Uma Aplicação da Equação de Fokker-PlanckApreçamento de Opções com Barreira Dupla
André Borges Catalão Profa. Tânia Tomé[email protected]
November 3, 2007
Abstract
Neste artigo estudamos uma forma de apreçar uma opção com barreiradupla do tipo knock-out definida pelos níveis U (upper) e L (lower) quepaga rebate na forma deferred caso a barreira seja acionada. O preço deuma barreira in pode ser obtido pelo emprego da paridade in-out.
1. Introdução
Neste artigo estudamos uma forma de apreçar uma opção combarreira dupla do tipo knock-out definida pelos níveis U (upper) eL (lower) que paga rebate na forma deferred caso a barreira sejaacionada. O preço de uma barreira in pode ser obtido pelo empregoda paridade in-out.A chave para o apreçamento de opção com barreiras é montar a
equação de Fokker-Planck para a probabilide de o ativo-base encontrar-se a um nível certo nível e estabelecer condições de contorno apropri-adas. Os passos seguidos serão1:
• Montagem do payoff para uma opção com barreira dupla do tipoknock-out com rebate deferred;
• Determinação de equações de Fokker-Planck, com condições decontorno apropriadas, para cada de tipo de probabilidade en-volvida;
• Aplicação dos métodos da transformada de Laplace e série deFourier para densidades de probabilidades;
1O leitor poderá encontrar mais detalhes em (Pelsser, 1997).
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 2
• Obtenção do preço de uma call vanilla sob condições de barreira;
2. Opções com barreira dupla: Payoff
Neste artigo determinamos uma forma de apreçar um contrato deopção de compra (call) de moeda (dólar) ao preço K, com barreira du-pla do tipo knock-out sob o intervalo L < Ss < U , definida no períodos∈[t,T], com rebate R, do tipo deferred. Ou seja, se no intervalo detempo [t,T] o ativo S ficar no intervalo [L,U], ao final do perído, oinvestidor poderá exercer uma opção ao strike K. Se o ativo extrap-olar estes níveis, a opção de compra é desativada (knocked-out), maso investidor ainda recebe um valor fixo (rebate) ao final do período(deferred). No caso de o ativo romper o nível da barreira L, o valorde rebate pago é RL; no caso de o ativo romper o nível da barreira U,o valor de rebate é RU .O payoff final é o seguinte:
max(ST −K, 0), se L < Ss < U, s ∈ [t, T ] (1)
RL, se Ss < L , s ∈ [t, T ]RU , se Ss > U , s ∈ [t, T ]
Este pagamento está localizado em T, no vencimento da opção.Assim, é intuitivo escrever, em T:
V (T ) = {RU · 1Ss>U ; s∈[t,T ] +RL · 1Ss<L; s∈[t,T ] (2)
+max(ST −K, 0)·L<Ss<U ; s∈[t,T ]}
Seu valor hoje, t, é obtido tomando valores médios em T e descon-tando à taxa de juros doméstica:
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 3
V (t) = E[V (T )]e−rd(T−t) (3)
= e−rd(T−t){ RU · P+(T ) +RL · P−(T )
+
UZL
max(ST −K, 0)p(t, St;T, ST )dST| {z }A=CallKnock−out
}
, onde P+ e P− referem-se às probabilidades de toque da barreira Ue L até o vencimento T , respectivamente, e p(t,St|T,ST ) refere-se àdensidade de probabilidade de, em T , o ativo assumir o valor ST , dadoque em t seu valor era St e dado que ele não tenha tocado nenhumadas barreiras no intervalo [t, T ].Denotemos por g+(t, x; s) a densidade de probabilidade de o primeiro
toque da barreira U ocorrer no instante s, antes de que a barreira Lseja tocada, dado que o processo começou em (t, x). Analogamente,denotemos por g−(t, x; s) a densidade de probabilidade de o primeirotoque da barreira L ocorrer no instante s, antes de que a barreira Useja tocada. Adotemos, a partir de agora, também, variáveis do tipolog, com relação à barreira L2:
St → x = lnStL
(4)
ST → y = lnSTL
U → l = lnU
L
L → lnL
L= 0
2Para que possamos fazer integrações utilizando como extremo inferior o valorzero.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 4
Dado que um processo z pode ou tocar a barreira de cima, ou tocara barreira de baixo, ou sobreviver até T , as probabilidades de toque,P+ e P−, estão ligadas à densidade p através da relação
TZt
g+(t, x; s)ds
| {z }P+
+
TZt
g−(t, x; s)ds
| {z }P−
+
lZ0
p(t, x;T, y)dy
| {z }P surv
≡ 1 (5)
A integral relativa à p é interpretada como uma probabilidade desobrevivência, P surv.Cada densidade de probabilidade presente na equação acima pode
ser obtida através de sua respectiva equação de Fokker-Planck sobcondições de contorno apropriadas. Há vários métodos de soluçãodisponíveis para obter a solução de tal equação3.O objetivo deste artigo é mostrar como chegar ao valor do preço
da opção (3). Faremos os seguintes caminhos:
• apresentaremos as equações de Fokker-Plank para g+, g− e p;• obteremos g+, g− via equação de Fokker-Plank através da Trans-formada de Laplace;
• calcularemos P+ via integração da densidade g+;
• mostraremos como, semelhantemente, P− pode ser obtida viaintegração da densidade g−;
• calcularemos p via série de Fourier• mostraremos como o termo A na equação (3) pode ser obtidoatravés da probabilidade p.
3Para o método de separação de variáveis, que também mostraremos nesteartigo, veja (Cox e Miller, 1965).
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 5
3. A equação de Fokker-Planck
O processo seguido pelo ativo-base (cotação do dólar à vista, ouspot) pode ser escrito da seguinte maneira:
dz = µdt+ σdW (6)
, onde µ é o drift, σ a volatilidade (σ2 a variância) do processo de dWuma variável aleatória com distribuição N(0, dt). O drift, na medidarisco-neutra, é expresso como4:
µ = (r − rf)− σ2
2
Consideremos a densidade de probabilidade p(t, x; s, y). Em nossanotação, ela descreve a probabilidade de o processo da partícula z(aqui, o ativo-base) começar no instante t em z(t) = x e sobreviveraté o instante s, terminando em z(s) = y. Temos t ≤ s e, para o casode opções com barreira knock-out, 0 ≤ x, y ≤ l.De forma geral, densidades de probabilidade satisfazem às equações
de Fokker-Planck backward e forward. A equação forward descreve atransição (t, x) → (s, y), ao passo que a backward descreve a tran-sição contrária: (s, y) → (t, x)5. A equação forward (subscritos sãoderivadas) e condições de contorno são:
4Para uma explicação de onde advém esta expressão, o leitor pode olhar em(Hull, 2005, caps. 11 e 12). O drift para o caso de um ativo-base de moedadepende do diferencial entre a taxa de juros interna, r, (por exemplo, Reais) e aexterna, rf (depósito em dólar), chamada cupom cambial.
5A dedução da equação forward pode ser achada em (Oliveira e Tomé, 2001),bem como em (Gardiner, 2003). A dedução da equação backward, cuja introduçãopode ser achada em (Gardiner, 2003), foi incluída no apêndice.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 6
−ps − µpy +1
2σ2pyy = 0 (7)
p(., .; s, 0) = p(., .; s, l) = 0 (8)
p(t, x; t, y) = δ(x− y) (9)
Já para a equação backward e condições de contorno temos:
pt + µpx +1
2σ2pxx = 0 (10)
p(t, 0; ., .) = p(t, l; ., .) = 0 (11)
p(s, x; s, y) = δ(x− y) (12)
As condições (8) e (11) são espaciais, denotando que o encontrocom as barreiras 0 e l anulam a probabilidade e as (9) e (12) são tem-porais, significando que se instantes de tempo coincidem, as posiçõestambém coincidem.Podemos trabalhar com qualquer uma das equações, backward ou
forward. Adotaremos a equação backward para as densidades g+(t, x; s)e g−(t, x; s). Para g+(t, x; s):
g+t + µg+x +1
2σ2g+xx = 0 (13)
g+(t, l; s, .) = δ(s− t) (14)
g+(s, x; s, .) = δ(l − x) (15)
g+(t, 0; s, .) = 0 (16)
A equação (14) significa que quando houver o toque da barreira l, no instante s, a probabilidade torna-se 1. A equação (15) diz que seo instante t é onde houve o toque da barreira (t = s), então x = l.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 7
A equação (16) implica que, se em qualquer instante t a barreira debaixo (0) for tocada (∴ x = 0), antes de que a de cima (l) o seja, entãonão haverá mais a chance de a de cima ser alcançada, pois o contratoé desativado (knocked-out).Para g−(t, x; s):
g−t + µg−x +1
2σ2g−xx = 0 (17)
g−(t, 0; s, .) = δ(s− t) (18)
g−(s, x; s, .) = δ(0− x) (19)
g−(t, l; s, .) = 0 (20)
A análise das condições de contorno é semelhante àquela foi feitapara g+(t, x; s).Adotando a variável τ = s−t, e escrevendo g+−(t, x; s) = g+−(τ , x)
podemos reecrever estas equações (∂./∂τ = −∂./∂t):
−g+τ + µg+x +1
2σ2g+xx = 0 (21)
g+(τ , l) = δ(τ) (22)
g+(0, x) = δ(l − x) (23)
g+(τ , 0) = 0 (24)
−g−τ + µg−x +1
2σ2g−xx = 0 (25)
g−(τ , 0) = δ(τ) (26)
g−(0, x) = δ(0− x) (27)
g−(τ , l) = 0 (28)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 8
4. Obtenção de g+ e g−: transformada de Laplace.
Obteremos g+(τ , x) e g−(τ , x) por transformada de Laplace.
4.1. Obtenção g+.
A transformada de Laplace para g+(τ , x) é dada por:
γ+(x; v) =
∞Z0
e−vτg+(τ , x)dτ (29)
∀ v ≥ 0
Substituindo γ+ em (21), aplicando, na parte temporal, integraçãopor partes, e reescrevendo condições de contorno:
−vγ+ + µγ+x +1
2σ2γ+xx = 0 (30)
γ+(l) = 1 (31)
γ+(0) = 0 (32)
A equação (32) é a transformada da equação (24); a equação (31)é a transformada da equação (22). De fato, para a (31),
γ+(l) =
∞Z0
e−vτg+(τ , l)dτ =
∞Z0
e−vτδ(τ)dτ = 1 (33)
γ+(0) =
∞Z0
e−vτg+(τ , 0)dτ =
∞Z0
e−vτ .0dτ = 0 (34)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 9
A equação (30) é uma equação de 2a ordem em x, e pode ser re-solvida facilmente determinando-se a equação característica. A soluçãoé escrita como:
γ+(x) = e−µ
σ2x(A sinh(θx) +B cosh(θx))
, com θ = 1σ2
√(µ2 + 2σ2v). As condições de contorno determinam as
constantes A e B:
32 ⇒ B = 0
31 ⇒ A =e
µ
σ2l
sinh(θl)
Assim, a solução de (30) é dada por:
θ =1
σ2
p(µ2 + 2σ2v) (35)
γ+(x, v) = eµ
σ2(l−x)(
sinh(θ(v)x)
sinh(θ(v)l))
Para obter a densidade g+(τ , x), devemos inverter a tranformadade Laplace. Para tanto, aplicamos a integral de Bromwich:
g+(τ , x) =1
2πi
c+i∞Zc−i∞
eτzγ+(x; z)dz (36)
, onde z está à direita de qualquer singularidade da função γ+. Aquiz é entendida como uma variável no campo complexo.O cálculo desta integral é feito da seguinte forma. Transformamos
a integral de linha num contorno que consiste num arco de círculo quecompreende o segundo e terceiro quadrantes, direcionado no sentidoanti-horário, do eixo imaginário positivo para o negativo. Quando o
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 10
raio vai a infinito, a contribuição do arco vai a zero. Este fato é fácilde ser visto:
Im
Re
c
arco
Contorno de arco utilizado para avaliar a integral de caminho (37).
• Integral sobre o contorno fechado:
Ieτzγ+(x; z)dz =
c+i∞Zc−i∞
eτzγ+(x; z)dz
| {z }A
+
Zarco
eτzγ+(x; z)dz
| {z }B
(37)
Temos que analisar quando o raio vai a infinito:
• Na integral, z = w + iy, eτz = eτ(w+iy). Em γ+, há os termos desinh:
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 11
sinh z =ez − e−z
2
Ao substituirmos z = w + iy, haverá termos periódicos iy e ter-mos exponenciais reais emw. O numerador em sinh cancelam-se:
γ+(x; z) ∝ sinh(θ(z)x)sinh(θ(z)l)
=eθ(z)x−e−θ(z)x
2
eθ(z)l−e−θ(z)l2
∼z→∞
ef(w)
ef(w)
Resta a contribuição eτz = eτ(w+iy), que também tem termo per-iódico e exponencial real em w. Como o arco está no quadrantede valores reais negativos e τ > 0, o termo B vai a zero naequação(37).
A conclusão é que a integral (36) pode ser avaliada pela integralde linha do lado esquerdo de (37). Agora aplicamos o Teorema dosResíduos:
Theorem 1 (Teorema dos Resíduos) . Se f(z) é analítica dentrode um caminho fechado C (no sentido positivo), exceto em pontos zkonde f tem singularidades, entãoI
C
f(z)dz = 2πiXk
Res(f(z)) em zk (38)
Da teoria de funções complexas, o resíduo de primeira ordem deuma singularidade zk iguala-se ao coeficiente a−1de uma expansão deLaurent:
f(z) =∞X
n=−∞an(z − zk)
n
A parte de n’s negativos dá o comportamento da série nos pontosdas singularidades. A potência mais negativa dá a ordem da singular-idade.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 12
Achemos os pontos de singularidade para o caso do integrando de(37). Estes pontos ocorrem onde o denominador de γ+(x; z) se anula.
• Escrevendo
sinh(x) = −i sin(ix)• O denominador de γ+(x; z), sinh(θ(z)l) = −i sin(iθ(z)l) anula-seonde (zk denota pólo)
iθ(zk)l = kπ
i1
σ2
p(µ2 + 2σ2zk)l = kπ
∴ zk = −12
õ2
σ2+
µkπσ
l
¶2!(39)
k = 0, 1, 2, ...
Os pontos vk são pontos de singularidade de ordem um. Pela teoriade funções complexas
Res(zk) = limz→zk
(z − zk)f(z)
Aplicando esta equação ao nosso caso,
Res(zk) = limz→zk
(z − zk)eτze
µ
σ2(l−x)(
sinh(θ(z)x)
sinh(θ(z)l))
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 13
Os limites podem ser separados em multiplicação de limites:
Res(zk) = limz→zk
eτzeµ
σ2(l−x) lim
z→zksinh(θ(z)x) lim
z→zk
(z − zk)
sinh(θ(z)l)
Aplicando a regra de L’Hospital no último,
Res(zk) = limz→zk
eτzeµ
σ2(l−x) lim
z→zksinh(θ(z)x) lim
z→zk
1
cosh(θ(z)l)∂θ(z)∂z
l
Desenvolvendo
θ(zk) =1
σ2
rµ2 − µ2 − σ4π2k2
l2
=πk
li
∂θ
∂z=
1
θσ2;
∂θ(zk)
∂z=
1πkliσ2
Portanto,
Res(zk) = eτzkeµ
σ2(l−x) sinh(
πk
lix)
1
cosh(πk
lil)| {z }
(−1)k
1πkliσ2
l
= eτzkeµ
σ2(l−x)πk
l2iσ2(−1)k sinh(πk
lix)| {z }
sinh(x)=−i sin(ix)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 14
Como
sin(kπ − kπx
l) = sin(kπ)| {z }
0
cos(kπx
l)− sin(kπx
l)cos(kπ)| {z }
(−1)k
Res(zk) = eτzkeµ
σ2(l−x)πk
l2σ2 sin(kπ
l − x
l) (40)
Voltando à (36), utilizando (38) depois de substituir (40), temos6:
g+(τ , x) = eµ
σ2(l−x)σ
2
l2
∞Xk=1
πk ezk(s−t) sin(kπl − x
l) (41)
4.2. Obtenção g−.
A transformada de Laplace para g− , γ− também satisfaz à equaçãodiferencial (30). Contudo, as condições de contorno são obtidas dascondições (26) e (28), respectivamente, tal como em (33) e (34):
γ−(0) = 1 (42)
γ−(l) = 0 (43)
Resolvendo a equação diferencial com estas condições de contorno,obtemos:
γ−(x, v) = eµ
σ2(−x)(
sinh(θ(v)(l − x))
sinh(θ(v)l)) (44)
Vemos que γ−(x, v) = e−2µ
σ2xγ+(l − x, v). Substituindo em (41),
obtemos7:6A soma parte de 1 porque sin(0) = 07Note que a anti-transformada é na variável z e a exponencial e−2
µ
σ2x em γ−
está em x, o que permite retirá-la da integral.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 15
g−(τ , x) = e−µ
σ2xσ
2
l2
∞Xk=1
πk ezk(s−t) sin(kπx
l) (45)
5. Cálculo das Probabilidades P+ e P−
Segundo descrito em (5),
P±(T ) =
TZt
g±(t, x; s)ds =
∞Zt
g±(t, x; s)ds
| {z }I
−∞ZT
g±(t, x; s)ds
=
∞Zt
e−vτg±(t, x; s)ds |s=tv=0 −∞ZT
g±(t, x; s)ds
=
∞Z0
e−vτg±(τ , x)dτ −∞ZT
g±(t, x; s)ds
= γ±(x, 0)−∞ZT
g±(t, x; s)ds (46)
Repare que na passagem da primeira para a segunda linha, mu-damos as variáveis s e t para τ . No extremo de integração, quandos = t, resulta em utilizar τ = 0. Além disso, procuramos escrever aintegral I em termos de γ, o que fazemos incluindo a exponencial e−vτ ,com v = 0. Portanto,
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 16
P+(T ) = γ+(x, 0)−∞ZT
g+(t, x; s)ds
= γ+(x, 0)−∞ZT
eµ
σ2(l−x)σ
2
l2
∞Xk=1
πk ezk(s−t) sin(kπl − x
l)ds
= γ+(x, 0)− eµ
σ2(l−x)σ
2
l2
∞Xk=1
πk sin(kπl − x
l)
∞ZT
ezk(s−t)ds
Resolvendo a integral:
∞ZT
ezk(s−t)ds =e−λk(T−t)
λk;
λk = −zk = 1
2
õ2
σ2+
µkπσ
l
¶2!(zk dado por (39)) e substituindo v = 0 em (35), temos:
P+(T ) = eµ
σ2(l−x)
"(sinh( µ
σ2x)
sinh( µσ2l))− σ2
l2
∞Xk=1
e−λk(T−t)
λkπk sin(kπ
l − x
l)
#(47)
Analogamente,
P−(T ) = γ−(x, 0)−∞ZT
g−(t, x; s)ds
P−(T ) = e−xµ
σ2
"(sinh( µ
σ2(l − x))
sinh( µσ2l)
)− σ2
l2
∞Xk=1
e−λk(T−t)
λkπk sin(kπ
x
l)
#(48)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 17
6. Apreçamento do Termo de Payoff
Com os resultados da seção anterior temos condições de apreçar oprimeiro e segundo temos da equação (3), correspondentes aos rebates.Resta determinar o termo A.Ao invés de aplicar o método da Transformada de Laplace, tal como
o fizemos para g+ e g− , agora aplicaremos uma outra abordagem afimde obter p(t, x; s, y).
6.1. A Equação para p(t, x; s, y): Expansão em Série de Fourier
A equação forward de Kolmogorov para p(t, x; s, y) é dada por (7).Resolvê-la-emos através de séries de Fourier. Para tanto, escrevamosa solução utilizando separação de variáveis:
p(t, x; s, y) = S(s)Y (y) (49)
Substituindo em (7), e dividindo por (49), temos:
∂S
∂s(s)
1
S(s)= −µ 1
Y
∂Y
∂y(y) +
1
2
σ2
Y
∂2Y
∂y2(y) = −λ
Esta equação permite escrever
dS
S= −λds⇒ S(s) = Ce−λ(s−t)(50)
C = cte (51)
λY − µ∂Y
∂y(y) +
1
2σ2
∂2Y
∂y2(y) = 0 (52)
Resolvemos a equação de segunda ordem em Y determinando aequação característica: ξ2σ2/2 − µξ + λ = 0, cujas soluções são ξ =µσ2±√−(µ2−2λσ2)
σ2i = α± βi. A solução de (52) é escrita como
Y (y) = [A sin(βy) +B cos(βy)]eαy (53)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 18
, A e B constantes. Sob a condição de contorno (8) p(., .; s, 0) = 0⇒Y (0) = 0 ∴ B = 0. Teremos, portanto, uma série de senos.
Y (y) = A sin(βy)eαy
Para determinar A, aplicamos p(., .; s; l) = 0 ⇒ Y (l) = 0 ∴sin(βl) = 0⇒ β = kπ/l; k = 0, 1, ...; assim
β =
p−(µ2 − 2λσ2)σ2
=kπ
l
∴ λk =1
2
µµ2
σ2+
k2π2
l2σ2¶
(54)
Voltando à p(t, x; s, y), somando em k:
p(t, x; s, y) =∞Xk=1
Cke−λk(s−t) sin
µkπ
ly
¶e
µ
σ2y (55)
Com a relação de ortogonalidade
2
l
Zf(y) sin(ky) sin(k0y)dy = δkk0
e a condição de contorno (9) p(t, x; t, y) = δ(x− y) em (55), podemosobter os coeficientes Ck.
Zp(t, x; t, y)| {z }
δ(x−y)
sin
µk0πly
¶dy = e−λk(t−t)| {z }
1
∞Xk=1
ZCksin
µk0πly
¶sin
µkπ
ly
¶| {z }
δkk0
eµ
σ2ydy
Ck = e−µ
σ2x sin
µkπ
lx
¶p(t, x; s, y) = e
µ
σ2(y−x)
∞Xk=1
e−λk(s−t) sinµkπ
ly
¶sin
µkπ
lx
¶(56)
com λk =12
³µ2
σ2+ k2π2
l2σ2´.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 19
6.2. Cálculo do Termo de Payoff de Call Knock-Out
Para calcular a integral
e−rd(T−t)UZ
L
max(ST −K, 0)p(t, St;T, ST )dST (57)
usaremos (56). A equação (57), em termos de log-variáveis é:
e−rd(T−t)lZ
0
max(Ley −K, 0)p(t, x;T, y)dy (58)
O procedimento usual é dividir esta integral em dois intervalos paraeliminar o operador max : uma integral, que vale zero, para valores dey tais que Ley < K; e outra, que não se anula, para o intervalo ondeLey > K. Como Ley > K ⇔ y > ln(K/L) = d, podemos escrever:
e−rd(T−t)
L
lZd
eyp(t, x;T, y)dy −K
lZd
p(t, x;T, y)dy
(59)
Para avaliar estas integrais, precisaremos da primitiva:Zeay sin(by)dy = eay
a sin(by)− b cos(by)
a2 + b2(60)
Criamos agora o operador Q(α, y) =Reαyp(t, x;T, y)dy, obtendo,
para a equação (56):
Q(α, y) =2
le
µ
σ2(y−x)eαy
∞Xk=1
e−λk(T−t) sin³kπ
x
l
´×á
µσ2+ α
¢sin¡kπ y
l
¢− kπlcos¡kπ y
l
¢¡µσ2+ α
¢2+¡k2π2
l2
¢ !
(61)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 20
Desta forma, para calcular (59), passa a ser só uma questão dedefinir Q através dos extremos apropriados das integrais. Temos, parao termo A da equação (3):
CallKnock−out = e−rd(T−t) {L [Q(1, l)−Q(1, d)]−K [Q(0, l)−Q(0, d)]}
(62)
7. Comportamento das probabilidades P+, P− e P surv.
Para a discussão que se segue, acerca do comportamento das prob-abilidades P+, P− e P surv, montamos um exemplo com os seguintesdados:
• T : tempo ao vencimento da opção, medido em anos (diasúteis/252);
• S : cotação do dólar à vista (spot), em Reais/Dólar;
• r : taxa de juros brasileira (em base contínua), em reais8;
8A taxa brasileira, txBR é obtida do mercado de DI (depósito interbancário)da bolsa de mercadorias e futuros (BM&F). Ela está em taxa "exponencial 252",com contagem em dias úteis (ano de 252 dias). Para converter para a "contínua",com base 252 de contagem, utilizamos a seguinte fórmula:
(1 + txBR)T(dıas uteis)
252 = eT(dıas uteis)
252 r
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 21
• rf : taxa de juros americana (em base contínua), em dólar9;
• σ :volatilidade do processo relacionado ao dólar, anualizada;
• U : barreira de alta;
• L : barreira de baixa;
Os dados que ficarão fixos são r = 10, 436% e rf = 5, 8269% eσ = 10%a.a. Utilizamos T = 1, variando-o somente no último gráfico.Em cada gráfico, apontamos os valores das cotações que permaneceramfixos.No gráfico 1, variamos a barreira U , mantendo fixos a bareira
L = 1, 5 e o ativo-base S = 1, 75. A estes níveis de cotação, quandoU é alto (∼ 3), a probabilidade de tocar L (P−) é maior, pois suacotação está mais próxima de S. Como o drift é positivo, a tendênciaé de o ativo S crescer, desprezando a volatilidade. Isto faz com que,ao aproximarmos U de S, a probabilidade P+ cresça rapidamente (eP− decresça rapidamente). Quanto à P surv, enquanto há baixa prob-abilide de toque, ela se mantém a níveis altos (∼ 100%), decaindo àmedida que a chance de haver toque da barreira U aumenta.
9A taxa estrangeira, txf é obtida do mercado de cupom de dólar, DDI (siglapara swap dólar-DI), da bolsa de mercadorias e futuros (BM&F). Ela está em taxa"linear 360", com contagem em dias corridos. Para converter para a "contínua",com contagem em dias úteis (ano de 252 dias), utilizamos a seguinte fórmula:
(1 + txfT (dias corridos)
360) = e
T(dıas uteis)252 rf
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 22
Probabilidades
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
32,9
22,8
42,7
62,6
8 2,6 2,52
2,44
2,36
2,28 2,2 2,1
22,0
41,9
61,8
8 1,8
Barre ira U variando (barre ira L fixa)
P+ e
Pso
brev
ivên
cia
0,0000%
1,0000%
2,0000%
3,0000%
4,0000%
5,0000%
6,0000%
7,0000%
P-
P+prob survP-
1,75S=1,5L=
Gráfico1. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando S e L e variandoU .
No gráfico 2, variamos a barreira L, mantendo fixos a bareira U =2, 5 e o ativo-base S = 1, 75. A estes níveis de cotação, aprobabilidadede S tocar L é maior, pois sua distância ao nível do ativo é menor(veja que S − U = 0, 75 e S − L = 0, 25). À medida que L aumenta,também aumenta P−, mas tal aumento se dá a taxas menores queno caso anterior, pois a tendência (drift) é positiva. Quanto à P surv,enquanto há baixa probabilide de toque, ela se mantém a níveis altos(∼ 90%), decaindo (mais lentamente, também, que no caso anterior)à medida que a chance de haver toque da barreira L aumenta.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 23
Probabilidade s
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
0,14%
0,16%
1,51,5
21,5
41,56
1,58
1,61,62
1,64
1,66
1,681,7 1,7
21,7
4
Barre ira L v ariando (barre ira U fixa)
P+
0,00%
10,00%
20,00%30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%80,00%
90,00%
100,00%
P- e
Pso
brev
ivên
cia
P+P-prob surv
1,75S= 2,5U=
Gráfico 2. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando S e U e variandoL.
No gráfico 3, variamos o valor do ativo-base S, mantendo fixos abareira U = 2, 5 e L = 1, 5. Ao redor de S = 1, 5, a probabilidade de Stocar L é maior, e a probabilidade de sobrevivência é nula. À medidaque S transita pela região entre L e U , P surv aumenta, mas volta adecrescer quando S se aproxima de U . P− vai a zero no momentoem que P+ passa a ganhar valor. Novamente, devido ao fato de atendência (drift) ser positiva, o aumento de P+ de forma assimétricacom relação a P− : esta cai mais rapidamente, indo praticamente azero quando S−L = 1, 9−1, 5 = 0, 4 e U−S = 2.5−1, 9 = 0, 6. Comdrift zero, temos igualdade no comportamento: o ponto de zeragemde P− (e começo de crescimento de P+) tende a ser em S = 2, 0, ouseja, quando há eqüidistância: S − L = S − U = 0, 5. Este fato éretratado no gráfico 4.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 24
Probabilidades
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
1,51 1,57
1,63
1,69
1,75
1,81 1,87 1,93 1,99
2,05
2,11
2,17
2,23 2,29 2,35 2,41
2,47
Ativo-Base S variando (barre iras fixas)
P+, P
- e P
sobr
eviv
ênci
a
P+P-prob surv
L=2,5U=
1,5
Gráfico 3. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L e U e variandoS. O drift é positivo.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 25
Probabilidades
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
1,51
1,57
1,63
1,69
1,75
1,81
1,87
1,93
1,99
2,05
2,11
2,17
2,23
2,29
2,35
2,41
2,47
Ativo-Base S variando (barreiras fixas)
P+, P
- e P
sobr
eviv
ênci
a
P+P-prob surv
L=2,5U=
1,5
Gráfico 4. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L e U e variandoS. O drift é nulo.
No gráfico 5, variamos T (em anos), mantendo fixos o valor doativo-base S = 1, 75 e os valores das bareiras U = 2, 5 e L = 1, 5.Verifica-se que se estivermos próximos ao vencimento (T ∼ 0) comestes valores de S, L e U , então há alta probabilidade de sobrevivên-cia, pois a chance de S mover-se a ponto de alcançar uma das barreirasem poucos dias é mínima, sob a volatilidade (σ) considerada. Ade-mais, a proximidade de S com relação à barreira L faz-se sentir porcerto tempo, até que a barreira U ganha importância, devido ao driftpositivo. O gráfico 6 mostra que, se não houvesse drift, não haveriacruzamento entre as probabilidades e o fato de S partir mais próximode L far-se-ia sentir mais fortemente através de uma probabilidade detoque em L sempre superior a U .
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 26
Probabilidades
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
0,004
0,333
0,667
1,000
1,333
1,667
2,000
2,333
2,667
3,000
3,333
3,667
4,000
4,333
4,667
5,000
5,333
Tempo ao vencimento variando (barreiras e ativo-base fixos)
P+, P
- e P
sobr
eviv
ênci
a
P+P-prob surv
L=2,5U=1,5
1,75S=
Gráfico 5. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L, U e S,variando T . O drift não é nulo.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 27
Probabilidades
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
0,004
0,333
0,667
1,000
1,333
1,667
2,000
2,333
2,667
3,000
3,333
3,667
4,000
4,333
4,667
5,000
5,333
T empo ao vencimento variando (barre iras e ativo-base fixos)
P+, P
- e P
sobr
eviv
ênci
a
P+P-prob surv
L=2,5U=1,5
1,75S=
Gráfico 6. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L, U e S,variando T . O drift é nulo.
8. Conclusão
Concluindo, completamos o cálculo do preço da opção Call knock-out, dada por (62), com rebates deferred, que envolvem (47) e (48),segundo (3). Tal cálculo envolveu as equações de Kolmogorov paraas densidades de probabilidade de toque e de sobrevivência, que re-solvemos ora aplicando transformada de Laplace (casos g+ e g−), orasérie de Fourier (p). Adicionalmente, analisamos o comportamentodas probabilidades de sobrevivência e do ativo-base tocar barreiras.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 28
9. Apêndice
9.1. Equação Backward de Fokker-Planck
Neste apêndice mostramos como a equação backward de Fokker-Planck pode ser deduzida a partir da equação de Kolmogorov-Chapman10.Para a dedução, adotaremos uma notação para p(t0, x0; t, x) diferenteda que foi usada neste artigo. Aqui, p(t0, x0; t, x) indica a probabilidadede a variável estar em (t, x) e evoluir para (t0, x0).A equação de Kolmogorov-Chapman advém da seguinte equação,
válida para qualquer processo estocástico:
p(x1, t1) =
Zdx2p(x1, t1;x2, t2) =
Zdx2p(x1, t1|x2, t2)p(x2, t2)(63)
, t1 > t2 > t3...Também podemos continuar escrevendo
p(x1, t1|x3, t3) =
Zdx2p(x1, t1;x2, t2|x3, t3) (64)
=
Zdx2p(x1, t1|x2, t2;x3, t3)p(x2, t2|x3, t3) (65)
Sob a hipótese markoviana, a última equação pode ser reescrita:
p(x1, t1|x3, t3) =Z
dx2p(x1, t1|x2, t2)p(x2, t2|x3, t3) (66)
Esta é a equação de Kolmogorov-Chapman.Dado um processo para uma variável x:
dx = b(t, x)dt+ a(t, x)dW (67)
10Veja Gardiner (2003) para a dedução da equação de Kolmogorov-Chapman.
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 29
, onde dW corresponde a um processo com distribuição N(0, 1), tra-balharemos sob a hipótese de as seguintes relações serem válidas:
limt0→t
1
t0 − t
Z|x0−x|<v
(x− x0)(x− x0)2
(x− x0)3
p(t0, x0; t, x)dx =
b(t, x)a(t, x)0
(68)Voltando à equação de Kolmogorov-Chapman,
p(x00, t00;x, t) =Z
dx0p(x00, t00;x0, t0)p(x0, t0|x, t) (69)
Considere uma função Ψ(x). Temos, por (69):Zp(t00, x00; t, x)Ψ(x)dx−
Zp(t00, x00; t0, x0)p(t0, x0; t, x)Ψ(x)dxdx0 = 0(70)
Expandindo em torno de x0:
Ψ(x) = Ψ(x0) +Ψx0(x0) · (x− x0) +
1
2Ψx0x0(x
0) · (x− x0)2+ ...(71)
Em (70):
Zp(t00, x00; t, x)Ψ(x)dx−
Zp(t00, x00; t0, x0)Ψ(x0)dx0 (72)
−Z µZ
(x− x0) · p(t0, x0; t, x)dx¶·Ψx0(x
0) · p(t00, x00; t0, x0)dx0
−12
Z µZ(x− x0)2 · p(t0, x0; t, x)dx
¶·Ψx0x0(x
0) · p(t00, x00; t0, x0)dx0
= 0
As variáveis x e x0 no primeiro e segundos termos, respectivamente,são dummy e podem ser trocadas para permitir agrupamento dos mes-mos. Na segunda e terceira linhas utilizamos a equação (68)
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 30
Zp(t00, x00; t, y)Ψ(y)dy − p(t00, x00; t0, y)Ψ(y)dy (73)
−Z ·
b(t, x)Ψx0(x0) +
1
2a(t, x)Ψx0x0(x
0)¸· p(t00, x00; t0, x0)dx0
= 0
Na primeira linha, identificamos a variação de p quando há evoluçãode t para t0, que corresponde à derivada temporal de p, ou seja,∂p(t00, x00; t, y)/∂t. Na segunda linha, como a e b dependem de x et, que não são variáveis de integração, podem sair da integral. Nova-mente, como as variáveis são dummy, podemos trocá-las:
ZΨ(x)
∂
∂tp(t0, x0; t, x)dx (74)
−b(t, x)Z
Ψx(x) · p(t0, x0; t, x)dx
−12a(t, x)
ZΨxx(x) · p(t0, x0; t, x)dx (75)
= 0
Aplicando integração por partes no segundo e terceiro termos,
ZΨ(x)
∂
∂tp(t0, x0; t, x)dx (76)
+b(t, x)
ZΨ(x) · ∂
∂xp(t0, x0; t, x)dx
+1
2a(t, x)
ZΨ(x) · ∂2
∂x2p(t0, x0; t, x)dx
= 0
Assim,
Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 31
∂
∂tp(t0, x0; t, x) + b(t, x)
∂
∂xp(t0, x0; t, x) +
1
2a(t, x)
∂2
∂x2p(t0, x0; t, x) = 0
(77)
Equação backward de Fokker-Planck referente ao processo (67).
References
[1] Black, F., e M. Scholes (1973). ”The Pricing of Options and Cor-porate Liabilities”. Journal of Political Economy, 3, 637-654.
[2] Cox, D., e H. Miller (1965). Theory of Stochastic Processes, Chap-man and Hall, London.
[3] Hull, J. (2005). Options, Futures and Other Derivatives, PrenticeHall, New Jersey. 5th edition.
[4] Gardiner, C. (2003). Handbook of Stochastic Methods, Springer,New York, USA. 3rd edition.
[5] Oliveira, M. J., e T. Tomé (2001). Dinâmica Estocástica e Irre-versibilidade, Edusp, São Paulo. 1a edição.
[6] Pelsser, A. (1997). ”Pricing Double Barrier Options: An AnalyticalApproach”. Working Paper. ABN-Amro Bank.
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