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TEMA 5
EL LENGUAJE ALGEBRAICO
LA EDAD DEL SABIO
Cuentan que en la tumba de Diofanto
de Alejandría (un matemático que vivió
en el siglo IV y al que se considera
“padre” del álgebra) había una
inscripción que explicaba, en forma de
problema, la edad que tenía el sabio
cuando murió.
Decía esto: “Esta tumba contiene a
Diofanto. ¡Oh gran maravilla! Y la
tumba dice con arte la medida de su
vida. Dios hizo que fuera niño una
sexta parte de su vida. Añadiendo un
doceavo, las mejillas tuvieron la
primera barba. Le encendió el fuego
nupcial después de un séptimo, y en el
quinto año después de la boda le
concedió un hijo. Pero, ¡ay!, niño tardío
y desgraciado, en la mitad de la
medida de la vida de su padrelo
arrebató la helada tumba. Después de
consolar su pena cuatro años con esta
ciencia del cálculo, llegó al término de
su vida
ÁLGEBRA, EL ARTE DE LA COSA
Como casi todas las palabras actuales que
empiezan por “al”, el término álgebra tiene
origen árabe. Se lo debemos a un matemático
llamado Al-Khwarizmi, que vivió en el siglo IX.
Escribió una obra que ha servido a los
matemáticos occidentales durante años. Ese
libro se llamaba Al Chéber u Almocábala (algo
así como Restauración y oposición) De la
primera palabra, Al Chéber, viene álgebra.
Este mismo matemático designaba la incógnita
con el nombre de sahy (que significa “la cosa”).
Los algebristas italianos usaban la palabra
cosa, y los alemanes llamaban a la incógnita
coss.
Con estos orígenes no es raro que durante una
época el álgebra, es decir, las operaciones para
conocer el valor de esa incógnita, fuera
conocida en Europa como el arte de la cosa
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TEMA 5. EL LENGUAJE ALGEBRAICO
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras Al traducir el lenguaje algebraico los términos de un problema, se obtienen expresiones algebraicas: - Un número entero, el anterior y el siguiente: n-1, n y n+1 - Dos números pares consecutivos: 2n, 2n+2 - la suma de tres enteros consecutivos es 33: n+(n+1)+(n+2)=33. Ejemplos: 1. La edad de Ángel, dentro de 5 años, será el doble de la que entonces tenga Isabel:
AHORA DENTRO DE 5 AÑOS
EDAD DE ÁNGEL x x+ 5
EDAD DE ISABEL y y + 5
Condición del problema: x + 5 = 2(y + 5)
2. MONOMIOS Un monomio es: 3 x4
Un monomio tiene un valor numérico dependiendo del valor que tenga la incógnita, por
tanto podremos sumar y restar polinomios semejantes (que tengan el mismo grado e igual parte literal) y dividir y multiplicar, como si de números se tratara.
ACTIVIDADES:
GRADO 4º
PARTE LITERAL
COEFICIENTE
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1. ¿Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios? (el grado de un monomio es el número de factores que forman su parte literal)
a) 32cab7
2
b) -3xy2
c) 252 zyx3
4
2. Halla el valor numérico de los monomios siguientes para x=3, y=-2, z=5. a) -6x2yz
b) 3x2
c) 4xy2
d) -5x2y2z2
e) yz
f) -2xz3
3. Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) 5x – 3x + 4x – 11x + x =
b) 3x2y – 5x2y + 2x2y + x2y=
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c) 7x3 – 11x3 + 3y3 – y3 + 2y3=
4. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:
a) - 5ab2c3
b) 11x4
c) x
4. POLINOMIOS.
Un polinomio es la suma de dos o más monomios:
7x3 - 3x2 + 4x – 5
Para sumar polinomios lo tenemos que hacer sumando los monomios semejantes y para multiplicar lo haremos como si multiplicamos números. Si sumamos los siguientes polinomios: A(x) = 3x2 + 5x – 2 y B(x) = x3 + 4x2 -5 A(x) = 3x2 + 5x – 2
TÉRMINO INDEPENDIENTE
TÉRMINO PRINCIPAL
GRADO DEL POLINOMIO
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+ B(x) = x3 + 4x2 -5
A(x) +B(x) = x3 + 7x2 + 5x - 9
O lo que es lo mismo:
(3x2 + 5x – 2)+(x3 + 4x2 -5) = x3 + 7x2 + 5x - 9
Para restar polinomios: A(x) = 3x2 + 5x – 2
- B(x) = -x3 - 4x2 +5 A(x) – (B(x) = -x3 – x2 + 5x +3
O bien:
(3x2 + 5x – 2) - (x3 + 4x2 -5) = -x3 – x2 5x +3
Para multiplicar:
P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1
y Q(x) = 3x2
P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1
Q(x) = 3x2
P(x) · Q(x) = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2
O bien:
(x3 – 2x2 + 5x – 1) ·(3x2) = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2
ACTIVIDADES:
5. Di el grado de cada uno de estos polinomios:
a) x5 – 6x2 + 3x +1
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b) x2 + 3x3 – 5x2 + x3 – 3 – 4x3
6. Sean P(x) = x4 -3x 3+ 5x + 3 y Q(x) = 5x3 +3x2 – 11. Halla:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) –Q (x)
c) Q(x) – P(x)
7. Halla los productos siguientes:
a) x(2x + y + 1)
b) 2x2(3x2 + 5x2)
c) ab(a + b)
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d) 5(3x2 + 7x + 11)
e) x2y (x + y + 1)
f) -2(5x3 + 3x2 – 8)
g) -2x (3x2 – 5x + 8)
El producto de dos polinomios:
Por ejemplo:
P(x) = 2x3 – 4x2 – 1 y Q(x) = 3x - 2
P(x) 2x3 – 4x2 – 1
Q(x) 3x - 2
-4x3 + 8x2 +2 6x4 -12x3 -3x 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2 O también: (2x3 – 4x2 – 1) · (3x – 2) = 6x4 -12x3 -3x- 4x3 + 8x2 +2 = 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2
Sacar factor común: En la expresión: 6x3 + 3x2 – 2x la x se repite en todos los sumandos, es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera del siguiente modo:
PRODUCTO DE -2 POR P(x)
PRODUCTO DE 3x POR P(x)
P(x) · Q(x)
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x (6x2 + 3x – 2) de tal manera que si desarrollamos el paréntesis tenemos de nuevo la primera expresión
6x3 + 3x2 – 2x = x (6x2 + 3x – 2) A esta transformación se le llama sacar factor común.
ACTIVIDADES:
8. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante. a) 3 (x3 – 5x +7) – (2x3 + 6x2 +11x +4) =
b) 2x(3x2 – 5x + 1) + 5(3x2 – 5x + 1) - 4
21x2 =
c) 32
5x3
4
2x3·8
d) 36
y
2
xy
2
)5x(3·6 =
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e) 3
1y10
7
)4yx(3=
g) 2(x-1) +3(y+4) - 5
)yx3(2 +9 =
h) (3x3 – 2x2 + 11) 21
3x2
-(11x3 + 7x2 – 3x) =
h) 31x11x6x6·3
1x3
2
x 322
=
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9. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 3x2 + 6x b) z4 – 3z2 c) 6x2
d) y4 – 3x2y3 + 2
3x5y4
e) 13x6 +4x4- 3x3
e) 2
x5
2
x3
2
x 234
f) 2x3 – 2x2 + 2x i) 40x2 – 10x
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5. IDENTIDADES NOTABLES. Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor de la incógnita. Se llaman identidades notables a las tres siguientes:
✎ Cuadrado de una suma
Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo
✎ Cuadrado de una diferencia
Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo
✎ Suma por diferencia
Es igual a la diferencia de cuadrados
ACTIVIDADES:
10. Desarrollar:
a) (2x -7)2, es el cuadrado de una diferencia, por tanto:
(2x -7)2 = (2x)2 + 72 – 2 · 2x· 7 = 4x2+ 49 – 28x
b) (x + 1)2 =
c) (2x – 1)2=
d) (x + 3)2 =
(a+b)2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2+b2-2ab
(a+b) · (a-b) = (a2-b2)
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e) (5x + 2)2=
f) (5x + 2y)2=
g) (x + 1) (x – 1) =
h) (x +3) (x -3)
i) (2x -5) (2x + 5)
11. Simplifica:
a) ( x+3)2 - [x2 + (x – 3)2] =
b) (5x – 4) (2x +3) – 5 =
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c) 3x2 – (2(x +5) – (x + 3)2 +19 =
EJERCICIOS:
1. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:
a) A un número se le quita 7
b) El doble de un número mas su cuadrado
c) Un múltiplo de 3 menos 1
d) El 20% de un número
e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios
f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%
g) Un número impar
2. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso:
a) La altura es la mitad del ancho
b) La altura es 20 cm menos que el ancho
c) La altura es los tres cuartos del ancho
d) La altura es un 20% menor de su ancho
3. Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:
a) Los tres quintos de un número menos uno
b) La suma de tres números consecutivos
c) Un múltiplo de tres mas su doble
d) La suma de un número y su cuadrado
e) El producto de un número por su siguiente
4. Simplifica
0,2x
2x +1
2x + x2
1,1x
4x - 3
x2
3x -1
x - 7
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a) 5x2 – 3x3 – x2 + 4x3 - 3 =
b) (2x2 + 5x – 7) – ( x2 – 6x + 1) =
c) (2x2 +5x -7) +3(2x2 +3x -4)=
d) 3(x3 -5x +9) – (2x3 + 6x2- 11x +4) =
e) 2x(3x2-5x+1) + 5(3x2 – 5x +1) - 2x4
21=
f) 4x11x2x4(x)x3x5·(x23 232 =
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g) 32
5x3
4
2x·3·8
h) 5
1x
3
1x 22
=
5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones. a) 3x2 +6x b) b4-3b2
c) 3ab2 + 2ab
d) 25x2 +5x e) 16x4 + 4x2
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f) 6x3 +9x2- 12x
6. Halla los productos siguientes: a) x(2x2 + 3)
b) ab·(a +b) c) x2y (x+y+1) d) – 2x (3x2 – 5x +8) e) 3x2y3(x-y+1) f) -5(3x2 +7x +11)
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h) -2x (3x2-5x+8) i) 2x2(3x2 – 5x3) j) - 3x2· (2x15 -3x12- 3x7- 5x2-3x)
7. Multiplica:
a) (x+7) (x-7) = b) (1+ x) (1 – x)=
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c) (2x – 1) (2x + 1) = d) (4 – 3x) (4 + 3x)= e) (5x2 – 3) ( 5x2 +3)= 8. Utiliza las identidades
notables en los siguientes casos:
a) (x +1)2 b) (x – 1)2
c) (1 – x)2 d) (1 + x)2 e) (2x +3)2
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f) (3 – 2x)2 g) (2x2-5)2 h) (6 –x2)2
i) (x3 – 2x)2
j) 2
3
2x
k) 2
22
1x
9. E
xpresa en forma de producto: a) x2 + 2x + 1
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