Teoria dei Numeri Analitica
Sandro Bettin
Universita degli Studi di Genova
Genova, 19 Giugno 2016
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Qualche domanda di teoria dei numeri analitica
Ci sono infiniti primi congrui a 1 (mod 7)?
Dirichlet 1837
Quanti numeri primi ≤ x ci sono asintoticamente?
Esistono soluzioni intere di an + bn = cn con n ≥ 3 eabc 6= 0?
Wiles 1994 (teoria dei numeri algebrica)
Esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe dinumeri primi?
Green & Tao 2004
E vero che ogni numero pari si puo scrivere come somma didue numeri primi? E che ogni numero dispari si puo scriverecome somma di 3 numeri primi?
Ci sono infiniti numeri primi gemelli?
E vero che una “meta” delle curve ellittiche ha rango 0 e“meta” rango 1?
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Qualche domanda di teoria dei numeri analitica
Ci sono infiniti primi congrui a 1 (mod 7)? Dirichlet 1837
Quanti numeri primi ≤ x ci sono asintoticamente? Hadamard& de la Vallee-Poussin 1896
Esistono soluzioni intere di an + bn = cn con n ≥ 3 eabc 6= 0? Wiles 1994 (teoria dei numeri algebrica)
Esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe dinumeri primi? Green & Tao 2004
E vero che ogni numero pari si puo scrivere come somma didue numeri primi? ??? E che ogni numero dispari si puoscrivere come somma di 3 numeri primi? Helfgott 2013+
Ci sono infiniti numeri primi gemelli? ??? (Zhang 2013,Maynard 2013, Maynard, Ford et al. 2014, Tao 2015)
E vero che una “meta” delle curve ellittiche ha rango 0 e“meta” rango 1? ??? (Bhargava et al. 2011-2016)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La funzione ζ
Tutto parte dall’identita di Eulero:
ζ(s) :=∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
(1− 1
ps
)−1
, <(s) > 1
da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati
−ζ′(s)
ζ(s)= −
∑p primo
log p
ps+ (termini “trascurabili”).
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La funzione ζ
Tutto parte dall’identita di Eulero:
ζ(s) :=∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
(1− 1
ps
)−1
, <(s) > 1
da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati
−ζ′(s)
ζ(s)= −
∑p primo
log p
ps+ (termini “trascurabili”).
Integrando∫ 2+i∞
2−i∞ (· · · )X s dss :
−∫ 2+i∞
2−i∞
ζ ′(s)
ζ(s)X s ds
s=
∑p≤X primo
log p + (termini “trascurabili”).
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La funzione ζ
Tutto parte dall’identita di Eulero:
ζ(s) :=∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
(1− 1
ps
)−1
, <(s) > 1
da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati
−ζ′(s)
ζ(s)= −
∑p primo
log p
ps+ (termini “trascurabili”).
Integrando∫ 2+i∞
2−i∞ (· · · )X s dss :
−∫ 2+i∞
2−i∞
ζ ′(s)
ζ(s)X s ds
s= logX
∑p≤X primo
1 + (termini “trascurabili”).
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La funzione ζ
Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La funzione ζ
Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.Proprieta principali:
Continuita analitica
Prodotto di Eulero
ζ(s) =∏
p primo
(1− 1
ps
)−1
,
Equazione funzionale
χ( 12 + s)ζ( 1
2 + s) = χ( 12 − s)ζ( 1
2 − s),
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La funzione ζ
Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.Proprieta principali:
Continuita analitica
Prodotto di Eulero
ζ(s) =∏
p primo
(1− 1
ps
)−1
,
Equazione funzionale
χ( 12 + s)ζ( 1
2 + s) = χ( 12 − s)ζ( 1
2 − s),
Da queste proprieta segue il teorema dei numeri primi
π(x) =∑
p≤X primo
1 ∼ X
logX∼∫ x
2
dx
log(x)=: Li(x)
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La distribuzione dei numeri primi
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Piu precisamente:
π(x) ≈ Li(x)−∑
ρ zero di ζ(s)
Li(xρ),
In versione troncata, contando solo i primi k zeri:
Πk (x) := Li(x)−∑|ρ|≤|ρk |
Li(xρ)
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La distribuzione dei numeri primi
Li(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π1(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π2(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π3(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π4(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π5(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π10(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π20(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π30(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π40(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π50(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π60(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π70(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π80(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π90(x)
π(x)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
La distribuzione dei numeri primi
Π100(x)
π(x)
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Classe di Selberg
Ci sono altre funzioni simili alla funzione ζ chiamate funzioni L.Servono per attaccare altri problemi di natura aritmetica e/ogeometrica.
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Classe di Selberg
Ci sono altre funzioni simili alla funzione ζ chiamate funzioni L.Servono per attaccare altri problemi di natura aritmetica e/ogeometrica. Tutte condividono le proprieta di base della ζ:
L(s) =∑
nanns
Prodotto di Eulero
L(s) =∏
p primo
(1− P(p−s)
)−1,
Equazione funzionale
G ( 12 + s)L( 1
2 + s) = G ( 12 − s)L( 1
2 − s),
La classe di Selberg e lo spazio delle funzioni che soddisfanoqueste proprieta.
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Numeri primi vicini
La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:
lim infn→∞
pn+1 − pnlog pn
= 0, lim supn→∞
pn+1 − pnlog pn
=∞.
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Numeri primi vicini
La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:
lim infn→∞
pn+1 − pnlog pn
= 0, lim supn→∞
pn+1 − pnlog pn
=∞.
In realta si congettura che molto di piu sia vero, ad esempio che:
lim infn→∞
(pn+1 − pn) = 2 (Congettura dei primi gemelli)
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Numeri primi vicini
La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:
lim infn→∞
pn+1 − pnlog pn
= 0, lim supn→∞
pn+1 − pnlog pn
=∞.
In realta si congettura che molto di piu sia vero, ad esempio che:
lim infn→∞
(pn+1 − pn) = 2 (Congettura dei primi gemelli)
e grazie al lavoro di Zhang e Maynard (e Polymath) ora non siamopiu cosı lontani dal dimostrarlo:
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ 246.
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Teoria dei crivelli
Come si prova un risultato del genere? Si usa la teoria dei crivelli!Si considerano somme della forma
S(N) :=∑
N≤n≤2N
( k∑j=1
1P(n + j)− 1)ωn
per dei pesi ωn ≥ 0.
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Teoria dei crivelli
Come si prova un risultato del genere? Si usa la teoria dei crivelli!Si considerano somme della forma
S(N) :=∑
N≤n≤2N
( k∑j=1
1P(n + j)− 1)ωn
per dei pesi ωn ≥ 0. L’obbiettivo e scegliere i pesi in modo da
essere in grado di calcolare l’asintotica per S(N)
avere che S(N) e asintoticamente positivo
Infatti in tal caso dobbiamo necessariamente avere che n + j1 en + j2 sono entrambi primi per almeno una scelta di j1, j2 en ∈ [N, 2N].
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Qualche direzione di ricerca
Domande di tipo “elementare” (teoria dei crivelli,combinatorica, probabilita).
Domande sul comportamento della funzione ζ di Riemann.
Domande su statistiche riguardanti ζ o le funzioni L (adesempio su curve ellittiche).
Modelli delle funzioni L con matrici aleatorie.
Domande sullo spazio delle funzioni L (classe di Selberg).
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Cosa serve sapere?
Non molto!Cose che si usano molto sono stime asintotiche di vario tipo, unpo’ di analisi classica, di aritmetica e di combinatorica e,soprattutto per alcune direzioni di ricerca, un po’ di analisicomplessa e di teoria algebrica dei numeri.
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
Number Theory wants you!
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