101

หนวยการเรียนรูที่ 3 ระบบสมการเชิงเสนระบบสมการเชิงเสน

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 4.2 : ขอ 3, 4 และ ขอ 5 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

1. อานและแปลความหมายของกราฟของ ระบบสมการเชิงเสนได 2. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรได 3. นําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไป ใชแกปญหาได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบท่ีได

สาระการเรียนรู

3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 คาบ) 3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 คาบ) 3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 คาบ)

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

102 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

จงใชวิธีการ +, −, ×, ÷, และเลขยกกําลังเพื่อหาคําตอบของ แตละขอตอไปน้ี

หมายเหตุ

จํานวนแตละจํานวนนําไปใชไดเพียงคร้ังเดียวเทาน้ัน

อุนเคร่ืองกบัอุนเคร่ืองกบัชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

1) 5 6 7 3 เทากับ 24

2) 9 3 4 1 เทากับ 24

3) 1 2 3 5 เทากับ 24

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 103

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

33..11 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปล

ความหมายกราฟของ ระบบสมการได 2. หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสสองตัวแปรจากกราฟ

ท่ีกําหนดใหได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร

MATH

Series

104 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ใหนักเรียนพิจารณาผลไมสองอยางไดแก สมและมะมวง ซ่ึงมีจํานวนผลรวมกันเปน 10 ผลถามีสมอยู x ผลและมีมะมวงอยู y ผล จะเขียนสมการไดเปน ………………………… แลวนํามาเขียนในรูปตารางดังนี้

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 9 8

จากตาราง เม่ือนํามาเขียนเปนคูอันดับ จะได (1, 9), (2, 8), …………………………………………………………………………………. ซ่ึงคูอันดับทุกคูขางตนเปนคําตอบของสมการ ………………………… เม่ือ x แทนจํานวน

สม และ y แทนจํานวนมะมวง นอกจากจะเขียนในรูปคูอันดับแลว ยังสามารถนํามาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธไดดังนี้

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

จากกราฟ จะพบวา ถามีสม 1 ผล จะมีมะมวง ……… ผล และถามีสม ……… ผล จะมีมะมวง 5 ผล

สมการ x + y = 10 เปนสมการเชิงเสนสองตัวแปร และคําตอบของสมการ x + y = 10 เปน คูอันดับของจํานวนเต็มบวกเทานั้น ลักษณะของกราฟจึงเปนจุดเรียงในแนวสวนของเสนตรง

เม่ือ x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรดังกลาวจะเปนเสนตรง ดังนี้

9 8 7 6

5

4 3 2 1

•

•

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 105

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

นอกจากนี้นักเรียนเคยทราบมาแลววาสมการเชน x + 3y = 2, 2x – y = 4 และ 3x + 2y = 6 เปน สมการเชิงเสนสองตัวแปร ซ่ึงรูปท่ัวไปเปน

Ax + By + C = 0 (*) เม่ือ x, y เปนตัวแปร และ A, B, C เปนคาคงตัว โดยท่ี A≠ 0 และ B≠ 0

คูอันดับ (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ (*) เรียกวา คําตอบของสมการ และกราฟแสดงคําตอบของสมการ Ax + By + C = 0 นี้ จะเปนเสนตรง

ใหนักเรียนพิจารณาสมการตอไปนี้ x – 3y = 6 (1) 2x – 6y = 8 (2)

ระบบท่ีประกอบดวยสมการ (1) และสมการ (2) ขางตนเปนตัวอยางของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงท่ี a, b ไมเปนศูนยพรอมกัน และ c, d ไมเปนเปนศูนยพรอมกัน เรียกระบบที่ประกอบดวยสมการ

ax + by = e cx + dy = f

วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีมี x และ y เปนตัวแปร และกลาววา a และ c เปนสัมประสิทธ์ิของ x และ b และ d เปนสัมประสิทธ์ิของ y

9 8 7 6

5

4 3 2 1

106 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

นอกจากนี้คําตอบของระบบสมการ คือ คูอันดับ (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการทั้งสองของระบบสมการ หรือ คูอันดับ (x, y) ท่ีคา x และคา y ท่ีทําใหสมการท้ังสองของระบบสมการเปนจริง

ใหนักเรียนพิจารณาการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรดวยการเขียนกราฟของแตละสมการบนระนาบโดยใชแกนคูเดียวกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 กําหนด x + y = 6 (1) 2x – y = 3 (2)

จงเขียนกราฟของสมการท้ังสอง

วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ x + y = 6 และมีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ 2x – y = 3

เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปนเสนตรงสองเสนซ่ึงตัดกันท่ีจุด ……………… เพียงจุดเดียว แสดงวามีคูอันดับเพียงคูเดียว คือ ……………… ท่ีเปนคําตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว คือ ………………

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 107

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ตัวอยางท่ี 2 กําหนด x + y = 2 (1) 2x + 2y = 4 (2)

จงเขียนกราฟของสมการท้ังสอง

วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ x + y = 2 และมีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ 2x + 2y = 4

เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปนเสนตรงสองเสนซ่ึง ……………… แสดงวามีคูอันดับเพียงทุกคูท่ีเปนพิกัดของจุดบนเสนตรงท่ีทับกันนี้ เปนคําตอบของระบบสมการ

ใหนักเรียนยกตัวอยางคําตอบของระบบสมการมา 5 ตัวอยาง ……………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบมากมายไมจํากัด คือ ………………

108 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ตัวอยางท่ี 3 กําหนด y – x = 3 (1) y = x + 3 (2)

จงเขียนกราฟของสมการท้ังสอง

วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ y – x = 3 และมีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ y = x + 3

เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปนเสนตรงสองเสนซ่ึง ……………… จึงไมมีคูอันดับใด เปนคําตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงไมมีคําตอบ

จากตัวอยางท้ังสามขางตน จะพบวา ลักษณะของคําตอบของระบบสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว มีดังนี้

(1) ระบบสมการอาจมีเพียงคําตอบเดียว (2) ระบบสมการอาจมีหลายคําตอบ (3) ระบบสมการอาจไมมีคําตอบ

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 109

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

1. จงเขียนกราฟ แลวหาวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ มีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ หรือไมมีคําตอบ 1) x + 2y = 4, 2x + 3y = 7 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

2) y + x = -2, 2y + 2x = -4 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

กิจกรรมที่ 3.1 : ทักษะการส่ือสาร สื่อความหมายและการนําเสนอ

110 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

3) x – 3y = 6, 2x – 6y = 8 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

4) 2x + y = -3, 4x + 2y = -6 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 111

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

5) 2y – x = 6, 2y = x – 4 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

6) 2x – 3y – 14 = 0, 3x + 2y = 8 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

112 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

2. จากกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ จงหาวาแตละระบบสมการมีคําตอบหรือไม ในกรณีท่ีมีคําตอบใหระบุคําตอบนั้น 1)

ตอบ……………………………………………………………………………………… 2)

ตอบ………………………………………………………………………………………

6y + 4x = -12

3y + 2x = -6

2x + y = 3

2x + y + 5 = 0

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 113

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

3)

ตอบ……………………………………………………………………………………… 4)

ตอบ………………………………………………………………………………………

x + 2y = 4 2x - 3y = 1

x + y = 0 x – 3 = 0

114 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

5)

ตอบ……………………………………………………………………………………… 6)

ตอบ………………………………………………………………………………………

x + 2y = 4 y = x + 5

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 115

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

33..22 การแกระบบสมการเชิงเสนการแกระบบสมการเชิงเสน

สองตัวแปรสองตัวแปร

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

MATH

Series

116 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ในช้ันมัธยมศึกปท่ี 1 และช้ันมัธยมศึกปท่ี 2 นักเรียนเคยไดเรียนเร่ืองการแกสมการมาแลว ซ่ึงการแกสมการเปนการหาคําตอบของสมการ ในทํานองเดียวกัน การแกระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรเปนการหาคําตอบของระบบสมการดวย

การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร นอกจากจะใชกราฟแลว เราอาจหาคําตอบโดยใช สมบัติของการเทากัน ซ่ึงไดแก………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยวิธีนี้ ในทางคณิตศาสตรถือวา เม่ือใชสมบัติดังกลาวแลวจะไดระบบสมการเชิงเสนใหมท่ีมีคําตอบเดียวกันกับคําตอบของระบบสมการ เชิงเสนท่ีโจทยกําหนดให หรือกลาววาระบบสมการท้ังสองสมมูลกัน

การแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคา การแกระบบสมการโดยการเขียนกราฟในบางคร้ังอาจจะไดคําตอบท่ีไมชัดเจน ดังนั้นจึง

สามารถแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคา ซ่ึงมีวิธีการดังนี้ 1) แกสมการโดยใหตัวแปรตัวหนึ่งอยูในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง (ถาเปนไปไมไดควรทําใน

รูปเศษสวน) 2) แทนคาตัวแปรท่ีไดจากขอ 1) ในสมการอีกสมการหน่ึง ทําใหเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว 3) แกสมการท่ีไดจากขอ 2) 4) แทนคาคําตอบท่ีไดจากขอ 3) ลงในขอ 1) ก็จะไดคําตอบท้ังหมดของระบบสมการ

ตัวอยางท่ี 1 จงแกระบบสมการ x + y = 16 และ y – x = 2 วิธีทํา x + y = 16 (1)

y – x = 2 (2) จาก (2) ในรูปตัวแปร x จะได y = 2 + x (3) แทนคา y จาก (3) ในสมการ (1) จะได

x + (2 + x) = 16 2x + 2 = 16 2x = 16 – 2 = …………

2x2 = …………

x = …………

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 117

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

แทนคา x = 7 ใน (3) จะได y = 7 + 2 = 9

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได 7 + 9 = 16 9 – 7 = 2 ซ่ึงเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (7, 9)

ตัวอยางท่ี 2 จงแกระบบสมการ x – y = 6 และ 2x – y = 4 วิธีทํา x – y = 6 (1)

2x – y = 4 (2) จาก (1) ในรูปตัวแปร y จะได x = 6 + y (3) แทนคา x จาก (3) ในสมการ (2) จะได

2(6 + y) – y = 4 12 + 2y – y = 4

12 + y = 4 y = ………… y = …………

แทนคา y = -8 ใน (3) จะได x = 6 + ………… = …………

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………… = 16 ………………… = 4 ซ่ึงเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ……………………

118 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. x + y = 20 และ x – y = 4 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. x + y = 12 และ 2x – y = 3 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

กิจกรรมที่ 3.2 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 119

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

3. 2x + y = 6 และ 3x + 4y = 4 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. x + 2y = 1 และ x – 2y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

120 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

การแกระบบสมการดวยวิธีการทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเทากัน

นอกจากจะแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคาแลว ยังสามารถการแกระบบสมการดวยวิธีการทําใหสัมประสิทธ์ิของตัวแปรเทากัน ซ่ึงมีวิธีการดังนี้

1) เขียนสมการท้ังสองใหอยูในรูป Ax + By = C เม่ือ A, B, C เปนคาคงตัว 2) ถาจํานวนน้ันเปนเศษสวนหรือทศนิยมใหทําใหเปนจํานวนเต็ม โดยถาเปนเศษ จะตอง

คูณดวย ค.ร.น. ของตัวสวน และถาเปนทศนิยม จะตองคูณดวย 10 หรือ 100 หรือ 1,000, … เพื่อทําใหเปนจํานวนเต็ม

3) ทําสัมประสิทธ์ิของแตละตัวใหเทากัน โดยนําตัวเลขมาคูณตัวแปรแตละตัว 4) ทําสัมประสิทธ์ิของตัวแปรแตละตัวใหหมดไป โดยการบวกหรือลบสมการท้ังสอง 5) เม่ือแกสมการไดคําตอบของตัวแปรตัวหนึ่งแลว ใหนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการ

เพื่อไดคําตอบของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง

ตัวอยางท่ี 3 จงแกระบบสมการ 5x + 3y = 17 และ -5x + 2y = 3 วิธีทํา 5x + 3y = 17 (1)

-5x + 2y = 3 (2) นําสมการ (1) + (2) จะได (5x + 3y) + (-5x + 2y) = 17 + 3

5y = 20 ………… = ………………

แทนคา y = ………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

สมการ (1) + (2) หมายถึง นําจํานวนท่ีอยูขางเดียวของเคร่ืองหมายเทากับของ (1) และ (2) มาบวกกัน เพื่อทําใหสมการมี x เปนตัวแปรตัวเดียว

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 121

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ตัวอยางท่ี 4 จงแกระบบสมการ 3x + 3y = 15 และ 2x + 6y = 22 วิธีทํา 3x + 3y = 15 (1)

2x + 6y = 22 (2) นํา (1)×2 จะได 6x + 6y = 30 (3) นําสมการ (3) – (2) จะได (6x + 6y) – (2x + 6y) = 30 – 22 ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

ตัวอยางท่ี5 จงแกระบบสมการ 2x + 4y = 3 และ 3x + 6y = 8 วิธีทํา 2x + 4y = 3 (1)

3x + 6y = 8 (2) นํา (1)×3 จะได 6x + 12y = 9 (3) นํา (2)×2 จะได 6x + 12y = 16 (4) นําสมการ (3) – (4) จะได (6x + 12y) – (6x + 12y) = 30 – 22 ………………………… = ……………… ………………………… = ……………………………………………….. ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

นํา (1)×2 เพ่ือทําใหสัมประสิทธิ์ของ y เทากัน

122 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ตัวอยางท่ี 6 จงแกระบบสมการ x – 2y = -3 และ -3x + 6y = 9 วิธีทํา x – 2y = -3 (1)

-3x + 6y = 9 (2) นํา (2) ÷ (-3) จะได ……………… = ……………… (3) จะเห็นวาสมการ (3) ท่ีไดจากสมการ (2) เปนสมการเดียวกับ (1) แสดงวา สมการ (1) และสมการ (2) มีคําตอบเปนอยางเดียวกันซ่ึงมีมากมายไมจํากัด ดังนั้น จึงหาคูอันดับท่ีเปนคําตอบของระบบสมการน้ีไดจากสมการใดสมการหน่ึง ดังนี้ จากสมการ (1) จะได 2y = x + 3

…………… = ……………… ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูปคือ ……………………

ตัวอยางท่ี 7 จงแกระบบสมการ -0.3x + 0.5y = -0.1 และ 0.01x – 0.4y = -0.8 วิธีทํา -0.3x + 0.5y = -0.1 (1)

0.01x – 0.4y = -0.8 (2) นํา (1)×10 จะได ……………… = ……………… (3) นํา (2)×……… จะได x + 40y = -38 (4) นํา (4)×3 จะได ……………… = ……………… (5) นําสมการ (3) + (5) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 123

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ตัวอยางท่ี 8 จงแกระบบสมการ 12

x + 23

y = 1 และ 34

x – 13

y = 2

วิธีทํา 12

x + 23

y = 1 (1)

34

x – 13

y = 2 (2)

นํา (1)×…… จะได ……………… = ……………… ……………… = ……………… (3)

นํา (2)×…… จะได ……………… = ………………

……………… = ……………… (4)

นําสมการ (3) + (4) จะได ………………………… = ………………………………… ………………………… = ………………………………… ………………………… = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได

………………………… = …………………………………

………………………… = ………………………………… ซ่ึงเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ…………

ค.ร.น. ของ 4 และ 3 คือ…………

124 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. x + 3y = 7 และ -x + 4y = 7 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. x – 2y = 6 และ -x + 3y = -4 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

กิจกรรมที่ 3.3 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 125

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

3. x + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. 3x – y = 7 และ 4x – 3y – 11 = 0 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

126 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

5. x + 2y – 1 = 0 และ 2x + 4y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

6. 4x – 3y = 12 และ x = 34

y + 3

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 127

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

7. 0.2x + 0.3y = 0.1 และ 0.03x – 0.01y = 0.07 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

8. 35

x + 23

y = 14 และ 34

x – 13

y = 14

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

128 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

นักเรียนไดเรียนการแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคาและวิธีการทําใหสัมประสิทธ์ิของ ตัวแปรเทากันแลว นักเรียนจะเห็นวา จะใชวิธีการใดก็ได ซ่ึงคําตอบของระบบสมการจะเทากัน แตการใชวิธีการแกระบบสมการท่ีเหมาะสมจะชวยทําใหหาคําตอบของระบบสมการไดรวดเร็ว

ตัวอยางท่ี 9 จงแกระบบสมการ 2x = 5y + 1 และ 24 – 7x = 3y วิธีทํา 2x = 5y + 1 (1)

24 – 7x = 3y (2) จากสมการ (1) จะได

x = ……………… (3) แทนคา x = ………… ในสมการ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา y = ………… ในสมการ (3) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 129

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. 11x + 8y = -12 และ 13x – 6y = 83 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. 2x + 3y = 1.6 และ 3x – 4y = 4.1 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

กิจกรรมที่ 3.4 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง

130 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

3. x + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. 2x – 3y = -9 และ 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 131

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

33..33 โจทยโจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปรสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเช่ือม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

MATH

Series

132 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร

การใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาน้ัน เปนการแกปญหาเพ่ือหาคําตอบของโจทยปญหาโดยจัดใหอยูในระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ซ่ึงข้ันตอนการแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนั้นมีข้ันตอนดังนี้

ขั้นตอนการแกโจทยปญหาระบบสมการ มี 5 ข้ันตอนดังนี้ ขั้นท่ี 1 อานและวิเคราะหโจทย เพื่อหาวา โจทยกําหนดอะไรมาให และใหหาอะไร ขั้นท่ี 2 กําหนดตัวแปรแทนส่ิงท่ีโจทยกําหนดใหหาหรือแทนส่ิงท่ีเกี่ยวของกับส่ิงท่ีโจทยใหหา ขั้นท่ี 3 เขียนระบบสมการตามเง่ือนไขท่ีโจทยกําหนด ขั้นท่ี 4 แกระบบสมการเพ่ือหาคําตอบท่ีโจทยตองการดวยวิธีการท่ีเหมาะสม ขั้นท่ี 5 ตรวจสอบคําตอบท่ีไดกับเง่ือนไขในโจทย

ตัวอยางท่ี 1 ถาคร่ึงหนึ่งของผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 43 และสามเทาของจํานวนนอยมากกวาสองเทาของจํานวนมากอยู 23 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น

วิธีทํา ให x แทนจํานวนมาก และ y แทนจํานวนนอย คร่ึงหนึ่งของผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 43 จะไดสมการเปน

12

(x + y) = 43 (1)

สามเทาของจํานวนนอยมากกวาสองเทาของจํานวนมากอยู 23 จะไดสมการเปน 3y – 2x = 23 (2)

นํา (1)×2 จะได ……………… = ………………… (3) นํา (3)×2 จะได ……………… = ………………… (4) นําสมการ (2) + (4) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = …………………………………

รูแลวหรือยัง??

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 133

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

…………………………………. = ………………………………… ตรวจสอบ ถาจํานวนสองจํานวนนั้นคือ ……… และ ……… จะไดคร่ึงหนึ่งของผลบวกเปน

………………………………………………………………………………………. และสามเทาของ ……… มากกวาสองเทาของ ……… อยูเทากับ ………………………………………………………………………………………. ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ……………………………………………………

ตัวอยางท่ี 2 ในกระจาดใบหน่ึงมีจํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันอยู 78 ผล ถาจํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยู 24 ผล กระจาดใบน้ีมีมะมวงและสมอยางละกี่ผล

วิธีทํา ให x แทนจํานวน………………และ y แทนจํานวน……………… จํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันเทากับ 78 ผล จะไดสมการเปน

……………… = ………………… (1) จํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยู 24 ผล จะไดสมการเปน

……………… = ………………… (2) จาก …… จะได ……………… = ………………… (3) แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ ถาจํานวนมะมวงเปน ……… ผลและจํานวนสม ……… ผล จะไดจํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันเทากับ……………………………………………………….. และจํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยูเทากับ……………………………………. ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ……………………………………………………

134 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ตัวอยางท่ี 3 ลวดหนามขดหนึ่งยาว 36 เมตร นําไปลอมรอบพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผาท่ีมีดานกวาง ส้ันกวาดานยาว 4 เมตร ไดพอดี จงหาขนาดของรูปส่ีเหล่ียมผืนผานี้

วิธีทํา ใหพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ยาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร ลวดหนามขดน้ียาว 36 เมตร นําไปลอมรอบพ้ืนท่ี รูปส่ีเหล่ียมผืนผาไดพอดี จะไดสมการเปน

2x + 2y = 36 (1) ดานกวางส้ันกวาดานยาว 4 เมตร จะไดสมการเปน

……………… = ………………… (2) นํา (1) ÷ 2 จะได ……………… = ………………… (3) นําสมการ (2) + (3) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… นําสมการ (3) – (2) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ ถาพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผายาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร จะไดวาเม่ือนําลวดหนามขดหนึ่งนําไปลอมรอบพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผาจะยาวเทากับ ………………………………………………………………………………………. และดานกวางของพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ส้ันกวาดานยาวเทากับ ………………………………………………………………………………………. ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ พื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผายาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร

ตัวอยางท่ี 4 ผสมแปงสาลีชนิดราคากิโลกรัมละ 4 บาท กับแปงมันชนิดราคากิโลกรัมละ 5.50 บาท จงหาวาจะตองใชอัตราสวนผสมของแปงสาลีตอแปงมันโดยน้ําหนักเปนเทาไร จึงจะขายแปงผสมในราคากิโลกรัมละ 6 บาทแลวยังไดกําไร 20 %

วิธีทํา สมมติวาซ้ือแปงสาลี x กิโลกรัม คิดเปนเงิน 4x บาท ซ้ือแปงมัน y กิโลกรัม คิดเปนเงิน 5.50y บาท ซ้ือแปง x + y กิโลกรัม คิดเปนตนทุน 4x + 5.50y บาท ขายแปงผสมกิโลกรัมละ 6 บาท ไดกําไร 20 % หมายความวา

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 135

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ถาขายไป 120 บาท ลงทุน 100 บาท

ถาขายไป 6 บาท ลงทุน 100×6 = 5120

บาท

ดังนั้นตนทุนของแปงผสมราคากิโลกรัมละ 5 บาท ตนทุนของแปงผสมคิดเปนเงิน 5(x + y) บาท ดังนั้น 4x + 5.50y = 5(x + y)

4x + 5.50y = 5x + 5y …………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ ถาใชแปงสาลี ……… กิโลกรัม ผสมกับแปงมัน ……… กิโลกรัม จะมีตนทุนเปน ………………………………………………………………………………………. ถาขายแปงผสม 3 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 6 บาท ไดเงิน…………………………บาท ขายแปงผสม 3 กิโลกรัม ไดกําไร……………………………………………….บาท คิดเปนกําไร………………………………………ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ดังนั้น อัตราสวนผสมแปงสาลีตอแปงมันเปน 1 : 2 โดยนํ้าหนัก ตอบ ………………

ตัวอยางท่ี 5 พี่เคนมีเงิน 9,600 บาท เขาลงทุนสวนหน่ึงไดดอกเบ้ีย 6% ตอป สวนท่ีเหลือลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% ตอป ถาในหนึ่งปเขาไดดอกเบ้ียท้ังหมด 632 บาท จงหาวาเขาลงทุนแหงละเทาไร

วิธีทํา ให x เปนจํานวนเงินท่ีเขาลงทุนไดดอกเบ้ีย 6% y เปนจํานวนเงินท่ีเขาลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% พี่เคนมีเงิน 9,600 บาท จะไดสมการเปน

x + y = 9,600 (1)

เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบ้ีย 6% ตอป คิดเปนเงิน 6100

x บาท

สวนท่ีเหลือลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% ตอป คิดเปนเงิน 8100

x บาท

136 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ถาในหนึ่งปเขาไดดอกเบ้ียท้ังหมด 632 บาท จะไดสมการเปน ………………………… = 632 (2) นํา (2)×100 จะได …………………… = ………………… (3) นํา (1)×……จะได 6x + 6y = 57,600 (4) นําสมการ (3) – (4) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ (1) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ พี่เคนลงทุน ………… บาท ท่ีไดดอกเบ้ีย 6% และลงทุน ………… บาท ท่ีไดดอกเบ้ีย 8% จะไดวาเขามีเงินเทากับ………………………………………………. เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบ้ีย 6% ตอป คิดเปนเงิน……………………………บาท สวนท่ีเหลือลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% ตอป คิดเปนเงิน…………………………….บาท ดังนั้น เขาไดดอกเบ้ียท้ังหมดเทากับ……………………………………………บาท ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ พี่เคนลงทุน ………… บาท ท่ีไดดอกเบ้ีย 6% และลงทุน ………… บาท ท่ีได

ดอกเบ้ีย 8%

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 137

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

1. ผลตางของจํานวนสองจํานวนเปน 16 ถาสามเทาของจํานวนมากเทากับเกาเทาของจํานวนนอย จงหาจํานวนท้ังสอง

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. ปานอยขายแอปเปล 2 ผลกับสาล่ี 3 ผล ในราคา 35 บาท แตถาลูกคาซ้ือแอปเปล 3 ผลกับสาล่ี 6 ผล จะขายในราคา 60 บาท แอปเปลและสาล่ีแตละผลราคาเทากัน ปานอยขายแอปเปลและสาล่ีราคาผลละเทาไร

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

กิจกรรมท่ี 3.5 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา ส่ือสาร นําเสนอ และเชื่อมโยง

138 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

3. สวนดอกไมรูปส่ีเหล่ียมผืนผาแหงหนึ่งมีความยาวรอบรูปเทากับ 628 เมตร ถาความยาวของสวนดอกไมยาวกวาดานกวาง 6 เมตร จงหาความกวางและความยาวของสวนดอกไมแหงนี้

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. ตองผสมนํ้าตาลทรายชนิดราคากิโลกรัมละ 12 บาท กับน้ําตาลทรายชนิดราคากิโลกรัมละ 14 บาท จงหาวาจะตองใชอัตราสวนผสมเปนเทาไร จึงจะขายน้ําตาลทรายผสมในราคากิโลกรัมละ 15 บาทแลวยังไดกําไร 20 %

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 139

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

5. พี่แบงกนําเงิน 880,000 บาท ไปลงทุนทํากิจการสองอยาง เม่ือส้ินปไดกําไร 132,600 บาท ถาพี่แบงกลงทุนกิจการอยางแรกไดกําไร 14% และลงทุนกิจการอยางท่ีสองไดกําไร 16% อยากทราบวาพ่ีแบงกลงทุนกิจการแตละอยางไปเทาไร

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

6. นองฝนสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได 200 เหรียญ คิดเปนเงินรวมกัน 920 บาท อยากทราบวานองฝนมีเหรียญแตละชนิดอยางละกี่เหรียญ

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

140 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

กลอน…เจาปญหา

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู

กาลครั้งหนึ่งมีพญายูงฝูงปกษา บินรอนมาลงสระใหญในไพรสณฑ เกาะบัวตัวละใบทั่วอุบล แลวบินวนเหลือหลามอยูสามตัว บินใหมเกาะใหมใบละสอง ใบบัวทองเหลือหนึ่งไมพึงทั่ว จงแกโจทยประจักษอยาหมองมัว วาสระบัวมีนกกี่ตัว บัวกี่ใย