Post on 12-Apr-2017
Комплексные числаКомплексные числаМБОУ Большемаресевская СОШ МБОУ Большемаресевская СОШ
МордовияМордовияКласс: 11Класс: 11
Учебник: Алгебра и начало анализа. Учебник: Алгебра и начало анализа. Ю. М. Колягин и др. Ю. М. Колягин и др.
(профильный уровень) (профильный уровень) Учитель: Коршунов В.Ю.Учитель: Коршунов В.Ю.
Год создания: 201Год создания: 20166
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.
Понятие комплексного числа
Х+А=В - недостаточно положительных чисел
А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на множестве рац.чиселХ²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные числа
Х+5=2
Иррациональные числа
Рациональные числа
Действительные числа
Решение квадратных уравнений
А · Х²+ В ·Х+ С =0При D<0 действительных корней
нет
Иррациональные числа
Рациональные числа
Действительные числа
+
Иррациональные числа
Рациональные числа
Действительные числа
+
Комплексные числа
Вид комплексного числа
Х²=-1Х=i -корень уравненияi- комплексное число, такое , что
i²=-1
А + В· iЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ
А и В – действительные числаi- некоторый символ , такой, что
i²= -1А – действительная частьВ – мнимая частьi – мнимая единица
А + В· i
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
Модуль комплексного числа
Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕZ= А + В· i
(Z) = Z
Комплексно сопряженные числа.
Z = A + B i= 22 ВА
Тригонометрическая форма комплексного числа
Z =rφ- аргумент аргумент комплексного числаZ=r cos φ + i Z sin φ == r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не определяется
Т.к Z =r =
22 ВА Z= А + В· i= cosφ+i sinφ
22 ВА
22 ВА
22cos
BA
A
22sin
BA
В
ABtg
Сложение и умножение комплексных чисел
Алгебраическая форма
Геометрическая форма
Сумма(A+iB) + (C+iD)=
(A+C)+(B+D)IПроизведение
Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]
Произведение (A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i
Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ)Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos
φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
)sin(cos
)]sin(cos[
ninr
irZn
nn
Формула Муавра
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n
Число Z называется корнем степени n из
числа ω (обозначается ), если (*)
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.
n
nZ
nZ
Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)
Zkknn
rили
Zkгдеknиr
ininr
n
n
n
,2,
,2
)sin(cos)sin(cos
Zkknn
iknn
Z nk )],2sin()2[cos(
Вторая формула Муавра
Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n
.0...
0,...,
01
11
1
числаыекопмплекснзаданныеaaгдеaZaZaZa
n
nn
nn
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.
Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень
Пример:Решить уравнение:
iix
ix
iix
k
Zkkikx
rr
Zkkkтогда
Zkkikir
irxZkkik
x
31))34
3sin()
34
3(cos(2
2))32
3sin()
32
3(cos(2
31)3
sin3
(cos2
...2,1,0
)),32sin
32(cos2
28
,32
23)),2sin()2(cos(8)3sin3(cos
)sin(cos)),2sin()2(cos(88
8
3
2
1
3
3
3
Свойства сложения и умножения
Переместительное свойство:
Сочетательное свойство:
Распределительные свойство:
Z1 + Z2 = Z1 +Z2 Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)
(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)
Геометрическое изображение суммы комплексных чисел
Вычитание и деление комплексных чисел
Z+ Z2 = Z1
Вычитание – операция, обратная сложению:Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )Z= Z1 - Z2 –разность
Деление – операция, обратная умножению:Z · Z2 = Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
022
1 ZZZZ
Геометрическое изображение разности комплексных чисел
Примеры:Найти разность и частное
комплексных чисел iZиiZ 4354 21
Решение:
iiZZ
iiiZZ
411
4132
25165344
25164534
1)54()43(
1
2
12