UMA EQUAÇÃO FENOMENOLÓGICA PARA O FATOR DE ATRITO DE
CAMADAS LIMITES TURBULENTAS SOBRE PLACAS PLANAS RUGOSAS
Mateus Abreu Itikawa
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
t́ıtulo de Engenheiro.
Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Rio de Janeiro
Março de 2019
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecnica
DEM/POLI/UFRJ
UMA EQUAÇÃO FENOMENOLÓGICA PARA O FATOR DE ATRITO DE
CAMADAS LIMITES TURBULENTAS SOBRE PLACAS PLANAS RUGOSAS
Mateus Abreu Itikawa
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.
Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.
Prof. Hamidreza R. Anbarlooei, Ph.D.
Prof. Fábio Antonio Tavares Ramos, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO DE 2019
Itikawa, Mateus Abreu
Uma Equação Fenomenológica para o Fator de Atrito
de Camadas Limites Turbulentas sobre Placas Planas
Rugosas/ Mateus Abreu Itikawa. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politécnica, 2019.
XI, 41 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Mecânica, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 39 – 41.
1. Camada Limite Turbulenta. 2. Placa Plana Rugosa.
3. Fator de Atrito. I. Cruz, Daniel Onofre de Almeida. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de
Engenharia Mecânica. III. Uma Equação Fenomenológica
para o Fator de Atrito de Camadas Limites Turbulentas
sobre Placas Planas Rugosas.
iii
Ignoranti, quem portum petat,
nullus suus ventus est. - Seneca,
Epistulae morales ad Lucilium
iv
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais e familiares pelo eterno amor e apoio; a equipe Minerva
Aerodesign pelo conv́ıvio e oportunidade de aprendizado; a equipe de Handebol da
AAAEP pela experiência de coordenação de equipe, nas vitórias e nas derrotas;
aos diversos professores do Departamento de Engenharia Mecânica pelos ensina-
mentos dos últimos anos, em especial ao professor Daniel Onofre por aceitar me
orientar nesse projeto final; ao professor Claudio Miceli pelo incentivo a aprender
programação e oportunidades de iniciação cient́ıfica em seu laboratório; a CAPES
e a DARI por me permitirem vivenciar o estudo e vida no exterior; a INSA Rennes
por ter me recebido em sua instituição; e aos diversos amigos feitos durante essa
jornada.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico
UMA EQUAÇÃO FENOMENOLÓGICA PARA O FATOR DE ATRITO DE
CAMADAS LIMITES TURBULENTAS SOBRE PLACAS PLANAS RUGOSAS
Mateus Abreu Itikawa
Março/2019
Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Programa: Engenharia Mecânica
Uma nova proposta para o cálculo do fator de atrito local para escoamentos
turbulentos sobre placas planas rugosas é apresentada, independente da definição
de leis para os perfis de velocidade. A solução proposta é comparada com dados
experimentais para diferentes valores de k+. Uma correlação do fator de atrito foi
obtida e como consequência do seu desenvolvimento, uma fórmula equivalente a lei
de Strickler (polinomial) para escoamentos tubulares é apresentada para o caso da
placa plana e também verificada.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
A PHENOMENOLOGYCAL EQUATION FOR THE FRICTION
COEFFICIENT OF BOUNDARY LAYERS OVER ROUGH FLAT PLATES
Mateus Abreu Itikawa
March/2019
Advisor: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Department: Mechanical Engineering
A new equation is proposed for the local friction factor of turbulent flow over
rough-wall flat plates is presented, independent of the velocity profile or rugosity
type. The proposed solution is compared with experimental datum for different
values of k+. A correlation for the friction factor was obtained and as a consequence
of it’s development, a new equation equivalent to Strickler’s law for tubular flow is
introduced for the rough flat plate and also verified.
vii
Sumário
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introdução 1
1.1 Apresentação do tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Motivação e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Revisão Bibliográfica 4
2.1 As equações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Média de Reynolds ou Decomposição de Reynolds . . . . . . . . . . . 5
2.3 Parâmetros adimensionais do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Estrutura clássica da camada limite turbulenta . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Efeitos da rugosidade e Wall Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Cálculo do fator de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.1 Placas planas lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.2 Placas planas rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Escalas de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Desenvolvimento da Teoria Proposta 20
3.1 Fator de atrito para a placa plana lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Fator de atrito para a placa plana rugosa . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Validação da fórmula e cálculo dos coeficientes . . . . . . . . . . . . . 25
4 Resultados e Discussões 29
4.1 Análise do comportamento da equação . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
viii
4.2 Comparação com os experimentos e outras equações da literatura . . 32
4.3 Caso completamente rugoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Considerações Finais 36
5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Referências Bibliográficas 39
ix
Lista de Figuras
2.1 Camada limite turbulenta. Fonte: [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Desenho esquemático mostrando as diversas regiões da camada limite
turbulenta em variáveis internas e externas. Fonte: [22] . . . . . . . . 8
2.3 Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de
Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [13] . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de
Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [11] . . . . . . . . . . . 15
2.5 Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de
Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [15] . . . . . . . . . . . 17
3.1 Desenvolvimento da camada limite sobre placa plana. Fonte: [24] . . 21
3.2 Desenho esquemático da vizinhança da parede com elementos de ru-
gosidade de tamanho r. Fonte: [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Pontos experimentais utilizados para calibração da Equação 3.14 . . . 28
4.1 Comportamento da equação perto dos pontos experimentais encon-
trados por Zafiryadis et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 A influência da rugosidade diminui conforme a camada limite progride. 30
4.3 Comportamento da Equação 3.14 para x/k constante. . . . . . . . . . 31
4.4 Comportamento da Equação 3.14 próximo aos pontos experimentais
encontrados por SQUIRE et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
x
Lista de Tabelas
3.1 Dados experimentais encontrados por Squire et al. . . . . . . . . . . . 26
3.2 Dados experimentais encontrados por Zafiryadis et al. . . . . . . . . . 27
3.3 Dados experimentais encontrados por Squire et al. para a placa plana
lisa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Erro da equação (3.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Dados experimentais encontrados por Mills e Hang para o caso com-
pletamente rugoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Comportamento das equaçãos de Schlichting, Mills e Hang e a
equação proposta conforme x/k aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . 35
xi
Caṕıtulo 1
Introdução
1.1 Apresentação do tema
Em mecânica dos fluidos, a camada limite denomina a parte do escoamento na região
próxima à superf́ıcie limitadora, onde os efeitos de viscosidade são significativos e
dominantes. Devido ao atrito e a condição de não deslizamento, a velocidade do
fluido diretamente em contato com a superf́ıcie é nula, gerando um perfil de veloci-
dade que se estende até uma distância tal da superf́ıcie onde o escoamento possui
velocidade aproximadamente igual à das condições de escoamento livre, ou seja, sem
sentir os efeitos da presença da superf́ıcie. Esse conceito foi introduzido formalmente
na literatura por L. Prandtl no ińıcio do século XX, objetivando descrever a camada
limite aerodinâmica sobre placas planas.
É posśıvel distinguir as camadas limites de acordo com sua estrutura entre la-
minares e turbulentas. A camada limite laminar é um escoamento dito “suave”,
enquanto que a camada limite turbulenta é caracterizada por variações espaciais
e temporais de velocidade e pressão significativas. A maioria das camadas limi-
tes de interesse prático são turbulentas e em muitas situações a superf́ıcie sobre a
qual elas se desenvolvem são rugosas em pelo menos parte de seu comprimento.
Como consequência, existem e ainda estão em desenvolvimento um grande número
de trabalhos de tais escoamentos.
O principal efeito da rugosidade superficial é alterar a estrutura da camada limite
próxima à parede, aumentando o fator de atrito e a taxa de transferência de calor.
A distribuição do fator de atrito é uma das caracteŕısticas mais importantes das
1
camadas limites e, geralmente, ele é calculado pelo perfil médio de velocidade, sendo
assim necessário um grande número de valores experimentais dispońıveis perto da
superf́ıcie. Este trabalho apresenta uma proposta diferente para o cálculo do fator
de atrito. Partindo de aspectos fenomenológicos e fazendo uso da comparação de
ordens de grandeza, mostramos ser posśıvel obter uma equação polinomial em função
do número de Reynolds local e do número de Reynolds rugoso.
No decorrer desse trabalho, a fórmula para o fator de atrito proposta é comparada
com dados experimentais encontrados na literatura. Finalmente, como consequência
da fórmula para o caso completamente rugoso, uma lei equivalente a lei de Strickler
para escoamentos em dutos é definida para camadas limites, em forma polinomial
(a equação comumente encontrada na literatura é de forma logaŕıtmica).
1.2 Motivação e objetivos
Conforme exposto na seção anterior, a maioria das camadas limites de interesse
prático para a engenharia são turbulentos e ocorrem sobre paredes rugosas. No
entanto, durante muito tempo foi dado uma maior enfâse ao estudo da estrutura da
camada limite turbulenta sobre placas planas lisas com zero gradiente de pressão, o
que faz sentido, pois é lógico que se deve estabelecer fundamentos básicos antes de
se partir para casos mais complexos. Mesmo assim, o estudo do efeito da rugosidade
se mantém relevante por melhorar também o entendimento das camadas limites
simples, como sobre a relação entra a camada limite externa e interna.
Uma das dificuldades inerentes ao estudo das camadas limites rugosas é que a
estrutura da rugosidade e os ńıveis de turbulência próximos dos elementos rugosos
dificultam a utilização de procedimentos padrões de medição de velocidade. Além
disso, mesmo tendo calculado o perfil corretamente, a hipótese de similaridade comu-
mente usada para o cálculo indireto do fator de atrito pode não ser válida, conforme
explicado nos caṕıtulos subsequentes.
Apresentamos o desenvolvimento e verificação de uma fórmula fenomenológica
para o cálculo do fator de atrito que independe da estrutura da camada limite tur-
bulenta clássica, ou seja, não sendo necessário a definição e cálculo de perfis de
velocidade. Sendo assim, o objetivo desse trabalho é apresentar o desenvolvimento
2
teórico dessa fórmula, o cálculo dos coeficientes necessários através de valores expe-
rimentais e, finalmente, a comparação da fórmula proposta com os procedimentos
atuais para cálculo do fator de atrito, tanto para o regime completamente rugoso
como para os outros.
1.3 Organização da tese
Esta tese está organizada em um total de 5 caṕıtulos. No Caṕıtulo 2 realizamos uma
revisão bibliográfica, apresentando os conceitos básicos necessários para o desenvol-
vimento da tese e a estrutura clássica da camada limite turbulenta. No Caṕıtulo 3 é
feito o desenvolvimento teórico da fórmula proposta em si, incluindo cálculo dos co-
eficientes necessários baseados em valores experimentais da literatura. No Caṕıtulo
4 são apresentados os resultados da equação final e comparação com fórmulas exis-
tentes. Finalmente, o Caṕıtulo 5 conclui a tese, além de propor trabalhos futuros
relativos ao tema.
3
Caṕıtulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1 As equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes (Navier 1827, Stokes 1845) descrevem o movimento
de fluidos viscosos. Elas surgem da aplicação da segunda lei de Newton para o
movimento de um fluido, aliado a suposição de que as tensões atuantes em um
fluido são a soma de um termo viscoso difusivo e um termo de pressão, e que tais
tensões viscosas são funções lineares da taxa de deformação, de acordo com a lei
da viscosidade de Newton. Em sua forma vetorial, ela pode ser resumida em uma
equação (a sua derivação pode ser encontrada facilmente na literatura):
ρDV
Dt= ρg−∇p+ ∂
∂xj
[µ
(∂νi∂xj
+∂νj∂xi
)+ δijλ divV
](2.1)
A hipótese de linearidade mencionada acima é emṕırica e, portanto, ainda não
é posśıvel dizer que as equações de Navier-Stokes são válidas para todo movimento
de um fluido. Apesar de seu grande valor teórico e prático, ainda não foi provado
que sempre existem soluções para as equações em três dimensões, sendo este um dos
sete problemas em aberto mais importantes na matemática, denominados Milennium
Prize Problems. Não obstante, a aplicação em casos simplificados das equações de
Navier-Stokes, como escoamentos laminares em dutos circulares, gera resultados que
concordam significativamente com valores experimentais, o que valida o seu uso em
problemas de engenharia.
Estando no âmbito das camadas limites, podemos fazer uma análise de ordem
de magnitude, simplificando significativamente as equações de Navier-Stokes dentro
4
da camada limite. Usando essa aproximação, o escoamento é divido numa região
inviscida (maioria do escoamento, de fácil resolução) e na camada limite propri-
amente dita, governada por equações diferenciais parciais “simples”. Aplicando
Navier-Stokes para o escoamento permanente, bidimensional e incompresśıvel em
coordenadas cartesianas, e adicionando a equação da continuidade, temos:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)u∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −1
ρ
∂p
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)∂u
∂x+∂v
∂y= 0
(2.2)
Onde u e v são os componentes da velocidade em x e y, ρ é a densidade, p e a
pressão e ν é a viscosidade cinemática do fluido.
2.2 Média de Reynolds ou Decomposição de Rey-
nolds
Devido ao caráter aleatório das flutuações decorrentes da turbulência, a análise
direta dos escoamentos turbulentos é extremamente complexa. Uma das maneiras
de se contornar esse problema é através do uso da decomposição de Reynolds, onde
uma quantidade instantânea qualquer é dividida em um termo do valor médio e
outro representando as variações randômicas em torno do primeiro, ou seja:
U = ū+ u′
ū =1
T
∫ T0
u · dt(2.3)
O operador de média pode ser considerado como um operador de Reynolds,
seguindo assim um conjunto especifico de propriedades, como por exemplo a média
da flutuação é igual a zero ou a média da soma de duas propriedades é igual a
soma das médias das mesmas. Aplicando a decomposição de Reynolds nas equações
de Navier-Stokes, surgem novos termos, representativos das tensões turbulentas de
Reynolds. Temos, finalmente, a forma da equação de Navier-Stokes para camada
5
limite turbulenta [1]:
ū∂ū
∂x+ v̄
∂ū
∂y= −1
ρ
∂ρ̄
∂x+ v
∂2ū
∂y2− ∂u
′v′
∂y1
ρ
∂ρ̄
∂x= 0
∂ū
∂x+∂v̄
∂y= 0
(2.4)
2.3 Parâmetros adimensionais do escoamento
Objetivando adimensionalizar as variáveis relevantes para o escoamento turbulento
e usarmos dimensões internas ao invés de externas, iremos introduzir o conceito
de velocidade de atrito. A velocidade de atrito é uma velocidade caracteŕıstica do
escoamento turbulento a uma dada tensão na parede. Ela é gerada a partir da
análise dimensional do cálculo da tensão na parede.
uτ =
(τwρ
) 12
(2.5)
A partir dela, normalizamos a velocidade média na direção longitudinal do es-
coamento, assim como a distância normal da parede y, em termos de ”unidade de
parede”:
u+ =ū
uτ
y+ =yuτν
(2.6)
Também será de grande valia introduzir o conceito do número de Reynolds. O
número de Reynolds é um paramêtro adimensional importante para a mecânica dos
fluidos, pois possibilita prever caracteŕısticas e padrões para escoamentos diferen-
tes, contanto que eles sejam geometricamente similares. O número de Reynolds é
definido como a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas e, por análise
dimensional, temos que:
Re =ρuL
µ=uL
ν(2.7)
onde µ é a viscosidade dinâmica do fluido, ν é a viscosidade cinemática do fluido
e L uma dimensão linear caracteŕıstica, tipicamente o diâmetro para tubos ou a
distância longitudinal x do ińıcio da placa plana.
6
2.4 Estrutura clássica da camada limite turbu-
lenta
Diferentemente das camadas limites laminares, as camadas limites turbulentas so-
bre placas planas podem ser separadas em diversas subcamadas, devido as carac-
teŕısticas dominantes do escoamento serem diferentes nessas regiões, como pode ser
observado na figura 2.1. Essas sub-regiões podem ser dividas em regiões ainda me-
nores, conforme figura 2.2, porém a divisão anterior é suficiente para o escopo desse
trabalho.
Figura 2.1: Camada limite turbulenta. Fonte: [23]
A região mais próxima da parede, limitada por y+ < 5, é chamada de sub-
camada viscosa. Nessa região, as tensões de Reynolds são despreźıveis quando
comparadas com as tensões viscosas, ou seja, os efeitos de viscosidade dominam os
efeitos turbulentos e o escoamento pode ser considerado laminar. Sendo assim, as
equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas desprezando-se o termo turbu-
lento u′v′ e o convectivo na direção horizontal u∂u∂x
, assumindo a seguinte forma:
−1ρ
∂p̄
∂x+
∂
∂y
(ν∂ū
∂y
)= 0 (2.8)
Considerando o caso sem gradiente de pressão e integrando duas vezes, chegamos
em:
ū =Dy
µ+ E (2.9)
7
Figura 2.2: Desenho esquemático mostrando as diversas regiões da camada limite
turbulenta em variáveis internas e externas. Fonte: [22]
onde D e E são constantes de integração. Sabemos que a tensão na parede equivale
a:
µ∂ū
∂y
∣∣∣∣∣y=0
= τw (2.10)
e que devido a condição de não deslizamento na parede,
ū|y=0 = 0 (2.11)
Com essas condições de contorno, a equação (2.8) resulta em:
ū =τwµy (2.12)
Temos, portanto, que o perfil de velocidade nessa região é linear. Ademais,
utilizando os parâmetros adimensionais, temos que:
U+ = y+ (2.13)
A subcamada logaŕıtmica, onde y+ > 30, está localizada longe da parede o
suficiente para que os efeitos viscosos e convectivos sejam despreźıveis, ou seja, a
tensão total pode ser aproximada para a tensão de Reynolds. Assim, a equação do
momento em (2.4) se resume a:
∂(−u′v′)∂y
= 0 (2.14)
8
Integrando em relação a y e sabendo que a tensão na região turbulenta é constante
e igual a tensão na subcamada viscosa, temos que:
−ρu′v′ = τw (2.15)
A dificuldade em lidar com essa equação está em determinar o valor das flu-
tuações turbulentas. A solução é utilizar o conceito de comprimento de mistura (l),
definido por PRANDTL [2]. Através de análise assintótica, chega-se a solução, já
adimensionalizada:ū
uτ=
1
κlnuτy
ν+ A (2.16)
em que κ é a constante de von Kármán e A é uma constante universal, ambos com
valores definidos entre κ = 0.4 e A = 5.5 por NIKURADSE [3] e κ ∼= 0.41 e A = 5.0
por COLES & HIRST [4].
A camada amortecedora, ou buffer layer, é uma camada intermediária entre
a camada turbulenta e a subcamada viscosa, onde tanto os efeitos viscosos como os
turbulentos estão presentes. Nessa região, o perfil de velocidade não é nem linear
nem logaŕıtmico e existe uma extensa pesquisa para a formulação do perfil nesta
região.
A camada de esteira é a região mais externa da camada limite. Nessa região,
o perfil de velocidade desvia levemente da lei logaŕıtmica, principalmente para casos
com gradiente de pressão. COLES [5] notou que esse desvio acima da lei log tinha a
forma de uma onda. Após análise de diversos experimentos, foi sugerida a seguinte
função universal para o desvio:
U = Ulei log + ∆U W (y
δ) (2.17)
onde W é uma função que pode assumir, dentre várias, a seguinte forma:
W (η) = sin2π
2η (2.18)
Finalmente, temos a lei de onda de Coles:
U
uτ=
1
κlny+ + A+
2Π
κW (y/δ) (2.19)
onde a variação com relação a lei logaŕıtmica é quantificada pelo parâmetro de Coles
Π, com valor t́ıpico de 0.45 para camadas limites sobre placa planas com gradiente
de pressão nulo.
9
2.5 Efeitos da rugosidade e Wall Similarity
A camada limite sobre placas rugosas são de grande interesse para a engenharia,
uma vez que grande parte das aplicações da teoria na prática envolvem placas com
rugosidade suficiente para que não possam ser caracterizadas como lisas sem apre-
sentar um erro muito grande. O estudo dessa área começou com pesquisadores
como Nikuradse e Colebrook e White, que focaram principalmente em escoamentos
em dutos. Dois extensos artigos que revisam o conhecimento mais recente sobre o
tema foram realizados por RAUPACH et al. [6] e JIMÉNEZ [7].
Partindo da equação (2.19) e analisando-se dados experimentais, percebeu-se que
o principal efeito da rugosidade superficial é causar um deslocamento para baixo do
perfil mencionado. Para rugosidades do tipo k, esse deslocamento de ∆U+ depende
de k+, o número de Reynolds rugoso, onde k é a dimensão que representa o tamanho
dos grãos que compoem a rugosidade e o sobescrito indica uma adimensionalização
de maneira similar a apresentada anteriormente. Existem dois tipos de rugosidades
definidos, k e d. A ńıvel dessa revisão bibliográfica, iremos nos ater ao tipo k;
para uma definição das diferenças entre eles, recomendamos os artigos mencionados
acima.
Com esse deslocamento, o perfil de velocidade média nas regiões externas e de
sobreposição para a placa rugosa é dado por:
U
uτ=
1
κlny+ + A−∆U+ + 2Π
κf(y/δ) (2.20)
Calculando o valor dessas equações em y = δ, HAMA [8] mostrou que ∆U+ pode
ser encontrado como a diferença entre o valor da constante A para o caso liso e o
valor A−∆U+ para os mesmos valores de Reynolds. Ou seja, o escoamento médio
tanto para o caso liso quanto para o caso rugoso seguem a mesma lei de defeito
de velocidade (eq. (2.17)). Sendo assim, o deslocamento rugoso pode ser calculado
como:
∆U+ =
(U
uτ
)L
−(U
uτ
)R
(2.21)
onde o subescrito L representa o caso laminar e o R o caso rugoso.
Esses resultados são consistentes com a idea da similaridade de número de Rey-
nolds, apresentada por TOWNSEND [9], e condizem com o conceito de Wall Si-
10
milarity [6]. A hipótese de Wall Similarity diz que fora da subcamada rugosa (ou
viscosa), os movimentos turbulentos da camada limite para números de Reynolds
altos o suficiente independem da rugosidade da parede e da viscosidade, exceto na
determinação da velocidade de atrito uτ . Essa hipótese é uma extensão da tese de
Townsend, que diz que “enquanto se espera que escoamentos geometricamente simi-
lares sejam dinamicamente similares, com base no número de Reynolds, suas estru-
turas também são bastante similares para todos os números de Reynolds que sejam
grandes o suficiente para garantir um escoamento turbulento (completo).”Existe um
número considerável de experimentos que estão de acordo com esta hipótese, bem
como alguns estudos que indicam que na verdade algumas mudanças ocorrem na
camada externa [10]. A visão dominante atual é que a universalidade é válida e
que as contradições encontradas por esses estudos são causados por valores relativa-
mente grandes da rugosidade k; JIMÉNEZ [7] aponta que superf́ıcies onde δ/k ≤ 40
apresentam perfis com deformações de origem rugosas mesmo na camada externa,
uma vez que a estrutura logaŕıtmica é destrúıda pelo tamanho da rugosidade.
A influência da rugosidade varia com o número de Reynolds rugoso, definido
acima com k+. Para certos valores de número de Reynolds, o fator de atrito da
placa plana rugosa se comporta de maneira similar ao da placa plana lisa, ou seja,
nessa região a placa pode ser dita hidraulicamente lisa. Isso ocorre para valores
“pequenos”de k+, e o fator de atrito depende apenas do número de Reynolds do
escoamento. No outro extremo, para valores “grandes”de k+, o tamanho da rugo-
sidade é grande o suficiente para que os efeitos decorrentes da rugosidade tornem
os efeitos viscosos despreźıveis. Nessa região, denominado regime completamente
rugoso, o fator de atrito depende apenas da razão k+/x. Entre essas duas partes
limitantes, o regime pode ser nomeado como transicionalmente rugoso, ou em rugo-
sidade transicional, e o fator de atrito depende tanto de k+ quanto da viscosidade
(pelo número de Reynolds). Os valores t́ıpicos encontrados na literatura, definidos
primeiramente para tubos, é de k+ < 5 para hidraulicamente liso, 5 < k+ < 70 para
rugosidade transicional e k+ > 70 para completamente rugoso.
11
2.6 Cálculo do fator de atrito
2.6.1 Placas planas lisas
Para apresentar as diversas fórmulas de cálculo do fator de atrito presentes na li-
teratura, iremos começar por uma análise da integral do momento, definida pela
primeira vez por Kármán, em 1921. Considerando o caso sem gradiente de pressão,
a equação da integral do momento se resume a:
f
2=
dθ
dx(2.22)
onde θ representa a espessura do momento:
θ =
∫ ∞0
ū
U∞
(1− ū
U∞
)dy (2.23)
Para resolver a equação anterior, PRANDTL (1927) utilizou dois argumentos
baseados no desenvolvimento da teoria para escoamentos em tubos, considerando
que o perfil de velocidade lei de potência seja válido para camadas limites e que a
tensão na parede é proporcional a Re1/4δ , com uma constante proveniente de valores
experimentais em tubos. Assim:
u
U∞=(yδ
) 17
τ0ρU2∞
= 0.0225
(ν
U∞δ
) 14
(2.24)
Com esses valores, Prandlt achou a seguinte equação para o fator de atrito:
f = 0.0576Re−1/5x (2.25)
No entanto, essa equação foi desenvolvida a partir de experimentos com números
de Reynolds limitados e parte de valores encontrados para tubos, ao invés de ser
uma formulação inerente a camadas limites. WHITE [11] apresenta uma análise
similar, porém considerando um perfil de velocidades da forma da equação (2.19).
Calculando esse perfil para y = δ:
U∞uτ
=
(2
f
)1/2=
1
κlnδuτν
+ A+2Π
κ≈ 2.44ln
[Reδ
(f
2
)1/2]+ 7.2 (2.26)
12
Analogamente à análise de Prandtl, esta é uma relação entre f e Reδ, apesar de
algebricamente complexa. Calculando-se o valor da mesma e fazendo uma regressão
para uma lei de potência, podemos substitui-la por:
f ≈ 0.020Re−1/6δ (2.27)
o que resulta na sequinte equação após substituição e integração (considerando-se
δ = 0 em x = 0):
f ≈ 0.027Re−1/7x (2.28)
Ao invés de se utilizar a integral do momento, também é posśıvel computar o fator
de atrito utilizando variáveis internas, conforme sugerido por KESTIN & PERSEN
[12], assumindo que a velocidade média longitudinal ū é função de variáveis internas
(conforme seção 2.3):ū(x, y)
uτ (x)= u+ ≈ f(y+) (2.29)
O objetivo é substituir a velocidade normal, v̄, apenas por variáveis internas e a
velocidade de atrito, utilizando-se a equação da continuidade. Com isso, após certo
algebrismo, chega-se a relação impĺıcita:
Rex =
∫ λ0
Gdλ
=1
12λ4 +
eκB
κ3
[eZ(Z2 − 4Z + 6)− 6− 2Z − Z
4
12− Z
5
20
] (2.30)onde G =
∫ λ0u+2dy, Z = κλ e λ = (2/f)1/2. WHITE [11] apresenta uma apro-
ximação da função G para G(λ) = 8.0e0.48λ, o que simplifica a equação anterior
para:
f ≈ 0.455ln2(0.06Rex)
(2.31)
2.6.2 Placas planas rugosas
Conforme já mencionado, o caso rugoso é de grande importância prática e, no en-
tanto, existe uma dificuldade natural para se lidar com ele com relação ao caso liso.
Existe um grande número de variavéis que podem ser usadas para tentar definir
f́ısicamente a rugosidade de uma placa, como por exemplo a altura dos elementos
rugosos, sua densidade, formato geométrico, entre outros. Para as camadas limites,
13
há ainda um problema maior do que para os escoamentos em tubos, uma vez que
a razão k/δ não é constante, diferentemente da razão entre k e o raio ou diamêtro
dos tubos. Dessa forma, uma camada limite pode estar em regime completamente
rugoso no ińıcio da placa e terminar em regime hidraulicamente liso, apresentando
caracteŕısticas completamente diferentes no tocante aos efeitos da rugosidade.
Fazendo um paralelo entre o cálculo do fator de atrito para tubos, PRANDTL
& SCHLICHTING [13] fizeram um dos primeiros cálculos para o fator de atrito
em camadas limites, usando resultados obtidos por Nikuradse. O desenvolvimento
teórico é muito extenso para ser colocado nesta tese e não foi obtido, no artigo, uma
equação simples que representasse o fator de atrito. Os resultados da análise podem
ser representados pela figura a seguir.
Figura 2.3: Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de
Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [13]
A linha tracejada representa o limite do caso completamente turbulento. SCHLI-
CHTING [14] sugere a seguinte interpolação para o coeficiente de atrito em termos
da rugosidade relativa x/k:
f =(
2.87 + 1.58 logx
k
)−2.5(2.32)
válida para 102 < l/k < 106.
14
WHITE [11] apresenta uma proposta similar ao caso liso, utilizando variavéis
internas, utilizando o seguinte perfil:
u+ =ū(x, y)
uτ (x)≈ 1
κln(y+) + A− 1
κln(1 + 0.3k+) (2.33)
Ou seja, considerando que o deslocamento apresentado na equação (2.20) tem a
forma de Colebrook para condições de rugosidade transicional:
∆U+ ≈ 1κ
ln(1 + 0.3k+) (2.34)
Esse valor é derivado de dados experimentais para tubos, ou seja, White o aplica
sob a condição de que ele seja válido localmente para camadas limites, o que não é
necessariamente real. De qualquer forma, com as equações anteriores e a equação
da continuidade, seguindo o mesmo procedimento para variáveis internas da seção
anterior, o autor propôe a seguinte fórmula:
Rex = 1.73(1 + 0.3k+)eZ
[Z2 − 4Z + 6− 0.3k
+
κ(1 + 0.3k+)(Z − 1)
](2.35)
onde, novamente, Z = κλ e λ = (2/f)1/2.
Figura 2.4: Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de
Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [11]
A Figura 2.4 apresenta algumas curvas da equação (2.35) para x/k fixos. Apesar
de impĺıcita em todas as variáveis, esta equação é valida para uma grande extensão
de número de Reynolds, contemplando o regime hidraulicamente liso, transicional e
15
completamente rugoso. Para este último, k+ é suficientemente grande para que os
efeitos do número de Reynolds sejam despreźıveis e podemos aproximar a equação
para:
f ≈(
1.4 + 3.7 logx
k
)−2(2.36)
PULLIN et al. [15] apresenta uma análise com um perfil similar a equação (2.33),
generalizando para:
∆U+ =1
κln(1 + βk+) (2.37)
onde β = eκ(A−B), de forma que para k+ −→ ∞, o perfil se encaixa no modelo usual
para o regime completamente rugoso encontrado usualmente na literatura:
∆U+(k+) =1
κln(k+) + A−B (2.38)
onde B é uma constante com valor B ≈ 8.5.
Através de uma análise similar a White, ou seja, usando a equação da integral
do momento de Kármán para o caso sem gradiente de pressão, obtem-se a seguinte
fórmula:
Rex =eκ(S−A)−2Π
κ3K1(S) +Rex
(k
x
)eκ(S−B)−2Π
κ2K2(S) (2.39)
onde S = (2/f)1/2 equivale ao λ das análises anteriores e:
K1 = Π2
(3− 3
2κS)
) + Π[2− 2κS + κ2S2 +Q(2− κS)] + (6− 4κS + κ2S2)
K2 =
[κS − 4− Π(2− κS +Q)− 3
2Π2]
+ (4 + 2ΠQ+ 3Π2)Ei(κS)e−κS
Ei(x) = −∫ ∞−x
e−t/tdt
Q = (2/π)
[π +
∫ π0
(sinz/z)dz
]= 3.17898
É importante notar que, devido a escolha do perfil de velocidade, esses desen-
volvimentos ignoram a contribuição da subcamada viscosa, camada de buffer e/ou
da subcamada rugosa. A contribuição para o transporte de massa e momento des-
sas regiões tende a ser pequena para valores relativamente grandes de Reynolds.
16
Uma vez especificados κ, A, B e Π, a equação (2.39) apresenta uma relação en-
tre Rex,k/x e S. A Figura 2.5 apresenta os resultados para κ = 0.384, A = 4.17,
B = 8.5 e Π = 0.53, onde � = k/x.
Figura 2.5: Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de
Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [15]
2.7 Escalas de Kolmogorov
A última porém não menos importante parte da teoria que iremos precisar para o
desenvolvimento desse trabalho se refere as microescalas de Kolmogorov. Os movi-
mentos turbulentos ocorrem em uma ampla gama de escalas de tempo e comprimento
e, com isso, torna-se importante definir e identificar escalas apropriadas para se lidar
com diferentes caracteŕısticas dos escoamentos turbulentos, como por exemplo uti-
lizando variáveis internas conforme vimos na seção 2.3. Além disso, sabemos que as
maiores escalas turbulentas são definidas pelos limites f́ısicos do escoamento, como
o diâmetro de tubos ou a espessura da camada limite. Porém, não é tão simples
definir quais são e se existem escalas para os menores movimentos turbulentos.
Um conceito essencial para a explicação das escalas de Kolmogorov é a cascata
de energia, sugerida primeiramente por Richardson, em 1922, em seu livro sobre
previsão do tempo. Este conceito introduz a noção de que os turbilhões de escalas
17
maiores são instáveis e, ao quebrarem, transferem sua energia para turbilhões meno-
res. Esse processo se repete até que o número de Reynolds dos turbilhões menores
seja tão pequeno que seus movimentos se tornam estáveis e sua energia cinética é
dissipada pela viscosidade.
Para definir a escala desses turbilhões pequenos que perdem a energia em forma
de calor pela viscosidade, iremos utilizar a teoria definida por KOLMOGOROV [16].
A primeira hipótese é a de isotropia local, ou seja, para números de Reynolds sufi-
cientemente altos, os movimentos turbulentos de pequena escala são estaticamente
isotrópicos. Nesse sentido, a informação vetorial das escalas maiores é perdida na
cascata de energia, gerando assim um estado dito universal, ou seja, essa escala
é similar para qualquer escoamento com números altos de Reynolds. Com isso,
Kolmogorov definiu sua primeira hipótese de similaridade, que diz: “em todo esco-
amento turbulento com números de Reynolds suficientemente altos, as estat́ısticas
dos movimentos de pequena esclaa tem uma forma universal definida unicamente
por ν e �.”
Aqui, � representa a taxa de dissapação de energia, a qual é praticamente igual
a taxa de produção de energia turbulenta pelos turbilhões maiores. Apesar de essa
taxa independer da viscosidade, a escala em que ela ocorre depende tanto dessa taxa
quanto da viscosidade, e apenas destes. Assim, por análise dimensional, chegamos
as estimativas para as escalas de comprimento, velocidade e tempo em que essa
energia é dissipada:
η ≡ (ν3/�)1/4
uη ≡ (ν�)1/4
τη ≡ (ν/�)1/2
(2.40)
η é a chamada escala de comprimento de Kolmogorov e ela é a menor escala
hidrodinamica em escoamentos turbulentos. Aqui, uη e τη representam as escalas
de velocidade e de tempo de Kolmogorov. Se calcularmos o número de Reynolds
baseado nessas escalas vemos que ele é igual a unidade: ηuη/ν = 1, o que condiz com
o conceito da cascata de energia. A fim de relacionar essa escala de comprimento
com as maiores escalas de comprimento do escoamento, precisamos estimar a taxa
de dissipação em termos das caracteŕısticas das maiores escalas. Definindo a escala
18
de comprimento dos maiores turbilhões dos escoamentos como l0, que é da ordem
da maior escala do escoamento, mencionada acima, que depende dos limites f́ısicos.
Como a taxa de dissipação é aproximadamente igual a taxa de produção de energia
cinética turbulenta, podemos definir esta última para achar a primeira. A taxa
de energia cinética do escoamento é proporcional u20, a escala de velocidade dos
maiores turbilhões. A escala de tempo desses turbilhões pode ser estimada como
l0/u0. Assim, podemos assumir que a transferência de energia das escalas maiores
para as escalas menores, e consequentemente �, seja da forma:
� ∼ u0u0lo/u0
∼ u30
lo(2.41)
Substituindo essa estimativa na definição da escala de Kolmogorov:
η =
(ν3l0u30
)1/4(2.42)
Com isso, podemos de imediato encontrar a razão entre as menores e maiores
escalas do escoamento turbulento:
η/l0 ∼ Re−3/4
uη/u0 ∼ Re−1/4
τη/τ0 ∼ Re−1/2
(2.43)
19
Caṕıtulo 3
Desenvolvimento da Teoria
Proposta
3.1 Fator de atrito para a placa plana lisa
Iremos começar analisando a equação do momento na direção longitudinal do esco-
amento, a primeira equação em (2.4).
ū∂ū
∂x+ v̄
∂ū
∂y= −1
ρ
∂ρ̄
∂x+ v
∂2ū
∂y2− ∂u
′v′
∂y(3.1)
Temos que o lado esquerdo da equação, também conhecido como termo convec-
tivo, é da ordem de U2/x. Sabemos que as flutuações turbulentas são da ordem
da velocidade de atrito [1]. Considerando o escoamento sem gradiente de pressão e
ignorando o termo de segunda ordem, segue que o lado direito é da ordem de u2τ/δ.
Assim, temos que:
O(ū∂ū
∂x+ v̄
∂ū
∂y
)=U2
x
O(∂u′v′
∂y
)=u2τδ
δ ∼(uτU
)2x
(3.2)
Se olharmos para a subcamada viscosa, podemos fazer uma analogia com o esco-
amento de fluidos entre duas placas planas paralelas, onde a superior se move com
uma velocidade sobre a inferior, estacionária. Um perfil de velocidades linear se
desenvolve nessa região, conforme demonstrado na seção 2.4. Com a lei de escoa-
20
mento de Newton, sabemos que a tensão nessa região é proporcional a variação da
velocidade na direção normal a placa, que é constante defido ao perfil linear. Assim,
podemos igualar a tensão na parede a tensão na placa superior, ou, para o caso da
camada limite, com a tensão entre a subcamada viscosa e as camadas superiores.
Na Figura 3.1 está representado o desenvolvimento da camada limite sobre placa
plana. Podemos perceber que no ińıcio da camada turbulenta a velocidade média já
é praticamente igual a do escoamento livre. Iremos fazer uma simplificação como se,
ao fim da subcamada viscosa, a velocidade do fluido já fosse aproximadamente igual
a essa velocidade da corrente livre e, portanto, a velocidade média da subcamada
viscosa fosse de metade desse valor (não considerando a camada buffer), resultando
em um ∆U de U/2. Assim, a tensão na parede é igual a tensão entre a subcamada
viscosa e o resto do escoamento. Para derivar uma expressão para τ , iremos usar o
artigo de GIOIA [17]. A lógica desenvolvida foi pensada para o caso rugoso e será
usada na próxima seção, porém podemos usá-la também no caso liso.
Figura 3.1: Desenvolvimento da camada limite sobre placa plana. Fonte: [24]
A tensão τ é influenciada pela transferência de momento através da divisão entre
as camadas. Acima da divisão, o fluido carrega uma quantidade de momento hori-
zontal relativamente grande (∼ ρU), enquanto que abaixo da mesma, o fluido possui
metade dessa quantidade (na simplificação determinada acima). Se considerarmos
um turbilhão que atua nessa divisão, ele é responsável pela transferência da quanti-
dade de movimento entre as camadas, com uma taxa determinada pela velocidade
normal à divisão entre as camadas. Como na subcamada viscosa os efeitos visco-
21
sos destroem os movimentos turbulentos, pela definição os turbilhões que atuam
nessa divisão possuem as dimensões das microescalas de Kolmogorov. Portanto, a
velocidade do turbilhão dominante que atua na divisão será igual a velocidade de
Kolmogorov, uη, e a transferência de momento através da divisão será da forma
τ ∼ ρUuη:
τw ∼ ρ∆Uuη ∼ρUuη
2(3.3)
Dividindo a tensão por ρU2, temos:
τwρU2
2
∼ uηU
(3.4)
Da definição, sabemos que o coeficiente de arrasto equivale a τw/q, onde q é a
pressão dinâmica do escoamento livre, ρU2/2 . Conforme demonstrado na seção 2.7,
sabemos também que:
uηU∼ Re−1/4 (3.5)
Temos, finalmente, que:
f ∼ uηU∼ 1Re
14
(3.6)
A Equação 3.6 é a clássica equação de Blasius para o caso de dutos.
Como estamos usando o número de Reynolds com base na espessura da camada
limite, iremos utilizar a relação encontrada pela equação (3.2) para transformá-lo
em Rex.
Reδ =Uδ
ν=U
νx(uτU
)2= Rex
(uτU
)2= Rex
τwρU2
= Rexf
2
f 4 ∼ 1Reδ∼ 1Rexf
f ∼ 1Re
1/5x
(3.7)
Esse coeficiente de lei de potência é igual ao encontrado por Prandtl, conforme
seção 2.6, com o seguinte valor para o coeficiente de proporcionalidade:
f ≈ 0.058Re
1/5x
(3.8)
22
De acordo com WHITE [11], essa fórmula, apesar de citada frequentemente na
literatura, não é muito acurada e uma lei de potência 7 representa melhor os valores
experimentais.
3.2 Fator de atrito para a placa plana rugosa
Para considerarmos o caso rugoso, iremos usar novamente o desenvolvimento de
GIOIA [17], dessa vez levando em conta a rugosidade para definição das dimensões
dos turbilhões dominantes.
Figura 3.2: Desenho esquemático da vizinhança da parede com elementos de rugo-
sidade de tamanho r. Fonte: [17]
A derivação da fórmula para a tensão na parede é a mesma, porém para determi-
nar o turbilhão dominante que atua na divisão entre as camadas (aqui W denomina
a zona “molhada”paralela aos picos da subcamada viscosa) os autores determinaram
um tamanho de turbilhão s = r+aη, onde aη representa a espessura da subcamada
viscosa. Um turbilhão desse tamanho é o maior que cabe no espaço entre dois ele-
mentos rugosos (aqui separados por uma distância igual a seu tamanho, conforme os
experimentos de Nikuradse). Turbilhões maiores que s não conseguem providenciar
uma velocidade normal a W significativa; turbilhões menores que s podem possuir
velocidades normais significativas, porém são despreźıveis com relação a us. Por
Kolmogorov, temos então que:
s
l0∼ Re−
34
δ ∼(Re− 1
4δ
)3∼(usu0
)3(3.9)
Substituimos s por aη + k (considerando r o comprimento espećıfico da rugosi-
dade, k) e l0 por δ. Pelo mesmo racioćınio da seção anterior (vide Equacão 3.6), f
23
é proporcional a us/u0:
f 3 ∼ aη + kδ
∼ Re−34
δ +k
δ(3.10)
Substituindo δ como na seção anterior:
f 3 ∼ (Rexf)−34 +
k
x
(U
uτ
)2∼ (Rexf)−
34 +
k
x
ρU2
τw
∼ (Rexf)−34 +
k
xf
∼ (Rexf)−34 +
RekRexf
Chegamos, assim, a versão final da equação do fator de atrito para placas planas
rugosas, impĺıcita em f :
f 3 =
(C1Rexf
) 34
+C2RekRexf
(3.11)
onde foram inseridas duas constantes de proporcionalidade, C1 e C2.
Esta equação se reduz à encontrada na seção anterior para o caso liso, além
de apresentar uma consequência interessante. Considerando o caso completamente
rugoso, onde k+ é suficientemente grande, esta equação se reduz a:
f 3 =C2k
xf(3.12)
ou
frugoso ≈ C3(xk
)− 14
(3.13)
onde C3 = C142 .
Como consequência do desenvolvimento da teoria apresentada, encontramos duas
equações de importante valor para o cálculo do fator de atrito para placas planas
rugosas. A primeira, a equação (3.11), apesar de impĺıcita em f, é capaz de calcular o
fator de atrito para o caso rugoso de maneira simples, apresentando um cálculo mais
rápido do que a encontrada em WHITE [11]. A segunda, a equação (3.13), também
é bem mais simples do que as equações para o fator de atrito completamente rugoso
encontradas na literatura.
24
3.3 Validação da fórmula e cálculo dos coeficien-
tes
Objetivando definir os dois parâmetros da equação (3.11), iremos usar os valores ex-
perimentais encontrados por dois artigos em regiões de número de Reynolds diferen-
tes. O primeiro é o artigo de SQUIRE et al. [18], de 2016, que faz uma comparação
entre camadas limites turbulentas sobre superf́ıcies lisas e rugosas, possibilitando
assim a definição dos dois parâmetros em questão. O artigo usa uma folha de lixa
P36 e apresenta resultados para a velocidade de atrito utilizando ora um elemento
flutuante (apenas em uma posição) para medição direta ou utilizando o argumento
de similaridade. A Tabela 3.1 resume os dados experimentais encontrados para a
placa plana rugosa. Nem todos os pontos foram considerados para a nossa análise,
principalmente aqueles no ińıcio do escoamento. Esses pontos estavam gerando um
erro muito grande, possivelmente devido ao fato do escoamento ainda não ser com-
pletamente desenvolvido. Os autores também mediram o fator de atrito para o caso
da placa plana lisa; a Tabela 3.3 apresenta estes resultados.
O segundo artigo foi publicado por ZAFIRYADIS et al. [19] em 2017 e apresenta
resultados para o fator de atrito para diferentes revestimentos marinhos utilizando
anemometria de fio quente. Ou seja, na realidade o que é obtido experimentalmente
são os perfis de velocidade. Para obter o valor da velocidade de atrito, o estudo
realiza uma adaptação ao perfil de van Driest [20]. A Tabela 3.2 apresenta os
resultados obtidos para os três tipos de revestimento utilizados. Os três tipos de
revestimentos utilizados foram: SPC (Self-Polishing Copolymer), resina Epoxy e FR
(Fouling Release Coating).
O primeiro coeficiente da equação (3.11), C1, se refere ao caso da placa plana lisa.
Conforme vimos anteriormente, Prandtl encontrou esse valor como C1 = 0.0585 =
6.3403·10−7. No entanto, na definição desse valor foram utilizados dados experimen-
tais para tubos, portanto existe um erro inerente com relação a essa origem. Tendo
os dados experimentais para a placa plana lisa, conforme Tabela 3.3, faz sentido
recalcular esse valor, através de regressão linear com base nesses dados. Utilizando
uma lei de potência 1/5, achamos C1 = 0.055575 = 5.2991 ·10−7, com um coeficiente
de determinação R2 igual a 63.21%. O coeficiente de determinação é um valor que
25
varia de 0 a 1 e indica o quanto os dados podem ser explicados pelo modelo escolhido.
Conforme mencionado na seção 2.6, uma lei de potência 1/7 condiz melhor com os
dados experimentais, apresentando um coeficiente de determinação de 93.56%.
Para definir o segundo coeficiente, C2, é necessário realizar uma regressão linear
da equação (3.11) completa. Por se tratar de uma função impĺıcita, o cálculo é um
pouco mais complexo do que do outro coeficiente. Usamos dois softwares diferentes
para este cálculo, o Mathematica, através do método NonlinearModelFit, e a cal-
culadora gráfica online Desmos, que realiza a regressão utilizando um algoritmo de
Levenberg-Marquardt modificado (informação obtida após contato com os desenvol-
Tabela 3.1: Dados experimentais encontrados por Squire et al.
IDx
(m)
U∞
(ms−1)k+s
uτ
(ms−1)
Rex
(10−6)Rek f · 103 x/k
Cas
e1
1 15 10.1 51 0.41 8.37 1256 3.296 6662
2 15 15.3 77 0.63 12.68 1870 3.391 6780
3 15 20.3 102 0.84 16.82 2465 3.424 6824
4 15 25.6 129 1.06 21.21 3115 3.428 6809
5 15 30.6 155 1.27 25.36 3734 3.445 6790
6 21.7 10.1 49 0.40 12.11 1237 3.137 9786
7 21.7 15.2 75 0.61 18.22 1868 3.221 9751
8 21.7 20.6 102 0.83 24.70 2531 3.247 9755
9 21.7 25.4 126 1.02 30.45 3137 3.225 9705
10 21.7 30.4 150 1.23 36.47 3707 3.274 9830
Cas
e2
11 7 20.3 112 0.90 7.85 2526 3.931 3108
12 10 20.3 109 0.88 11.21 2514 3.758 4460
13 12 20.3 106 0.86 13.46 2502 3.589 5378
14 12.8 20.3 108 0.86 14.36 2549 3.589 5631
15 15 20.3 102 0.84 16.82 2465 3.424 6824
16 17.8 20.4 104 0.84 20.04 2525 3.391 7934
17 18.9 20.5 102 0.83 21.41 2519 3.278 8496
18 21.7 20.6 102 0.83 24.70 2531 3.247 9755
26
Tabela 3.2: Dados experimentais encontrados por Zafiryadis et al.
IDx
(m)
U∞
(ms−1)k+s
uτ
(ms−1)
Rex
(10−6)Rek f · 103 x/k
SP
C
19 0.1 30 15.7 1.74 0.191 271 6.71 612
20 0.2 30 14.4 1.60 0.382 270 5.71 1227
21 0.3 30 13.7 1.53 0.572 269 5.19 1851
22 0.4 30 13.3 1.48 0.763 270 4.80 2459
23 0.5 30 13.3 1.45 0.954 275 4.52 3011
FR
24 0.1 30 13.2 1.68 0.191 236 6.25 703
25 0.2 30 12.3 1.57 0.382 235 5.47 982
26 0.3 30 11.7 1.50 0.572 234 5.00 1479
27 0.4 30 11.4 1.46 0.763 234 4.72 1964
28 0.5 30 11.2 1.42 0.954 237 4.51 2448
EP
OX
Y
29 0.2 30 14.4 1.68 0.382 337 6.27 982
30 0.3 30 13.7 1.58 0.572 336 5.51 1479
31 0.4 30 13.3 1.52 0.763 337 5.11 1964
32 0.5 30 13.3 1.48 0.954 338 4.87 2448
vedores). Com os valores de Rex, Rek e f das Tabelas 3.1 e 3.2 e com o C1 calculado
anteriormente, encontramos o valor de C2 = 9.56667 · 10−7, com um RMSE (raiz do
erro médio quadrático) de 1.48 · 10−8.
Substituindo esses valores na equação (3.11) temos:
f 3 =
(5.2991 · 10−7
Rexf
) 34
+9.56667 · 10−7Rek
Rexf(3.14)
A Figura 3.3 apresenta a distribuição dos pontos experimentais utilizados para
calibração da equação final com relação as linhas da placa lisa e do caso completa-
mente rugoso.
27
Tabela 3.3: Dados experimentais encontrados por
Squire et al. para a placa plana lisa.
IDx
(m)
U∞
(ms−1)
uτ
(ms−1)
Rex
(10−6)f · 103
34 4.5 10.1 0.37 2.51 2.68
35 7.0 10.1 0.36 3.90 2.54
36 17.8 4.7 0.17 4.62 2.62
37 4.5 15.2 0.54 3.78 2.52
38 3.75 20.0 0.71 4.14 2.52
39 7.0 15.1 0.52 5.84 2.37
40 6.3 20.0 0.69 6.96 2.38
41 18.0 10.0 0.34 9.94 2.31
42 10.0 20.2 0.69 11.16 2.33
43 18.0 15.3 0.50 15.21 2.24
44 17.5 20.1 0.66 19.43 2.16
45 21.7 30.0 0.93 35.97 1.92
46 21.7 40.8 1.23 48.91 1.82
Figura 3.3: Pontos experimentais utilizados para calibração da Equação 3.14
28
Caṕıtulo 4
Resultados e Discussões
4.1 Análise do comportamento da equação
A Figura 4.1 apresenta o comportamento da equação perto dos pontos experimentais
encontrados por Zafiryadis et al. Esses pontos possuem um valor de Rek relativa-
mente baixo. Podemos perceber o primeiro caráter principal da equação: conforme
Rex aumenta, f diminui.
Figura 4.1: Comportamento da equação perto dos pontos experimentais encontrados
por Zafiryadis et al.
29
Figura 4.2: A influência da rugosidade diminui conforme a camada limite progride.
A Figura 4.2 apresenta o segundo caráter importante a ser notado com relação ao
fator de atrito para placas planas. Diferentemente dos tubos, onde o comprimento
caracteŕıstico do escoamento é o diamêtro da tubulação, que se mantém fixo, no
caso das placas planas a espessura caracteŕıstica δ aumenta no desenvolvimento da
camada limite. Assim, a razão k/δ diminui e os efeitos da rugosidade também.
Com isso, conforme representado na figura, o escoamento pode começar no regime
completamente rugoso e passar para o transicionalmente rugoso conforme o número
de Reynolds aumenta. No entanto, essa transformação ocorre suavemente, pois a
inclinação da equação principal é similar ao do caso totalmente rugoso.
O terceiro caráter importante da Equação 3.14 diz respeito ao caso completa-
mente rugoso. Nesse regime, se a razão x/k for mantida, a equação tende a um
valor ”constante”. Como o termo liso da equação nunca chega a zero, a equação não
atinge um valor final, mas a relevância desse termo diminuiu. Essa razão x/k pode
ser mantida caso observemos duas placas planas com rugosidades diferentes, ou se
aumentarmos o valor da velocidade de corrente livre U∞. A Figura 4.3 apresenta
essa propriedade da equação para duas razões x/k diferentes.
Essas três propriedades da Equação 3.14 podem ser distinguidas se analisarmos
os 2 casos diferentes explorados por SQUIRE et al. [18]. Na Figura 4.4, as duas
30
Figura 4.3: Comportamento da Equação 3.14 para x/k constante.
Figura 4.4: Comportamento da Equação 3.14 próximo aos pontos experimentais
encontrados por SQUIRE et al.
medições do caso 1 são separadas em Sq1.15 e Sq1.21, ou seja, medições feitas em
x = 15m e x = 21.7m. Como as medições foram feitas para valores fixos de x,
o aumento do número de Reynolds foi obtido através do aumento da velocidade
31
no túnel de vento. Porém, como o Reynolds rugoso também é proporcional a essa
velocidade, Rex e Rek aumentam na mesma taxa, e o valor de f tende a um valor
constante.
Para a linha Sq2, representante do caso 2, U∞ é constante e a curva representa
o comportamento da equação indo na direção longitudinal da placa. Fica claro o
segundo caráter mencionado acima, uma vez que para Reynolds maiores a equação
se aproxima do limite completamente rugoso.
4.2 Comparação com os experimentos e outras
equações da literatura
A Tabela 4.1 apresenta o erro da fórmula encontrada com relação ao dados expe-
rimentais, sendo que os valores de f estão multiplicados por 103. O erro absoluto
médio é de 2.81%. Calculando com a equação de White (2.35), temos um erro ab-
soluto médio de 20.6%. Calculando com a equação de Pullin et al. (2.39), temos
um erro absoluto médio de 8.6%. É importante notar que para o cálculo da última
equação, consideramos constantes diferentes das utilizadas no artigo que geraram a
figura 2.5; preferimos utilizar as constantes conforme apresentadas na seção 2.4.
4.3 Caso completamente rugoso
Conforme apresentado na equação (3.13), a fórmula para o fator de atrito encontrada
se resume a uma raiz quarta, dependendo apenas da razão k/x, quando consideramos
o caso completamente rugoso. O primeiro passo ao percebermos isso foi realizar uma
regressão linear a uma função de raiz quarta da fórmula de Schlichting para o caso
completamente rugoso, equação (2.32), obtendo uma ótima regressão (coeficiente
de determinação de 99.03%). No entanto, como já mencionado anteriormente, essa
fórmula foi derivada empiricamente com base nos experimentos de Nikuradse para
tubos.
MILLS & HANG [21] abordaram esse problema, mostrando que a equação de
Schlichting apresentava um erro grande quando comparado com dados experimen-
tais mais recentes em camadas limites. Os autores propuseram a seguinte equação
32
Tabela 4.1: Erro da equação (3.14)
ID fexp fcalc Erro Erro (%) ID fexp fcalc Erro Erro (%)
1 3.296 3.635 0.339 10.29 17 3.278 3.361 0.083 2.52
2 3.391 3.577 0.186 5.48 18 3.427 3.249 -0.178 -0.07
3 3.424 3.548 0.124 3.60 19 6.71 6.659 -0.051 -0.76
4 3.428 3.533 0.105 3.03 20 5.71 5.661 -0.049 -0.86
5 3.445 3.524 0.079 2.30 21 5.19 5.152 -0.038 -0.73
6 3.137 3.314 0.177 5.66 22 4.80 4.818 -0.018 -1.47
7 3.221 3.274 0.053 1.65 23 4.52 4.588 -0.068 -1.54
8 3.247 3.249 0.002 0.07 24 6.25 6.505 0.255 4.09
9 3.225 3.238 0.013 0.41 25 5.47 5.533 0.063 1.15
10 3.274 3.218 -0.056 -1.70 26 5.00 5.035 0.035 0.71
11 3.931 4.299 0.368 9.37 27 4.72 4.712 -0.008 -0.17
12 3.758 3.955 0.197 5.24 28 4.51 4.483 -0.027 -0.61
13 3.589 3.759 0.170 4.73 29 6.27 5.883 -0.387 -6.17
14 3.589 3.716 0.127 3.52 30 5.51 5.349 -0.161 -2.91
15 3.424 3.547 0.123 3.60 31 5.11 4.999 -0.111 -2.14
16 3.391 3.417 0.026 0.79 32 4.87 4.745 -0.125 -2.69
modificada, de forma similar a de Schlichting:
f =(
3.476 + 0.707lnx
k
)−2.46(4.1)
Fazendo uma nova regressão, considerando a equação anterior, obtemos nova-
mente um ótimo coeficiente de regressão (94.63%), com um valor ideal da cons-
tante, para este caso, de C2 = 8.69 · 10−7, o que não está muito longe do encontrado
da equação (3.14). A Tabela 4.2 apresenta os resultados da comparação entre as
equações de Schlichting (2.32), Mills e Hang (4.1) e a fórmula proposta (3.13), uti-
lizando o coeficiente encontrado em (3.14).
A Tabela 4.3 apresenta uma comparação das três equações conforme x/k au-
menta, onde D1 é o diferença entre as fórmulas de Schlichting e Mills e Hang, D2
é a diferença entre a fórmula proposta e a de Schlichting e D3 é a diferença da
fórmula proposta e a de Mills e Hang. Podemos perceber que D1 tende a dimi-
33
Tabela 4.2: Dados experimentais encontrados por Mills
e Hang para o caso completamente rugoso.
x/k fexp fP−S E (%) fM−H E (%) fcalc E (%)
758 5.340 6.660 24.72 5.720 7.1 5.960 11.62
1145 5.040 6.080 20.63 5.240 4.0 5.376 6.67
1532 4.780 5.700 19.25 4.940 3.3 4.999 4.58
1919 4.620 5.420 17.32 4.720 2.2 4.725 2.28
2306 4.520 5.220 15.49 4.560 0.9 4.513 -0.15
2694 4.440 5.060 13.96 4.420 -0.5 4.341 -2.23
838 5.220 6.520 24.90 5.600 7.3 5.813 11.35
1226 5.040 5.980 18.65 5.160 2.4 5.285 4.87
1613 4.860 5.640 16.05 4.880 0.4 4.935 1.54
2000 4.720 5.380 13.98 4.680 -0.8 4.677 -0.92
2387 4.580 5.180 13.10 4.520 -1.3 4.474 -2.31
2774 4.480 5.020 12.05 4.400 -1.8 4.309 -3.81
Emédio 17.51 Emédio 2.66 Emédio 4.36
nuir conforme x/k aumenta, enquanto que D2 e D3 tendem a aumentar. Apesar
de estarmos calculando apenas com o termo rugoso para este caso e sabendo que
conforme x/k aumenta a influência do primeiro termo da equação 3.11 também
aumenta, não podemos atribuir essa diferença grande entre as fórmulas calculadas
apenas a esse termo, pois ele também diminui com o aumento de x. Essa diferença
é gerada inevitavelmente pela diferença entre a fórmulação logaŕıtmica e polinomial
dos modelos.
34
Tabela 4.3: Comportamento das equaçãos de Schlichting,
Mills e Hang e a equação proposta conforme x/k aumenta.
x/k fP−S fM−H fcalc D1 (%) D2 (%) D3 (%)
1× 102 0.0112 0.00918 0.00989 -22.00 11.70 -7.73
2 0.00926 0.00772 0.008316 -19.95 10.19 -7.72
5 0.00736 0.00626 0.006614 -17.57 10.14 -5.65
1× 103 0.00626 0.00538 0.005561 -16.36 11.16 -3.37
2 0.00538 0.00548 0.004677 1.82 13.07 14.66
5 0.00452 0.00394 0.003719 -14.72 17.72 5.60
1× 104 0.0039 0.00348 0.003127 -12.07 19.81 10.13
2 0.00344 0.0031 0.00263 -10.97 23.55 15.17
5 0.00294 0.00266 0.002091 -10.53 28.86 21.37
1× 105 0.00262 0.0024 0.001759 -9.17 32.87 26.72
2 0.00236 0.00216 0.001479 -9.26 37.34 31.53
5 0.00206 0.0019 0.001176 -8.42 42.91 38.10
1× 106 0.00186 0.00174 0.000989 -6.90 46.83 43.16
35
Caṕıtulo 5
Considerações Finais
5.1 Conclusões
Utilizando as escalas de Kolmogorov e o desenvolvimento apresentado em GIOIA
[17] para a transferência de quantidade de movimento entre as subcamada viscosa e
o resto do escoamento, uma nova metodologia para o cálculo do fator de atrito em
placas planas rugosas é apresentada. A elaboração apresentada resulta na equação
(3.14), implićıta em f porém polinomial. Objetivando ambientar o leitor com o tema
e possibilitar a comparação com a teoria proposta, a estrutura clássica da camada
limite turbulenta sobre placas planas é resumidamente descrita.
Para verificação da validade da equação e cálculo de seus coeficientes, buscamos
valores experimentais na literatura, utilizando os artigos de SQUIRE et al. [18] e
ZAFIRYADIS et al. [19]. Parte dos valores encontrados pelos autores foram obtidos
através da medição com um elemento flutuante, ou seja, realizando medição direta do
fator de atrito; a outra parte utiliza a estrutura clássica da camada limite turbulenta
para o cálculo indireto do fator de atrito. Com a equação completa resultante da
regressão com esses experimentos, a comparamos com outras fórmulas da literatura
para o cálculo do fator de atrito, a equação apresentada por Pullin et al. (2.39)
e a de White (2.35). Identificou-se uma adaptação melhor da teoria proposta aos
valores experimentais do que as encontradas na teoria, com um erro médio de 2.81%,
contra 8.6% pela equação de Pullin et al. e 20.6% pela de White.
Como consequência da criação desta formulação, obteve-se também uma fórmula
do fator de atrito para o caso completamente rugoso, considerando-se que o termo
36
rugoso é dominante na equação (3.14) e chegando-se assim à equação (3.13). Esta
última equação é de grau 1/4, equiparando-se à escala emṕırica de Strickler para o
fator de atrito para tubos em regimes completamente rugosos, de grau 1/3.
A abordagem prática para o cálculo do fator de atrito completamente rugoso em
placas planas lisas é utilizar a equação obtida por Schlichting (2.32), que foi derivada
a partir dos resultados em tubos de Nikuradse. MILLS & HANG [21] demonstraram
que essa equação apresenta erros muito grandes para valores experimentais mais re-
centes. O artigo apresenta alguns desses valores e propôe uma nova fórmula parecida
com a original de Schlichting. A Tabela 4.2 apresenta a comparação dos erros de
Schilichting, Mills e Hang e com a fórmula proposta nessa tese. Podemos concluir
que também aqui a fórmula proposta se adequa bem aos resultados experimentais,
com um erro médio de 4.36 contra 2.66 do artigo original, além de apresentar sim-
plicidade maior do que as fórmulações logaŕıtmicas da literatura.
5.2 Trabalhos Futuros
Um ponto importante a ser trabalhado é realizar experimentos espećıficos para esta
equação, visando o cálculo dos coeficientes e expoentes. O experimento poderia
incluir rugosidades de diferentes tipos para verificar como a equação se comporta
nesses casos. Possivelmente um ajuste do termo ks não será suficiente.
Também pode ser analisada a possibilidade de se alterar as potências envolvidas
no desenvolvimento da equação. Sabemos que uma lei de potência 1/7 se adequa
melhor ao caso liso do que a lei 1/5. Porém, ao tentar forçar essa alteração na
equação (sem razão f́ısica para tal), a acurácia geral diminuiu consideravelmente.
Outra questão importante é verificar o tamanho do turbilhão mais importante a
ser considerado que carrega momento para a camada viscosa. É posśıvel alterar a
formulação para s = aηa + kb, por exemplo.
Deve-se analisar também o comportamento das equações de transferência de
calor com essa formulação para o fator de atrito, utilizando a analogia de Reynolds
e inclúındo o número de Nusselt e de Prandlt no desenvolvimento através do número
de Stanton.
Finalmente, também poderia ser criado um programa que automatize o cálculo
37
do fator de atrito baseado em diversas entradas, como número de Reynolds ou tipo
de rugosidade.
38
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of Heat and Mass Transfer . 7th ed. John Wiley and Sons, 2011.
41
Lista de FigurasLista de TabelasIntroduçãoApresentação do temaMotivação e objetivosOrganização da tese
Revisão BibliográficaAs equações de Navier-StokesMédia de Reynolds ou Decomposição de ReynoldsParâmetros adimensionais do escoamentoEstrutura clássica da camada limite turbulentaEfeitos da rugosidade e Wall SimilarityCálculo do fator de atritoPlacas planas lisasPlacas planas rugosas
Escalas de Kolmogorov
Desenvolvimento da Teoria PropostaFator de atrito para a placa plana lisaFator de atrito para a placa plana rugosaValidação da fórmula e cálculo dos coeficientes
Resultados e DiscussõesAnálise do comportamento da equação Comparação com os experimentos e outras equações da literatura Caso completamente rugoso
Considerações FinaisConclusõesTrabalhos Futuros
Referências Bibliográficas
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