Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres
1
Vibrations des poutres Équations
Poutre en flexion dans le plan ( , , )o oO x y
Équation locale : ] [ 4,0, 0xx Sv EIvρ∀ ∈ + =
Avec des C.L. homogènes : ,
(., ) 0 (., ) 0x
v t ouv t
=⎧⎨ =⎩
et 2
3
,
,
(., ) 0
(., ) 0x
x
EIv t ou
EIv t
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
Libre – Libre
Encastré – Libre
Encastré – Encastré
Appuyé – Libre
Encastré – Appuyé
Appuyé – Appuyé
Glissant – Libre
Glissant – Encastré
Glissant – Appuyé
Glissant – Glissant
Solution analytique
On cherche des solutions de la forme : ( , ) ( ) ( )v x t V x f t= avec 2f fω= −
Équation locale : 44
, 0xV Vλ− = avec 4 2 /S EIλ ω ρ=
Les solutions sont de la forme : Pour 0ω = 2 3
0 1 2 3( )V x A A x A x A x= + + + Pour 0ω ≠ ( ) cos sin cosh sinhV x A x B x C x D xλ λ λ λ= + + +
Le système homogène des Conditions aux limites homogènes, admet une solution non banale si son déterminant est nul. Cette équation caractéristique donne une infinité dénombrable de solutions iλ
( )24i i
EIS
ω λρ
=
Les modes propres associés ( )iV x sont définis à une Cte multiplicative près
Propriétés des modes
K et M Orthogonalité : 0
iii j
o
m i jV V dx
i j=⎧
= ⎨ ≠⎩∫ et 4,
0ii
i j xo
k i jV EI V dx
i j=⎧
= ⎨ ≠⎩∫
avec 2 iii
ii
km
ω =
Norme : ( )2 2 2 2 2
2i i i i io
V dx A B C D= + + −∫
En pratique on utilise la M norme 2i
o
S V dx mρ =∫ 2 2 2 2 2i i i iA B C D+ + − =
Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres
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Fréquences et modes de vibration pour les 10 CL homogènes simples
Libre – Libre
2modes rigides translation de la poutre
0 0( )V x A= rotation de la poutre
0 1( )V x A x=
Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ − =
cosλ1/ chλ
λ1λ 2λ
/ 2π 3 / 2π 5 / 2π
1 4,73004λ = 2 7,85320λ = Puis 2 (2 1)2ii i πλ> ≅ +
( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh
i ii i i i i
i i
V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ
−= + − +
− M normé
Encastré - Libre
Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ + =
cosλ
1/ chλ−
λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π
3λ 4λ
1 1,87510λ = ; 2 4,69409λ = ; 3 7,85473λ = Puis 3 (2 1)2ii i πλ> ≅ −
( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh
i ii i i i i
i i
V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ
+= − − −
+
Encastré - Encastré
Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ − =
cosλ1/ chλ
λ1λ 2λ
/ 2π 3 / 2π 5 / 2π
1 4,73004λ = 2 7,85320λ = Puis 2 (2 1)2ii i πλ> ≅ +
( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh
i ii i i i i
i i
V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ
−= − − −
−
Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres
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Appuyé – Libre
1 mode rigide rotation de la poutre
0 1( )V x A x=
Équation caractéristique : tan t h 0λ λ− =
tanλ
t hλ
λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π
3λ 7 / 2π
1 3,9266λ = 2 7,0686λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ +
sin( ) sin shsh
ii i i
i
V x x xλλ λλ
= +
Appuyé - Encastré
Équation caractéristique : tan t h 0λ λ− =
tanλ
t hλ
λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π
3λ 7 / 2π
1 3,9266λ = 2 7,0686λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ +
( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh
i ii i i i i
i i
V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ
−= − − −
−
Appuyé - Appuyé
Équation caractéristique : sin sinh 0λ λ =
i iλ π=
( ) sin /iV x i xπ=
Glissant – Libre
1 mode rigide translation de la poutre
0 0( )V x A=
Équation caractéristique : tan t h 0λ λ+ =
tanλ
-t hλ
λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π 3λ 7 / 2π
1 2,3650λ = 2 5, 4978λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ − +
cos( ) cos chch
ii i i
i
V x x xλλ λλ
= +
Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres
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Glissant - Encastré
Équation caractéristique : tan t h 0λ λ+ =
tanλ
-t hλ
λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π 3λ 7 / 2π
1 2,3650λ = 2 5, 4978λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ − +
cos( ) cos chch
ii i i
i
V x x xλλ λλ
= −
Glissant - Appuyé
Équation caractéristique : cos cosh 0λ λ =
(2 1)2i i πλ = −
et ( ) cos(2 1)2i
xV x i π= −
Glissant – Glissant
1 mode rigide translation de la poutre
0 0( )V x A=
Équation caractéristique : sin sinh 0λ λ =
i iλ π=
et ( ) cos /iV x i xπ=
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