Probabilità e Statistica I - a.a. 04/05 -Variabili aleatorie discrete
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Variabili aleatorie discrete
Probabilità e Statistica I - a.a. 04/05 -Variabili aleatorie discrete
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DefinizioneUna variabile aleatoria è una funzione che associa ad ogni esitodello spazio campione di un esperimento casuale un numero. L’insieme dei possibili valori assunti da una variabile aleatoria si dice range della variabile aleatoria.
Notazione: variabile aleatoria Xil valore misurato della variabile aleatoria x
I dati numerici sono valori misurati di una variabile aleatoriaottenuti mediante repliche di un esperimento casuale.
ℜ→S:
) ( campionespazioS
ℜ1ω2ω
nω
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Variabili aleatorie discrete
Il range è un insieme finito (o numerabile) di numeri:
es: numero di prove, difetti su una superficie, difetti trovati su un tot di campioni testati...
Esercizio: Si lanci una moneta equa 3 volte. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di teste ottenute. Determinare la massa di probabilità.
( ) ( ) .,...,2,1, è la ,,,, valoripossibilicon aleatoria variabileunaPer 21
nixXPxf àprobabilit di massa funzionexxxX
ii
n
===K
eDefinizion
1)(2)
,...2,1 ,0)()1
1
=
=≥
∑=
n
ii
i
xf
nixfProprietà:
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Esercizio: In un processo di produzione di semiconduttori, vengono testati due wafersda un lotto. Ogni wafer viene classificato in base all’aver superato o meno il test. Si assuma che la probabilità che un wafer passi il test è 0.8 e che ognuno di essi superi il test indipendentemente l’uno dall’altro. Descrivere la variabile aleatoria X che conta il numero di wafer che passa il test.
. aleatoria variabilealla associata chiama si ,...,2,1per ))(,())(,( coppie delle esuccession La
XnixXPxxfx iiii
àprobabilit di onedistribuzi===
Distribuzione di probabilità
Rappresentazione tabellare
)()()( 21
21
n
n
xfxfxfPxxxX
L
L
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5
∑≤
=≤=xx
ii
xfxXPxFxF
cumulativa onedistribuzi funzione
)()()( è ,)(con
denotata discreta, aleatoria variabileuna di La eDefinizion
)()( allora se (c)1)(0 (b)
)()()( (a)
:proprietà seguenti le soddisfa )( ,discreta aleatoria variabileunaPer
yFxFyxxF
xfxXPxF
xFX
xxi
i
≤≤≤≤
=≤= ∑≤
:Proprietà
Funzione di ripartizione
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Esercizio: Sia X la variabile aleatoria con funzione di distribuzione cumulativa:
22002
2
17.02.0
0
)(
≥<≤<≤−
−<
=
xxx
x
xF
Calcolare la funzione massa di probabilità.
Esercizio: In un’azienda, in un giorno, vengono prodotti 850 parti di cui 50 non sono conformi alle richieste di un certo cliente. Due parti vengono selezionate a caso, senza rimpiazzamento dal lotto. Sia X il numero di parti non conformi. Cal-colare la funzione di distribuzione.Esercizio: Data la seguente funzione massa di probabilità, calcolare:
07 2322 08 7 6 5 4 3 2 1 0
222 ccccccccpX
k +
(a) il valore di c;
( ) ( ) ? di valoreminimo il è qual 21)( se ;5,5 KKXPXPXP >≤<≥(b)
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Valore medio
Varianza
Deviazione standard
Momento secondo
[ ] ( )[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2222
222
2 2
allora lineare, operatoreun è E operatorel' Poichè:..
µµµµµµ−=+−=
+−=−=
XEXEXEXXEXEXVar
BN
][][][ :Proprietà
.)(
YbEXaEbYaXE
xxfE(X)x
+=+
== ∑µ
degenere v.a.1)(0)( Se 2) )()( 1) :Proprietà
)()() ( )(
2
222
==⇒==
−=−== ∑
aXPXVXVaaXV
xfxXEXVx
µµσ
[ ] .)( 2/1XV=σ
.)( 222 ∑==
x
xfx)E(Xµ
INDICI
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Distribuzione di Bernoulli
ppPX
−110
0 a insuccesso1 a successo
Esperimento casuale con solo due esiti
)1(][][
ppXVarpXE
−==
Esempi: lancio di una moneta, trasmissione di un bit, nascita,teoria degli errori...
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Distribuzione Uniforme Discreta
}{
121)1( ,
2)( allora
,per ,...,2,1, : che talediscreta uniforme aleatoria variabileuna è Se
.,...,2,1 ,/1)( :a pari è àprobabilit di massa
funzione la se discreta aleatoria variabileuna è aleatoria variabileUna
2 −+−=
+==
≤++→
==
ababXE
babaaaSXX
ninxf
X
i
σµ
uniforme
Esercizio: In un sistema di comunicazione a voce, ci sono 48 linee esterne.Sia X il numero di linee esterne occupate tra le 48 disponibili. Si assuma che X abbia una distribuzione uniforme discreta. Calcolare media e varian-za.
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Distribuzione Binomiale
• Lancio di una moneta 10 volte. X=numero di teste ottenuto.• Una macchina logora produce 1% di parti difettose. X=numero di
parti difettose in 25 prodotte.• Ogni campione di aria ha una percentuale del 10% di contenere unamolecola di un certo gas raro. Sia X = numero di campioni di aria checontengono la molecola in 18 analizzati
• Di tutti i bits trasmessi attraverso un canale di trasmissione digitaleil 10% viene ricevuto errato. Sia X= numero di bit errati trasmessinella trasmissione dei successivi 5 bits.
• Nelle prossime 20 nascite in ospedale, X=numero di femmine nate• Un test contiene 10 domanda, ciascuna con 4 risposte a scelta, di cui una sola è esatta. Sia X=il numero di domande risposte corret-tamente. UNA SERIE DI PROVE RIPETUTE
TIPI DI ESPERIMENTI CASUALI
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nxppxn
xf
npbinomiale aleatoria variabile
Xbinomiale. tipo di casuale oesperimentp
n
xnx ,...,1,0,)1()(
:da data è àprobabilit di massa funzione La totali).prove di (numero e successo) di tà(probabili parametricon
detta è successoun forniscono che prove di numero al uguale è che aleatoria variabileLa detto è
costante; resta prova ogniin successo di àprobabilit la (c);"insuccesso" e successo"" esiti due solo ha prova ogni (b)
ti;indipenden sono prove le (a):che taleripetute prove di consiste che casuale oesperimentUn
=−
= −
eDefinizion
Esercizio: Sia X il numero di bit errati trasmessi attraverso un canaledigitale su una sequenza di 4 bit e sia 10% la probabilità che venga trasmesso un bit errato. Determinare la funzione di distribuzione.
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∑=
=n
iiXX
1
Teorema: Se X è una variabile aleatoria di tipo binomiale di para-metri n e p allora:
con iX variabili aleatorie di Bernoulli di parametro p.
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] esercizio)(per )1( che dimostra si teAnalogamen
11!1!
!1
1!)!1(
!1 1!!
! 1
22
111
1
110
pnpXEXEXVar
npppnpppjnj
nnp
ppini
nnpppini
nippin
iXE
njnjn
oj
inin
i
inin
i
inin
i
−=−=
=−+=−+−
−=
−−−
−=−
−=−
=
−+−−
=
−−
=
−
=
−
=
∑
∑∑∑
Applicazioni:
http://www.matematicamente.it/barletta/probabilità/modelli.htm
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50 ,10 .pn ==
10 ,10 .pn ==
Distribuzione di probabilità
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Massa
Distribuzione di probabilità
00,05
0,10,15
0,20,25
0,30,35
0,40,45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Massa
Grafici relativi a B(n,p)
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Distribuzione MultinomialeGeneralizzazione della v.a. binomiale al caso in cui ogni provafornisce m possibili esiti:
mxm
xx
mm ppp
xxxn
xxxP LK
K 2121
2121 ,,,
),,,(
=
Esercizio: Si consideri un'urna con 5 palline rosse, 5 palline nere e 5 palline bianche. Si effettuano 10 estrazioni con ripetizione. Quanto vale la probabilità che nelle 10 estrazioni siano state ottenute 3 palline rosse, 2 nere e 5 bianche?
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,...2,1 ,)1()(
babilità-pro di massa funzione e parametrocon ha aleatoria variabileLa successo. primo il avereper necessarie prove
di numero il conta che aleatoria variabilela sia , costante successo di àprobabilitcon ti,indipenden ripetute prove di esuccession unaIn
1 =−= − xppxf
p geometrica onedistribuziX
Xp
x
eDefinizion
Distribuzione Geometrica
Esercizio: Tre impiegati vanno a prendere il caffè e decidono di scegliere a caso chi paga al seguente modo: ognuno di loro lancia una moneta contemporaneamente agli altri, a chi esce una faccia diversa dalle altre tocca pagare il conto. Se tutte e tre le monete restituiscono la stessa faccia, si lanciano di nuovo in aria. Qual è la probabi-lità che i tre impiegati riescano a bere il caffè dopo due prove?
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0
0,020,04
0,06
0,080,1
0,12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Distribuzione di probabilità geometrica
p=0.1
p=0.9
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NB: in genere si dice che la v.a. geometrica “perde memoria”, nel senso che,poiché le prove sono indipendenti, il conto del numero di prove necessarie
per avere un successo può iniziare da una qualsiasi delle prove, senza va-riare la distribuzione di probabilità.
Esercizio: Nella trasmissione di un bit lungo un canale digitale vale 0.1 la probabi-lità che il bit venga modificato da 0 a 1 o viceversa. Se sono stati trasmessi 100 bits, qual è la probabilità che il primo errore, dopo 100 bits, occorra sul 106-esimo bit?
)()|( mXPnXmnXP ≥=≥+≥
22 )1(][ 1][
risulta,parametrodi geometricaaleatoria variabileuna è Se
ppXV
pXE
pX−
==== σµ
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Si consideri un canale di trasmissione digitale. Sia X il numero di bit errati trasmessi su una successione di n. Si assuma pari a p la probabilità che un bit venga trasmesso errato: tale valore resta costante durante la trasmissione.Le trasmissioni sono indipendenti. Si supponga che n aumenti e che il valo-re p diminuisca in modo che np resti costantemente pari a un certo valore numerico. Come viene modificata la distribuzione di probabilità di X?
( )!
lim ,1)1()(x
exXPxnx
npp
xn
xXPx
n
xnxxnx λλλ λ−
∞→
−− ==
−
=−
==
Campi di ApplicazioneCampi di Applicazione
- Numero di particelle contaminate nella produzione di un semiconduttore;- numero di telefonate ad un centralino telefonico;- numero di particelle emesse durante un procedimento di decadimento radioattivo;- numero di difetti nella produzione di un tessuto
Distribuzione di Poisson
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210 ,!
)(
:a pari àprobabilit di massa zione-funcon e parametro di una ha intervallo
nell' o verificansi che esiti di numero il conta che aleatoria variabilela 0, è intervallonell' esitoun di occorrenze di medio numero il Se
di nome il prende casuale oesperimentl' alloravallisottointer altri negli avviene to
-quan da teindipenden è vallosottointerun in esitoun di si verificaril (3)vallo;sottointer del
lunghezza alla aleproporzion è ed vallisottointer i per tutti stessa la è vallosottointerun in esitoun di occorrenza di àprobabilit la (2)
nulla; è vallosottointerun in esitoun dipiù verifichisi che àprobabilit la (1)
che talipiccola, ementesufficient lunghezza di vallisottointerin ripartito essere può intervallol' Se .intervallo talelungo ecasualment
no verifichisi esiti gli che assuma si reale, assedell' intervalloun Dato
,... ,,xx
exf
Poisson di onedistribuziX
Poisson. di processo
x
==
>
− λ
λ
λ
λ
eDefinizion
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20
1,0=λ
0.2=λ
0.5=λ
Distribuzione di probabilità
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Massa
Distribuzione di probabilità
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Massa
Distribuzione di probabilità
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Massa
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Esercizio: Si assuma che il numero di difetti in un sottile tessuto di cotone seguauna distribuzione di Poisson con media 2.3 difetti per millimetro-quadro. (A) Si calcoli la probabilità che ci siano 2 difetti in un millimetro-quadro. (B) Si calcoli la probabilità che ci siano 10 difetti in 5 millimetri-quadro. (C) Si calcoli la probabilità che ci sia almeno un difetto in 2 millimetri-quadro di stoffa.
λσλµ ==== 22 )( e )( XVXE
Esercizio: Si supponga che il numero delle chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino telefonico sia una variabile casuale di Poisson con media 5. (A) Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata. (B) Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 10 chiamate al secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato.
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Esercizio: In un’azienda, in un giorno, vengono prodotti 850 parti di cui 50 non sono conformi alle richieste di un certo cliente. Due parti vengono selezionate a caso, senza reimissione dal lotto. Sia X il numero di parti non conformi. Cal-colare la funzione di distribuzione.
{ } { }nKNKnx
nN
xnKN
xK
xf
ricaipergeomet onedistribuziXn
XNnKN
NKN
,min,...,,0max ,)(
:àprobabilit di massa e ha aleatoria variabileLa . tagliadi campione nel successi di numero il indica
che aleatoria variabilela Sia ne.reimmissio senza caso a oselezionat viene oggetti di campione Un .insuccesso come ticlassifica oggetti
e successo come ticlassifica oggetti contiene oggetti di insiemeUn
−+=
−−
=
<−<
eDefinizion
Distribuzione Ipergeometrica
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23binomiale. aleatoria variabileuna da taapprossima è metrica
-ipergeo onedistribuzicon aleatoria variabileuna allora , Se . tagliadi finita epopolazion una da
nereimmissio senza ntocampionameun effettua si poichè apportata vienecorrezione Tale binomiale. tipodi varianzauna a correzione di
fattoreun arappresent finita epopolazion della correzione di fattore Il binomiale. onedistribuzi ha infinita epopolazion
una da campionare a EQUIVALE nereimmissiocon Campionare
NnN
X
<•
•⇒
•
( ) ( )
finita. epopolazion una di correzione di fattoreN
nN
NnN
NK
NKnXV
NKnXE
X
come noto è1
fattore il eparticolarIn
.1
1
alloraricaipergeometonedistribuzicon aleatoria variabileuna è Se
2
−−
−−
−==== σµ
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CONTROLLO STATISTICODELLA QUALITA’
In corso di produzione
Di accettazione
Lo scopo del controllo di accettazione è di fornire dei criteri per giudi-care se un certo lotto è conforme o meno mediante l’osservazione di unsottoinsieme di unità, in genere piccolo, che lo compongono.
n = numerosità del campione da estrarre
a = numero massimo di unitàdifettose ammissibili
Esempio: Sia dato un lotto costituito da 800 pezzi. Il piano di campionamento preveden=150 e a=2. Determinare qual è la probabilità che un lotto contenente il 5% di uni-tà difettose, venga accettato.
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