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Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemáticas
Trabajo Nº 1
Antofagasta, 26 de Abril de 2010
Integrantes:
Ignacio González Rut: 16.688.622-8
Jorge Quiroz
Rut: 17.302.286-7 Asignatura:
Calculo Numérico
Profesor:
Mario Salas G.
Ayudante:
Javier González P.
2
CONTENIDO
CONTENIDO .......................................................................................................................... 2
Explicación Teórica. ............................................................................................................... 3
Problema 1............................................................................................................................ 6
Problema 2............................................................................................................................ 8
Problema 3.......................................................................................................................... 12
3
Explicación Teórica.
Método de la bisección
Sea Rbaf ,: una función continua tal que 0 bfaf , entonces por el
teorema del valor intermedio existe un número bax , tal que 0xf , es decir, la curva
xfy intersecta al eje x en el punto 0,x .
Este método aproxima sistemáticamente los extremos del intervalo hasta obtener un
intervalo de ancho suficientemente pequeño en el que se localiza un 0 de la función f .
El proceso de decisión para subdividir el intervalo consiste en el punto medio del intervalo
2
bax
y luego ver:
1) Si xaxxfaf ,0
2) Si bxxbfxf ,0
3) Si xxxf 0
Luego de esto construimos una sucesión con 0nnx , donde
2
nnn
bax
. Si
0 nn bfaf tomar nn aa 1 y nn xb 1 .
En otros casos, tomar nn aa 1 y nn bb 1 . Así 0xf tiene una raíz en 11 , nn ba
Lo siguiente es útil para encontrar el número de iteraciones a utilizar dado un error
permitido. Sea baCf , y 0 bfaf ; Sea 0nnx la sucesión de puntos medios de la
bisección, es decir 2
nnn
bax
entonces existe un número real bax , tal que 0xf y
además nn
abxx
2||
, Nn en este caso está garantizada la convergencia de la sucesión:
xxnn
lim
4
Método de Newton-Raphson
Sean ''' ,,,: ffRbaf , funciones continuas cerca de la raíz x , de 0xf . Esta
condicionante se usa para desarrollar algoritmos que produzcan sucesiones 0nnx que converjan
a x más rápidamente que el método de la bisección o la regula falsi.
Supongamos que 0x está cerca de x , se define el punto 0,x como el punto de
intersección por la recta tangente a la curva xfy en el punto 0, xfx , si calculamos la
pendiente de esta recta tenemos:
0
'
0
01xf
xfxx
Teorema: Newton-Raphson
Sea baCf , y sea bax , tal que 0xf . Si 0'' xf entonces existe 0 tal
que la sucesión 0nnx donde
n
n
nnxf
xfxx
'1 converge a x , cualquiera que sea
xxx ,0 .
Teorema: Criterio de Fourier
Si 0 bfaf y xfxf ''' , son no nulas y conservan el signo para todo bax ,
entonces prosiguiendo de la aproximación inicial bax ,0 tal que 00
''
0 xfxf es posible
utilizando la fórmula n
n
nnxf
xfxx
'1 calcular la raíz de x con cualquier grado de exactitud.
5
Método de la secante
En el algoritmo de Newton-Raphson hay que evaluar dos funciones en cada iteración
nxf y nxf ' . Como ya hemos dicho, el cálculo de xf ' puede llegar a suponer un esfuerzo
considerable, es por eso que sería deseable disponer de un método que converja casi tan rápido
como el método de Newton-Raphson y que solo necesite evaluar xf y no xf '. Uno de estos
métodos es el de la secante.
Se parte con dos puntos iniciales ox y 1x cercanos a la raíz x . El punto 2x se obtiene al
intersectar el eje x con la recta secante que pasa por los puntos 00 , xfx y 11 , xfx . Si
se calcula la pendiente de esta se tiene que:
1
1
2
nn
nnn
nxfxf
xxxfxx
Criterio de convergencia Los siguientes son otros criterios de convergencia (o parada) que pueden aplicarse a
cualquiera de los métodos estudiados anteriormente.
Seleccionar una tolerancia 0 y generar ,........,, 21 xx hasta que se satisfaga una de las
siguientes condiciones:
1) || 1nn xx ó
2)
||
|| 1
n
nn
x
xx ó
3) nxf|
Donde t 105 , por ejemplo
6
Problema 1
Supongamos que las ecuaciones del movimiento de un proyectil son:
𝑥 = 𝑓 𝑡 = 2400 1 − 𝑒−𝑡15
𝑦 = 𝑔 𝑡 = 4605 1 − 𝑒−𝑡15 − 147𝑡
1) Usando el método de la Bisección con un error menor que 10-5, determine el
tiempo (en minutos) transcurrido hasta el impacto con el suelo, con diez cifras decimales
de precisión.
Desarrollo:
El proyectil impacta cuando 𝑦 = 𝑔 𝑡 = 0
La raíz de esta ecuación se
encuentra en:
𝑡 ∈ [25,26]
Por otra parte:
𝑡 − 𝑡∗ ≤𝑏 − 𝑎
2𝑛
Donde 𝑡 − 𝑡∗ = 10−5
Luego
26 − 25
2𝑛≥ 10−5 ⇒
1
2𝑛≥ 10−5
⇒ 2𝑛 ≥ 106 ⇒ 𝑛 ≥ln 106
ln 2
Tenemos que 𝑛 ≈ 16.6, con lo
cual la precisión se logra con al
menos n=17 iteraciones.
7
Denotamos por 𝑎0 , 𝑏0 = [25,26]
n a n b n t n g(a n ) g(b n ) g(t n )
0 25,0000000000 26,0000000000 25,5000000000 60,2278489330 -30,6779227091 15,2423717372
1 25,5000000000 26,0000000000 25,7500000000 15,2423717372 -30,6779227091 -7,6028627062
2 25,5000000000 25,7500000000 25,6250000000 15,2423717372 -7,6028627062 3,8487226094
3 25,6250000000 25,7500000000 25,6875000000 3,8487226094 -7,6028627062 -1,8698581685
4 25,6250000000 25,6875000000 25,6562500000 3,8487226094 -1,8698581685 0,9912389486
5 25,6562500000 25,6875000000 25,6718750000 0,9912389486 -1,8698581685 -0,4388583983
6 25,6562500000 25,6718750000 25,6640625000 0,9912389486 -0,4388583983 0,2763031368
7 25,6640625000 25,6718750000 25,6679687500 0,2763031368 -0,4388583983 -0,0812494227
8 25,6640625000 25,6679687500 25,6660156250 0,2763031368 -0,0812494227 0,0975339100
9 25,6660156250 25,6679687500 25,6669921875 0,0975339100 -0,0812494227 0,0081440068
10 25,6669921875 25,6679687500 25,6674804688 0,0081440068 -0,0812494227 -0,0365522672
11 25,6669921875 25,6674804688 25,6672363281 0,0081440068 -0,0365522672 -0,0142040200
12 25,6669921875 25,6672363281 25,6671142578 0,0081440068 -0,0142040200 -0,0030299791
13 25,6669921875 25,6671142578 25,6670532227 0,0081440068 -0,0030299791 0,0025570207
14 25,6670532227 25,6671142578 25,6670837402 0,0025570207 -0,0030299791 -0,0002364775
15 25,6670532227 25,6670837402 25,6670684814 0,0025570207 -0,0002364775 0,0011602721
16 25,6670684814 25,6670837402 25,6670761108 0,0011602721 -0,0002364775 0,0004618974
17 25,6670761108 25,6670837402 25,6670799255 0,0004618974 -0,0002364775 0,0001127100
La raíz de esta ecuación se encuentra en 𝑡17 ≈ 25.6670799255, con lo cual
concluimos que el proyectil choca con el suelo después de haber transcurrido 𝑡 ≈
25.6670799255 [𝑚𝑖𝑛]
2) Determine el alcance (en metros) del disparo con diez cifras decimales de
precisión.
Desarrollo:
Sabemos que 𝑡 ≈ 25.6670799255 [𝑚𝑖𝑛], es el tiempo que demora el proyectil en
chocar con el suelo y lograr su máximo alcance, con lo cual:
𝑥 = 𝑓 25.6670799255 = 2400 1 − 𝑒−25.6670799255
15
𝑥 ≈ 1966.416084
El proyectil logra un alcance de 𝒙 ≈ 𝟏𝟗𝟔𝟔.𝟒𝟏𝟔𝟎𝟖𝟒 [mt].
8
Problema 2
La curva formada por un cable colgante se llama catenaria. Supongamos que el punto más bajo de
una catenaria es el origen, entonces la ecuación de la catenaria es:
𝑦 = 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝛽 − 𝛽
1) Usando el método de Newton-Raphson con un error menor que 510
y con diez cifras
decimales de precisión. Pruebe que la catenaria que pasa por los puntos (±10,6) es:
𝑦 = 9.1889𝑐𝑜𝑠 𝑥
9.1889 − 9.1889
Desarrollo.
Como se nos indica la catenaria pasa por los puntos (±10,6). Además se supone que en el punto
(0,0) se presencia el punto intersección de la función.
La representación grafica de la función planteada en el punto 2.1
Como se puede apreciar, la grafica
es simétrica. Por lo que usaremos el
intervalo (0,10) como datos.
Considerando que se nos da el punto
(10,6), y nos piden demostrar que
β=9.1889. Reemplazamos x e y
respectivamente, y se define una
nueva función que llamaremos ψ(β)
6 = 𝛽𝑐𝑜𝑠 10
𝛽 − 𝛽 ⇒ 𝛽𝑐𝑜𝑠
10
𝛽 − 𝛽 − 6 = 0
𝜓 𝛽 = 𝛽𝑐𝑜𝑠 10
𝛽 − 𝛽 − 6
9
Derivamos la función:
𝜓 ′ 𝛽 =−10𝑠𝑖𝑛
10𝛽
𝛽+ 𝑐𝑜𝑠
10
𝛽 − 1
Derivamos por segunda vez la función, para poder usar el Criterio de Fourier.
𝜓 ′′ 𝛽 =100𝑐𝑜𝑠
10𝛽
𝛽3
Determinamos dos funciones G(β) y H(β), tal que 𝜓 𝛽 = 𝐺 𝛽 − 𝐻(𝛽)
Sean:
𝐺 𝛽 = 𝛽 cosh 10
𝛽 𝐻 𝛽 = 𝛽 + 6
Evaluamos estas dos funciones en el intervalo (0,10]
β G(β) H(β) β G(β) H(β)
0,5 121291299 6,5 5 18,8109785 11
1 11013,2329 7 5,5 17,3881612 11,5
1,5 589,32995 7,5 6 16,450097 12
2 148,419897 8 6,5 15,8344247 12,5
2,5 68,2705821 8,5 7 15,4433472 13
3 42,1009483 9 7,5 15,2147439 13,5
3,5 30,5709962 9,5 8 15,107391 14
4 24,5291579 10 8,5 15,0929128 14,5
4,5 21,0064103 10,5 9 15,1511614 15
Para poder apreciar en qué punto se
intersecan estas funciones, se
graficara considerando el intervalo
[3,10]. Ya que para 𝐺 (0,3) son
valores muy altos y no se podría
apreciar bien la grafica.
Basados en la grafica, se dice que la
raíz se encuentra en [9,10].
En Efecto:
𝜓 9 = 0.151161444
𝜓 10 = −0.5691936518
𝜓 9 ∗ 𝜓(10) < 0
10
β ψ(β) ψ'(β) ψ''(β)
9 0,15116144 -0,82128139 0,23092762 + - +
9,1 0,07017153 -0,79867867 0,22122027 + - +
9,2 -0,00860573 -0,7770193 0,21205393 - - +
9,3 -0,08526203 -0,75625109 0,20339145 - - +
9,4 -0,15988403 -0,73632536 0,19519867 - - +
9,5 -0,23255367 -0,71719675 0,18744419 - - +
9,6 -0,30334853 -0,69882288 0,18009906 - - +
9,7 -0,37234208 -0,68116418 0,17313659 - - +
9,8 -0,43960397 -0,66418363 0,16653216 - - +
9,9 -0,50520026 -0,64784658 0,160263 - - +
10 -0,56919365 -0,63212056 0,15430806 - - +
Se garantiza, con β0=9,1 la convergencia del Método Newton Raphson.
Reemplazamos ψ(β) y ψ’(β) en el Método de Newton Raphson
𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −𝛽𝑛𝑐𝑜𝑠
10𝛽
− 𝛽𝑛 − 6
−10𝑠𝑖𝑛 10𝛽𝑛
𝛽𝑛+ 𝑐𝑜𝑠
10𝛽𝑛
− 1
n βn Error
0 9,1000000000 0,08890000
1 9,1878595273 0,00104047
2 9,1889412422 0,00004124
3 9,1889414022 0,00004140
Comprobamos que con 𝛽3 = 9.1889414022 se cumple 𝑦 10 = 6.
𝑦 10 = 9.1889414022𝑐𝑜𝑠 10
9.1889414022 − 9.1889414022
𝑦 10 = 6.0000000000165
Con 𝜷𝟑 = 𝟗. 𝟏𝟖𝟖𝟗𝟒𝟏𝟒𝟎𝟐𝟐 se cumple el enunciado.
11
2) Halle, usando el método de la Secante con un error menor que 510
y con diez cifras
decimales de precisión, la catenaria que pasa por los puntos 5,12
𝑦 = 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝛽 − 𝛽
Desarrollo:
Considerando que usamos la misma función, podemos deducir que es simétrica, por lo que
utilizaremos el intervalo (0,12]. Es decir, tendremos un punto (12,5), sabiendo esto reemplazamos
x e y de la ecuación.
5 = 𝛽𝑐𝑜𝑠 12
𝛽 − 𝛽 ⇒ 𝛽𝑐𝑜𝑠
12
𝛽 − 𝛽 − 5 = 0
𝜓 𝛽 = 𝛽𝑐𝑜𝑠 12
𝛽 − 𝛽 − 5
Reemplazamos 𝜓(𝛽) en el Método de la Secante.
𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −𝜓 𝛽𝑛 ∗ (𝛽𝑛 − 𝛽𝑛−1 )
𝜓 𝛽𝑛 − 𝜓 𝛽𝑛−1
Consideramos 𝛽0 = 9.0 y 𝛽1 = 9.1
n β n ψ(β n ) Error
0 9,0000000000 4,2576926476
1 9,1000000000 4,1271910339
2 12,2625593875 1,3553124508 0,2579037
3 13,8088955584 0,5505254337 0,11198116
4 14,8666877109 0,1117687587 0,07115184
5 15,1361494026 0,0112569789 0,01780253
6 15,1663281993 0,0002546571 0,00198986
7 15,1670267105 0,0000005933 4,6055E-05
8 15,1670283416 0,0000000000 1,0754E-07
Comprobamos que con 𝛽8 = 15.1670283416 se cumple 𝑦 12 = 5.
𝑦 12 = 15.1670283416𝑐𝑜𝑠 12
15.1670283416 − 15.1670283416
𝑦 12 = 5.0000000000226
Con 𝜷𝟖 = 𝟏𝟓. 𝟏𝟔𝟕𝟎𝟐𝟖𝟑𝟒𝟏𝟔 se cumple que 𝒚 𝟏𝟐 = 𝟓.
12
Problema 3
Para un flujo incompresible a régimen permanente con profundidad constante en un canal
prismático abierto, sea usa la fórmula de Manning
𝑉 =𝐶𝑚
𝑛 𝑅23
𝑆2
Donde Cm es 1 para unidades del sistema inglés del SI; V es la velocidad promedio en la sección
transversal; R es el radio hidráulico á𝑟𝑒𝑎
𝑝𝑒𝑟 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜, 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 y S son
las pérdidas por unidad de peso y unidad de longitud del canal, o la inclinación en el fondo del
canal, y n es el factor de rugosidad de Manning. Al multiplicar la ecuación de Manning por el área
de la sección transversal A, queda:
𝑄 =𝐶𝑚
𝑛𝐴 𝑅23
𝑆2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑚3
𝑠
Usando el método de Newton-Raphson con un error menor que 510
y con diez cifras
decimales de precisión, se desea saber qué profundidad se requiere para un flujo de
s
m3
4
en
un canal rectangular (como el de la figura) de concreto acabado (n=0.012) de mb 2 de ancho
y una inclinación de fondo (pendiente del canal) de 0.002.
y
b
13
Desarrollo:
Datos:
𝑛 = 0.012 𝑏 = 2 𝑚
𝑄 = 4 𝑚3
𝑠 𝑆 = 0.002
𝐶𝑚 = 1
𝑥 = 0.887510492522
Se puede apreciar que:
𝐴 𝑦 = 𝑏 ∗ 𝑦 ⇒ 2𝑦
𝑃 𝑦 = 𝑏 + 2𝑦 ⇒ 2(1 + 𝑦)
Reemplazamos los datos dados, obtenemos una función Q(y).
𝑄 𝑦 =1
0.012
𝐴 𝑦 5
𝑃 𝑦 2
3
0.0022 ⇒ 3.726779962 2𝑦 5
2 1 + 𝑦 2
3
𝑄 𝑦 = 7.453559924 𝑦5
(𝑦 + 1)2
3
Como nos piden obtener la altura Optima para el caudal indicado reemplazamos Q(y) por 4.
4 = 7.453559924 𝑦5
𝑦 + 1 2
3
⇒ 7.453559924 𝑦5
𝑦 + 1 2
3
− 4 = 0
𝛷 𝑦 = 7.453559924 𝑦5
𝑦 + 1 2
3
− 4
Derivamos la función.
𝛷′ 𝑦 = 7.453559924 𝑦 +4
3
𝑦2
𝑦 + 1 5
3
Derivamos por una segunda vez, para usar el Criterio de Fourier.
𝛷′′ 𝑦 = 7.453559924 𝑦2
𝑦 + 2 5
3
− 7.453559924 𝑦 −2
3 𝑦 +
4
3
1
𝑦 𝑦 + 1 8
3
14
Determinamos dos funciones G(y) y H(y), tal que:
𝛷 𝑦 = 𝐺 𝑦 − 𝐻(𝑦)
Sean:
𝐺 𝑦 = 7.453559924 𝑦5
𝑦 + 1 2
3
𝐻 𝑦 = 4
Evaluamos estas dos funciones en el intervalo (0,1.5]
y G(y ) H(y) y G(y ) H(y)
0,075 0,094738581 4 0,825 3,621971948 4
0,15 0,287552591 4 0,9 4,076294277 4
0,225 0,54188927 4 0,975 4,539346905 4
0,3 0,841272973 4 1,05 5,010064747 4
0,375 1,175476799 4 1,125 5,487552167 4
0,45 1,537467469 4 1,2 5,971049941 4
0,525 1,922129706 4 1,275 6,459909811 4
0,6 2,325604413 4 1,35 6,953574629 4
0,675 2,7449019 4 1,425 7,451562687 4
0,75 3,177658001 4 1,5 7,953455216 4
Para poder apreciar en qué punto se
intersecan estas funciones, se
graficara considerando el intervalo
(0,1].
Basados en la grafica, se dice que la
raíz se encuentra en [1, 1.125].
En Efecto:
𝛷 1.05 = −0.1557405885
𝛷 1.125 = 0.2434387411
𝛷 1.05 ∗ 𝜓(1.125) < 0
15
y n Φ(y) Φ'(y) Φ''(y)
0,1 -3,84930392 1,9636156 2180,70895 - + +
0,2 -3,54853276 2,88437404 241,641333 - + +
0,3 -3,15872703 3,52327997 57,1370657 - + +
0,4 -2,70666298 4,00318602 18,4796474 - + +
0,5 -2,20835107 4,37958628 7,29369453 - + +
0,6 -1,67439559 4,68350889 3,49366852 - + +
0,7 -1,11223931 4,93426896 2,10900773 - + +
0,8 -0,52731502 5,14471849 1,60979571 - + +
0,9 0,07629428 5,32381514 1,45489321 + + +
1 0,69544852 5,47802328 1,43472038 + + +
Se garantiza, con y0=0.8 la convergencia del método newton Raphson.
Reemplazamos Φ(y) y Φ’(y) en el Método de Newton Raphson
𝑦𝑛 +1 = 𝑦𝑛 −
7.453559924 𝑦𝑛
5
𝑦 + 1 2
3
− 4
7.453559924 𝑦𝑛 +43
𝑦𝑛2
𝑦𝑛 + 1 5
3
𝑦𝑛 +1 = 𝑦𝑛 −−0.5366563147(𝑦𝑛 + 1) (𝑦𝑛 + 1)23 − 1.863389981 𝑦𝑛
53
𝑦𝑛23 𝑦𝑛 +
43
n yn Error
0 0,80000000000000 0,087510492522
1 0,90249637918739 0,014985886665
2 0,88530908059219 0,002201411930
3 0,88784196321028 0,000331470688
4 0,88746076488270 0,000049727639
5 0,88751795683406 0,000007464312
Comprobamos que con 𝑦4 = 0.8875179568306 se cumple 𝑄 𝑦4 ≈ 4.
𝑄 𝑦4 = 7.453559924 0.8875179568306 5
0.8875179568306 + 2 2
3= 4.00004552378
Con 𝒚𝟒 se cumple que 𝑸 𝒚𝟒 = 𝟒.
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