Podstawowe de�nicje
Wykªad 1.Wprowadzenie do teorii grafów
1 / 112
Podstawowe de�nicje
Literatura
1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów.2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do
algorytmów.3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright; Matematyka dyskretna.4 M. Sysªo, N. Deo; Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w
Turbo Pascalu.5 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. I:
Kombinatoryka.6 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. II: Teoria
grafów.7 J. Kurose, K. Ross; Sieci komputerowe. Od ogóªu do szczegóªu z
Internetem w tle.8 J. Harris, J. Hirst, M. Mossingho�; Combinatorics and Graph Theory.9 D. Medhi, K. Ramasamy; Network Routing: Algorithms, Protocols and
Architectures.10 D. Jungnickel, Graphs; Networks and Algorithms.11 B. Korte, J. Vygen; Combinatorial optimization.
2 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja grafu nieskierowanego
De�nicja
Grafem nieskierowanym nazywamy uporz¡dkowan¡ trójk¦:
G = 〈V ,E , γ〉
gdzie: V � niepusty zbiór wierzchoªków grafu G , E � zbiór kraw¦dzi grafuG , γ � funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v ∈ V } wszystkichpodzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V .
De�nicja
Je»eli e ∈ E oraz γ (e) = {v1, v2} , to elementy v1 i v2 nazywamy ko«camikraw¦dzi e.
3 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja grafu nieskierowanego
De�nicja
Grafem nieskierowanym nazywamy uporz¡dkowan¡ trójk¦:
G = 〈V ,E , γ〉
gdzie: V � niepusty zbiór wierzchoªków grafu G , E � zbiór kraw¦dzi grafuG , γ � funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v ∈ V } wszystkichpodzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V .
De�nicja
Je»eli e ∈ E oraz γ (e) = {v1, v2} , to elementy v1 i v2 nazywamy ko«camikraw¦dzi e.
4 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
W praktyce cz¦sto wykorzystujemy gra�czn¡ reprezentacj¦ grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
Niech G = 〈V ,E , γ〉 , gdzie:
V = {1, 2, ...8} , E = {a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} ,
za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc¡ tabeli
e a b c d f g hγ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6}
k l m{2, 5} {1, 5} {1, 5}
5 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
W praktyce cz¦sto wykorzystujemy gra�czn¡ reprezentacj¦ grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
Niech G = 〈V ,E , γ〉 , gdzie:
V = {1, 2, ...8} , E = {a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} ,
za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc¡ tabeli
e a b c d f g hγ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6}
k l m{2, 5} {1, 5} {1, 5}
6 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
W praktyce cz¦sto wykorzystujemy gra�czn¡ reprezentacj¦ grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
Niech G = 〈V ,E , γ〉 , gdzie:
V = {1, 2, ...8} , E = {a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} ,
za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc¡ tabeli
e a b c d f g hγ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6}
k l m{2, 5} {1, 5} {1, 5}
7 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
De�nicja
Je»eli γ (e) = {v , v} = {v} , to kraw¦d¹ e nazywamy p¦tl¡.
Na rysunku p¦tlami s¡ kraw¦dzie b i d , poniewa» γ (b) = {2} i γ (d) = {4} .
8 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
De�nicja
Je»eli γ (e) = {v , v} = {v} , to kraw¦d¹ e nazywamy p¦tl¡.
Na rysunku p¦tlami s¡ kraw¦dzie b i d , poniewa» γ (b) = {2} i γ (d) = {4} .
9 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
De�nicja
Je»eli kraw¦dzie e i f s¡ ró»ne (e 6= f ) i γ (e) = γ (f ) , to nazywamy jekraw¦dziami wielokrotnymi (równolegªymi)
Na rysunku kraw¦dziami wielokrotnymi s¡ kraw¦dzie m i l , bowiemγ (l) = γ (m) = {1, 5}
Uwaga
W przypadku, gdy nie ma w gra�e G kraw¦dzi wielokrotnych, to funkcja γjest ró»nowarto±ciowa.
10 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
De�nicja
Je»eli kraw¦dzie e i f s¡ ró»ne (e 6= f ) i γ (e) = γ (f ) , to nazywamy jekraw¦dziami wielokrotnymi (równolegªymi)
Na rysunku kraw¦dziami wielokrotnymi s¡ kraw¦dzie m i l , bowiemγ (l) = γ (m) = {1, 5}
Uwaga
W przypadku, gdy nie ma w gra�e G kraw¦dzi wielokrotnych, to funkcja γjest ró»nowarto±ciowa.
11 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie grafu
a b cd
f
gh
klm
12
34
5 6 7
8
De�nicja
Je»eli kraw¦dzie e i f s¡ ró»ne (e 6= f ) i γ (e) = γ (f ) , to nazywamy jekraw¦dziami wielokrotnymi (równolegªymi)
Na rysunku kraw¦dziami wielokrotnymi s¡ kraw¦dzie m i l , bowiemγ (l) = γ (m) = {1, 5}
Uwaga
W przypadku, gdy nie ma w gra�e G kraw¦dzi wielokrotnych, to funkcja γjest ró»nowarto±ciowa.
12 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja
Je»eli w gra�e G , a i b nie s¡ kraw¦dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x , y} iγ (b) = {y , z} , to mówimy, »e:
1 Kraw¦dzie a i b s¡ kraw¦dziami s¡siednim lub przylegªymi (maj¡wspólny wierzchoªek y).
2 Wierzchoªki x , y (oraz y i z) s¡ wierzchoªkami s¡siednimi .3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw¦dzi a (jest ko«cem
tej kraw¦dzi)
13 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja
Je»eli w gra�e G , a i b nie s¡ kraw¦dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x , y} iγ (b) = {y , z} , to mówimy, »e:
1 Kraw¦dzie a i b s¡ kraw¦dziami s¡siednim lub przylegªymi (maj¡wspólny wierzchoªek y).
2 Wierzchoªki x , y (oraz y i z) s¡ wierzchoªkami s¡siednimi .3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw¦dzi a (jest ko«cem
tej kraw¦dzi)
14 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja
Je»eli w gra�e G , a i b nie s¡ kraw¦dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x , y} iγ (b) = {y , z} , to mówimy, »e:
1 Kraw¦dzie a i b s¡ kraw¦dziami s¡siednim lub przylegªymi (maj¡wspólny wierzchoªek y).
2 Wierzchoªki x , y (oraz y i z) s¡ wierzchoªkami s¡siednimi .
3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw¦dzi a (jest ko«cemtej kraw¦dzi)
15 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja
Je»eli w gra�e G , a i b nie s¡ kraw¦dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x , y} iγ (b) = {y , z} , to mówimy, »e:
1 Kraw¦dzie a i b s¡ kraw¦dziami s¡siednim lub przylegªymi (maj¡wspólny wierzchoªek y).
2 Wierzchoªki x , y (oraz y i z) s¡ wierzchoªkami s¡siednimi .3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw¦dzi a (jest ko«cem
tej kraw¦dzi)
16 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf prosty
De�nicja
Graf bez kraw¦dzi wielokrotnych i p¦tli nazywamy grafem prostym.
Przykªadem grafu prostego jest graf G przedstawiony na rysunku
1 2
3
4a
b
d e
f
c
17 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf prosty
De�nicja
Graf bez kraw¦dzi wielokrotnych i p¦tli nazywamy grafem prostym.
Przykªadem grafu prostego jest graf G przedstawiony na rysunku
1 2
3
4a
b
d e
f
c
18 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
W przypadku grafów bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci wprzypadku grafów prostych) de�nicja grafu sprowadza si¦ do podania zbioruwierzchoªków V i kraw¦dzi w postaci {p, q} , gdzie p, q ∈ V , np. na rysunkuzamiast pisa¢ γ (a) = {1, 3} b¦dziemy pisa¢ a = {1, 3} .
Uwaga
W dalszej cz¦±ci graf bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci grafprosty) b¦dziemy zapisywali jako
G = 〈V ,E〉
pami¦taj¡c, »e E = {{p, q} : p, q ∈ V } .
19 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
W przypadku grafów bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci wprzypadku grafów prostych) de�nicja grafu sprowadza si¦ do podania zbioruwierzchoªków V i kraw¦dzi w postaci {p, q} , gdzie p, q ∈ V , np. na rysunkuzamiast pisa¢ γ (a) = {1, 3} b¦dziemy pisa¢ a = {1, 3} .
Uwaga
W dalszej cz¦±ci graf bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci grafprosty) b¦dziemy zapisywali jako
G = 〈V ,E〉
pami¦taj¡c, »e E = {{p, q} : p, q ∈ V } .
20 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e nieskierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p¦tlami liczonymipodwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy
deg(v).
Liczb¦ wierzchoªków stopnia k oznaczamy
Dk (G) .
Dla ka»dego grafu de�niujemy ci¡g stopni wierzchoªków grafu G
(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .
De�nicja
Stopniem grafu G nazywamy liczb¦
∆ (G) := maxv∈V
deg (v) .
Stopie« grafu jest wi¦c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków.
21 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e nieskierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p¦tlami liczonymipodwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy
deg(v).
Liczb¦ wierzchoªków stopnia k oznaczamy
Dk (G) .
Dla ka»dego grafu de�niujemy ci¡g stopni wierzchoªków grafu G
(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .
De�nicja
Stopniem grafu G nazywamy liczb¦
∆ (G) := maxv∈V
deg (v) .
Stopie« grafu jest wi¦c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków.
22 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e nieskierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p¦tlami liczonymipodwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy
deg(v).
Liczb¦ wierzchoªków stopnia k oznaczamy
Dk (G) .
Dla ka»dego grafu de�niujemy ci¡g stopni wierzchoªków grafu G
(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .
De�nicja
Stopniem grafu G nazywamy liczb¦
∆ (G) := maxv∈V
deg (v) .
Stopie« grafu jest wi¦c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków.
23 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e nieskierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p¦tlami liczonymipodwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy
deg(v).
Liczb¦ wierzchoªków stopnia k oznaczamy
Dk (G) .
Dla ka»dego grafu de�niujemy ci¡g stopni wierzchoªków grafu G
(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .
De�nicja
Stopniem grafu G nazywamy liczb¦
∆ (G) := maxv∈V
deg (v) .
Stopie« grafu jest wi¦c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków.
24 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja
Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym.
De�nicja
Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lubwisz¡cym.
25 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
De�nicja
Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym.
De�nicja
Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lubwisz¡cym.
26 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:
1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
27 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:
1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
28 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x7
2 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
29 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x6
3 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
30 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 3
4 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
31 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
32 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
Rozwa»my graf:
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)
5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5
33 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie szeregowe
De�nicja
Mówimy, »e dwie nierównolegªe kraw¦dzie s¡ kraw¦dziami szeregowymi,je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego.
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
W gra�e kraw¦dzie a i b s¡ szeregowe, natomiast kraw¦dzie b i c s¡ przylegªeale nie s¡ poª¡czone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchoªek jest stopniatrzeciego.
34 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie szeregowe
De�nicja
Mówimy, »e dwie nierównolegªe kraw¦dzie s¡ kraw¦dziami szeregowymi,je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego.
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
W gra�e kraw¦dzie a i b s¡ szeregowe, natomiast kraw¦dzie b i c s¡ przylegªeale nie s¡ poª¡czone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchoªek jest stopniatrzeciego.
35 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Kraw¦dzie szeregowe
De�nicja
Mówimy, »e dwie nierównolegªe kraw¦dzie s¡ kraw¦dziami szeregowymi,je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego.
x1b
x8
d
x2a
f
e
cx3
x5 x4
x7
h
g x6
W gra�e kraw¦dzie a i b s¡ szeregowe, natomiast kraw¦dzie b i c s¡ przylegªeale nie s¡ poª¡czone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchoªek jest stopniatrzeciego.
36 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1〉 oraz G2 = 〈V2,E2〉 (bez kraw¦dziwielokrotnych).
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istnieje wzajemniejednoznaczne przeksztaªcenie α : V1 → V2 takie, »e kraw¦d¹ {u, v} jestkraw¦dzi¡ grafu G1 ({u, v} ∈ E1) wtedy i tylko wtedy, gdy {α (u) , α (v)} jestkraw¦dzi¡ grafu G2 ({α (u) , α (v)} ∈ E2).
37 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1〉 oraz G2 = 〈V2,E2〉 (bez kraw¦dziwielokrotnych).
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istnieje wzajemniejednoznaczne przeksztaªcenie α : V1 → V2 takie, »e kraw¦d¹ {u, v} jestkraw¦dzi¡ grafu G1 ({u, v} ∈ E1) wtedy i tylko wtedy, gdy
{α (u) , α (v)} jestkraw¦dzi¡ grafu G2 ({α (u) , α (v)} ∈ E2).
38 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1〉 oraz G2 = 〈V2,E2〉 (bez kraw¦dziwielokrotnych).
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istnieje wzajemniejednoznaczne przeksztaªcenie α : V1 → V2 takie, »e kraw¦d¹ {u, v} jestkraw¦dzi¡ grafu G1 ({u, v} ∈ E1) wtedy i tylko wtedy, gdy {α (u) , α (v)} jestkraw¦dzi¡ grafu G2 ({α (u) , α (v)} ∈ E2).
39 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
Dla grafów z kraw¦dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si¦ komplikuje
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1, γ1〉 oraz G2 = 〈V2,E2, γ2〉
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istniej¡ przeksztaªceniaα : V1 → V2 i β : E1 → E2 wzajemnie jednoznaczne, takie, »e kraw¦d¹e ∈ E1 ª¡czy wierzchoªki u, v ∈ V1 (γ1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdyodpowiadaj¡ca jej kraw¦d¹ β (e) ∈ E2 ª¡czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn.γ2 (β (e)) = {α (u) , α (v)} .
Zapis G1 ' G2 czytamy: grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne.
40 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
Dla grafów z kraw¦dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si¦ komplikuje
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1, γ1〉 oraz G2 = 〈V2,E2, γ2〉
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istniej¡ przeksztaªceniaα : V1 → V2 i β : E1 → E2 wzajemnie jednoznaczne, takie, »e kraw¦d¹e ∈ E1 ª¡czy wierzchoªki u, v ∈ V1 (γ1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy,
gdyodpowiadaj¡ca jej kraw¦d¹ β (e) ∈ E2 ª¡czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn.γ2 (β (e)) = {α (u) , α (v)} .
Zapis G1 ' G2 czytamy: grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne.
41 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
Dla grafów z kraw¦dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si¦ komplikuje
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1, γ1〉 oraz G2 = 〈V2,E2, γ2〉
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istniej¡ przeksztaªceniaα : V1 → V2 i β : E1 → E2 wzajemnie jednoznaczne, takie, »e kraw¦d¹e ∈ E1 ª¡czy wierzchoªki u, v ∈ V1 (γ1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdyodpowiadaj¡ca jej kraw¦d¹ β (e) ∈ E2 ª¡czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn.γ2 (β (e)) = {α (u) , α (v)} .
Zapis G1 ' G2 czytamy: grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne.
42 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
Dla grafów z kraw¦dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si¦ komplikuje
De�nicja
Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1, γ1〉 oraz G2 = 〈V2,E2, γ2〉
Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istniej¡ przeksztaªceniaα : V1 → V2 i β : E1 → E2 wzajemnie jednoznaczne, takie, »e kraw¦d¹e ∈ E1 ª¡czy wierzchoªki u, v ∈ V1 (γ1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdyodpowiadaj¡ca jej kraw¦d¹ β (e) ∈ E2 ª¡czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn.γ2 (β (e)) = {α (u) , α (v)} .
Zapis G1 ' G2 czytamy: grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne.
43 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
44 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Izomor�zm grafów
45 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Niezmienniki izomor�zmu grafów
Z de�nicji izomor�zmu wynika, »e grafy izomor�czne musz¡ mie¢
1 t¦ sam¡ liczb¦ wierzchoªków2 t¦ sam¡ liczb¦ kraw¦dzi3 t¦ sam¡ liczb¦ p¦tli4 t¦ sam¡ liczb¦ wierzchoªków ko«cowych5 t¦ sam¡ liczb¦ wierzchoªków izolowanych6 równ¡ liczb¦ wierzchoªków tego samego stopnia7 ten sam ci¡g stopni wierzchoªków (D0 (G) ,D1 (G) , ...)
Powy»sze warunkami s¡ warunkami koniecznymi izomor�zmu dwu grafów, alenie s¡ warunkami wystarczaj¡cymi.
46 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
47 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
48 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
49 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªuku
o ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
50 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
51 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q
ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
52 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q
ªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
53 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
De�nicja
Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .
De�nicja
Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to
p nazywamy pocz¡tkiem ªuku
q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e
ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q
54 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy
De�nicja
Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p¦tl¡.
De�nicja
Je»eli e, k ∈ E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw¦dzie e i knazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi.
De�nicja
Je»eli G jest grafem prostym (bez p¦tli i kraw¦dzi równolegªych), toprzeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza¢ jakoG = 〈V ,E〉.
55 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy
De�nicja
Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p¦tl¡.
De�nicja
Je»eli e, k ∈ E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw¦dzie e i knazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi.
De�nicja
Je»eli G jest grafem prostym (bez p¦tli i kraw¦dzi równolegªych), toprzeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza¢ jakoG = 〈V ,E〉.
56 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf skierowany
Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy
De�nicja
Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p¦tl¡.
De�nicja
Je»eli e, k ∈ E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw¦dzie e i knazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi.
De�nicja
Je»eli G jest grafem prostym (bez p¦tli i kraw¦dzi równolegªych), toprzeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza¢ jakoG = 〈V ,E〉.
57 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
We¹my graf G = 〈V ,E , γ〉, w którym dane s¡ zbiory:
V = {u,w , x , y , z} � zbiór wierzchoªków,E = {(a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} � zbiór ªuków
oraz funkcja γ postaci:
e a b c d e f gγ(e) (x , y) (z , y) (z , y) (u, y) (u, x) (z , u) (x , z)
h k l m(y , y) (z ,w) (w , x) (x ,w)
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
58 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
We¹my graf G = 〈V ,E , γ〉, w którym dane s¡ zbiory:
V = {u,w , x , y , z} � zbiór wierzchoªków,E = {(a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} � zbiór ªuków
oraz funkcja γ postaci:
e a b c d e f gγ(e) (x , y) (z , y) (z , y) (u, y) (u, x) (z , u) (x , z)
h k l m(y , y) (z ,w) (w , x) (x ,w)
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
59 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
We¹my graf G = 〈V ,E , γ〉, w którym dane s¡ zbiory:
V = {u,w , x , y , z} � zbiór wierzchoªków,E = {(a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} � zbiór ªuków
oraz funkcja γ postaci:
e a b c d e f gγ(e) (x , y) (z , y) (z , y) (u, y) (u, x) (z , u) (x , z)
h k l m(y , y) (z ,w) (w , x) (x ,w)
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
60 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
kraw¦d¹ h jest p¦tl¡
kraw¦dzie c i b s¡ wielokrotne (równolegªe)
kraw¦dzie l i m nie s¡ wielokrotne (równolegªe)
61 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
kraw¦d¹ h jest p¦tl¡
kraw¦dzie c i b s¡ wielokrotne (równolegªe)
kraw¦dzie l i m nie s¡ wielokrotne (równolegªe)
62 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
kraw¦d¹ h jest p¦tl¡
kraw¦dzie c i b s¡ wielokrotne (równolegªe)
kraw¦dzie l i m nie s¡ wielokrotne (równolegªe)
63 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w gra�e skierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi skierowanychwychodz¡cych z wierzchoªka xnazywamy stopniem wyj±ciowymtego wierzchoªka i oznaczamydegout(x).
De�nicja
Liczb¦ ªuków wchodz¡cych dowierzchoªka x nazywamy stopniemwej±ciowym wierzchoªka x ioznaczamy degin(x).
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
degout(x) = 3,degout(u) = 2,degout(z) = 4,degout(w) = 1,degout(y) = 1,
64 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w gra�e skierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi skierowanychwychodz¡cych z wierzchoªka xnazywamy stopniem wyj±ciowymtego wierzchoªka i oznaczamydegout(x).
De�nicja
Liczb¦ ªuków wchodz¡cych dowierzchoªka x nazywamy stopniemwej±ciowym wierzchoªka x ioznaczamy degin(x).
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
degout(x) = 3,degout(u) = 2,degout(z) = 4,degout(w) = 1,degout(y) = 1,
65 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w gra�e skierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi skierowanychwychodz¡cych z wierzchoªka xnazywamy stopniem wyj±ciowymtego wierzchoªka i oznaczamydegout(x).
De�nicja
Liczb¦ ªuków wchodz¡cych dowierzchoªka x nazywamy stopniemwej±ciowym wierzchoªka x ioznaczamy degin(x).
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
degout(x) = 3,degout(u) = 2,degout(z) = 4,degout(w) = 1,degout(y) = 1,
66 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w gra�e skierowanym
De�nicja
Liczb¦ kraw¦dzi skierowanychwychodz¡cych z wierzchoªka xnazywamy stopniem wyj±ciowymtego wierzchoªka i oznaczamydegout(x).
De�nicja
Liczb¦ ªuków wchodz¡cych dowierzchoªka x nazywamy stopniemwej±ciowym wierzchoªka x ioznaczamy degin(x).
x a
l
m
w kz
bfg
ued
c
yh
degout(x) = 3, degin(x) = 2,degout(u) = 2, degin(u) = 1,degout(z) = 4, i degin(z) = 1,degout(w) = 1, degin(w) = 2,degout(y) = 1, degin(y) = 5,
67 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e skierowanym
De�nicja
Stopniem wierzchoªka deg(x) w gra�e skierowanym nazywamy sum¦ stopniwej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x .
deg(x) = degout(x) + degin(x)
De�nicja
Stopie« grafu ∆(G) okre±lamy jako maksymalny stopie« wierzchoªka w tymgra�e, czyli
∆(G) = maxu∈V
deg(u)
68 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e skierowanym
De�nicja
Stopniem wierzchoªka deg(x) w gra�e skierowanym nazywamy sum¦ stopniwej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x .
deg(x) = degout(x) + degin(x)
De�nicja
Stopie« grafu ∆(G) okre±lamy jako maksymalny stopie« wierzchoªka w tymgra�e, czyli
∆(G) = maxu∈V
deg(u)
69 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
�ródªo i uj±cie w gra�e skierowanym
W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które niewyst¦puj¡ w grafach nieskierowanych, s¡ to ¹ródªa i uj±cia.
De�nicja
�ródªem w digra�e nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego niewchodzi »aden ªuk.
Wierzchoªek u jest w digra�e ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy
degin(u) = 0 ∧ degout(u) > 0
De�nicja
Nieizolowany wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz¡tkiem »adnego ªukunazywamy uj±ciem.
Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy
degout(t) = 0 ∧ degin(u) > 0
70 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
�ródªo i uj±cie w gra�e skierowanym
W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które niewyst¦puj¡ w grafach nieskierowanych, s¡ to ¹ródªa i uj±cia.
De�nicja
�ródªem w digra�e nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego niewchodzi »aden ªuk.
Wierzchoªek u jest w digra�e ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy
degin(u) = 0 ∧ degout(u) > 0
De�nicja
Nieizolowany wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz¡tkiem »adnego ªukunazywamy uj±ciem.
Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy
degout(t) = 0 ∧ degin(u) > 0
71 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
�ródªo i uj±cie w gra�e skierowanym
W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które niewyst¦puj¡ w grafach nieskierowanych, s¡ to ¹ródªa i uj±cia.
De�nicja
�ródªem w digra�e nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego niewchodzi »aden ªuk.
Wierzchoªek u jest w digra�e ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy
degin(u) = 0 ∧ degout(u) > 0
De�nicja
Nieizolowany wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz¡tkiem »adnego ªukunazywamy uj±ciem.
Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy
degout(t) = 0 ∧ degin(u) > 0
72 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
73 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
74 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1
deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
75 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3
deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
76 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2
deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
77 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2
deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
78 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
79 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
80 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
81 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Przykªad
a b c
d e
Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:
deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2
Stopie« grafu wynosi:
∆(G) = maxu∈V
deg(u) = 3
�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.
Uj±ciem jest wierzchoªek e.
82 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Grafy wa»one, sieci
De�nicja
Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw¦dziprzyporz¡dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwanawag¡ tej kraw¦dzi.
1
2 3
4
56
7
89
1011
12
14
16
17
6
83 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Grafy wa»one, sieci
De�nicja
Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw¦dziprzyporz¡dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwanawag¡ tej kraw¦dzi.
1
2 3
4
56
7
89
1011
12
14
16
17
6
84 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s¡ sieci. W teorii grafówterminami okre±laj¡cymi w¦zeª jest wierzchoªek, a ª¡cze jest kraw¦dzi¡.
W sieci, któr¡ wykorzystujemy do rozwi¡zywania problemówpraktycznych waga kraw¦dzi mo»e oznacza¢ dªugo±¢ odcinka drogi, czasprzejazdu, koszt budowy tego odcinka drogi, przepustowo±¢ (w siecigazowej lub wodoci¡gowej), prawdopodobie«stwo przej±cia sygnaªów,niezawodno±¢ poª¡czenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej)albo dowoln¡ inn¡ cech¦ mierzaln¡ ilo±ciowo przyporz¡dkowan¡ danejkraw¦dzi.
85 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s¡ sieci. W teorii grafówterminami okre±laj¡cymi w¦zeª jest wierzchoªek, a ª¡cze jest kraw¦dzi¡.
W sieci, któr¡ wykorzystujemy do rozwi¡zywania problemówpraktycznych waga kraw¦dzi mo»e oznacza¢ dªugo±¢ odcinka drogi, czasprzejazdu, koszt budowy tego odcinka drogi, przepustowo±¢ (w siecigazowej lub wodoci¡gowej), prawdopodobie«stwo przej±cia sygnaªów,niezawodno±¢ poª¡czenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej)albo dowoln¡ inn¡ cech¦ mierzaln¡ ilo±ciowo przyporz¡dkowan¡ danejkraw¦dzi.
86 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s¡ sieci. W teorii grafówterminami okre±laj¡cymi w¦zeª jest wierzchoªek, a ª¡cze jest kraw¦dzi¡.
W sieci, któr¡ wykorzystujemy do rozwi¡zywania problemówpraktycznych waga kraw¦dzi mo»e oznacza¢ dªugo±¢ odcinka drogi, czasprzejazdu, koszt budowy tego odcinka drogi, przepustowo±¢ (w siecigazowej lub wodoci¡gowej), prawdopodobie«stwo przej±cia sygnaªów,niezawodno±¢ poª¡czenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej)albo dowoln¡ inn¡ cech¦ mierzaln¡ ilo±ciowo przyporz¡dkowan¡ danejkraw¦dzi.
87 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
88 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
89 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
90 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
91 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
92 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
93 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
droga efkhk jest drog¡ w gra�e G
jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3
x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym
γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
94 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Ci¡g kraw¦dzi ec nie jest drog¡ w gra�e G ,poniewa» γ(e) = {x5, x5} a γ(c) = {x1, x3}
De�nicja
Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.
Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.
Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.
95 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
De�nicja
Je»eli w drodze wierzchoªek pocz¡tkowy pokrywa si¦ z wierzchoªkiemko«cowym, to tak¡ drog¦ nazywamy drog¡ zamkni¦t¡.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degba jest drog¡ zamkni¦t¡. Droga zaczyna si¦ i ko«czy wwierzchoªku x1.
96 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga w gra�e
De�nicja
Je»eli w drodze wierzchoªek pocz¡tkowy pokrywa si¦ z wierzchoªkiemko«cowym, to tak¡ drog¦ nazywamy drog¡ zamkni¦t¡.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degba jest drog¡ zamkni¦t¡. Droga zaczyna si¦ i ko«czy wwierzchoªku x1.
97 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga prosta (±cie»ka)
De�nicja
Drog¡ prost¡ lub ±cie»k¡ nazywamy drog¦, w której wszystkie kraw¦dzie s¡ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degbac jest drog¡ prost¡x1, x5, x5, x3, x2, x1, x3
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga fkhkc nie jest drog¡ prost¡,poniewa» kraw¦d¹ k powtarza si¦dwa razy.
98 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga prosta (±cie»ka)
De�nicja
Drog¡ prost¡ lub ±cie»k¡ nazywamy drog¦, w której wszystkie kraw¦dzie s¡ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degbac jest drog¡ prost¡x1, x5, x5, x3, x2, x1, x3
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga fkhkc nie jest drog¡ prost¡,poniewa» kraw¦d¹ k powtarza si¦dwa razy.
99 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Droga prosta (±cie»ka)
De�nicja
Drog¡ prost¡ lub ±cie»k¡ nazywamy drog¦, w której wszystkie kraw¦dzie s¡ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degbac jest drog¡ prost¡x1, x5, x5, x3, x2, x1, x3
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga fkhkc nie jest drog¡ prost¡,poniewa» kraw¦d¹ k powtarza si¦dwa razy.
100 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Cykl w gra�e
De�nicja
Zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, której odpowiada ci¡g wierzchoªków x1x2...xnx1,nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x1x2...xn s¡ ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga dgba jest drog¡ prost¡, zamkni¦t¡.Ci¡g wierzchoªków, które jej odpowiadaj¡jest postaci x1, x5, x3, x2, x1, a wi¦cwszystkie wierzchoªki x1, x5, x3, x2 s¡ ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degba nie jest cyklem, chocia» jestdrog¡ prost¡, zamkni¦t¡, poniewa» w ci¡guwierzchoªków, odpowiadaj¡cych tej drodzex1, x5, x5, x3, x2, x1 wierzchoªek x5 powtarzasi¦.
101 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Cykl w gra�e
De�nicja
Zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, której odpowiada ci¡g wierzchoªków x1x2...xnx1,nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x1x2...xn s¡ ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga dgba jest drog¡ prost¡, zamkni¦t¡.Ci¡g wierzchoªków, które jej odpowiadaj¡jest postaci x1, x5, x3, x2, x1, a wi¦cwszystkie wierzchoªki x1, x5, x3, x2 s¡ ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degba nie jest cyklem, chocia» jestdrog¡ prost¡, zamkni¦t¡, poniewa» w ci¡guwierzchoªków, odpowiadaj¡cych tej drodzex1, x5, x5, x3, x2, x1 wierzchoªek x5 powtarzasi¦.
102 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Cykl w gra�e
De�nicja
Zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, której odpowiada ci¡g wierzchoªków x1x2...xnx1,nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x1x2...xn s¡ ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga dgba jest drog¡ prost¡, zamkni¦t¡.Ci¡g wierzchoªków, które jej odpowiadaj¡jest postaci x1, x5, x3, x2, x1, a wi¦cwszystkie wierzchoªki x1, x5, x3, x2 s¡ ró»ne.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Droga degba nie jest cyklem, chocia» jestdrog¡ prost¡, zamkni¦t¡, poniewa» w ci¡guwierzchoªków, odpowiadaj¡cych tej drodzex1, x5, x5, x3, x2, x1 wierzchoªek x5 powtarzasi¦. 103 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf acykliczny
De�nicja
Graf nie zawieraj¡cy cykli nazywamy grafem acyklicznym.
Graf acykliczny.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Graf posiada cykle np. fgh, acb itd.
104 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf acykliczny
De�nicja
Graf nie zawieraj¡cy cykli nazywamy grafem acyklicznym.
Graf acykliczny.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Graf posiada cykle np. fgh, acb itd.
105 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf acykliczny
De�nicja
Graf nie zawieraj¡cy cykli nazywamy grafem acyklicznym.
Graf acykliczny.
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Graf posiada cykle np. fgh, acb itd.
106 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Odlegªo±¢ wierzchoªków
De�nicja
Odlegªo±ci¡ pomi¦dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamydªugo±¢ najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j¡ symbolem d(u, v).
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Odlegªo±¢ pomi¦dzy wierzchoªkami x2 i x4 wynosi
d(x2, x4) = 2.
Ka»da inna droga ª¡cz¡ca te wierzchoªki ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 np. drogax2x3x1x5x4 ma dªugo±¢ 4.
107 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Odlegªo±¢ wierzchoªków
De�nicja
Odlegªo±ci¡ pomi¦dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamydªugo±¢ najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j¡ symbolem d(u, v).
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Odlegªo±¢ pomi¦dzy wierzchoªkami x2 i x4 wynosi
d(x2, x4) = 2.
Ka»da inna droga ª¡cz¡ca te wierzchoªki ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 np. drogax2x3x1x5x4 ma dªugo±¢ 4.
108 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Odlegªo±¢ wierzchoªków
De�nicja
Odlegªo±ci¡ pomi¦dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamydªugo±¢ najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j¡ symbolem d(u, v).
x1 x2
x3
x4
x5
a
c
gfe
k h
bd
Odlegªo±¢ pomi¦dzy wierzchoªkami x2 i x4 wynosi
d(x2, x4) = 2.
Ka»da inna droga ª¡cz¡ca te wierzchoªki ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 np. drogax2x3x1x5x4 ma dªugo±¢ 4.
109 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Graf spójny
De�nicja
Graf G nazywamy spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy, ka»da para jego ró»nychwierzchoªków jest poª¡czona drog¡ w tym gra�e.
110 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Drzewo
De�nicja
Graf spójny i acykliczny nazywamy drzewem.
u t v m
w
s k l
y x z n
111 / 112
Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle
Dzi¦kuj¦ za uwag¦!!!
112 / 112
Top Related