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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO
DEPARTAMENTODECINCIASAMBIENTAISETECNOLGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
JOO PAULO DE BARROS CAVALCANTE
ESTUDO DE TRELIAS PLANAS NO REGIME NO LINEAR FSICO: REVISOE APLICAES COMPUTACIONAIS
MOSSOR-RN2014
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JOO PAULO DE BARROS CAVALCANTE
ESTUDO DE TRELIAS PLANAS NO REGIME NO LINEAR FSICO: REVISOE APLICAES COMPUTACIONAIS
Monografia apresentada a UniversidadeFederal Rural do Semi-rido UFERSA,Departamento de Cincias Ambientais eTecnolgicas para a obteno do ttulo deEngenheiro Civil.
Orientador (a): Prof. M.Sc. Raimundo Gomesde Amorim Neto - UFERSA
MOSSOR-RN
2014
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O contedo desta obra de inteira responsabilidade de seus autores
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Biblioteca Central Orlando Teixeira (BCOT)
Setor de Informao e Referncia
C376e Cavalcante,Joo Paulo de Barros.
Estudo de trelias planas no regime no linear fsico: revisoe aplicaes computacionais. / Joo Paulo de BarrosCavalcante. -- Mossor, 2014.
70f.: il.
Orientador: Prof. MSc. Raimundo Gomes de Amorim Neto.
Monografia (Graduao em Engenharia Civil)UniversidadeFederal Rural do Semi-rido. Pr-Reitoria de Graduao.
1. Elastoplstico. 2.Elementos finitos. 3. No-linearidadefsica. 4. Trelia. I. Titulo.
RN/UFERSA/BCOT /163-14 CDD ( 22.ed.) : 624.153Bibliotecria: Vanessa Christiane Alves de Souza Borba
CRB-15/452
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JOO PAULO DE BARROS CAVALCANTE
ESTUDO DE TRELIAS PLANAS NO REGIME NO LINEAR FSICO: REVISOE APLICAES COMPUTACIONAIS
Monografia apresentada a UniversidadeFederal Rural do Semi-rido UFERSA,Departamento de Cincias Ambientais eTecnolgicas para a obteno do ttulo deEngenheiro Civil.
APROVADA EM: ______ /_____ /______
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________
Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de Amorim NetoUFERSAPresidente
___________________________________________________Prof. D.Sc. Marcilene Vieira da NbregaUFERSA
Primeiro membro
___________________________________________________Prof. M.Sc. Joo Paulo Matos XavierUFERSA
Segundo membro
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Dedico este trabalho minha famlia e aos
meus amigos pela compreenso e incentivodurante o perodo de seu desenvolvimento.
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AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, Joo Agripino Cavalcante e a Maria Daguia Barros por todo apoio,motivao e por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim.
Ao meu orientador Raimundo Gomes de Amorim Neto, pela dedicao e compresso
durante este trabalho. Sempre me atendendo quando solicitei mesmo estando ocupado.
Guardo com grande satisfao sua amizade e uma baita admirao.
Ao coordenador do Curso de Engenharia Civil Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de
Amorim Neto, por seus esforos para tornar o curso cada vez melhor e pelo comprometimento
com o aluno. Uma pessoa que com certeza, sempre guardarei na memria como a figura de
um grande professor e coordenador.
Aos meus parceiros Renato Alison, Tialison Romo, Dakson Cmara, Ronnifran Cabral,
Fabson Emerson e Edmilson Alves pela amizade durante esses dois anos de curso.
A toda equipe da Sete Engenharia e Projetos, em especial a Srgio Martins pela
compreenso e companheirismo durante esse perodo.
A todos colegas que fizeram parte da minha vida acadmica, todos tiveram um papel
importante nesta jornada.
A banca examinadora deste trabalho, por aceitar o convite disponibilizando do seu
tempo para contribuir com este trabalho.
A todos os professores do curso de Engenharia Civil da UFERSA-Mossor.
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Os professores abrem as portas, mas voc
precisa entrar sozinho.
Provrbio Chins
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RESUMO
Este trabalho trata de um estudo sobre a anlise de estruturas do tipo trelia, levandoem considerao os efeitos da no-linearidade fsica. A no-linearidade fsica caracterizada
pela relao desproporcional entre tenso e deformao, decorrente da alterao daspropriedades fsicas do material da estrutura, ou seja, o comportamento do material noobedece a lei Hooke. A teoria da elasticidade linear prev que as solicitaes levam umdeterminado material a um comportamento completamente elstico, j a plasticidade ficaevidenciada pela ocorrncia de deformaes permanentes. Por fim, o comportamento dosmateriais elastoplsticos resultante de uma resposta inicialmente elstica, e a partir de certoestado de tenso apresenta um comportamento predominantemente plstico. Os problemasno-lineares so consideravelmente mais complexos, desta forma imprescindvel autilizao de recursos computacionais como ferramenta de auxlio. Na anlise numrica
podemos destacar o Mtodo dos elementos finitos (MEF) que uma ferramenta que apresentavasta rea de atuao, demostra grande versatilidade e timo desempenho no mbitoestrutural. As trelias so estruturas compostas exclusivamente por membros retilneosconectados entre si em suas extremidades, onde seus mtodos de anlise lineares esto
bastante difundidos. Ento, este trabalho consta da anlise da no-linearidade fsica emtrelias, por meio do MEF, atravs do programa ANSYS, que um software capaz desolucionar problemas com grande rapidez e eficincia. Os resultados obtidos ilustram aimportncia que os efeitos da no-linearidade fsica apresentam na anlise de estruturas.
Palavras-chave:No-linearidade fsica. Trelia. Elastoplstico. Elementos finitos.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Mtodo dos Ns.......................................................................................................24
Figura 2 - Mtodo das sees....................................................................................................25
Figura 3 - Diagramas tenses-deformaes..............................................................................27
Figura 4 - Relao Constitutiva elastoplstica perfeita.............................................................27
Figura 5 - Modelo de encruamento linear istropo...................................................................31
Figura 6 - Parmetro de encruamento linear istropo...............................................................33
Figura 7 - Encruamento Linear cinemtico...............................................................................33
Figura 8 - Trelia do centro de vivncia...................................................................................43
Figura 9 - Trelia adaptada.......................................................................................................44Figura 10 - Elemento LINK 1...................................................................................................45
Figura 11 - Modelo discretizado...............................................................................................45
Figura 12 - Deformada da trelia..............................................................................................46
Figura 13 - Deslocamentos mximos........................................................................................46
Figura 14 - Reaes de apoio....................................................................................................47
Figura 15 - Foras normais.......................................................................................................47
Figura 16 - Tenses axiais, deformaes plsticas e elsticas..................................................48Figura 17 - Deformaes elsticas............................................................................................49
Figura 18 - Tenses...................................................................................................................49
Figura 19 - Trelia Plana...........................................................................................................50
Figura 20 - Modelo Fsico Discretizado...................................................................................51
Figura 21 - Deformada da trelia..............................................................................................52
Figura 22 - Reaes de apoio....................................................................................................52
Figura 23 - Foras normais.......................................................................................................52Figura 24 - Tenses axiais, deformaes elsticas e plsticas..................................................53
Figura 25 - Tenses...................................................................................................................54
Figura 26 - Deformaes elsticas............................................................................................54
Figura 27 - Deformaes plsticas............................................................................................55
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
- Deformao Elstica- Deformao Plstica
W - Trabalho Virtual
extW
- Trabalho virtual externo
U - Trabalho virtual interno
u - Vetor deslocamento
' - Deslocamento Virtual
A - Superfcie do slido
div - Divergente
E - Mdulo de elasticidade longitudinal
- Deformao Total
f - Fora por unidade de volume
grad - Gradiente
H - Mdulo de encruamento cinemtico
k - Mdulo plstico de encruamento istropo
MEF - Mtodo dos elementos finitos
n - Vetor posio
q - Deslocamento
r - Equilbrio local
sign(.) - Operador de sinais
t - Fora por unidade de superfcie
T - Tensor- Coeficiente de Poisson
- Parmetro que registra a histria do carregamento
- Incremento de deformao elstica
- Incremento de deformao plstica
- Incremento de tenso
- Incremento total de deformao
p - Acrscimo de tenso
- Incremento do parmetro que registra a histria do carregamento
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- Valor absoluto do incremento de deformao plstica
- Densidade
- Tenso
y - Tenso de escoamento
- Cisalhamento
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SUMRIO
1 INTRODUO....................................................................................................................121.1 JUSTIFICATIVAS.............................................................................................................13
1.2 OBJETIVOS.......................................................................................................................13
1.2.1 Objetivo geral.................................................................................................................13
1.2.2 Objetivos especficos......................................................................................................14
2 REFERENCIAL TERICO...............................................................................................15
2.1 MODELOS NO-LINEARES...........................................................................................15
2.1.1 No-Linearidade Geomtrica........................................................................................16
2.1.2 No-Linearidade Fsica..................................................................................................162.2 MTODOS NUMRICOS.................................................................................................17
2.3 PROGRAMA COMPUTACIONAL (ANSYS)..................................................................19
2.4 ESTUDO DAS TRELIAS................................................................................................21
2.4.1 Classificao das trelias...............................................................................................22
2.4.2 Anlise de trelias...........................................................................................................23
2.4.2.1 Anlise de trelias pelo Mtodo dos Ns......................................................................23
2.4.2.2 Anlise de trelias pelo Mtodo das Sees.................................................................24
3 ANLISE NUMRICA......................................................................................................263.1 COMPORTAMENTO ELASTOPLSTICO UNIDIMENSIONAL.................................26
3.1.1 Comportamento elastoplstico perfeito.......................................................................27
3.1.2 Comportamento elastoplstico com encruamento linear positivo............................30
3.1.2.1 Modelo de encruamento istopro.................................................................................30
3.1.2.2 Modelo de encruamento cinemtico.............................................................................33
3.1.2.3 Modelo Misto................................................................................................................34
3.2 ALGORITMO PARA VERIFICAO DO MODELO CONSTITUTIVO
ELASTOPLSTICO COM ENCRUAMENTO ISTROPO LINEAR...........................363.3 GENERALIZAO PARA O CASO DE UMA ESTRUTURA......................................38
4 MATERIAL E MTODOS.................................................................................................41
4.1 ROTEIRO GERAL PARA ANLISE COM O ANSYS...................................................41
4.1.1 Pr-Processamento.........................................................................................................41
4.1.2 Soluo............................................................................................................................41
4.1.3 Ps-Processamento.........................................................................................................42
5 RESULTADOS E DISCUSSES.......................................................................................43
5.1 EXEMPLO 1.......................................................................................................................435.2 EXEMPLO 2.......................................................................................................................50
6 CONCLUSES....................................................................................................................56
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REFERNCIAS......................................................................................................................57
APNDICE A..........................................................................................................................61
APNDICE B..........................................................................................................................64
APNDICE C..........................................................................................................................68
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1 INTRODUO
Na anlise de estruturas destacam-se a anlise linear e no-linear. A primeira destas,
caracteriza-se pela modificao da geometria da estrutura no interferir na distribuio dos
esforos e tenses, onde a relao entre tenses e deformaes linear. J a no-linear
proveniente da modificao da geometria ou das propriedades fsicas do material, estes dois
tipos de efeitos correspondem respectivamente a no-linearidade geomtrica e fsica. Sendo a
no-linearidade geomtrica relacionada a configurao deformada da estrutura, enquanto que
a no-linearidade fsica uma propriedade intrnseca dos materiais que provoca a perda de
rigidez dos elementos estruturais (AZEVEDO, 1985).
Entretanto, para problemas no-lineares, os processos de clculo so mais complexos,
requerendo o auxlio de recursos computacionais. Atualmente, existem diversos programas
capazes de simular o comportamento dos materiais dos quais so constitudas as estruturas.
Dentre estes programa pode-se citar o ANSYS, que foi pioneiro na aplicao do Mtodo dos
Elementos Finitos (MEF) (AMARAL et al., 2010).
O emprego do MEF como ferramenta de auxlio no dimensionamento de elementos
estruturais bastante difundido. De acordo com Soriano (2003), o mtodo nada mais que
uma anlise matemtica, onde um meio contnuo fragmentado em vrios elementos, cujos
mesmos mantm as propriedades idnticas s originais. Esses elementos sero descritos por
equaes diferenciais e resolvidos por modelos matemticos, onde tal processo torna-se
complexo se resolvido analiticamente.
As trelias so estruturas formadas unicamente por elementos retilneos que esto
conectados entre si em suas extremidades, onde so constitudas por elementos rgidos
(barras), que so projetadas com o objetivo de suportar cargas. Estas so largamente utilizadas
em projetos estruturais, pois possibilita leveza e praticidade na execuo de coberturas e
outras edificaes, por exemplo (BEER, 1994).
Conforme Rodrigues (1997), na maioria dos projetos de estruturas treliadas que
apresentam grandes deformaes, tais como edifcios altos, torres de transmisso, pontes e
outras, a considerao das no-linearidades fsica e geomtrica indispensvel, uma vez que
os efeitos produzidos por tal considerao provocam deslocamentos e esforos finais bastante
amplificados. Ento, a possibilidade de solucionar os problemas pertinentes a estas estruturas,
quando considerados os efeitos no-lineares atravs de mtodos alternativos torna-se por sua
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vez indispensvel. Uma possibilidade para aplicao eficaz nestes tipos de anlise remete ao
emprego do MEF.
Na prtica da engenharia bastante comum utilizar a teoria da elasticidade linear para
o clculo das estruturas, logo, as solicitaes consideram apenas o comportamento elstico
dos matrias constituintes. O comportamento elastoplstico caracterizado por uma resposta
do material, inicialmente elstica e, a partir de um determinado nvel de tenso, por um
comportamento essencialmente plstico (SEGININI, 2000). Ento, um modelo que ele isso
consigo mostra-se como uma melhor aproximao do comportamento das peas em servio.
Proena (1988) ressalta que o comportamento plstico de um material fica evidenciado
pelo aparecimento de deformaes irreversveis, ou permanentes, quando se anula a
solicitao a que o corpo est sujeita. Para simular este comportamento plstico pode-se fazer
o uso dos modelos elastoplstico perfeito e com encruamento linear positivo.
1.1JUSTIFICATIVAS
Devido ao avano tecnolgico e utilizao de materiais mais resistentes, estruturas
mais complexas e esbeltas esto sendo desenvolvidas, necessitando para isso mtodos
computacionais para a sua anlise, tendo em vista a dificuldade de se modelar ocomportamento real destas estruturas com preciso.
Outra motivao para realizao deste trabalho abrir o campo de pesquisa na
presente universidade, referente aos efeitos da no-linearidade na anlise de estruturas.
1.2OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
O trabalho em questo tem como objetivo desenvolver um estudo sobre a modelagem
de estruturas, levando em considerao os efeitos da no-linearidade fsica, com nfase em
trelias.
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1.2.2 Objetivos especficos
Utilizao do MEF, visando representar o comportamento fisicamente no-linear de
estruturas.
Realizar aplicaes prticas, atravs da simulao de problemas propostos pela
ferramenta computacional ANSYS.
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2 REFERENCIAL TERICO
Durante este captulo ser apresentado a reviso bibliogrfica para que seja possvel
identificar os assuntos que esto ligados diretamente aos objetivos deste trabalho como,
estudo dos efeitos da no-linearidade em estruturas, anlise numrica, aplicao do MEF por
meio do software ANSYS, estudo do comportamento de trelias.
2.1MODELOS NO-LINEARES
A anlise de estruturas pode ser dividida em anlise linear e anlise no-linear. Em
projetos estruturais a anlise normalmente feita considerando-se o regime elstico linear,
todavia Dinis (2005) ressalta que na generalidade dos projetos de componentes estruturais,
considera-se que as solicitaes impostas levam a um comportamento elstico dos materiais
que os constituem, entretanto, em determinadas ocasies, como por exemplo, motivos de
segurana, indispensvel prever o comportamento dos componentes diante o aparecimento
de deformaes com caractersticas plsticas.
Conforme Rubert (1993), na maioria dos projetos de estruturas no so consideradas
as no-linearidades, a partir da justificativa de que tais efeitos produzem pouca ou quasenenhuma influncia no resultado de deslocamentos e esforos finais, porm, a
desconsiderao destes efeitos podem ocasionar em projetos inadequados.
Segundo Paula (2001), a anlise estrutural linear clssica pressupe proporcionalidade
entre carga e deslocamento. As condies para que essa proporcionalidade se verifique so:
resposta elstica linear do material e pequenos deslocamentos que so especificados pelas
normas vigentes. J na anlise no linear, incrementos constantes de carga no correspondem
a incrementos constantes de deslocamentos.O comportamento no linear pode estar relacionado ao comportamento do material ou
associado a mudanas da configurao da estrutura, denominadas respectivamente como no-
linearidade fsica e geomtrica. Em muitas situaes a anlise no-linear importante, como
no caso de estruturas muito esbeltas ou ento estruturas submetidas a aes excepcionais, tais
como terremotos ou furaces. Alm disto, uma anlise no linear torna-se necessria para a
verificao da capacidade resistente de estruturas existentes que sero submetidas a novos
carregamentos no previstos em projetos ou em casos onde as cargas foram subestimadas no
projeto estrutural (STRAMANDINOLI, 2007).
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Leite (2000) apresentou o processo e a formulao de elementos finitos para anlises
de trelias, considerando as no linearidades geomtricas e fsicas, onde utilizou-se um
software que capaz de resolver estas no linearidades, baseado num processo incremental-
iterativo, no qual verificado para cada iterao segundo um critrio de convergncia adotado
previamente.
2.1.1 No-Linearidade Geomtrica
A linearidade geomtrica fica atendida se as alteraes na configurao do sistema
estrutural forem consideravelmente pequenas, de maneira a permitir a utilizao de relaes
deformao versus deslocamento e equaes de equilbrio com base na geometria inicial.
Quando a variao de esforos e deslocamentos ocasionados pela mudana da geometria da
estrutura sob ao de carregamentos j no for to pequena, valores esses especificados pelas
normas vigentes, deve-se considerar a no-linearidade geomtrica, formulando as equaes de
equilbrio para a configurao deformada da estrutura (STRAMANDINOLI, 2007).
Segundo Rubert (1993), o estudo da no-linearidade geomtrica particularmente
importante para estruturas cuja esbeltez e deformabilidade excessivas fazem com que na
configurao final de equilbrio da estrutura surjam esforos internos, de acordo as normasvigentes, ditos de segunda ordem, cuja magnitude no pode ser desprezada.
De acordo com Segnini (2000), entende-se como no-linearidade geomtrica todo
efeito causado em uma estrutura devido as alteraes na geometria da mesma. As alteraes
na geometria podem ocorrer de diversas formas, tais como: grandes deformaes, grandes
rotaes e grandes deslocamentos.
Conforme Rojas (2001), a no-linearidade geomtrica surge devido a alterao da
geometria de referncia da anlise ao longo do processo de deformao do corpo, e podeocorrer devido a grandes deformaes, grandes deslocamentos e rotaes da configurao de
referncia.
2.1.2 No-Linearidade Fsica
De acordo com Segnini (2000), como linearidade fsica entende-se um comportamento
estrutural que segue a hiptese de uma relao tenso-deformao linear e, na teoria clssica,
o comportamento do material segue a lei de Hooke, enquanto a no-linearidade fsica,
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segundo Rodrigues (1997), caracterizada pela relao no linear entre tenso e deformao,
decorrente da modificao das propriedades fsicas do material estrutural.
A anlise no-linear fsica leva em considerao a perda de rigidez do material durante
a histria de carregamento da estrutura, sendo assim, a partir de certo valor de carga, os
elementos que compem a estrutura perdem a capacidade de recuperar a sua forma inicial,
quando descarregados, ou seja, acumulam deformaes permanentes chamadas deformaes
plsticas (BRANCO, 2002).
Proena (1988) estudou o comportamento elastoplstico de estruturas ligado aos
efeitos da no-linearidade fsica, destacando que a variao das propriedades mecnicas dos
materiais durante a aplicao das cargas, pode conduzir a uma resposta fora do regime
elstico, onde enfatiza o modelo elastoplstico perfeito e o elastoplstico com encruamento
linear.
Conforme Rojas (2001), a variao das propriedades mecnicas dos materiais quando
submetidos a esforos, pode acarretar, para a estrutura global, uma resposta de deslocamentos
fora do regime elstico, onde o surgimento deste tipo de no-linearidade pode ou no, de
acordo com o tipo de estrutura, estar combinada com a no-linearidade geomtrica.
2.2MTODOS NUMRICOS
Atualmente, o MEF tornou-se uma das ferramentas mais utilizadas para anlise no-
linear de estruturas, e, embora vrios modelos de elementos finitos j tenham sido
desenvolvidos, esse ainda um tema importante no meio tcnico-cientifico, tendo em vista a
dificuldade de se modelar o comportamento real das estruturas (STRAMANDINOLI, 2007).
De acordo com Garzn (2002), o MEF muito verstil e poderoso pois permite aos
engenheiros obter informaes sobre o comportamento de objetos com formas complexas emquase qualquer carga concebvel (cargas pontuais, presso, trmica, cargas dependentes do
tempo e etc). Permite resolver problemas estveis ou dependentes do tempo, lineares ou no-
lineares. Pode-se considerar efeitos especiais nos materiais, como: plasticidade, propriedades
dependentes da temperatura, deformaes. Os ramos de aplicao so variados, tais como:
mecnica dos slidos, mecnica dos fluidos, eletromagnetismo, transferncia de calor e
acstica, entre muitos outros.
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Por muito tempo, a aplicao do MEF limitou-se soluo de problemas lineares, isto
, aqueles nos quais h uma dependncia linear entre a fora externa aplicada sobre o corpo
em anlise e os deslocamentos por ele sofridos (ROJAS, 2001).
A versatilidade do mtodo no salva a necessidade de uma anlise detalhada dos
resultados obtidos antes de ser aplicado na soluo de um problema real. Os resultados podem
ser obtidos to bem apresentados que geram confiana na anlise, o que podem levar a erros.
Pode-se produzir grandes erros no modelamento devido ao uso de opes inadequadas do
programa ou devido a utilizao de dados errados. Os resultados de uma programa no so
confiveis, se o usurio no entender como o mesmo funciona, ou no tem noes fsicas
suficiente para compreender os resultados obtidos pelo programa.
O modo como o MEF formulado e aplicado varia de acordo com cada tipo de
problema. Conforme Azevedo (2003), h dois aspectos essncias que devem ser levados em
considerao para a fase precedente a anlise de estruturas, sendo eles, os tipos de anlises
que sero consideradas e os tipos de elementos estruturais, onde:
Tipos de anlises
- Anlise dinmica ou esttica
Aes sobre estruturas so em geral dinmicas. plausvel considerar que as aes
so aplicadas de uma maneira muito lenta, onde se tornam desprezveis as foras de inrcia,
onde este caso a anlise indica-se esttica.
- Anlise no linear e linear
A anlise linear ocorre quando as aes externas so muito pequenas quando
comparadas com as dimenses dos componentes das estruturas, caso contrrio uma anlise
no linear. Admite-se que no existe influncia da alterao da geometria da estrutura na
distribuio das tenses e dos esforos, o estudo feito com base que no haja deformaes.
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Tipos de estruturas
As estruturas podem ser classificadas quanto a sua geometria como reticuladas,
laminares e slidas. As estruturas reticuladas so constitudas por barras prismticas, cujas
dimenses transversais so muito pequenas quando comparadas com o comprimento do
respectivo eixo. As estruturas laminares so aquelas que tm a espessura muito inferior s
outras dimenses. As estruturas slidas so aquelas que no apresentam caractersticas para se
encaixar no grupo das laminares e reticuladas.
Conforme destaca Xavier (2008), o MEF consiste em um mtodo numrico
aproximado para anlise de diversos fenmenos que ocorrem em meios contnuos, e que so
descritos atravs de equaes diferenciais parciais, com determinadas condies de contorno e
possivelmente condies iniciais. A ideia principal do MEF consiste em dividir o domnio do
problema em sub-regies de geometria simples, devido ao fato das sub-regies apresentarem
dimenses finitas, estas sub-regies so chamadas de elementos finitos.
Segundo Liu e Quek (2003), o MEF um mtodo numrico que procura uma soluo
aproximada da distribuio de campos variveis no domnio do problema, determinando
vrios fatores e aes aos quais o nosso objeto de estudo est submetido, tendo comopropsito garantir a viabilidade econmica e a eficcia do produto a ser feito. Logo a
obteno de resultados de forma rpida e precisa vem sendo bastante requerida nos tempos
atuais, destacando-se o MEF, pois o mesmo sintetiza de forma abrangente uma srie de
funes para resoluo de problemas que constam em nosso cotidiano.
Rios (2002) exps atravs da utilizao do MEF a viabilidade de se utilizar mtodos
numricos para a soluo de problemas como a propagao de descontinuidade em estruturas,
principalmente em questes onde os comportamentos no-lineares so regidos pela evoluodo dano continuo, salientando as vantagens e imperfeies destes mtodos.
2.3PROGRAMA COMPUTACIONAL (ANSYS)
Dentre a grande variedade de ferramentas disponveis na anlise numrica de
estruturas, destacam-se os softwares que so elaborados tendo como base o Mtodo dos
Elementos Finitos. O ANSYS uma ferramenta numrica capaz de solucionar com grande
rapidez problemas que em geral se tornam de extrema dificuldade de serem realizados
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analiticamente, disponibilizando solues grficas que facilitam a visualizao e
entendimento do problema.
Garzon (2002) enfatiza que o ANSYS teve grande desenvolvimento nos ltimos anos
devido ao avano tecnolgico e por sua vasta rea de implementao e tambm por apresentar
benefcios aos seus usurios como simplicidade, agilidade, e diminuio nos custos de modo
geral. Em funo deste avano tecnolgico aparece a utilizao de estruturas mais complexas
e dos mais diversos tipos de materiais, surgindo assim a necessidade de encontrar modelos
que melhor se adaptem para representar o comportamento de tais estruturas.
A partir do ANSYS podem ser modeladas estruturas por elementos unidimensionais,
bidimensionais e tridimensionais de maneira que representem da melhor forma possvel a
estrutura, garantindo bom desempenho na formulao de todo processo.
Conforme Pereira (2005), a generalizao de meios de clculo automtico potentes
tem possibilitado o recurso cada vez mais frequente ao MEF, ento, este mtodo numrico
tornou-se o mais utilizado para adquirir solues aproximadas em problemas que so
descritos por termos de equaes com derivadas parciais.
Segundo Liu e Quek (2003), o processo da modelagem computacional utilizando o
MEF em geral composto por quatro etapas, sendo:
A) Modelagem da geometria
Quando ocorre a necessidade de solucionar problemas estruturais indispensvel
conhecer a geometria da estrutura, muito complexo representar as componentes e o formato
real das estruturas, logo existe a necessidade de simplificar o problema. Ento, utiliza-se uma
geometria que possa ser gerenciada, no caso de estruturas de superfcies curvas ocorre a
necessidade deste gerenciamento, onde necessrio aproxim-la em diversas sees retas,sendo importante ressaltar que quanto maior o nmero de sees melhor ser a representao
da geometria da estrutura, ocasionado melhor preciso nas solues.
B) Discretizao
A geometria da estrutura discretizada, onde o meio contnuo fragmentado em
pequenos pedaos chamados de elementos, onde a soluo para um elemento pode ser
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aproximada facilmente atravs de simples funes, como por exemplo, polinmios. As
solues para todos os elementos formam a soluo para o domnio do problema todo.
C) Propriedades do material
Para diversas situaes a serem simuladas existem vrios grupos de propriedades do
material que so fundamentais, pois a partir destas propriedades seremos capazes de obter
diferentes informaes como caractersticas, propriedades, comportamento e etc. As
propriedades do material so indispensveis, sendo necessrio especific-las, pois iro
interferir diretamente na simulao, e quanto melhor especificadas mais preciso e confivel
ser o resultado.
D)Especificao de limites e condies de carga
Esta etapa desempenha um papel decisivo na elaborao da simulao, pois so
determinadas as condies de contorno e carregamento. Introduzir as condies geralmente
feito facilmente utilizando um sistema computacional.
2.4ESTUDO DAS TRELIAS
Nesta seo ser mostrada a teoria que envolve as trelias, elemento estrutural
analisado neste trabalho. Ser descrita a definio de uma forma geral, apresentando suas
devidas classificaes e mtodo de anlise de acordo com a literatura.
As estruturas do tipo trelia, sejam planas ou espaciais, tem vasta aplicao na
engenharia, sendo que os mtodos de anlises lineares destes tipos de estruturas j estobastante difundidos.
De acordo com Beer (1994), trelia toda estrutura formada unicamente por
elementos retilneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de cada elemento.
Nos membros de uma trelia atuam duas foras de mesmo mdulo e direo, mas de sentido
opostos. A trelia um dos principais tipos de estruturas utilizadas na engenharia, pois
oferece na maioria das vezes uma soluo prtica e econmica, principalmente no projeto de
coberturas, pontes, viadutos, torres e etc.
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2.4.1 Classificao das trelias
Conforme Soriano (2010) as trelias podem ser classificadas de acordo com a
disposio no espao, de acordo com a formao e de acordo com o equilbrio esttico.
De acordo com a disposio no espao tm-se as trelias planas e espaciais. Trelias
planas so aquelas onde os elementos pertencem a um nico plano, enquanto as trelias
espaciais so aquelas que apresentam seus elementos em planos diferentes, ou seja, suas
barras esto unidas de maneira a formar uma configurao tridimensional.
Quanto formao, as trelias podem ser classificadas como: trelias simples,
compostas e complexas (SORIANO, 2010; BEER, 1994 e HIBBELER, 2011).
Trelias simples
Uma trelia simples pode ser formada a partir de trs barras birotuladas ligadas em
forma de tringulo, qual so acrescentadas duas barras ligadas por meio de uma rtula, e
assim sucessivamente, com mais duas novas barras e uma rtula.
Trelias compostas
Toda trelia composta formada a partir de trelias simples de maneira que no haja
deslocamento relativo entre essas trelias e o conjunto no seja outra trelia simples.
Trelias complexas
toda trelia que no simples e nem composta.
De acordo com o equilbrio esttico as trelias podem ser hiposttica, isosttica e
hiperesttica (SUSSEKIND, 1983). Logo, com o nmero de barras representado por b, onde
r o nmero de componentes de reaes de apoio a determinar, e as equaes de equilbrio
em nmero igual a 2n, sendo n o nmero total de pontos nodais, tm-se as seguintes
condies e concepes:
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Trelia Hiposttica
A desigualdade (b + r < 2n) condio suficiente para que uma trelia seja hiposttica.
A sua classificao como hiposttica devido ao fato de que o nmero de equaes de
equilbrio superior ao nmero de incgnitas.
Trelia Isosttica
A desigualdade (b + r = 2n) uma condio necessria, mas no suficiente, para que
uma trelia seja isosttica. Uma trelia isosttica quando o nmero de equaes de equilbrio
igual ao nmero de variveis a serem determinadas.
Trelia Hiperesttica
A desigualdade (b + r > 2n) uma condio necessria, mas no suficiente, para que
uma trelia seja hiperesttica. Uma trelia hiperesttica quando a aplicao das equaes de
equilbrio insuficiente para a determinao das reaes de apoio e dos esforos nas barras.
2.4.2 Anlise de trelias
A anlise de trelias feita basicamente atravs de dois mtodos, que so: Mtodo dos
Ns e Mtodo das Sees (SORIANO, 2010; BEER, 1994, HIBBELER, 2011).
2.4.2.1Anlise de trelias pelo Mtodo dos Ns
O Mtodo dos Ns consiste na resoluo das equaes de equilbrio dos pontos nodais
de uma trelia, de modo que os esforos nodais internos fiquem equilibrados pelas foras
nodais externas. A trelia pode ser desmembrada e para cada pino e barra pode ser desenhado
um diagrama de corpo livre. Cada barra est sujeita a duas foras, uma em cada extremidade,
estas foras possuem o mesmo mdulo, a mesma linha de ao e sentidos opostos (FIGURA
1).
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Para que este mtodo torne-se simples, imprescindvel escolher uma sequncia de
ns para escrever as equaes de equilbrio, de tal forma que se obtenha no mximo dois
esforos desconhecidos em cada n, o que permitir a resoluo destas equaes.
Figura 1: Mtodo dos Ns.
Fonte: Meriam e Kraige (2011).
Este mtodo torna-se bastante eficaz quando ocorre a necessidade de determinar as
foras em todas as barras da trelia. A anlise feita a partir do diagrama de cada n que
compe a trelia.
2.4.2.2Anlise de trelias pelo Mtodo das Sees
Este mtodo apoia-se no fato de que, devido trelia est em equilbrio, logo, cada
uma de suas partes tambm esto em equilbrio. O mtodo consiste basicamente em seccionar
a parte da trelia que se deseja conhecer, em seguida aplicam-se as equaes de equilbrio no
trecho escolhido (FIGURA 2). Deve-se repetir o procedimento at que todas as barras da
trelia tenham seus esforos determinados.
O Mtodo das Sees mais eficiente quando se deseja determinar foras em somente
uma barra ou em poucas barras.
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Figura 2: Mtodo das sees.
Fonte: Meriam e Kraige (2011).
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3 ANLISE NUMRICA
Neste captulo so apresentados os fundamentos bsicos relacionados a teoria da
plasticidade, necessrios para a elaborao da relao constitutiva de um material de
comportamento elastoplstico. Tambm apresentada a formulao do comportamento
elastoplstico para o caso unidimensional, tanto para o modelo elastoplstico perfeito como
para o modelo elastoplstico com encruamento linear positivo e na sequncia feita a
generalizao para o caso de um slido ou estrutura. Faz-se uma reviso sobre os critrios de
plastificao utilizados e a formulao implementada com base nos estudos de Proena(2006),
Rojas (2001) e Azevedo (1985).
3.1COMPORTAMENTO ELASTOPLSTICO UNIDIMENSIONAL
De modo geral, os projetos estruturais admitem que as solicitaes acarretam a um
comportamento elstico dos materiais que os constituem. Entretanto, em algumas
circunstncias, por motivos de segurana, por exemplo, importante prever o comportamento
das estruturas diante o surgimento de deformaes com caractersticas plsticas.
Segundo Schmidt (2006), o comportamento plstico de um material pode sercaracterizado, a nvel macroscpico, pela ocorrncia de deformaes permanentes, ou seja,
irrecuperveis, observadas em um ciclo de carregamento e descarregamento. Normalmente, o
material apresenta um valor de tenso, denominado tenso de escoamento, que uma vez
atingido pode acarretar no acontecimento de deformaes plsticas.
Conforme Proena (1988), pode-se citar como caracterstica geral do comportamento
elastoplstico a irreversibilidade, no sentido que se trata de um processo que dissipa energia e
a no-viscosidade, esta condio enuncia o fato de que um incremento de deformaocorresponde, imediatamente, um incremento de tenso.
Segundo Azevedo (1985), conveniente diferenciar o comportamento no linear
elstico do elastoplstico, em quanto no primeiro o diagrama de descarga coincide com o de
carga (FIGURA 3.a), no segundo, aps o incio da plastificao os dois diagramas so
distintos, uma vez que as deformaes plsticas so irreversveis (FIGURA 3.b).
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Figura 3: Diagramas tenses-deformaes.
Fonte:Azevedo (1985).
Nos modelos elsticos, cada estado de deformao () sempre est associado a umnico estado de tenso (). Enquanto no modelo elastoplstico, para se determinar a
intensidade de tenso respectiva a certa intensidade de deformao necessrio conhecer a
histria prvia da deformao plstica ( ). Justifica-se essa colocao no que segue.
3.1.1 Comportamento elastoplstico perfeito
Os materiais elastoplstico perfeito so aqueles onde a tenso solicitante jamaisultrapassa a tenso de escoamento e quando essa atingida e mantida, todo acrscimo de
deformao unicamente de natureza plstica.
Na figura 4, apresenta-se o modelo elastoplstico perfeito, onde no h encruamento, e
quando atingido o estado de tenso o material escoa indefinidamente.
Figura 4Relao Constitutiva elastoplstica perfeita.
Fonte: Schmidt (2006).
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A partir da figura 4 observa-se que a deformao total composta pela soma das
parcelas elstica e plstica. No regime elastoplstico no existe proporcionalidade entre
tenso e deformao, sendo assim necessrio conhecer o histrico do carregamento, que
distinguido pelo nvel de deformao plstica acumulada.
Admite-se ento, que a deformao total () resultado da soma das parcelas elstica
( ) e plstica ( ), de modo que:
= + (1)
A lei de Hooke diz que as foras atuantes so proporcionais s deformaes elsticas
produzidas, e pode ser escrita como:
= E * (2)
Onde, a tensoe E o mdulo de elasticidade longitudinal do material.
Sendo,
= - (3)
Logo,
= E * ( - ) (4)
Observa-se que na equao (4) a tenso obtida atravs da parcela de deformao
plstica e da deformao total, onde a existncia da deformao plstica concede relao
constitutiva caractersticas de natureza no linear. O material entrar em processo de
escoamento quando o estado de tenso estiver situado sobre o patamar de escoamento, desta
forma, ocasionando aumento da deformao plstica, quando o material for submetido a um
descarregamento haver uma recuperao elstica do mesmo.
Desta forma, a relao constitutiva representada em termos de incrementos
infinitesimais de tenso e deformao. Ento, considerando a continuidade para as funes
que descrevem , e , no espao de uma anlise incremental as deformaes permanentes
surgem, ou sofrem alguma modificao, quando:
0 (5)
Onde a resposta imediata causa deformaes plsticas.
Portanto, a relao tenso-deformao pode ser enunciada em termos incrementais
pela seguinte expresso:
= E * (6)
= E * (- ) (7)
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Considerando a relao tenso-deformao representado no diagrama da figura 4, em
um modelo elastoplstico perfeito, a tenso no pode ultrapassar, em valor absoluto, a tenso
de plastificao y. Portanto, os estados admissveis de tenso podem ser expressos pela
seguinte expresso:
f() = | | - y 0 (8)
Vale ressaltar que essa expresso responsvel por caracterizar o comportamento
plstico do material, apresentando uma participao fundamental no modelo constitutivo, pois
permite reconhecer o regime elstico e o elastoplstico.
O desenvolvimento da plastificao, onde 0, acontece apenas se f()= 0, ou
seja, quando | | = y. Se o estado de tenso for f()0, ento a resposta do material tem
exclusivamente comportamento elstico, tal que:
= (9)
Logo,
= 0 (10)
Portanto,
= E * ( + ) = E * = E * (11)
Numa segunda situao, considerando-se f() = 0, se o novo estado de tenso for
f(+) = 0, ento a resposta incremental gerou acrscimo de deformao plstica. Logo,
f() = 0 representa um requisito necessrio para que haja variao da deformao plstica no
incremento.
Usualmente, denomina-se 0 ao valor absoluto do incremento de deformao
plstica, se ela existir. O desenvolvimento da deformao plstica pode acontecer tanto na
trao como na compresso, portanto, valem as relaes:
= 0 se = y ( > 0 ) (12.a)
= - 0 se = - y ( < 0 ) (12.b)
Devido coincidncia de sinais entre e , introduz-se o operador de sinal, sign(.),
sendo assim, pode-se escrever:
= * sign() se f() = 0 com 0 (13)
Onde,
sign() = +1, para > 0; (14.a)
sign() = -1, para < 0. (14.b)
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Se 0 ento f() = 0 e se f() < 0 ento = 0. Denominada de condio de
complementaridade, essas possibilidades podem ser reunidas na seguinte expresso:
* f() = 0 (15)
Seja um estado atual de tenso, onde f() = 0, considerando que no prximo
incremento exista > 0, ento o novo estado de tenso tambm dever verificar o critrio de
plastificao, ou seja, f(+) = 0. Ento, considerando a funo f continua pode-se fazer
uma linearizao em torno do nvel e escrever que:
f(+) = f() + f() (16)
Onde, > 0 implica em f() = 0.
As situaes de carregamento e descarregamento se descrevem, respectivamente,
como:
> 0 se f = 0; (17.a)
= 0 se f < 0. (17.b)
Resultando em uma nova condio denominada de condio de consistncia, expressa
por:
* f = 0 (18)
3.1.2 Comportamento elastoplstico com encruamento linear positivo
Neste caso, o intervalo elstico inicial modificado com o decorrer da evoluo da
plastificao, seja em tamanho (istropo), posio (cinemtico) e em uma combinao das
mesmas (misto).
3.1.2.1 Modelo de encruamento istropo
O encruamento est associado capacidade de ganho de resistncia a partir do
crescimento da deformao. O mesmo caracterizado pela alterao, em tamanho e/ou em
posio, do intervalo elstico inicial de tenses devido ao desenvolvimento da deformao
plstica.
importante ressaltar que a relao incremental representada na equao (6), continua
sendo vlida no modelo constitutivo elastoplstico com encruamento.
H mais de uma maneira de modelar o encruamento. O modelo de encruamento linearistropo mostrado na figura 5.
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O encruamento denominado istropo quando acontece uma expanso do intervalo
elstico ([-y, y]) de modo simtrico ao seu centro e ocorre sempre que o incremento de
tenso implicar em evoluo da deformao plstica.
O limite elstico inicial modificado sucessivamente para (y + k1) e (y + k2) em
funo da histria de plastificao ocorrida no ciclo, onde a singela existncia de deformao
plstica em instante anterior, independente do sinal, o bastante para promover a expanso do
intervalo inicial das tenses admissveis. O parmetro k denominado de mdulo plstico de
encruamento istropo e (>0) uma medida que registra, justamente, a histria da deformao
plstica no ciclo.
Figura 5: Modelo de encruamento linear istropo.
Fonte: Proena (2006).
O encruamento pode ser introduzido na expresso do critrio de plasticidade por meio
de um acrscimo psobre o valor da tenso de plastificao y, sendo:
p = k, p = k com k > 0 e > 0 (19)
A lei de evoluo de est vinculada lei de evoluo da deformao plstica, onde
=| |. Sendo | | = , tem-se que = . Tendo em vista as condies exposta at
o momento, temos que a expresso do critrio de plastificao passa a ser representada da
seguinte forma:
f(,) = || - (y + k) 0 (20)
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As condies de complementaridade e consistncia vistas anteriormente continuam
sendo vlidas para o modelo elastoplstico com encruamento istropo.
A condio de consistncia admite obter uma relao explicita para , sendo assim,
admite-se uma linearizao da funo de plastificao em torno de certo nvel de tenso e
considerando-se que:
)(
signf
(21)
= x sign() (22)
Desta forma, pode-se escrever:
**
fff (23)
f = sign() * E * ( - )k * (24)
f = sign() * E * - sign() * E * * sign() k * (25)
f = sign() * E * * (E + k) 0 (26)
Considerando-se f = 0, o que possibilita 0, resultando em:
)(
**)(
kE
Esign
(27)
Substituindo a equao (27) em (13) tem-se:
*
)(
*
)(
**
kE
kE
kE
EE se > 0 (28)
Substituindo a equao (27) em (6), obtm-se:
*
)(
*
)(
**
kE
kE
kE
EE
se > 0 (29)
Onde)(
*
kE
kE
define o mdulo elastoplstico tangente.
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Atravs da figura 6 possvel visualizar a interpretao para o mdulo plstico de
encruamento k:
Figura 6: Parmetro de encruamento linear istropo
Fonte: Proena (2006).
Onde,
k = (30)
3.1.2.2 Modelo de encruamento cinemtico
Diferente do modelo de encruamento istropo, no modelo de encruamento cinemtico
no existe alterao do tamanho do intervalo elstico inicial, porm h alterao de posio no
eixo das tenses, que ocorre de acordo com o desenvolvimento do processo de plastificao.
A figura 7 ilustra o modelo, onde o centro do intervalo se desloca em sentido e
quantidade controlados pela deformao plstica.
Figura 7: Encruamento linear cinemtico
Fonte: Proena (2006).
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34
A partir da figura 7 evidencia-se que o deslocamento do centro do intervalo plstico
fica caracterizado pela varivel q, e tem sua lei de evoluo representada pela seguinte
expresso:
q = H * (31)
Onde H o mdulo de encruamento cinemtico.
Ento o critrio de plastificao passa a ser representado por:
f(,q) = | - q| - y 0 (32)
Logo, o incremento de deformao plstica passa a ser caracterizado pelas
respectivas condies:
= 0 se - q = y (> 0) (33.a)
= - 0 se - q = - y (< 0) (33.b)
Introduzindo o operador de sinal, tem-se:
= * sign(- q) (34)
Onde,
sign( - q) = +1 se ( - q) > 0 (35.a)
sign( - q) = -1 se ( - q) < 0 (35.b)
Substituindo a equao (34) na (31), tem-se:
q = H * = * H * sign( - q) (36)
3.1.2.3 Modelo Misto
Atravs da combinao dos modelos istropo e cinemtico obtm-se um modelo
misto. Neste modelo tem-se uma nova formulao para o critrio de plastificao expressa
por:
f(,q,) = | - q| - (y + k) 0 (37)
As demais formulaes que complementam o modelo misto so:
= E * (- ) (38)
= * sign() (39)
* f = 0 com 0 e f 0 (40)
* f = 0 com f 0 (41)
q = * H * sign( - q) (42)
= (43)
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De forma semelhante ao modelo do encruamento istropo, possvel obter uma
relao explicita para atravs da condio de consistncia, onde:
***
f
ff
f (44)
||*
||
q
q
ff (45.a)
q
q
q
f
q
f ||*
||
(45.b)
As derivadas dos mdulos fornecem respectivamente:
)(
||
qsign
q
(46.a)
)(||
qsign
q
q (46.b)
A partir da soluo das derivadas referentes as equaes (45) e (46), tem-se:
f = sign( - q) * - sign( - q) * q - k * (47)
f = sign( - q) * E * (- ) - sign( - q) * * H * sign( - q) - k * (48)
f = sign( - q) * E * () - * (E + H + k) (49)
Na condio em que f = 0 obtm-se:
)(
**)(
kHE
Eqsign
(50)
)(
*
kHE
E
(51)
Portanto, a relao constitutiva em termos incrementais resulta em:
= E x () se = 0 (52)
*
)(
)(*
kHE
kHE se > 0 (53)
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3.2 ALGORITMO PARA VERIFICAO DO MODELO CONSTITUTIVOELASTOPLSTICO COM ENCRUAMENTO ISTROPO LINEAR
Nas anlises pelo Mtodo dos Elementos Finitos de estruturas em regimeelastoplstico preciso implementar um procedimento em passo finito para a conferncia do
modelo constitutivo.
Ento, sendo conhecido o incremento finito de deformao total no passo, a
verificao do modelo constitutivo d-se em duas etapas, sendo denominadas de previso e
correo.
Na etapa de previso calcula-se o incremento de tenso considerando-se que o passo
tenha ocasionado somente deformao elstica, ou seja, no houve desenvolvimento dasdeformaes plsticas. Esta hiptese regida pelo critrio de plastificao, onde o sinal do
mesmo que confirmar ou no a evoluo das deformaes plsticas. Um sinal negativo
garante uma resposta puramente elstica, j um sinal positivo nega a hiptese de passo
elstico, sendo assim, passa-se a etapa de correo, onde o acrscimo finito de deformao
plstica calculado e so atualizados os valores totais da varivel de encruamento e de tenso.
importante observar que ao final de cada passo o estado de tenso deve verificar o
critrio de plastificao com a igualdade, sendo essa a condio fundamental empregada nas
etapas de previso e correo. Logo, em passo finito, as condies de complementaridade e
consistncia do modelo incremental so substitudas por:
*f(+) = 0 (54)
Seja um passo n do procedimento, onde so conhecidos a deformao total n, a
parcela de deformao plstica n, o parmetro de encruamento n e a tenso total n.
Considerando-se que tenha sido efetuado um novo passo de carregamento, sendo esse passo
n+1e que se conhece o acrscimo de deformao total n, onde esse acrscimo resulta na
modificao do estado conhecido. Logo, deseja-se determinar os valores dos acrscimos
n, ne n, onde as relaes que regem o modelo constitutivo sejam verificadas no novo
estado n+1, sendo expressas os valores das variveis de interesse ao final de cada novo passo
por:
n+1= n+n (55)
n+1= n+ n (56)
n+1= n+ n (57)
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n+1= n+ n (58)
Os acrscimos devem ser tais que:
n+1= E * (n+1 - n+1) (59)
fn+1= |n+1| - (y + kn+1) 0 (60)
n= n* sign(n+1) (61)
n= n (62)
De acordo com o que foi dito, na etapa de previso admite-se que no h evoluo das
deformaes plsticas, sendo:
n= 0 (63)n= 0 (64)
Onde,
n= 0 (65)
A partir das relaes (60) e (59) obtm-se os valores de tenso total e da funo de
plastificao, expressos por:
n+1= E * (n+1- n) (66)
n+1= | n+1| - (y + kn) (67)
A hiptese referente a etapa de previso ser confirmada ou no em funo do sinal de
n+1, caso o resultado seja negativo ou zero a hiptese se confirma, ou seja, no passo
n= 0, sendo assim as variveis so atualizadas e expressas pelas seguintes relaes:
n+1= E * (n+1- n) (68)
n+1= n (69)
n+1= n (70)Entretanto, se o resultado de n+1for positivo implica que a hiptese inconsistente,
logo, no passo existe um acrscimo de deformao plstica que precisa ser calculado.
Portanto, nesta condio a determinao de n resulta da imposio de fn+1= 0, que para o
caso de encruamento linear escreve-se:
fn+1=| n+1| - (y + kn) (71)
Uma maneira para determinar o mdulo | n+1| consiste de substituir a equao (56) em
(59) e reescrev-la da seguinte forma:
n+1= E * (n+1 - n)- E * n (72)
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Representando | n+1| como | n+1|*sign( n+1) e substituindo (61) em (72), tem-se:
| n+1|*sign( n+1) = E * (n+1 - n) - E * n* sign( n+1) (73)
Observa-se que a primeira parcela do lado direito da expresso coincide com a
equao (66). Utilizando a expresso | n+1|*sign( n+1), tem-se:
| n+1|*sign( n+1) = | n+1|*sign( n+1)- E * n* sign( n+1) (74)
(| n+1| + E * n) * sign( n+1) = | n+1|*sign( n+1) (75)
Observa-se que sign( n+1) = sign( n+1), logo:
| n+1| + E * n = | n+1| (76)
| n+1| = | n+1| - E * n (77)
Atravs da substituio das equaes (62), (57) e (77) em (60) pode-se escrever:
fn+1= | n+1| - (y + kn) - E * n - k * n (78)
Portanto, observa-se que a equao (78) possui um parcela igual a equao (67) e
considerando que fn+1= 0, obtm-se:
n)(
1
kE
f t
n
(79)
O incremento de deformao plstica representado pela seguinte expresso:
n= n* sign( n+1) (80)
A partir da, todas as variveis de interesse podem ser atualizadas conforme o
resultado anterior.
3.3GENERALIZAO PARA O CASO DE UMA ESTRUTURA
Seja um slido, ou uma estrutura, submetida num certo instante de tempo ao deuma fora fpor unidade de volume e tpor unidade de superfcie.
O equilbrio local em um ponto genrico do slido, representado propriamente pela
seguinte equao vetorial:
r = divT + f = 0 (81)
onde,
T: Tensor
div: DivergenteSendo que divT expresso por:
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divT =
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyx
(82)
Logo,
divT =
zyxzyxzyx
zzyzxzzyyyxyzxyxxx
(83)
Sendo que a simetria de T garante a verificao do balano de momentos.
Quando uma deformao ocorre as tenses internas tendem a retornar o corpo a sua
posio de equilbrio.
Ento, admitindo-se que os pontos do slido venham a sofrer deslocamentos virtuais
compatveis e que respeitem as condies de contorno, ento a relao de equilbrio pode ser
ponderada e interpretada como um trabalho virtual, onde a mesma escrita da seguinte forma:
udVrW (84)
Sendo u o vetor deslocamento.
A partir da equao (82) e (81), tem-se:
VVV
udVfudVdivTudVr (85)
Seja,
div(T u ) = divT u +Tgrad u (86)
Temse,
divT u = div(T u )- Tgrad u (87)
Sendo,
A
undATdVuTdiv )( (85)
Onde,
grad: gradiente;
A:superfcie do slido;
n:vetor posio.
A partir das equaes (84) e (85), obtem-se:
VVVV
udVfudVTgradndAuTudVr . (86)
Empregando-se o teorema de Cauchy (Tn = t), onde o mesmo diz que as tenses
tangenciais sobre dois planos ortogonais so recprocas, temse:
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tuTnunuT ... (87)
Levando em considerao que uTgradugradT s . (devido T ser simtrico) e
'*21
ugradugradugrad Ts (deformao virtual), a expresso do trabalho virtual
passa a ser expressa da seguinte forma:
VVVV
dVTudVfdAutudVr '... (88)
Denominando-se,
AV
ext udAtudVfW ..
como trabalho virtual externo;
V dVTU '. como trabalho virtual interno.
Ento, diz-se que o slido est em equilbrio se:
0W ou 0 extWU (89)
Ento, tem-se que para a soluo numrica de um caso genrico de uma estrutura as
nicas suposies usadas so o equilbrio e o conceito do meio contnuo, sendo o mesmo
vlido, portanto, para a anlise linear e no-linear geomtrica e fsica. Por fim, importante
ressaltar que o caso genrico no tema deste trabalho, desta forma no h necessidade de se
aprofundar no assunto, para mais consideraes sobre o referente tema pode-se consultar o
trabalho de Proena (1988).
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4 MATERIAL E MTODOS
O MEF um mtodo numrico em engenharia, onde aplica-se em geral a problemas
em que no possvel obter solues satisfatrias atravs de mtodos analticos.
Durante este trabalho foi apresentado o referencial terico e os fundamentos bsicos
relacionados a anlise numrica utilizando o MEF.
Nesta seo pretende-se apresentar de maneira geral, as principais etapas do processo
de modelagem utilizando o ANSYS que sero utilizadas neste trabalho.
4.1 ROTEIRO GERAL PARA ANLISE COM O ANSYS
4.1.1 Pr-Processamento
Nesta etapa so realizados os seguintes procedimentos:
- Tipo de anlise;
- Determinao do tipo do elemento;
- Determinao da seo transversal da barra;
- Determinao das propriedades do material;- Elaborao da geometria da estrutura;
- Criao da malha de elementos finitos;
- Aplicao das condies de contorno e carregamento.
4.1.2 Soluo
Na etapa de Soluo os sistemas de equaes algbricas so montados e resolvidos deforma que representem eficientemente o sistema fsico do objeto em estudo. Esta etapa
dividida em:
- Escolha das opes de sada de resultados;
- Definio dos passos de deslocamento impostos e do seu nmero;
- Soluo do problema.
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4.1.3 Ps-Processamento
Na etapa final, o ps-processamento, consiste na manipulao dos resultados
numricos obtidos, quer seja em forma de listas, tabelas ou grficos. Estes resultados podem
ser: deslocamentos nodais, deformao da geometria, frequncias naturais e modos de
vibrao e outros. Est etapa formada por:
- Visualizao dos resultados.
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5 RESULTADOS E DISCURSSES
Esta seo consta da aplicao do MEF em estruturas do tipo trelia, por meio do
programa ANSYS, com o objetivo de representar o comportamento no-linear das mesmas.
5.1EXEMPLO 1
Analisar pelo programa ANSYS a trelia plana apresentada na figura 9, onde a mesma
foi tema de estudo no trabalho de concluso de curso de Cavalcante (2011). As foras devem
ser simultaneamente aplicadas em cinco incrementos iguais. Determinar as reaes de apoio,
foras normais, deslocamentos mximos, tenses axiais e deformaes elsticas e plsticas
nas barras para cada passo de carregamento. A mesma isosttica, e consta de uma adaptao
da trelia que compe a cobertura do centro de vivncia da Universidade Federal Rural do
Semi-ridoAngicos. A trelia que compe a cobertura do centro de vivncia apresentada
na figura 8 e possui as seguintes caractersticas:
- Material elastoplstico com encruamento istropo linear.
- Densidade () = 7850 kg/m;
- Coeficiente de Poisson () = 0,30;- Mdulo de Elasticidade (E) = 200 GPa;
- Tenso de Escoamento () = 25,0 kN/cm;
- Mdulo Elastoplstico Tangente: 2000,0 kN/cm.
Todos os dados apresentados para este problema esto de acordo com as informaes
expostas por Cavalcante (2011) e Hibbeler (2004).
Figura 8: Trelia do centro de vivncia.
Fonte:Autoria Prpria.
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A figura 9 mostra a trelia adaptada submetida a suas devidas foras com seus
respectivos ns. Vale salientar que no clculo destas foras no foram levados em
considerao os efeitos do vento e do peso prprio da estrutura.
Figura 9: Trelia adaptada.
Fonte: Autoria Prpria.
O primeiro passo escolher o tipo de anlise que ser executada, pois essa simples
ao ir restringir os comandos e menus ao respectivo tipo de anlise escolhido, onde os
demais comandos so ocultados para facilitar a visualizao dos caminhos a se percorrer. Em
nosso problema o tipo de anlise o estrutural.
Para representar as barras que compem a trelia foi utilizado o elemento LINK 1
(FIGURA 10), que um elemento que pode ser aplicado na soluo de uma grande variedade
de problemas de engenharia. Dependendo da aplicao, este poder atuar como uma barra de
trelia, um elemento de ligao, uma mola e etc. O LINK 1 bidimensional, pode ser
submetido compresso e trao na direo de seu eixo, possuindo dois graus de liberdade
por n e translaes na direo dos eixos coordenados x e y.
O programa divide as propriedades do material em elsticas e plsticas, as informao
inseridas referentes as caractersticas elsticas so o coeficiente de poisson e o mdulo de
elasticidade longitudinal, enquanto as de carter plstico so representadas pelo mdulo
elastoplstico tangente e pela tenso de escoamento.
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Figura 10: Elemento LINK 1.
Fonte: Manual ANSYS (2007).
Aps escolha do elemento partiu-se para a discretizao da trelia. O modelo
numrico desenvolvido possui 81 elementos e 42 ns, conforme apresentado na figura 11.
A seguir foram impostas as condies de contorno e carregamento, onde a estrutura
treliada encontra-se biapoiada, conforme exposto na figura 11.
Figura 11: Modelo discretizado.
Fonte: Autoria Prpria.
Partindo para a etapa de soluo, tem-se que a estrutura est submetida a um
carregamento distribudo simultaneamente em cinco incrementos iguais de carga.
Na etapa de Ps-processamento obtm-se os resultados requeridos no problema em
questo.
Atravs da figura 12 possvel visualizar o comportamento final da trelia na sua
condio deformada depois de submetida a todos os devidos incrementos de carregamento.
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Figura 12: Deformada da trelia.
Fonte: Autoria Prpria.
Os deslocamentos mximos, reaes de apoio e foras normais para cada passo de
carregamento esto devidamente listadas na figura 13, 14 e 15, respectivamente.
A figura 16 apresenta para cada passo de carregamento as tenses, deformaes
elsticas e deformaes plsticas.
A trelia possui um grande nmero de elementos, logo, por questo de praticidade,
para a anlise dos resultados adotou-se somente um segmento dos resultados gerados pelo
ANSYS, conforme expostos nas figuras 15 e 16. A lista com todos os resultados encontra-sepresente no Apndice A.
Figura 13: Deslocamentos mximos.
Fonte:Autoria Prpria.
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Figura 14: Reaes nos apoio.
Fonte: Autoria Prpria.
Figura 15: Foras normais.
Fonte: Autoria Prpria.
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Figura 16: Tenses axiais, deformaes plsticas e elsticas.
Fonte: Autoria Prpria.
A partir das figuras 17 e 18 possvel visualizar os resultados das tenses e
deformaes elsticas finais, respectivamente, referentes ao ltimo incremento de carga.
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Figura 17: Deformaes elsticas.
Fonte: Autoria Prpria.
Figura 18: Tenses.
Fonte: Autoria Prpria.
A partir dos resultados contidos no Apndice A percebe-se que todas as barras
apresentam deformao plstica igual a zero, ou seja, o comportamento do material foi
puramente elstico. Ento, cada incremento constante de carga corresponde a um incremento
constante de deformao, obedecendo desta forma a lei de Hooke. As tenso e deformaes
aumentam ao passar de cada incremento de carga.
O modelo numrico para este exemplo encontra-se no Apndice B.
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5.2EXEMPLO 2
Neste exemplo, pretende-se analisar pelo programa ANSYS o problema proposto por
Proena (2006), conforme segue:
Analisar a trelia plana representada na figura 19, onde as foras devem ser
simultaneamente aplicadas em cinco incrementos iguais. Determinar as reaes de apoio,
foras normais, tenses axiais e deformaes plsticas e elsticas nas barras para cada passo
de carregamento. Representar a resposta estrutural mediante um grfico do parmetro de
carregamento contra o deslocamento vertical do n 1.
Dados complementares do problema:
- Material elastoplstico com encruamento istropo linear.
- Mdulo de Elasticidade Longitudinal: E = 20500,00 kN/cm;
- Coeficiente de Poisson: = 0,3;
- rea da seo transversal: 3,50 cm;
- Tenso de escoamento: y = 5,0 kN/cm;
- Mdulo elastoplstico tangente: 1000,0 kN/cm.
O exemplo em questo processado pelo ANSYS deve-se proceder as etapas de pr-
processamento, soluo e ps-processamento.
Figura 19: Trelia Plana.
Fonte: Autoria Prpria (2014).
De forma anloga ao exemplo anterior, adota-se o tipo de anlise estrutural. O
elemento utilizado para representar as barras foi o LINK 1, conforme descritivo
anteriormente. As propriedades do material requeridas pelo programa foram inseridas
conforme explicado no exemplo anterior.
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O modelo numrico desenvolvido possui 7 elementos e 5 ns. A figura 20 apresenta a
trelia discretizada com suas respectivas condies de contorno e carregamento.
Figura 20: Modelo Fsico Discretizado.
Fonte: Autoria Prpria.
Partindo para a etapa de soluo, tem-se que a estrutura est submetida a um
carregamento distribudo simultaneamente em cinco incrementos iguais de carga.
Passando para a etapa de Ps-processamento obteve-se os resultados requeridos
inicialmente.
Atravs da figura 21 possvel visualizar o comportamento final da trelia na sua
condio deformada depois de submetida aos devidos carregamento.
As reaes de apoio, foras normais para cada passo de carregamento esto listadas na
figura 22 e 23, respectivamente.
O grfico 1 mostra os deslocamentos verticais no n 1 para cada incremento de carga,
onde os deslocamentos aumentam a medida que o carregamento aplicado, sendo assim
possvel visualizar as caractersticas no-lineares da trelia com o decorrer dos passos de
carga.
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Figura 21: Deformada da trelia.
Fonte:Autoria Prpria.
Figura 22: Reaes de apoio
Fonte:Autoria Prpria.
Figura 23: Foras normais.
Fonte: Autoria Prpria.
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A figura 24 apresenta para cada incremento de carregamento, sua devidas tenses,
deformaes elsticas e plsticas para casa elemento.
Grfico 1: Deslocamento Vertical.
Fonte:Autoria Prpria.
Figura 24: Tenses axiais, deformaes elsticas e plsticas.
Fonte: Autoria Prpria.
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A partir das figura 25, 26 e 27 possvel visualizar os resultados das tenses,
deformaes elsticas e deformaes plsticas, respectivamente, referentes ao ltimo
incremento de carga.
Figura 25: Tenses.
Fonte: Autoria Prpria.
Figura 26: Deformaes elsticas.
Fonte: Autoria Prpria.
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Figura 27: Deformaes plsticas.
Fonte:Autoria Prpria.
Ento, com base nos resultados obtidos a partir do ANSYS, percebe-se que em alguns
passos a resposta do material foi puramente elstica, ou seja, no houve deformaes
plsticas. A partir do 3 passo surgiram as deformaes plsticas, que foram evoluindo
medida que os demais incrementos de carga foram aplicados, onde essas deformaes
ocorreram nos elementos 5, 6 e 7. Observa-se que as barras no sofreram redistribuio das
tenses, sendo assim, no houve ganho de resistncia do material devido ao crescimento das
deformaes.
O modelo numrico para este exemplo encontra-se no Apndice C.
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5 CONCLUSES
No presente trabalho, procurou-se estudar e utilizar conceitos relativos aos efeitos da
no-linearidade fsica em estruturas do tipo trelia. Para tal, resolveram-se exemploselucidativos atravs do programa ANSYS, implementando as caractersticas elastoplsticas no
elemento estrutural analisado. Em primeiro lugar, ressalta-se a vantagem que a anlise
incremental oferece, pois permite a obteno das tenses, deformaes e outros, ao longo de
toda a histria do carregamento.
A partir dos resultados obtidos no Exemplo 1, percebe-se que a trelia analisada est
dimensionada no regime elstico linear, sendo que as deformaes de carter plstico foram
nulas. De acordo com os resultados e as especificaes das normas vigentes, presume-se queos coeficientes de segurana utilizados para o dimensionamento da trelia foram elevados,
tendo em vista que a tenso resultante do ltimo incremento de carga est distante de
ultrapassar a tenso de escoamento do material. Ressalta-se que neste exemplo no foram
considerados as cargas do vento e peso prprio.
J no Exemplo 2 tem-se que a trelia analisada apresenta deformao plstica a partir
do terceiro incremento de carga, onde a plastificao evolui no decorrer da aplicao dos
incrementos e ocorre em 3 barras. Os efeitos do encruamento no provocaram aumento deresistncia e no ocorreu redistribuio das tenses atuantes.
Em suma, com base na literatura e nos resultados obtidos, pode-se afirmar que a
implementao computacional em anlises no-lineares bastante eficiente e recomendvel,
pois em determinadas circunstncias indispensvel prever o comportamento das estruturas
diante o aparecimento de deformaes de carter plstico, garantindo desta forma um projeto
mais detalhado e confivel.
Ainda existe uma srie de estudos que podem ser explorados dentro da linha de
pesquisa referente a no-linearidade. Como sugesto para trabalhos futuros pode-se citar a
considerao dos efeitos da no-linearidade geomtrica e o estudo dos efeitos da no-
linearidade em outros elementos estruturais.
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APNDICE A
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APNDICE B
!==================================================================! UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO! CURSO DE ENGENHARIA CIVIL! DISCENTE: JOO PAULO BARROS CAVALCANTE! ORIENTADOR: RAIMUNDO GOMES DE AMORIM NETO!==================================================================!*!=============================INCIO===============================/BATCH! /COM,ANSYS RELEASE 10.0 UP20050718 00:47:56 01/24/2014/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1
/PREP7!*!===================CARACTERSTICAS DO MATERIAL==================ET,1,LINK1!*R,1,7,0,!*!*MPTEMP,,,,,,,,MPTEMP,1,0MPDATA,EX,1,,20500
MPDATA,PRXY,1,,0.3TB,BISO,1,1,2,TBTEMP,0TBDATA,,25,2000,,,,!========================NS E ELEMENTOS=========================
N,1,0,0,0,,,,N,2,0,80,0,,,,N,3,100,0,0,,,,N,4,100,87,0,,,,N,5,200,0,0,,,,N,6,200,94,0,,,,
N,7,300,0,0,,,,N,8,300,101,0,,,,N,9,400,0,0,,,,N,10,400,108,0,,,,N,11,500,0,0,,,,N,12,500,115,0,,,,N,13,600,0,0,,,,N,14,600,122,0,,,,N,15,700,0,0,,,,N,16,700,129,0,,,,N,17,800,0,0,,,,N,18,800,136,0,,,,N,19,900,0,0,,,,
N,20,900,143,0,,,,N,21,1000,0,0,,,,N,22,1000,150,0,,,,N,23,1100,0,0,,,,N,24,1100,143,0,,,,N,25,1200,0,0,,,,
N,26,1200,136,0,,,,N,27,1300,0,0,,,,N,28,1300,129,0,,,,N,29,1400,0,0,,,,N,30,1400,122,0,,,,N,31,1500,0,0,,,,N,32,1500,115,0,,,,N,33,1600,0,0,,,,N,34,1600,108,0,,,,N,35,1700,0,0,,,,N,36,1700,101,0,,,,N,37,1800,0,0,,,,N,38,1800,94,0,,,,
N,39,1900,0,0,,,,N,40,1900,87,0,,,,N,41,2000,0,0,,,,N,42,2000,80,0,,,,!*FLST,2,2,1
FITEM,2,1FITEM,2,3E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,1FITEM,2,2E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,2FITEM,2,4E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,3
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FITEM,2,4E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,1
FITEM,2,4E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,3FITEM,2,5E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,4FITEM,2,6E,P51XFLST,2,2,1
FITEM,2,5FITEM,2,6E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,5FITEM,2,7E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,6FITEM,2,8E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,7FITEM,2,8E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,7FITEM,2,9E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,8
FITEM,2,10E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,9FITEM,2,10E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,9FITEM,2,11E,P51XFLST,2,2,1
FITEM,2,10FITEM,2,12E,P51X
FLST,2,2,1FITEM,2,11FITEM,2,12E,P51X
FLST,2,2,1FITEM,2,11FITEM,2,13E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,12FITEM,2,14E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,13FITEM,2,14
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APNDICE C
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! UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO! CURSO DE ENGENHARIA CIVI