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APLICACIÓN
Las pruebas de hipótesis realizadas en los capítulosanteriores respecto a los parámetros poblacionales
de medias, proporciones o varianzas son hechasbajo supuestos a las poblaciones, tales comosupuestos de normalidad.
Lamentablemente no todas las poblacionescumplen con este supuesto, pero existen técnicasestadísticas útiles que no necesitan de supuestosde las poblaciones conocidas como Pruebas No
Paramétricas o pruebas de distribución libre.
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Pruebas no paramétricas másutilizadas son
1. Prueba de signos
2. Prueba Chi –
cuadrado 2.1 Prueba de Bondad de ajuste
2.2 Prueba de Independencia y homogeneidad
3. Prueba de Kruskal – Wallis4. Correlación de Rangos de Spearman
5. Prueba de rachas
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Ventajas de los Pruebas noparamétrica :
1. No requiere que hagamos la suposición de
que las poblaciones distribuidasnormalmente.
2. Se aplican a datos categóricos
3. Implican cálculos más sencillos, por lo tantoson más fáciles de entender y aplicar
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Desventajas de las pruebas noparaméticas :
1. Desperdician información, ya que losdatos originales se reducen a una formacualitativa
2. A menudo no son tan eficientes comolas prueba paramétricas por lo tanto senecesita evidencias más fuertes
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PRUEBA DE SIGNOS
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PRUEBA DE SIGNOS
Se le llama prueba del signo porque lainformación contenida en la muestra
seleccionada se puede transformar en unconjunto de signos más y menos, y cuando sehace la prueba no se hace uso de la magnitudde los valores de la muestra, sino solamentese consideran los signos.
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PRUEBA DE SIGNOS
Se pueden probar estas aseveraciones:
1. Aseveraciones que incluyen datos apareados dedatos muestrales.
2. Aseveraciones que incluyen datos nominales.
3. Aseveraciones acerca de la mediana de una solapoblación.
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REQUISITOS
1. Los datos muestrales se seleccionan
aleatoriamente
2. No existe el requisito de que los datos
muestrales provengan de una población con una
distribución particular, como la distribución
normal
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ESTADÍSTICO DE PRUEBA
1. Para n≤25
x : el número de veces que ocurre el signomenos frecuente
n: el número total, de signos positivos y
negativos combinados
Los valores críticos x se encuentran en la Tabla
A-7
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ESTADÍSTICO DE PRUEBA
1. Para n>25
x : el número de veces que ocurre el signo menos
frecuenten: el número total, de signos positivos y negativos
combinados
Los valores críticos x se encuentran en la Tabla A-2
2
2)5.0(
n
n x
z
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ASEVERACIÓN QUE INCLUYEDATOS APAREADOS
Procedimiento:
1. Restamos cada valor de la segunda variable del valor
correspondiente de la primera variable
2. Registramos sólo el signo de la diferencia que se
encontró en el paso 1. Excluimos los empates
“Si dos conjuntos de datos tienen medianas iguales, elnúmero de signos positivos debe ser aproximadamente
igual al número de signos negativos”
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Ejemplo 1:Medición de inteligencia en niñosLas mediciones mentales de niños pequeños se hace
dándoles cubos pidiéndoles que construyan una torre tan alta
como sea posible. Un experimento de construcción de cubosse repitió un mes después, con el tiempo (en segundos)
listados. Utilice un nivel de significancia de 0.05 y pruebe la
aseveración de que no hay diferencia entre los tiempos de la
primera y segunda prueba.
Niño A B C D E F G H I J K L M N O
Primera prueba 30 19 19 23 29 178 42 20 12 39 14 81 17 31 52
Segunda Prueba 30 6 14 8 14 52 14 22 17 8 11 30 14 17 15
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ASEVERACIÓN QUE INCLUYEDATOS NOMINALES
Datos nominales: incluyen nombres, etiquetas o categorías
Se aplican los signos más o menos en forma arbitraria a las
categorías.
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Ejemplo: Discriminación por género
La cadena de restaurantes Hatters recibió acusaciones de
discriminación por género por que sólo contrató a 30
hombres junto a 70 mujeres solicitantes. Un representante de
la compañía aceptó que los solicitantes calificados son
aproximadamente la mitad hombres y la mitad mujeres, pero
además asevera que “Hatters no discrimina y el hecho de
que 30 de los últimos 100 empleados nuevos sean hombreses sólo una casualidad”. Utilice la prueba de signos con un
nivel de significancia de 0.05 y prueba la hipótesis nula de
que esta compañía contrata hombres y mujeres por igual.
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ASEVERACIÓN ACERCA DE LA MEDIANA
DE UNA SOLA POBLACIÓN
Los signos positivos y negativos se basan en el valor que se
asevera para la mediana.
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Ejemplo: Temperaturas corporales
El conjunto de datos 4 del Apéndice B incluye temperaturas
corporales medidas en adultos. Utilice las 106 temperaturas
listadas para las 12:00 AM del día 2 con la prueba de signos,para probar la aseveración de que la mediana es menor que
98.6°F. El conjunto de datos tiene 106 sujetos: 68 sujetos
con temperaturas por debajo de 98.6°F, 23 sujetos con
temperaturas por encima de 98.6°F y 15 sujetos contemperaturas iguales a 98.6°F
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PRUEBA DE RANGOS
CON SIGNOS DEWILCOXON
PARA DATOS APAREADOS
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PRUEBA DE RANGOS CON SIGNOS DE WILCOXON
Utiliza rangos ordenados de datos muestrales
consistentes en datos apareados
Se usa para probar las diferencias en las
distribuciones poblacionales y para probar la
aseveración de que una muestra proviene de una
población con una mediana específica.
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Planteamiento de hipótesis H0: Los datos apareados .tienen diferencias que
provienen de una población con una mediana igual
a cero
H1: Los datos apareados .tienen diferencias que
provienen de una población con una mediana
diferente a cero.
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Procedimiento: 1. Calcule d (restando el segundo valor menos el
primero), descarte d=0
2. Ignore los signos de las diferencias y ordene las
diferencias de la más baja a la más alta y
reemplace por el valor del rango
correspondiente.
3. Adjunte a cada rango el signo de la diferencia
de la que provino.
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Procedimiento: 4. Calcule la suma de los valores absolutos de los
rangos negativos. También de los rangos
positivos.
5. Utilice T que sea la más pequeña de las dos
sumas que se calcularon en el paso 4
6. Utilice n que sea el número de pares de datos
para los que la diferencia d no es cero
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Procedimiento: 7. Determine el estadístico de prueba y los valores
críticos
8. Tome su decisión y conclusión apropiada
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ESTADÍSTICO DE PRUEBASi n≤30 el Estadístico de prueba es TDonde T es el más pequeño de las siguientessumas:1. La suma de los valores absolutos de los
rangos negativos de las diferencias d que nosean ceros.
2. La suma de los rangos positivos de lasdiferencias d que no sean ceros
El valor crítico de T se encuentra en la tabla A-8
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ESTADÍSTICO DE PRUEBASi n>30 usar el siguiente estadístico de prueba
24
)12)(1(
4)1(
nnn
nnT
z
Los valores críticos de z se encuentran en latabla A-2
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EJEMPLO 4Remítase a los datos muestralesapareados indicados y utilice la pruebade rangos con signo de Wilcoxon paraprobar la aseveración de que los datosapareados tienen diferencias que
provienen de una población con unamediana igual a cero. Utilice un nivel designificancia de 0.05.
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EJEMPLO 4 (CONTINUACIÓN)
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PRUEBA DE LA SUMA DE
RANGOS DE WILCOXON
PARA DOS MUESTRASINDEPENDIENTES
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PRUEBA DE LA SUMA DE RANGOS DE WILCOXON
Utiliza rangos de datos muestrales consistentes en
muestras independientes
Se usa para probar la hipótesis nula de que las dos
muestras independientes provienen de poblaciones
con medianas iguales.
Es equivalente a la prueba de U de Mann-Whitney
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Planteamiento de hipótesis H0: Las dos muestras provienen de poblaciones
con medianas iguales
H1: Las dos muestras provienen de poblaciones
con medianas diferentes
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Procedimiento: 1. Combine temporalmente las dos muestras en
una muestra grande y a cada valor muestral
reemplace su rango.
2. Calcule la suma de los rangos de las dos
muestras
3. Calcule el valor del estadístico de prueba z.
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ESTADÍSTICO DE PRUEBA R
R R z
2
)1(211
nnn R 12
)1( 2121
nnnn
R
Valores Críticos
Los valores críticos se encuentran en la tabla A-2
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EJEMPLO 5¿Los trastornos psiquiátricosseveros están relacionados con
factores biológicos? Un estudioutilizó tomografía computarizada (TC)por rayos X para reunir datos de
volúmenes cerebrales de un grupo depacientes con trastorno obsesivo-compulsivo y un grupo de control depersonas saludables.
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EJEMPLO 5La lista adjunta presenta los resultadosmuestrales (en mililitros) para
volúmenes del hemisferio derechoUtilice un nivel de significancia de 0.01y pruebe la aseveración de que los
pacientes obsesivo-compulsivos y laspersonas saludables tienen la mismamediana de volúmenes cerebrales.
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EJEMPLO 5Con base en este resultado, ¿podemosconcluir que el trastorno obsesivo-
compulsivo tiene una base biológica?
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EXPERIMENTOS
MULTINOMIALES
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
La prueba de bondad de ajuste se
utiliza para determinar si la distribuciónde los valores en la población se ajustaa una forma particular planteada como
hipótesis.Por ejemplo una distribución uniforme
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LAS HIPÓTESIS H0: La población sigue la distribución ........
H1: La población no sigue la distribución........
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ESTADISTICO DE PRUEBA
c
i i
ii
E
E O
1
22 )(
En donde:O
i
es la frecuencia de los eventos observados en losdatos muestrales
Ei es la frecuencia de los eventos esperados si lahipótesis nula es correcta.
x es el número de categorías o clases.
ii np E
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REGLA DE DECISIÓN El estadístico de pruebase conpara con el
valor crítico de la tabla 2
con c – 1 grados delibertad con grados designificación.Si el valor de 2 es mayorque el valor crítico,entonces rechazar lahipótesis nula H0
gl=k-1
X2
F(x2)
RA1-
1- RR
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FRECUENCIAS ESPERADAS PEQUEÑAS
Cuando c > 2, si más del 20% de las Ei son
menores que 5, habrá que combinar lascategorías adyacentes cuando searazonable hacerlo, reduciendo de este
modo el valor de c e incrementando losvalores de algunas de las Ei
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EJEMPLO 6 (continuación)En el examen de recuperación, elprofesor pidió a los estudiantes que
identificaran el neumático en particularque se desinfló. Si en realidad notuvieron un neumático desinflado,
¿serían capaces de identificar el mismoneumático?
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EJEMPLO 6 (continuación)El autor pidió a otros 41 estudiantesque identificaran el neumático que ellos
seleccionarían. Los resultados estánlistados en la siguiente tabla (excepto elde un estudiante que seleccionó el
neumático de refacción). Utilice un nivelde significancia de 0.05
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EJEMPLO 6 (continuación)Utilice un nivel de significancia de 0.05para probar la aseveración del autor de
que los resultados se ajustan a unadistribución uniforme. ¿Qué sugiere elresultado acerca de la capacidad de los
cuatro estudiantes de seleccionar elmismo neumático cuando en realidadsu excusa fue una mentira?
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EJEMPLO 6 (continuación)
NeumáticoFrontal
izquierdo
Frontal
derecho
Trasero
izquierdo
Trasero
derecho
Número
seleccionado11 15 8 6
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TABLAS DE
CONTINGENCIA
INDEPENDENCIA Y HOMOGENEIDAD
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PRUEBA DE INDEPENDENCIA La Prueba Chi-cuadrado de independencia tambiénpermite la comparación de dos atributos paradeterminar si existe una asociación entre ellos.
¿Cuándo se utiliza?
Se utiliza cuando se quiere determinar si las variablesson independientes o dependientes respectivamente
una de la otra.
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LAS HIPOTESIS
H0: Las variables (fila y columna) sonindependientes.
H1: Las variables (fila y columna) sondependientes.
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ESTADÍSTICO DE PRUEBA
i
ii
E
E O 22 )(
Donde:Oi : Frecuencia Observada de la i-ésima fila con la
j-ésima columna
Ei : Frecuencia Esperada de la i-ésima fila con la j-ésima columna
ni : frecuencia de la i-ésima filanj : frecuencia de la j-ésima columna
n : tamaño de la muestra
n
nn E
ji
i
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REGLA DE DECISIÓN El estadístico deprueba se compara conel valor crítico de latabla 2 con (f - 1)(c - 1)grados de libertad con grados designificación.Si el valor de 2 es
mayor que el valorcrítico,entonces rechazar lahipótesis nula H0
gl=(f-1)*(c-1)
X2
F(x2)
RA1-
1- RR
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EJEMPLO 7 ¿Existe discriminación racial? Ladiscriminación racial es la práctica polémica
señalar que alguien tiene una conductacriminal con base en su raza, país de origen uorigen étnico. La tabla adjunta resume
resultados de conductores seleccionados alazar, detenidos por la policía en un añoreciente (según datos del Departamento deJusticia de Estados Unidos, Bureau of Justice
Statistics).
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EJEMPLO 7 (continuación)El uso de los datos de esta tabla diocomo resultado una pantalla de Minitab.
Utilice un nivel de significancia de 0.05para probar la aseveración de que elhecho de ser detenido es independiente
de la raza y del origen étnico. Con baseen la evidencia disponible, ¿podemosconcluir que hay discriminación racial?
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EJEMPLO 7 (continuación)
Afroestadounidenses
y no hispanos
Caucásicos y no
hispanos
Detenidos por
la policía24 147
No detenidos
por la policía176 1253
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PRUEBA DE HOMOGENEIDAD
Se prueba la aseveración de que las
poblaciones tienen las mismasproporciones de algunos características.
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LAS HIPOTESIS
H0: Las proporciones de las poblacionesson iguales
H1: Las proporciones de las poblacionesno son iguales
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EJEMPLO 8¿La exactitud del escáner es lamisma para las ofertas? En un
estudio de sistemas de cobro porescáner en almacenes, se utilizaronmuestras de compras para comparar laslecturas por escáner de los precios conlos precios etiquetados. La tablaadjunta resume resultados de unamuestra de 819 artículos.
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EJEMPLO 8 (continuación)Cuando los almacenes utilizan escánerpara cobrar los artículos, ¿las tasas de
error son las mismas para los artículoscon precio normal que para los artículosen oferta? ¿Cómo podría cambiar laconducta de los consumidores si creenque ocurren desproporcionadamentemás cobros excesivos en los artículosen oferta?
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EJEMPLO 8 (continuación)
Artículos con
precio normal
Artículos en
oferta
Cobros de menos 20 7
Cobros de más 15 29
Precio correcto 384 364
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PRUEBA DE KRUSKAL
WALLIS
PRUEBA H
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PRUEBA DE KRUSKAL -
WALLIS O PRUEBA H
Se utiliza para probar que muestras (tres o máspoblaciones) independientes provienen de
poblaciones con medianas iguales.
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LAS HIPÓTESIS
H0 :Las muestras provienen de
poblaciones con medianas iguales
H1: Las muestras provienen depoblaciones con medianas que no
son iguales
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ESTADÍSTICO DE PRUEBA
)1(3)1(
122
nn
R
nnK
i
i
Donde: K = valor estadístico de la prueba de
Kruskal-Wallis.
n = tamaño total de la muestra.
Ri2 = sumatoria de los rangos elevados al cuadrado.
ni = tamaño de la muestra de cada grupo.
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REGLA DE DECISIÓN El estadístico de prueba(K) se compara con el
valor crítico de la tabla 2
con c-1 grados delibertad con grados designificación.Si el valor de K es mayorque el valor crítico,entonces rechazar lahipótesis nula H0
gl=k-1
X2
F(x2)
RA1-
1- RR
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EJEMPLO 10 Afecta el peso de un automóvil lasheridas en la cabeza producidas enun choque? Se obtuvieron datos deexperimentos de choques realizados por laNational Transportation Safety
Administration. Se compraron automóviles
nuevos, se impactaron contra una barrerafija a 35 mi/h y se registraron lasmediciones en un maniquí en el asientodel conductor.
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EJEMPLO 10 (continuación)Utilice los datos muéstrales listados abajopara probar las diferencias en lasmediciones de heridas en la cabeza (deacuerdo con el Head Injury Criterion, HIC)en cuatro categorías de peso. ¿Existeevidencia suficiente para concluir que las
mediciones de heridas en la cabeza paralas cuatro categorías de peso deautomóviles no son las mismas?
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EJEMPLO 10 (continuación)¿Sugieren los datos que los automóvilesmás pesados son más seguros en un
choque?Subcompacto: 681 428 917 898 420
Compacto: 643 655 442 514 525
Mediano: 469 727 525 454 259
Grande: 384 656 602 687 360
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PRUEBA DECORRELACIÓN DE RANGOS DE SPEARMAN
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CORRELACIÓN DE RANGOS DE SPEARMAN
Se utiliza para probar una asociación entredos variables con datos apareados.
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LAS HIPÓTESIS
H0 : = 0 ; No existe correlación entre las dos
variables
H1 : 0 ; Si existe correlación entre las dos
variables
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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
DE SPEARMAN
)1(
61
2
2
nn
d r
i
s
Donde :di : es la diferencia entre los puntajes de cada
observaciónn : Tamaño de la muestraAdemás se debe cumplir que -1 rs 1
Sin empates
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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
DE SPEARMAN Empates
2222
y yn x xn
y x xynr s
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ESTADÍSTICO DE PRUEBAPara muestras pequñas (n≤30), se hace uso de la
tabla A-9.
Si rs se encuentra en el intervalo de los valorescríticos de la tabla A-9 entonces se acepta H0
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ESTADÍSTICO DE PRUEBAPara muestras grandes (n>30) la distribución ders se aproxima a la normal, donde el estadístico
de prueba es:
1 nr z s
Si el valor del estadístico de prueba es mayorque el valor crítico de z al nivel de /2 rechazar
H0
-z z
RA
RRRR
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EJEMPLO 11Grillos y temperatura. Se estudió larelación entre la temperatura y el número
de veces que un grillo chirría en unminuto. Abajo se listan los números dechirridos por minuto y las temperaturascorrespondientes en grados Fahrenheit(según datos de The Song of Insects, deGeorge W. Pierce, Harvard UniversityPress).
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EJEMPLO 11 (continuación)¿Existe evidencia suficiente paraconcluir que existe una relación entre el
número de chirridos por minuto y latemperatura?
Chirridos en un minuto 882 1188 1104 864 1200 1032 960 900
Temperatura (en oF) 69,7 93,3 84,3 76,3 88,6 82,6 71,6 79,6
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PRUEBA DE RACHAS
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PRUEBA DE RACHAS
Utilizada para comprobar la
aleatoriedad de las muestras.
RACHA (G) : Una serie continua de uno
o más símbolos
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LAS HIPÓTESIS
Ho : Existe aleatoriedad en la muestra.
H1 : No existe aleatoriedad en la muestra.
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REGLA DE DECISIÓN Cuando n1 como n2 son menores o iguales a20
Usar la Tabla A-10
Si el valor de G no se encuentra entre los valorescríticos de las tablas entonces se rechaza H0
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PRUEBA DE RACHAS Cuando n1 como n2 son mayores que 20
La distribución de la muestra se aproxima a lanormalidad. Entonces se puede decir que tiene:
12
21
21
nn
nnG
)1(
)2(2
21
2
21
212121
nnnn
nnnnnnG
Media Desviación estándar
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ESTADÍSTICO DE PRUEBA
G
GG
Z
Sigue una Distribución Normal estandarizada
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REGLA DE DECISIÓN Si el valor de estadístico cae fuera de la
región de aceptación, H0 se rechaza
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EJEMPLO 12Géneros de osos. El primer ejemplo deesta sección utilizó los géneros de losprimeros 10 osos del conjunto de datos 6
del apéndice B. Realice una prueba derachas para detectar aleatoriedadutilizando los géneros de los primeros 20
osos del conjunto de datos 6. Acontinuación se listan los géneros.M M M M H H M M H H M M H M H M M H M M
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