1
Zapis podataka
Teme
• Brojevni sustav
• Dekadski brojevni sustav
• Binarni brojevni sustav
• Oktalni brojevni sustav
• Heksadekadski brojevni sustav
• Pretvorba dekadskog u binarni
• Pretvorba dekadskog u oktalni
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 2
Teme
• Pretvorba dekadskog u hekadekadski
• Pretvorba binarnog u oktalni
• Pretvorba binarnog u dekadski
• Pretvorba binarnog u hekadekadski
• Pretvorba oktalnog u binarni
• Pretvorba oktalnog u dekadski
• Pretvorba heksadekadskog u binarni
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 3
Teme
• Pretvorba heksadekadskog u dekadski
• Zbrajanje binarnih brojeva
• Oduzimanje binarnih brojeva
• Dvojni komplement
• Množenje binarnih brojeva
• Riječ
• Prikaz brojeva u računalu
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 4
Teme
• Prikaz brojeva s pomičnim zarezom
• IEEE Standard 754
• Kôd i kodiranje
• ASCII kôd
• Unicode
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 5
Brojevni sustav
• Način zapisivanja brojeva i njihovo tumačenje zove se brojevni sustav.
• Položajni brojevni sustav je sustav kod kojeg položaj znamenke u zapisu određuje njezinu vrijednost.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 6
Brojevni sustav u općem obliku
• Broj N se u brojevnom sustavu s bazom B može napisati ovako:
• N = z ∙ Bn + z ∙ Bn-1 + z ∙ Bn-2 + … + z ∙ B2 + z ∙ B1 + z ∙ B0, z ∙ B-1 + z ∙ B-2 + … + z ∙ B-(n-2) + z ∙ B-(n-1) + z ∙ B-n
• N je broj prikazan u brojevnom sustavu s bazom (osnovom) B s pomoću znamenki z (z može biti bilo koja znamenka brojevnog sustava B).
• Znamenke z su cijeli brojevi u rasponu od 0 do B-1.
• Broj n je cijeli broj.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 7
Dekadski brojevni sustav
• Baza (osnova) dekadskog brojevnog sustava je 10, a za zapis brojeva se rabe znamenke z = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• N = z∙10n + z∙10n-1 + z∙10n-2 + … + z∙102 + z∙101 + z∙100 , z∙10-1 + z∙10-2 + … + z∙10-(n-2) + z∙10-(n-1) + z∙10-n
• Npr. 12,5 = 1∙101 + 2∙100 + 5∙10-1
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 8
Binarni brojevni sustav
• Baza (osnova) binarnog brojevnog sustava je 2, a za zapis se brojeva rabe znamenke z = 0 i 1.
• N = z∙2n + z∙2n-1 + z∙2n-2 + … + z∙22 + z∙21 + z∙20 , z∙2-1 + z∙2-
2 + … + z∙2-(n-2) + z∙2-(n-1) + z∙2-n
• Npr. 101 = 1∙22 + 0∙21 + 1∙20
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 9
Oktalni brojevni sustav
• Baza (osnova) oktalnog brojevnog sustava je 8, a za zapis brojeva se rabe znamenke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• N = z∙8n + z∙8n-1 + z∙8n-2 + … + z∙82 + z∙81 + z∙80 , z∙8-1 + z∙8-
2 + … + z∙8-(n-2) + z∙8-(n-1) + z∙8-n
• Npr. 217 = 2∙82 + 1∙81 + 7∙80
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 10
Heksadekadski brojevni sustav
• Baza (osnova) heksadekadskog brojevnog sustava je 16, pa je za zapis brojeva potrebno 16 znamenaka.
• U tu je svrhu uz 10 znamenaka dekadskog brojevnog sustava uvedeno i prvih 6 slova engleske abecede.
• Tako se rabe znamenke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 11
Heksadekadski brojevni sustav
• N = z∙16n + z∙16n-1 + z∙16n-2 + … + z∙162 + z∙161 + z∙160 , z∙16-1 + z∙16-2 + … + z∙16-(n-2) + z∙16-(n-1) + z∙16-n
• Npr. 1AF = 1∙162 + 10∙161 + 15∙160
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 12
Heksadekadski brojevni sustav
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 13
Pretvorba dekadskog u binarni
• Dekadski se broj u binarni pretvara uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom prikazu s bazom brojevnog sustava u kojem se broj želi prikazati (u ovome slučaju s 2) uz bilježenje ostatka svakog pojedinačnog dijeljenja.
• Dijeljenje završava kad je rezultat dijeljenja nula.
• Ostaci čitani odozdo, predstavljaju traženi binarni broj.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 14
Pretvorba dekadskog u binarni
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 15
Pretvorba dekadskog u oktalni
• Dekadski broj pretvara se u oktalni uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom prikazu s bazom brojevnog sustava, u ovome slučaju s 8, uz bilježenje ostatka svakog pojedinačnog dijeljenja.
• Dijeljenje završava kad je rezultat dijeljenja nula.
• Ostaci čitani odozdo, predstavljaju traženi oktalni broj.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 16
Pretvorba dekadskog u oktalni
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 17
Pretvorba dekadskog u heksadekadski
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 18
• Dekadski broj se pretvara u heksadekadski uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom prikazu s bazom brojevnog sustava, u ovome slučaju sa 16, uz bilježenje ostatka svakog pojedinačnog dijeljenja.
• Dijeljenje završava kad je rezultat dijeljenja nula.
• Ostaci čitani odozdo, predstavljaju traženi heksadekadski broj.
Pretvorba dekadskog u heksadekadski
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 19
Pretvorba binarnog u oktalni
• Binarni broj u oktalni pretvara se tako da se, krenuvši s desna na lijevo, znamenke binarnog broja grupiraju u skupine po tri znamenke.
• Ako u posljednjoj (gledajući s desna na lijevo) skupini nedostaje znamenaka (da bi ih bilo tri), nadopunimo tu skupinu s nulama.
• Nakon toga za svaku skupinu iz gornje tablice pročitamo oktalnu znamenku koju predstavlja.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 20
Pretvorba binarnog u oktalni
• 1100001011
– Grupiranje:
• 1 100 001 011
– Dodavanje nula:
• 001 100 001 011
– Pridjeljivanje oktalne vrijednosti skupinama:
• 1 4 1 3
– Rezultat:
• (1100001011)2 = (1413)8
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 21
Pretvorba binarnog u dekadski
• Binarni broj u dekadski pretvara se rastavljanjem broja na težinske vrijednosti.
• Npr.:
• (1010)2 =
• (1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20)10 =
• (8 + 0 + 2 + 0)10 =
• (10)10
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 22
Pretvorba binarnog u heksadekadski
• Binarni broj u heksadekadski pretvara se tako da se, krenuvši s desna na lijevo, znamenke binarnog broja grupiraju u skupine po četiri znamenke.
• Ako u posljednjoj (gledajući s desna na lijevo) skupini nedostaje znamenaka (da bi ih bilo četiri), nadopunimo tu skupinu s nulama.
• Nakon toga za svaku skupinu iz gornje tablice pročitamo heksadekadsku znamenku koju predstavlja.
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 23
Pretvorba binarnog u heksadekadski
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 24
• (1100001011)2
– Grupiranje:
• (11 0000 1011)2
– Dodavanje nula:
• (0011 0000 1011)2
– Pridjeljivanje heksadekadske vrijednosti supinama:
• (3 0 B)16
• (1100001011)2 = (30B)16
Pretvorba oktalnog u binarni
• Oktalni broj u binarni pretvara se tako da se svaka oktalna znamenka prikaže binarnom trojkom (trijadom) koja se pročita iz tablice.
• (1 5 2)8
• 001 101 010
• (152)8 = (001101010)2
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 25
Pretvorba oktalnog u dekadski
• Oktalni broj u dekadski pretvara se rastavljanjem broja na težinske vrijednosti.
• Npr.:
• (322)8 =
• (3 ∙ 82 + 2 ∙ 81 + 2 ∙ 80)10 =
• (192 + 16 + 2)10 =
• (210)10
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 26
Pretvorba heksadekadskog u binarni
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 27
• Heksadekadski broj u binarni pretvara se tako da se svaka heksadekadska znamenka prikaže binarnom četvorkom (tetradom) koje se pročita iz tablice.
Pretvorba heksadekadskog u binarni
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 28
• (1A7)16 = – Pretvaranje znamenke heksadekadskog broja u
binarnu vrijednost prema tablici:
• (0001 1010 0111)2 =
– Odbacivanje početnih nula:
• (110100111)2
• (1A7)16 = (110100111)2
Pretvorba heksadekadskog u dekadski
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 29
• Heksadekadski broj u dekadski pretvara se rastavljanjem na težinske vrijednosti.
• Npr.:
• (D2)16 = (13 ∙ 161 + 2 ∙ 160)10 =
• (208 + 2)10 = (210)10
• (D2)16 = (210)10
Zbrajanje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 30
• Binarnih brojevi se zbrajaju po pravilima za zbrajanje dvaju bitova
Zbrajanje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 31
Zbrajanje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 32
Oduzimanje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 33
• Oduzimanje brojeva može se svesti na zbrajanje.
• Da bi to bilo moguće, umanjitelj treba pretvoriti u negativan broj.
• Primjerice, 5 – 3 = 5 + (–3).
• Negativni se brojevi u binarnom brojevnom sustavu predočuju s pomoću dvojnoga komplementa.
Dvojni komplement
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 34
• Dvojni komplement nekoga binarnog broja dobiva se ovako.
– Umanjenik i umanjitelj treba svesti na jednak broj znamenaka tako da se umanjitelju doda s lijeve strane potreban broj nula.
– Svaku “0” umanjitelja treba pretvoriti u “1” i svaku “1” pretvoriti u “0”. Tako dobiveni broj zove se komplement broja.
– Komplementu pribrojiti “1”. Rezultat se zove dvojni komplement.
Oduzimanje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 35
• Nakon što se umanjeniku pribroji dvojni komplement umanjitelja, treba odbaciti krajnje lijevu jedinicu da bi rezultat bio ispravan.
Oduzimanje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 36
Množenje binarnih brojeva
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 37
• Množenje binarnih brojeva svodi se na zbrajanje. Pazite na potpisivanje znamenaka!
Riječ
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 38
• Binarni broj koji odjednom može obrađivati središnja jedinica za obradu računala naziva se riječ.
• Kod suvremenih računala riječ je binarni broj s 32 ili 64 bitova (ovisno o ugrađenoj središnjoj jedinici za obradu).
Poluriječ
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 39
• Binarni broj s pola manje bitova od riječi naziva se poluriječ.
• Kod 32 bitovnog računala poluriječ ima 16 bitova, a kod 64 bitovnog računala poluriječ ima 32 bitova.
Dvostruka riječ
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 40
• Binarni broj s dvostruko više bitova od riječi naziva se dvostruka riječ.
• Kod 32 bitovnog računala dvostruka riječ ima 64 bitova, a kod 64 bitovnog računala dvostruka riječ ima 128 bitova.
Prikaz brojeva u računalu
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 41
• Svaki podatak unutar računala treba predočiti binarnim brojevima, odnosno određenim rasporedom "0" i "1".
• Prirodni se brojevi mogu predočiti jednostavno nizom "0" i "1" koji predočuju binarni broj.
• Na taj je način moguće prikazati brojeve od 0 do (2n-1), gdje je n broj bitova na raspolaganju za prikaz prirodnog broja.
Prikaz brojeva u računalu
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 42
• Cijeli se brojevi (engl. integer) u računalu obično predočuju pomoću dvojnog komplementa.
• Brojevi u rasponu od 1 do (2n -1 -1) su namijenjeni za prikaz pozitivnih brojeva i oni predočuju pozitivne brojeve u binarnom brojevnom sustavu.
• Brojevi u rasponu od 2n -1 do (2n – 1) su namijenjeni za prikaz negativnih brojeva.
Prikaz brojeva u računalu
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 43
• Binarni broj koji ima sve znamenke jednake jedan predočuje negativni broj (2n – 1) - 2n -1 +1 = 2n - 2n -1 = 2n -1.
• U slučaju predodžbe broja s osam bitova broj (11111111)2 predočuje broj -28 -1 = -27 = -(128)10.
• Nula se prikazuje binarnim brojem čije su sve znamenke jednake nuli (00000000)2 .
Prikaz brojeva u računalu
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 44
Prikaz brojeva s pomičnim zarezom
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 45
• Zapis realnog broja s pomičnim zarezom sastoji se od tri dijela:
– mantise ili argumenta (u primjeru 1,2); mantisa se uobičajeno uvijek tvori tako da ima lijevo od odjelne točke samo jednu znamenku, i to različitu od ništice
– osnove (u primjeru 10)
– eksponenta (u primjeru 34); eksponent je uvijek cijeli broj.
1,2 ∙ 1034
IEEE Standard 754
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 46
• Prema toj normi za prikaz brojeva jednostruke točnosti (engl. single precision) na raspolaganju su 32 bita
• Predznak broja zauzima jedan bit (trideset i prvi bit, krajnje lijevi). Ako je taj bit "0", broj je pozitivan, a ako je "1", broj je negativan.
• Eksponent zauzima sljedećih osam bitova (od bita 23 do 30). Od eksponenta se dogovorno oduzima uvijek broj (127)10 kako bi eksponent mogao biti pozitivan i negativan.
• Mantisa ima na raspolaganju 23 bita (od bita 0 do 22), a zapisuje se tako da je lijevo od decimalnog zareza samo jedna znamenka i da ta znamenka
mora biti različita od ništice (mantisa se sastoji od 24 bita - prvi bit je
uvijek jedan i podrazumijeva se).
IEEE Standard 754
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 47
• 01000010001011000000000000000000
• Gledajući slijeva nadesno, prvi je bit "0" pa je riječ o pozitivnom broju.
• Sljedećih osam bitova su eksponent: (10000100)2 = (132)10
• Kako je prethodno navedeno, eksponent se dobije tako da se od tog broja oduzme broj (127)10, pa je eksponent jednak (132)10 – (127)10 = (5)10.
• Sljedeća 23 bita (01011000000000000000000) su mantisa. Kako je dogovoreno da se kao prvi broj mantise podrazumijeva "1", to je mantisa: 1,01011000000000000000000.
• Pretvori li se broj +1,01011000000000000000000 ∙ 2+5 u dekadski broj pravilima koja su prije navedena, dobije se broj (43)10.
Kôd i kodiranje
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 48
• Postupak u kome se skupu znakova pridjeljuje neko značenje naziva se kodiranje.
• Normiranje koda je točno definiran način na koji se slova, brojevi i posebni znakovi pretvaraju u binarni oblik prihvatljiv računalu.
ASCII kôd
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 49
• ASCII kôd (engl. American Standard Code For Information Interchange) jest kôd za prikaz znakova u računalu propisan američkom normom.
• Prema tom se kodu za prikaz svakog znaka rabi 7 bitova (sedmeroznamenkasti binarni broj).
• Binarnim se brojem sa 7 znamenaka može prikazati 128 (27 = 128) različitih stanja (znakova u računalu).
ASCII kôd
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 50
ASCII kôd
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 51
Unicode
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 52
• Unicode je međunarodna norma čiji je krajnji cilj kodirati svaki znak svakog postojećeg ljudskog jezika (uključujući i one jezike koji se više ne rabe) jedinstvenim binarnim brojem.
• Unicode za kodiranje svakog znaka rabi 16-bitni binarni broj.
• Na taj je način moguće kodirati ukupno 216 = 65.536 znakova.
• Početnih 128 kodova Unicode koda je sukladno postojećem ASCII kodu.
Pitanja za provjeru znanja
1. Što je položajni brojevni sustav?
2. O čemu ovisi težinska vrijednost pojedine znamenke u nizu?
3. Što je baza (osnova) brojevnog sustava?
4. Koje se načelo rabi da bi se broj iz bilo kojeg brojevnog sustava pretvorio u dekadsku protuvrijednost?
5. Koji se brojevni sustavi rabe za skraćeno zapisivanje binarnih brojeva?
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 53
Pitanja za provjeru znanja
6. Kako se tvori komplement binarnog broja, a kako dvojni komplement?
7. S koliko se binarnih znamenaka može prikazati svaka heksadekadska znamenka, a s koliko oktalna?
8. Što je i čemu služi ASCII?
9. Što je i čemu služi Unicode?
10.Kolika je vrijednost prefiksa “K” u binarnom brojevnom sustavu?
© L. Blagojević i D. Grundler, 2009 54
Top Related