Transformadas e Decomposição de Sub-
banda
Joaquim MacedoDepartamento de Informática da Universidade do Minho &
Faculdade de Engenharia da Universidade Católica de Angola
Sumário Tranformada Unitária 1-D Transformada Discreta de Fourier 1-D Transformada Discreta do Coseno 1-D Filtragem Digital e Análise de sub-banda
Filtros Digitais Análise de sub-banda Transformadas e Filtragem Digital
Transforma Discreta Wavelet 1-D Tranformada Unitária 2-D Transformada Discreta de Fourier 2-D Transformada Discreta do Coseno 2-D Transforma Discreta Wavelet 2-D
Transformada Unitária 1-D
unitária ada transformda matriz a é
)1,1(......)0,1(
............
............
)1,0(......)0,0(
e ada transformda escoeficient de matriz a é )(
10 ),()(,
como se-define l)(ortonorma unitária madaA transfor
onalunidimensi sequência uma ,10),( Seja
1
0
NNuNu
Nuu
kFF
Nk f(n)nkUkFfUF
Nnnf
N
n
Transformada Unitária 1-D
Ude base
vectoresos asconsiderad saõ Ude colunas ,10),,(
sequência da
sériespor çãorepresenta a aconsideradser pode acima equaçãoA
a transpostmatriz a e complexa oconjungaçã significam T e *
10 ),()()(,
como se-define inversa aunitári madaA transfor
*T*
1
0
**
Nnnku
f(n)
NnnkukFnfFUfN
n
T
Transformada Unitária 1-D
0k se 0
0k se 1)(
unitário impulso de discreta função a é )( Onde
)(),(),(
)(),(),(
condições seguintes as cumprirem se se unitária é matrizA
1
000
*
1
000
*
k
k
nnnkunku
kknkunku
N
k
N
n
Transformada Discreta de Fourier 1-D
1
0
1 N
n
knNWnf
NkF
nf - sequência discreta periódica com N amostras por período.
10 Nk DFT
IDFT10 Nn
kF - k-ésimo coeficiente DFT
1
0
1 N
k
knNWnF
Nnf
N
knjkn
N eW2
Transformada Discreta de Fourier 1-D
N
kjkn
NT
N
kjkn
N
eN
WN
knunkuUU
eN
WN
nkuU
2***1
2
11)},({)},({
por dadaFourier de inversa ada transformda Matriz
11)},({
por dadaFourier de ada transformda Matriz
Transformada Discreta de Fourier 1-DExemplo 5.1
Considere uma sequência de 4 pontos f={2,5,7,6}. Calcule os correspondentes coeficientes DFT. Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes DFT e das funções de base DFT
Transformada Discreta de Fourier 1-D
Transformada Discreta de Fourier 1-DPar alternativo
Definição do DFT alternativa Usada por muitas concretizações (MATLAB)
Diferença apenas de escala Ortogonal mas mas não ortonormal ou
unitária
1
0
N
n
knNWnfkF
1
0
1 N
k
knNWnF
Nnf
10 Nk
10 Nn
Propriedades da DFT Convulsão
Rapidez da concretização Conservação da Energia e
Compactação
frequência da domínio no Convulsão )()()()(
tempodo domínio no Convulsão )()()()(
KGkFngnf
KGkFngnf
21
0
21
0
)()(
N
k
N
n
kFnf
Convolução
)()()()( kGkFngnf
)()()()( kGkFngnf
Convolução Circular
Fast Fourier Transform
Os coeficientes da DFT de N pontos podem ser calculados multiplicando a matriz de transformação 2D pela matriz 1D O cálculo directo da DFT 1D para uma sequência de N-pontos requer N*N operações onde 1 operação = 1 multiplicação complexa + 1 adição complexa.
Há disponíveis algoritmos especiais com uma complexidade muito menor para calcular a DFT. Esses algoritmos são conhecidos como Fast Fourier Transform (FFT).
NN1N
2N
Diferentes algoritmos FFT
Radix-2
Radix-4
Split-Radix
Winograd
Prime Factor
Foram propostos na literatura vários algoritmos FFT. Alguns dos mais populares são os seguintes:
Algoritmo Radix-2
Radix-2 é um algoritmo popular para FFT.
Para transformada de N pontos a complexidade computaciona é borboletas
onde 1 borboleta = multiplicação complexa + 2 adições complexas
O algoritmo FFT usa um arranjo dos dados que parece uma borboleta.
NN 2log)2/(
Complexidade FT versus FFT
N N2
(FT Directo)
N log2 N (FFT)
Ganhos Computacionais N2/N log2 N
32 1024 160 6.4
256 65536 2048 32
1024 1048576 10240 102
8192 67108864
106496 630
Conservação da Energia
A Transformada de Fourier preserva a energia do sinal.
A energia do sinal no domínio do tempo ou pixel é idêntica à energia no domínio da frequência.
1
0
21
0
2)()(
N
k
N
n
kFnf
Embora a energia total não mude no domínio de Fourier, a energia é redistribuída entre os coeficientes de Fourier.
Exemplo 5.2 Construa um sinal unidimensional dos
valores de pixel da linha #100 da figura da Lena a preto e branco. Para evitar o componente DC torne o sinal com média 0 (substraia o valor da média de cada pixel). Calcula a DFT e a energia total nos 20
primeiros coeficientes de Fourier. Compare com a energia total do sinal.
Compactação de energia com a DFT
Linha horizontal (line# 100) da imagem da lena
Espectro de Amplitude
Transformada Discreta do Coseno 1-D A Transformada Discreta do Coseno (DCT)
unidimensional para a sequência de entrada f(n) é definida pelo seguinte par:
10 para
0 para
/2
/1)(
10 para )(2
)12(cos)()(
10 para 2
)12(cos)()()(
1
0
1
0
Nk
k
N
Nk
NnkFN
knknf
NkN
knnfkkF
N
k
N
n
Matriz da Transformada
)3(
)2(
)1(
)0(
)8/21cos()8/15cos()8/9cos()8/3cos(
)8/14cos()8/10cos()8/6cos()8/2cos(
)8/7cos()8/5cos()8/3cos()8/cos(
2/12/12/12/1
2
1
)3(
)2(
)1(
)0(
u
u
u
u
v
v
v
v
DCT 4 pontos
Matriz da Transformada Inversa
)3(
)2(
)1(
)0(
)8/21cos()8/14cos()8/7cos(2/1
)8/15cos()8/10cos()8/5cos(2/1
)8/9cos()8/6cos()8/3cos(2/1
)8/3cos()8/2cos()8/cos(2/1
2
1
)3(
)2(
)1(
)0(
v
v
v
v
u
u
u
u
V.B.: Vectores de Base
V.B.-1 V.B.-2 V.B.-3V.B.-0
Exemplo 5.3
Considere uma sequência de 4 pontos f={2,5,7,6}. Calcule os correspondentes coeficientes DCT. Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes DCT.
Exemplo 5.3
Fig 5.3,pag. 92
Propriedades do DCTEnergia da CompactaçãoA DCT tem um excelente desempenho de compatação de energia. Isto é demonstrado com um exemplo.
Exemplo 5.4Considere a linha de varrimento da imagem do Exemplo 5.2. Calcule o DCT e a energia total nos primeiros 20 coeficientes de Fourier. Compare-a com a Energia total do sinal. Compare o desempenho de compactação da energia da DCT e DFT.
Compactação da Energia com a DCT
A DCT tem um excelente desempenho na compactação da energia
512 pixels: energia total = 5103.11
Primeiros 20 coeficientes DFT capturam 76% daa energiaPrimeiros 20 coficientes DCT capturam s 83% da energia
Relações com a DFT Embora as funções de base da DCT sejam funções discretas de coseno a DCT não é a parte real da DFT.Contudo está relacionada com a DFT. A DCT da sequência Nx1
está relacionada com a seguinte sequência DFT
Existe uma transformada DCT rápida com uma complexidade computacional de ordem
Segundo, devido à simetria par da sequência equivalente DFT, o sinal recosntruído dos coeficientes DCT quantificados terão uma melhor representação das variações bruscas.
)}1(),.....1(),0({ Nfff
)}1(),.....0(),0(),1(),....2(),1({ NffffNfNf
)log( 2 NNO
Filtragem Digital e Análise de sub-banda As transformadas unitárias
São muitos úteis para análise do contéudo de frequência dum sinal
Métodos alternativos para análise de frequência de sinais multimédia Filtragem Digital Análise de sub-banda
Filtragem Digital
Filtro Um filtro é um componente que atenua
ou amplifica frequências particulares Fácil de visualizar no domínio da
frequência, onde a filtragem é uma multiplicação:
Onde F é o espectro da função, G é o espectro do filtro e H é a função filtrada. A multiplicação é ponto a ponto.
)()()( GFH
Parâmetros de Filtros
Banda de passagem
Banda de paragem
Banda de transição
Ondulação
(Ripple)
Frequência
Atenuação na stopband
Parâmetros do Filtro
Banda de Passagem: Os componentes da banda de frequência aos quais é permitido a passagem.
Banda de Paragem: Os componentes da banda de frequência que são suprimidos.
Banda de Transição: a banda de frequência entre a banda passagem e a de paragem onde o sinal varia de alto para baixo ou vice-versa
Ondulação: a máxima variação do ganho nominal permitida na banda de passagem ou de paragem.
Atenuação da Banda de Paragem: atenuação mínima dos componentes na banda de paragem.
Tipos de Filtros
cccc
2c1c 2c1c2c 1c1c2c
Lowpass(Passa-Baixo)
Highpass(Passa-Alto)
Bandpass(Passa-Banda)
Bandstop(Para-Banda)
Filtros ideais: 4 tipos básicos
Tipo de Filtros
Função: F Filtro: G
=
=
=
Resultado: H
Passa-Baixo
Passa-Alto
Passa-Banda
Tipos de Filtros
Filt
er G
ain
Frequency
Bandpass Filter
Frequency
Bandstop Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Highpass Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Transition Band
Passband
Stopband
Filt
er G
ain
Lowpass Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Bandpass Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Bandpass Filter
Frequency
Bandstop Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Bandstop Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Highpass Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Highpass Filter
Filt
er G
ain
Frequency
Transition Band
Passband
Stopband
Filt
er G
ain
Lowpass Filter
Frequency
Transition Band
Passband
Stopband
Filt
er G
ain
Lowpass Filter
Tipos de Filtros Digitais
Nou 0a(k):k Response) Impulse teIIR(Infini
N ek 0,a(k) Response) Impulse FIR(Finitefiltros de categorias
prévias saídas M as com actual amostra da
saída da adependênci a expressam que escoeficient)(
prévias entradas N as com actual amostra da
saída da adependênci a expressam que escoeficient-)(
)()()()()(
digital filtro dum saída e entrada ),( )(
00
ka
kb
knykaknfkbny
nyenfM
k
N
k
Tipos de Filtros Digitais
Filtros FIR (Finite Impulse Response)
Filtros IIR(Infinite Impulse response)
Os filtros FIR são constituídos por funções de resposta com número finito de pulsos que são fáceis de concretizar devido ao seu comprimento finito.
Os filtros IIR requerem uma resposta com um número infinito de pulsos que tornam a forma em convulsão difícil. Contudo, estes filtros são realizáveis.
Filtros FIR e IIR
Filtros Finite Impulse Response (FIR) Filters um númro finito de impulsos na sua resposta de impulso. Relação típica entre entrada e saída:
Os filtros Infinite Impulse Response (IIR) têm um número infinito de impulsos na sua resposta de impulso. Relação pica entre entrada e saída:
M
k
N
k
knykaknfkbny10
)()()()()(
N
k
)kn(f)k(b)n(y0
Os filtros IIR têm geralmente um elemento de feedback
outputinput
Tipos de Filtros Digitais
Frequência: pulso Tempo: sinc
Tipos de Filtros Digitais
Fig. 5.6, pag. 95
Resposta de Impulso do Filtro Passa baixo
Truncagem
A resposta de impulso do FPB ideal tem um número infinito de impulsos
Janelas Rectangular & Hamming
0 50 100 150 200 2500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Janela Rectangular M=35
1,...,1,0 Mn
10 Mn
Para outros valores de n
,0
,1nw
• Janela Rectangular • Janela Hamming
Nnnw 2cos46.054.0
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5Janela "Hamming" M=35
Ganho de Resposta dos filtros P.B.
Ganho da resposta em dB
Concretização de Filtros com o MatLabPassa Alto e Passa Baixo
Concretize um filtro P.F e P.A. com uma frequência de cortye de 3200 Hz para um sinal de áudio amostrado ao ritmo de 8000 amostras/seg.
Frequência de corte = 3200/8000 or 0.4.
filter_lowpass = fir1(8,0.4) ; % 8ª ordem, i.e. 9 implusos
filter_highpass = fir1(8,0.4,’high’) ;
Concretização de Filtros com o MATLABPassa Banda e Pára Banda
Concretize um filtro passa banda e outro para banda com frequências de corte normalizadas de 0.4 e 0.8.
filter_bandpass = fir1(8,[0.4 0.8])
filter_bandstop = fir1(8,[0.4 0.8],’stop’)
Exemplo de Filtros
Exemplos de filtros digitais FIR com 9 impulsos A frequência de corte dos filtros passa alto e baixo é 0.4 As frequências de corte dos filtros para e passa banda são [0.4,0.8]
Filtro Coeficientes
Passa-baixo
[-0.0061 –0.0136 0.0512 0.2657 0.4057 0.2657 0.0512 –0.0136 –0.0061]
Passa-alto [-0.0060 0.0133 -0.0501 -0.2598 0.5951 -0.2598 0.0501 0.0133 0.0060]
Passa-banda
[0.0032 0.0478 -0.1802 -0.1363 0.5450 - 0.1363 0.1802 0.0478 0.0032]
Para-banda [-0.0023 -0.0354 0.1336 0.1011 0.6061 0.1011 0.1336 -0.0354 -0.0023]
Características de Ganho na Frequência
Fitros de 9 Impulsos
Os filtros não têm ganhos com características escarpadas
Características de Ganho na Frequência
Filtros de 101-impulsos
Os filtros têm características de ganho escarpadas
Análise de sub-banda
Análise e síntese de sub-banda
Banco de
Filtros de
Análise
Banco de
Filtros de
Síntese
Processamento/Codificação/ Extracção de características
Sinal deEntrada
Sinal deSaída
Sub-bandas Sub-bandas1 1
2 2
N N
Banco de Filtros de 2 bandas
+
Processamento
)(nX )(^
nX
)(0 nx
)(1 nx
)(^
0 nX
)(^
1 nX
)(^
0 nx
)(^
1 nx
FPB
FPA
FPB
FPA
)(0 nv
)(1 nv
2
2
2
2
2
)(~
nh
)(~
ng
)(nh
)(ng
QMF: Quadrature Mirror Filter
0
Lowpass band Highpass band
4/SF 2/SF
Filte
r ga
in
0
Lowpass band Highpass band
4/SF 2/SF
Filte
r ga
in
Características do Ganho de Frequência do QMF
Categorias de Bancos de Filtros Reconstrução do Sinal
Reversível (Irreversíveis) a sequência de entrada (não)pode ser
perfeitamente reconstruída com os coeficientes não quantificados e o banco de filtros de síntese
Para-unitários A matriz de transformação num sentido é a
inversa da matriz de transformação no sentido contrário
Similar a uma transformada ortonormal
Condições de Para-Unitários
)()2()(1
0
kknhnhN
n
)(~)1()( 1 ngnh n
)1(~
)1()(~ 1 nNhng n
)(~
)1()( nhng n
Um banco de filtros de 2 bandas é chamado para-unitário se forem satisfeitas as 4 condições seguintes:
Se se encontrar que satisfaça Eq. (5.24), , , podem ser calculadas com as equações seguintes.
)(nh )(~
nh)(~ ng)(ng
……..(5.24)
……..(5.25)
……..(5.26)
……..(5.27)
Bancos de FiltrosCondições para para-unitários
)()1()(
)1()1()(
)()1()(
)()2()(
~
~1
~
~1
1
0
nhng
nNhng
ngnh
Kknhnh
n
n
n
N
n
Exemplo 5.5
Considere o filtro passa-baixo :
Os outros filtros obtêm-se da forma seguinte:
]1294.0 ,2241.0 ,8365.0 ,4830.0[)( nh
]1294.0 ,2241.0- ,8365.0 ,4830.0[)(~ ng
)0(~)0( gh )1(~)1( gh )2(~)2( gh )3(~)3( gh
Filtro passa-alto de análise
Exemplo 5.5 (..cont.)
]1294.0 ,2241.0- ,8365.0 ,4830.0[)(~ ng
)3(~
)1(~
)0(~ hNhg )2(~
)1(~ hg
)1(~
)2(~ hg )0(~
)3(~ hg
] 0.4830 ,8365.0 ,2241.0 ,1294.0[)(~
nhEntão
] 0.4830- ,8365.0 ,2241.0 ,1294.0[)( ng
)0(~
)0( hg )1(~
)1( hg )2(~
)2( hg )3(~
)3( hg
Então
Filtro passa alto de síntese
Filtro passa baixo de análise
Exemplo 5.6
Considere o filtro passa baixo:
Os outros filtros podem ser obtidos da seguinte forma:
]7071.0 ,7071.0[2/1 2/1)( nh
]7071.0- ,7071.0[)(~ ng
]7071.0 ,7071.0[)(~
nh
]7071.0 ,7071.0[)( ng
Filtro Passa alto de análise :
Filtro Passa baixo de análise
Filtro passa alto de síntese
Cálculo da saída de banco de filtrosExemplo 5.7
Considere o banco de filtros do Exemplo 5.6. Calcule a saída dos vários estágios do banco de filtros para a entrada:
]5 ,4 ,1 ,8 ,7 ,5 ,2 ,1[)( nx
Após o primeiro nível de filtros :
4.2426] 6.3640 3.5355 6.3640 10.6066 8.4853 4.9497 2.1213[
)(~
)()(0 nhnxnx
)(~)()(1 ngnxnx
2.8284] 0.7071- 2.1213- 4.9497 0.7071- 1.4142- 2.1213- -0.7071[
1213.27071.027071.01)0(0 x2426.47071.017071.05)7(0 x
Exemplo 5.7 (..cont)
Depois da dizimação:
6.3640] 6.3640 8.4853 2.1213[2)()( 00 nxnv
0.7071]- 4.9497 1.4142- -0.7071[2)()( 11 nxnv
Depois da sobre-amostragem
0.0] 6.3640 0.0 6.3640 0.0 8.4853 0.0 2.1213[)(ˆ0 nx
0.0] 0.7071- 0.0 4.9497 0.0 1.4142- 0.0 -0.7071[)(ˆ1 nx
Exemplo 5.7 (..cont)
Após filtro de síntese
4.500] 4.500 4.500 4.500 6.000 6.000 1.500 1.500[
0.500] 0.500- 3.500- 3.500 1.00 1.00- 0.50 -0.50[
)()(ˆ)( 00 nhnxnx
)()(ˆ)( 11 ngnxnx
Saída reconstruída
]5 ,4 ,1 ,8 ,7 ,5 ,2 ,1[)()()(ˆ 10 nxnxnx
Transformadas e Filtragem Digital As transformadas unitárias fornecem
coeficientes para diferentes frequências Os coeficientes de sub-banda também
disponibilizam coeficientes para as diferentes bandas idealmente não sobrepostas no domínio da frequência
Pode ser mostrado que as transformadas de bloco são um caso especial de banco de filtros
Transformadas e Filtragem Digital
Uma transformada de N-pontos pode ser calculada usando um banco de filtros de N bandas Cada filtro corresponde ao conjugado
complexo de uma função de base A saída de cada filtro é dizimada por N
Por cada conjunto de N amostras de entrada há uma saída para cada um dos N filtros
Essas saídas são basicamente os coeficientes da transformada.
Exemplo 5.8Relação entre transformada e filtragem
digital Considere a sequência de 12
pontos [{2,5,7,6},{1,3,9,4},{6,8,5,7}] Calcule os coeficientes DCT de
segunda ordem para cada bloco de 4 coeficientes
Pode-se concretizar o DCT como banco de filtros?
Exemplo 5.8 (cont.)
Usando Eq. (5.18), os coeficientes de 2da ordem de cada bloco podem
ser calculados como de cada bloco podem ser calculados como
{-3.1543, -3.5834, -0.6069, 0.1585}. Sim, os coeficientes DCT podem também ser concretizados usando um
banco de filtrosOs coeficientes de segunda ordem podem ser calculados passando a
sequência de entrada através dum filtros digital com a resposta de
impulso h = [cos(pi/8), cos(3*pi/8), cos(5*pi/8), cos(7*pi/8)] que é a
função de base de segunda ordem Observe que quando o filtro digital está em operação cada bloco de 4
amostras de entrada produzirá uma amostra à saída do filtros de
segunda ordem.
Transformadas wavelet
Limitações da Transformada de Fourier e derivadas
Têm funções de base com muitos impulsos É ineficiente para muitas aplicações
Fraco desempenho para análise de sinais não estacionários
Dificuldade de estimação das caraterísticas no tempo ou do espaço a partir da amplitude do espectro
Más características de flltragem Boa decomposição de sub-banda
Só para dados discretos Características unitárias não disponíveis à
partida
Porquê que funções de base longas podem ser indesejáveis?
As funções de base para FT contínuas são infinitamente longas.
As funções de base para a transformada discreta de Fourier não são infinitas mas são longas. -- Por exemplo, para a DFT de 256 pontos há 256 funções de base cada uma como 256 impulsos.
Em muitas aplicações tal como compressão do sinal, essas funções base longas não são desejáveis. -- Para representar um pequeno pulso rectangular são necessários uma série de componentes na frequência, o que pode degradar a taxa de compressão
FT longas e curtasFunções de base de Fourier (suporte infinito)
Funções de base de Fourier de tempo curto (suporte finito)
Resolução Tempo-Frequência
time time
frequência frequência
(a) (b)
STFT Wavelets
Funções de base de STFT e Wavelets
Transformada Discreta Wavelet 1-D
Transformada Wavelet Ferramenta potente e recente
Diversas aplicações em ciências e engenharia Melhores técnicas de transformada e
decomposição em sub-banda Pode ser considerada uma transformada ou
técnica de decomposição em sub-banda Não tem conjunto único de funções de base
Funções de base concebidas de acordo com a aplicação
Transformada Discreta Wavelet Directa
Uma dada transformada wavelet dyadic é definida de forma única por um filtro FIR passa-baixo e um FIR passa-alto .
Considere uma sequência discreta de N pontos
Os coeficientes DWT são calculados recursivamente usando as equações seguintes
[.]h [.]g
kc ,0 10 Nk
]2[,,1 kmhccm
mjkj
]2[,,1 kmgcdm
mjkj
12/0 1 jNk
Escala Localização
Passa-baixo
Passa-Alto
Decomposição Wavelet
Há uma série de observações a fazer:
A sequência de entrada pode ser considerada como os coeficientes DWT de escala 0 pode ser obtido pela convulsão de com e dizimando a saída da convulsão por 2 (devido ao factor 2k) pode ser obtido pela convulsão de com e dizimando a saída da convulsão por 2 A decomposição continua recursivamente. Apenas os coeficientes passa baixo são decompostos.
kc ,1 mc ,0 ][ nh
k,d1 mc ,0 ][ ng
Algoritmo em árvoreCálculo dos coeficientes da DWT
][ nh
][ nh
][ ng
][ ng
2
2
2
2jc
1jc
2jc
1jd
2jd
Decomposição de sinal com filtros de análise
Decomposição DWT usando matriz
j,7
j,6
j,5
j,4
j,3
j,2
j,1
j,0
1,3j
1,3j
1,2j
1,2j
1,1j
1,1j
1,0j
1,0j
c
c
c
c
c
c
c
c
h[2]-h[3]
h[1]h[0]
h[0]-h[1]h[2]-h[3]
h[3]h[2]h[1]h[0]
h[0]-h[1]
h[3]h[2]
h[0]-h[1]
h[3]h[2]
h[0]-h[3]
h[1]h[0]
h[0]-h[1]h[2]-h[3]
h[3]h[2]h[1]h[0]
d
c
d
c
d
c
d
c
A decomposição pode ser feita através duma multiplicação de matrizes A DWT duma sequência de 8 pontos pode ser calculada com filtros
passa-baixo e passa-alto de 4 implusos com a seguinte multiplicação de
matrizes :
Transformada Inversa DWTSíntese
Utilizando uma abordagem similar à decomposição em wavelet Os coeficientes duma dada escala
podem ser reconstruídos com coeficientes de escala superior
]2[]2[ ,1,1, l
ljk
kjmj lmgdkmhcc
Transformada Wavelet Inversa
Os coeficientes wavelet duma duma escala podem ser reconstruídos usando os coeficientes de escalas mais altas.
Os coeficientes reconstruídos podem ser expressos como se segue:
Os coeficientes wavelet duma da escala são sobreamostrados de 2 (i.e inserir um zero entre coeficientes consecutivos) Os coeficientes sobreamostrados são passados por um conjunto de filtros passa-baixo e passa-alto e a seguir adicionados para obter os coeficientes wavelet da escala de resolução superior seguinte.
]2[]2[ ,1,1, lmgdkmhccl
ljk
kjmj
Algoritmo em árvoreCálculo dos coeficientes da DWT
][nh
][ng
2
jc
1jc
1jc1jd
jd
Reconstrução de sinal com filtros de síntese
][nh
][ng
2
2
2
Matriz de Transformada Inversa
3,1
3,1
2,1
2,1
1,1
1,1
0,1
0,1
7,
6,
5,
4,
3,
2,
1,
0,
]2[]1[
]3[]0[
]0[]3[
]1[]2[]2[]1[
]3[]0[
]0[]3[
]1[]2[]2[]1[
]3[]0[
]0[]3[
]1[]2[]0[]3[
]1[]2[
]2[]1[
]3[]0[
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
d
cd
cdc
d
c
hh
hh
hh
hhhh
hh
hh
hhhh
hh
hh
hhhh
hh
hh
hh
c
cc
ccc
c
c
A DWT inversa de uma sequência de 8 pontos pode ser calculada com
filtros passa-baixo e passa-alto de 4 impulsos usando a seguinte
multiplicação de matrizes:
Wavelet 1-D: Decomposição e Síntese
)(~ ng
)(~
nh
)(0 nx
)(1 nx
)(0 nv
)(0̂ nx
2
2 2
2 )(nh
)(ng
)(1̂ nx)(1 nv
LPF LPF
)(ˆ nx)(nx
)(1 nx
)(0 nx
)(~ ng
)(~
nh
)(0 nx
)(1 nx
)(0 nv
)(0̂ nx
2
22 2
2 )(nh
)(ng
)(1̂ nx)(1 nv
FPB
FPA
FPB
FPA
Processamento
)(ˆ nx)(nx
)(1 nx
)(0 nx
Wavelets Daubechies de fase mínima
# Imps
n h[n]
N=2L=1
01
0.707106780.70710678
N=4L=2
0123
0.4829629131440.8365163037370.224143868042-0.129409522551
N=8L=4
01234567
0.2303778133080.7148465705520.630880767939-0.027983769416-0.187034811710.0308413818350.032883011666-0.010597401785
# Imps
n h[n]
N=12L=6
01234567891011
0.1115407433500000.4946238903980000.7511339080210000.315250351709000-0.226264693965000-0.1297668675670000.0975016055870000.027522865530000-0.0315820393180000.0005538422010000.004777257511000-0.001077301085000
DWT: Exemplo 5.9
Considere uma sequência de 4 pontos f=[2,5,7,6]. Decomponha a sequência com auxílio da wavelet de dois impulsos dada na tabela 5.3 (Wavelet Haar). Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes de Haar.
Exemplo 5.9 (cont.)
O coeficientes de Haar do 1º estágio (i.e., escala 1) podem ser calculdoscom:
71.0
19.9
12.2
95.4
6
7
5
2
707.0707.000
707.0707.000
00707.0707.0
00707.0707.0
]0[]1[00
]1[]0[00
00]0[]1[
00]1[]0[
3,0
2,0
1,0
0,0
1,1
1,1
0,1
0,1
c
c
c
c
hh
hh
hh
hh
d
c
d
c
Na segunda iteração da recursividade são usados apenas os coeficientes passa baixo
3
10
19.9
95.4
707.0707.0
707.0707.0
]0[]1[
]1[]0[
1,1
0,1
0,2
0,2
c
c
hh
hh
d
c
Exemplo (..cont)
Após rearranjos os coeficientes de Haar ficam
,,,[ 0,10,20,2 ddc ]1,1d = [10 -3 -2.12 0.71]
Reconstrução do sinal
19.9
95.4
3
10
707.0707.0
707.0707.0
]0[]1[
]1[]0[
0,2
0,2
1,1
0,1
d
c
hh
hh
c
c
6
7
5
2
71.0
19.9
12.2
95.4
707.0707.000
707.0707.000
00707.0707.0
00707.0707.0
]0[]1[00
]1[]0[00
00]0[]1[
00]1[]0[
1,1
1,1
0,1
0,1
3,0
2,0
1,0
0,0
d
c
d
c
hh
hh
hh
hh
c
c
c
c
Funções de base para a Wavelet Haar
Fig. 5.13, pag 108
Transformadas 2D
Transformada Unitária 2-D Transformada 1-D
Útil para análise de sinal 1-D Transformada 2-D
Necessária para análise de sinais 2-D Exemplo: imagens Baseada na extensão dos conceitos 1-D
Transformada Unitária 2-D
1
0
1
0
),(),;,(),(N
m
N
n
nminmlklk
1
0
1
0
),(),;,(),(N
k
N
l
lklknmnmi
A transformada directa e inversa 2-D são definida com
),( nmiI onde
(.)(.)
= Imagem NxN
= Núcleo da t.directa
= Núcleo da t.inversa
Exemplo: Fourier Cosine Wavelet Hadamard Haar
Transformada Unitária 2-DPropriedades Conservação da Energia
Soma dos erros quadráticos
Imagens de Base separáveis
221
0
1
0
21
0
1
0
2),(),(
IlknmiN
m
N
n
N
m
N
n
1
0
1
0
2^1
0
1
0
2^
),(),(),(),(N
m
N
n
N
m
N
n
lklknminmi
T
T
I
I
*
*
Propriedades da Transforma 2-DConservação da energia
Pode ser mostrado que os coeficientes da transformada 2D unitária satisfazem a relação de Parseval’s, i.e. A energia total no domínio da frequência é igual à energia total no domínio do tempo
1
0
1
0
21
0
1
0
2),(),(
N
k
N
l
N
m
N
n
lknmi
A transformada unitária preserva a energia do sinal ou de forma equivalente o comprimento no espaço vectorial N-dimensional.
Pode ser considerada simplesmente como uma rotação do vector no espaço vectorial N-dimensional. Por outras palavras, a transformada unitária roda as coordenadas de base e os componentes (coeficientes da transformada) são as projeções no novo sistemas de coordenadas.
Soma dos quadrados de erros
Assuma que valor de algun(s) dos coeficientes da tarsnformada
muda durante o processamento. Esta mudança pode ocorrer na
transmissão ou compressão de dados.Se recosntruímos a imagem claculando a transformada inversa
usando os coeficientes mudados, a imagem reconstruída é
diferente da original. Pode-se mostrar a seguinte igualdade é sempre verdadeira para
transformadas unitárias
1
0
1
0
21
0
1
0
2),(ˆ),(),(ˆ),(
N
k
N
l
N
m
N
n
lklknminmi
Pixéis Píxeis Coeficientes Coeficientes originais Reconstruídoss originais mudados
Imagens de base separáveis
Alguns núcleos 2-D podem ser expressos como o produto de 2
funções ortogonais de base 1-D.
Se o operador de transformada 1-D for designado por as
transformadas directas e inversas podem ser expressas como
TI *
* TIUma transformada separável pode ser concretizada em 2 passos: -- Calcular a transformada unitária de cada fila da matriz da imagem .-- Calcular a transformada unitária de cada coluna dos coeficientes transformados intermédios .
Definição da DFT 2D
1,m0 W W),(1
),(
1lk,0 W W),(1
),(
por definido é 2D unitário DFTpar O
1
0
1
0
ln-N
km-N
1
0
1
0
lnN
kmN
NnlkN
nmi
NnmiN
lk
N
k
N
k
N
m
N
n
N
jWN
2exp
onde
Exemplo DFT 2D
Calcular a DFT e desenhar o espectro de amplitude da seguinte image 32x32.
otherwise 0
248&171615 1),(
nnmi
Observe que a imagem é basicamente um paralelepípedo rectangular. A transformada de Fourier duma função rectangular 1-D é a função sinc. Portanto, a transformada de Fourier duma função rectangular 2-D é a função sinc 2-D.
Exemplo DFT 2D (cont.)
Por clareza, o espectro (sinc 2D) foi centralizado (a frequência DC no meio). Observe que o rectângulo tem uma largura maior na horizontal quena vertical. Isto reflecte-se no espectro. O espectro tem melhor resolução de frequência na horizontal..
Propriedades da DFT 2D A maior parte das propriedades da
DFT 1D podem ser extendidas para a DFT 2D Convolução Correlação Conservação da Energia Soma mínima do erro quadrático
Propriedades da DFT 2DSeparabilidade
Pode ser mostrado que a DFT 2D é separável O cálculo da DFT para uma imagem pode
ser feito em dois passos simples Calcular a DFT 1D de cada fila da imagem
A fila é substituída pelos respectivos coeficientes DFT
Calcular a DFT 1D de cada coluna da imagem A coluna é substituída pelos respectivos
coeficientes DFT
Propriedades da DFT 2DSeparabilidade
m
n(0,0)
u(m,n)
N-1
N-1
m
l(0,0)
v´(m,l)
N-1
N-1
k
l(0,0)
v(k,l)
N-1
N-1
Transformada das filas
Transformada das colunas
Exemplo
Usando a abordagem de separação, calcular a DFT 2D para a imagem seguinte:
4172
3942
8251
7432
3183114
74718
31103116
4612468
2
1
jj
jj
jj
jj
Transformada da Fila
Transformada de fila dosCoeficientes
Imagem original
Transformada de coluna
3183114
74718
31103116
4612468
2
1
jj
jj
jj
jj
jjjj
jj
jjjj
jj
lkF
71921637210
3110314
37216719210
31263156
4
1),(
Transformada deFila dos coeficientes
Coeficientes DFT 2D depois da transformadade coluna
Conjugado simétrico dos dados Reais
Se a imagem é real, os coeficientes DFT satisfazem as propriedades desimetria seguintes
),(),( * lNkNlk
jjjj
jj
jjjj
jj
71921637210
3110314
37216719210
31263156
4172
3942
8251
7432
Compactação da Energia
A DFT disponibiliza uma compactação de energia significativa para a maioria das imagens.
Observa-se que a maior parte da energia está concentrada nos quatro cantos da imagem que representam as baixas frequências.
Coeficientes deBaixa Frequência
Espectro DFT
Definição da DCT 2D
1
1
0
1
0,m0 ),(
2
1)l(2ncos
2
1)k(2mcos )()(),(
11
0
1
0lk,0
2
1)l(2ncos
2
1)k(2mcos ),()()(),(
por definido é 2D NxN DCTpar O
NN
k
N
lnlk
NNlknmi
NN
m
N
n NNnmilklk
Imagens de base para DCT 2D
Figura 5.17, pag. 116
Propriedades da DCT 2D As propriedades da DCT 1D podem
ser prontamente expandidas para a 2D Compactação da energia na região de
baixas frequências A DCT 2D é separável
Os coeficientes podem ser calculados usando as transformadas de fila e de coluna
DCT 2D: Exemplo 5.12 Usando a abordagem da
separabilidade calcular a DCT 2D da imagem
4172
3942
8251
7432
Separabilidade
4172
3942
8251
7432
4.4132.07
99.2429
85.3176.38
92.5537.14Row Transform
08.464.169.016.0
76.45.335.23
81.227.558.123.2
62.55.041.314
Column Transform
2-D DCTCoefficients
Energy Compaction
As in the 1-D case, the 2-D DCT can compact energy of typical images very efficiently.
DCT Coeff. of Lena image
Most of the energy is concentrated in the low frequency region (upper left corner). It has been shown that DCT provides near optimal energy compaction performance for most natural images. As a result, it has been accepted as the transform kernel for most existing image and video coding standard.
Propriedades da DCT 2DCompactação da energia
Figura 5.18
DCT e DFT duma Imagem
DFT
DCT
Definição da DWT 2D Tal como na 1D não há um único núcleo de
transformação Há DWT 2D unitárias e outras que não
Wavelets bi-ortogonais (não unitárias) populares na compressão de imagens
Há DWT 2D separáveis e outras que não A maioria das DWT 2D são dyadic e separáveis
Na DWT 1D, cada nível de decomposição corresponde a 2 bandas de dados(alta e baixa resolução)
Na DWT 2D cada nível produz 4 bandas Baixa, bandas altas verticais, horizontais e diagonais
Wavelets 2D Separáveis
(1,1) b
a
f(x,y)
(1,1) b
a
(1,1) b
aF(x,v)
L H
LH
LL HL
HHF(u,v)
Row
Transform
Column
Transform
2-D
Image
HH
HL
LH
LL
2-D DWT(1 Stage)
HorizontalEdges
VerticalEdges
DiagonalEdges
(1,1) b
a
f(x,y)
(1,1) b
a
(1,1) b
aF(x,v)
L H
LH
LL HL
HHF(u,v)
Row
Transform
Column
Transform
2-D
Image
HH
HL
LH
LL
2-D DWT(1 Stage)
HorizontalEdges
VerticalEdges
DiagonalEdges
Wavelets 2-D
2-D
Image
HH
HL
LH
LL
2-D DWT(1 Stage)
Row
Transform
Column
Transform
HL LL HL
LH HH
2-D
Image
HH
HL
LH
LL
2-D DWT(1 Stage)
2-D
Image
HH
HL
LH
LL
2-D DWT(1 Stage)
Row
Transform
Column
Transform
HL LL HL
LH HH
Row
Transform
Column
Transform
HL LL HL
LH HH
Decomposição Wavelet da Imagem da Lena
Informacão Espacial e de Frequência
Todas as sub-bandas disponibilizam informação espacial e de
frequência
A estrutura espacial da imagem é visível em todas as sub-bandas.
Pode ser observada uma imagem na banda de mais baixa resolução.
As bandas de alta frequência disponibilizam as informação detalhada
(arestas) nas várias escalas.
Representação Multi-Resolução
A decomposição wavelet disponibiliza uma representação multi-
resolução da imagem.
Uma imagem grosseira é disponibilizada na banda de baixa
frequência.
Pode-se obter uma imagem de resolução mais alta calculando a
tarnsformada inversa das 4 sub-bandas de menor resolução.
A imagem com resolução total obtém-se calculando a transformada
inversa das 7 sub-bandas
Compactação de energia
As Wavelets têm um excelente desempenho na compactação da
energia. Os coeficientes de sub-bandas altas têm pequena magnitude.Assim pode ser conseguida uma maior compactação das imagens
quantificando os coeficientes wavelet.
530.4
3.45.4
8.4
11.315.7
26.4530.4
3.45.4
8.4
11.315.7
26.4
DWT 2D: Exemplo 5.13 Considere a imagem da Lena do Ex. 5.2.
Calcule A transformada wavelet de dois estágios
usando a wavelet de Daub com 4 impulsos Coeficientes da transformada Para os pixels das diferentes bandas calcule a
raiz da energia quadrática média
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