Variablen, Terme und Gleichungen
Fotios Tzallas und Sebastian Wirth
Voraussetzungen aus der Grundschule nach Rahmenlehrplan
Didaktischer Hintergrund
Umsetzung in Schulbüchern
These / Einstiegsaufgabe
Algebraische Denkentwicklung
Weitere Aufgaben / Diskussion
Gliederung
Voraussetzungen
Anforderungen und Inhalte Klasse 3/4:
Anwendung zu Rechengesetzen: Kommutativität, Assoziativität, Distributivität
Regeln für das Rechnen mit Klammern, Punkt- vor Strichrechnung
Zu Gleichungen und Ungleichungen Sachverhalte angeben
Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen und dabei die Gleichungen bzw. Ungleichungen bilden und sachbezogen lösen
Voraussetzungen
Anforderungen und Inhalte Klasse 5/6:
Anwendung zu Rechengesetzen: Kommutativität, Assoziativität, Distributivität
Volumen von Würfel und Quader und daraus zusammengesetzten Körpern
Veränderung von U und A (und V) in Abhängigkeit der Seitenlänge beschreiben, berechnen und Formel begründen
Voraussetzungen
Kompetenz nach der 6. Klasse:
Die Schülerinnen und Schüler:
beschreiben mathematische Sachverhalte unter Verwendung mathematische Fachbegriffe und Symbole
entnehmen aus Sachtexten und anderen Darstellungen relevante Informationen und kommunizieren mit anderen darüber
übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität
Didaktischer Hintergrund
Definition von Termen:
„Terme sind formal Zeichenreihen, die selbst Zahlen darstellen oder durch Einsetzen von Zahlen in Zahlen übergehen.“
(Thorsten Rohwedder.Didaktik der Algebra und Zahlentheorie.-Sommersemester 2014-.Vorlesung 5: Algebra: Variablen, Terme und Potenzen)
Didaktischer Hintergrund
Terme (Beispiele):
T1 (a) = a Variable T2 = 5 Zahl T3 (a,b) = a + b Summe T4 (x) = x – 5 Differenz T5 (c) = 10 * c Produkt T6 (y) = y/3 Quotient
(Thorsten Rohwedder.Didaktik der Algebra und Zahlentheorie.-Sommersemester 2014-.Vorlesung 5: Algebra: Variablen, Terme und Potenzen)
Didaktischer Hintergrund
Beschreibung von Gleichungen: unter anderem durch…
Aussage
– Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist
Aussagenform
– Formulierung, die beim Einsetzen eine Aussage ergibt
Didaktischer Hintergrund
Gleichungen (Beispiele):
Aussagen: 2 + 3 = 5 (wahr) 2 + 3 = 6 (falsch)
Aussagenform: 2 + x = 5 (erfüllbar) x + x = 2x (allgemeingültig) x + 1 = x + 2 (unerfüllbar)
Didaktischer Hintergrund
Was ist eine Variable?
„Nobody can say what a variable is.“ (H. Weyl, zit. nach http://faculty.agecon.vt.edu/GeorgeDavis/Quotes.html)
Weiterführende Fragen: 1. Wofür werden Variablen verwendet? 2. Welche Aspekte sind beim Arbeiten mit Variablen bedeutsam? 3. Welche Sichtweisen auf Variablen gibt es in diesen Kontexten?
Didaktischer Hintergrund
1. Wofür werden Variablen verwendet?
a. als unbestimmte Zahlen in Termen, z.B. t3 + 2t2 + t
b. als Unbekannte in Gleichungen, z.B.2x + 5 = 17
c. zum Ausdruck allgemeingültiger Gesetze, z.B. (a + b)*(a – b) = a2 – b2
d. in funktionalen Zusammenhängen zwischen Zahlen, z.B.y = x2 + 5, y = sin(x)
Didaktischer Hintergrund
2. Welche Aspekte sind beim Arbeiten mit Variablen bedeutsam?
Aspekt 1: Gegenstandsaspekt
Aspekt 2: Einsetzungsaspekt
Aspekt 3: Kalkülaspekt (Rechenaspekt)
Didaktischer Hintergrund
3. Welche Sichtweisen auf Variablen gibt es in diesen Kontexten?
Einzelzahlaspekt Bereichsaspekt Veränderlichenaspekt Simultanaspekt
Didaktischer Hintergrund
Lösungsstrategien:
Terme: - Hinführung zu Termumformungen
Variablen: - Arbeiten mit Platzhaltern
Gleichungen: - Probieren, Sammeln in Tabellen - Inhaltliche Überlegungen - Rechnungen, Aufstellen von Termen
Umsetzung in Schulbüchern
Wie finden sich die verschiedenen Aspekte in Schulbüchern wieder?
Umsetzung in Schulbüchern
Lambacher Schweizer 5, Klett, 2007
Umsetzung in Schulbüchern
Lambacher Schweizer 5, Klett, 2007
Umsetzung in Schulbüchern
Mathematik 5. Schuljahr, Cornelsen, 1992
Umsetzung in Schulbüchern
Mathematik 5. Schuljahr, Cornelsen, 1992
Umsetzung in Schulbüchern
Mathematik 5. Schuljahr, Cornelsen, 1992
Umsetzung in Schulbüchern
Mathematik Neue Wege 7, Schroedel, 2007
Mathematik Neue Wege 7, Schroedel, 2007
These / Einstiegsaufgabe
Viele Wege führen nach Rom. Ausprobieren muss elementarer Bestandteil des Unterrichts sein!
So kann algebraisches Denken nachhaltig aufgebaut werden.
Algebraische Denkentwicklung
Algebraisches Denken meint verständiger und beweglicher Umgang mit der Symbolsprache der elementaren Algebra. (Tatjana Berlin: Stufen der algebraischen Denkentwicklung, in: Der Mathematikunterricht 57(2), 2011)
Das heißt: 1. in arithmetischen Zusammenhängen Strukturen und Formen
erkennen 2. diese begrifflich und symbolisch allgemein beschreiben 3. symbolische Ausdrücke regelgeleitet umformen, Ergebnisse
sachgerecht interpretieren, neue Informationen ablesen
Algebraische Denkentwicklung
Die verschiedenen Stufen algebraischen Denkens:
1. Vorbewusste Auseinandersetzung, Formierung einer Methode ein Beispiel wird untersucht, strukturelle Einsicht bleibt aus z.B. einfaches Abzählen
2. Beobachten von Mustern / Strategie des Strukturierens Gesetzmäßigkeiten werden erkannt, können aber nicht erklärt werden
3. Durschauen von Mustern / Erklären von Zusammenhängen gliedert sich in 3 Stadien die SuS können ihre Einsicht begrifflich oder formal erklären
Algebraische Denkentwicklung
Die drei Stadien der dritten Stufe:
1. Symbolisches Beschreiben: Die Gesetzmäßigkeit wird erkannt und durch symbolische Ausdrücke beschrieben. Situationsgebundene Informationenen werden noch nicht als frei verfügbare Rechenzahl wahrgenommen. Es findet keine freie Operation mit der Variablen statt.
2. Symbolisches Operieren: Die Variablen werden zu Stellvertretern, mit denen nach arithmetischen Regeln gerechnet werden kann
3. Formale Sprache als gedankliches Werkzeug: Variable als vertrautes Objekt, Term als von der Situation gelöster Ausdruck
Weitere Aufgaben/Diskussion
Aufgabe 2: a) Ein Paket hat die Länge l = 35 cm,
die Breite b = 25 cm und die Höhe h = 12 cm. Je nach Gewicht des Inhaltes soll es unterschiedlich verschnürt werden. Schätzt, für welches Paket ihr am meisten Schnur benötigt.Gebt noch 20 cm (insgesamt) für die Knoten hinzu und berechnet die jeweils benötigte Schnurlänge. Versucht, einen Schuhkarton wie in der Grafik dargestellt zu schnüren, die Kordel soll nirgends doppelt verlaufen.(Mathe live 7, S. 140-141)
Weitere Aufgaben/Diskussion
Aufgabe 2: b) Gebt die Schnurlängen auch allgemein für solche Pakete mit der Länge l,
der Breite b und der Höhe h an. c) Wie sieht eine Paket-Schnürung aus zu 4l+4b+4h+15 bzw. zu 3l+2b+4h+10?
d) Überlege dir weitere Terme und lass deinen Nachbarn die Pakete aufzeichnen.
Weiterführende Fragestellungen zu Aufgabe 2:
1. Was haltet ihr von dieser Aufgabe und ist diese als Einführungsaufgabe hinsichtlich der Variablen und Terme geeignet?
2. Welche inhaltlichen Aspekte werden angesprochen? 3. Wird an Vorwissen der Schüler angeknüpft?
Weitere Aufgaben/Diskussion
Aufgabe 2*:
Das Paket mit der Schnürung 4l + 4b + 4h + 15 hat eine Schnurlänge von insgesamt 135 cm. Welche Höhe, Breite und Länge könnte das Paket haben? Finde drei Möglichkeiten!
Weitere Aufgaben/Diskussion
Lösungen: l = 10, b = 10, h = 10 l = 15, b = 10, h = 5
...
Weiterführende Fragestellungen zu Aufgabe 2*: 1. Wie könnten Schüler diese Aufgabe lösen? 2. Eignet sich diese Aufgabe als Einstiegsaufgabe zu Gleichungen?
Weitere Aufgaben/Diskussion
Vielen Dank!
Quellenangaben
Barzel, B.; Herget, W.: Zahlen, Symbole, Variablen - abstrakt und konkret. In: mathematik lehren 136, 2006.
Berlin, T. und Hefendehl-Hebeker, L.: Stufen der algebraischen Denkentwicklung. In: Der Mathematikunterricht 57(2), 2011.
Mateos, M. G.: Enaktive Zugänge zu Termen mit Streichhölzern und Wendeplättchen. In: Der mathematisch-naturwissenscahftliche Unterricht 64/7, 2011.
Specht, B. und Plöger, H.: Das Kreuz mit dem x-Beliebigen. In: Der Mathematikunterricht 57(2), 2011
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