ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE
1. Napišite elektronsku konfiguraciju broma, čiji je atomski broj Z= 35.
Rješenje: 1s22s22p63s23p64s23d104p5
2. Utvrdite koji od navedenih parova hemijskih elemenata ne grade jonska
jedinjenja. a) O i H b) Ca i O c) Ba i I d) C i Cl e) Li i Cl
Rješenje: d) C i Cl
3. Izračunati koliko je grama cinka potrebno za reakciju sa 6g joda u cink-
jodid. Mr(Zn)= 65,38 Mr(I)=126,9
Rješenje: Zn + I2 → ZnI2 m(Zn) = ,
,6
1mol 1mol 1mol m(Zn)=1,54g 65,38 253,8
4. Izračunati broj molekula CO2 u 0,34 mola gasovitog ugljenika (IV)-osida.
Rješenje: N = n x Na N (CO2) = 0,34mol x 6,022x1023mol-1
N (CO2)= 2,05x1023
5. U 2dm3 rastvora nalazi se 0,5 mola azotne kiseline. Izračunati količinsku
koncentraciju HNO3 u rastvoru.
Rješenje: c = c (HNO3) = ,
, dm = 0,25 mol
6. Izračunati koncentraciju vodonikovih jona i odrediti pH i pOH rastvora,
ako je [OH-]= 10-3 mol/dm3
Rješenje: [OH-]= 10-3 mol/dm3 => [H+] = 10-11 mol/dm-3 pH = -log [H+] pH = -log 10-11 pH = 11 pOH = 3
7. Iz koliko se molova butana sagorijevanjem dobiju 0,4 mola ugljen dioksida: a) 0,5 b) 2 c) 1 d) 0,1 e) 0,2
Rješenje:
C4H10 + O2 → 4CO2 + 5 H2O 1mol 6,5 mol 4mol 5mol n (C4H10) = 0,4 n (C4H10) = 0,1mol
8. Maseni udio ugljenika u % u n- pentanu je: a) 83, 33 b) 75,42 c) 92, 18 d) 78,13 e) 56,23
Rješenje: Cn H2n+2 C5H12 M(C5H12) = 72 g/mol M(C) = 12g/mol ω(C)% = x100%
ω(C)% = x100% = 83,33%
9. Oksidacijom 2- butanola nastaje: a)aldehid b) keton c)etar d)estar e)anhidrid
Rješenje: b) keton
10. Koje racionalno ime ima slijedeća kiselina:
CH3CH(CH3)CH2CH2COOH? a) pentan – kiselina b) pentan – dikiselina c) 4- metil – pentan- kiselina
d) 2 – metil – pentan – kiselina e) heksan – kisel
Rješenje: b) 4- metil – pentan- kiselina
11. Atomi jednog hemijskog elementa imaju slijedeću konfiguraciju:
1s22s22p63s23p3. Utvrdite: a) atomski broj elementa: b) periodu i grupu u kojoj se on nalazi: c) broj valentnih elektrona u atomu tog elementa: d) broj nesparenih elektrona u atomu tog elementa:
Rješenje:
a) Z = 15 b) treća perioda, peta grupa c) 5 d) 3
12. Izračunati količinu molekula H2O u 100g čiste vode, ako je
M(H2O)=18,0 g/mol.
Rješenje: n (H2O) = =
, / = 5, 55 mol
13. Odredite oksidacione brojeve elemenata u slijedećim elementarnim supstancama, jedinjenjima i jonima: a) Cl2, S8, P4 b) NaCl, CaO, Al2O3 c) CH4, CO2, HCl d) SO4
2-, CO32-, MnO4
-
Rješenje: a) (0), (0), (0), b) (+1) (-1), (+2) (-2), (+3)(-2) c) (-4) (+1), (+4) (-2), (+1) (-1) d) (+6) (-2), (+4) (-2), (+7) (-2)
14. Izračunati koliko je grama bezvodnog natrijum – karbonata, Na2CO3
potrebno za pripremanje 500 cm3 rastvora količinske koncentracije 0,5 mol/dm3. Molarna masa natrijum – karbonata je 106g/mol.
Rješenje: c = => n= c x V n (Na2 CO3) = 0,5 mol/dm3 x 0,5dm3 = 0,25 mol m (Na2 CO3) = n x M = 0,25mol x 106g/mol = 26,5g
15. Izračunati koncentraciju H+ jona u rastvoru u kome je koncentracija OH- jona 7, 4 x 10-11 mol/ dm3.
Rješenje: [H+] =
[ ] =
, = 1, 35x 10-4 mol/dm3
16. Zaokružite spojeve molekularnih formula C2H4, C3H8, C10H22, C6H6,
C12H24 koji nisu homolozi metana.
Rješenje: Cn H2n+2
C2H4, C6H6, C12H24
17. Kako se dokazuje dvostruka veza, objasnite na primjeru etilena.
Rješenje: H2C= CH2 + Br2 → Br- CH2- CH2- Br dibrometan
18. Koliko grama fenola reaguje sa 10g NaOH? M(C6H5OH) = 94,0 g/mol; M(NaOH) = 40g/mol
Rješenje: C6H5OH + NaOH → C6H5ONa + H2O 1mol 1mol 94g 40g m(C6H5OH) = 10g = 23,5g
19. Karboksilne kiseline imaju funkcionalnu grupu, koja se zove . . . . . . . . . . . grupa, napišite njenu formulu:
Rješenje: karboksilna, -C=O
| OH
20. Odredite broj protona, neutrona i elektrona u atomu urana .
Rješenje: p+ = 92 n0 = (238-92) = 146 e- = 92
21. Koliko je grama natrijum – hlorida potrebno za pripremanje 500 cm3 rastvora količinske koncentracije 0,2 mola/dm3? Molarna masa NaCl je 58,5g/mol.
Rješenje: n = c x V = 0,2 mola/dm3 x 0,500 dm3
n = 0,1 mol m(Na2CO3) = n x M = 0,1 mol x 58,5g/mol = 5,85g
22. Napišite strukturne formule sledećih ugljikovodonika: a) propana b) 4- metil- 2- pentena c) 1- butina (etilacetilena)
Rješenje:
H H H | | |
a) H - C – C – C – H | | | H H H H CH3 H CH3 | | | |
b) H – C – C = C – C – C – H ( CH3 – CH = CH – CH – CH3 ) | | | | | H H H H H H H | |
c) H – C – C – C ≡ C – H ( CH3 – CH2 – C ≡ CH) | | H H
23. Sagorjevanjem etena na vazduhu nastaju ugljenik (IV) – oksid i voda. Izračunajte koliko bi nastalo CO2 sagorijevanjem 14,0g etena.
Rješenje: H2C = CH2 + 3O2 → 2CO2 + 2H2O 1mol 3mol 2mol 28,0g 88,0g m(CO2) = ,
,14,0 44,0
24. Jezgro atoma nekog elementa sadrži 10 neutrona, a elektronski omotač 9 elektrona. a) koji je to element? b) koliki je atomski broj tog elementa? c) koliki je maseni broj tog elementa?
Rješenje:
a) to je element sa rednim brojem 9, a to je F b) Z = 9 c) Am = 9+10 = 19
25. Relativna atomska masa joda je 127. Kolika je masa molekule tog
elementa izražena u mg? M( J2) = 2x127 = 254g/mol
Rješenje: mf =
mf = /,
mf = 42 ,17 x 10-23g mf = 4,217 x 10-19 mg
26. Zaokružite slovo ispred jedinjenja u kojem je zastupljena jonska veza:
a) NaCl b) CH4 c) CO2 d) O2
Rješenje:
a) NaCl
27. Izračunajte koliku masu NaOH treba odvagati da biste pripremili 0,5 dm3 rastvora NaOH čija je koncentracija 3 mola/dm3? Mr(NaOH) = 40.
Rješenje: n (NaOH) = c x V n (NaOH) = 3 mol/dm3 x 0,5dm3 n (NaOH) = 1,5 mol m (NaOH) = n x M m (NaOH) = 1,5 mol x 40 g/mol m (NaOH) = 60g
28. Ako treći član nekog homolognog niza ima formulu C3H8, onda će sedmi član imati formulu: A: a) C7H14 b) C7H16 c) C7H12 d) C7H7 B: navedite o kojoj grupi ugljikovodika je riječ C: kojom vezom su vezani ti ugljikovodici?
Rješenje: A: b) C7H16 B: riječ je o alkanima C: vezani su jednostrukom kovalentnom σ vezom
29. Odredite molarnu masu elementa, ako je poznato da masi od 28,0g odgovara 2,0 mola ovog elementa.
Rješenje: M=
M= ,,
M= 14,0g/mol 30. Izračunajte procentnu koncentraciju rastvora nastalog rastvaranjem 150g
NaNO3 u 594g C2H5OH.
Rješenje: ω% (NaNO3) = 100%
ω% (NaNO3) = 100% ω% (NaNO3) = 20,16%
PRIMJERI ZADATAKA IZ MATEMATIKEza polaganje kvalifikacionog ispita
1. Uprostiti izraz(1
x2 + 11x+ 30+
2x+ 8
x2 + 12x+ 35+
1
x2 + 13x+ 42
)2
· (x+ 1)2 + 12x+ 48
2.
Rjexenje: Dati izraz je definisan za svako x ∈ R \ {−7,−6,−5}.Transformacijom izraza dobijamo(
1
x2 + 11x+ 30+
2x+ 8
x2 + 12x+ 35+
1
x2 + 13x+ 42
)2
· (x+ 1)2 + 12x+ 48
2
=
(1
(x+ 5)(x+ 6)+
2x+ 8
(x+ 5)(x+ 7)+
1
(x+ 6)(x+ 7)
)2
· x2 + 14x+ 49
2
=[x+ 7 + (2x+ 8)(x+ 6) + x+ 5]2
(x+ 5)2(x+ 6)2(x+ 7)2· (x+ 7)2
2
=[2(x+ 6) + 2(x+ 4)(x+ 6)]2
2(x+ 5)2(x+ 6)2=
4(x+ 6)2(x+ 5)2
2(x+ 5)2(x+ 6)2= 2.
2. Rijexiti nejednaqinu
2x
3x− 4+ 7 ≥ 3− 5x
8− 6x− 4.
Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R\{43}. Dalje imamo
2x
3x− 4+ 7 ≥ 3− 5x
8− 6x− 4 ⇐⇒ 2x
3x− 4+
3− 5x
2(3x− 4)+ 11 ≥ 0 ⇐⇒
4x+ 3− 5x+ 66x− 88
2(3x− 4)≥ 0 ⇐⇒ 65x− 85
2(3x− 4)≥ 0 ⇐⇒ 5(13x− 17)
2(3x− 4)≥ 0.
Znak izraza13x− 17
3x− 4odredi�emo iz slijede�e tabele.
x ∈(−∞, 17
13
)x ∈
(1713, 43
)x ∈
(43,+∞
)13x− 17 − + +3x− 4 − − +
13x−173x−4
+ − +
1
Prema tome x ∈(−∞, 17
13
]∪(43,+∞)
3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
x4 − 37x2 + 36 = 0.
Rjexenje: Kako je
x4 − 37x2 + 36 = x4 − x2 − 36x2 + 36 = x2(x2 − 1)− 36(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 − 36)
= (x− 1)(x+ 1)(x− 6)(x+ 6),rjexenja jednaqine su:
x1 = 1, x2 = −1, x3 = 6, x4 = −6.
4. Rijexiti sistem jednaqina
xy = 100log2 x+ log2 y = 10.
Rjexenje: Za x > 0 i y > 0, imamo
log x + log y = 2log2 x + log2 y = 10.
Uvo�enjem smjena log x = u i log y = v, dobijamo sistem
u + v = 2u2 + v2 = 10
koji je ekvivalentan sa sistemom
u = 2− v4− 4v + v2 + v2 = 10
tj. sau = 2− v
v2 − 2v − 3 = 0.
Rjexenja jednaqine v2 − 2v − 3 = 0 su v1 = −1 i v2 = 3.Ako je v = −1 ⇒ u = 3, pa je x = 103 i y = 10−1,a ako je v = 3 ⇒ u = −1, pa je x = 10−1 i y = 103.
Rs =
{(1
10, 1000
),
(1000,
1
10
)}.
2
5. Izraqunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija oxtrog ugla α upravouglom trouglu qije je kateta a = 5 cm i hipotenuza c = 13 cm.Rjexenje:Neka su a, b katete pravouglog trougla i α ugao naspram katete a.Primjenom Pitagorine teoreme a2 + b2 = c2 slijedi b2 = 144 ⇔ b = 12.
S obzirom da je
sinα =a
c, cosα =
b
c, tgα =
a
b, ctgα =
b
a,
dobijamo
sinα =5
13, cosα =
12
13, tgα =
5
12, ctgα =
12
5.
3
1. Rijexiti jednaqinu
1
15x− 10− 5− x
27x3 − 54x2 + 36x− 8=
1.2x− 1
18x2 − 24x+ 8.
Rjexenje: Data jednaqina je definisana za svako x ∈ R \ {23}. Jednaqinu
rjexavamo na slijede�i naqin:1
15x− 10− 5− x
27x3 − 54x2 + 36x− 8=
1.2x− 1
18x2 − 24x+ 8⇐⇒
1
5(3x− 2)− 5− x
(3x− 2)3−
65x− 1
2(3x− 2)2= 0 ⇐⇒
2(9x2 − 12x+ 4)− 10(5− x)− 5(65x− 1
)(3x− 2)
10(3x− 2)3= 0 ⇐⇒
18x2 − 24x+ 8− 50 + 10x− 18x2 + 15x+ 12x− 10 = 0 ⇐⇒ 13x = 52 ⇐⇒ x = 4.
2. Rijexiti nejednaqinu
5− x
x2 − 3x+ 2> 1.
Rjexenje: Za svako x ∈ R \ {1, 2} imamo
5− x
x2 − 3x+ 2> 1 ⇔ 5− x
x2 − 3x+ 2−1 > 0 ⇔ 5− x− x2 + 3x− 2
x2 − 3x+ 2> 0 ⇔ −x2 + 2x+ 3
x2 − 3x+ 2> 0.
Znak izraza−x2 + 2x+ 3
x2 − 3x+ 2odredi�emo iz slijede�e tabele.
x ∈ (−∞,−1) x ∈ (−1, 1) x ∈ (1, 2) x ∈ (2, 3) x ∈ (3,+∞)
−x2 + 2x+ 3 − + + + −x2 − 3x+ 2 + + − + +
−x2+2x+3x2−3x+2
− + − + −
Prema tome x ∈ (−1, 1) ∪ (2, 3).
3. Rijexiti sistem jednaqina
x+ y = 75x · 8y = 512000.
Rjexenje: Za svako x, y ∈ R, imamo
4
x+ y = 75x · 8y = 512000
⇐⇒ y = 7− x5x · 87 · 8−x = 512000
⇐⇒
y = 7− x(58
)x=
(58
)3 ⇐⇒ y = 7− xx = 3
⇐⇒ y = 4x = 3
Rs = {(3, 4)}.
4. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
log(x+ 2) + log(x− 1) = 1.
Rjexenje: Data jednaqina je definisana za svako x ∈ (1,+∞).Jednaqina log(x+2)+log(x−1) = 1 je ekvivalentna sa log[(x+2)(x−1)] = log 10.Tada je x2 − x + 2x − 2 = 10, tj. x2 + x − 12 = 0. Diskriminanta kvadratnejednaqine je D = 49 > 0, pa su rjexenja kvadratne jednaqine realna irazliqita. Rjexenja te jednaqine su: x1 = −4, x2 = 3. S obzirom na uslovx ∈ (1,+∞) jedino rjexenje polazne jednaqine je x = 3.
5. Izraqunatisinα− cosα
2 sinα + 3 cosα,
ako je tgα =1
2.
Rjexenje: Kako je tgα = sinαcosα
,
sinα− cosα
2 sinα + 3 cosα=
sinαcosα
− 1
2 sinαcosα
+ 3=
12− 1
2 · 12+ 3
= −1
8.
5
1. U zavisnosti od realnog parametra m rijexiti sistem jednaqina:
(m+ 5)x + (m+ 1)y = 162x + 4y = m+ 1.
Rjexenje:Imamo
D =
∣∣∣∣ m+ 5 m+ 12 4
∣∣∣∣ = 2(m+ 9), Dx =
∣∣∣∣ 16 m+ 1m+ 1 4
∣∣∣∣ = (7−m)(m+ 9),
Dy =
∣∣∣∣ m+ 5 162 m+ 1
∣∣∣∣ = (m+ 9)(m− 3).
Za m ∈ R \ {−9} sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexenje. Pri tomeje
x =Dx
D=
7−m
2, y =
Dy
D=
m− 3
2,
odnosno Rs ={(
7−m2
, m−32
)}. Za m = −9 je D = 0, Dx = 0 i Dy = 0. Sistem
jednaqina rjexavamo primjenom Gauss-ovog algoritma
−4x − 8y = 162x + 4y = −8
⇔ −4x − 8y = 160 = 0
Stavimo li y = α, (α ∈ R), dobijamo Rs = {(−4− 2α, α)|α ∈ R}
2. Rijexiti sistem jednaqina
x + 3y = 18xy = 15.
Rjexenje:
x = 18− 3y(18− 3y)y = 15
⇐⇒ x = 18− 3y18y − 3y2 = 15
⇐⇒
x = 18− 3yy2 − 6y + 5 = 0
⇐⇒ x = 18− 3yy = 1 ∨ y = 5
Ako je y = 1 ⇒ x = 15, a ako je y = 5 ⇒ x = 3.
Rs = {(3, 5), (15, 1)}.
6
3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
3 · 4x + 1
39x+2 = 6 · 4x+1 − 1
29x+1.
Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R. Dalje imamo
3 · 4x − 6 · 4x · 4 = −1
29x · 9− 1
39x · 92 ⇐⇒ −21 · 4x = −9x
(9
2+ 27
)
⇐⇒(4
9
)x
=3
2⇐⇒
(2
3
)2x
=
(2
3
)−1
⇐⇒ x = −1
2.
4. Rijexiti nejednaqinulog 1
5(x− 1) > −3.
Rjexenje: Nejednaqina je definisana za x− 1 > 0, tj. za x ∈ (1,+∞).Nejednaqina je ekvivalentna sa
x− 1 <
(1
5
)−3
⇔ x− 1 < 125.
Rjexenje nejednaqine je x ∈ (1, 126).
5. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
2 sin(2x+
π
4
)= 1.
Rjexenje: Iz jednaqine
sin(2x+
π
4
)=
1
2
slijedi
2xk +π
4=
π
6+ 2kπ ili 2xk +
π
4=
5π
6+ 2kπ, k ∈ Z
pa su rjexenja jednaqine
xk = − π
24+ kπ ili xk =
7π
24+ kπ, k ∈ Z.
7
1. Uprostiti izraz(x− 6
18x+ (x− 6)2+
(x+ 12)2 − 108
x3 − 216− 1
x− 6
):x3 + 6x2 + 18x+ 108
x3 − 6x2 + 18x− 108.
Rjexenje: Dati izraz je definisan za svako x ∈ R \ {−6, 6}. Transforma-cijom izraza dobijamo(
x− 6
18x+ (x− 6)2+
(x+ 12)2 − 108
x3 − 216− 1
x− 6
):x3 + 6x2 + 18x+ 108
x3 − 6x2 + 18x− 108
=
(x− 6
x2 + 6x+ 36+
x2 + 24x+ 36
(x− 6)(x2 + 6x+ 36)− 1
x− 6
):(x+ 6)(x2 + 18)
(x− 6)(x2 + 18)
=x2 − 12x+ 36 + x2 + 24x+ 36− x2 − 6x− 36
(x− 6)(x2 + 6x+ 36)· (x− 6)
(x+ 6)
=x2 + 6x+ 36
(x+ 6)(x2 + 6x+ 36)=
1
x+ 6.
2. Rijexiti sistem jednaqina
x + 3y − 7z = 6−3x + 2y + 8z = 9−5x + 9y − 2z = 3.
Rjexenje: Mno�enjem prve jednaqine datog sistema sa 3 i 5 i dodavanjem,redom, drugoj i tre�oj jednaqini dobijamo ekvivalentan sistem
x + 3y − 7z = 611y − 13z = 2724y − 37z = 33.
Odavde, mno�e�i drugu jednaqinu sa −2411
i dodavanjem tre�oj imamo
x + 3y − 7z = 611y − 13z = 27
− 9511z = −285
11.
Iz tre�e jednaqine je z = 3. Uvrxtavanjem vrijednosti z = 3 u drugujednaqinu dobijamo y = 6. Konaqno, iz prve jednaqine imamo x = 9. Dakle,sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexenje. Skup rjexenja jeRs = {(9, 6, 3)}.
3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
3 log2(x− 1)− 10 log(x− 1) + 3 = 0
8
Rjexenje: Data jednaqina je definisana za svako x ∈ (1,+∞). Uvo�enjemsmjene log(x − 1) = t, dobijamo 3t2 − 10t + 3 = 0. Diskriminanta kvadratnejednaqine je D > 0, pa su rjexenja kvadratne jednaqine realna i razliqita.Rjexenja te jednaqine su: t1 =
13, t2 = 3. Odatle je x1 = 1 + 3
√10, x2 = 1001.
4. Rijexiti nejednaqinu (4
5
)2x+5
<64
125.
Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R. Transformacijomnejednaqine slijedi
(4
5
)2x+5
<64
125⇐⇒
(4
5
)2x+5
<
(4
5
)3
⇐⇒ 2x+ 5 > 3.
Rjexavaju�i posljednju nejednaqinu dobijamo da je rjexenje polaznenejednaqine x ∈ (−1,+∞).
5. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
cos 2x− cosx+ 1 = 0.
Rjexenje:
cos 2x− cosx+ 1 = 0 ⇔ 2 cos2 x− 1− cos x+ 1 = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos =1
2.
Rjexenja jednaqine su
xk =π
2+ kπ ili xk =
π
3+ 2kπ, ili xk = −π
3+ 2kπ, k ∈ Z.
9
1. Rijexiti nejednaqinu
x− 2
x− 4<
3
2.
Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R \ {4}.Transformacijom nejednaqine slijedi
x− 2
x− 4<
3
2⇔ x− 2
x− 4− 3
2< 0 ⇔ 2x− 4− 3x+ 12
2(x− 4)< 0 ⇔ −x+ 8
2(x− 4)< 0.
x ∈ (−∞, 4) x ∈ (4, 8) x ∈ (8,+∞)−x+ 8 + + −x− 4 − + +−x+8x−4
− + −
Prema tome x ∈ (−∞, 4) ∪ (8,+∞)
2. Rijexiti sistem jednaqina
x + 2y − 3z = 2−2x − y + z = 33x + 3y − 2z = 2.
Rjexenje: Mno�enjem prve jednaqine datog sistema sa 2 i -3 i dodavanjem,redom, drugoj i tre�oj jednaqini dobijamo ekvivalentan sistem
x + 2y − 3z = 23y − 5z = 7
− 3y + 7z = −4.
Odavde, dodavanjam druge jednaqine tre�oj imamo
x + 2y − 3z = 23y − 5z = 7
2z = 3.
Iz tre�e jednaqine je z =3
2. Uvrxtavanjem vrijednosti z =
3
2u drugu
jednaqinu dobijamo y =29
6. Konaqno, iz prve jednaqine imamo x = −19
6.
Dakle, sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexenje. Skup rjexenja jeRs =
{(−19
6, 29
6, 32
)}.
10
3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja
z =(1− i)2√3− i
.
Rjexenje: Kako je
(1− i)2√3− i
=1− 2i− 1√
3− i=
−2i√3− i
·√3 + i√3 + i
=−2i
√3 + 2
4,
onda je
z =1
2− i
√3
2,
pa je Re(z) =12, Im(z) = −
√32.
4. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
5x4 − 26x3 + 26x− 5 = 0.
Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R.Transformixu�i jednaqinu dobijamo
5x4 − 26x3 + 26x− 5 = 0 ⇐⇒ 5(x4 − 1)− 26x(x2 − 1) = 0
⇐⇒ 5(x2 − 1)(x2 + 1)− 26x(x2 − 1) = 0
⇐⇒ (x2 − 1)(5x2 − 26x+ 5) = 0
⇐⇒ (x− 1)(x+ 1)(5x2 − 25x− x+ 5) = 0
⇐⇒ (x− 1)(x+ 1)[5x(x− 5)− (x− 5)] = 0
⇐⇒ (x− 1)(x+ 1)(x− 5)(5x− 1) = 0
pa su rjexena polazne jednaqine x1 = 1, x2 = −1, x3 = 5, x4 =15.
5. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
5x +
(1
2
)x−1
· 10x = 375.
Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R. Dalje imamo
5x +
(1
2
)x−1
· 10x = 375 ⇐⇒ 5x + 2 · 1
2x· 2x · 5x = 375 ⇐⇒
5x = 53 ⇐⇒ x = 3.
11
1. Uprostiti izraz
1
x(x− y)(x− z)− 1
y(z − y)(y − x)+
1
z(z − x)(z − y).
Rjexenje: Dati izraz je definisan za x ̸= 0, y ̸= 0, z ̸= 0, x ̸= y, x ̸= z, y ̸= z.Transformacijom izraza dobijamo
1
x(x− y)(x− z)− 1
y(z − y)(y − x)+
1
z(z − x)(z − y)
=yz(z − y) + xz(x− z)− xy(x− y)
xyz(x− y)(x− z)(z − y)
=y(z2 − zy − x2 + xy) + xz(x− z)
xyz(x− y)(x− z)(z − y)
=y[−(x− z)(x+ z) + y(x− z)] + xz(x− z)
xyz(x− y)(x− z)(z − y)
=y(x− z)(−x− z + y) + xz(x− z)
xyz(x− y)(x− z)(z − y)
=(x− z)(−xy − yz + y2 + xz)
xyz(x− y)(x− z)(z − y)
=−y(x− y) + z(x− y)
xyz(x− y)(z − y)
=(x− y)(z − y)
xyz(x− y)(z − y)
=1
xyz.
2. Rijexiti nejednaqinu
1 <3x+ 13
x+ 8< 2.
Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R\{−8}. Transfor-macijom nejednaqine slijedi
1 <3x+ 13
x+ 8< 2 ⇐⇒ 1 <
3x+ 13
x+ 8∧ 3x+ 13
x+ 8< 2 ⇐⇒
0 <3x+ 13
x+ 8− 1 ∧ 3x+ 13
x+ 8− 2 < 0 ⇐⇒ 0 <
2x+ 5
x+ 8∧ x− 3
x+ 8< 0
12
Znak izraza2x+ 5
x+ 8odredi�emo iz slijede�e tabele.
x ∈ (−∞,−8) x ∈(−8,−5
2
)x ∈
(−5
2,+∞
)2x+ 5 − − +x+ 8 − + +2x+5x+8
+ − +
Prema tome2x+ 5
x+ 8> 0 za x ∈ (−∞,−8) ∪
(−5
2,+∞
),
a znak izrazax− 3
x+ 8odredi�emo iz slijede�e tabele.
x ∈ (−∞,−8) x ∈ (−8, 3) x ∈ (3,+∞)x− 3 − − +x+ 8 − + +x−3x+8
+ − +
Prema tomex− 3
x+ 8< 0 za x ∈ (−8, 3).
Rjexenje polazne nejednaqine je x ∈ (−52, 3).
3. Rijexiti sistem jednaqina
2y − 3x = 22x2 − 3y2 + x− y + 42 = 0.
Rjexenje:2y − 3x = 2
2x2 − 3y2 + x− y + 42 = 0⇐⇒
y = 3x2+ 1
2x2 − 3(3x2+ 1
)2+ x− 3x
2− 1 + 42 = 0
⇐⇒ y = 3x2+ 1
2x2 − 27x2
4− 9x− 3− x
2+ 41 = 0
⇐⇒ y = 3x2+ 1
−19x2
4− 19x
2+ 38 = 0
⇐⇒ y = 3x2+ 1
x2 + 2x− 8 = 0
Rjexenja jednaqine x2 + 2x− 8 = 0 su x1 = −4 i x2 = 2, pa je y1 = −5 i y2 = 4.Skup rjexenja je Rs = {(−4,−5), (2, 4)}.
4. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu
√324x−6 = 0.25 · 1282x−3.
13
Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R. Dalje imamo√324x−6 = 0.25 · 1282x−3 ⇐⇒ 25(2x−3) = 2−2 · 27(2x−3) ⇐⇒
210x−15 = 214x−23 ⇐⇒ 10x− 15 = 14x− 23 ⇐⇒ x = 2.
5. Izraqunati: (a) sin5π
6, (b) sin
81π
4.
Rjexenje:
(a) sin5π
6= sin(π − π
6) =
1
2,
(b) sin81π
4= sin
(π4+ 20π
)= sin
π
4=
√2
2.
14
Top Related