Nemegyensúlyi termomechanikaVán Péter
Wigner FK RMI, Elméleti Fizika Osztály
– Termodinamika és mechanika• Összefoglalás - tézisek
– Elvek: stabilitás, kovariancia, II. főtétel• Farkas lemma és Liu-eljárás
– Példák:• Ginzburg-Landau-egyenlet
• Korteweg-folyadékok
• Disszipatív relativisztikus folyadékok
Termodinamika és mechanika – kutatási célok
Statisztikus mechanika – termosztatikaKinetikus gázelmélet – nemegyensúlyi termodinamika,
lokális egyensúly + …
Termosztatika: univerzalitás (abszolút hőmérséklet, Einstein) meglepő mély kapcsolatok (Planck, Bekenstein, Verlinde)
Nemegyensúlyi termodinamika: univerzalitás?, általánosságalkalmazások (adott szintig: hőátadás, hővezetés)
kulcs: mechanika
Lokális egyensúly - lokálisan termosztatika.
Nemegyensúlyi termodinamika Onsager (1931) – homogén.
Eckart (1940) – térelmélet, entrópiaprodukcióPrigogine, Meixner, Casimir, de Groot (1941- )kiterjesztés: Onsager és Machlup
Racionális mechanika reológia: Maxwell, Kelvin, Poynting-Thomson,
Boltzmann (Volterra-elv).
általánosított kontinuumok: Cosserat (1900)Truesdell-Noll (1965), Coleman, Gurtin, … , Vilaggio, Ball A mechanika matematikai elmélet.
memória, elvek, II. főtétel, lokális?, egyensúly?
Nincs termosztatika, Onsagerizmus hülyeség.
Konstitutív elmélet
termodinamikai lezárás
Lokális egyensúly:
Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes
Entrópiamérleg:
1
, vpdvTdsde
.
,0
,0
ijiji
i
ijij
i
ii
vPqe
Pv
v
)(C ),( j
ivC
– alapváltozók:
– konstitutív állapottér
– anyagfüggvények
),( iv
)(),( CPCq iji
),(),(),,( vesveTvep
0)((?)),( CJves ii
0)(11
.11
2
jiijij
ii
i
i
ii
ijiji
i
i
i
vpPTT
q
T
qv
T
pvPq
TT
qv
T
pe
T
Erők és áramok + izotrópia:
Fourier Navier-Stokes
Feltételek (problémák):erő-áram rendszerentrópiaárammérleg: kényszer, lendületmérleg nem?sebesség? belső és teljes energia: sebességfüggő termosztatika?
Prigogine-tétel (1945), Brenner-diffúzió (2000)magasabbfokú folyadékok, pl. Korteweg (1901):
ijjiijkk
kk
ijKor pP
pdvTdsdvvdede
vee
iiT
T
,2
2
0)(11
jiijij
ii vpP
TTq
.)(1
,1 ijk
kvs
jiijij
ii vvpP
TTq
),( jivC
Nemlokális nemegyensúly?II. főtételkovariancia (téridő)interdiszciplinaritás
homogénnemrelativisztikus kontinuum egységes elméletrelativisztikus kontinuum
Módszerek: függvénytani elemzés + anyagi objektivitás (spéci kovariancia)
deriváltak, Coleman-Noll-eljárás, Liu-eljárásmechanika leválasztása (zárójelek): GENERICmikroerő mérleg, virtuális teljesítmény (mechanika)extra, belső változók
1. Konstruktív módszert dolgoztam ki a klasszikus kontinuumfizika térben gyengén nemlokális elméleteiben az anyagi tulajdonságokat meghatározó konstitutív relációk meghatározására. A módszer a második főtétel alkalmazásán alapul, a racionális termodinamika Liu-eljárását terjeszti ki. Ezt a módszert alkalmaztam a következő esetekben:a) Klasszikus irreverzibilis termodinamikab) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális
kontinuumelmélet: Ginzburg-Landau-egyenlet.c) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális
kontinuumelmélet: általánosított kontínuummechanikad) Korteweg-folyadékoke) Merev, izotrop hővezetők
1. Termodinamikai reológiaa) Térfogati reológiab) Objektív időderiváltak
1. Speciális relativisztikus disszipatív folyadékoka) Gibbs-relációb) Generikus stabilitás
Homogén termodinamika:kontinuum homogénközönséges differenciálegyenletek
Onsager, Fényes, Truesdell-Bharatha (kontinuumokból!)véges idejű termodinamika, entrópiatermelés minimalizálás, …
II. főtétel: egyensúly aszimptotikus stabilitása (Matolcsi Tamás)összentrópia: Ljapunov-függvényPl. exergia = összentrópia x állandó, elvi kérdések
Értelmes lokális viszonyok:Gibbs-reláció: entrópia értelmezés, gradiensfüggő is.a homogén egyensúly (nem?)lineáris stabilitása
relativisztikusan: generikus stabilitás
Gyakorlat (alkalmazások):
- Általánosított hővezetés (Guyer-Krumhansl)- ‘Gradiens’ anyagok a mechanikában (mikroszerkezet)
folyadékkristályok (Oseen-Frank)mikrorepedezésporózus anyagokhomok (Goodman-Cowin)nyírófelületek szerkezete
- Korteweg-folyadékok - Turbulencia- Struktúraképző egyenletek (fázismező)
Ginzburg-Landau, Cahn-Hilliard, etc… és ezeken túl….
Fla a Fla a
Ginzburg-Landau (variációs)
))('( aafla kk – II. főtétel?
– variációs, de miért?– k
dVaaafaF ii )
2)(()(
aafF k
ka )('
Ginzburg-Landau (termodinamikai, nem lokalizálható)
0 Fat
0 iSit js
),,( aaa iji
)iSJsF ,,(
Liu-eljárás (Farkas-lemma)
),( aas i )(),()( 0 CFsaajCj aiii
S
0
Fssa
ias i
ssLaa
iat i
konstitutív állapot
konstitutív függvények0 Fa iit
),,( aaaC xxx
),(
),(0
;;
33 aajfsJfJ
aass
ss
xaxx
xa
aa
x
xx
x
Liu-egyenletek
0)(
fa
s
a
s
xxs
0)()(
)()()(
2211
33321
fafJafJ
fJasasasa
xxxxx
xxxxtxxtxt
)()( 321
321321
afafafafa
aJaJaJasasas
xxxxxxtxt
xxxxxxxxxtxxtxt
))()(())()(()()( CfaCCfaCCJCs xtxtxxt
konstitutív állapottér
Történet:Farkas Gyula és I-Shih Liu (+I. Müller)lineáris algebra,
Új :
A kényszer deriváltja is kényszer.Az entrópiaáram konstitutív.
Müller-féle K vektor és a racionális termodinamika
A fejlődési egyenlet származtatása termodinamikailag.
Lokális egyensúly:
Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes 2.
Entrópiamérleg:
1
, vpdvTdsde
.
,0
,0
ijiji
i
ijij
i
ii
vPqe
Pv
v
),,( j
ii vC
– alapváltozók:
– konstitutív állapottér
– anyagfüggvények
),( iv
)(),( CPCq iji
),(),(),,( vesveTvep
0)((?)),( CJves ii
0)(11
.11
2
jiijij
ii
i
i
ii
ijiji
i
i
i
vpPTT
q
T
qv
T
pvPq
TT
qv
T
pe
T
Liu-eljárás:
- Elsőrendűen gyengén nemlokális: FNS- Teljes energiával (+lendületmérleg) és belső energiával ugyanaz.- Parciális vagy szubsztanciális időderivált nem számít.
Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes 2.
.
,0
,0
ijiji
i
ijij
i
ii
vPqe
Pv
v
),,,,,,( TiTj
ii
iji eevvC
– alapváltozók:
– konstitutív állapottér
– anyagfüggvények
),,( evi
)(),(),(),( CJCsCPCq iS
iji
0)()()()(
)()()()(0
CqeCCPvC
vCvCCJCsiTiT
jij
ii
iii
iii
ii
Liu eljárás eredménye:
iij
jj
ijj
iiS Jvsvs
TPvqJ
ji 0
2
2
1
)2/,,( 2vess Tie
022
11 22
jij
ijk
iji
ijj
i vsT
sT
pPTT
Pvqik
sssT
Pik j
ijk
ijrev
22
2
Ideális folyadék:
Schrödinger-Madelung folyadék
2
22),,(
iSchM
SchM eses
2
8
1 2rSchM IP
(Fisher entrópia forma)
sssT
Pik j
ijk
ijrev
22
2
UT
P iij
revj ssU
ii )(
Potenciál tulajdonság, Lagrange sűrűség:
Potenciálként : Qr U P
Bernoulli egyenlet
)()( eeQ ssU Euler-Lagrange
Schrödinger egyenlet
v ie
Variációs eredet
.2
,j
iijk
kij
ii
vv
Tq
Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part
Equilibrium:
.),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn ii
ii
Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:
00)(
,0
,0,0,0
TT
TTpnpp
T
nnn
,0
,0
,0
iijj
jj
ii
jiiji
ii
i
ii
Pvkk
vPqv
vnn
Hydrodynamic stability )( 22 sDetT
Thermodynamic stability(concave entropy)
Fourier-Navier-Stokes
0)(11
jiijij
ii vnTsP
TTq
p
.2
,j
iijk
kij
ii
vv
Tq
Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part
Equilibrium:
.),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn ii
ii
Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:
00)(
,0
,0,0,0
TT
TTpnpp
T
nnn
,0
,0
,0
iijj
jj
ii
jiiji
ii
i
ii
Pvkk
vPqv
vnn
Hydrodynamic stability )( 22 sDetT
Thermodynamic stability(concave entropy)
Fourier-Navier-Stokes
0)(11
jiijij
ii vnTsP
TTq
p
Termodinamikai elmélet
)a(fa Dinamikai törvény:
,...),c,v(a
1 Sztatika (egyensúlyi tulajdonságok)
S
aa
S,,
T
1
e
S
2 Dinamika
0)a(f)a(DSa)a(DS)a(S
1 + 2 + elszigetelt rendszer
S Ljapunov függvénye a dinamikai törvény egyensúlyának
Irreverzibilitás közelítés az egyensúlyhoz
Stabilitási szerkezet Dinamikai szerkezet
1. példa (diszkrét)
)a(fa
0)( aSa dinamikai egyenlet minden megoldása esetén
)a(f)a(DS)a(S0 )a(DS)a(l)a(f
?)a(f
relaxációs dinamika
aa ja mérlegek ,...),( va
– állapottér:– konstitutív tér:– anyagfüggvények:
a
)C(aj,...),,(C aaa
gyengén nemlokálisMásodik főtétel:
0)C()C(s ss j
Anyagelmélet
Módszer: Liu eljárás - Farkas lemma - Lagrange szorzókDe: konstruktívan
(más is lehet)
2. példa (kontinuum)
3. példa (Ginzburg-Landau)
gt
0js st
),,( 2
)j,s,g( s
Liu eljárás
),(s (.)gs),(j(.)j 0s
0g)ss(s
)ss(.)(lgt
állapottér
állapot függvények
0 TTc t
Hővezetés
0 qut
0 st s j0 Gtq
T q
qq tT
)( cTu
Fourier
Maxwell-Cattaneo
0 TTc t
0 TTcTc ttt 0 TTcTc ttt
?
Gyengén nemlokális kiterjesztett termodinamika
),,,,( 2qqq uu
)js,,( sG
Liu eljárás:
),( qus
),,( qqj us
0 sGsuss qqj
konstitutív tér
anyagfüggvények
0 qut
0 st s j0 Gtq
megoldás?
Lokális állapot:
qqmqq ),(2
1)(),( 0 uusus
qqqBqqj ),,(),,( uus
kiterjesztett entrópia
entrópia áram (Nyíri)
0)(:)( qmBqIB
Gsus
qqmB 2221 LLG qqIB 1211 LLsu
qqIqqqm 222111211 )( LLsLLt Guyer-Krumhansl + qq Tt
Két komponensű gyengén nemlokális keverék
2211szilárd komponens sűrűségetérfogateloszlási függvény
),,( v
),,,,,( vv C
konstitutív függvények
)C(),C(),C(s s Pj
alapállapot
konstitutív állapot
00 v
0Pv )C(
0)C()C(s s j
Kényszerek: )3(),2(),2(),1(),1(
.)(
,)(
,)(
,s
,s
,s
,s
,s
,s
s54s
s5s
s5s
5
4
3
2
1
0PIj
0Pj
0Pj
0
vv
v
v
.s
,s
,s
,s
0
0
0
0
izotróp, másodrendű
Liu-egyenletek
Megoldás:
2
)()(
2),(),(),,,,(
22
vv mss e
).,,()(),()( 1 vjPvj CmCs
Egyszerűsítés:
0:)s(:)m( vIPv
.,),,(,121
p
sm e 0vj
0:)( vIP p
Pr
Coulomb-Mohr
Entrópia produkció:
Goodman-Cowin:
2)2)(p( 2r IP
h Konfigurációs erők mérlege
Entrópia a (információ elméleti, prediktív, bayesi) statisztikus fizikában
(Jaynes, 1957):
Az információ mértéke egyértelmű általános fizikai feltételek mellett.
(Shannon, 1948; Rényi, 1963)
– Extenzivitás (átlag, sűrűség)– Additivitás
)()()( 2121 fsfsffs
fkfs ln)( (egyértelmű megoldás)
Entrópia a “gyengén nemlokális” (?) statisztikus fizikában (Fisher, Frieden, Plastino, …):
– Izotrópia))(,(),( 2DffsDffs
– Extenzivitás
– Additivitás
),(~),(~))(,( 22112121 DffsDffsffDffs
2
2
12 )(
ln))(,(f
DfkfkDffs
Fisher
Boltzmann-Gibbs-Shannon
(egyértelmű megoldás)
- Maxent : véges tartó, hatványfarok- Magasabb deriváltakat nem érdemes
Összefoglalás
– Második főtétel – mozgásegyenletek konstrukciója és korrekciója
– Anyag - jellemzők
– Prediktív
– Univerzális:
Termodinamika
Statisztikus fizika
Mikro leírás
12
ln)(
.
2
2
2
1
fdxEdxm
pf
dpfkf
Dfkfextr
4 MaxEnt calculations – the interaction of the two terms(1D ideal gas)
fR :
048
ln2
''1
2
11
Rk
kRp
mkRR
k
kR
boundarys RRJ |'
048
ln2
''1
2
11
Rk
kRp
mkRR
k
kR
CR
R
)0(
0)0('
There is no analitic solution in general
There is no partition function formalism
symmetry
Numerical normalization
One free parameter: Js
Top Related