UKURAN PENYEBARAN DATAMata kuliah : Statistika Terapan
Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc
Semester : II
Pertemuan : VI
Pokok Bahasan : Ukuran Penyebaran Data
PROGRAM STUDI AKUNTANSI PERPAJAKAN
Sub Pembahasan
1. Range
2. Deviasi kuartil
3. Simpangan absolut rata-rata
4. Ragam dan standar deviasi
RANGE • Range merupakan selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum
dalam suatu gugus data.
Contoh 1:
Besarnya keuntungan yang diperoleh pedagang selama lima bulanterakhir (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut:
5, 5, 5, 6, 6, 3 dan 7. Maka range-nya adalah 7 – 3 = 5.
• Mencari nilai range untuk data yang sudah dikelompokkan, adalah:→R = Batas bawah kelas terakhir – batas bawah kelas pertama
atau→R = Nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah.
Contoh 2:
• Diketahui distribusi frekuensi di bawah ini:No. Kelas Interval fi xi
1 31 – 40 1 35,5
2 41 – 50 2 45,5
3 51 – 60 5 55,5
4 61 – 70 15 65,5
5 71 – 80 20 75,5
6 81 – 90 25 85,5
7 91 – 100 5 95,5
Ʃfi = 73
Penyelesaian:
Berdasarkan tabel di samping.
Cara 1:
• Batas bawah kelas teakhir = 91
• Batas bawah kelas pertama = 31
Maka range, R= 91 – 31 = 60
Cara 2:
• Nilai tengah tertinggi = 95,5
• Nilai tengah terendah = 35,5
Maka range, R = 95,5 – 35,5 = 60
DEVIASI KUARTIL• Deviasi kuartil merupakan selisih nilai
kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1) dibagi dua.
• Rumus untuk menghitung deviasi kuartil data tidak dikelompokkan:
KD =𝑄3 − 𝑄1
2• Contoh: tentukan deviasi kuartil dari data
berikut: 35, 40, 70,80, 91, 50, 61, 25,95Penyelesaian:
25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95
1 2 3 4 5 6 7 8 9
• Letak kuartil 1: 𝑸𝟏 = 𝟏 ×𝟗+𝟏
𝟒= 𝟐, 𝟓
jadi kuartil pertama terletak di antara data ke-2 dan data ke-3.
• Nilai kuartil 1:
Nilai 𝑄1 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒2 +1
2(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒3 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒2)
Nilai 𝑄1 = 35 +1
240 − 35 = 35 +
1
2. 5 = 𝟑𝟕, 𝟓
• Letak kuartil 3: 𝑸𝟑 = 𝟑 ×𝟗+𝟏
𝟒= 𝟕, 𝟓
jadi kuartil ketiga terletak di antara data ke-7 dan data ke-8.
• Nilai kuartil 3:
Nilai 𝑄3 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒7 +1
2(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒8 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒7)
Nilai 𝑄7 = 80 +1
291 − 80 = 80 +
1
2. 11 = 𝟖𝟓, 𝟓
Maka deviasi kuartilnya adalah:
DK =𝑄3−𝑄1
2=
(85,5 −37,5)
2= 24
SIMPANGAN ABSOLUT RATA-RATA• Simpangan absolut rata-rata adalah jumlah
mutlak penyimpangan setiap nilai pengamatan terhadap rata-rata, dibanding banyaknya pengamatan. Simpangan absolut rata-rata mencerminkan rata-rata selisih mutlak nilai data terhadap nilai rata-rata.
1. Simpangan Absolut Rata-rata Untuk Data Tidak Dikelompokkan.
Rumusnya:
Di mana:
Xi = Nilai data ke-iത𝑋 = Rata-rata hitung
N = Banyaknya observasi
Contoh:
Pengeluaran per bulan dari lima orang iburumah tangga untuk keperluan biaya hidup(dalam ratusan ribu rupiah) pada tahun 2004,adalah sebagai berikut:
3 4 4,5 5 6.
Tentukan deviasi rata-ratanya!
Penyelesaian:
ҧ𝑥 =3 + 4 + 4,5 + 5 + 6
5= 4,5
𝑀𝐴𝐷 =3 − 4,5 + 4 − 4,5 + 4,5 − 4,5 + 5 − 4,5 + 6 − 4,5
5
= 0,80
𝑀𝐴𝐷 =σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
𝑁
2. Simpangan Absolut Rata-rata Untuk Data Dikelompokkan.
Contoh:
Diketahui distribusi frekuensi di bawah ini:
No. Kelas Interval fi Xi fi.x |Xi -ഥ𝑿| f.|Xi -ഥ𝑿|
1 53 – 58 2 55,5 111 19,88 39,76
2 59 – 64 12 61,5 738 13,88 166,56
3 65 – 70 10 67,5 675 7,88 78,80
4 71 – 76 23 73,5 1690,5 1,88 43,24
5 77 – 82 14 79,5 1113 4,12 57,68
6 83 – 88 10 85,5 855 10,12 101,20
7 89 – 94 5 91,5 457,5 16,12 80,60
8 95 – 100 4 97,5 390 22,12 88,48
Ʃ=80 Ʃ=6030 Ʃ=656,32
ҧ𝑥 =σ 𝑓𝑖𝑥𝑖σ 𝑓𝑖
=6030
80= 75,38
Jadi,
MAD =656,32
80= 8,204
Langkah 1 Langkah 2 Langkah 4
Langkah 3
Langkah 5
Langkah 6
RAGAM• Ragam adalah jumlah kaudrat dari selisih nilai observasi
dengan rata-rata hitung dibagi banyaknya observasi. Sedangkan standar deviasi adalah akar dari ragam tersebut.
1. Untuk data tidak dikelompokkan
• Formulasi ragam untuk populasi;
• Formulasi ragam untuk sampel;
𝜎2 =σ(𝑥𝑖 − 𝜇)2
𝑁𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜎2 =
σ𝑥𝑖2 −
(σ𝑥𝑖)2
𝑁𝑁
𝑠2 =σ(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2
𝑛 − 1𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠2 =
σ𝑥𝑖2 −
(σ𝑥𝑖)2
𝑛𝑛
Di mana:
Xi = Nilai tengah kelas ke-i
N = Banyaknya data populasi
n = Banyaknya data sampel
fi = Frekuensi kelas ke-i
Contoh 1: data tidak dikelompokkan
• Carilah standar deviasi dari data sebagai berikut: 5, 7, 8, 9, 10, 21
Penyelesaian:
X X - ഥ𝑿 (𝑿 − ഥ𝑿)𝟐
5 -5 25
7 -3 9
8 -2 4
9 -1 1
10 0 0
21 11 121
Ʃ=60 0 Ʃ=160
ҧ𝑥 =60
6= 10
𝑠2 =σ(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2
𝑛 − 1=
160
5= 32
𝑠 = 32 = 5,657
2. Untuk data dikelompokkan
• Formulasi ragam untuk populasi;
• Formulasi ragam untuk sampel;
𝜎2 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖
2 −(σ𝑓𝑖𝑥𝑖)
2
𝑁𝑁
𝑠2 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖
2 −(σ𝑓𝑖𝑥𝑖)
2
𝑛𝑛
Di mana:
Xi = Nilai tengah kelas ke-i
N = Banyaknya data populasi
n = Banyaknya data sampel
fi = Frekuensi kelas ke-i
Contoh 2: data dikelompokkan• Diketahui distribusi frekuensi di bawah ini:
Penyelesaian:
No. Kelas Interval fi Xi fi.x |𝑿𝒊 − 𝑿| |𝑿𝒊 − 𝑿|𝟐 f.|Xi -ഥ𝑿|𝟐
1 53 – 58 2 55,5 111 19,88 395,21 790,43
2 59 – 64 12 61,5 738 13,88 192,65 2311,9
3 65 – 70 10 67,5 675 7,88 62,094 620,94
4 71 – 76 23 73,5 1690,5 1,88 3,5344 81,291
5 77 – 82 14 79,5 1113 4,12 16,974 237,64
6 83 – 88 10 85,5 855 10,12 102,41 1024,1
7 89 – 94 5 91,5 457,5 16,12 259,85 1299,3
8 95 – 100 4 97,5 390 22,12 489,29 1957,2
Ʃ=80 Ʃ=6030 Ʃ=8322,8
ҧ𝑥 =σ 𝑓𝑖𝑥𝑖σ 𝑓𝑖
=6030
80= 75,38
Varian = 𝑠2 =8322,8
80= 105,352
Standar deviasi, 𝑠 = 105,352 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟔
Langkah 1 Langkah 2 Langkah 4 Langkah 5 Langkah 6
Done!
Latihan Soal.
1. Diketahui tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:
Interval Kelas Fi
20 – 29 1
30 – 39 4
40 – 49 7
50 – 59 13
60 – 69 25
70 – 79 15
80 – 89 5
Tentukanlah:
1. Deviasi rata-rata (MAD)
2. Varians (𝑠2)
3. Standar deviasi (s)
Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam
Penelitian.Bandung:Pustaka Setia
• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia
Top Related