КИНЕМАТИКА ТОЧКИКИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором излагается движение точек и тел без учета их масс и действующих на них сил.

Основные задачи кинематики

Задать закон движения тела.

По этому закону найти основные кинематические характеристики (траекторию, скорость, ускорение).

Способы задания движения точки

1) Векторный.

2) Координатный.

3) Естественный.

)tΔt( +r

)t(r

MV

rΔ M1срV

X

Х

Z

Скорость точки при векторном способе задания движения

Скорость точки при векторном способе задания движения

Δt

Δr=Vср

• Средней скоростью точки называется отношения приращения радиуса вектора точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение .

Скорость точки при векторном способе задания движения

Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремиться к нулю, т.е.

•

→=== r

rrV

dt

d

Δt

Δlim

0Δt

Скорость точки при координатном Скорость точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения

kjir zyx ++=

kjiVdt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dr++==

dt

dxVx =

dt

dyVy =

dt

dzVz =

=> проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координате

Направление вектора скорости определяется Направление вектора скорости определяется

направляющими косинусами:направляющими косинусами:

2222

z2y

2x zyxVVVV

•••

++=++=

=V

V)v,xcos( x

V

V)v,ycos(

y=

V

V)v,zcos( z=

Модуль скорости:Модуль скорости:

Скорость точки при естественном способе задания движения

•

→=== r

rrV

dt

d

Δt

Δlim

0Δt

tΔσΔ

limσΔ

Δlim)

tΔσΔ

σΔΔ

(lim0tΔ0tΔ0tΔ →→→

•==rr

V

σΔДОМНОЖИМ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НАВЕЛИЧИНУ ДУГИ

0σΔ >

τσ

υ

σΔΔr rΔ

M

)t(r )tΔt( +r

O

σΔ

0M

1M

τrr

==→ σd

d

σΔ

Δlim

0tΔ

•

→== σ

dt

σd

tΔ

σΔlim

0tΔ

dt

σdυτ =

τV τυ=

τVdt

σd=

Ускорение точки при координатном Ускорение точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения

2222z

2y

2x zyxaaaa

••••••

++=++=

;a

a)a,ycos(

y=;

aa

)a,xcos( x= =aa

)a,zcos( z

Модуль ускорения:Модуль ускорения:

Ускорение точки при векторном Ускорение точки при векторном способе задания движенияспособе задания движения

Средним ускорением точки называется предел отношения приращение вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение.

Δср =

Δt

va

1M

2M

tΔ

Δv

υΔ2υ

2υ

1υ

Ускорение точки при векторном Ускорение точки при векторном способе задания движенияспособе задания движения

Ускорением в данный момент времени называется предел отношения приращение вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение, когда этот промежуток времени стремиться к нулю, т.е.

••

→=== r

vva

dt

d

Δt

Δlim

0Δt

Ускорение точки при координатном Ускорение точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения

kjir zyx ++=

kjirv

a 2

2

2

2

2

2

2

2

dt

zd

dt

yd

dt

xd

dt

d

dt

d++===

2

2

x dt

xda =

2

2

y dt

yda =2

2

z dt

zda =

=> проекция ускорения точки на координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей этой оси координате

Ускорение точки при координатном Ускорение точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения

2222z

2y

2x zyxaaaa

••••••

++=++=

;a

a)a,ycos(

y=;

aa

)a,xcos( x= =aa

)a,zcos( z

Модуль ускорения:Модуль ускорения:

Ускорение точки при естественным Ускорение точки при естественным способе задания движенияспособе задания движения

1τ

M τ

1M1τ

τV τυ=

( )dt

dυ

dt

υdυ

dt

d

dt

dτ

ττ

τττ

Va +===

M

n

τb

III

III

IIIIII

Соприкасающаяся плоскостьНормальная плоскость

Спрямляющая плоскость

ε

1τ

M

0M

A

BτΔ

σΔσ1τ

σΔΔτ

0σΔMM1 >=

τ

τττ -= 1Δ

,σd

d

,0σd

d

ττ

ττ

⊥

=•

2ε

sin2|Δ|AB == τ

σd

dυ

tΔ

σΔlim

σΔ

Δlim]

tΔ

σΔ

σΔ

Δ[lim

tΔ

Δlim

dt

dτ

0σΔ0tΔ0tΔ0tΔ

τττττ=•===

→→→→

ρ

1k

|σΔ|

ε

2ε

2ε

sinlim|

σΔ

Δ|lim|

σd

d|

0σΔ0σΔ====

→→

ττ

Скалярное произведение равно нулю когда вектора перпендикулярны.

σ τd

d

1τ 2 =

направлен по нормали

Ускорение точки при естественном способе задания движения

nτ

ρ1

vdtd

τ=

( ) nττV

aρ1

υdtυd

υdtd

dtd 2τ

τ τ+===

τadtυd τ

τ = naρ1

υ2n τ

=

nτ aaa +=

Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение твердого тела – это такое движение тела, при котором любая прямая проведенная в теле перемещается параллельно самой себе.

B

ρ

Ar

Вr АrΔ

ВrΔ0B

1X

Y

1Z

O

ρ

1AA

Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение твердого тела

dtd

dtd

ΔΔ

AB

AВ

rr

rr

=

=

dt

d

dt

d AB vv=

AВ vv =

одинаковытела точек всех ускорения и скорости

я,перемещенитела движении ьномпоступател При

AВ aa =

Вращательное движение твердого тела

• Вращательное движение твердого тела – это такое движение при котором какие - нибудь две точки остаются неподвижными.

• Проходящая через эти точки прямая называется осью вращения.

Z 1Z

X

1Y

φΔ

Y

1X φ

A

Вращательное движение твердого тела

( )tΔ

φΔω

срz =

( ) ( )tφtΔtφφΔ -+=

•

→=== φ

dt

φd

tΔ

φΔlimω

0tΔz

средняя угловая скорость

угловая скорость

Вращательное движение твердого тела

)t(ω)tΔt(ωωΔ zzz -+=

( )tΔ

ωΔε z

срz =

••

→==== φ

dt

φddtωd

tΔωΔ

limε 2

2zz

0tΔz

среднее угловое ускорение

угловое ускорение

Вектор угловой скорости

kkω zωdtφd

==

Вектор угловой скорости- это вектор численно равный первой производной по времени от закона изменения угла поворота, направленный по оси вращения в ту сторону, чтобы глядя с конца вектора угловой скорости вращение происходило бы против часовой стрелки.

Вектор углового ускорения

kkω

ε zz

z εdtωd

dtd

===

Вектор углового ускорения- это вектор численно равный первой производной по времени от закона изменения угловой скорости, направленный по оси вращения. При ускоренном вращении направления векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают.

Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

– неподвижная система координат

Axyz – подвижная система координат

(вращается вокруг оси Аz)

111 zyAx

kjir zyx ++=

Y

X

φ1Y

1X

1ZZ

k

Ai

j

r

φ

М

dtd

zdtd

ydtd

xdtd kjir

V ++==

==+=•••

z11 ωφφφcosφφsin- dt

djjji

i

+cos= φsinφ 11 jii

cos= φsin-φ 11 ijj

-===•••

z11 ωφ-φφcos-φφsin- dtd

iiijj

= 0dt

dk

Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

zy x= ωV

0V =z

zx -y= ωV

ijV zz -x= ωyω

Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим векторное произведение

zzzzyx ωxωy-

z y x

ω 0 0

z y x

ω ω ω

ji

kjikji

r×ω +===

r×ωV = Формула Эйлера

υ

ρ

α

ω

r

C

M

1X

1Y

1Z

O

Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

ρωαsinr=ωV •=••Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна произведению модуля угловой скорости вращения и кратчайшего расстояния от точки до оси вращения.

Ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Тело вращается вокруг оси z угловой скоростью и угловым ускорением .

Скорость точки определяется по формуле

ωε

r×ωV =

( )dtd

dtd

dtd

dtd r

ωrω

rωV

a ×+×=×==

a = ε × r + ω×V

врa = ε × r

( )= , =врa εrsin r ε ερ

осa = ω×V2= =осa ωv ω ρ

( ) ( )2 2 2 4= + = +ос врa a a ρ ε ω

2= =вр

ос

a εtgβ

a ω

υ

ρ

ε a

осa

врaβ

ω

r

C

M

1X

1Y

1Z

O

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (плоским) движением твердого тела называется такое движение тела при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.

A

B

C

1Z

1X

1Y

M

Z

XY

Аr r

Aρ

O

1Y

1X

2j

2i

B

A

O

2X

X

A1X B1X

A1Y

B1Y

Y 2Y

BY

BX

Ar

Brφ

φ

ρ

Скорость точки при плоскопараллельном движении тела

ρrr += AB

dt

d

dt

d

dt

d AB ρrr+=

BAAB vvυ +=

ρωυ ×=BA

Aυ

Bυ

A

BAυ B

0ωz >

Aυ

BAAB vvυ +=

Aυ

Bυ

A

BAυB

0ωz <

Aυ

Теореме о проекции скоростей двух точек тела

Проекции скоростей двух точек тела на прямую соединяющую эти точки равны.

A Bα

βBAυ

Bυ

Aυα Aυ

BAAB VVV +=

( ) ( ) ( )ABBAABAABB VVV +=

( ) ABVV ⊥= BAABBA т.к ,0

( ) ( )ABAABB VV =

Мгновенный центр скоростей

• Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

• Теорема: Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей существует.

2

π

Aυ

A

PAυP

zω

Aυ

Определение положения мгновенного цента скоростей

1. Известно направление скоростей двух точек тела

Aυ

Bυ

P

B

A

Aυ

Bυ

P

B

Относительно МЦС тело совершает вращательное движение

Определение положения мгновенного цента скоростей

2. Скорости двух точек тела параллельны друг другу, не равны между собой и перпендикулярны прямой соединяющей эти точки.

Aυ

Bυ

P

B

A

Aυ

Bυ

P

B

A

Определение положения мгновенного цента скоростей

3. Скорости двух точек параллельны, но не перпендикулярны прямой соединяющей эти точки.

α

α

Aυ

Bυ

P

B

A

Определение положения мгновенного цента скоростей

Тело катиться без скольжения по неподвижной поверхности. Точка касания имеет в данный момент скорость равную нулю и является мгновенным центром скоростей.

Oυ

P

O

0p =υ

Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении

BAAB vvυ +=

ρωvυ ×+= AB

dtd

dtd

dtd

dtd AB ρ

ωρωvv

×+×+=

BAAB vωρεaa ×+×+=

αAa

Ba

BAa

врBAa B

A

Aa

осBAa

Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении

ρεa ×=врВА

BAосВА vωa ×=

осВА

врBABА aaa +=

осВА

врBAAB аaaa ++=

Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении

АВερεaврВА =•=

AB

vАВωvωa

22

BAосВА

BA==•=

( ) ( )2осВА

2врBA

2 аaaBА

+=

42BА ωε=ABa +

( ) ( )2осВА

2врBA

2 аaaBА

+=

Продолжение