第九章 格与布尔代数第九章 格与布尔代数9.1 格9.1 格9.2 布尔代数9.2 布尔代数9.3 子布尔代数、积布尔代数9.3 子布尔代数、积布尔代数和布尔代数同态和布尔代数同态9.4 布尔代数的原子表示9.4 布尔代数的原子表示9.5 布尔代数9.5 布尔代数BBrr

22

9.6 9.6 布尔表达式及其范式定理布尔表达式及其范式定理退出退出

9.1 9.1 格格11 ．格作为偏序集．格作为偏序集

定义定义 9.1.19.1.1 设设 <L,≤><L,≤> 是一个偏序集，若对是一个偏序集，若对任意任意 a,b,a,b,LL ，存在，存在 glb{a,b}glb{a,b} 和和 lub{a,b}lub{a,b} ，则称，则称<L,≤><L,≤> 为格，并记为为格，并记为 a*b=glb{a,b}a*b=glb{a,b} ，， aab=lub{a,b=lub{a,b}b} ，称，称和和分别为分别为 LL 上的交（或积）和并（或上的交（或积）和并（或和）运算。称和）运算。称 <L,<L,,*>,*> 为为 <L,≤><L,≤> 所诱导的代数所诱导的代数结构的格。若结构的格。若 LL 是有限集合，称是有限集合，称 <L,≤><L,≤> 为有限为有限格。格。

格的对偶性原理是成立的：格的对偶性原理是成立的：令令 <L,≤><L,≤> 是偏序集，且是偏序集，且 <L,≥><L,≥> 是其对偶的偏是其对偶的偏

序集。若序集。若 <L,≤><L,≤> 是格，则是格，则 <L,≥><L,≥> 也是格，反之亦也是格，反之亦然。这是因为，对于然。这是因为，对于 LL 中任意中任意 aa 和和 bb ，， <L,≤><L,≤> 中中 llub{a,b}ub{a,b} 等同于等同于 <L,≥><L,≥> 中中 glb {a,b}glb {a,b} ，， <L,≤><L,≤> 中中 glbglb{a,b}{a,b} 等同于等同于 <L,≥><L,≥> 中的中的 lub{a,b}lub{a,b} 。若。若 LL 是有限集，是有限集，这些性质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。这些性质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。

从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶的从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶的两个两个 <L,≤><L,≤> 和和 <L,≥><L,≥> 有着密切关系，即格有着密切关系，即格 <L,≤><L,≤> 中中交运算交运算正是格正是格 <L,≥><L,≥> 中的并运算中的并运算，而格，而格 <L,≤><L,≤> 中的中的并运算并运算正是格正是格 <L,≥><L,≥> 中的交运算中的交运算。因此，给出关于。因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把关系≤换成≥（或格一般性质的任何有效命题，把关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成交，可得到另一者≥换成≤），交换成并，并换成交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对偶性原理。个有效命题，这就是关于格的对偶性原理。定义定义 9.1.29.1.2 设设 <L,≤><L,≤> 是格，且是格，且 SSLL 。若对任意。若对任意

a,ba,bSS ，有，有 a*ba*bSS 和和 aabbSS ，则称，则称 <S,≤><S,≤> 是格是格 <L,≤<L,≤>> 的子格。的子格。

22 ．格的基本性质．格的基本性质在证明格的性质前，回忆一下在证明格的性质前，回忆一下 a*ba*b 和和 aabb 的真正的真正含义是有好处的。含义是有好处的。①①a*b≤aa*b≤a 和和 aab≤bb≤b ，则表明，则表明 a*ba*b 是是 aa 和和 bb 的下界。的下界。②② 若若 c≤ac≤a 和和 c≤bc≤b ，则，则 c≤a*bc≤a*b ，这表明，这表明 a*ba*b 是是 aa 和和 bb的最大下界。的最大下界。

’①’① a≤aa≤abb 和和 b≤ab≤abb ，则表明，则表明 aabb 是是 aa 和和 bb 的上界。的上界。②’②’ 若若 a≤ca≤c ，且，且 b≤cb≤c ，则，则 aab≤cb≤c ，这表明，这表明 aabb 是是

aa 和和 bb 的最小上界。的最小上界。

定理定理 9.1.19.1.1 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意是格，对任意 a,ba,bLL ，，有有

① ① aab=bb=ba≤ba≤b

② ② a*b=aa*b=aa≤ba≤b

③ ③ a*b=aa*b=aaab=bb=b

亦即 亦即 a≤ba≤baab=bb=ba*b=aa*b=a

定理定理 9.1.29.1.2 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意是格，对任意 a,ba,bLL ，，有有 ① ① a*b=a, aa*b=a, aa=aa=a 。 。 （幂等律）（幂等律） ② ② a*b=b*a, aa*b=b*a, ab=bb=baa 。 （交换律）。 （交换律） ③ ③ a*(b*c)=(a*b)*ca*(b*c)=(a*b)*c

aa(b(bc)=(ac)=(ab)b)c c （结合律）（结合律） ④ ④ a*(aa*(ab)=ab)=a

aa(a*b)=a (a*b)=a （吸收律）（吸收律）

定理定理 9.1.39.1.3 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意是格，对任意 a,b,ca,b,cLL ，，有有

①① 若若 a≤ba≤b 和和 c≤dc≤d ，则，则 a*c≤b*da*c≤b*d ，， aac≤bc≤bdd 。。②② 若若 a≤ba≤b ，则，则 a*c≤b*ca*c≤b*c ，， aac≤bc≤bcc 。。③③c≤ac≤a 和和 c≤b c≤a*bc≤b c≤a*b

④④a≤ca≤c 和和 b≤c ab≤c ab≤cb≤c

定理定理 9.1.49.1.4 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意的是格，对任意的 a,b,ca,b,c

LL ，有，有aa(b*c)≤(a(b*c)≤(ab)*(ab)*(ac)c)

(a*b)(a*b)(a*c)≤a*(b(a*c)≤a*(bc)c)

通常称上二式为格中分配不等式。通常称上二式为格中分配不等式。

定理定理 9.1.59.1.5 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意的是格，对任意的 a,b,ca,b,cLL ，，有有

a≤ca≤caa(b*c) ≤(a(b*c) ≤(ab)*cb)*c

推论推论 ：在格：在格 <L,≤><L,≤> 中，对任意的中，对任意的 a,b,ca,b,cLL ，，有有

(a*b)(a*b)(a*c)≤a*(b(a*c)≤a*(b(a*c))(a*c))

aa(b*(a(b*(ac))≤(ac))≤(ab)*(ab)*(ac)c)

33 ．特殊的格．特殊的格定义定义 9.1.39.1.3 设设 <L,≤><L,≤> 是格，若是格，若 LL 中有最大元和最中有最大元和最

小元，则称小元，则称 <L,≤><L,≤> 为有界格。一般把格中最大元记为为有界格。一般把格中最大元记为 11 ，，最小元记为最小元记为 00 。。

由定义可知，对任意由定义可知，对任意 aaLL ，有，有0≤a≤10≤a≤1

a*0=0, aa*0=0, a0=a0=a

a*1=a, aa*1=a, a1=11=1

定理定理 9.1.69.1.6 设设 <L,≤><L,≤> 是有限格，其中是有限格，其中L=L={{aa11,a,a22,···,a,···,ann}} ，则，则 <L,≤><L,≤> 是有界格。是有界格。

定义定义 9.1.49.1.4 设设 <L,≤><L,≤> 是有界格，对于是有界格，对于 aaLL ，存在，存在 bbLL ，使得，使得

a*b=0a*b=0 ，， aab=1b=1称称 bb 为为 aa 的补元，记为的补元，记为 a’a’ 。。由定义可知，若由定义可知，若 bb 是是 aa 的补元，则的补元，则 aa 也是也是 bb 的补元，的补元，即即 aa 与与 bb 互为补元。互为补元。显然，显然， 0’=10’=1 和和 1’=01’=0 ，且易证补元是唯一的。，且易证补元是唯一的。一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯一，也一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯一，也可能无补元。可能无补元。

定义定义 9.1.59.1.5 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意的是格，对任意的 a,b,ca,b,c

LL ，有，有 ① ① a*(ba*(bc)=(a*b)c)=(a*b)(a*c)(a*c)

② ② aa(b*c)=(a(b*c)=(ab)*(ab)*(ac)c)

则称则称 <L,≤><L,≤> 为分配格，称①和②为格中分为分配格，称①和②为格中分配律。配律。

定义定义 9.1.69.1.6 设设 <L,≤><L,≤> 是格，对任意的是格，对任意的 a,b,ca,b,c

LL ，有，有a≤ca≤caa(b*c)=(a(b*c)=(ab)*cb)*c

称称 <L,≤><L,≤> 为模格。为模格。定理定理 9.1.79.1.7 分配格是模格分配格是模格定理定理 9.1.89.1.8 每个链都是分配格。每个链都是分配格。

定理定理 9.1.99.1.9 一个格为分配格，当且仅当它不一个格为分配格，当且仅当它不含有任何子格与这两个五元素格中任一个同构。含有任何子格与这两个五元素格中任一个同构。

定理定理 9.1.109.1.10 设设 <L,≤><L,≤> 是分配格，对任意是分配格，对任意 a,b,a,b,ccLL ，有，有

(a*b=a*c)(a*b=a*c) 且且 (a(ab=ab=ac)c)b=cb=c

定理定理 9.1.119.1.11 设设 <L,≤><L,≤> 是有界分配格，若是有界分配格，若 aa

LL ，且补元存在，则其补元是唯一的。，且补元存在，则其补元是唯一的。

定义定义 9.1.79.1.7 设设 <L,≤><L,≤> 是格，若是格，若 LL 中每个元中每个元素至少有一补元，则称素至少有一补元，则称 <L,≤><L,≤> 为有补格。为有补格。

由于补元的定义是在有界格中给出的，可由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是有界格。知，有补格一定是有界格。

定义定义 9.1.89.1.8 若一格既是有补又是分配的，若一格既是有补又是分配的，则称该格为有补分配格，或布尔格，或布尔代数。则称该格为有补分配格，或布尔格，或布尔代数。

定理定理 9.1.129.1.12 设设 <L,≤><L,≤> 是有补分配格，若任意元是有补分配格，若任意元素素 aaLL ，则，则 aa 的补元的补元 a’a’ 是唯一的。是唯一的。该定理该定理 9.1.119.1.11 的直接推论，因为有补分配格当然的直接推论，因为有补分配格当然是有界分配格。是有界分配格。由于有补分配格中，每个元素由于有补分配格中，每个元素 aa 都有唯一的补元都有唯一的补元

a’a’ ，因此可在，因此可在 LL 上定义一个一元运算—补运算“’”。上定义一个一元运算—补运算“’”。这样，有补分配格可看作具有两个二元运算和一个一这样，有补分配格可看作具有两个二元运算和一个一元运算的代数结构，习惯上称它为布尔代数，记为元运算的代数结构，习惯上称它为布尔代数，记为 <<B,B,,*,’,0,1>,*,’,0,1> ，其中，其中 B=LB=L 。。

定理定理 9.1.139.1.13 设设 <L,≤><L,≤> 是有补分配格，对任是有补分配格，对任意意 a,ba,bLL ，则，则

① ① (a’)’=a(a’)’=a

② ② (a*b)’=a’(a*b)’=a’b’b’

③ ③ (a(ab)’=a’*b’b)’=a’*b’

后两式称为格中德后两式称为格中德 ·· 摩根律。摩根律。

定理定理 9.1.149.1.14 设设 <L,≤><L,≤> 是有补分配格，对任意是有补分配格，对任意a,ba,bLL ，有，有

a≤ba≤ba*b’=0a*b’=0

a’a’b=1b=1

格同态，格直积等概念可以接下来定义和研格同态，格直积等概念可以接下来定义和研究，但这里不打算这样做，因为如此进行会相对究，但这里不打算这样做，因为如此进行会相对较繁，而是将格作为一个代数结构而引入它们。较繁，而是将格作为一个代数结构而引入它们。

44 ．格是代数结构．格是代数结构能自然地把代数结构中有关子代数、同态、积代数能自然地把代数结构中有关子代数、同态、积代数等概念，引入到格中。等概念，引入到格中。定义定义 9.1.99.1.9 设设 <L,<L,,*>,*> 是一代数结构，其中是一代数结构，其中和和 **是是 LL 上满足交换律、结合律和吸收律的二元运算，且对上满足交换律、结合律和吸收律的二元运算，且对任意任意 a,ba,bLL ，定义关系≤如下：，定义关系≤如下：a≤ba≤ba*b=aa*b=a则则 <L,≤><L,≤> 是格，称是格，称 <L,≤><L,≤> 为代数系统为代数系统 <L,<L,,*>,*> 所诱所诱导的偏序集确立的格。导的偏序集确立的格。

定义定义 9.1.109.1.10 设设 <L,<L,,*>,*> 和和 <S,<S,,,>> 是格。存在函是格。存在函数数 f:Lf:LSS ，若对任意，若对任意 a,ba,bLL ，有，有f(af(ab)=f(a)b)=f(a)f(b)f(b) ，， f(a*b)=f(a)f(a*b)=f(a)f(b)f(b)则称则称 ff 是从是从 <L,<L,,*>,*> 到到 <S,<S,,,>> 的格同态。的格同态。下述定理说明格同态是保序的。下述定理说明格同态是保序的。定理定理 9.1.159.1.15 设设 <L,<L,,*>,*> 和和 <S,<S,,,>> 是格，而是格，而 <L, ≤<L, ≤

>> 和和 <S,≤’><S,≤’> 分别是给定两个格所诱导的偏序集确立的分别是给定两个格所诱导的偏序集确立的格。若格。若 f:Lf:LSS 是格同态，则对任意是格同态，则对任意 a,ba,bLL ，且，且 a≤ba≤b ，，必有必有 f(a)≤’f(b)f(a)≤’f(b) 。。

在定义在定义 9.1.109.1.10 中，若中，若 ff 是双射函数，则称是双射函数，则称 ff 是是格同构。或称格同构。或称 <L,<L,,*>,*> 和和 <S,<S,,,>> 两个格同构。由于两个格同构。由于同构是相互的，又是保序的，故对任意同构是相互的，又是保序的，故对任意 a,ba,bLL ，有，有a≤ba≤bf(a)≤’f(b)f(a)≤’f(b)和和f(a)≤’f(b)f(a)≤’f(b)a≤ba≤b这表明同构的两个格的哈斯图是一样的，只是这表明同构的两个格的哈斯图是一样的，只是各结点的标记不同而已。各结点的标记不同而已。

定义定义 9.1.119.1.11 设设 <L,<L,,*>,*> 和和 <S,<S,,,>> 是格，定义一是格，定义一个代数结构个代数结构 <L<LS,+,o>S,+,o> 如下：如下：

对任意对任意 <a<a11,b,b11>> ，， <a<a22,b,b22>>LLSS ，有，有<a<a11,b,b11>+<a>+<a22,b,b22>=<a>=<a11bb11,a,a22bb22>>

<a<a11,b,b11>o<a>o<a22,b,b22>=<a>=<a11*b*b11,a,a22bb22>>

称称 <L<LS,+,o>S,+,o> 是格是格 <L,<L,,*>,*> 和和 <S,<S,,,>> 的直积。的直积。

两个格的直积也是格。这是因为在两个格的直积也是格。这是因为在 LLSS 上，运上，运算算 oo 和和 ++ 是封闭的，且满足交换律、结合律和吸收律。是封闭的，且满足交换律、结合律和吸收律。

格积的阶等于两个格的阶乘积。由于格积的阶等于两个格的阶乘积。由于 <L<LS,o,+S,o,+>> 是一个格，故又可以与另一个格作直积，这样，利是一个格，故又可以与另一个格作直积，这样，利用格的直积可用较小阶的格构造出阶越来越大的格。用格的直积可用较小阶的格构造出阶越来越大的格。但反之，较大阶的格，并不都能表示成较小阶的格但反之，较大阶的格，并不都能表示成较小阶的格直积。直积。

9.2 9.2 布尔代数布尔代数前已指出，布尔代数是有补分配格，前已指出，布尔代数是有补分配格，

常记为常记为 <B,<B,,*, ’,0,1>,*, ’,0,1> 。对任意。对任意 a,b,ca,b,cBB ，，有有

① ① <B,<B,,*>,*> 是格，且≤为是格，且≤为 BB 上由上由或或 ** 所定义所定义的偏序关系，满足的偏序关系，满足(L-1) a(L-1) ab=lub{a,b}b=lub{a,b} ， ， a*b=glb{a,b}a*b=glb{a,b}(L-2) a≤b(L-2) a≤baab=bb=ba*b=aa*b=a(L-3) a(L-3) aa=aa=a ， ， a*a=a a*a=a （等幂律）（等幂律）(L-4) a(L-4) ab=bb=baa ， ， a*b=b*a a*b=b*a （交换律）（交换律）(L-5) (a(L-5) (ab)b)c=ac=a(b(bc)c) ，， (a*b)*c=a*(b*c) (a*b)*c=a*(b*c) （结合律）（结合律）(L-6) a(L-6) a(a*b)=a(a*b)=a ，， a*(aa*(ab)=a b)=a （吸收律）（吸收律）

② ② <B,<B,,*>,*> 是分配格，满足是分配格，满足(D-1) a(D-1) a(b*c)=(a(b*c)=(ab)*(ab)*(ac)c) ，，a*(ba*(bc)=(a*b)c)=(a*b)(a*c) (a*c) （分配律）（分配律）(D-2) (a(D-2) (ab=ab=ac)c)(a*b=a*c)(a*b=a*c)b=cb=c

(D-3) (a(D-3) (ab)*(bb)*(bc)*(cc)*(ca)=(a*b)a)=(a*b)(b*c)(b*c)(c*a)(c*a)

③ ③ <B,<B,,*, ’,0,1>,*, ’,0,1> 是有界格，满足是有界格，满足(B-1) 0≤a≤1(B-1) 0≤a≤1

(B-2) a(B-2) a0=a0=a ，， a*a=a a*a=a （幺律）（幺律）(B-3) a(B-3) a1=11=1 ，， a*0=0 a*0=0 （零律）（零律）

④ ④ <B,<B,,*, ’,0,1>,*, ’,0,1> 是有补格，满足是有补格，满足(C-1) a(C-1) aa’=1a’=1 ，， a*a’=0 a*a’=0 （互补律）（互补律）(C-2) 1’=0(C-2) 1’=0 ，， 0’=10’=1

⑤ ⑤ <B,<B,,*, ’,0,1>,*, ’,0,1> 是有补分配格，满足是有补分配格，满足(CD-1) (a(CD-1) (ab)’=a’*a’b)’=a’*a’ ，， (a*b)’=a’(a*b)’=a’b’ b’

（德（德 ·· 摩根律）摩根律）(CD-2) a≤b(CD-2) a≤ba’a’b=1b=1a*b’=0a*b’=0b’≤a’b’≤a’

注意，上述公式并非都是独立的，可从中选注意，上述公式并非都是独立的，可从中选出一些公式作为基本公式，用它们推出其余的公出一些公式作为基本公式，用它们推出其余的公式，而且可以用基本公式定义布尔代数。式，而且可以用基本公式定义布尔代数。

定义定义 9.2.19.2.1 设设 <B,<B,,*, ’>,*, ’> 是一代数结构，其是一代数结构，其中中和和 ** 是是 BB 上的二元运算，’是上的二元运算，’是 BB 上的一元运上的一元运算。算。 0,10,1BB 。若对任意。若对任意 a,ba,bBB ，有，有 ① ① aab=bb=baa ，， a*b=b*a a*b=b*a （交换律）（交换律） ② ② aa(b*c)=(a(b*c)=(ab)*(ab)*(ac)c) ，， a*(ba*(bc)=(a*b)c)=(a*b)

(a*c) (a*c) （分配律）（分配律） ③ ③ aa0=a0=a ，， a*1=a a*1=a （幺律）（幺律） ④ ④ aaa’=1a’=1 ，， a*a’=0 a*a’=0 （互补律）（互补律）

则称则称 <B,<B,,*, ’>,*, ’> 是布尔代数，称是布尔代数，称、、 ** 和’和’分别是分别是 BB 上的并、交和补运算，上的并、交和补运算， 00 和和 11 分别称分别称为为和和 ** 的零元和幺元。的零元和幺元。

代数结构代数结构 <B,<B,,*, ’,0,1>,*, ’,0,1> 满足定义满足定义 9.2.19.2.1 的的条件，所以它是布尔代数，它是二元布尔代数。条件，所以它是布尔代数，它是二元布尔代数。二元布尔代数其哈斯图是链的唯一布尔代数。二元布尔代数其哈斯图是链的唯一布尔代数。

9.3 9.3 子布尔代数、积布尔代数子布尔代数、积布尔代数和布尔代数同态和布尔代数同态把子代数、积代数和同态的概念应用把子代数、积代数和同态的概念应用

到布尔代数上，便得到了相应论题，本节到布尔代数上，便得到了相应论题，本节不准备详尽叙述它，仅就其特点讨论之。不准备详尽叙述它，仅就其特点讨论之。

定义定义 9.3.19.3.1 给定布尔代数给定布尔代数 <B<B ，，，⊙，’，，⊙，’，00 ，， 1>1> ，，≠≠ TTBB ，若，若 TT 对所有运算封闭，且对所有运算封闭，且 00 ，，1 T∈1 T∈ ，则称，则称 <T<T ，，，⊙，’，⊙，’ >> 是子布尔代数。是子布尔代数。

显然，显然， <B<B ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 和和 <{0<{0 ，，1}1} ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 是子布尔代数。是子布尔代数。

应该指出，没有必要对所有三个运算应该指出，没有必要对所有三个运算，⊙，⊙和’都要检查封闭性，也没有必要验证和’都要检查封闭性，也没有必要验证 00 与与 11 是否是否在在 TT 中，只要对运算集合中，只要对运算集合 {{ ，’，’ }} 或或 {{⊙⊙，’，’ }}检查其封闭性即可。这可从布尔代数中这两个运算检查其封闭性即可。这可从布尔代数中这两个运算集合是全功能集得出。因为对任意集合是全功能集得出。因为对任意 xx ，， y S∈y S∈ ，有，有x y=(x’⊙x y=(x’⊙ y’)’y’)’ ，， 0=(x’0=(x’x)’x)’ ，， 1=x1=xx’x’ ，故对于，故对于

和’的封闭便保证了⊙的封闭以及和’的封闭便保证了⊙的封闭以及 00 ，， 1 T∈1 T∈ 。。

对于对于 {{⊙⊙，’，’ }} 可用同样论证。可用同样论证。显然，每个子布尔代数都是布尔代数。显然，每个子布尔代数都是布尔代数。布尔代数的子集可以是个布尔代数，但也布尔代数的子集可以是个布尔代数，但也

可能不是布尔代数，因为这可从它对运算是否可能不是布尔代数，因为这可从它对运算是否封闭而定。封闭而定。

定义定义 9.3.29.3.2 给定两个布尔代数给定两个布尔代数 <B<B11 ，， 11 ，⊙，⊙11 ，’，，’， 0011 ，， 1111>> 和和 <B<B22 ，， 22 ，⊙，⊙ 22 ，，″，″， 0022 ，， 1122>> ，则两个布尔代数的积也是布尔代数，，则两个布尔代数的积也是布尔代数，称为积布尔代数，记作称为积布尔代数，记作 <B<B11×B×B22 ，， 33 ，⊙，⊙ 33 ，’’’，，’’’，0033 ，， 1133>> ，其中对任意，其中对任意 <b<b1111 ，， bb2121>> ，， <b<b1212 ，， bb2222> B∈> B∈11×B×B22 ，有，有

<b<b1111 ，， bb2121>>33<b<b1212 ，， bb2222>=<b>=<b111111bb1212 ，， bb212122bb2222

>>

<b<b1111 ，， bb2121>⊙>⊙33<b<b1212 ，， bb2222>=<b>=<b1111⊙⊙11bb1212 ，， bb2121⊙⊙22bb

2222>>

<b<b1111 ，， bb2121>’’’=<b>’’’=<b1111’’ ，， bb2121″>″>

0033=<0=<011 ，， 0022>> ，， 1133=<1=<111 ，， 1122>>

可见，积布尔代数能够生成新的布尔代数。可见，积布尔代数能够生成新的布尔代数。

定义定义 9.3.39.3.3 给定两个布尔代数给定两个布尔代数 <B<B ，， ++ ，， ·· ，’，，’，00 ，， 1>1> 和和 <T<T ，，，⊙，，⊙， ˉ̄ ，， αα ，， β>β> ，则，则

<B<B ，， ++ ，， ·· ，’，，’， 00 ，， 1>1><T<T ，，，⊙，，⊙， ˉ̄ ，， αα ，，β>β> ：： =(=(f)(f T∈f)(f T∈ BB (∧(∧ x)(x)(y)(xy)(x ，， y S→(f(x+y)=f(x) ∈y S→(f(x+y)=f(x) ∈ ff

(y) f(x·y)=f(x) f(y) f(x’)= f(0)=α f(1)=β)))∧ ⊙ ∧ ∧ ∧(y) f(x·y)=f(x) f(y) f(x’)= f(0)=α f(1)=β)))∧ ⊙ ∧ ∧ ∧并称并称 ff 为从为从 <B<B ，， ++ ，， ·· ，’，，’， 00 ，， 1>1> 到到 <T<T ，，，，

⊙，⊙， ˉ̄ ，， αα ，， β>β> 的布尔同态映射。的布尔同态映射。

如前所述，同态的定义仍可简化成：若保如前所述，同态的定义仍可简化成：若保持运算持运算 {{ ，’，’ }} 或或 {{⊙⊙，’，’ }} 则则 f T∈f T∈ BB 为布尔同为布尔同态映射。又若态映射。又若 ff 为双射，则为双射，则 ff 为布尔同构映射。为布尔同构映射。

定理定理 9.3.19.3.1 若若 ff 为从为从 <B<B ，， ++ ，， ·· ，’，，’， 00 ，，1>1> 到到 <T<T ，，，⊙，，⊙， ˉ̄ ，， αα ，， β>β> 的布尔同态映的布尔同态映射，且射，且 |f(B)|≥2|f(B)|≥2 ，其中，其中 f(B)={y|f(x)=y T x B}∈ ∧ ∈f(B)={y|f(x)=y T x B}∈ ∧ ∈ ，，则则 <f(B)<f(B) ，，，⊙，，⊙， ˉ̄ ，， f(0)f(0) ，， f(1)>f(1)> 是布尔代数。是布尔代数。

9.4 9.4 布尔代数的原子表示布尔代数的原子表示在布尔集合代数中，每个子集可表成单元在布尔集合代数中，每个子集可表成单元

集的并，而且这种表示在不计项的次序情况下集的并，而且这种表示在不计项的次序情况下是唯一的。对于任何有限布尔代数，也将有同是唯一的。对于任何有限布尔代数，也将有同样的结果，这里起着单元集作用的那些元素，样的结果，这里起着单元集作用的那些元素，称它们是原子。称它们是原子。

定义定义 9.4.19.4.1 给定布尔代数给定布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，，1>1> 且且 0≠0≠aa∈∈BB ，则，则 aa 为原子：为原子： =(=(xx)()(xx∈∈BB→→aa⊙⊙xx==aa∨∨aa

⊙⊙xx=0)=0)

因为因为 aa⊙⊙xx==aaaaxx ，所以上述定义又可表为，所以上述定义又可表为aa 为原子：为原子： =(=(xx)()(xx∈∈SS→→aaxx∨∨aa⊙⊙xx=0)=0)

若若 aa 为原子且为原子且 xxaa ，则，则 xx=0=0 或或 xx==aa 。这表明原子。这表明原子在偏序图中是那些紧位于零元之上的元素。在偏序图中是那些紧位于零元之上的元素。

定理定理 9.4.19.4.1 若若 aa11 和和 aa22 为布尔代数为布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，⊙，’ >>

的原子，且的原子，且 aa11⊙⊙aa22≠0≠0 ，则，则 aa11==aa22 。。定理定理 9.4.29.4.2 若若 xx 是有限布尔代数是有限布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，⊙，’ >>

的非零元，则存在原子的非零元，则存在原子 aa∈∈SS ，使得，使得 aaxx 。。定理定理 9.4.39.4.3 若若 aa ，， aa11 ，， aa22 ，…，，…， aann 为有限布尔代数为有限布尔代数

<<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 的原子，则的原子，则aaaa11aa22……aann((ii)()(ii∈∈{{11 ，， 22 ，…，，…，

nn}}∧∧aa==aaii))

定理定理 9.4.49.4.4 设有限布尔代数设有限布尔代数 <<BB ，，，，⊙，’，⊙，’， 00 ，， 1>1> 的所有原子是的所有原子是 aa11 ，， aa22 ，，…，…， aann ，且，且 yy∈∈BB ，则，则

yy=0=0((ii)()(ii∈∈{{11 ，， 22 ，…，，…，nn}}→→yy⊙⊙aaii=0)=0)

定理定理 9.4.5(9.4.5( 原子表示定理原子表示定理 ))

给定布尔代数给定布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> ，，0≠0≠xx∈∈BB 以及以及 ii=1=1 ，， 22 ，…，，…， nn ，， aaiixx ，则，则 xx==

aaii ，且不计原子的次序表示式是唯一的。，且不计原子的次序表示式是唯一的。

定理定理 9.4.6 (9.4.6 ( 斯通斯通 (Stone)(Stone) 定理定理 ))

设设 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 是有限布尔代数，是有限布尔代数，且且 AA 表示该代数中的所有原子的集合，则表示该代数中的所有原子的集合，则 <<BB ，，，，⊙，’，⊙，’， 00 ，， 1>1> 同构于幂集代数同构于幂集代数 <<PP((AA)) ，∪，，∪，∩，∩， ˉ̄ ，，，， AA>> 。。

本定理说明了，能够用布尔代数的各原子，完本定理说明了，能够用布尔代数的各原子，完全确定该布尔代数，并且可用布尔集合代数全确定该布尔代数，并且可用布尔集合代数 <<PP((AA)) ，，∪，∩，∪，∩， ˉ̄ ，，，， AA>> 表示这一布尔代数。表示这一布尔代数。

由本定理可直接得到下面推论：由本定理可直接得到下面推论：||BB|=2|=2||AA||

由此又可推出，若两个有限布尔代数中的集合由此又可推出，若两个有限布尔代数中的集合有相同的基数，则它们的原子集合也有相同的基数。有相同的基数，则它们的原子集合也有相同的基数。于是该二个布尔代数是同构的。因此可得到如下定于是该二个布尔代数是同构的。因此可得到如下定理：理：定理定理 9.4.79.4.7 每个有限布尔代数的集合基数均为每个有限布尔代数的集合基数均为

22 的方幂，具有同样集合基数的布尔代数都是同构的。的方幂，具有同样集合基数的布尔代数都是同构的。

9.5 9.5 布尔代数布尔代数 BBrr22

为了书写方便，用为了书写方便，用 BBnn 表示具有表示具有 nn 个元素的个元素的布尔代数布尔代数 <<BBnn ，，，⊙，’，⊙，’ >> ，即，即 BBnn=<=<BBnn ，，，，⊙，’⊙，’ >> 。根据定理。根据定理 9.4.79.4.7 可知，可知， nn 必为必为 22 的方幂。的方幂。因此，“最小”的布尔代数即是二元布尔代数因此，“最小”的布尔代数即是二元布尔代数 BB22

=<=<BB22 ，，，⊙，’，⊙，’ >> ，其中，其中 BB22={0={0 ，， 1}1} 。。 BB22 的的运算表如表运算表如表 9.1.19.1.1 所示。下面再给出“次最小”的所示。下面再给出“次最小”的布尔代数布尔代数 BB44=<=<BB44 ，，，⊙，’，⊙，’ >> 的运算表的运算表 9.5.19.5.1 ，，其中其中 BB44={0={0 ，， αα ，， ββ ，， 1}1} 。。

特别令人感兴趣的代数结构是特别令人感兴趣的代数结构是 BB22××BB22×…××…×BB22((rr

个个 )) ，即，即 rr 个相同的布尔代数个相同的布尔代数 BB22 的直积。该系统记的直积。该系统记作作 BBrr

22 ，且其运算符号仍与，且其运算符号仍与 BB22 中的中的，⊙和’相同，，⊙和’相同，即即 BBrr

22=<=<BBrr22 ，，，⊙，’，，⊙，’， 00rr ，， 11rr>> 。对任意。对任意 <<σσ11 ，，

σσ22 ，…，，…， σσrr>> 和和 <<δδ11 ，， δδ22 ，…，，…， δδrr>∈>∈BBrr22 ，其中，其中 σσii ，，

δδjj∈∈{{00 ，， 1}1} ，， ii ，， jj=1=1 ，， 22 ，…，，…， nn 。。

<<σσ11 ，， σσ22 ，…，，…， σσrr>><<δδ11 ，， δδ22 ，…，，…， δδrr>=<>=<σσ11

δδ11 ，， σσ22δδ22 ，…，，…， σσrrδδrr>>

<<σσ11 ，， σσ22 ，…，，…， σσrr> <⊙> <⊙ δδ11 ，， δδ22 ，…，，…， δδrr>=<>=<σσ

11⊙⊙δδ11 ，， σσ22⊙⊙δδ22 ，…，，…， σσrr⊙⊙δδrr>>

<<σσ11 ，， σσ22 ，…，，…， σσrr>’ =<>’ =<σσ11’’ ，， σσ22’’ ，…，，…， σσrr’>’>

0’=<00’=<0 ，， 00 ，…，，…， 0>0> 和和 1’=<11’=<1 ，， 11 ，…，… 1>1>

由积代数的理论可知，由积代数的理论可知， BBrr22 保持保持 BB22 中重要性质，于是中重要性质，于是

断言，断言， BBrr22 是布尔代数，并且由定理是布尔代数，并且由定理 9.4.79.4.7 能得到下面定理：能得到下面定理：

定理定理 9.5.19.5.1 布尔代数布尔代数 < < ，，，⊙，’，⊙，’ >> 与与<<BBrr

22 ，，，⊙，’，⊙，’ >> 是同构的，并且每个布尔代数同是同构的，并且每个布尔代数同构于某布尔代数构于某布尔代数 BBkk

22=<=<BBkk22 ，，，⊙，’，⊙，’ >> 。。

综上所述可知，每个布尔代数同构于某布尔集合代数。综上所述可知，每个布尔代数同构于某布尔集合代数。

9.6 9.6 布尔表达式及其范式定理布尔表达式及其范式定理本节中先给出布尔表达式或布尔函数的定本节中先给出布尔表达式或布尔函数的定

义，后讨论布尔表达式的范式定理。义，后讨论布尔表达式的范式定理。定义定义 9.6.19.6.1 给定布尔代数给定布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’，

00 ，， 1>1> 及及 nn 个变元个变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn ，则在，则在 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 上由上由 nn 个变元产生的布尔个变元产生的布尔表达式可归纳定义如下：表达式可归纳定义如下：

(1) ((1) ( 基础基础 )) 。。 BB 中的任何元素和变元中的任何元素和变元 xxii((ii=1=1 ，， 22 ，…，，…，nn)) 都是一个布尔表达式。都是一个布尔表达式。

(2) ((2) (归纳步归纳步 )) 。若。若 ee11 和和 ee22 是布尔表达式，那么是布尔表达式，那么 ee’’11 ，， ((ee

11))((ee22)) 和和 ((ee11) (⊙) (⊙ ee22)) 也是布尔表达式。也是布尔表达式。注意，当约定⊙先于注意，当约定⊙先于运算时，可适当省略表达式中运算时，可适当省略表达式中

的园括号。的园括号。

如果限定如果限定 nn 个变元个变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn 都取值于都取值于 BB 中中的元素，那么在布尔代数的元素，那么在布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1>上由变元上由变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn 所产生的布尔表达式的值便所产生的布尔表达式的值便表示表示 BB 中的元素。因此，这些表达式便是一个函数中的元素。因此，这些表达式便是一个函数 ff∈∈BBnn ，这里，这里 ff((xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn)) 对任意变元对任意变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…，xxnn 可由布尔代数可由布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 中关于中关于，，⊙， ’ 的运 算来 确 定 。因 此， 有时将 在⊙， ’ 的运 算来 确 定 。因 此， 有时将 在 <<BB ，， ，，⊙，’，⊙，’， 00 ，， 1>1> 上由变元上由变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn产生的布产生的布尔表达式称为在尔表达式称为在 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，， 1>1> 上的上的 nn 元元布尔函数布尔函数 (( 以下简称布尔函数以下简称布尔函数 )) 。。

定义定义 9.6.29.6.2 形如形如 ⊙ ⊙ ⊙…⊙ 的布尔表达式 ⊙…⊙ 的布尔表达式称为由变元称为由变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn产生的小项，其中产生的小项，其中 δδii∈∈{{00 ，，1}1} ，用，用 xx11

ii 表示表示 xxii ，， xx00ii 表示表示 xxii’’ ，， ii∈∈{{11 ，， 22 ，…，，…， nn}} ，，

并用并用 表示该小项。 表示该小项。形如形如 …… 的布尔表达式称为由变元的布尔表达式称为由变元 xx11 ，，

xx22 ，…，，…， xxnn产生的大项，其中产生的大项，其中 σσii∈∈{{00 ，， 1}1} ，， xx11ii 表示表示 xx’’ii ，，

xx00ii 表示表示 xxii ，， ii∈∈{{11 ，， 22 ，…，，…， nn}} ，并用，并用 表示该大项。 表示该大项。

为书写方便，将二进制数为书写方便，将二进制数 δδ11δδ22……δδnn 和和 σσ11σσ22……σσnn 分分别化为十进制数别化为十进制数 ii 和和 jj 作为作为 mm 和和 MM 的下标，即的下标，即 mmii 和和 MMjj 。。

关于小项和大项有下列关系：关于小项和大项有下列关系：mmii⊙⊙mmjj=0 (=0 (ii≠≠jj))

MMiiMMjj=1 (=1 (ii≠≠jj))

这是显然的，因为对于两个不同的小项这是显然的，因为对于两个不同的小项 (( 大项大项 )) ，必有一，必有一个变元个变元 xxkk ，使得这两个小项，使得这两个小项 (( 大项大项 )) 之一含有之一含有 xxkk ，而另一个含，而另一个含有有 xx’’kk 。于是，。于是， xxkk⊙⊙xxkk’=0’=0 ，， xxkkxxkk’=1’=1 。因此上列关系成立。。因此上列关系成立。使用归纳法不难证明下列关系：使用归纳法不难证明下列关系：

mmii=1=1

MMii=0=0

定理定理 9.6.1(9.6.1( 范式定理范式定理 )) 在布尔代数在布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’，00 ，， 1>1> 上由变元上由变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn产生的每个布尔表达式产生的每个布尔表达式 ff((xx

11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn))均可表成：均可表成：

ff((xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn)= )= ( (cckk⊙⊙mmkk) (1)) (1)

ff((xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn)= )= ( (CCllMMll) (2)) (2)

这里，这里， kk 和和 ll 分别取遍分别取遍 22nn 个所有可能的组个所有可能的组态态 δδ11δδ22……δδnn 和和 σσ11σσ22……σσnn ，并且，并且

==ff((δδ11 ，， δδ22 ，…，，…， δδnn))

==ff((σσ11 ，， σσ22 ，…，，…， σσnn) (3)) (3)

由本定理可知，布尔代数由本定理可知，布尔代数 <<BB ，，，⊙，’，，⊙，’， 00 ，，1>1> 上的由变元上的由变元 xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn产生的每个布尔表达产生的每个布尔表达式均可表为所有小项的带“权”的并，或者所有大式均可表为所有小项的带“权”的并，或者所有大项的带“权”的交，其中这些“权”项的带“权”的交，其中这些“权” (( 即即 ccδδ11δδ2…2…δnδn 或或CCσσ11σσ2…2…σnσn)) 是是 BB 中的元素，它可用布尔表达式用公式中的元素，它可用布尔表达式用公式(3)(3) 计算得到。由于这些权是唯一的，故上述公式计算得到。由于这些权是唯一的，故上述公式(1)(1) 和和 (2)(2)便是唯一的，并称便是唯一的，并称 (1)(1) 为小项范式或析取范为小项范式或析取范式，称式，称 (2)(2) 为大项范式或合取范式。为大项范式或合取范式。

布尔表达式的范式也可由下面算法布尔表达式的范式也可由下面算法 9.6.19.6.1

（或（或 9.6.29.6.2 ）得到。）得到。算法算法 9.6.19.6.1 （或（或 9.6.29.6.2 ））本算法可求出本算法可求出 <<BB ，，，⊙，’，⊙，’ >> 上的布尔上的布尔

表达式表达式 ff((xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn)) 范式，其具体步骤是：范式，其具体步骤是：

(1)(1) 使用定律和定理把使用定律和定理把 ff((xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn)) 表示成形如表示成形如 cc

··· ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ··· ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ （或（或 CC ······

）的不同交（或并）的并（或交），其中）的不同交（或并）的并（或交），其中 cc,,CCBB 且且 ii11

<<ii22<···<<···<iikk 。。

(2)(2) 若每个交（或并）是形如若每个交（或并）是形如 cc⊙⊙mm （或（或 CCMM ），），其中其中 ccBB （或（或 CCBB ），）， mm 是小项（或是小项（或 MM 是大项），是大项），则增加项则增加项 (0⊙(0⊙mm11))(0⊙(0⊙mm22))······ （或增加项（或增加项 (1(1MM11)⊙)⊙(1(1MM22) ···⊙) ···⊙ ），其中），其中 mm11,,mm22,···,··· （或（或 MM11,,MM22,···,··· ）是表）是表达式中缺乏的小项（或大项），否则转到达式中缺乏的小项（或大项），否则转到 (3)(3) 。。

(3)(3) 从最后得到的表达式中，选取形如从最后得到的表达式中，选取形如 cc ⊙ ⊙ ··· ⊙ ⊙ ⊙ ··· ⊙ ⊙ ⊙ （或（或 CC ······ ）的交（或并），其中）的交（或并），其中 kk<<nn 和和对某个对某个 hh, , （或 ）不出现，则用（或 ）不出现，则用

hi

hix

再在新的交（或并）中按下标增加次序重新排再在新的交（或并）中按下标增加次序重新排列 （或 ），于是使用列 （或 ），于是使用 ((cc11cc22···)⊙···)⊙mm

(( 或或 ((CC11⊙⊙CC22 ···) ⊙···) ⊙ MM 代替代替 cc11⊙⊙mm,,cc22⊙⊙mm,···,··· （或（或 CC11

MM,,CC22MM,···,··· ）的交（或并）。转到）的交（或并）。转到 (2)(2) 。。

因为在因为在 <<BB ，，，⊙，’，⊙，’ >> 上的布尔表达上的布尔表达式式 ff((xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxnn)) 是由是由 22nn 个权唯一确定，个权唯一确定，又因为每个权是又因为每个权是 BB 中的元素，所以在中的元素，所以在 <<BB ，，，⊙，’，⊙，’ >> 上共有 个不同布尔表达式。上共有 个不同布尔表达式。

另一方面，形如另一方面，形如 ff 的不同函数共有 个 的不同函数共有 个 。 。可见，当可见，当 ||BB|>2|>2时，形如时，形如 ff 的函数中确有那些的函数中确有那些函数，它不是布尔函数。而且可以精确计算 函数，它不是布尔函数。而且可以精确计算 - - 个函数不是布尔函数。个函数不是布尔函数。

例如对于例如对于 SS=={{0,0,,,,1},1} ，函数，函数 ff 的定义的定义中有中有

ff(0,0)=0(0,0)=0 ，， ff(0,1)=1(0,1)=1 ，， ff(1,0)=(1,0)=ff(1,1)=(1,1)= ，， ff(0,(0,

)=)=

则则 ff 不是布尔函数，为什么？读者从上面不是布尔函数，为什么？读者从上面的说明中是不难给出正确地回答。的说明中是不难给出正确地回答。