Мультиреджевские амплитуды в неабелевых калибровочных теориях

Козлов Михаил Геннадьевич

Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН

27 сентября 2012 г.

Мультиреджевская кинематика

…P1 Pn+1P2 P3 PnPn-1

A B

110 ... nn PPPPBA

Процесс множественного рождения

Мультиреджевская кинематика означает строгое упорядочение быстрот конечных частиц

110 ... nn yyyy

Квазимультиреджевская кинематика

…J1 Jn+1J2 J3 JnJn-1

A B

110 ... nn JJJJBA

Процесс множественного рождения

Квазимультиреджевская кинематика означает строгое упорядочение по быстротамгрупп частиц с близкими быстротами в группе

110 ... nn yyyy

Мультиреджевская кинематика1

2

3

4

5

6

78

9

Схематическое представление процесса в мультиреджевской кинематике

921 ... PPPBA

A B

9821 ... yyyy

i

ii

iiiii

p

py

nnnpnpnpp

ln2

1

0,1),(, 22121

Мультиреджевская кинематика

• Процессы множественного рождения становятся более вероятными при больших энергиях, чем упругие процессы

• (Квази)Мультиреджевская кинематика дает основной вклад в сечения процессов множественного рождения (Тер-Мартиросян, 1963)

• Амплитуда в мультиреджевской кинематике принимает простой вид

Мультиреджевская форма амплитуды

111111'

))((2

)1(1

))((2

1'22

1),(Re

nnnniii

i

ii cBB

yyq

n

n

i

yyq

i

iiJccc

AAn eq

eq

qqA

Для многочастичного процесса '...' 1 BJJABA n амплитуда в (квази)мультиреджевской кинематике имеет следующий вид:

Мультиреджевская форма амплитуды

111111'

))((2

)1(1

))((2

1'22

1),(Re

nnnniii

i

ii cBB

yyq

n

n

i

yyq

i

iiJccc

AAn eq

eq

qqA

2. Основная энергетическая зависимость находится в Редже-факторах

1. Реальная часть амплитуды имеет простой факторизованный вид

3. Зависимость от квантовых чисел налетающих частиц факторизуется в виде эффективных вершин

4. Зависимость от конечных частиц находится в эффективных вершинах

Что необходимо для построения мультиреджевской амплитуды в главном

логарифмическом приближении

)(q Траектория глюона (калибровочного бозона) в однопетлевом приближении

RGG ' R

QQ '

RSS '

GRR 21

Эффективные вершины для налетающих частиц в борновском приближении.Вершина для налетающего скаляра есть только в СЯМ N=2 и N=4

Эффективная вершина рождения глюона в центральной области быстрот в борновском приближении

(Фадин, Кураев, Липатов 1976)

Что необходимо для построения мультиреджевской амплитуды в СГЛП

)(q Траектория глюона (калибровочного бозона) в двухпетлевом приближении (Фадин, Коцкий 1995) скалярные поправки (Фадин, Герасимов 2008)

3 Эффективные вершины для налетающих частиц в следующем приближении. (Фадин, Коцкий и др. 1993--1995) Скалярная вершина (Козлов, Резниченко 2012)

Эффективная вершина рождения глюона в центральной области быстрот в следующем приближении (Фадин, Коцкий, Липатов и др. 1993--2001)Скалярные поправки (Фадин, Герасимов 2003)

7 эффективных вершин для расщепления начальной частицы в пару частиц в борновском приближении (Фадин, Коцкий и др. 2000)4 Вершины со скалярами (Козлов, Резниченко 2012)

3 Эффективные вершины для рождения пар частиц в центральной области быстрот в борновском приближении (Фадин, Липатов 1989, 1996)Вершина рождения пары скаляров (Фадин, Герасимов 2008)

Как получить эффективные вершины или траекторию

1. Выбираем простейший процесс, который будет содержать нужную нам вершину

2. Выбранный процесс рассматриваем в (квази)мультиреджевской кинематике и с отрицательной сигнатурой

3. Вычисляем диаграммы по правилам Фейнмана, учитывая кинематику – выбрасываем ненужные диаграммы или упрощаем их

4. Сравниваем с (квази)мультиреджевской формой для данного процесса

RSS '

1S 2S

'1S '

2S '1S '

2S

1S 2Sts Отрицательная сигнатура

Как получить эффективные вершины или траекторию?

Пример для процесса рассеяния глюона на скаляре в следующем приближении:

Пример вычисления вершины фрагментации глюона в пару скаляров:

Гипотеза о мультиреджевской форме амплитуды

• В МРК в главном логарифмическом приближении (ГЛП) амплитуда имеет мультиреджевскую форму в КХД (Фадин, Липатов, 1975) и в суперсимметричной теории Янга−Миллса (Липатов, 1980)

• В МРК и в КМРК в следующем за ГЛП приближении (СГЛП) амплитуда имеет мультиреджевскую форму в КХД (Фадин, Козлов, Резниченко, 2011)

• Гипотеза: В (квази)мультиреджевской кинематике в СГЛП амплитуда имеет мультиреджевскую форму в (N=1, 2, 4) суперсимметричной теории Янга−Миллса

Чем интересна мультиреджевская форма амплитуды

• Мультиреджевская кинематика дает основной вклад в сечения

• Мультиреджевская форма амплитуды имеет простой факторизованный вид

• На мультиреджевской форме амплитуды основан подход Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ)

• Возможность проверки различных гипотез, которые включают в себя область мультиреджевской кинематики (например, гипотеза БДС или «дипольная формула»)

Применение мультиреджевской формы амплитуды для описания эксперимента

В подходе БФКЛ (для квантовой хромодинамики) произведено вычисление сечений следующих процессов:

J/ψ,, **** VVppVV 2. Процессы вида: Партон+Партон --> Струя+Струя+ процесс с мягким излучением

1. Процессы квазиупругого рассеяния виртуального фотона

Мультиреджевская форма амплитуды применяется для феноменологического подхода к вычислению сечения рождения частиц в центральной области быстрот:

Vpppp Где V – мезон или струя, содержащая кварки.

Подход БФКЛ

''BAAB

AA'

BB '

YG

YY GK

dY

Gd

Уравнение БФКЛ на функцию Грина GA A’

B B’

),(),;,(),( 22'221111'21'' rqrrqrrqrGrqrdrdr BBYAABAAB

q

r1

r2

Сечение процесса упругого рассеяния в реджевской кинематике выражается через свертку импакт-факторов, в которых находится зависимость от квантовых чисел начальных частиц, и функции Грина, в которой находится энергетическая зависимость.

2ln,ln

~2

2

0

0

Ng

s

stot

Анзац Бёрна−Диксона − СмирноваАнзац Бёрна−Диксона −Смирнова состоит в том, что n-частичная амплитуда с максимальным нарушением спиральности в пределе `т Хофта и в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса имеет вид во всех петлях:

)0(

)()( )(

n

LnL

n A

AM

0

)( )(1L

Ln

Ln MaM

)4(2

eN

a sc

1

)()()1()( )()()(expl

ln

ln

lln EClMfaM

С помощью мультиреджевской формы амплитуды в ГЛП в N=4 СЯМ было показано, что анзац нарушается для амплитуд 2->4:

BDSMRM R − остаточная функция, зависящая от конформного соотношения импульсов

Недавно вычислена остаточная функция R6 в ГЛП с помощью мультиреджевской формы амплитуды (Липатов 2012)

«Дипольная формула»

),(,,),(,),(, 222fs

fip

fsf

ip

sip

HZM

)(),(,),(, 2,

22

sip

sip

sip

ZZd

d

)(TTln)(4

1)( 2

1),(2

,22,

s

L

iJji

ji

jisKs

ip

dip i

s

Дипольная формула – это анзац для матрицы аномальных размерностей Γ:

Методика доказательства мультиреджевской формы амплитуды

Доказательство мультиреджевской формы амплитуды основано на совместимости ее с s-канальной унитарностью. Эта совместимость выражается в соотношениях бутстрапа:

Соотношений бесконечно много, поскольку n=0, 1, 2, … . Для выполнения всех соотношений достаточно выполнения нескольких условий – условий бутстрапа.

Соотношения бутстрапа – это соотношения между сигнатуризованной амплитудой и ее скачками в различных каналах

Вычисление скачков мультиреджеской амплитуды

Скачки вычисляются для сигнатуризованной амплитуды в si,j-каналах и в следующем за главным логарифмическом приближении (Фадин, Козлов, Резниченко 2006)

Примеры вкладов эффективных вершин в импакт-факторы

Импакт-фактор скаляра в следующем приближении

Импакт-фактор рождения глюона в центральной области в следующем приближении

Условия бутстрапа

Условия бутстрапа для области фрагментации начальной частицы

Условия бутстрапа для рождения частицы в центральной области

Импакт-факторы преобразуются по присоединенному представлению калибровочной группы, так как скачки амплитуды вычисляются для сигнутаризованной амплитуды.

Собственная функция для собственного значения траектории преобразуется по присоединенному представлению калибровочной группы

Условия бутстрапа для КХД в СГЛП

},{},{'}{

},{},,{},{'}{ 21

GQQBQB

QQGGGBGB

5 условий бутстрапа

1 условие

},{},,{},{ 211 QQGGGJ

3 условия

Условия бутстрапа для КХД в СГЛП

},{},{'}{

},{},,{},{'}{ 21

GQQBQB

QQGGGBGB

5 условий бутстрапа

1 условие

},{},,{},{ 211 QQGGGJ

3 условия

(Фадин, Коцкий и др. 1995--2005)

(Фадин, Коцкий и др. 1995--2005)

(Фадин, Козлов, Резниченко 2004)

(Фадин, Козлов, Резниченко 2004)

(Фадин, Козлов, Резниченко 2011)

Отличие суперсимметричной теории Янга-Миллса от КХД

1. Все поля в СЯМ преобразуются по присоединенному представлению калибровочной группы (в КХД кварки преобразуются по фундаментальному представлению)

2. Фермионы являются майорановскими частицами в СЯМ3. Появляются дополнительные скалярные частицы (При N=2 и N=4)4. Скалярные частицы (для N=2 и N=4) взаимодействуют и с глюонами,

и с фермионами 5. Возможны переходы кварков одного аромата в другой благодаря

взаимодействию со скалярами

Условия бутстрапа для суперсимметричной теории Янга-Миллса в СГЛП

},{},,{},{'}{

},{},,{},{'}{

},{},,{},,{},{'}{

21

212121

QQGSSBSB

SQGQQBQB

SSQQGGGBGB

10 условий бутстрапа

1 условие

},{},,{},,{},{ 2121211 SSQQGGGJ 4 условия

Таких соотношений нет в КХД

Условия бутстрапа для суперсимметричной теории Янга-Миллса в СГЛП

},{},,{},{'}{

},{},,{},{'}{

},{},,{},,{},{'}{

21

212121

QQGSSBSB

SQGQQBQB

SSQQGGGBGB

10 условий бутстрапа

1 условие

},{},,{},,{},{ 2121211 SSQQGGGJ 4 условия

Есть поправки, отсутствующие в КХД

Условия бутстрапа для суперсимметричной теории Янга-Миллса в СГЛП

},{},,{},{'}{

},{},,{},{'}{

},{},,{},,{},{'}{

21

212121

QQGSSBSB

SQGQQBQB

SSQQGGGBGB

10 условий бутстрапа

1 условие

},{},,{},,{},{ 2121211 SSQQGGGJ 4 условия

(Фадин, Герасимов 2008)

(Козлов, Резниченко - 2012)

Список основных публикаций1. V. S. Fadin, M. G. Kozlov, A. V. Reznichenko. Radiative correction to QCD amplitudes in

quasi-multi-Regge kinematics // Ядерная Физика. — 2004. — том 67, №2. — С. 377–393.

2. V. S. Fadin, R. Fiore, M. G. Kozlov, A. V. Reznichenko. Proof of the multi-Regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA // Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639. — P. 74–81.

3. М. Г. Козлов, А.В. Резниченко, В. С. Фадин. Проверка условия реджезации глюона в следующем за главным порядке. Кварковая часть // Ядерная физика. — 2011. — том 74. — С. 784–796.

4. М. Г. Козлов, А. В. Резниченко, В. С. Фадин. Проверка условия реджезации глюона в следующем за главным порядке. Глюонная часть // Ядерная физика. — 2012. — том 75, №4. — С. 529–542.

5. М. Г. Козлов. Проверка условия бутстрапа для рождения глюона в мультиреджевской кинематике // 12-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ–12). Материалы конференции. — 2006. — С. 49.

Заключение1. Вычислены эффективные вершины в следующем

приближении, необходимые для построения мультиреджевской формы амплитуды, в суперсимметричной теории Янга-Миллса

2. Проверены все условия бутстрапа для МРК и КМРК в следующем приближении

3. Гипотеза о мультиреджевской форме амплитуды в следующем за главным логарифмическом приближении в N=4 суперсимметричной теории Янга–Миллса доказана

4. Доказательство годится для других неабелевых калибровочных теорий, таких как СЯМ N=1, 2 и КХД.

Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Научно-педагогические кадры инновационной России» № 14.В37.21.1181