מגיש :אוריאל אשרי

מנחה : ד"ר איציק קורן

המכללה לחינוך ע"ש קיי,ב"ש

2009. 8. 31תאריך הגשה :

מקור האפס ומהותונו א ר� ר ת� ש ר א� קום אח� ל-מ� י א ת� א א� ך-נ� ק: ל� ל� יו ב� ל� ר א� י�אמ ו!

ם-- ש� המ� א� ר� לו לא ת� כ� ה, ו� א� ר� הו ת� צ� ס ק� פ� ם א� ש� י מ� נו-ל� ב� ק� ; ו�)במדבר כג יג(.

"אפס קצהו"

עציון י. טוען במאמרו שהביטוי "אפס קצהו" החל כנראה בתור שיבוץשל שבר פסוק, כדרכם של ישראל, והפך לצירוף עצמאי. ואולי סייע

ץ", היינו �י-אר ס! לקליטתו גם המובן הנוסף של המילה אפס בצירוף "אפ"קצות הארץ, המקום שבו נגמרת הארץ והופכת לאין ואפס. 

המובן העיקרי של השורש אפ"ס קשור לסוף ולכיליון. בני מצריםי ך כ& �ד ג" �מות נ ה נ+ מ+ ל+ מתחננים ליוסף ללחם בשעת הרעב, ואומרים: ו"ף? )בראשית מז טו(, ובמקראות רבים האפס הוא מקביל �ס ס כ+ אפ!ך )פרק �ת מ" ח3 ל" י מ& ש! ס אנ" �פ �א ין וכ" א3 יו כ" לאין. כך למשל בישעיהו: יה"

מ"א(. השימוש המרכזי בעברית של ימינו במילה אפס קשור לספרה אפס – אף שזו קיבלה את שמה העברי בתקופה מאוחרת

 .ר, כלומר מקום ריק יפ" עציון עוד מוסיף שהערבים קראו לאפס ס&

המספר אפס מייצג בנומרולוגיה, בגימטריה .ובקבלה את האלוהות המושלמת

הביטוי "כאין וכאפס" )כאפסות ו/או אלוהות..( מבהיר רעיון זה במלואו. שני ל. טוען שאין ידנו משגת, ולעולם לא תשיג נגיעה

אמיתית בעולם האלוהי של האין, וזאת מכיוון שכשמו כן הוא - אין ברעיון האלוהי שום חלק שהוא בר הבנה בחשיבה ובהשגה

האנושית, ושום חומר שנוכל להתחבר אליו בחמשת חושינו. כל שנותר לנו הוא לנסות ולמצוא את קצהו של דבר שאין לו

התחלה ואין לו סוף.

מערכת המספרים שלנו נקראת גם מערכת המספרים ההודו-ערבית,

יהושוע ר. טוען שמערכת המספרים שלנו נקראת גם מערכתהמספרים ההודו-ערבית על- שם ההודים שהמציאו אותה והערבים שהעבירו אותה למערב אירופה בסביבות המאה

העשירית לספירה.מערכת המספרים ההודו-ערבית עברה גלגולים רבים עד שהיא

הגיעה לצורתה המוכרת לנו כיום. יהושוע ר. מוסיף לדבריו ומציין שלתרבויות העתיקות היה קושי

מהותי עם תפיסה זו של מושג האפס. עבורן מספר משמעו כמה דברים, כמה חפצים, ואילו כאן מדובר במספר שמייצג "שום

דבר".

תפקידיו המרכזיים של האפס במתמטיקה המודרנית

בויקיפדיה נכתב שהתפקיד הראשון, הוא לאפשר לנו להבדיל בין , כלומר האפס מציין את המקום הריק 502 ו- 52מספרים כמו:

במערכות מספרים פוזיציונליות כמו מערכת המספרים שלנו. אולם לאפס, סיפר בערבית אוZERO באנגלית ,)מושג

שנשמר עד היום ( או סיפרא בפי מתמטיקיים יהודים ,תפקיד נוסף בעל משמעות מתוחכמת ועמוקה יותר מעבר לתפקידו

כמרווח, והוא לייצג כמות של אין,כלום נאדה.

פעולות באפס

בויקיפדיה עוד נכתב כי מתכונת הנייטרליות נובעת ההרסנות של * האפס בכפל: . משום כך לא ניתן להגדיר את ההפכי של אפס

כמספר רציונלי: אילו היינו מסכימים ש-  הוא מספר רציונלי, היה צריך להתקיים , וזה כמובן בלתי אפשרי. בהקשרים אחרים

)גאומטריים ואנליטיים( אפשר להסכים שהחילוק באפס מניב אינסוף )(; הוספת האינסוף למערכת המספרים מקלקלת את מרבית

התכונות שלה, ולכן מקובל יותר לומר שהחילוק באפס אינו מוגדר. גם התוצאה של חילוק אפס באפס אינה מוגדרת, משום שכל מספר

מקיים את התנאי  הנדרש מתוצאת הפעולה. באנליזה של סדרות ממשיות אפשר לחקור את הגבול של תהליך שבו מתקרבים המונה

והמכנה לאפס בעת ובעונה אחת.

כיצד פעלו היוונים הקדמונים

היוונים השתמשו בסימן של עיגול הדומה לזה שאנו משתמשים בו היום לציון מקום ריק במספר, אך לא הבינו את המשמעות העמוקה של סימן האפס. הם טענו שיש לראות את המספר

אפס כבלתי חוקי, משום שהוא משבש את האחידות של שאר המספרים – כל מספר רגיל שמחולק באפס נותן תוצאה בלתי

ניתנת להבנה.

השיבה להודו ?

-לספירה, מתמטיקאים הודים ובראשם 6רק במאה ה היו מתוחכמים דיים כדי ( Brahmaguptaברהמגופטה )

להכיר במעמדו העצמאי של האפס, וכדי להשתמש בחילוק באפס כהגדרת האינסוף. ההודים גם היו הראשונים שקיבלו את

המספרים השליליים כמספרים מן השורה, ולא רק כחלק מפעולות חיסור.

השימוש באפס במתמטיקה הגיע לאירופה בימי הביניים מןהערבים, שלמדוהו מן ההודים. במערכת הספרות הרומיות

ששלטה בכיפה עד אז כלל לא היתה ספרה כזו, וגם בעברית - הם תשצ"ג וכו'( – לא היה 793שבה נהגו להשתמש באותיות )

כל ייצוג לאפס.

אולם גם לאחר גילוי האפס בהודו, לקח עוד כאלף שנים עדשבאירופה השיג האפס, הכל-כך בעייתי בתולדות המתמטיקה, מעמד

של מספר מן השורה. את הבעייתיות הזו של המספר אפס ביטא ( "הנקודה לגבי האפס היא 1861-1947המתמטיקאי האנגלי וויטהאד )

שאין אנו זקוקים לו בפעילות היומיומית שלנו. אין איש הולך לקנות אפס דגים. במובן מסוים זהו המספר המונה התרבותי ביותר, והשימוש

בו כפוי עלינו רק על ידי הצרכים של הצורות התרבותיות של החשיבה"

למרות ההקלה והשינוי שחל עם השימוש בסיפרה אפס רוברטסוןוקונורס טוענים בדבריהם שהאפס עדיין גורם לבעיות לדוגמא: רבים

שנים 1999 היו לסיומן של 2000אינם מצליחים להבין שחגיגות שנת בלבד וזאת משום שלא הייתה שנת האפס

למה ומדוע ?

בחרתי את הנושא על מקור האפס ,משום שעבודת החקר תמיד ריתקה אותי,החיפוש אחרהמידע,הנבירה בהררי החומרים ומציאת החומרים הרלונטים יצרו בי מוטיבציה רבה ועניין .

,נתקלתי בקשיים במציאת החומרים,בעיקר ,אך גם בשילובם יחדכל כותב ודיעותיו ותחומי הדעת בהם עוסק העבודה הייתה עבורי אתגר ,סוג של רומן שאותו צריך לטפח כל הזמן,לחדש ,לעצב ,לשנות

ולהפתיע בכל שלב ושקופית .,מציאת מהות המספר אפס,קידם אותי בגילוי והבנת דרך החשיבה של תרבויות קדומות

סיקרן אותי לדעת כיצד חשבו ,כיצד פעלו,כך גם הגעתי למחוזות מחקר אנתרופולוגים ('אחרים.)אורך חיים,תרופות קדומות,סרטונים וכו

המקורות הרבים הובילו את הקריאה בנושא למחוזות שונים:נומרולוגיה ,קבלה ,בתורה וכמובןעולם המספרים,נתקלתי גם בפורומים הקיימים בתחומי המתמטיקה ובהם גיליתי עולמות שלמים ,של דיונים על מספרים ומהותם והצוהר שנפתח כעת,בזכות העבודה הזו הינו רק

סיכה אחת קטנה,בעולם גדול אך גם מסובך )לא הצלחתי להבין את כל הדיונים שהתקיימו בנושא(

(.2006.)ויקיפדיה http://he.wikipedia.org/wiki/0 )מספר(.ההיסטוריה של המתמטיקה.- 2003יהושוע,ר.)

http://lib.cet.ac.il/pages/item.asp?item=7877 (.על האפס ,השבת. -2006עציון,י.) http://www.safa-ivrit.org/writers/etsion/efes.php(.מה בין אפס והאלוהים.- 2009שני,ל .)http://astrology.walla.co.il/?

w=/53/502664 (.2000)J J O'Connor and E F Robertson A history of Zero

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html

ביבליוגרפיה