
Ответы: а) 8 А; б) 31,8 А
4.3. Вдоль средней линии проводящей поло-сы шириной 2b = 6 мм течет ток. Найдите силу тока, протекающего по всей полосе, если линей-ная плотность тока зависит от расстояния x до средней линии по закону:
а) 3
0xi x ib
, где 0i 2 А/мм; б) 0 cos2
xi x ib
, где 0i А/мм.
Ответы: а) 3 А; б) 12 А.
33
4.4э. По двум однородным цилиндрам, изго-товленным из одинакового материала, течет по-стоянный ток. Что можно сказать о соотноше-
нии между величинами плотностей тока в цилинде А и в цилиндре В? а) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра. б) A Bj j в) A Bj j г) A Bj j
4.5э. Два однородных цилиндра из одинакового материала подключены параллельно к источнику постоянного напряжения. Что можно сказать о со-отношении между величинами напряженностей электрического поля в цилиндре А и в цилиндре В?
а) A BE E б) A BE E в) A BE E г) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра.
4.6э В некоторой замкнутой цепи суще-ствует участок, состоящий из двух резисто-ров, соединенных последовательно. В точках
соединения резисторов А и В известны потенциалы 1 и 2 (см. рис.). Потенциал 3 в точке С равен... а) 6 В б) 0 В в) 7,5 В г) -1,5 В
4.7э В некоторой замкнутой цепи существует участок, состоящий из трех резисторов, соединенных после-довательно. В точках соединения резисторов А и С известны потен-циалы A и C (см. рис.). На участке АС выделяется тепловая мощ-ность, равная... а) 20 Вт б) 36 Вт в) 28 Вт г) 14 Вт
4.8. По цилиндрическому проводнику радиуса R течёт ток, плот-ность которого меняется с расстоянием r от оси проводника по закону
0rj jR
, где 0j = const. Найти отношение индукций магнитного поля
в точках, находящихся на расстояниях 1 2r R и 2 2r R от оси про-водника. Ответ: 1 2 2B B .
34
4.9. По длинным проводам различной конфигурации текут разные токи. 1I 1 А, 2I 2 А, 3I 3 А, 4I 4 А, 5I 5 А. Найдите циркуля-цию вектора индукции магнитного поля, созданного этими токами, по замкнутому контуру Г.
а) б) в) ;
г) Ответы: а) – 17,6 мкТлм ; б-в-г) 2,51 мкТлм;
Задачи для самостоятельной работы. 4.10c. По неоднородному цилиндрическому про-
воду радиуса R = 3 мм течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение проводни-
ка, если плотность тока зависит от расстояния r до оси по закону а) 5
0j r j r R , где 0j 1,4 А/мм2;
б) 20 sinj r j Br , где j0 = 3 А/мм2, В= 0,01 мм–2.
Ответ: а) 11,3 А; б) 3,81 А.
4.11c. По неоднородному проводу квадратно-го сечения b b течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение про-водника, если плотность тока зависит от рас-стояния x от одной из боковых граней по закону:
а) 0xj x jb
, где 0j 2 А/мм2; b = 3 мм.
б) 0 exp xj x jb
, где 0j = 4 А/мм2, b 2 мм.
Ответы: а) 12 А; б) 10,1 А
35
4.12c. Вдоль средней линии проводящей по-лосы шириной 2b = 8 мм течет ток. Найдите си-лу тока, протекающего по всей полосе, если ли-нейная плотность тока зависит от расстояния x до средней линии по закону:
0 sin2
xi x ib
, где 0i 2 А/мм. Ответ: 32 А.
4.13э. Два однородных цилиндра из одинаково-го материала подключены параллельно к источнику постоянного напряжения. Что можно сказать о со-отношении тепловых мощностей AP и BP , выде-ляющихся в этих цилиндрах?
а) A BP P б) A BP P в) A BP P г) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра.
4.14э. По двум однородным цилиндрам, изготовленным из одинакового материала, течет постоянный ток. Что можно сказать о
соотношении тепловых мощностей AP и BP , выделяющихся в этих цилиндрах? а) A BP P б) A BP P в) A BP P г) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра.
4.15э. В некоторой замкнутой цепи существует участок, состоя-щий из трех резисторов, соединен-ных последовательно. В точках со-
единения резисторов А и С известны потенциалы A и C (см. рис.). На участке АС выделяется тепловая мощность, равная... а) 20 Вт б) 36 Вт в) 28 Вт г) 14 Вт
4.16c. По длинным проводам различной кон-фигурации текут разные токи. Найдите циркуля-цию вектора индукции магнитного поля, создан-ного этими токами, по замкнутому контуру Г.
1I 1 А, 2I 3 А, 3I 3 А, 4I 4 А, 5I 5 А. а) 7,3; б) – 9,3; в) 9,3; г) – 11,3 ; д) 11,3. (мкТл·м)
36
Занятие 5.
Суперпозиция магнитных полей. Виток с током в магнитном поле. Сила Лоренца.
Рассмотрим несколько простых примеров создания магнитного поля электрическими токами разных конфигураций:
0
2IBR
, (5.1)
– индукция магнитного поля прямого провода на рас-стоянии R от него.
0
2IB
R
, (5.2)
– индукция магнитного поля в центре витка с радиу-сом R.
01 2cos cos
4IBa
, (5.3)
– индукция магнитного поля, созданного отрезком с током в точке О на расстоянии а от линии, на которой лежит этот отрезок.
Направление индукции магнитного поля B
? определяется по пра-
вилу правого винта (см. рисунки к формулам (5.1) – (5.3)).
Индукция магнитного поля, созданного проводником сложной конфигурации, находится по принципу суперпозиции полей: iB B
? ?, (5.4)
где iB?
– индукция поля, созданного частью провода простой формы.
Пример задачи
Электрический ток I = 1 A течет по длинно-му проводу, изогнутому так, как показано на рис.4. Найдите индукцию магнитного поля, соз-данного этим током в точке О, если R = 1 м.
Рис.11
37
Решение: Как видно из рис.11, магнитное поле в точке О создается отрезком длиной R и дугой радиуса 2R с углом разворота 135 . Электриче-ский ток, направленный на точку О магнитного поля в ней не создает. Используем формулу (5.2) для нахождения индукции магнитного поля, созданного дугой:
770
дуги135 135 4 10 1 1,666 10360 2 2 360 2 2 1
IBR
Тл
Индукцию магнитного поля, созданного отрезком, найдем по фор-муле (5.3), подставляя следующие данные: a R ; 1 90 ; 2 135 .
7
70отрезка
4 10 1 2cos90 cos135 0,707 104 4 1 2
IBR
Тл
Результирующее поле равно сумме этих полей, так как вектора индук-ции дугиB
? и отрезкаB
? направлены в точке О в одну сторону:
рез отр дугиB B B 0,237 мкТл Ответ: 0,237 мкТл;
Пример задачи. Ток I = 1 А течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рис.5. Найдите индукцию маг-нитного поля, созданного этим током в центре ок-ружности радиуса R = 1 м.
Решение: Найдем отдельные вклады в индукцию магнитно-
го поля в точке О (центр окружности), созданные двумя полубеско-нечными прямолинейными проводниками и проводником в виде дуги
с углом разворота 32
.
Для луча с током, текущим против оси х на расстоянии R от точ-ки О, воспользуемся половинным вкладом из формулы (5.1):
770
11 4 10 1 102 2 4 1
IBR
Тл
Рис.12
38
Аналогично для второго луча с током, текущим вдоль оси у на расстоянии 2R от точки О:
770
21 4 10 1 0,5 102 2 2 8 1
IBR
Тл
Для проводника в виде дуги в 3 4 окружности радиусом R исполь-зуем формулу (5.2):
770
33 12 10 1 4,71 104 2 8 1
IBR
Тл
Направления векторов 1B?
, 2B?
и 3B?
различны:
1B?
– направлен против оси z;
2B?
– направлен вдоль оси х;
3B?
– направлен против оси х. Используя принцип суперпозиции (5.4) и теорему Пифагора, найдем модуль индукции результирующего магнитного поля в точке О:
2 22 7 2 7рез 1 2 3 10 1 0,5 4,71 4,33 10B B B B Тл
Ответ: 0,433 мкТл
Небольшой виток площадью S с током I обладает магнитным мо-ментом mp I S I S n
?? ? , который направлен вдоль положительной нормали n? , определяемой по правилу правого винта относительно направления тока по этому витку. Такой магнитный момент, взаимо-действуя с внешним магнитным полем с индукцией B
?, обладает энер-
гией взаимодействия mW p B
?? (5.5) Стремясь занять в пространстве положение с наименьшей потенци-
альной энергией (5.5), виток разворачивает свой магнитный момент вдоль индукции поля B
?. В неоднородном магнитном поле на такой
виток действует сила
W W WF gradW i j kx y z
?? ? ?, (5.6)
которая стремится втянуть виток в область с большей индукцией.
39
Если частица с электрическим зарядом q и мас-сой m влетает со скоростью v? в магнитное поле с индукцией B
?, то на нее начинает действовать сила
Лоренца лF q B v
? ?? , (5.7)
которая перпендикулярна скорости частицы ?v и индукции B?
. Это приводит к искривлению траектории без изменения скорости частицы (так как сила Лоренца не совершает работу). Рассмотрим ситуацию, когда частица влетает в магнитное поле перпендикулярно индукции B
?. В этом случае она будет двигаться по
окружности с постоянной скоростью, а сила Лоренца будет являться центростремительной силой (см. рис.13). Найдем радиус окружности, используя второй закон Ньютона:
2
л sin90 nmF q B ma m R
R qB
v vv (5.8)
Используя формулу (5.8), можно рассчитать период вращения час-тицы по окружности:
2 2R mTqB
v (5.9)
На участок проводника dl с током I в магнитном поле действует си-ла Ампера: AdF I dl B
?? ?. (5.10)
Пример задачи.
В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл по окружности летает положительно заря-женная частица с зарядом q = 1 мкКл и массой m = 10–10кг со скоростью v = 10 км/с. Индукция магнитного поля B
? направлена вдоль оси z. В
начальный момент времени скорость частицы v? была направлена вдоль оси у. Найти минималь-ное время t, через которое скорость частицы бу-
дет направлена а) вдоль оси х; б) против оси х. Найти пройденный путь за это время.
Рис. 13
Рис. 14
40
Решение:
Из векторного выражения (7.1) следует, что сила Лоренца, дейст-вующая на частицу в начальный момент времени направлена вдоль оси х, поэтому частица будет двигаться так, как показано на рис.14. Из этого рисунка следует, что через четверть оборота или через время
4t T скорость частицы окажется направленной параллельно оси х, а через три четверти периода ( 3 4t T ) – антипараллельно оси х. Ис-пользуя формулу для радиуса окружности (5.8) и периода (5.9), полу-чаем ответ:
а) 10
46
1 2 3,14 10 1,57 104 4 2 10 1
mt TqB
с;
10 4
6
1 v 3,14 10 102 1,574 2 2 10 1
mS RqB
м.
б) 10
46
3 3 2 3 3,14 10 4,71 104 4 2 10 1
mt TqB
с
10 4
6
3 3 v 3 3,14 10 102 4,714 2 2 10 1
mS RqB
м.
Ответы: а) t = 0,157 мс; S = 1,57 м; б) t = 0,471 мс; S = 4,71 м.
Задачи для работы на практическом занятии.
5.1. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре полуокружности и в центре прямо-угольника. I =1 A, R = 1 м, а = 1 м, b = 2 м.
а) б) в) г)
Ответы: а) 0,314 мкТл; б) 0,414 мкТл; в) 0,214 мкТл; г) 0,894 мкТл
41
5.2. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре дуги. I =1 A, R = 1 м, 0120 .
а) б) в) Ответы: а) 0,209 мкТл; б) 0,109 мкТл; в) 0,309 мкТл;
5.3. Ток 1I течет по прямому проводу вдоль оси Z. Параллельно плоскости XY расположен виток ра-диуса R с током 2I . Центр витка лежит на оси Y на расстоянии 2R от начала координат . Найдите ин-дукцию магнитного поля, созданного этими токами
в центре витка. 1I 1 A, 2I 2 А, R = 1 м. Ответ: 1,26 мкТл
5.4. Ток I течет по длинному проводу, изогнутому так, как показа-но на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре окружности радиуса R. I 1 A, R = 1 м.
а) б) в) г)
Ответы: а) 0,426 мкТл; б) 0,236 мкТл; в) 0,314 мкТл; г) 0,372мкТл;
5.5. Небольшой виток с током, обладающий маг-нитным моментом mp 1 Ам2, удерживают в не-однородном магнитном поле на оси х под углом = 60 к ней. Определите проекцию силы xF , действующей на виток в точке с координатой 0x =
1 м, если величина индукция магнитного поля на оси х меняется по закону 3B x Ax , где A 1 Тл/м3. Ответ: 1,5 Н;
5.6. В однородном магнитном поле с индукцией В по окружности летает заряженная частица с зарядом
q = – 2 мКл, массой m = 10–10гк со скоростью v = 200 м/с. Индукция магнитного поля В = 1 мкТл и направ-
42
лена вдоль оси y. В начальный момент времени скорость частицы v? была направлена вдоль оси x. Найти:
А) через какое время t скорость частицы в первый раз становится на-правленной вдоль оси z; Б) путь S, пройденный частицей за это время; В) максимальное удаление частицы от оси х; Г) максимальное удаление от оси z,
Ответы: А) 0,236 с; Б) 47,1 м; В) 20 м ; Г) 10 м.
5.7э. Магнитное поле создано двумя длин-ными параллельными проводниками с токами I1 и I2, расположенными перпендикулярно плоско-сти чертежа. Если I1 = 2I2, то вектор B
? индук-
ции результирующего поля в точке А направлен ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0B
?
5.8э. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных длинных параллель-ных проводников с противоположно на-правленными токами, причем 1 22I I . Ин-
дукция B?
магнитного поля равна нулю в некоторой точке участка ... 1) a; 2) b; 3) c; 4) d; 5) нет такой точки; 6) посередине между про-водами;
5.9э. Рамка с током, обладающая магнитным мо-ментом mp? , находится в однородном магнитном поле с индукцией B
?. Куда направлен момент сил, дейст-
вующий на рамку? а) перпендикулярно рисунку "от нас"; б) перпендикулярно рисунку "к нам"; в) вдоль индукции магнитного поля; г) против индукции магнитного поля.
5.10э. На рисунке указаны траектории заря-женных частиц, имеющих одинаковую скорость и влетающих в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа.
При этом для частицы 1 ... а) 0q ; б) 0q ; в) 0q ;
43
5.11э. В магнитном поле на двух нитях висит горизонтальный проводящий стержень. Натяжение нитей равно нулю. Как соотносятся направления магнитного поля и силы тока в стержне? а) ток течет от L к M, индукция направлена от нас; б) ток течет от L к M, индукция направлена вправо; в) ток течет от M к L, индукция направлена от нас; г) ток течет от M к L, индукция направлена вверх;
Задачи для самостоятельной работы.
5.12с. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, соз-данного этим током в центре окружности и квадрата, если I =1 A, R = 1 м, а = 1 м.
а) б) в) г) Ответы: а) 0,314 мкТл; б) 0,528 мкТл; в) 0,428 мкТл. г) 1,13 мкТл
5.13с. Ток I 1 A течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре окружности радиуса R= 1 м.
а) б) в) г)
Ответы:а) 0,537 мкТл; б) 0,537 мкТл; в) 0,384 мкТл; г) 0,481 мкТл;
5.14с. Небольшой виток с током, обладающий магнитным моментом mp 2 Ам2, удерживают в не-однородном магнитном поле на оси х в точке с коор-динатой 0x = 0,5 м. Направление магнитного момента витка противоположно направлению индукции магнитного поля. Опреде-лите проекцию силы xF , действующей на виток, если величина индукции магнитного поля на оси х меняется по закону 5B x Ax ,
где А = 3 Тл/м5. Ответ: – 1,875 Н.
44
5.15э. Электрон летает по окружности в однородном магнитном поле так, как показано на рисунке. Куда на-правлен вектор индукции магнитного поля?
а) б) в) г)
15.16э. Магнитное поле создано двумя длинными параллельными проводниками с токами I1 и I2, расположенными перпенди-
кулярно плоскости чертежа. Если I1 = 2I2, то вектор B?
индукции ре-зультирующего поля в точке А направлен ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0B
?
15.17э. По двум соосным виткам течет одинаковый ток в одном направлении. Расстояние между центрами витков равно 2 см. Верхний виток создает магнитное по-ле с индукцией В = 1 мкТл в точке А, расположенной на
оси на растоянии 1 см от его центра. Чему равна величина индукции магнитного поля, созданного двумя витками?
а) 2 мкТл; б) 0 мкТл; в) 2 мкТл; г) 4 мкТл.
15.18э. Две положительно заряженные частицы движутся по параллельным линиям на некотором расстоянии друг от друга. Магнитная сила, дейст-вующая на правый заряд, имеет направление...
а) 1; б) 2 ; в) 3) г) 4.
45
Занятие 6 Э.Д.С. индукции и самоиндукции.
Электрические затухающие и вынужденные колебания
Рассмотрим замкнутый контур Г произ-вольной формы в неоднородном магнитном поле, который ограничивает некоторую по-верхность S (см. рис.15). Потоком индукции магнитного поля сквозь эту поверхность на-зывается величина
cosS S
BdS BdS ??
, (6.1)
где – угол между вектором B?
и нормалью n? к площадке поверхно-сти dS, которую магнитное поле пронизывает. При изменении потока Ф во времени в контуре Г возникает Э.Д.С. индукции – электродвижущая сила, равная скорости изменения маг-нитного потока (закон электромагнитной индукции Фарадея):
индddt
(6.2)
Если бы контур был сделан из проводящего вещества, то по нему потек бы электрический ток.
Поток Ф может изменяться по следующим причинам. 1) Изменяется индукция магнитного поля B
?.
2) Изменяются геометрические размеры контура, т.е. изменяется площадь S. 3) Изменяется ориентация контура в пространстве, т.е. изменяется угол . В случае 1) в пространстве возникает вихревое электрическое поле
вихрE?
, действующее на свободные электроны проводящего контура. В случаях 2) и 3) из-за перемещения проводника в магнитном поле на свободные электроны в нем действует сила Лоренца.
Рис. 15
46
Если рассмотреть контур, по которому протекает ток I (см. рис.16), то индукция B
?
порождаемого этим током магнитного поля создает сквозь поверхность контура поток, пропорциональный силе тока I:
L I , (6.3)
где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Если ток в контуре начинает изменяться, то в нем возникнет Э.Д.С. самоиндукции:
самоинд
d L Idt
(6.4)
Знак "–" в формулах (6.2) и (6.4) означает, что при изменении маг-нитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая Э.Д.С., которая стремится уменьшить изменение потока. Это пра-вило Ленца. В результате увеличения силы тока на рис. 16, а следова-тельно и индукции B
?, возникает вихревое электрическое поле, на-
правленное против тока I в контуре.
Пример задачи Квадратный проводящий контур со стороной b = 1 м пронизывает однородное магнитное поле под углом = 30 к плоскости контура. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону 8
0B t B t . Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 1 с, если
0B 1 Тл; = 1 с. Решение:
Определим зависимость магниного потока от времени:
8 2
2 88
00
1cos cos 90 cos602
B btBS BS B b t
По формуле (6.2) определим модуль Э.Д.С. индукции: 2 2
8 7инд 8 8
0 0 8 42 2
B b B bd t tdt
В
Ответ: 4 В
Рис. 16
47
Пример задачи По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Найти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 1 с, если и ток и индуктивность изменяются со временем по законам
6
0tL t L
, 0tI t I
, где 0L 1 Гн; 0I 1А; = 1 с.
Решение: Воспользуемся формулой (6.4):
6 6
0 7самоинд 7 7
0 0 00 0
77
d L I L I L I td t t dL I tdt dt dt
В.
Электрические затухающие колебания Уравнение затухающих колебаний в контуре (см.
рис.17), состоящем из последовательно соединенных рези-стора с сопротивлением R, конденсатора с емкостью С и катушки с индуктивностью L, выглядит так: 0 0exp cosq A t t , (6.5) где 0 – начальная фаза колебаний, – циклическая час-
тота собственных затухающих колебаний. 2 2
0 ; (6.6) Коэффициент затухания и циклическая частота собственных незатухаю-щих колебаний 0 определяются так:
2RL
; 01LC
(6.7)
Логарифмический декремент затухания и время релаксации (время, за которое амплитуда уменьшится в е = 2,72 раз) определяются так:
T . 1
(6.8)
Амплитуда колебаний в контуре уменьшается со временем по закону: 0 expA A t , (6.9) где 0A – начальная амплитуда. Так как энергия незатухающих и слабозату-хающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды 2W A? , то, ис-пользуя (6.9), получим: 2
0 exp 2W A t ? (6.10)
Рис.17
48
Пример задачи
В контуре совершаются свободные слабозатухающие колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяет-ся во времени по закону 0 exp sinq q at bt . Оцените время, через которое энергия контура уменьшится в 2 раза. 0q 1 мкКл; a 0,05 с–1; b 10 c–1. Каким станет коэффициент затухания, если:
а) сопротивление R в контуре увеличить в 2 раза? б) индуктивность L в контуре увеличить в 2 раза? в) емкость С в контуре увеличить в 2 раза?
Решение: Энергия контура W пропорциональна квадрату амплитуды коле-баний, поэтому, используя формулу (6.9) и учитывая, что = а = 0,05 с–1, получим: 2 2 2
0atW A q e?
Из отношения энергий контура в начальный момент времени и в мо-мент времени t
220 0
2 21 0
2atat
W q eW q e
найдем время ln 2 ln 2 6,932 0,1
ta
с
из формулы (6.7) следует, что а) если сопротивление в контуре увеличить в два раза, то коэффициент
затухания увеличится также в два раза: 22
11
22
2 2RR
L L
= 0,1 с–1;
б) при изменении индуктивности в два раза, коэффициент затухания
уменьшится в два раза: 12
2 12 2 2 2R RL L
= 0,025 с–1;
в) при изменении емкости в два раза коэффициент затухания не изме-нится, так как он не зависит от емкости С (см. формулу (6.7)).
Ответы: t = 6,93 c; а) = 0,1 с–1; б) = 0,025 с–1; в) = 0,05 с–1.
49
Электрические вынужденные колебания. Если в контур включить внешний источник, ЭДС которого меняется по гармоническому закону
0 вcos t , то в контуре установятся вынужден-ные гармонические колебания с частотой источника
в и амплитудой 0q . Зависимость заряда на конден-саторе от времени будет выглядеть так: 0 вcosq q t (6.11) Для того чтобы найти выражение для силы тока в цепи продифференци-руем (6.11) по времени:
0 в в 0 вsin cos2
dqI q t I tdt
, (6.12)
где 0 0 вI q – амплитуда тока Для расчета падения напряжения на катушке индуктивности используют выражение для ЭДС самоиндукции, но с противоположным знаком
LU L dI dt . Подставляя сюда выражение (6.12), получим: 2
0 в в 0 вcos cosL LU Lq t U t , (6.13)
где 20 0 вLU q L – амплитудное значение напряжения на катушке индуктив-
ности. Теперь можно проанализировать фазы колебаний напряжений на элемен-тах контура: на конденсаторе, катушке индуктивности и резисторе. Напряжение на конденсаторе можно найти из (6.11):
0в 0 вcos cosC C
qqU t U tC C
, (6.14)
где 0 0CU q C – амплитуда напряжения на конденсаторе. Из (6.14) и (6.13) видно, что напряжения на конденсаторе и на катушке индуктивности колеб-лются в противофазе. Напряжение на резисторе находим из закона Ома и (6.12):
0 в в 0 вcos cos2 2R RU IR q R t U t
, (6.15)
где 0 0 вRU q R – амплитуда напряжения на резисторе. Из (6.15) и (6.14)
видно, что напряжение на резисторе опережает по фазе на 2 напряжение на
конденсаторе. Так как элементы контура соединены последовательно (см. рис.18), то напряжение на клеммах источника есть сумма напряжений на конденсаторе, катушке и резисторе. Но складывать такие напряжения надо с учетом фаз, то есть использовать фазовую диаграмму.
Рис.18
50
Из рис. 19 видно, что 2 20 0 0 0C L RU U U (6.16)
Подставив в (6.16) выражения для амплитуд напря-жений из (6.13), (6.14) и (6.15), получим выражение – амплитудно-частотную характеристику для заряда
00 22 2 2
в в1q
C L R
или
00 22 2 2 2
0 в в4q
L
(6.17)
Запаздывание колебаний заряда по фазе от коле-баний внешней ЭДС находим как угол в треугольни-ке из рис.19:
0 в в2 2 2
0 0 в 0 в
21
R
C L
U RtgU U C L
(6.18)
Если (6.16) разделить на амплитуду тока 0I из (6.12), то можно найти полное сопротивление цепи или импеданс:
2 22 20в в
0
1C LZ X X R C L RI
(6.19)
где 0 0 вL LX U I L – реактивное индуктивное сопротивление; 0 0 в1C CX U I C – реактивное емкостное сопротивление; 0 0RR U I – активное сопротивление резистора. Выражение C LX X X называют полным реактивным сопротивлением цепи. Из (6.19) можно найти выражение, называемое амплитудно-частотной характеристикой для тока:
00 2 2
в в1I
C L R
. (6.20)
Анализируя амплитудно-частотные характеристики (6.17) и (6.20) для заряда и тока, можно найти резонансные частоты, при которых амплитуды 0q и 0I достигают максимума: 2 2
рез q 0 2 и рез 0I (6.21) Из (6.21) видно, что резонансная частота для заряда на конденсаторе меньше, чем для тока. Но если затухание слабое, т.е. 0 ? , то эти частоты можно приблизительно считать равными.
Рис.19. Фазовая диаграмма напряжений
51
Задачи для работы на практическом занятии. 6.1. Круговой проводящий виток радиуса R = 1 м про-
низывает однородное магнитное поле под углом = 60 к нормали витка. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону 5B t At , где А = 3 Тл/с5. Найти мо-
дуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 2 с Ответ: 376,8 В
6.2. Квадратный проводящий контур со стороной b = 50 см пронизывает однородное магнитное поле под углом =30 к плоскости контура. Индукция магнит-ного поля меняется со временем по закону 3B t At ,
где А = 4 Тл/с3. Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 3 с. Ответ: 13,5 В
6.3. По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Най-ти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 2 с, ес-ли и ток и индуктивность изменяются со временем по законам 2L t At и I t Bt , где А = 3 Гн/с2; В = 4 А/с Ответ: 144 В;
6.4э. В катушке с индуктивностью L = 1 Гн течет ток, изменяющийся со временем так, как показано на рисунке. Найти модуль среднего значения ЭДС само-индукции в интервале времени от t1 = 0 до t2 = 20 с. а) 0,8 В; б) 0,3 В; в) 0,2 В; г) 0;
6.5э. Рамка с площадью S = 10–2 м2 расположена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Величина ин-дукции меняется в зависимости от времени по закону
2 22 5 10B t Тл. Чему равен магнитный поток сквозь рамку?
а) 0; б) 2 42 5 10Ф t Вб; в) 410 10t Вб; г) 3 42 5 3 10t t Вб.
6.5. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону 0 exp 4 sin 3q q t t , где 0q 1 мкКл. Найти ло-гарифмический декремент затухания контура . Каким станет период колебаний, если уменьшить сопротивление R до нуля?
Ответы: =8,37, Т = 1,256 c.
52
6.6. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону 0 exp 5 sin 4 3q q t t , где 0q 3 мкКл. Каким станет время релаксации колебаний, если:
а) одно сопротивление R убрать из контура? б) добавить последовательно еще одно сопротивление R? Ответы: а) 0,4 c; б) 0,133 c;
6.7. В контуре совершаются свободные слабозатухающие колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону 0,1
0 sin 3tq q e t , где 0q 5 мКл. Во сколько раз уменьшится энергия контура за t = 1 с?
Ответ: 1,22 раза
6.8э. На рисунке изображен график затухаю-щих колебаний электрического заряда на конденса-торе, описываемый уравнением
0 1sintq t A e t . Определите время релаксации (в сек). а) 1 с; б) 2 с; в) 3 с; г) не хватает данных;
6.9э. На рисунке изображена резонансная кривая для тока в катушке индуктивности колебательного кон-тура, состоящего из конденсатора с емкостью С, катуш-ки с индуктивностью L и резистора с сопротивлением R. Если С = 5 мкФ, то индуктивность L равна:
а) 40 Гн; б) 5 Гн; в) 2,5 Гн; г) не хватает данных 6.10э. Сопротивление, катушка индуктивности и
конденсатор соединены последовательно и подклю-чены к источнику переменного тока, изменяющегося по закону 0,1cos 3,14I t (А). На рисунке представ-лена фазовая диаграмма падений напряжений на ука-занных элементах. Амплитудные значения напряже-ний соответственно равны: на сопротивлении 4RU
В, на катушке индуктивности 5LU В, на конденсаторе 2CU В. Уста-новите соответствие между сопротивлением и его численным значением. 1. Активное сопротивление 2. Реактивное сопротивление 3. Полное сопротивление
а) 40 Ом б) 30 Ом; в) 50 Ом; г) 20 Ом
Ответ: 1. – а); 2 – б); 3 – в)
53
6.11. Индуктивность контура L = 0,6 Гн, его ёмкость С = 1 мкФ. При частоте внешней ЭДС
1000 с–1 амплитуда тока в три раза меньше резонансной. Найти активное сопротивление контура.
Ответ: 141,4LωCω
18
1R
Ом.
Задачи для самостоятельной работы.
6.12с. Круговой проводящий виток радиуса R = 2 м пронизывает однородное магнитное поле под углом = 30 к нормали витка. Индукция магнитного поля ме-няется со временем по закону 4B t At , где А = 5
Тл/с4. Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент t = 2 с. Ответ: 1740 В
6.13с. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во време-ни по закону 0 exp 4 sinq q t bt , где 0q 3 мкКл. Найти циклическую частоту колебаний, если логарифми-ческий декремент затухания контура равен = 2. Ответ: 12,56 c–1
6.14с. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во вре-мени по закону 0 exp 4 sin 3q q t t , где 0q 2 мкКл. Каким станет время релаксации колебаний, если: а) добавить параллельно еще одно сопротивление R?
б) убрать одно сопротивление R? Ответы: а) 0,375 c; б) 0,125 c;
6.15с. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во вре-мени по закону 0 exp 4 sin 3q q t t , где 0q 4 мкКл.
Каким станет коэффициент затухания, если: а) убрать одно сопротивление R?
б) добавить параллельно еще одно сопротивление R? Ответы: а) 8 c–1; б) 2,67 c–1.
54
6.16э. На двух рисунках представлены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) разных величин в колебательном контуре, состоящем из конденсатора с ем-костью С, катушки с индуктивностью L и резистора с сопротивлением R. Рисунки I
и II могут соответствовать АЧХ следующих величин: а) I - заряд на конденсаторе; II- ток в катушке; б) I - заряд на конденсаторе; II- напряжение на конденсаторе; в) I - ток в катушке; II- заряд на конденсаторе;
6.17э. Сопротивление, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно и под-ключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону 0 cosU U t (В). На рисунке (см. задачу 6-4к) представлена фазовая диаграмма падений напряжений на указанных
элементах. Установите соответствие между амплитудными значения-ми напряжений на этих элементах и амплитудным значением напря-жения источника. 1. RU = 4 В, LU = 5 В, CU =2 В 2. RU = 2 В, LU = 1 В, CU =2 В
а) 5В б) 5 В в) 11 В
Ответ: 1 – а); 2 – б)
6.18э. В однородном магнином поле, с равно-мерно возрастающей скоростью перемещается проводящая перемычка (см. рис.). Если сопротив-лением перемычки и направляющих можно пре-небречь, то зависимость индукционного тока от
времени можно представить графиком ...
а) б ) в) г)
55
Занятие 7 Уравнения Максвелла.
Электромагнитные волны. Вектор Пойнтинга. Переменное магнитное поле с индукцией B
? порождает в про-
странстве вихревое электрическое поле с напряженностью E?
, для ко-торого теорема о циркуляции в интегральном и дифференциальном виде записывается так:
BEdl dSt
?? ??
? и rot BEt
??
. (7.1)
Вихревое магнитное поле с напряженностью H?
порождается в пространстве токами проводимости с плотностью j
? и переменным
электрическим полем с индукцией D?
. Теорема о циркуляции вектора H?
в интегральном и дифференциальном виде выглядит так:
DHdl jdS dSt
?? ? ?? ?
? и rot DH jt
?? ?
, (7.2)
где смD jt
??
– называют плотностью тока смещения.
Если к уравнениям (7.1) и (7.2), являющимся теоремами о цирку-ляции векторов E
? и H
?, добавить теоремы Гаусса в интегральном и
дифференциальном виде для векторов D?
и B?
DdS dV
??? и div D
?, (7.3)
где – объемная плотность сторонних зарядов.
0BdS ??
? и div 0B ?
, (7.4) то получится система уравнений Максвелла (7.1) – (7.4), которая до-полняется материальными уравнениями 0 0, ,D E B H j E
? ? ? ? ??, (7.5)
которые справедливы в изотропном неферромагнитном веществе в слабых полях. Здесь - диэлектрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость среды, - удельная проводимость среды. 0 = 128,85 10 Ф/м– электрическая постоянная. 0 = 74 10 Гн/м – магнитная постоянная.
56
Пример задачи Между обкладками плоского воздушного конденстатора создано однородное электрическое поле, напряженность которого меняется со временем по закону
0 sin 2E E t . Найти модуль ротора напряженности магнитного поля (или плотность тока смещения) внутри
конденсатора в момент времени t = 0,5 с, если 0E 1 кВ/м. Решение:
Между обкладками конденсатора нет токов проводимости, т.е. 0j ?
. Так как конденсатор воздушный, то диэлектрическая проницаемость среды = 1, следовательно из формулы (7.3) 0D E
? ?. По формуле (7.2) найдем
модуль ротора H?
в момент времени t = 0,5 c:
12 3 9 2
0 0 0 0 02 2 2rot sin cos
8,85 10 10 2 3,14 1 55,6 10 А/м
D E t tH E Et t t
? ??
Ответ: 55,6 нА/м2
Пример задачи. Между полюсами магнита создано однродное магнитное поле, индукция которого зависит от времени по закону
0 cos2tB B
. Найти модуль напряженности электриче-
ского поля между полюсами на расстоянии r = 5 см от оси
магнита в момент времени 13
t с, если 0B 2 Тл.
Решение: По формуле (7.1) в интегральном виде найдем циркуляцию E
? по замкну-
тому контуру в виде окружности радиуса r с осью, совпадающей с осью магнита, и выразим модуль напряженности:
202 sin
2 2B tEdl E r dS B rt
?? ??
?
0 sin 2 0,05 sin 0,0394 2 4 6
tE B r
В/м
Ответ: 39 мВ/м
57
Пространственная конфигу-рация электромагнитного поля в волне изображена на рис.20, из которого видно, что вектор на-пряженности электрического поля E
?, вектор напряженности
магнитного поля H?
и фазовая скорость эмv? составляют пра-вую тройку векторов.
Уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси х, записывается как для вектора E
?, так и для H
?:
2 2
2 2 2эм
1v
E Ex t
? ?,
2 2
2 2 2эм
1v
H Hx t
? ?, эм
0 0
1v
(7.6)
где – магнитная проницаемость среды (=1 для вакуума и воздуха), – ди-электрическая проницаемость среды. Решение уравнения (7.6) в общем виде есть произвольная функция, зави-
сящая от выражения эмvxt
, т.е.
эм
,vxf t x f t
Частным случаем решения (7.6) является уравнение плоской электромаг-нитной волны:
0
0
cos
cos
E E t kx
H H t kx
? ?
? ? , (7.7)
где – циклическая частота колебаний векторов E?
и H?
, эмv
k – волновое
число. Из (7.7) следует, что колебания электрического и магнитного векторов происходят в одной фазе с амплитудами 0E
? и 0H
?. Величины этих амплитуд
связаны соотношением:
0 0
0 0
EH
или 0 0 0 0E H , (7.8)
откуда следует равенство объемных плотностей энергии магнитного и элек-трического поля в волне:
2 2
0 0 0 0
2 2эл магнE Hw w
(7.9)
Рис.20.
58
Вектор Пойнтинга (плотность потока энергии электромагнитной волны) wJ E H
? ? ?, (7.10)
направлен по скорости волны эмv? (см. рис.20). Вектор Пойнтинга можно выразить через объемную плотность электро-магнитной энергии эм эл магнw w w :
эмvw эмJ w ? ? (7.11)
Энергия, переносимая электромагнитной волной через произвольную по-верхность S за время , находится как
0
wS
W J dSdt
??
(7.12)
Электромагнитная волна, падающая под углом к нормали поверхности и частично отражаемая ею, оказывает на нее давление:
21 coswr J
pc
, (7.13)
где r – коэффициент отражения.
Задачи для работы на практическом занятии. 7.1. Между обкладками плоского воздушного конден-
статора создано переменное однородное электрическое поле. Найти плотность тока смещения внутри конденса-тора в момент t = 0,5 с, если напряженность электриче-ского поля меняется со временем по закону а) 2E At , где А = 2 кВ/мс2;
б) cosE A t , где А = 3 кВ/м, 2
с–1;
Ответы: а) 70,8 нА/м2; б) 29,5 нА/м2 7.2. Между полюсами магнита создано переменное однородное магнитное
поле. Найти модуль электрической силы, действующей на за-ряженную частицу с зарядом q = 4 мкКл, находящуюся на расстоянии 1 см от оси магнита в момент t = 2 с. Индукция магнитного поля зависит от времени по закону
а) 0 expB t B t , где 0B = 4 Тл, = 0,01 с–1;
б) 20 sinB B t , где 0B = 3 Тл,
6
с–1.
Ответы: а) 107,84 10 Н; б) 82,7 10 Н
59
7.3. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в диэлектри-ке, описывается волновой функцией bt)cos(axuu 0 , где а = 0,04 м –1,
16 c106b . Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика . Ско-
рость света в вакууме равна с = 8103 м/с. Ответ: = (ac/b)2 = 4.
7.4э. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ,
имеет вид 310 20,01
i t xe
. Тогда скорость распространения волны (в м/с)
равна ... а) 1000 м/с; б) 2 м/с; в) 500 м/с; г) 0,002 м/с;
7.5э. На рисунке показана ориентация векторов напря-женности электрического E
? и магнитного H
? полей в
электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении ...
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;
7.6э. В электромагнитной волне векторы напряженности электрического и магнитного полей колеблются так, что разность фаз их колебаний равна ... а) 0; б) ; в) /2; г) /4. 7.7э. На черную пластинку падает свет. Если объемную плотность элек-тромагнитной энергии волны увеличить в 2 раза, а площадь пластины уменьшить в 2 раза, то давление света на пластину... а) в 2 раза уменьшится; б) в 2 раза увеличится; в) в 4 раза увеличится; г) в 4 раза уменьшится; д) не изменится. 7.8э. Параллельный пучок света падал на зачерненную плоскую поверх-ность под углом 45 к нормали и производил на нее давление p. Какое давле-ние будет производить тот же пучок света, падая нормально на зеркальную плоскую поверхность? а) p б) 2p в) 4p г) 8p
7.9э. Следующая система уравнений Максвелла:
L S
BEdl dSt
?? ??
? ; L S
DHdl dSt
?? ??
? ;
0S
DdS ??
? ;
0S
BdS ??
?
всегда справедлива для переменного магнитного поля ... а) при наличии заряженных тел и токов проводимости; б) в отсутствие заряженных тел и токов проводимости; в) в отсутствие заряженных тел; г) в отсутствие токов проводимости;
60
7.10э. В кольцо из диэлектрика вдвигают магнит. В этом случае в диэлектрике... а) порождается вихревое электрическое поле; б) ничего не происходит; в) порождается электростатическое поле;
7.11. Напряжённость однородного аксиально симметричного электрического поля меняется со временем по закону: Е = t2 , где )сB/(м10α 28 . Какая энергия пересечёт цилиндрическую поверх-ность радиуса r = 1 см и длины b = 1 м за
промежуток времени 0 t 1 c? Ответ: W = 0 2 t4 r2 b / 2 = 13,9 Дж.
Задачи для самостоятельной работы.
7.12c. Между обкладками плоского воздушного кон-денстатора создано переменное однородное электриче-ское поле. Найти модуль индукции магнитного поля на расстоянии 5 см от оси конденсатора в момент t = 0,25 с, если напряженность электрического поля меняется со
временем по закону а) 0 expE E t , где Е0 = 3 кВ/м; = 0,1 с–1
б) 20 cosE E t , где Е0 = 5 кВ/м,
2
с–1;
Ответы: а) 178,13 10 Тл; б) 143,08 10 Тл
7.13c. Между полюсами магнита создано переменное однородное магнитное поле. Найти модуль электриче-ской силы, действующей на заряженную частицу с заря-дом q = 5 мкКл, находящуюся на расстоянии 2 см от оси магнита в момент t = 2 с. Индукция магнитного по-ля зависит от времени по закону
а) 3B t At , где А = 6 Тл/с3;
б) 0 sinB B t , где 0B = 3 Тл, 6
с–1.
Ответы: а) 3,6 мкН; б) 1,96 мкН
61
7.14э. Следующая система уравнений Максвелла:
L S
BEdl dSt
?? ??
? ; L S
DHdl dSt
?? ??
? ;
iS
DdS q??
? ;
0S
BdS ??
?
всегда справедлива для переменного магнитного поля ... а) при наличии заряженных тел и токов проводимости; б) в отсутствие заряженных тел и токов проводимости; в) в отсутствие заряженных тел; г) в отсутствие токов проводимости;
7.15э. В кольце из металла находится магнит. В этом случае в кольце... а) порождается вихревое электрическое поле; б) ничего не происходит; в) порождается электростатическое поле;
7.16э. На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического E
? и магнитного H
?
полей в электромагнитной волне. Скорость волны на-правлена по ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;
7.17э. Параллельный пучок света падал на зеркальную плоскую поверхность под углом 45 к нормали и производил на нее давление p. Какое давление будет производить тот же пучок света, падая нор-мально на зачерненную плоскую поверхность? а) p б) 2p в) 4p г) 8p
62
8. Дополнительная глава. Использование теоремы Гаусса в дифференциальной
и интегральной формах.
Электрическое поле можно изобразить графи-чески, нарисовав силовые линии. Силовая линия – это линия в силовом поле, в каждой точке которой напряженность электрического поля E
? направле-
на по касательной. Следовательно, если поместить покоящуюся заряженную частицу в электрическое поле, то она начнет двигаться вдоль силовой ли-
нии. Модуль напряженности E
? на графическом изображении поля
можно определить, как густоту силовых линий, т.е число линий, пере-секающих единичную поперечную площадку:
dNEdS
. (8.1)
Тогда число силовых линий, пересекающих площадку можно най-ти следующим образом: EdN E dS E dS dФ
??, (8.2)
где вектор dS?
по модулю равен площади dS и направлен по нормали к этой площадке. Величина EdФ в формуле (8.2) называется потоком вектора напряженности электрического поля E
? через площадку dS
?.
Чтобы рассчитать поток через большую площадь S любой формы надо проинтегрировать формулу (8.2): E
S
Ф EdS ??
(8.3)
Можно доказать теорему Гаусса для напряженности электрическо-го поля в вакууме:
0 0
1 1E i
S V
Ф EdS q dV
??? (8.4)
– поток вектора напряженности электрического поля E?
сквозь произ-вольную замкнутую поверхность, равен сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на 0 , где, 12
0 8,85 10 Ф/м – электрическая постоянная, – плотность заряда.
Рис.21
63
С помощью теоремы Остроградского для вектора напряженности электрического поля div
S V
EdS EdV ?? ?
? (8.5)
можно получить теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальном виде для напряженности электрического поля в вакууме:
0 0
1div divV S V
EdV EdS dV E
?? ? ?
? (8.6)
Наряду с теоремой Гаусса для напряженности электрического поля часто применяют теорему Гаусса для вектора электрической индукции D?
, которая включена в систему уравнений Максвелла (7.3) iDdS dV q
??? или div D
?.
В формулах (8.5) и (8.6) используется дифференциальный оператор div или "дивергенция", который для вектора E
? записывается так:
div yx zEE EEx y z
?. (8.7)
Пример задачи. Напряженность электростатического поля задается формулой
3 4 2 5E i Ax y j By x ? ? ?
, где А = 3 В/м8, В = 4 В/м8. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность за-ряда в точке 0 0,P x y , где 0 1x м, 0 2y м.
Решение: Из векторного выражения для E
? видно, что
3 4xE Ax y и 2 5
yE By x
По формуле (8.7) вычислим div E?
:
3 4 2 5 2 4 5 4div 3 2 3 3 2 2 4 2 160E Ax y By x Ax y Byxx y
? В/м
Из формулы (8.6) рассчитаем 12 9
0 div 8,85 10 160 1,42 10E ?
Кл/м3.
Ответ: 1,42 нКл/м3
64
Пример задачи. Из двух круговых прямых конусов с углом раствора = 10 и радиусом основания R = 2 см составлена фигура, вдоль оси симметрии которой помещен рав-номерно заряженный отрезок длиной l =6 см с ли-нейной плотностью заряда = 2 мкКл/м. Середина отрезка совпадает с центром фигуры. Найти поток вектора электрического смещения через поверхность
одного из конусов. Решение:
В общем случае расчет потока электрического смещения через за-штрихованную область конуса по формуле DdS
??? вызывает огромные
трудности. Но заряженный стержень расположен на оси конуса симмет-рично относительно плоскости основания конуса. Таким образом, можно сделать вывод, что поток через заштрихованную область равен половине потока через всю поверхность фигуры на рис.22. Поток вектора D
? через замкнутую поверхность можно рассчитать по
закону Остроградского-Гаусса по формуле (7.3): 62 10 0,06 120i
S
DdS q l ??
? нКл.
Откуда следует ответ: 1202DФ = 60 нКл
Пример задачи Заряд q = 4 нКл помещен в центр сферы радиуса R = 2 м. Найдите поток вектора напряженности электриче-ского поля сквозь небольшую область поверхности сферы площадью S = 50 см2.
Решение: Напряженность электрического поля, созданного
точечным зарядом, направлена вдоль радиуса сферы, т.е. вдоль нормали к поверхности сферы. Угол между вектором E
? и любой площадкой на
сфере dS?
равен 0. Модуль напряженности на поверхности сферы равен
2
kqER
. Поток вектора E?
можно легко рассчитать по формуле (8.3):
9 9 40
2 2 2
9 10 4 10 50 10cos0 0,0452E
S S
kq kqSФ EdS dSR R
?? Вм.
Рис.22
65
Задачи для работы на практическом занятии. 8.1. Напряженность электростатического поля задается формулой а) 2 3E i Ax j By
? ? ?, где А = 2 В/м3, В = 3 В/м4;
б) 2 33E i Ax y j Ax ? ? ?
, где А = 5 В/м4. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объ-емную плотность заряда в точке 0 0,P x y , где 0 1x м, 0 2y м. Ответы: а) 0,354 нКл/м3; б) 0,266 нКл/м3. 8.2 Напряженность электростатического поля задается формулой а) sin cosE i A Bx j C Dy
? ? ?;
б) exp expE i A Bx j C Dy ? ? ?
. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объ-емную плотность заряда в точке 0 0,P x y .
1A В/м, 2B рад/м, 3C В/м, 4D рад/м, 0 1x м, 0 2y м. Ответы: а) – 0,11 нКл/м3; б) 122,4 10 Кл/м3
8.3 Заряд q помещен в центр куба со стороной a . Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь одну грань. 1q нКл, 1a см.
Ответ: 19 Вм 8.4 Заряд q помещен в центр верхней грани куба со стороной a . Найдите поток вектора электрического
смещения через все остальные грани. 1q нКл, 1a см. Ответ: 0,50 нКл
8.5 Заряд 1q помещен в центр сферы, а заряд 2q – на расстоянии 2R от центра. Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность сферы. 1 5q нКл, 2 3q нКл, 3R м.
Ответ: 904 Вм 8.6э. Точечный заряд +q находится в центре сферической поверхно-сти. Если добавить заряд +q за пределами сферы, то поток вектора напряженности электростатического поля E
? через поверхность сферы
... а) увеличится в 2 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) не изменится
66
8.7. Внутрь сферы радиуса R помещено равно-мерно заряженное кольцо радиуса r и линейной плотностью заряда . Центр кольца совпадает с цен-тром сферы. Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность сферы.
4 нКл/м, 2R м, 1r см. Ответ: 28 Вм 8.8. Над бесконечной плоской поверх-ностью, равномерно заряженной с поверхно-стной плотностью заряда , расположена круглая пластинка, центр которой лежит на расстоянии h . Плоскости пластинки и по-
верхности расположены под углом . Найти поток вектора напря-женности электрического поля сквозь поверхность пластинки.
1 нКл/м2, 030 , 1R см, 5h м. Ответ: 15 мВм 8.9 Электрическое поле создается бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхност-ной плотностью заряда . На плоскость положили четверть сферы радиуса R . Найти поток вектора
электрического смещения через поверхность четверти сферы. 2 мКл/м2, 2R см. Ответ: 628 нКл
8.10 Электрическое поле создается бесконечной прямой равномерно заряженной нитью с линейной плотностью заряда . На большом удалении r рас-положена круглая пластинка радиуса R . Угол меж-ду плоскостью пластинки и перпендикуляром к ни-ти, проходящим через центр пластинки, равен .
Найти поток вектора электрического смещения через поверхность пластинки. 1 мКл/м, 030 , 1R см, 12r м, 5h м.
Ответ: 2,1 нКл 8.11э. Частица с зарядом q находилась у вершины конуса снаружи (рис.а). Ее пе-реместили в центр основания (рис.б). При этом величина потока вектора напряжен-ности электрического поля сквозь боко-
вую поверхность конуса ... а) увеличилась б) уменьшилась в) не изменилась г) не хватает данных о соотношении высоты конуса и его радиуса
67
8.12э. Дана система точечных зарядов в вакууме и замкнутые поверхности S1, S2 и S3. Поток вектора напряженности электростатического поля равен нулю через ...
а) 1S ; б) 2S ; в) S3; г) S1 и S3; д) нет такой поверхности
8.13э. Электрический заряд q распреде-лен равномерно внутри сферы радиуса R1. Радиус сферы увеличили до R2 = 2R1, и заряд равномерно распределился по новому объе-му. Во сколько раз уменьшился поток векто-ра напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиуса R1.
1) не изменился 2) в 2 раза 3) в 4 раза 4) в 8 раз
Задачи для самостоятельной работы.
8.14с. Заряд 1q помещен в центр сферы, а заряд 2q – на расстоянии b от центра. Найди-те поток вектора напряженности электриче-ского поля сквозь поверхность сферы.
1 5q нКл, 2 3q нКл, 3R м, 5b м. Ответ: 565 Вм
8.15с. Заряд q помещен в центр сферы радиуса R . Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь три четверти сферы.
4q нКл, 1R см. Ответ: 339 Вм
8.16с. Над бесконечной плоскостью, равно-мерно заряженной с поверхностной плотностью заряда , в параллельной плоскости на расстоя-нии h расположен небольшой круг радиуса R .
Найти поток вектора напряженности электрического поля сквозь по-верхность круга. 1 нКл/м2, 3R см, 1h м. Ответ: 160 мВм
68
8.17с. Электрическое поле создается бесконеч-ной прямой равномерно заряженной нитью с линей-ной плотностью заряда . На большом удалении r расположена круглая пластинка радиуса R . Нить проходит параллельно плоскости пластинки. Найти поток вектора электрического смещения через
поверхность пластинки. 2 мКл/м, 1R см, 5r м. Ответ: 20 нКл 8.18э. Частица с зарядом q находилась у вершины конуса снаружи (рис.а). Ее перемес-тили вдоль оси конуса в точку рядом с верши-ной, но внутри (рис.б). При этом величина по-тока вектора напряженности электрического поля сквозь боковую поверхность конуса ...
а) увеличилась б) уменьшилась в) не изменилась г) не хватает данных о соотношении высоты конуса и его радиуса 8.19э. Электрический заряд q распреде-лен равномерно внутри параллелепипеда квадратного сечения b1b1 и высотой h. Ребро квадратного сечения увеличили до b2 = 3b1, оставив высоту без изменения, и за-ряд равномерно распределился по новому объему. Во сколько раз уменьшился поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность па-раллелепипеда с квадратным сечением b1b1. 1) в 3 раза 2) в 9 раз 3) в 27 раз 4) не изменился
8.20э. Дана система точечных зарядов в ва-кууме и замкнутые поверхности S1, S2 и S3. Поток вектора напряженности электростатического по-ля равен нулю через ...
а) 1S ; б) 2S ; в) 3S ; г) S1 и S3; д) нет такой поверхности 8.21c. Напряженность электростатического поля задается форму-лой cos expE i A Bx j C Dy
? ? ?;
Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объ-емную плотность заряда в точке 0 0,P x y .
1A В/м, 2B рад/м, 3C В/м, 4D м–1, 0 1x м, 0 2y м. Ответ: 111,6 10 Кл/м3.