TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
ALEJANDRO TERÁN C.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
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MODELO M/G/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
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MODELO M/G/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ =
P0 = 1 - = 1 - ρ
Lq = =
L = Lq + = Lq + ρ
Wq =
W = Wq +
PW = = ρ
µλ
µλ
)/1(2)/( + 222
µλ−µλσλ
)1(2
222
ρ−ρ+σλ
µλ
λqL
µ1
µλ
ρ < 1
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EJEMPLO
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,
RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO
EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓNNORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 60 CLIENTES/HORA), CON DESVIACIÓN
ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS.
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
ρ = =µλ
0.75/1 = 0.75ρ < 1
µλP0 = 1 - = 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25
µλL = Lq + = Lq + ρ = 5.625 + 0.75 = 6.375
)/1(2)/( + 222
µλ−µλσλ
)1(2
222
ρ−ρ+σλLq = = = [(0.75)2(2)2 + (0.75/1)2]/[2(0.25)]
= 5.625
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
Wq = =λqL 5.625/0.75 = 7.5 MINUTOS
µ1W = Wq + = 7.5 + 1 = 8.5 MINUTOS
µλPW = = ρ = 0.75
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMG1Cl.xls
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMG1Cl.xls
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MODELO M/D/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
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MODELO M/D/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ =
P0 = 1 - = 1 - ρ
Lq = =
L = Lq + = Lq + ρ
Wq =
W = Wq +
PW = = ρ
µλ
µλ
)/1(2)/( 2
µλ−µλ
)1(2
2
ρ−ρ
µλ
λqL
µ1
µλ
ρ < 1
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EJEMPLO
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,
RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO
EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA(CAPACIDAD DEL SERVICIO: 60 CLIENTES/HORA).
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
ρ = =µλ
0.75/1 = 0.75ρ < 1
µλP0 = 1 - = 1 - ρ = 0.75/1 = 0.75
µλL = Lq + = Lq + ρ = 1.125 + 0.75
= 1.875
)/1(2)/( 2
µλ−µλ
)1(2
2
ρ−ρLq = = = (0.75)2/[2(0.25)]
= 1.125
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
Wq = =λqL
= 1.125/0.75
= 1.5 MINUTOS
µ1W = Wq + = 1.5 + 1
= 2.5 MINUTOS
µλPW = = ρ = 0.75
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMD1Cl.xls
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMD1Cl.xls
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MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA POR BLOQUEO
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• K SERVIDORES (/k).
• DISCIPLINA FIFO.
SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA.
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MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
Pj = ( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
j
!i/
!j//
PK = ( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
k
!i/
!k//
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L = (1 - PK)µλ
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EJEMPLO
EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS.
LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA TASA DE 12 LLAMADAS/HORA.
EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6 CLIENTES/HORA.
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 12 LLAMADAS/HORA.
µ = 6 LLAMADAS/HORA.
K = 3 SERVIDORES.
λ/µ = 12/6 = 2
( )∑=
µλK
0i
i
!i/
= 20/0! + 21/1! + 22/2! + 23/3!
= 19/3 = 6.3333
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
λ = 12
µ = 6
λ/µ =2
K = 3
Pj = ( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
j
!i/
!j//
P0 =
P1 =
P2 =
P3 =
(20/0!)/(19/3) = 3/19 = 0.15785
(21/1!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
(22/2!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
(23/3!)/(19/3) = 4/19 = 0.210526
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
P3 = = 4/19 = 0.210526( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
3
!i/
!3//
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS λ = 12
µ = 6
λ/µ =2
K = 3
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L = (1 - PK)µλ = (2)(1 - 4/19) = 30/19 = 1.578947
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls
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MODELO M/M/1 CON POBLACIÓN FINITA DE CLIENTES
(MACHINE REPAIR PROBLEM)
SISTEMA M/M/1 CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS.
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
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MODELO M/M/1/N: MEDIDAS DE DESEMPEÑOP0 =
Lq =
L = Lq + (1 - P0)
Wq =
W = Wq +
Pn =
( )λ−LNLq
µ1
( )∑=
µλ
−
N
0n
n
!nN!N
1
( )0P1N −λµ+λ
−
( ) 0
nP
!nN!N
µλ
−
ρ < 1
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EJEMPLO
UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE LOS
EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE 20
HORAS.
PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE
MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA.
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
P0 = =
( )∑=
µλ
−
N
0n
n
!nN!N
1(1/2.06392) = 0.4845
( )∑=
µλ
−
N
0n
n
!nN!N
= (6!/6!)(0.1)0 + (6!/5!)(0.1)1 + (6!/4!)(0.1)2 + (6!/3!)(0.1)3
+ (6!/2!)(0.1)4 + (6!/1!)(0.1)5 + (6!/0!)(0.1)6
= 2.06392
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
P0 = 0.484515
Lq = =
L = Lq + (1 - P0) =
( )0P1N −λµ+λ
− = 6 - [(0.05+0.5)/0.05](1 - 0.0484515)
= 0.329664 MÁQUINAS
= 0.329664 + (1 - 0.0484515)
= 0.844159 MÁQUINAS
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
P0 = 0.484515
Wq = =
W = Wq + =
( )λ−LNLq
µ1
(0.329664)/[(6-0.844159)(0.05)]
= 1.279044 HORAS
1.279044 + 1/0.5
= 3.279044 HORAS
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
P0 = 0.484515
Pn = = ( ) 0
nP
!nN!N
µλ
− [6!/(6-n)!](0.1)n(0.484515)
N Pn0 0.4845149041 0.2907089422 0.1453544713 0.0581417884 0.0174425375 0.0034885076 0.000348851
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
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