Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan
Vortrag über Fraktale
Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan
Inhalt:
1. Was ist ein Fraktal?
2. Einige Dimensionsbegriffe
3. Iterierte Funktionensysteme
4. L-Systeme
5. Strange Attractors
6. Julia-Mengen
7. Die Mandelbrotmenge
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Benoit Mandelbrot:
Ein fragmentiertes geometrisches Gebilde, das in Teile zerlegt werden kann, die (nahezu) eine kleine Kopie des ganzen Gebildes sind.
Oder:
Eine Menge von Punkten heißt Fraktal, wenn ihre fraktale Dimension ihre topologische übertrifft.
1 – Was ist ein Fraktal?
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Mathematischere Formulierung der Idee von Mandelbrot:
Ein Fraktal ist Attraktor eines iterierten Funktionensystems (IFS).
Beispiel:
1 – Was ist ein Fraktal?
1 2 3
200 1002 2 2; ;
100 3 100 32 2 2
x x xx x x
f f fy y y y y y
Sierpinski-Dreieck zeichnen
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2.1 Minkowski-Dimension
2.2 Box-Dimension
2.3 Hausdorff-Dimension
2.4 Packing-Dimension
2.5 Selbstähnlichkeitsdimension
2 – Dimensionsbegriffe
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Vorteile:
- leicht anschaulich zu verstehen
- Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
Nachteile:
- Nicht immer eindeutige Dimensionszuweisung
- Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft
2 – Dimensionsbegriffe – Minkowski-Dimension
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Vorteile:
- leicht anschaulich zu verstehen
- Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
Nachteile:
- Keine eindeutige Dimensionszuweisung
- Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft
2 – Dimensionsbegriffe – Box-Dimension
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Vorteile:
- Eindeutige Dimensionszuweisung
- Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
- Abzählbare Stabilitätseigenschaft
Nachteile:
- I.A. sehr schwer zu berechnen
Bemerkung: Es gilt
2 – Dimensionsbegriffe – Hausdorff-Dimension
dim dimME E
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Vorteile:
- Eindeutige Dimensionszuweisung
- Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
- Abzählbare Stabilitätseigenschaft
Nachteile:
- I.A. sehr schwer zu berechnen
Bemerkung: Es gilt
Weiterhin:
2 – Dimensionsbegriffe – Packing-Dimension
dim dim dimP ME E E
dim dim dim dim dimPA A A B A B
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Vorteile:
- Eindeutige Dimensionszuweisung
- Verallgemeinerter normaler Dimensionsbegriff
- Einfachste Berechnung
Nachteile:
- I.A. keine sehr große Aussagekraft
2 – Dimensionsbegriffe – Selbstähnlichkeitsdimension
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- Satz: Zu jedem IFS existiert genau ein nicht-leerer kompakter Attraktor.
- Dieser lässt sich sich durch folgende Algorithmen zeichnen:
- Der Mehrfachverkleinerungskopiermaschine
- Das Chaos Game
3 – Iterierte Funktionensysteme
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Die Mehrfachverkleinerungskopiermaschine:
- Man starte mit beliebiger nicht-leerer Teilmenge V(0)
- .
- Bei hinreichender Genauigkeit stoppe man.
Nachteile:
- Nahezu nur rekursiv vernünftig programmierbar
3 – Iterierte Funktionensysteme
1
1 :n
ii
V n V n
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Das Chaos-Game:
- Man starte mit beliebigem Punkt
- Man wähle unter den Zahlen 1,..,n unter Gleichverteilung unabhängig von den bisherigen Wahlen eine Zahl aus.
- Man setze und zeichne:
- Man stoppe bei vorher festgelegter Schranke
Bemerkungen:
- Man sollte erst ab einer Schranke anfangen zu zeichnen
- Anstelle der Gleichverteilung kann man irgendeine Verteilung nehmen, die allerdings die ganze Menge als Träger haben muss
3 – Iterierte Funktionensysteme
0y
1n ny y
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3 – Iterierte Funktionensysteme
Fazit:
- Attraktoren von IFS sind fraktale Strukturen, deren Informationen sämtlich in den Funktionen gespeichert sind
Bemerkung:
- Erfüllt das IFS die offene Menge Bedingung, dann gilt für den Attraktor C des IFS und für die Ähnlichkeitsdimension s: s = dim C.
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4 – L-Systeme
- L-Systeme bestehen aus einem Urahn und Axiomen, was sich aus diesen im nächsten Zeitschritt entwickelt (siehe etwa die MVKM).
- Beispiel (Cantorsche Menge):
- Reduktion der Information auf Urahn und Axiome.
- Baumstruktur Baumfraktale
- Möglichkeit der stochastischen Auswahl der angewandten Vererbungsregeln
- Möglichkeit der sukzessiven Erschaffung von komplexen Gebilden: (Büschen, Landschaften)
Urahn: F
Axiome: F FfF, f fff
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5 – Strange Attractors
Versuch einer Definition:
Eine beschränkte Menge A ist ein chaotischer und seltsamer Attraktor der Transformation T, wenn eine Menge R mit den folgenden Eigenschaften existiert:
- R ist eine Umgebung von A. R ist ein Gefangenenbereich. A ist in R attraktiv.
- Bahnen in R hängen sensitiv von den Daten ab
- A hat eine fraktale Struktur
- A kann nicht in zwei verschiedene Attraktoren aufgespalten werden, d.h. es gibt Anfangspunkte aus R, deren Bahnen jedem Punkt von A beliebig nahe kommen.
Probleme:
- Definition kaum beweisbar für spezielle Strukturen
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5 – Strange Attractors
Beispiele für diskretes Erzeugungsgesetz:
- Newton-Approximation der Nullstellen im Komplexen von
- Henon-Attraktor
3( ) 1f z z
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5 – Strange Attractors
Beispiel für stetiges Erzeugungsgesetz:
- Lorenz-Attraktor:
'
'
'
810, , 28
3
x x y
y Rx y xz
z Bz xy
B R
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6 – Julia Mengen
Definition: Eine Julia-Menge J im weiteren Sinne zu einer Funktion
Ist definiert durch:
Definition: Eine Julia-Menge J(c) ist eine Julia-Menge i.w.S. für:
Man kann zeigen, dass es bei Julia-Mengen genügt zu zeigen, dass gilt:
:f
: : lim n
nJ z f z
2( ) :f z z c
( ) max , 2nf z c
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6 – Julia Mengen
- Julia-Mengen sind entweder zusammenhängend oder Punktwolken
- Möglichkeit der schrittweisen Einkreisung der Gefangenenmenge
- Auch den Rand der Gefangenenmenge nennt man Julia-Menge
- Die Invertierung von f liefert für den Rand oft ein IFS, so dass der Attraktor des IFS eben die Julia-Menge darstellt
- Ist 0 in der Gefangenenmenge der Julia-Menge, dann ist J zusammenhängend
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7 – Die Mandelbrotmenge
Definition: Mandelbrotmenge M
- Man kann die Mandelbrotmenge als Inhaltsverzeichnis sehen, d.h. die Struktur der zugehörigen Juliamenge wird im gewissen Maße induziert von der Lage des Punktes in der Mandelbrotmenge
- Man kann Mandelbrotmengen natürlich im weiteren Sinne für andere f in Abhängigkeit von einem komplexen Parameter c definieren.
22 2: : ist zusammenhängend : 0, , , ist beschränktM c J c c c c c c c c
Starte Fractint
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Quellen
-An introduction to fractals, Paul Bourke, 1991, http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro
-Fractal Geometry, Paul Mörters, Basierend auf Vorlesung WS 2000/2001, http://www.mathematik.uni-kl.de/~peter/fract.ps
-Bausteine des Chaos: Fraktale, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1992
-Chaos: Bausteine der Ordnung, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1994
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