Título do slide
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EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS SEM REPETICAO
2
Vimos que a avaliação quanto a significância estatística dos efeitos principais e interações pode ser feita pela análise de variância (ANOVA).
Restrição: Na ANOVA necessitamos que o número de repetições (ou réplicas) seja maior do que um (r >1), o que nem sempre ocorre num planejamento fatorial. Com apenas uma réplica não sobram graus de liberdade para estimar σ2.
Procedimentos de análise: Estimar σ2 com base em interações de ordem alta; Usar procedimentos gráficos para identificar possíveis efeitos ativos. Efeito ativo equivale a efeito do fator diferente de zero.
Quando não há réplicas, ainda assim e possível realizar a análise dos efeitos, através de procedimentos que identifiquem efeitos inativos, e assim considerá-los no resíduo.
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
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I - Diagrama de Pareto
Ferramenta qualitativa útil para a identificação visual de efeitos importantes em experimentos fatoriais com fatores em 2 níveis e 1 réplica. Ele mostra a porcentagem (%) da SQT que está associada a cada efeito estimado no modelo fatorial completo. Uma porcentagem alta dá indícios de fator ativo.
Gráficos de Pareto apresentam, por meio de barras, as contribuições em % à SQT em ordem decrescente, por barras e ao mesmo tempo são marcadas as % acumuladas.
Este método é fácil e rápido, mas pode conduzir a decisões erradas, já que nem sempre é conclusivo, dado que é uma ferramenta descritiva
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
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FATORES
EFE
ITO
S
(%)
22.5
15
4.53.5
21 0.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
4 2 1 12 14 3 OUTROS
Interpretação:
Efeitos que contribuem com pequena porcentagem, podem ser considerados inativos e colocados no resíduo.
Diagrama de Pareto
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
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EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
II – Dot Plot ou gráfico de pontos
O dot plot mostra as estimativas dos efeitos que são possíveis “outliers”ou valores discrepantes.
Como o objetivo é detectar efeitos nulos ou inativos no experimento, estimativas de fatores inativos tendem a se concentrar, no dot plot, próximo ao “zero”, que é o centro da distribuição. Um grande desvio do centro da distribuição sugere que o fator seja ativo.
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III - Papel de Probabilidade Normal (PPN)
É um método também fácil e rápido e mais eficaz do que o de Pareto, embora possam ocorrer situações onde ele não seja conclusivo.
Etapas da construção:(a) ordenar os valores dos efeitos estimados em ordem crescente.(b) calcular a probabilidade associada a cada valor, através da fórmula:
sendo i = ordem (ou posto) do efeito (i =1, 2, ..., t ) t = total de efeitos (tratamentos) a serem marcados no gráfico.
Essa probabilidade é conhecida como função acumulada empírica.
(c) marcar os valores do respectivo Efeito x P no PPN (d) verificar os pontos que se afastam do “zero”.
%100)5,0(
t
iP
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
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EFEITOS
z
PR
OB
AB
ILID
AD
E
.01
.05
.15 .25 .35 .45 .55 .65 .75 .85
.95
.99
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
Interpretação:
Quanto mais próximo de zero, mais inativo é o correspondente efeito ou interação. Nos dois gráficos, os dois pontos à direita corresponderiam a efeitos ativos
Papel de Probabilidade Normal
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
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Exemplo:
Num processo químico, executou-se um experimento sem repetição, num total de 16 corridas. Foi medido o rendimento da operação (Y) em função da temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e vazão (D), cada um em dois níveis. Os resultados na tabela a seguir. Há algum fator ou interação significativo?
Exp. A B C D Y123456789
10111213141516
-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1
-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1
-1-1-1-1+1+1+1+1-1-1-1-1+1+1+1+1
-1-1-1-1-1-1-1-1+1+1+1+1+1+1+1+1
71619082686187806150898359518578
Þ Experimento fatorial 24, sem réplicas
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
9
Exp. A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Y1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 71,002 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 61,003 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 90,004 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 82,005 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 68,006 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 61,007 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 87,008 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 80,009 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 61,00
10 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 50,0011 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 89,0012 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 83,0013 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 59,0014 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 51,0015 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 85,0016 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 78,00
S"-"/8 76,25 60,25 73,38 75,00 71,75 71,88 72,25 72,88 70,00 72,13 72,63 72,00 72,38 72,63 72,38S"+"/8 68,25 84,25 71,13 69,50 72,75 72,63 72,25 71,63 74,50 72,38 71,88 72,50 72,13 71,88 72,13Efeito -8,00 24,00 -2,25 -5,50 1,00 0,75 0,00 -1,25 4,50 0,25 -0,75 0,50 -0,25 -0,75 -0,25
Exemplo: Tabela de contrastes
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
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i Fator Efeito P(%)1 A -8 3,32 D -5,5 10,03 C -2,25 16,74 BC -1,25 23,35 ABC -0,75 30,06 BCD -0,75 36,77 ACD -0,25 43,38 ABCD -0,25 50,09 AD 0 56,710 CD 0,25 63,311 ABD 0,5 70,012 AC 0,75 76,713 AB 1 83,314 BD 4,5 90,015 B 24 96,7
Exemplo:Tabela de efeitos ordenados
20100
1
0
-1
Efeito
zA
D
BD
B
A: AB: BC: CD: D
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Interpretação: todos os efeitos de 3ª. ordem e o de 4ª. são inativos e seriam considerados como resíduos na ANOVA
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Nos experimentos vistos, o objetivo é identificar fatores que tem influência sobre a média da resposta. Entretanto, muitas vezes, o que se busca é uma combinação de fatores que minimize a variabilidade da resposta, ou seja, como devem ser ajustadas as diversas variáveis/fatores, de modo a reduzir a variação do produto ou processo. Isto também pode ser feito com o auxílio do papel de probabilidade normal (PPN), porém de um modo ligeiramente diferente daquele feito anteriormente:
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
• Realizar o experimento com pelo menos duas réplicas;• Calcular o desvio-padrão para cada experiência;• Calcular o logaritmo de cada desvio-padrão e considerar este como resposta
a ser analisada;• Calcular os efeitos principais e interações com os logaritmos dos desvios-
padrão e;• Analisar os resultados mediante o papel de probabilidade normal.
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Exemplo:
A pesagem de um certo tipo de produto tem apresentado variação excessiva, causando problemas à empresa no mercado, já que por diversas vezes esta foi multada. Desconfia-se que três fatores possam ser os responsáveis pela variação no peso: • balança (A): digital (-1) ou mecânica (+1)• turno (B): manhã (-1) ou tarde (+1)• embalagem (C): plástica (-1) ou metálica (+1)
O experimento foi feito com 3 repetições (r=3) e os resultados estão a seguir.
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Exp. A B C AB AC BC ABC s12345678
-1+1-1+1-1+1-1+1
-1-1+1+1-1-1+1+1
-1-1-1-1+1+1+1+1
+1-1-1+1+1-1-1+1
+1-1+1-1-1+1-1+1
+1+1-1-1-1-1+1+1
-1+1+1-1+1-1-1+1
1,082,021,181,510,502,851,161,83
13
Exp. A B C AB AC BC ABC s log s12345678
-1+1-1+1-1+1-1+1
-1-1+1+1-1-1+1+1
-1-1-1-1+1+1+1+1
+1-1-1+1+1-1-1+1
+1-1+1-1-1+1-1+1
+1+1-1-1-1-1+1+1
-1+1+1-1+1-1-1+1
1,082,021,181,510,502,851,161,83
0,03340,30540,01720,1790-0,30100,45480,06450,2625
S “-”/4 -0,05 0,12 0,13 0,21 0,06 0,09 0,18S “+”/4 0,30 0,13 0,12 0,05 0,19 0,17 0,07 efeito 0,35 0,01 -0,01 -0,17 0,13 0,08 -0,11
Calcular logaritmo dos desvios-padrão e completar as três últimas linhas:
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
14
i Efeito P1234567
-0,17-0,11-0,010,010,080,130,35
7,1421,4335,7150,0064,2978,5792,86
Emprega-se o Papel de Probabilidade Normal (PPN) e, para tanto, é necessário antes ordenar os efeitos:
z
PR
OB
AB
ILID
AD
E
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
A
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
O efeito associado ao fator A é o mais afastado de zero!!!
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EXERCÍCIOS
1) Os efeitos de sexo (fator A), gordura corporal, em % (fator B) e histórico de fumante (fator C) sobre a tolerância a exercícios foram estudados numa investigação em pequena escala com pessoas de 25 a 35 anos. A tolerância a exercícios foi medida, em minutos, até a fadiga enquanto um indivíduo estava pedalando uma bicicleta. Três indivíduos foram selecionados de cada grupo formado pelos cruzamentos dos níveis de cada fator e submetidos a um teste de “stress”.
Observe que cada fator tem 2 níveis: A – sexo: masc, fem
B – gordura corporal (%): baixa, alta
C – fumo: pouco, muito
Qual é a variável resposta?
Quantos tratamentos/experiências são possíveis?
Qual é o número total de observações?
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FUMO (C)
% GORDURA (B) SEXO (A) Pouco (-1) Muito (1)
Baixa (-1)
Masc (-1)24,129,224,6
17,618,823,2
Fem (1)20,021,917,6
14,810,311,3
Alta (1)
Masc (-1)14,615,312,3
14,920,412,8
Fem (1)16,19,310,8
10,114,46,1
EXERCÍCIO 1
Dados:
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Tabela de contrastes e estimativas dos efeitos:
EXERCÍCIO 1
18
EXERCÍCIO 2
2) Uma empresa deseja caracterizar os efeitos da temperatura de processamento (fator A), de um agente antimicrobiano (fator B), do nível de umidade (fator C) e da acidez (fator D) sobre o crescimento de micróbios numa barra de frutas. O crescimento microbiano é avaliado por meio da contagem de micróbios numa amostra do produto, após 3 meses de estocagem. Os quatro fatores foram estudados nos seguintes níveis :
Fator Nível baixo (-1) Nível alto (1)
A - Temperatura de processo 152 178
B - Agente (conservante) 0,0 0,1
C - Umidade 0,65 0,85
D - Acidez 4,8 6,8
Variável resposta:
19
Dados:
EXERCÍCIO 2
A0 A1
B0 B1 B0 B1
D0
C0
(1)
5,55
(3)
5,19
(2)
4,47
(4)
5,32
C1
(5)
10,54
(7)
5,08
(6)
11,56
(8)
5,45
D1
C0
(9)
5,12
(11)
6,18
(10)
5,63
(12)
5,24
C1
(13)
10,73
(14)
6,53
(15)
11,33
(16)
4,93
Uma réplica por tratamento
Fatores:
A - Temperatura de processo
B - Agente (conservante)
C - Umidade
D - Acidez
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Tratamento Y Resp A B C D 1 y0000 5,55 -1 -1 -1 -1 2 y1000 4,47 1 -1 -1 -1 3 y0100 5,19 -1 1 -1 -1 4 y1100 5,32 1 1 -1 -1 5 y0010 10,54 -1 -1 1 -1 6 y1010 11,56 1 -1 1 -1 7 y0110 5,08 -1 1 1 -1 8 y1110 5,45 1 1 1 -1 9 y0001 5,12 -1 -1 -1 110 y1001 5,63 1 -1 -1 111 y0101 6,18 -1 1 -1 112 y1101 5,24 1 1 -1 113 y0011 10,73 -1 -1 1 114 y1011 10,33 1 -1 1 115 y0111 6,53 -1 1 1 116 y1111 4,93 1 1 1 1
Micróbios
Tabela de contrastes
EXERCÍCIO 2
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Trat Y Resp A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD
1 y0000 5,55 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 2 y1000 4,47 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 3 y0100 5,19 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 4 y1100 5,32 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 5 y0010 10,54 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 6 y1010 11,56 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 7 y0110 5,08 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 8 y1110 5,45 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 9 y0001 5,12 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -110 y1001 5,63 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 111 y0101 6,18 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 112 y1101 5,24 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -113 y0011 10,73 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 114 y1011 10,33 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -115 y0111 6,53 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -116 y1111 4,93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Micróbios
EXERCÍCIO 2
Soma "-"/23
Soma "+"/23
Efeitos -0,2488 -2,5013 2,8063 0,1913 -0,2613 0,0963 -0,3588 -2,7913 0,2688 -0,2187 -0,2013 -0,4013 -0,4888 0,2238 0,2638
22
Factorial Fit: Resp versus A; B; C; D
Estimated Effects and Coefficients for Resp (coded units)
Term Effect CoefConstant 6,741A -0,249 -0,124B -2,501 -1,251C 2,806 1,403D 0,191 0,096A*B -0,261 -0,131A*C 0,096 0,048A*D -0,359 -0,179B*C -2,791 -1,396B*D 0,269 0,134C*D -0,219 -0,109A*B*C -0,201 -0,101A*B*D -0,401 -0,201A*C*D -0,489 -0,244
Micróbios
MINITAB Stat DOE Factorial Analyze factorial design
EXERCÍCIO 2
Detectar possíveis interações inativas (ou nulas) para compor resíduo na ANOVA.
23
Micróbios – Gráfico de Pareto
EXERCÍCIO 2
Estimativas dos efeitos B, C e BC são muito maiores do que as dos demais
24
EXERCÍCIO 2
Confirmando conclusão pelo gráfico de Pareto.
Micróbios - PPN
25
Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F
Fator A 1 SQA =22 r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=QMA/QMEr
Fator B 1 SQB=22r(efeito B)2 QMB= SQB =SB2 FB=QMB/QMEr
Fator C 1 SQC=22r(efeito C)2 QMC= SQC =SC2 FC=QMC/QMEr
Fator D 1 SQD=22r(efeito D)2 QMD= SQD=SD2 FD=QMD/QMEr
Interação AxB 1 SQAB= 22r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=QMAB/QMEr
Interação AxC 1 SQAC= 22r(efeito AC)2 QMAC= SQAC =SAC2 FAC=QMAC/QMEr
Interação AxD 1 SQAD= 22r(efeito AD)2 QMAD= SQAD =SAD2 FAD=QMAD/QMEr
Interação BxC 1 SQBC= 22r(efeito BC)2 QMBC= SQBC =SBC2 FBC=QMBC/QMEr
Interação BxD 1 SQBD= 22r(efeito BD)2 QMBD= SQBD=SBD2 FBD=QMBD/QMEr
Interação CxD 1 SQCD= 22r(efeito CD)2 QMCD= SQCD =SCD2 FCD=QMCD/QMEr
Erro 7 SQEr QMEr = SQEr/7= SE2
Total 15 SQT
Micróbios - Tabela de ANOVA
estimativa de 2
EXERCÍCIO 2
Título do slide
26
F1 F2 F3
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