1
1
Dimensionamento de vigas mistas de aço e concreto segundo NBR 8800:2008
Especialização em Engenharia de EstruturasEspecialização em Engenharia de Estruturas
Exemplos
2
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo
� Plano das vigas no pavimento tipo
P1P1
P1P1 P1P1
P1P1
P2 P3
P2 P3 P2 P3
P2 P3
V1 V1
V1 V1
V2
V3
V2
V2
V3
V2
L1 L1
L1 L1
L2L2
L2 L2
V4
V5
V4
V6
V6
V7
V6
V6
V7
V6
V6
V8
V6
V6
V8
V9 V9
620 620 620
450
360
450
315
315
315
315
115 390 115
1 2 3 4
AB
CD
2
3
� DadosGeometria
Ações:Peso próprio estrutura: 0,43 kN/mPeso próprio laje: 13,19 kN/mAlvenaria: 5,8 kN/mSobrecarga de utilização: 4,44 kN/mCombinação última normal: 1,25PP+1,35(CP+alv)+1,5SC
1,25*0,43+1,35*(13,19+5,8)+1,5*4,44 Total: 32,83 kN/m
Esforços de cálculo para combinação normal:Momento fletor: MSd=157,77 kN.mEsforço cortante: VSd=101,79 kN.m
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo
620,0 cm
4
1ª. HIPÓTESE1ª. HIPÓTESE
Viga BIAPOIADA
Construção ESCORADA
Interação TOTAL
3
5
� DadosGeometria da viga de aço
VS 250 x 33d=250 mm; bf=160 mm; tf=9,5 mm; tw=4,75 mmDistância para as vigas adjacentes:
viga esquerda (V1): L1=3150 mm
viga direita (V3): L2=3150 mm
Laje de concretohc=80 mm
Conectores tipo pino com cabeçaDiâmetro mínimo: lembrar que hco > 4dco
hco=80 – 15 = 65mm → dco < 16,2 mm
Adotado dco=12,5 mm
Materiais:Aço: fy=25 kN/cm
2; fu=40 kN/cm2 e Es=20500 kN/cm
2
Concreto da laje: fck=2 kN/cm2
Conector: fuco= 41,5kN/cm2
80
4,75250
9,5
160
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
6
� Classificação da viga de açoPropriedades geométricas da viga de aço
A=41,37 cm2
Iax=4886,06 cm4
Wa=390,89 cm3
Verificar classificação da viga de açoCompacta, semi-compacta e esbelta
Alma:
Mesas:
Plastificação total da seção mista
Viga mista biapoiada →→→→ ββββvm= 1,0
80
4,75250
9,5
160
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
compacta seção 108f
E76,363,48
75,4
231
t
h
yw
→=<==
compacta seção 9,10f
E38,04,8
5,9x2
160
t2
b
yf
f →=<==
Viga contida lateralmente
80
4,75250
9,5
160
4
7
� Construção escorada e interação completaLargura efetiva da laje:
Viga mista biapoiada:
Menor valor entre:1/4 * L1=0,25*620= 155 cm
0,5*(L1+L2)=0,5*(315+315)=315 cm
Portanto: b=155cm
Cisalhamento na interface (Vh)Para interação completa →→→→ QRd ≥ VhRd
Linha neutra única: na viga de aço ou na laje de concreto
Como Ccd > Tad →→→→ linha neutra plástica na LAJE→→→→ QRd=940,2 kN
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
B
σ m a x
b
σ
( )
=⋅
==
=⋅⋅⋅
==≤
kN2,94010,1
2537,41AfT
kN7,15054,1
8155285,0
4,1
btf85,0C
V
ayad
cckcd
hRd
8
� Construção escorada e interação completaResistência dos conectores tipo pino com cabeça
Área do conector: Aco=0,25*ππππ*(dcon)2=1,23 cm2
Módulo de elasticidade do concreto: Ec=4760*(fck) ½=2128,7 kN/cm2
Resistência de um conector: qRd
Esmagamento do concretoRuptura do conector
Portanto qRd=32,1 kN
Número de conectores necessários: ηηηηco
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
=⋅=⋅
=⋅=⋅≤
kN 8,408,400,125,1
fAC
kN 1,321,320,125,1
EfA5,0C
qucs
red
cckcsred
Rd
viga /meiaconectores 3,291,32
2,940
q
Q
Rd
Rdco ===η
Entre pontos de Mmax e nulo
5
9
� Construção escorada e interação completaPosição da Linha neutra plástica
Linha neutra plástica localizada na altura da laje de concreto se
Resistência ao momento fletor
Força de tração no perfil →
Posição da linha neutra →
Resultante no concreto →
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
kN2,94010,1
2537,41
10,1
)fA(T ayad =
⋅==
( )10,1
Af
40,1
tbf85,0 aycck⋅
≥⋅⋅
Resistência da viga de açoResistência da laje
de concreto
Ccd=1505,7 kN Tad=940,2 kN LNP na laje
cm8tcm5
40,1
155285,02,940
40,1
bf85,0T
a cck
ad =≤=⋅⋅
==
kN 1,94140,1
5155285,0
40,1
abf85,0C ck
cd =⋅⋅⋅
==
10
� Construção escorada e interação completaResistência ao momento fletor
Momento fletor resistente de cálculo:
Momento fletor solicitante de cálculo:
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
kN2,940Tad =
kN 1,941C cd =
( ) kN.cm 169255,2805,122,9400,12
athd5,0TM cFadvmRd =−++⋅⋅=
−++β=
d
d1
tchF
tf
tw
hCG
f y/1,10
(0,85 f ck)/1,40
Ccd
Tad
LNP
a
d1
b
kN.cm 16925MRd =
kN.cm 15777MSd =
6
11
� Construção escorada e interação completa
Viga de açoTestadas:
VS 300 x 43 → não passou na flexão (MRd=10188kN.cm)
VS 350 x 58 → ok!!!! (MRd=19892kN.cm)
Para viga mistaVS 250 x 33
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
12
Viga BIAPOIADA
Construção ESCORADA
Interação PARCIAL
2ª. HIPÓTESE42ª. HIPÓTESE4
7
13
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo
� Construção escorada e interação parcialMomento fletor solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm
Escolha do grau de interação:valores mínimos: para perfil de aço com mesas de áreas iguais
Le=6,2m (distância entre pontos de momento nulo)
Adotado grau de interação η=0,5
Interação PARCIAL
>
≤≥−−=η
m25L se 1
m25L se 40,0)L03,075,0(f578
E1
e
eey
4,0)L03,075,0(f578
E1m20,6L e
ye ≥−−=η→=
0,4 mínimo4,02,0 =η→<=η
L=620cm
14
� Construção escorada e interação parcialCisalhamento na interface (Vh)
Para interação parcial → QRd= η * VhRd
∴ VhRd=940,2 kN
Número de conectores para interação parcialFluxo de cisalhamento a ser resistido
QRd=0,5*940,2=470,15 kNnco=QRd/qRd com qRd=32,1 kN
∴ nco=14,68 conectores para meia viga
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
( )
=⋅
==
=⋅⋅⋅
==≤
kN2,94010,1
2537,41AfT
kN7,15054,1
8155285,0
4,1
btf85,0C
V
ayad
cckcd
hRd
kN1,4702,9405,0VQ hRdRd =⋅=⋅η=
8
15
� Construção escorada e interação parcialResistência ao momento fletor
Resultante na viga de aço →
Para interação parcial →
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
Cad
Ccd0,85 fcd
yc
a
LNP(no perfil)
Tad
fyd
fyd
yt
tw
tchF
d
tf
h
LNP(na laje)
yp
bef
kN2,94010,1
)fA(T ayad ==
kN 15,470QC Rdcd ==
16
� Construção escorada e interação parcialResultante de compressão na viga de aço Cad:
Interação parcial → duas LN: uma na laje e outra na viga de açoa: linha neutra na laje de concreto
yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da lajeVerificar se LNP está na mesa superior ou na almaCad=235,04 kNContribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=345,45 kNSe Cad ≤ (Afy)tf / 1,10→ linha neutra na mesa superiorCaso contrário, LNP na alma∴ LNP na mesa superior
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
kN 04,23515,47010,1
2537,41
2
1C
10,1
)Af(
2
1C cd
ayad =
−
⋅=
−=
cm 5,2
40,1
155285,015,470
40,1
bf85,0C
ack
cd =⋅⋅
==
9
17
� Construção escorada e interação parcialResistência ao momento fletor
∴ LNP na mesa superior
Pto de aplicação da força Tad: yt
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
( ) kN.cm 4,13158ydh2
atCyydCM tFccdctadvmRd =
−++−+−−β=
cm 59,0t)fA(
Cy f
tfy
adp == A partir da face da mesa superior da viga de aço
cm 29,02
yy pc ==
yt
yp
( ) ( ) ( ) ( )( ) cm91,8
ytbtbth
ytdbytt5,0tbth5,0thy
pffffw
pffpfffffwt =
−⋅+⋅+⋅
−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=
18
� Construção escorada e interação parcialMomento fletor resistente de cálculo:
Momento fletor solicitante de cálculo:
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
OPÇÃO: ALTERAR O GRAU DE INTERAÇÃO
kN.cm 15777MSd =
kN.cm 4,13158MRd =
10
19
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo
� Construção escorada e interação parcial: ηηηη=0,8Como o momento fletor resistente de cálculo é MENOR que o momento fletor solicitante de cálculo é preciso aumentar a resistência da viga mista
Uma opção é aumentar o grau de interação η, por exemplo, para:η=0,8
Número de conectores para interação parcialQRd=0,8*940,2=752,2 kN
nco=QRd/qRd com qRd=32,1 kN
∴ nco=23,5 conectores para meia viga
Interação PARCIAL
( )
=⋅
==
=⋅⋅⋅
==≤
kN2,94010,1
2537,41AfT
kN7,15054,1
8155285,0
4,1
btf85,0C
V
ayad
cckcd
hRd kN2,940VhRd =
20
� Construção escorada e interação parcial: ηηηη=0,8Resistência ao momento fletor
Resultante na viga de aço:
Para interação parcial →
kN2,94010,1
)fA(T ayad ==
kN 2,752QC Rdcd ==
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
Cad
Ccd0,85 fcd
yc
a
LNP(no perfil)
Tad
fyd
fyd
yt
tw
tchF
d
tf
h
LNP(na laje)
yp
bef
kN2,94010,1
)fA(T ayad ==
kN 2,752QC Rdcd ==
11
21
� Construção escorada e interação parcial: ηηηη=0,8Resistência ao momento fletor
Resultante de compressão na viga de aço Cad:
Para interação parcial temos duas linhas neutras: uma na laje e outra na viga de aço
linha neutra na laje de concreto →
yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da laje
Verificar se LNP está na mesa superior ou na alma
Cad=94,03 kN
Contribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=345,45 kN
Se Cad ≤ (Afy)tf / 1,10→→→→ linha neutra na mesa superior
Caso contrário, LNP na alma
∴∴∴∴ LNP na mesa superior
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
kN 03,94C10,1
)Af(
2
1C cd
ayad =
−=
cm 0,4
40,1
bf85,0C
ack
cd ==
22
� Construção escorada e interação parcial: ηηηη=0,8Resistência ao momento fletor
∴ LNP na mesa superior
Pto de aplicação da força Tad: yt
Momento fletor resistente de cálculo:
Momento fletor solicitante de cálculo:
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
( ) kN.cm 14624ydh2
atCyydCM tFccdctadvmRd =
−++−+−−β=
cm 24,0t)fA(
Cy f
tfy
adp ==
yt
yp
( ) ( ) ( ) ( )( ) cm 26,11
ytbtbth
ytdbytt5,0tbth5,0thy
pffffw
pffpfffffwt =
−⋅+⋅+⋅
−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=
kN.cm 14624MRd =
kN.cm 15777MSd = Adotar interação total
12
23
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo� Detalhes da viga mista
Conector: Diâmetro: 12,5mm
Altura: h ≥ 4φφφφ=4*12,5=50mm →→→→ hc= 70mm
Número total de conectores: 2*29,3= 59 conectores
Laje de concreto armadoAltura: 8 cm
8 0
4 ,7 52 5 0
9 ,5
1 6 0
Interação PARCIAL
8 0
4 ,7 52 5 0
9 ,5
1 6 0
24
Viga BIAPOIADA
Construção NÃO ESCORADA
Interação TOTAL
3ª. HIPÓTESE3ª. HIPÓTESE
13
25
� Verificação em duas etapas:Fase construtiva:
Viga de aço isolada verificada para as ações de construção
Utilização: Viga mista
� Ações de construção:Combinação: 1,25PP+1,35CP
PP=0,43 kN/m
CP=13,19 kN/m
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
26
� 1a. Etapa: viga de aço isolada VS 250 x 33Flambagem Local
Flambagem local da mesa (FLM)
∴∴∴∴ Mrkm=10944,8 kN.cm
Flambagem local da alma (FLA)
∴∴∴∴ Mrka=10944,8 kN.cm
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
88,10f
E38,042,8
t2
b
y
sp
f
f ==λ<==λ88,10
f
E38,042,8
t2
b
y
sp
f
f ==λ<==λ Mrkm = momento de plastificação
kN.cm 8,09441fW12,1M yapl =⋅⋅=
7,107f
E
h
h76,37,48
t
h
y
s
pp
w
=⋅⋅=λ<==λ Mrkm = momento de plastificação
kN.cm 10944,8fW12,1M yapl =⋅⋅=
14
27
� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaFlambagem Local
Flambagem lateral com torção (FLT)
∴ Mrkflt=10944,8 kN.cm
∴ para flambagem local, Mrkflt=10944,8 kN.cm
Momento resistente de cálculo MRd:
Verificação da resistência ao momento fletor
Momento fletor resistente de cálculo:
Momento fletor solicitante de cálculo:
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
4,50f
E76,163,12
r
L
y
sp
y
b ==λ<==λMrkm = momento de plastificação
kN.cm 8,949910,1
MM Rk
Rd ==
kN.cm 8814MSd =
kN.cm 8,9949MRd =
kN.cm 8,09441fW12,1M yapl =⋅⋅=
28
� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaVerificação da flecha na viga de aço – ELS
combinação para cálculo da flechaPeso próprio + Carga Permanente: q=13,33 kN/m
Flecha no meio do vão:
Flecha máxima:
2,56cmIE384
Lq5
axs
4
=⋅⋅
⋅=δ
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
cm07,2300
Lmax ==δ
2,56cmIE384
Lq5
axs
4
=⋅⋅
⋅=δ
!!!!Ok NÃOmax →δ>δ
15
29
� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaAlterando as dimensões da viga... VS 350 x 39
d=350 mm; bf=180 mm; tf=9,5 mm; tw=4,75 mm
Flambagem Local Flambagem local da mesa (FLM)
∴ Mrkm=18161,5 kN.cm
Flambagem local da alma (FLA)
∴ Mrka=18161,5 kN.cm
Flambagem lateral por torção (FLT)
∴ Mrkflt=18161,5 kN.cm
Momento resistente de cálculo: MRd=16510,5 kN.cm
Momento solicitante de cálculo: MSd=8814 kN.cm
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
30
� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaVerificação da flecha na viga de aço – ELS
combinação para cálculo da flechaPeso próprio + Carga Permanente: q=13,33 kN/m
0,33 + 13
Flecha no meio do vão:
Flecha máxima:
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
cm07,2300
Lmax ==δ
cm 1,1IE384
Lq5
axs
4
=⋅⋅
⋅=δ
16
31
� 2a. Etapa de verificação: viga mistaDeterminar a largura efetiva da laje
Verificar:Cisalhamento na interface → QRd: mínimo (Tad, Cd)
∴ QRd=1134,6 kN
Resistência dos conectores → qRd=mínimo (ruptura do conector, esmagamento do concreto)
( )[ ] cm 155LL0,5 L/4; mínimob 21 =+=
=⋅=⋅
=⋅=⋅≤
kN 3,398,400,125,1
fAC
kN 1,321,320,125,1
EfA5,0C
qucs
red
cckcsred
Rd qRd=32,1 kN
( )
ok kN 1134,6 kN 7,1505
10,1
fA
40,1
tbf85,0 aycck
→>
⋅≥
⋅⋅⋅kN 7,1505
40,1
tbf85,0C cck
d =⋅
= kN 6,113410,1
)fA(T ayad ==
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
32
� 2a. Etapa de verificação: viga mistaVerificar:
Número de conectores para interação completa → n=QRd/qRd
Posição da linha neutra plástica
Como Cd > Tad → LNP na laje de concreto
Componente Ccd:
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
viga meia para 4,35q
Qn
Rd
Rd ==
kN 7,1505Cd = kN 6,1134Tad =
cm 8cm 03,6
40,1
155285,06,1134
t
40,1
bf85,0T
a cck
ad ≤=⋅⋅
→≤=
kN 6,113440,1
03,6155285,0
40,1
abf85,0C ckcd =
⋅⋅⋅==
17
33
� 2a. Etapa de verificação: viga mista
Verificar:Resistência ao momento fletor
Momento resistente de cálculo: MRd=24433,6 kN.cm
Momento solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL
kN 6,24433M
2
03,680
2
1,336,11340,1M
2
athdTM
Rd
Rd
cF1advmRd
=
−++⋅⋅=
−++β=
34
Viga BIAPOIADA
Construção NÃO ESCORADA
Interação PARCIAL
4ª. HIPÓTESE4ª. HIPÓTESE
18
35
� 1a. Etapa de verificação: viga de aço VS 350 x39 Já verificada e ok!!!!
� 2a. Etapa de verificação: viga mista Viga de seção compacta
Grau de interação: η=0,4
Largura efetiva: b=155cm
Cisalhamento na interface: VhRd
Tad=1134,6 kN
Ccd=1505,4 kN
∴ VhRd=1134,6 kN
Força a ser transferida pelos conectores: QRd=0,4*1134,6 = 453,8 kN
Resistência dos conectores: qRdqRd=32,03 kN
Número de conectores → 2,1403,32
8,458
q
Qn
Rd
Rdco ===
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
36
� 2a. Etapa de verificação: viga mista Posição da LNP (duas linhas neutras) lembrar que Ccd=QRd
a: na laje de concreto
Resultante de compressão na viga de aço
yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da lajeVerificar se LNP está na mesa superior ou na alma
Cad=340,4 kN
Contribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=17,1*25/1,10=388,6 kN
Se Cad ≤ (Afy)tf / 1,10→ linha neutra na mesa superior
Caso contrário, LNP na alma
∴ LNP na mesa superior
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
cm 41,2
40,1
155285,08,453
40,1
bf85,0C
ack
cd =⋅⋅
==
( ) kN 4,3408,4536,11342
1C
10,1
)Af(
2
1C cd
ayad =−⋅=
−=
19
37
� 2a. Etapa de verificação: viga mista LNP na mesa superior
Posição de LNP
Pto de aplicação da resultante de compressão na laje de concreto yc:
Pto de aplicação da resultante de tração yt:
Resultante de compressão na laje = resistência da ligação aço-concretoCcd=453,8 kN
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
cm 76,095,05,427
4,340t
10,1
)fA(
Cy f
tfy
adp =⋅==
cm 38,02
yy pc ==
( ) ( ) ( ) ( )( ) cm 9,10
ytbtbth
ytdbytt5,0tbth5,0thy
pffffw
pffpfffffwt =
−⋅+⋅+⋅
−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=
38
� 2a. Etapa de verificação: viga mista
Momento fletor resistente de cálculo
Momento resistente de cálculo: MRd=20583,3 kN.cm
Momento solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
( )
−++−⋅+−−⋅= 9,101,330
2
41,288,45338,09,101,334,3400,1MRd
kN.cm 3,20583MRd =
20
39
� Síntese dos resultados:Momento solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm
� Construção escorada: Viga VS 250 x 331. Interação completa:
MRd=16925 kN.cm60 conectores em toda a viga
2. Interação parcial :MRd=13158,4 kN.cm e 14624 kN.cm (ηηηη=0,5 e 0,8 respectivamente)Respectivamente, 30 e 47 conectores em toda a viga
� Construção NÃO escorada: VS 350 x 393. Interação completa :
MRd=24433,6 kN.cm71 conectores em toda a viga
4. Interação parcial :MRd=20583,3 kN.cm (ηηηη=0,4)29 conectores em toda a viga
Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL
40
Vigas mistas biapoiadasVigas mistas biapoiadas
Estado limite de serviço
21
41
� Propriedades geométricas da seção transformadaRegião de momento positivo
Construção escorada e interação total
VhRd=940,3kN
Ia=4886,06 cm4
Cálculo da inércia transformada Itr
Estado limite de serviçoEstado limite de serviço Verificação de deslocamentos
MPa7,21287204760f4760E ckc =⋅=⋅=
63,94,21287
205000
E
Esn
c
===
( )atrhRd
Rdaef II
V
QII −+=
viga de aço isolada
seção mista homogeneizada
cm1,1663,9
155
n
bbtr ===
42
� Propriedades geométricas da seção transformadaPara região de momento positivo
Cálculo da inércia transformada Itr
Área de concreto transformada
Posição da LNP da seção de aço: ya=12,5cmCentro de gravidade da seção transformada: ytr
Distância do topo da laje até a LN caso esta esteja na laje: atr
Momento de inércia da seção transformada: Itr
Estado limite de serviçoEstado limite de serviço Verificação de deslocamentos
2ctrctr cm76,12881,16tbA =⋅=⋅=
( )cm98,24
76,12837,41
)085,025(76,1285,1237,41
AA
ht5,0dAyAy
ctr
Fcctratr =
++⋅+⋅+⋅
=+
++⋅+⋅=
aço de viga na neutra linhady tr →<
cm02,898,24825ytda trctr =−+=−+=
( ) ( )2trFcctr
3ctr2
atratr yhtdA12
tbyyAII −++⋅+
⋅+−⋅+=
( ) ( ) 423
2tr cm3,2029898,24082576,128
12
81,165,1298,2437,414886,06I =−++⋅+
⋅+−⋅+=
22
43
� Propriedades geométricas da seção transformadaPara região de momento positivo
Inércia transformada Itr
Inércia efetiva Ief
� Flecha máximaL/300 = 6200/300 = 2,07cm
� Combinação de ações para cálculo da flechaPeso próprio + carga permanente + 0,4 * sobrecarga0,33 + 19 + 0,4*4,44 = 21,11kN/m
� Flecha na viga biapoiada
Estado limite de serviçoEstado limite de serviço Verificação de deslocamentos
4tr cm3,20298I =
( ) ( ) 4atr
hRd
Rdaef cm3,2029806,48863,20298
3,940
3,94006,4886II
V
QII =−⋅+=−+=
( )!!!okcm07,2cm98,0
3,2029820500384
6202111,05
IE384
qL5 4
trs
4
→<=⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
=δ
44
Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários
Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários
Viga CONTÍNUA
Análise ELÁSTICA-LINEAR
23
45
� Sistema de piso misto
1 2 3 4
A
B
VE VI VE
VS 400x49 VS 400x49
4x2,5=10m
3x9,0=27m
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
46
� Ações:g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto)
g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto)
q1 = 2,5kN/m (sobrecarga de construção, atuante antes da cura do concreto)
q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)
� Materiais:Aço das vigas: MR-250 (fy = 250MPa; fu = 400MPa)
Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm)
Armadura da laje: CA-50 (fy = 500MPa)
Concreto: C20 (fck = 20MPa) – densidade normal (γγγγc = 24kN/m3)
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
24
47
� Hipóteses:a) construção escorada
b) a viga de aço é contida lateralmente na fase construtiva
c) a viga de aço atende à verificação de força cortante
� Seção transversal
perfil soldado VS 400x49
A = 62 cm2
Ix = Ia = 17.390 cm4
Wx = 870 cm3
Zx = 970 cm3
Iy = 1.267 cm4
ry = 4,52 cm
It = 14,61 cm4
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
48
� Largura efetiva da laje (bef)Vãos da viga
VE →→→→ L1= 9m
VI →→→→ L2= 9m
Momento POSITIVOPOSITIVO:Menor valor entre:
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( ) ( )
=+⋅=+⋅
=⋅⋅=⋅⋅⋅≤−
m5,25,25,22
1LL
2
1
m575,1910
7
8
12L
10
7
8
12
b
ed
2
pos2ef
( ) ( )
=+⋅=+⋅
=⋅⋅=⋅⋅⋅≤−
m5,25,25,22
1LL
2
1
m8,195
4
8
12L
5
4
8
12
b
ed
1
pos1ef
25
49
� Largura efetiva da laje (bef)
Momento NEGATIVONEGATIVO:
Menor valor entre:
( ) ( )
( ) ( )
=+⋅=+⋅
=+
⋅=+
⋅⋅≤−
m5,25,25,22
1LL
2
1
m125,14
99
8
12
4
LL
8
12
b
ed
21
neg2ef
( ) ( )
( ) ( )
=+⋅=+⋅
=+
⋅⋅=+
⋅⋅≤−
m5,25,25,22
1LL
2
1
m125,14
99
8
12
4
LL
8
12
b
ed
21
neg1ef
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( ) ( )
( ) ( )
=+⋅=+⋅
=+
⋅=+
⋅⋅≤−
m5,25,25,22
1LL
2
1
m125,14
99
8
12
4
LL
8
12
b
ed
21
neg2ef
( ) ( )
( ) ( )
=+⋅=+⋅
=+
⋅⋅=+
⋅⋅≤−
m5,25,25,22
1LL
2
1
m125,14
99
8
12
4
LL
8
12
b
ed
21
neg1ef
50
� Inércia da seção mista NÃO FISSURADA
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( ) ( )cm 48,42
55,16362
5,775,04055,1632062
AA
ht5,0dAyAy
ctr
Fcctratr =
++⋅+⋅+⋅
=+
++⋅+⋅=
( ) ( )m 25,2b
m 5,25,25,22
1LL
2
1
m 25,298
12L
8
12
b ef
ed
1
ef =→
=+⋅=+⋅
=⋅⋅=⋅⋅≤
63,97,2128
20500
E
E
c
sE ===η
cm 36,2363,9
225bb
E
eftr ==
η=
2ctrctr cm 55,163736,23tbA =⋅=⋅=
cm 20405,0d5,0ya =⋅=⋅=
b tr
tchf da
d
ya
b f
tf
ytr
a
26
51
� Inércia da seção mista NÃO FISSURADA
Posição da LN transformadaytr (42,48) > d (40 cm) →→→→ LN na laje
( ) ( ) 3cm 6126602,125,002,1236,2312
02,1236,232048,426217390I 2
32
tr =⋅⋅⋅+⋅
+−⋅+=
btr
tchf da
d
ya
bf
tf
ytr
a
cm 02,1248,425,7740yhftda trc =−++=−++=
( ) ( )2tr
3tr2
atraxtr a5,0ab12
abyyAII ⋅⋅⋅+
⋅+−⋅+=
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
52
� Momento fletor solicitante de cálculoCombinação última normal
Carga distribuída
Usando Itr=61266 cm4 e Atotal=Actr+As= 163,55+62=225,55 cm
2
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( ) ( ) m/kN53255,10,55,635,1q5,1gg35,1q 221 =⋅++⋅=⋅++⋅=
53 kN/m
27
53
� Momento fletor resistente positivoTramo 01
Largura efetiva positiva: b1pos=180 cm
Resultantes de tração (Tad) e compressão (Ccd):
Posição da LN: como Tad < Ccd →→→→ LN na laje
kN 1,140910,1
2562
10,1
)fA(T ayad =
⋅==
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
cm 7t cm 45,6
40,1
180285,01,1409
a c =≤=⋅⋅
=
kN 1,140910,1
2562
10,1
)fA(T ayad =
⋅==
kN 153040,1
71800,285,0
40,1
tbf85,0C cck
cd =⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=
54
� Momento fletor resistente positivoTramo 01
Valor de ββββvm →→→→ 0,95 para vigas contínuas
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
−++β=2
athdTM cF1advmRd
cmkN 418692
45,675,7201,140995,0MRd ⋅=
−++⋅⋅=
28
55
� Momento fletor resistente positivoTramo 02
Largura efetiva positiva: b2pos=157,5 cm
Resultantes de tração (Tad) e compressão (Ccd):
Posição da LN: como Tad > Ccd →→→→ LN na viga de aço
Compressão na viga de aço Cad:
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
kN 1,140910,1
2562
10,1
)fA(T
ayad =
⋅==
kN 7,133840,1
75,1570,285,0
40,1
tbf85,0C cck
cd =⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=
( )[ ] kN 2,357,13381,1409
2
1C
10,1
Af
2
1C cd
ayad =−⋅=
−⋅=
56
� Momento fletor resistente positivoTramo 02
Posição da LN na viga de aço →→→→ na mesa ou na alma?
Cad (35,2) <
→→→→ LNP mesa superior
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
kN 8,43110,1
2595,020
10,1
)fA( tfy =⋅⋅
=
cm 08,095,0
10,1
2595,0202,35
t
10,1
)fA(C
y ftfy
adp =⋅
⋅⋅==
( ) ( ) ( )( ) fpfffw
pffpf2fffw
t byttbth
ytdbyttb5,0th5,0thy
⋅−+⋅+⋅
−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=
cm 04,008,05,0y5,0y pc =⋅=⋅=
( ) ( ) ( )( ) cm 9,18
2008,095,095,02063,01,38
08,095,0402008,095,095,0205,095,01,385,063,01,38y
2
t =⋅−+⋅+⋅
−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅⋅=
29
57
� Momento fletor resistente positivoTramo 02
Valor de ββββvm →→→→ 0,95 para vigas contínuas
Resumo de momentos positivos:Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm
Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( )
−+++−−β= tF
ccdctadvmRd ydh
2
tCyydCM
( ) cmkN 415279,18405,72
77,133804,09,18402,3595,0MRd ⋅=
−++⋅+−−⋅⋅=
58
� Momento fletor resistente negativoApoio 02
Largura efetiva negativa: b1neg=157,5 cm
Verificação da flambagem lateral com distorçãoCálculo da altura hp: altura da porção comprimida da alma
Se
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( ) ( ) cm 64,4795,077,242ty2h fhpp =−⋅=−⋅=
( ) ( ) ( ) ( )sL
asLffffwfffhp AA
ddAt5,0dtbth5,0tdt5,0tby
+
+⋅+⋅−⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
( ) ( ) ( ) ( )8,962
5,12408,995,05,04095,02095,01,385,063,04095,05,095,020yhp +
+⋅+⋅−⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
cm 77,24yhp =AsL
da
d
bf
tf
yhp
FLD sem 108f
E76,3
t
h
y
s
w
p →=⋅≤
30
59
� Momento fletor resistente negativoApoio 02
Força resistente nas barras da armadura longitudinal: Tds
Posição da LNP: medida a partir do topo da viga de aço
Porção de área tracionada
Porção de área comprimida
2atac cm 41,4059,2162AAA =−=−=
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
cm 06,5
10,1
2563,0210,1
252095,028,4271,1409
95,0
10,1
ft210,1
fA2TT
tyyw
yfdsad
fpn =⋅⋅
⋅⋅⋅−−
+=⋅⋅
⋅⋅−−
+=
kN 8,42715,1
5084,9
15,1
fAT yssLds =
⋅=
⋅=
( ) ( ) 2wfnpffat cm 59,2163,095,006,52095,0ttybtA =⋅−+⋅=⋅−+⋅=
2atac cm 41,4059,2162AAA =−=−=
Tds
fy/1,10
yc
d3
d2
d1fy/1,10
Ac fy/1,10
At fy/1,10 ypn
60
� Momento fletor resistente negativoApoio 02
Posição do CG da área tracionada
Posição do CG da área comprimida
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
( ) ( )[ ]cm 78,0
59,21
95,095,006,55,095,006,5`63,095,0205,0y
2
at =+−⋅⋅−⋅+⋅⋅
=
( ) ( )[ ]at
ffnpfnpw2ff
at A
tty5,0tyttb5,0y
+−⋅⋅−⋅+⋅=
( )[ ]ac
f2
fnpw2ff
ac A
ttyd5,0ttb5,0y
+−−⋅⋅+⋅=
( )[ ]cm 24,9
41,40
95,095,006,5405,063,095,0205,0y
22
ac =+−−⋅⋅+⋅⋅
=
Tds
fy/1,10
yc
d3
d2
d1fy/1,10
Ac fy/1,10
At fy/1,10 ypn
31
61
� Momento fletor resistente negativoApoio 02
distância do CG da armadura a LNP
distância da área tracionada a LNP
distância da área comprimida a LNP
Resumo de momentos negativos:Apoio 02: MRd,neg=33406,8 kN.cm
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
cm 67,478,05,006,5y5,0yd atpn2 =⋅−=⋅−=
cm 56,175,1206,5dyd apn1 =+=+=
cm 7,2524,906,540yydd acpn3 =−−=−−=
a
3yac
a
2yat1dsneg,Rd
dfAdfAdTM
γ+
γ+=
cmkN 8,3340610,1
7,252541,40
10,1
67,42559,2156,178,427M neg,Rd ⋅=
⋅⋅+
⋅⋅+⋅=
Tds
LNP
fy/1,10
yc
d3
d2
d1fy/1,10
Ac fy/1,10
At fy/1,10
1125
At
Ac
ytypn
62
� Momentos solicitantes após redistribuição
Para sePara seçção compacta e modelo não fissuradoão compacta e modelo não fissurado
Valores iniciaisValores iniciais
RedistribuiRedistribuiçção de momentos negativosão de momentos negativos
Apoios 2 e 3:Apoios 2 e 3:
30%Modelo não fissurado
CompactaClasse da seção mista: M neg
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
cmkN 5,3003,4297,0M7,0M Sdnegred1Sd ⋅=⋅=⋅=−
cmkN 5,3003,4297,0M7,0M Sdnegred2Sd ⋅=⋅=⋅=−
32
63
� Momentos solicitantes após redistribuiçãoRedistribuiRedistribuiçção de momentos positivosão de momentos positivos
Viga V2: internaViga V2: interna
Viga V1: externa Viga V1: externa ----------------------------fazer equilfazer equilííbrio de momentosbrio de momentos
cmkN 1,397M red,pos,Sd ⋅=
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
cmkN 1,2363,4293,03,107M3,0MM Sdnegpos,SddRe,pos,Sd ⋅=⋅+=+=
cmkN 1,397M red,pos,Sd ⋅=
64
� Diagrama de momentos solicitantes após redistribuição
� Verificação dos momentos fletoresTramo 01:
Momento positivo solicitante: MSd1pos=397,1 kN.m
Momento positivo resistente: MRd1pos=418,7 kN.m
Tramo 02:Momento positivo solicitante: MSd2pos=236,1 kN.m
Momento positivo resistente: MRd2pos=415,3 kN.m
Apoio 02:Momento negativo solicitante: MSd2neg=300,5 kN.m
Momento negativo resistente: MRd2neg=334,1 kN.m
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
33
65
� Diagrama de momentos solicitantes após redistribuição
Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR
66
Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários
Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários
Viga CONTÍNUA
Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
Modelo NÃO FISSURADO
34
67
� ProcedimentoDeterminar:
Momentos fletores solicitantes de cálculo
Inércia da seção mista (fissurada ou não fissurada)
Momentos resistentes positivos
Momentos resistentes negativos
Capacidade resistente da viga: momento resistente negativo (MRdv)
Esforços solicitantes (valores de cálculo)Calcular os momentos
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
68
� Determinar a resistência ao momento fletor com base no método rígido-plástico.
Sistema de piso misto
1 2 3 4
A
B
VE VI VE
VS 400x49 VS 400x49
4x2,5=10m
3x9,0=27m
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
35
69
� Ações:g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto)g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto)q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)
� Materiais:Aço das vigas: MR-250 (fy = 250MPa; fu = 400MPa)Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm)Armadura da laje: CA-50 (fy = 500MPa)Concreto: C20 (fck = 20MPa) – peso normal (γγγγc = 24kN/m3)
� Seção transversal
perfil soldado VS 400x49
A = 62cm2
Ix = Ia = 17.390cm4
Wx = 870cm3
Zx = 970cm3
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
70
� Largura efetiva da laje (bef)Vãos da viga
VE →→→→ L1= 9m
VI →→→→ L2= 9m
Momento positivo:Viga VE: bef-1pos=1,8m
Viga VI: bef-1pos=1,575m
Momento negativo:Apoio 2: bef-2neg=1,125m
Apoio 3: bef-3pos=1,125m
� Inércia da seção mista NÃO FISSURADA
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
m25,2bef =
63,97,2128
20500
E
E
c
sE ===η
cm 36,23b tr =
cm20ya =
cm 48,42y tr =
2ctr cm 55,163A =
b tr
tchf da
d
ya
b f
tf
ytr
a
cm 02,12a =
3cm 61266Itr =
36
71
� Momento fletor solicitante de cálculoCombinação última normal
� Momento fletor resistente positivoTramo 01 →→→→ LN na laje
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
( ) 221 q5,1gg35,1q ⋅++⋅=
53 kN/m
cm 45,6a =kN 1,1409Tad = kN 1530Ccd =
cmkN 41869M pos1Rd ⋅=
72
� Momento fletor resistente positivoTramo 02 →→→→ LN na viga de aço: na mesa superior
� Momento fletor resistente negativoApoio 02
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
kN 7,1338Ccd =cmkN 41527M pos2Rd ⋅=
kN 1,1409Tad =
kN 2,35Cad =
cm 08,0yp =
cm 04,0yc =
cm 9,18y t =
cm 64,47hp =
AsL
da
d
bf
tf
yhp
kN 8,427Tds =
cm 06,5ypn =
2at cm 59,21A =
2ac cm 41,40A =
cm 78,0yat =
cm 24,9yac = cm 67,4d2 =
cm 56,17d1 =
cm 7,25d3 =
cmkN 8,33406M neg,Rd ⋅=
37
73
� Momentos fletores resistentes Resumo de momentos positivos:
Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm
Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm
Resumo de momentos negativos:Apoio 02: MRd,neg=33406,8 kN.cm
� Obs.:No sistema contínuo, a ligação é de resistência total, portanto a rótula plástica está associada à viga e não à ligação.
O momento negativo corresponde à capacidade da viga.
Portanto:
MRdv=33406,8 kN.cm
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
74
� Momentos solicitantes
Momento no tramo internoMomento no tramo interno
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
mkN 27,415M pos2Rd ⋅=
kN.m 88,5368
953
8
LqM
22
q,Sd =⋅
=⋅
=
( )L
zM
L
zLMMM v,Rdv,Rdq,SdSd ⋅−
−⋅−=
( )kN.m 9,202
9
5,4334
9
5,4933488,536M max,Sd =⋅−
−⋅−=+
No meio do vão →→→→ z=4,5
ok! MM pos2Rdmax,Sd →<+
334334 53
9,0 m
9,0 m
53,0 kN/m
MRd,vMRd,v
q
38
75
� Momentos solicitantes
Momento no tramo internoMomento no tramo interno
Momento no tramo externoMomento no tramo externo
334
334
382,6
382,6
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
MRd,v
q
33453
9,0 m
76
� Momentos solicitantes
Momento no tramo externoMomento no tramo externo
� Verificação dos momentos fletoresTramo 01:
Momento positivo solicitante: MSd1pos=382,6 kN.m
Momento positivo resistente: MRd1pos=418,7 kN.m
Tramo 02:Momento positivo solicitante: MSd2pos=202,9 kN.m
Momento positivo resistente: MRd2pos=415,3 kN.m
Apoio 02:Momento negativo solicitante: MSd2neg=334 kN.m
Momento negativo resistente: MRd2neg=334 kN.m
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
mkN 7,418M pos1Rd ⋅= ok! MM pos1Rdmax,Sd →<+m.kN 6,382M 1max,Sd =+
39
77
� Momentos solicitantes
Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
78
Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários
Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários
Viga SEMICONTÍNUA
Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
Modelo NÃO FISSURADO
40
79
� Verificar a resistência ao momento fletor admitindo:Sistema semicontínuo
Método rígido-plásticoligação mista →→→→ semi-rígida e de resistência parcial
Detalhe similar às ligações pré-qualificadas (com capacidade de rotação adequada)
1 2 3 4
A
B
VE VI VE
VS 400x49 VS 400x49
4x2,5=10m
3x9,0=27m
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
80
� Detalhe da ligação viga-viga
� No sistema semicontínuo:a rótula plástica está associada à ligação, que é de resistência parcial, portanto, é necessário determinar o momento resistente de cálculo da ligação.
6φ12,5(CA50)
d=400L75x75x6,3(L=240)
L150x100x8(L=190)
A.L.
y3=120
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
8φφφφ12,5 (CA50)
41
81
� Ações:g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto)g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto)q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)
� Materiais:Aço das vigas: MR-250 (fy = 250MPa; fu = 400MPa)Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm)Armadura da laje: CA-50 (fy = 500MPa)Concreto: C20 (fck = 20MPa) – peso normal (γγγγc = 24kN/m
3)
� Seção transversal:
perfil soldado VS 400x49
A = 62 cm2
Ix = Ia = 17.390 cm4
Wx = 870 cm3
Zx = 970 cm3
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
82
� Momento fletor positivoTramo 01 →→→→ LN na laje
Tramo 02 →→→→ LN na viga de aço: na mesa superior
ywp fEth /76,3/ ≤
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
cm 45,6a =kN 1,1409Tad = kN 1530Ccd =
cmkN 41869M pos1Rd ⋅=
kN 7,1338Ccd =
cmkN 41527M pos2Rd ⋅=
kN 1,1409Tad = kN 2,35Cad =
cm 08,0yp = cm 04,0yc = cm 9,18y t =
42
83
� Momentos fletores resistentes Resumo de momentos positivos:
Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm
Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm
Obs.:Sistema semicontínuo →→→→ ligação semi-rígida e de resistência parcial,
Portanto a rótula plástica está associada à ligação mista.
Sendo assim, é preciso determinar o momento fletor resistente da momento fletor resistente da ligaligaçção mistaão mista
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
84
� Momento fletor resistente da ligação mista
( ) ( )kN.cm 23428
10,1
5,124081,950
10,1
ddAfM
asys1Rdlig =
+⋅⋅=
+⋅⋅=−
l
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
43
85
� Momento fletor solicitanteA resistência da ligação mista será usada para determinar os momentos fletores solicitantes
Momento no tramo interno
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
mkN 27,415M pos2Rd ⋅=
kN.m 88,5368
953
8
LqM
22
q,Sd =⋅
=⋅
=
( )L
zM
L
zLMMM v,Rdv,Rdq,SdSd ⋅−
−⋅−=
( )kN.m 9,302
9
5,4234
9
5,4923488,536M max,Sd =⋅−
−⋅−=+
No meio do vão →→→→ z=4,5m
ok! MM pos2Rdmax,Sd →<+
9,0 m
53,0 kN/m
MRd,ligMRd,lig
q
234234 53
9,0 m
86
� Momento fletor solicitanteMomento no tramo interno
Momento no tramo externo
1,11 m
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
23453
9,0 m
MRd,lig
q
44
87
� Momentos solicitantesMomento no tramo externo
� Verificação dos momentos fletoresTramo 01:
Momento positivo solicitante: MSd1pos=426 kN.m
Momento positivo resistente: MRd1pos=418,7 kN.m
Tramo 02:Momento positivo solicitante: MSd2pos=302,6 kN.m
Momento positivo resistente: MRd2pos=415,3 kN.m
Apoio 02:Momento negativo solicitante: MSd2neg=234 kN.m
Momento negativo resistente: MRd2neg=234 kN.m
Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA
mkN 7,418M pos1Rd ⋅= ok! MM pos1Rdmax,Sd →≅+m.kN 426M 1max,Sd =+
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