POVRCHY A OBJEMY HRANATÝCH A ROTAČNÝCH TELIES
Vypracoval: Zdeno Rýs
Trieda: III.B
Školský rok: 2012/2013
Škola: GJGT
2
Register:
Úvod 1
Hranaté a rotačné telesá 2
Kocka 2
Kváder 3
Kolmý hranol 4
Ihlan 4
Zrezaný ihlan 5
Rotačné telesá 6
Rotačný valec 6
Rotačný kužeľ 7
Zrezaný rotačný kužeľ 7
Guľa 8
Guľový odsek 8
Guľový vrchlík 9
Guľová vrstva 9
Guľový pás 9
Guľový výsek 9
Záver 10
Bibliografické údaje/ použitá literatúra 11
3
Úvod:
Na našej škole Gymnáziu Jozefa Gregora Tajovského majú každý rok za
povinnosť žiaci tretieho ročníka vypracovať dva projekty z ptedmetov, z ktorých chcú vo
štvrtom ročníku maturovať. Na výber sme tento rok mali množstvo predmetov ku ktorým
bolo priradených mnoho zaujímavých tém. Pre môj prvý projekt, ktorý budem
prezentovať som si vybral matematiku a tému „ Povrchy a objemy hranatých
a rotačných telies“ je to dosť zaujímavá téma a chcel by som vám ju bližšie priblížiť.
V mojom projekte sa dočítate aké všetky hranaté a rotačné telesá poznáme ako ich
využívame a ako sa s nimi stretávame v živote. Ďalej vám chcem priblížiť ako počítame
ich obsahy a objemy, ale viac sa už dočítate v mojej práci.
4
Hranaté a rotačné telesá
Hranaté a rotačné telesá sú tiež aj priestorové telesá. Zaoberá sa nimi časť
geometrie, ktorá sa nazýva stereometria (priestorová geometria, z gréckeho slova
stereo = pevné teleso). Povrch týchto telies budeme označovať písmenom S, objem
písmenom V, obsah podstavy písmenom Sp a obsah plášťa písmenom Q.
Hranaté telesá poznáme
• Kocka
• Kváder
• Kolmý hranol
• Ihlan
• Zrezaný ihlan
Kocka
Definícia kocky: Kocka je kolmý hranol ktorého dĺžka, šírka a výška majú rovnakú
veľkosť. Objem kocky vypočítame pomocou vzorca naľavo a povrch kocky vypočítame
pomocou vzorca napravo
V = a . a . a = a3 S = 6 . a . a = 6.a2
Keď kocku chceme narysovať na papier bočnú stranu a rysujeme pod uhlom 45
stupňov a tak je to aj u kvádra a taktiež u nsledujúcich hranatých telies
5
Ak kocku chceme zostrojiť ako priestorové teleso vytvorime ju tak že si ju narysujeme
rozloženú a následne ju poskldáme
Kváder
Definícia kvádra
Kváder je kolmý hranol, ktorého podstavou je obdĺžnik. Na vypočítanie objemu kvádra
používame vzorec na ľavo a na výpočet povrchu používame vzorec na prevej strane
V = a . b . c S =2.(ab + bc + ca)
Kváder je vlastne 4-boký hranol, ale poznáme hranoly. Pri každom hranole ao aj pri
kvádri sú vždy obe podstavy zhodné a ležnia o proti sebe vo vzdialenocti c a sú na seba
vždy kolmé.
6
Kolmý hranol
Definícia kolmého hranola
Kolmý hranol je teleso, ktorého bočné hrany sú kolmé na roviny podstáv tvorené
pravidelným mnohouholníkom. Podľa toho koľko strán má podstava, hovoríme
o hranole trojbokom, štvorbokom, päťbokom,...n-bokom.
Objem Kolmého hranola vypočítame pomocov vzorca V = SP . v , čiže z toho vyplýva
obsah podstavy krát výška hranola. Pri počítaní povrchu používame vzorec S = 2SP + Q
Pričom Sp je obsah podstavy a Q čo je plášť
Ihlan
Definícia Ihlanu:
Ihlan je teleso, ktorého podstava tvorí pravidelný mnohouholník, a ktorého steny sú
trojuholníky a zbiehajú sa v jednom vrchole, pričom priamka určená stredom súmernosti
7
bočná stena
horná podstava
dolná podstava
bočná hrana
hrana podstavy
bočná stena
podstava
bočná hrana
hrana podstavy
vrchol ihlana
V
mnohouholníka a vrcholom je kolmá na rovinu podstavy. Podľa toho, koľko strán má
podstava, hovoríme o ihlane trojbokom, štvorbokom, päťbokom atď.
Ak chceme vypočítať objem ihlanu použijeme vzorec , kde Sp je
obsah podstavy ihlanu a v je výška ihlanu, táto výška je kolmá na stred podstavy ihlanu
a prechádza bodom V. Bod V je miesto kde sa stretávajú vrcholy strán trojuholníkov a
tvoria takzvaný vrchol ihlanu. Povrch ihlanu môžeme vypočítať pomocov vzorca kde Sp
je obsah podstany a Q je plášť
Na
obrázku v ľavo môžeme vidieť narysovaný ihlan a na obrázku v pravo sieť ihlanu.
Zrezaný Ihlan
Definícia zrezaného ihlanu:
Zrezaný ihlan je kolmý ihlan zrezaný rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorého každá
bočná stena je lichobežník.
8
Objem zrezaného ihlanu vypočítame pomocou vzorca kde h je vzdialenosť oboh
podstáv, S1 je obsah spodnej podstavy a S2 je obsah vrchnej podstavy.
Jeho povrch vypočítame ako súčet obsahov sponej a vrchcej podstavy a obsahu plášťa.
Na ľavej strane môžeme vidieť narysovaný zrezaný hranol a na
pravej strane je sieť zrezaného hranola.
Rotačné telesá
• Rotačný valec
• Rotačný kužeľ
• Rotačný zrezaný kužeľ
• Guľa
Rotačný valec
Definícia Rotačného valca:
Rotačný valec je teleso s rovnobežnými, kruhovými podstavami rovnakého polomeru,
pričom výška valca je kolmá na rovinu podstavy. Môžeme si ho predstaviť ako teleso,
ktoré vzniklo rotáciou obdĺžnika okolo jeho strany.
Objem počítame pomocou vzorca V = p r2 v a povrch počítame pomocou vzorca
9
S = 2 p r2 + 2 p r v
Rotačný kužeľ
Definícia rotačného kužeľa:
Rotačný kužeľ je teleso, ktorého podstavou je kruh, pričom priamka určená vrcholom
a stredom podstavy je na rovinu podstavy kolmá. Teleso vzniklo rotáciou pravouhlého
trojuholníka okolo jednej jeho odvesny.
Objem rotačného kužeľa počítame pomocou vzorca V = 1/3 p r2 v a povrch vzorcom
S = p r. (r+s)
Zrezaný rotačný kužeľ
Definícia rotačného zrezaného kužeľa:
Zrezaný rotačný kužeľ je priestorové teleso, časť kužeľa, ktorá leží medzi dvoma
rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi týmto kužeľom. Inak povedané je to „kužeľ
s odrezaným vrcholom“. Vznikne rotáciou pravouheho lichobežníka okolo jeho kolmého
10
ramena na základňu. Rotáciou základní vzniknú podstavy a rotáciou drúheho ramena
vzniká plášť zrezaného kužeľa. Výška zrezaneho kužeľa je vzdialenosť rovín jeho
podstáv.
Objem Zrezaného rotačného kužeľa počítame vzocom
Povrch Zrezaného rotačného kužeľa počítame vzocom prićom Q
vypočítame ako
Guľa
Definícia gule:
Guľa je množina všetkých bodov trojrozmerného priestoru, ktoré majú od stredu S,
vzdialenosť, ktorá je menšia alebo sa rovná polomeru r.
Objem gule vypočítame ako V = 4/3 p r3 a povrch S = 4 p r2
11
Guľový odsek: Guľový odsek je prienik gule a
polpriestoru, ktorého hraničná rovina pretína guľu v
kruhu s polomerom ρ. Tento kruh nazývame
podstava guľového odseku. Je najmenšia časť gule
Rozdelená rovinou na dve časti
Guľový vrchlík
Guľový vrchlík je prienik guľovej plochy a
polpriestoru, ktorého hraničná rovina pretína guľovú
plochu v kružnici s polomerom ρ.
S=2πrv -povrch guľového vrchlíku
Guľová vrstva
Guľová vrstva je prienik gule a vrstvy, ktorá je
určená dvoma rovnobežnými rovinami σ1 s σ2,
ktorých vzdialenosti od stredu gule S sú menšie
ako polomer gule r a pretínajú guľu v kruhoch s
polomermi ρ1 a ρ2. Tieto dva kruhy nazývame
podstavy guľovej vrstvy.
Guľový pás
Guľový pás je prienik guľovej plochy a vrstvy,ktorá
je určená dvoma rovnobežnými rovinami σ1
aσ2,ktorých vzdialenosi od stredu gľovej plochy S
sú menšie ako polomer guľovej plochy r a pretínajú
guľovú plochu v kružniciach s polomermi ρ1 aρ2. Je
to plášť guľovej vrstvy.
S=2πrv – vzorec na výpočet povrchu guľového pásu
12
Guľový výsek
Je to prienik gule rotačným kužeľom, ktorý má vrchol v strede gule a výšku väčšiu ako r
Vzorec na výpočet objemu guľového výseku je
Záver
V mojej práci som sa snažil čo najprehľadnejšie spradcovať a vysvetliť vám
jednotlivé princípy každého telesa či už rotačné alebo hranaté. Myslím, že moja úloha
sa mi podarila a dúfam, že vás môj projekt dostatočne zaujal a, že som vám mojou
prácou priblížil nové poznatky z oblasti matematiky.
13
Bibliografické údaje/ použitá literatura:
ISBN 80-08-00941-1
https://www.google.sk/search?
q=kocka&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&aq=f&um=1&ie=UTF-
8&hl=sk&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=bk2WUa_ODcnVswbxvoDgAQ&biw=
1280&bih=826&sei=cU2WUa-
KDMPStAatmoGABg#um=1&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&hl=sk&tbm=isch&sa=1&q
=ihlan&oq=ihlan&gs_l=img.12..0l8j0i24l2.62900.64735.4.67056.5.5.0.0.0.0.111.467.4j1.
5.0...0.0...1c.1.14.img.QSpjzf4nlFw&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46751780,d.Yms&fp=d
bf7b6aca8124846&biw=1280&bih=826
ISBN 80-89160-12-3
http://www.naucteviac.sk/index.php/resources/
casti_ihlana_cvicenia_druhy_ihlanov_ihlan_ihlany_objem_plast_povrch_rozlicne_ulohy
_t.html
http://zmaturuj.zones.sk/materialy/maturitne-temy/matematika-teoria/telesa.pdf
https://www.google.sk/search?
q=kocka&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&aq=f&um=1&ie=UTF-
8&hl=sk&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=bk2WUa_ODcnVswbxvoDgAQ&biw=
1280&bih=826&sei=cU2WUa-
KDMPStAatmoGABg#um=1&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&hl=sk&tbm=isch&sa=1&q
=kolm
%C3%BD+hranol&oq=kolmy+hr&gs_l=img.1.0.0i24l3.52784.54726.2.56276.8.8.0.0.0.0.
97.695.8.8.0...0.0...1c.1.14.img.RkemLJl8XwE&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46751780,d.
14
Yms&fp=4acd835e343b51d3&biw=1280&bih=826&imgrc=rhUjjXAP5PgYbM%3A
%3BQXPtsBnX-PpM7M%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.oskole.sk%252Fuserfiles
%252Fimage%252Fmatematika%252Fobjem%252520a%252520povrch
%252520hranola%252Fhranoly1.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.oskole.sk
%252F%253Fid_cat%253D2%2526clanok%253D9793%3B159%3B193
ISBN 80-89160-01-8
15
Top Related