Univerzitet u Beogradu
Fizicki Fakultet
Natasa Nedeljkovic
TALASI I OPTIKA
Beograd, 2009.
1
Contents
Sadrzaj i
I. ELEKTROMAGNETNI TALASI 1
§1 Elektromagnetni talasi u neprovodnim sredinama 1
1.1. Maxwell-ove jednacine 1
1.2. Diferencijalne jednacine elektromagnetnih talasa 2
1.3. Jednacine ravanskog elektromagnetnog talasa 4
1.4. Monohromatski ravanski talas 8
1.5. Superpozicija ravanskih monohromatskih talasa 13
a) Kvazi-monohromatski talas 14
b) Talasni paket 16
1.6. ”Sferni” monohromatski elektromagnetni talasi 18
§2 Elektromagnetni talasi u provodnoj sredini 20
2.1. Jednacine elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini 20
2.2. Kompleksna dielektricna propustljivost 22
2.3. Ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini 23
§3 Transport energije elektromagnetnih talasa 27
3.1. Vremenska promena gustine energije elektromagnetnog polja 27
3.2. Pointingov vektor P 29
3.3. Energija ravanskog monohromatskog talasa 32
3.4. Svetlosni talas 33
3.5. Jacina svetlosti 35
a) Definicija jacine svetlosti 35
b) Opsti izraz za jacinu monohromatske svetlosti 37
§4 Izvori elektromagnetnih talasa 39
4.1. Maxwell-ove jednacine u polju naelektrisanja i struja 39
4.2. Retardovani potencijali 41
4.3. Zracenje Hercovog dipola 45
4.4. Polje dipola u talasnoj zoni 48
i
§5 Spektralna analiza zracenja 52
5.1. Elementarna teorija zracenja 52
5.2.Klasican model zracenja atoma 53
5.3. Spektar zracenja 55
5.4. Spektar zracenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti 59
II. GEOMETRIJSKA OPTIKA 64
§6 Aproksimacija geometrijske optike 64
6.1. Talasna jednacina u ajkonalnoj aproksimaciji 64
6.2. Svetlosni zraci 68
6.3. Fermaov princip 70
6.4. Zakoni refleksije i refrakcije svetlosti u geometrijskoj optici 72
6.5. Hajgensov princip 75
§7 Formiranje likova u geometrijskoj optici 79
7.1. Opticki lik: definicija i klasifikacija likova 79
7.2. Kardinalni elementi centriranog optickog sistema 83
7.3. Osnovna formula centriranog optickog sistema 88
§8 Prostiranje zraka kroz opticki sistem u paraksijalnoj aproksimaciji 90
8.1. Paraksijalna aproksimacija za sociva 90
8.2. Matrica optickog sistema za socivo 95
8.3. Odredjivanje kardinalnih elemenata sociva 98
8.4. Tanko socivo 105
8.5. Sistemi tankih sociva 110
III. TALASNA OPTIKA 113
§9 Elektromagnetni talasi na granici dve opticke sredine 113
9.1. Refleksija i prelamanje ravanskog talasa na granici dve opticke sredine 113
9.2. Amplitude i faze ravanskog talasa na granici dve opticke sredine 118
§10 Polarizacija svetlosti 122
10.1. Osnovni tipovi polarizacije svetlosti 122
10.2. Delimicna polarizacija. Matrica polarizacije i stepen polarizovanosti 127
10.3. Merenje stepena polarizovanosti svetlosti 132
§11 Interferencija svetlosti 138
ii
11.1. Fenomen interferencije 138
11.2. Interferencija dva monohromatska talasa istih ucestanosti 140
11.3. ”Interferencija” dva monohromatska talasa razlicitih ucestanosti 145
11.4. Interferencija talasa nastalih deobom amplituda talasa (plan-paralelna
plocica) 148
11.5. Amplitudna deoba-Majkelsonov interferometar 156
11.6. Interferencija talasa nastalih deobom talasnog fronta 162
§12 Koherencia svetlosti 165
12.1. Vremenska koherencija (talasni segmenti) 165
12.2. Vremenska koherencija (talasni paket) 169
12.3. Prostorna koherencija 172
§13 Difrakcija 176
13.1. Fenomen difrakcije 176
13.2. Kirkhofova formula i Hajgens-Frenelov princip 179
13.3. Frenelove zone i zakon slaganja amplituda 184
13.4. Frenelova difrakcija na kruznom otvoru i disku 188
13.5. Fraunhoferova difrakcija na pukotini 193
13.6. Difrakciona resetka 197
LITERATURA 203
iii
I. ELEKTROMAGNETNI TALASI
§1 Elektromagnetni talasi u neprovodnim sredinama
1.1. Maxwell-ove jednacine
Maxwell-ove jednacine, kao opste jednacine elektromagnetnog polja pokazuju da su elek-
tricno i magnetno polje medjusobno povezani: promenjivo elektricno polje E(t) izaziva
(nestacionarno) magnetno polje B(t) i obratno. Do ovakve pojave dolazi ako, na primer,
u nekom delu prostora osciluju naelektrisanja. Medjusobno pretvaranje jedne komponente
elektromagnetnog polja u drugu prostire se kroz prostor kontinualno. Ovaj proces se naziva
elektromagnetni talas. U najjednostavnijem slucaju, posmatrani proces je periodican u pros-
toru i vremenu: tada su vektori E i B periodicne funkcije prostornih koordinata i vremena.
Razmotrimo prvo kako je sa stanovista samih Maxwell-ovih jednacina moguce postojanje
elektromagnetnih talasa. Maxwell-ove jednacine se prirodno grupisu u dva para. Prvi par
Maxwell-ovih jednacina:
rotE = −∂B
∂t(1.1a)
divB = 0 (1.1b)
opisuje neka svojstva funkcija polja E i B nezavisno od izvora polja, dok u drugom paru
jednacina figurisu gustina naelektrisanja ½ i gustina struje j:
rotH = j +∂D
∂t(1.2a)
divD = ½, (1.2b)
gde su D i H pomocne funkcije polja (elektricna i magnetna indukcija).
U slucaju da su sredine linearne i izotropne, izmedju E i D a takodje i izmedju B i H
postojace linearna veza:
D = "E, B = ¹H, (1.3)
gde su " = "0"r i ¹ = ¹0¹r dielektricna i magnetna propustljivost sredine. Radi jednos-
tavnosti, ogranicimo se na homogene i stacionarne sredine kod kojih je " = const i ¹ = const.
Pod navedenim uslovima, drugi par Maxwell-ovih jednacina (1.2a,b) moze takodje da se
izrazi preko E i B:
rotB = ¹j + "¹∂E
∂t(1.4a)
1
FIG. 1: Schematski prikaz transformacija u elektromagnetnom polju
divE =1
"½. (1.4b)
U ovom odeljku se ogranicavamo na deo prostora ℜ u kome nema ni stranih naelektrisanja
ni struja (tzv. neprovodna sredina). Drugim recima, pretpostavljamo da su izvori polja
izvan uocenog dela prostora. U tom slucaju, u svakoj tacki prostora ℜ i u svakom trenutku
vremena imamo:
½ = 0, j = 0. (1.5)
Drugi par Maxwell-ovih jednacina (1.4a,b) u ℜ dobija oblik:
rotB = "¹∂E
∂t(1.6a)
divE = 0. (1.6b)
Analizom Maxwell-ovih jednacina (1.1a,b) i (1.6a,b) vidimo da se u svakoj tacki prostora
u kojoj je ∂E/∂t ∕= 0 pojavljuje (vrtlozno) magnetno polje B(t); kako je za ovo polje
∂B/∂t ∕= 0, to ono postaje izvor vrtloznog elektricnog polja E(t) a ovo polje postaje ponovo
izvor magnetnog polja, tako da proces neprekidno traje, Fig.1.
1.2. Diferencijalne jednacine elektromagnetnih talasa
Maxwell-ove jednacine (1.1a,b) i (1.6a,b) predstavljaju sistem spregnutih parcijalnih difer-
encijalnih jednacina prvog reda po E i B. Ovakav sistem se moze ”raspregnuti” formiranjem
parcijalnih diferencijalnih jednacina drugog reda posebno za E i posebno za B.
U tom cilju nadjimo rotor leve i desne strane jednacine (1.1a):
rot(rotE) = −rot∂B
∂t= − ∂
∂trotB. (1.7a)
2
Pri pisanju gornje jednacine zamenili smo mesta operacijama rot i ∂/∂t, sto je ekvivalentno
zameni redosleda diferenciranja po prostornim i vremenskim koordinatam. Zamenom izraza
(1.6a) za rotB u jednacinu (1.7a), nalazimo:
rot(rotE) = − ∂
∂t
Ã"¹
∂E
∂t
)= −"¹
∂2E
∂t2. (1.7b)
Leva strana jednacine (1.7b) se moze transformisati uz pomoc sledece jednacine iz vektorske
analize:
rot rotE = ∇× (∇× E) = grad divE −ΔE,
gde je ΔE tzv. laplasijan vektora E. U Dekartovim koordinatama x, y, z velicina ΔE
definisana je sledecim izrazom:
ΔE =∂2E
∂x2+
∂2E
∂y2+
∂2E
∂z2.
Na osnovu jednacine (1.6b) imamo da je divE = 0, tako da izraz (1.7b) mozemo napisati u
obliku:
ΔE = "¹∂2E
∂t2, (1.8a)
odnosno, eksplicitno (u Dekartovim koordinatama):
∂2E
∂x2+
∂2E
∂y2+
∂2E
∂z2= "¹
∂2E
∂t2. (1.8b)
Analognim postupkom, uzimajuci rotor jednacine (1.6a) i uzimajuci u obzir da je, na
osnovu jednacine (1.1a), rotE = −∂B/∂t, nalazimo:
ΔB = "¹∂2B
∂t2, (1.9a)
odnosno, eksplicitno (u Dekartovim koordinatama):
∂2B
∂x2+
∂2B
∂y2+
∂2B
∂z2= "¹
∂2B
∂t2. (1.9b)
Jednacine (1.8a) i (1.9a) predstavljaju trazene jednacine za vektore E i B. U daljem
razmatranju videcemo da ovakve jednacine imaju resenja koja su periodicna u prostoru i
vremenu i koja predstavljaju elektromagnetne talase. Zato se ove jednacine nazivaju talasne
jednacine. Ocigledno je da vektori E i B zadovoljavaju istovetne jednacine, tako da se u
zavisnosti od pocetnih i granicnih uslova mogu ocekivati simetricna resenja.
3
Faktor "¹ koji figurise na desnoj strani talasnih jednacina (1.8a) i (1.9a) karakterise
sredinu u kojoj razmatramo mogucnost uspostavljanja talasa. Velicina "¹ ima dimenzije
reciprocne vrednosti kvadrata brzine. Zbog toga je pogodno uvesti tzv. faznu brzinu vf
definisanu kao:
vf =1√"¹
. (1.10a)
Na osnovu jednacine (1.10a) vidimo da je u vakuumu vf = 1/√"0¹0 = c, gde je c brzina
svetlosti (u vakuumu). Prema tome,
vf =c√"r¹r
. (1.10b)
U daljim razmatranjima cemo videti da je vf u vezi sa brzinom prostiranja elektromagnetnih
talasa.
Napomenimo na kraju, da vektori E i B mada odredjeni nezavisnim jednacinama (1.8a)
i (1.9a) nisu medjusobno nezavisne velicine. Naime, ove funkcije polja su spregnute samim
Maxwell-ovim jednacinama.
1.3. Jednacine ravanskog elektromagnetnog talasa
Talasna jednacine (1.8a), odnosno (1.9a), moze da ima vrlo razlicite tipove resenja od ko-
jih svako odgovara nekom tipu elektromagnetnih talasa. Tip elektromagnetnog talasa moze
se odrediti prema geometrijskom mestu tacaka konstantne vrednosti inteziteta vektora E. Za
elektromagnetne talase je karakteristicno da pomenuti skupovi tacaka obrazuju povrsi, tzv.
talasne povrsi. Kod ravanskih talasa ove povrsi su sistemi medjusobno paralelnih ravni; kod
cilindricnih i sfernih talasa to ce biti sistemi cilindricnih povrsi, odnosno koncentricnih sfera.
Specificnost elektromagnetnih talasa je da i intezitet vektora B ima konstantnu vrednost na
talasnoj povrsi.
U ovom odeljku razmatramo mogucnost da se u delu prostora ℜ uspostave ravanski elek-
tromagnetni talasi. Uvedimo Dekartov koordinatni sistem sa x-osom normalnom na talasne
povrsi koje su u tom slucaju paralelne sa y0z-ravni, kao na Fig. 2. Ravanski elektromagnetni
talasi mogu se dobiti direktnim resavanjem talasnih jednacina (1.8a) i (1.9a). Medjutim,
zbog ociglednosti, a takodje i zbog nalazenja veze izmedju elektricne i magnetne kompo-
nente talasa, pogodno je vratiti analizu na polazni sistem Maxwell-ovih jednacina (1.1a,b) i
(1.6a,b).
4
FIG. 2: Talasne povrsi ravanskog elektromagnetnog talasa
Nadjimo sada resenja Maxwell-ovih jednacina koja zadovoljavaju uslov da su intenziteti
vektora E i B konstantni na talasnim ravnima. To znaci da vektori E i B mogu (u datom
trenutku vremena t) da zavise samo od polozaja talasnih ravni, tj. od x:
E = Ex(x, t)ex + Ey(x, t)ey + Ez(x, t)ez (1.11a)
B = Bx(x, t)ex +By(x, t)ey +Bz(x, t)ez. (1.11b)
Da bismo nasli resenje tipa (1.11a,b), podjimo od Maxwell-ovih jednacina u Dekartovim
koordinatama uz pretpostavku da je E = E(x, t) i B = B(x, t). Jednacina (1.1a) za rotE
se svodi na
rotE =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ex ey ez∂∂x
∂∂y
∂∂z
Ex Ey Ez
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −∂B
∂t, (1.12a)
tj. (∂Ez
∂y− ∂Ey
∂z
)ex +
(∂Ex
∂z− ∂Ez
∂x
)ey +
(∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y
)ez = −∂B
∂t, (1.12b)
pri cemu su clanovi ∂Ez/∂y, ∂Ey/∂z, ∂Ex/∂z i ∂Ex/∂y jednaki nuli. Vektorska jednacina
(1.12b) se svodi na sistem od tri skalarne jednacine
0 =∂Bx
∂t(1.13a)
5
FIG. 3: Moguce nezavisne kombinacije vektora E i B kod ravanskog elektromagnetnog talasa
∂Ez
∂x=
∂By
∂t(1.13b)
∂Ey
∂x= −∂Bz
∂t. (1.13c)
Kako Bx, By i Bz zavise samo od x i t, Maxwell-ova jednacina (1.1b), koja u Dekartovim
koordinatama ima oblik divB = ∂Bx/∂x+ ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0, svodi se na
∂Bx
∂x= 0. (1.14)
Na analogan nacin transformise se i drugi par Maxwell-ovih jednacina (1.6a,b). Jednacina
(1.6a) za rotB se svodi na
0 =∂Bx
∂t(1.15a)
∂Bz
∂x= −"¹
∂Ey
∂t(1.15b)
∂By
∂x= "¹
∂Ez
∂t, (1.15c)
dok jednacina (1.16b) za divE prelazi u
∂Ex
∂x= 0. (1.16)
Na osnovu jednacina (1.15a) i (1.16) vidimo da x-komponenta jacine polja E ne zavisi ni
od x, niti od t. To znaci da Ex opisuje vremenski nezavisno homogeno polje (tzv. pozadinsko
6
polje ili fon), koje ne utice na prostiranje elektromagnetnih talasa, tako da se bez narusavanja
opstosti moze uzeti da je jednako nuli:
Ex = 0. (1.17)
Analogno, na osnovu jednacina (1.13a) i (1.14), vidimo da komponenta Bx predstavlja sta-
cionarno pozadinsko polje za koje cemo ponovo uzeti da je jednako nuli:
Bx = 0. (1.18)
Analizom jednacina (1.17) i (1.18) zakljucujemo da ravanski elektromagnetni talas nema
komponentu duz x-ose (tj. u pravcu svog prostiranja), odnosno vektori jacine elektricnog i
magnetnog polja su normalni na pravac prostiranja talasa. U tom smislu, elektromagnetni
talas spada u klasu transferzalnih talasa.
Preostale cetiri Maxwell-ove jednacine (1.13b), (1.13c), (1.15b) i (1.15c) grupisu se u dva
nezavisna sistema∂Ey
∂x= −∂Bz
∂t,
∂Bz
∂x= −"¹
∂Ey
∂t(1.19a)
i∂Ez
∂x=
∂By
∂t,
∂By
∂x= "¹
∂Ez
∂t. (1.19b)
Prvi par jednacina (1.19a) povezuje Ey i Bz, a drugi par jednacina (1.19b) velicine Ez i By.
Koje ce se resenje realizovati zavisi od pocetnih i granicnih uslova. Ako je u nekoj tacki
prostora ℜ formirano (u nekom trenutku) promenjivo polje u pravcu y-ose: E = Ey(x, t)ey,
kao na Fig. 3(a), onda ce ovo polje izazvati magnetno polje Bz usmereno duz z-ose, a
ono izaziva promenjivo elektricno polje Ey duz y-ose, itd. Analogno, ako bi prvobitno bilo
uspostavljeno elektricno polje Ez, kao na Fig. 3(b), onda bi se pojavilo magnetno poje By
duz y-ose, koje se dalje transformise u elektricno polje Ez, itd. Dakle, mogu se nezavisno
pojaviti ravanski elektromagnetni talasi kod kojih je jedna komponenta (Ey ili Ez) polja
jednaka nuli. Mi cemo posmatrati slucaj kada je komponenta elektricnog polja duz z-ose
jednaka nuli:
Ez = 0, By = 0. (1.20)
U razmatranom slucaju, za opis elektromagnetnog talasa preostaju jednacine (1.19a).
Ako prvu od tih jednacina diferenciramo po x i zamenimo mesto diferenciranja po x i po t,
7
nalazimo: ∂2Ey/∂x2 = −(∂/∂x)(∂Bz/∂t) = −(∂/∂t)(∂Bz/∂x). Uocivsi da je ∂Bz/∂x dato
drugom od jednacina posmatranog para (1.19a), nalazimo
∂2Ey
∂x2= "¹
∂2Ey
∂t2. (1.21a)
Analogno, ako diferenciramo drugu od jednacina (1.19a) po x i iskoristimo prvu jednacinu
ovog para, nalazimo∂2Bz
∂x2= "¹
∂2Bz
∂t2. (1.21b)
Jednacine (1.21a) i (1.21b) predstavljaju talasne jednacine ravanskog elektromagnetnog
talasa; one slede direktno iz talasnih jednacina (1.8b) i (1.9b) ako se pretpostavi da je
E = Ey(x, t)ey i B = Bz(x, t)ez.
1.4. Monohromatski ravanski talas
Talasne jednacine (1.21a,b) imaju periodicna partikularna resenja koja se nazivaju ra-
vanski monohromatski talasi.
Naime, lako je proveriti da jednacine (1.21a,b) imaju partikularna resenja oblika
Ey = Emcos(!t− kx+ ®1) (1.22a)
Bz = Bmcos(!t− kx+ ®2). (1.22b)
Velicine Em i Bm u jednacinama (1.22a,b) su amplitude talasa, dok su
fi = !t− kx+ ®i (1.23a)
(i = 1, 2) faze talasa. Velicine ®1 i ®2 su pocetne faze. Parametri ! i k koji se pojavljuju kao
konstante u jednacinama (1.22a,b) predstavljaju (kruznu) ucestanost i talasni broj posma-
tranog elektromagnetnog talasa. Ucestanost ! karakterise dato partikularno resenje, dok je
talasni broj k data funkcija od !. Bice pokazano da je kod elektromagnetnih talasa ®1 = ®2,
tako da se ekvifazna povrs definise jednacinom
f = f1 = f2 = const. (1.23b)
Vidimo da se ona poklapa sa talasnom ravni (x = const).
8
FIG. 4: Period T i talasna duzina ¸ ravanskog monohromatskog talasa
Posmatrani kao funkcije od t, talasi (1.22a,b) se ponasaju kao cos(!t+ const), tj. pred-
stavljaju periodicne funkcije vremena sa periodom T = 2¼/!, Fig. 4(a), tako da je
! =2¼
T. (1.24a)
Primetimo da se pored kruzne ucestanosti ! cesto koristi i frekvencija º pri cemu je ! = 2¼º,
tj. º = 1/T . Frekvencija º predstavlja broj oscilacija (velicina Ey ili Bz) u jedinici vremena.
U SI sistemu, jedinica frekvencije º je Herz:
º =1
T(=)Hz. (1.24b)
Naziv monohromatski talas upravo i potice od cinjenice da se posmatrani talas karakterise
datim º (tj. datim !). Naime, ”monohromaatski” znaci ”jednobojan”, a elektromagnetni
talasi date frekvencije predstavljaju jednobojnu svetlost.
Vezu talasnog broja k i ucestanosti ! nalazimo direktno iz talasne jednacine (1.21a).
Zamenom (1.22a) u (1.21a) dobijamo: Emk2cos(!t− kx+ ®1) = "¹Em!
2cos(!t− kx+ ®1),
odakle je
k =√"¹!. (1.25a)
Kako je na osnovu jednacine (1.10a) fazna brzina vf = 1/√"¹, talasni broj se moze izraziti
u obliku
k =!
vf. (1.25b)
Talasni broj k (koji ima dimenziju 1/m) je u vezi sa talasnom duzinom ¸ talasa, Fig.
4(b). Naime, posmatrani kao funkcija od x, talasi (1.22a,b) se ponasaju kao cos(kx+const),
9
FIG. 5: Brzina prostiranja ravanskog elektromagnetnog talasa
tj. predstavljaju periodicne funkcije sa periodom ¸ = 2¼/k, tako da je
k =2¼
¸. (1.25c)
Monohromatski ravanski talas ucestanosti ! predstavlja periodican proces koji se u pros-
toru prostire nekom brzinom v. Brzina v se definise kao brzina kojom se pomera data
vrednost Ey. Ona se moze naci kao brzina reprezentativne tacke na grafiku zavisnosti
Ey od x prikazanom na Fig. 5(a). U trenutku t reprezentativna tacka ima koordinatu
x, a u trenutku t + dt, koordinatu x + dx, pri cemu je vrednost Ey ista u oba slucaja.
Kako je Ey(x, t) = Emcosf(x, t), vidimo da Ey ima istu vrednost ako su faze jednake:
f(x, t) = f(x+ dx, t+ dt). Drugim recima totalni diferencijal faze f jednak je nuli:
df(x, t) = 0. (1.26)
Kako je faza f data jednacinom (1.23a), uslov (1.26) moze se napisati kao: !dt− kdx = 0,
odakle sledi da je v = dx/dt = !/k. Kako je na osnovu jednacine (1.25b) k = !/vf ,
zakljucujemo da se posmatrani monohromatski talas prostire faznom brzinom vf :
v = vf . (1.27a)
Podsetimo se da je velicina vf definisana jednacinom (1.10a). Cinjenica da jednacina (1.27a)
sledi iz konstantnosti faze predstavlja razlog sto vf nosi naziv fazna brzina.
Jednacina (1.26) predstavlja opsti izraz za odredjivanje brzine. U posmatranom slucaju
kada je brzina v = const. (tj. kada se talas prostire kroz homogenu sredinu), mozemo uzeti
10
da reprezentativna tacka predje put ¸ za vreme T kao na Fig. 5(b), tako da je
v =¸
T. (1.27b)
Kako je ¸ = 2¼/k i T = 2¼/!, bice v = !/k = vf .
Da bi u potpunosti odredili elektromagnetni talas treba jos naci vezu amplituda Em i
Bm kao i vezu izmedju pocetnih faza ®1 i ®2 elektricne i magnetne komponente talasa. Ove
dve komponente povezane su samim Maxwell-ovim jednacinama, koje se u posmatranom
slucaju svode na par jednacina (1.19a). Zamenom (1.22a) i (1.22b) u prvu od ovih jednacina,
nalazimo: Emk sin(!t − kx + ®1) = Bm! sin(!t − kx + ®2). Dobijena jednakost mora da
vazi za svako x i za svako t, sto je moguce jedino ako je
®1 = ®2 ≡ ® (1.28a)
kEm = !Bm. (1.28b)
Primetimo da bismo iste relacije dobili i zamenom (1.22a) i (1.22b) u drugu jednacinu para
(1.19a).
Jednacina (1.28a) ukazuje na cinjenicu da vektori E i B osciluju sinhrono (tj. u fazi), dok
jednacina (1.28b) pokazuje da su maksimalne vrednosti elektricne i magnetne komponente
(a samim tim i trenutne vrednosti) medjusobno proporcionalne. Uz pomoc jednacine (1.3),
relacija (1.28b) se moze izraziti i preko magnetne indukcije Hm, gde je Bm = ¹Hm; naime,
kEm = !¹Hm. Kako je, prema jednacinama (1.25b) i (1.10a), k/! = 1/vf =√"¹, nalazimo
√"Em =
√¹Hm. (1.28c)
Relacija (1.28c) omogucava poredjenje Em i Hm po brojnoj vrednosti (u vakuumu)
Em
Hm
=
√¹0
"0= 377. (1.28d)
Vidimo da je Em ≫ Hm. Jasniju fizicku osnovu za poredjenje elektricne i magnetne kompo-
nente u posmatranom elektromagnetnom talasu dobijamo ako uporedimo sile Fe i Fm kojim
elektricno i magnetno polje talasa deluju na naelektrisanje q koje se brzinom vq krece u ovom
polju:Fe
Fm
=qEm
qvqBm
=vfvq. (1.28e)
11
FIG. 6: Ravanski monohromatski talas
Kako je vf reda velicine brzine svetlosti, to se u svim nerelativistickim slucajevima kretanja
naelektrisanja (vq ≪ vf ) moze smatrati da je Fe ≫ Fm. Zbog toga je u najvecem broju
optickih pojava aktivna samo elektricna komponenta polja.
Konacno, ravanski monohromatski talas mozemo opisati jednacinama (1.22a,b) u kojima
se uzimaju u obzir veze (1.28a,b):
E = Em cos(!t− kx+ ®)ey (1.29a)
B = Bm cos(!t− kx+ ®)ez. (1.29b)
Ponasanje ravanskog elektromagnetnog talasa prikazano je na Fig. 6(a). Jednacinama
(1.29a,b) prikazan je ravanski elektromagnetni talas koji se prostire duz x-ose u datom
koordinatnom sistemu. Da bismo dosli do reprezentacije ravanskog monohromatskog talasa
u ”vektorskom obliku”, tj. u obliku nezavisnom od koordinatnog sistema, uvedimo tzv.
talasni vektor k ciji se pravac i smer poklapa sa pravcem i smerom prostiranja talasa, dok
mu je intezitet jednak talasnom broju k. U posmatranom slucaju k = kex, tako da je
k ⋅ r = kx, gde je r vektor polozaja proizvoljne tacke u polju, vidi Fig. 6(b).
Koristeci se talasnim vektorom k, za opsti oblik ravanskog monohromatskog talasa (koji
se prostire u pravcu vektora k) imamo
E(r, t) = Em cos(!t− k ⋅ r + ®), (1.30)
gde je Em = Emey.
12
Vektor E(r, t) koji ima oblik prikazan jednacinom (1.30), moze da se prikaze kao realni
deo kompleksnog vektoraˇE(r, t):
E(r, t) = ReˇE(r, t), (1.31)
pri cemu je kompleksni vektorˇE definisan kao
ˇE(r, t) =
ˇEmexp[−i(!t− k ⋅ r)], (1.32a)
gde jeˇEm = Eme
−i® = Eme−i®ey. (1.32b)
Znak (-) u jednacinama (1.32b,c) uveden je radi pogodnosti. U usvojenoj reprezentaciji,
talas koji se prostire u k pravcu ponasa se kao exp(ik ⋅ r).Primetimo, na kraju, da formule analogne sa (1.31a) i (1.32) mogu da se napisu i za
magnetnu komponentu elektromagnetnog talasa:
B(r, t) = ReˇB(r, t), (1.32c)
gde su
ˇB(r, t) =
ˇBmexp[−i(!t− k ⋅ r)] (1.32d)
ˇBm = Bme
−i® = Bme−i®ez. (1.32e)
1.5. Superpozicija ravanskih monohromatskih talasa
Monohromatski talasi su u odeljku 1.4. dobijeni kao partikularno resenje talasne jednacine
za dato ! . Ovakvi talasi bi mogli postojati u oblasti ℜ ako bi u komplementarnoj oblasti
postojao odgovarajuci izvor svetlosti.
U realnim uslovima, ne postoje izvori strogo monohromatske svetlosti. Naime, prirodni
izvori uvek zrace elektromagnetne talase u nekom intervalu ucestanosti Δ!. Ovakvi talasi se
u oblasti ℜ ponasaju kao superpozicija monohromatskih talasa. Ova fizicka okolnost pred-
stavlja posledicu cinjenice da talasna jednacina, kao linearna diferencijalna jednacina, pored
monohromatskog talasa ima za resenje i proizvoljnu ”linearnu kombinaciju - superpoziciju”
ovakvih talasa. U ovom odeljku cemo razmotriti dva karakteristicna slucaja superpozicije
ravanskih monohromatskih talasa kojom se formiraju kvazimonohromatski talas i talasni
paket.
13
FIG. 7: Kvazi-monohromatski talas nastao slaganjem dva talasa bliskih ucestanosti
a) Kvazi-monohromatski talas
Razmotrimo prvo superpoziciju dva ravanska monohromatska talasa koji se prostiru duz
iste (x-ose) sa medjusobno bliskim ucestanostima !1 i !2, pri cemu je elektricno polje oba
talasa duz y-ose.
Pri razmatranju superpozicije posmatrana dva talasa pretpostavicemo takodje da dielek-
tricna propustljivost " i magnetna propustljivost ¹ sredine kroz koju se prostire talas ne
zavise od ucestanosti talasa. Ovakve sredine nazivaju se nedisperzivne sredine. U tom
slucaju za oba talasa imamo istu faznu brzinu vf . Talasni brojevi posmatranih talasa su
prema tome: k1 = !1/vf i k2 = !2/vf . Jacine elektricnog polja prvog i drugog talasa date
su jednacinom (1.29a):
E1 = Em1cos(!1t− k1x+ ®1)ey, (1.33a)
E2 = Em2cos(!2t− k2x+ ®2)ey. (1.33b)
Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da talasi imaju iste pocetne faze (®1 = ®2 = 0) i iste
amplitude (Em1 = Em2 = Em). Na Fig. 7(a) prikazana su navedena dva talasa. Vidimo da
mala razlika u ucestanostima talasa moze da dovede talase u protiv-fazu.
Rezultujuca jacina polja (rezultujuci talas) u svakoj tacki prostora je
E = E1 + E2, (1.34a)
tj.
E = Em[cos(!1t− k1x) + cos(!2t− k2x)]ey. (1.34b)
14
Koristeci formulu cos® + cos¯ = 2cos®−¯2cos®+¯
2, nalazimo
E = 2Emcos
(!1 − !2
2t− k1 − k2
2x
)cos
(!1 + !2
2t− k1 + k2
2x
)ey. (1.35)
Kako su ucestanosti !1 i !2 bliske, imamo !2=!1+Δ!, tj.
!2 − !1 = Δ! ≪ !1, !2 (1.36a)
k2 − k1 = Δk =!2 − !1
vf=
Δ!
vf≪ k1, k2, (1.36b)
tako da je
E = 2Emcos
(Δ!
2t− Δk
2x
)cos
(!1t− k1x+
Δ!
2t− Δk
2x
)ey. (1.37a)
Ako uvedemo velicinu
fg =Δ!
2t− Δk
2x, (1.37b)
rezultujuci talas mozemo da predstavimo u obliku
E(x, t) = A(x, t)cos(!1t− k1x+ fg)ey, (1.38a)
gde je
A(x, t) = 2Emcosfg(x, t). (1.38b)
Dakle, superpozicijom dva monohromatska talasa bliskih ucestanosti dobija se kvazi-
monohromatski talas, Fig. 7(b), koji osciluje sa osnovnom ucestanoscu !1 i ima modulisucu
amplitudu A(x, t) (isprekidana linija na Fig. 7(b)).
Kvazi-monohromatski talas se prostire tzv. grupnom brzinom vg koja predstavlja brzinu
kojom se pomera reprezentativna tacka sa Fig. 7(b) (to je brzina kojom se pomera cela
grupa talasa). Po svojoj definiciji vg je fazna brzina modulisuce amplitude date jednacinom
(1.38b). Dakle, vg se nalazi iz jednacine
dfg(x, t) = 0, (1.39a)
koja se svodi na Δ!2dt− Δk
2dx = 0, tako da je
vg =dx
dt=
Δ!
Δk. (1.39b)
Kako je Δk = Δ!/vf , nalazimo da je vg = vf . Dakle, grupna brzina kvazimonohromatskog
talasa jednaka je faznoj brzini.
15
b) Talasni paket
Razmotrimo sada superpoziciju kontinuuma ravanskih monohromatskih talasa koji se
prostiru duz x-ose, ciji talasni brojevi pripadaju intervalu [k0 − Δk/2, k0 + Δk/2] i ciji
vektori elektricnog polja svi osciluju duz y-ose. Ovakvom superpozicijom dobija se talas
lokalizovan u prostoru koji se naziva talasni paket.
Rezultujuca jacina polja je sada jednaka
E(x, t) =
∫ k0+Δk/2
k0−Δk/2
Ak(k)cos(!t− kx)dkey, (1.40a)
gde je Ak(k)dk amplituda komponentnog talasa, dok je Ak(k) gustina amplitude. Pret-
postavimo da je sredina nedisperzivna tako da vf ne zavisi od !. U tom slucaju imamo
!t−kx = (vf t−x)k. Pri izracunavanju integrala (1.40a) mozemo primeniti teoremu o sred-
njoj vrednosti:∫g(x)f(x)dx =< g(x) >
∫f(x)dx. Ako sa < Ak(k) >≡ A0/Δk oznacimo
srednju vrednost amplitude, za jacinu polja E imamo
E(x, t) =A0
Δk
∫ k0+Δk/2
k0−Δk/2
cos[(vf t− x)k]dkey, (1.40b)
odakle, direktnom integracijom, nalazimo
E(x, t) =A0
(vf t− x)Δk
{sin
[(vf t− x)
(k0 +
Δk
2
)]− sin
[(vf t− x)
(k0 − Δk
2
)]}ey.
(1.41a)
Ako uvedemo oznake (vf t− x)k0 = ® i (vf t− x)Δk2
= ¯, izraz (1.41a) mozemo da napisemo
u obliku
E(x, t) =A0
(vf t− x)Δk[sin(®+ ¯)− sin(®− ¯)]ey. (1.41b)
Koristeci adicionu teoremu sin(®± ¯) = sin® cos¯ ± cos® sin¯, nalazimo da je sin(®+ ¯)−sin(®− ¯) = 2sin¯cos®, tako da je
E(x, t) =2A0
(vf t− x)Δksin
[(vf t− x)
Δk
2
]cos[(vf t− x)k0]ey. (1.41c)
Izraz (1.41c) prikazuje modulisan ravanski monohromatski talas:
E(x, t) = A(x, t)cos(!0t− k0x)ey, (1.42a)
gde je !0 = vfk0 i gde je modulisuca amplituda A(x, t) data sa
A(x, t) = A0
sin[(vf t− x)Δk2]
(vf t− x)Δk2
. (1.42b)
16
FIG. 8: Talasni paket u prostoru i vremenu
Amplituda A(x, t) je bitno razlicita od nule samo u ogranicenom delu prostora. Zato
se talas (1.42a) naziva talasni paket. Ponasanje amlitude A(x, t) odredjeno je ponasanjem
funkcije sin»/» gde je » = (vf t − x)Δk2. Funkcija sin»/» → 1 kada » → 0; prva nula ove
funkcije je za » = ±¼, a sledeca za » = ±2¼. Prema tome, u trenutku t, posmatrani talasni
paket je lokalizovan oko polozaja x = xc odredjenog uslovom » = 0, tj.
vf t− xc = 0. (1.43)
Analogno, na mestu x, talasni paket je lokalizovan u nekom vremenskom intervalu oko
trenutka t = tc, gde je vf tc − x = 0.
Zavisnost Ey od x je prikazana na Fig. 8(a), a zavisnost Ey od t na Fig. 8(b). Vidimo
da je talasni paket lokalizovan u u prostoru u okviru intervala x ∈ [xc −Δx/2, xc +Δx/2],
pri cemu se moze uzeti da je ∣»∣/x=xc+Δx/2 = ¼/2; na osnovu ovog uslova nalazimo
ΔxΔk = 2¼. (1.44)
Poslednja relacija se moze interpretirati kao ”relacija neodredjenosti” za koordinatu x i
talasni broj k. Prostrorna delokalizovanost talasa je utoliko veca (vece Δx) ukoliko je manji
interval Δk. U granicnom slucaju Δk → 0, talasni paket postaje potpuno delokalizovan i
prelazi u ravanski monohromatski talas amplitude A0 i ucestanosti !0.
Kao sto smo videli, prema jednacini (1.43), u trenutku t, talasni paket je lokalizovan oko
tacke xc = vf t, koja predstavlja centar talasnog paketa. Centar paketa xc se pomera duz
17
x-ose brzinom koja predstavlja tzv. grupnu brzinu talasa. Ova brzina je data sa
vg =dxc
dt= vf , (1.45)
sto znaci da se u posmatranoj nedisperzivnoj sredini grupna brzina poklapa sa faznom
brzinom.
Kretanjem u nedisperzivnim sredinama talas ne menja svoj oblik. U disperzivnim sredi-
nama doslo bi do ”rasplinjavanja” paketa, tj. Δx raste u toku vremena.
1.6. ”Sferni” monohromatski elektromagnetni talasi
Maxwell-ove jednacine u skalarnoj aproksimaciji dozvoljavaju da se u delu prostora ℜbez naelektrisanja i struja pojave sferni talasi. Ovakvi talasi se karakterisu sfernim talasnim
povrsima rasporedjenim koncentricno sa zajednickim centrom koji se u opstem slucaju nalazi
izvan ℜ.Pretpostavicemo da deo prostora ℜ predstavlja linearnu, izotropnu sredinu koja je ho-
mogena i cije se osobine ne menjaju tokom vremena. U ovakvim sredinama vektori E i
B zadovoljavaju talasne jednacine (1.8a) i (1.9a). Analiza samih Maxwell-ovih jednacina u
sfernim koordinatama, bice data u odeljku §4 gde ce biti pokazano da u oblasti ℜ postoje
resenja oblika
E = Eµeµ, B = B'e', (1.46)
gde su eµ i e' ortovi (uzajamno ortogonalni) duz promene uglova µ i ' sfernih koordinata
r, µ i ', definisanih na Fig. 9. U odeljku §4 bice takodje pokazano da je Eµ = Eµ(r, µ, t)
i B' = B'(r, µ, t). Ovde cemo prikazati tzv. skalarnu aproksimaciju, u okviru koje se
zanemaruje vektorski karakter elektromagnetnog polja. Naime, u ovoj aproksimaciji, uzima
se da Eµ (odnosno B') zadovoljavaju talasne jednacine
ΔEµ = "¹∂2Eµ
∂t2(1.47a)
ΔB' = "¹∂2B'
∂t2. (1.47b)
Jednacine (1.47a,b) imaju resenja koja su sferno simetricna
Eµ = Eµ(r, t), B' = B'(r, t). (1.48)
18
FIG. 9: Elektricna i magnetna komponenta sfernog elektromagnetnog talasa
Da bismo nasli ova resenja (npr. resenje Eµ) uocimo da delovanje laplasijana Δ na Eµ(r, t)
daje: ΔEµ(r, t) =1r
∂2
∂r2(rEµ(r, t)). Zamenom ovog izraza u jednacinu (1.47a), nalazimo
1
r
∂2
∂r2(rEµ) = "¹
∂2Eµ
∂t2. (1.49a)
Mnozenjem poslednje jednacine sa r, dobijamo
∂2
∂r2(rEµ) = "¹
∂2
∂t2(rEµ). (1.49b)
Poredjenjem jednacine (1.49b) sa jednacinom (1.21a) za komponentu Ey ravanskog
monohromatskog talasa, nalazimo da su ove jednacine formalno istog oblika, tako da imaju
i formalno ista resenja:
rEµ(r, t) = Emcos(!t− kr + ®). (1.50a)
Prema tome, koristeci skalarnu aproksimaciju, vidimo da su moguci sferni talasi, cija je
elektricna komponenta
E(r, t) =Em
rcos(!t− kr + ®)eµ. (1.50b)
Na analogan nacin, resavanjem jednacine (1.47b) nalazimo da je magnetna komponenta
posmatranog talasa
B(r, t) =Bm
rcos(!t− kr + ®)e'. (1.51)
19
Pri pisanju jednacine (1.51) uzeli smo u obzir da elektricna i magnetna komponenta sfernog
talasa osciluje u fazi (isto ®). Takodje, moze se uzeti da su Em i Bm povezani istom
jednacinom (1.28b) kao za ravanske talase.
Sferni monohromatski talas opisan jednacinom (1.50b) i (1.51) prostire se duz r-pravca i
to u pravcu porasta r. Uvedimo sada vektor k u pravcu i smeru prostiranja sfernih talasa:
k = ker, kao na Fig. 9. Tada je kr = k ⋅ r, tako da sferni talas moze da se predstavi u
vektorskom obliku
E(r, t) =Em
rcos(!t− k ⋅ r + ®)eµ (1.52a)
B(r, t) =Bm
rcos(!t− k ⋅ r + ®)e'. (1.52b)
Primetimo da se i u slucaju sfernih talasa, po analogiji sa jednacinom (1.32b), mogu
uvesti kompleksni vektoriˇE i
ˇB. Po definiciji uzimamo da je
ˇE =
Em
rexp[−i(!t− k ⋅ r + ®)] (1.53a)
ˇB =
Bm
rexp[−i(!t− k ⋅ r + ®)], (1.53b)
gde smo uveli vektore Em = Emeµ i Bm = Bme'. Jacina elektricnog polja E i jacina
magnetnog polja B predstavljaju realne delove kompleksnih vektora (1.53a,b).
§2 Elektromagnetni talasi u provodnoj sredini
2.1. Jednacine elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini
Vecina materijalnih sredina u kojima se izucavaju opticki fenomeni je neprovodna. Zbog
toga ce rezultati dobijeni u predhodnom odeljku predstavljati osnovu za dalje izucavanje op-
tike. U ovom odeljku razmotricemo, radi kompletnosti, prostiranje elektromagnetnih talasa
kroz provodne sredine. Do ovakvih pojava dolazi, na primer, pri detekciji elektromagnetnih
talasa pomocu antena, pri usmeravanju ovih talasa pomocu tzv. talasovoda itd.
Pri razmatranju prostiranja elektromagnetnih talasa kroz provodne sredine, ponovo se
ogranicavamo na deo prostora ℜ izvan samog izvora talasa. Za materijalnu sredinu u ℜpredpostavljamo da je linearna i izotropna sredina koja se karakterise dielektricnom pro-
pustljivoscu " = const. i magnetnom propustljivoscu ¹ = const. Primetimo da ovakva
sredina ima osobine i dielektrika i provodnika.
20
Pretpostavicemo da je srednja gustina slobodnih naelektrisanja u njoj jednaka nuli:
½ = 0, (2.1a)
kao sto je to slucaj kada su stacionarne i kvazistacionarne struje uspostavljene u metalnim
provodnicima. U svakoj tacki ove sredine definisan je vektor gustine struje j za koji pret-
postavljamo da je sa jacinom elektricnog polja u istoj tacki povezan Ohm-ovim zakonom u
diferencijalnom obliku
j = ¾RE, (2.1b)
gde je ¾R specificna provodnost posmatrane sredine. Maxwell-ove jed. (1.1a,b) i (1.4a,b) u
posmatranoj sredini imaju oblik
rotE = −∂B
∂t(2.2a)
divB = 0, (2.2b)
rotB = ¹¾RE + "¹∂E
∂t, (2.3a)
divE = 0. (2.3b)
Vidimo da je u odnosu na neprovodnu sredinu razmatranu u odeljku §1., razlicita samo
Maxwell-ova jednacina (2.3a).
Radi jednostavnosti sistem jednacina (2.2)-(2.3) resavacemo u kompleksnom obliku. U
granicnom slucaju j = 0, ovaj sistem ima partikularno resenje koje predstavlja kompleksni
ravanski monohromatski talas koji se prostire u x-pravcu dat jednacinom (1.32a):ˇE(r, t) =
ˇEmexp[−i(!t− kx)]. U provodnoj sredini oblik ovog partikularnog resenja se mora uopstiti
tako sto talasni broj postaje kompleksan:
ˇE(r, t) =
ˇEmexp[−i(!t− kx)]. (2.4a)
Analogno, za magnetnu komponentu, uopstavanjem jednacine (1.32d), imamo
ˇB(r, t) =
ˇBmexp[−i(!t− kx)]. (2.4b)
Koristeci uopsteno resenje (2.4a), sistem Maxwell-ovih jednacina za provodnu sredinu
moze se fomalno svesti na sistem jednacina karakteristican za neprovodnu sredinu. Naime,
na osnovu jednacine (2.4a) nalazimo ∂ˇE∂t
= −i!ˇE, odakle je
ˇE = i
!∂ˇE∂t, tako da jednacinu
(2.3a) u kompleksnom domenu mozemo napisati u sledecem obliku:
rotˇB = ¹¾R
i
!
∂ˇE
∂t+ "¹
∂ˇE
∂t=
(¾R
i
!+ "
)¹∂ˇE
∂t. (2.5)
21
Koristeci jednacinu (2.5), za Maxwell-ove jednacine u provodnoj sredini (za razmatrani
monohromatski talas) u kompleksnom domenu imamo
rotˇE = −∂
ˇB
∂t, (2.6a)
divˇB = 0, (2.6b)
rotˇB =
("+ i
¾R
!
)¹∂ˇE
∂t, (2.6c)
divˇE = 0. (2.6d)
2.2. Kompleksna dielektricna propustljivost
Poredjenjem Maxwell-ovih jednacina (2.6) sa sistemom (1.1) i (1.6) Maxwell-ovih
jednacina u neprovodnim sredinama prevedenim u kompleksan oblik, vidimo da se ovi sistemi
fomalno poklapaju ako se uvede kompleksna dielektricna propustljivost " relacijom
" = "+ i¾R
!. (2.7)
Uvedena kompleksna velicina je ocigledno zavisna od !, tako da je sredina ”disperzivna”.
Dakle, u uslovima u kojima se promenjivo elektromagnetno polje javlja u provodnim sredi-
nama, ovakva sredina se karakterise kompleksnom dielektricnom propustljivoscu.
Na osnovu relacije (2.7) vidimo da " → " kada ¾R → 0 sto je ocekivano jer se tada
provodna sredina svodi na neprovodnu. Interesantno je da se isti rezultat dobija i kada
! → ∞.
Uvodjenjem kompleksne dielektricne propustljivosti, moguce je direktno koristiti vec us-
tanovljene osobine ravanskih monohromatskih talasa u neprovodnim sredinama. Pri prelazu
na provodne sredine potrebno je samo izvrsiti smenu " → " = " + i¾R
!. Tako, npr., relacija
(1.25a) koja izrazava vezu k i !, sada dobija oblik
k2 = "¹!2, (2.8a)
tj.
k2 =("+ i
¾R
!
)¹!2 = "¹!2 + i¹¾R!. (2.8b)
Izrazimo sada kompleksni talasni broj k preko realnog dela (k) i imaginarnog dela (s):
k = k + is. (2.9)
22
Zamenom izraza (2.9) u jednacinu (2.8b), nalazimo
(k + is)2 = "¹!2 + i¹¾R!, (2.10a)
tj.
k2 + 2isk − s2 = "¹!2 + i¹¾R!. (2.10b)
Kompleksna jednacina (2.10b) se svodi na dve realne jednacine:
k2 − s2 = "¹!2, (2.11a)
2sk = ¹¾R!. (2.11b)
Iz izraza (2.11b) nalazimo da je s = ¹¾R/(2k), tako da jednacina (2.11a) prelazi u: k2 −(¹¾R!/(2k))
2 = "¹!2, sto je kvadratna jednacina po » = k2: »2 − (¹¾R!/2)2 = "¹!2».
Resenja poslednje jednacine su:
»1/2 =1
2"¹!2 ± 1
2
[("¹!2)2 + (¹¾R!)
2]1/2
=1
2"¹!2
{1± [1 + (¾R/"!)
2]1/2}.
Fizicko resenje odgovara znaku ”+” sto lako uocavamo ako primetimo da u tom slucaju
»1/2 → "¹!2, tj. k2 → !2/v2f , odnosno k → !/vf pri ¾R → 0, sto odgovara vrednosti
talasnog broja u neprovodnoj sredini. Dakle, u provodnoj sredini talasni broj k je povezan
sa ! relacijom
k2 =1
2"¹!2
{1 + [1 + (¾R/"!)
2]1/2}. (2.12)
Zamenom resenja (2.12) u izraz (2.11a) nalazimo
s2 = k2 − "¹!2 =1
2"¹!2{1+ [1+ (¾R/"!)
2]1/2}− "¹!2 =1
2"¹!2{1+ [1+ (¾R/"!)
2]1/2 − 2}.
Konacno,
s2 =1
2"¹!2{[1 + (¾R/"!)
2]1/2 − 1}. (2.13)
Jednacine (2.12) i (2.13) odredjuju realni i imaginarni deo kompleksnog talasnog broja k.
2.3. Ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini
Ravanski monohromatski talas u kompleksnoj formi u provodnoj sredini opisan je
jednacinama (2.4a,b), u kojima je kompleksni talasni broj dat izrazom (2.9): k = k + is.
Naime,
ˇE(r, t) =
ˇEmexp[−i(!t− (k + is)x)] =
ˇEmexp(−sx)exp[−i(!t− kx)], (2.14a)
23
ˇB(r, t) =
ˇBmexp[−i(!t− (k + is)x)] =
ˇBmexp(−sx)exp[−i(!t− kx)]. (2.14b)
Kompleksni vektoriˇEm i
ˇBm, analogno jednacinama (1.32b) i (1.32e), imaju sledeci oblik:
ˇEm = Emexp(−i®1),
ˇBm = Bmexp(−i®2). (2.15)
Primetimo da za razliku od izraza (1.32b,c) koji su vazili za neprovodne sredine, faze ®1 i
®2 u jednacini (2.15) nisu medjusobno jednake. Takodje, veza izmedju Em i Bm u provod-
noj sredini ima drugi oblik u odnosu na relaciju (1.28c): kEm = !Bm, karakteristicnu za
neprovodnu sredinu.
Vezu pomenutih velicina u provodnoj sredini nalazimo zamenog opsteg oblika zaˇE(r, t)
iˇB(r, t), prikazanog jednacinama (2.4a,b), u Maxwell-ovu jednacinu (2.6a):
rot{ˇEmexp[−i(!t− kx)]
}= − ∂
∂t
{ˇBmexp[−i(!t− kx)]
}. (2.16a)
Kako je
rot{ ˇEmexp[−i(!t− kx)]} = (rotˇEm)exp[−i(!t− kx)]− ˇ
Em × grad{exp[−i(!t− kx)]}
= − ˇEm × grad{exp[−i(!t− kx)]} = − ˇ
Em × ik exp[−i(!t− kx)]ex,
to jednacina (2.16a) dobija oblik
− ˇEm × ik exp[−i(!t− kx)]ex =
ˇBm(i!)exp[−i(!t− kx)],
tj.
kex × ˇEm = !
ˇBm. (2.16b)
Konacno, koristeci relacije (2.15), dobijamo
kex × Emexp(−i®1) = !Bmexp(−i®2). (2.16c)
Kako je k = k+ is = ∣k∣ exp[iArctg(s/k)] gde je ∣k∣ = (k2 + s2)1/2, kompleksnu jednacinu
(2.16c) mozemo da napisemo u obliku
∣k∣ ex × Emexp[−i®1 + iArctg(s/k)] = !Bmexp(−i®2), (2.17a)
koja je ekvivalentna sistemu od dve realne (algebarske) jednacine:
∣k∣ ex × Em = !Bm, (2.17b)
24
i
®1 − Arctg(s/k) = ®2. (2.17c)
Prevodeci jednacine (2.14a,b) u realan domen, za elektricnu i magnetnu komponentu
elektromagnetnog talasa nalazimo
E(r, t) = Emexp(−sx) cos(!t− kx+ ®1), (2.18a)
B(r, t) = Bmexp(−sx) cos(!t− kx+ ®2). (2.18b)
Vektori Em i Bm su medjusobno povezani relacijom (2.17b), dok su faze ®1 i ®2 povezane
izrazom (2.17c).
Pretpostavimo sada da je jacina elektricnog polja usmerena duz y-ose, sto znaci da je
gustina struje takodje duz y-ose. U tom slucaju je Em = Emey, tako da jednacina (2.17b)
dobija oblik: ∣k∣ ex × Emey = !Bm, tj.
∣k∣Emez = !Bm, (2.19a)
odakle sledi da je jacina magnetnog polja u pravcu z-ose, Bm = Bmez. Inteziteti jacine
elektricnog i magnetnog polja su povezani relacijom
∣k∣Em = !Bm, (2.19b)
koja u eksplicitnom obliku glasi
(k2 + s2)1/2Em = !Bm. (2.19c)
Talasni broj k i velicina s su funkcije od !, date jednacinama (2.12) i (2.13). Zamenom ovih
vrednosti u jednacinu (2.19c), nalazimo
(1
2"¹!2
{1 + [1 + (¾R/"!)
2]1/2}+
1
2"¹!2
{[1 + (¾R/"!)
2]1/2 − 1})1/2
Em = !Bm,
odakle je,
(1
2"¹!2
)1/2 {1 + [1 + (¾R/"!)
2]1/2 + [1 + (¾R/"!)2]1/2 − 1
}1/2Em = !Bm,
odnosno
("¹)1/2[1 + (¾R/"!)2]1/4Em = Bm. (2.20a)
25
FIG. 10: Prostiranje ravanskog monohromatskog talasa kroz provodnu sredinu
Konacno, koristeci vezu Bm = ¹Hm, nalazimo
√"[1 + (¾R/"!)
2]1/4Em =√¹Hm, (2.20b)
tako da jeEm
Hm
=(¹"
)1/2
[1 + (¾R/"!)2]−1/4. (2.20c)
Poslednji kolicnik se od odgovarajuce relacije (1.28d) za neprovodnu sredinu razlikuje za
faktor [1 + (¾R/"!)2]−1/4. Kada ¾R → 0 ovaj faktor tezi 1; medjutim, u sredinama sa
izrazenim provodnim osobinama (veliko ¾R/"!) posmatrani faktor moze biti vrlo mali tako
da magnetna komponenta vise nije zanemarljiva prema elektricnoj.
Posmatrani monohromatski ravanski elektromagnetni talas u provodnoj sredini opisujemo
jednacinama (2.16a,b), u kojima je Em = Emey i Bm = Bmez:
E(r, t) = Emexp(−sx) cos(!t− kx+ ®1)ey, (2.21a)
B(r, t) = Bmexp(−sx) cos(!t− kx+ ®2)ez. (2.21b)
Vidimo da su u provodnoj sredini amplitude elektricne i magnetne komponente talasa date
eksponencijalno opadajucim funkcijama:
AE = Emexp(−sx), AB = Bmexp(−sx).
Dakle, pri prolasku talasa kroz provodnu sredinu dolazi do gasenja talasa, odnosno do njegove
absorpcije. Zavisnost Ey od x prikazana je na Fig. 10(a). Ravanski monohromatski talasi
26
cija amplituda opada duz pravca prostiranja, mogu da se okarakterisu brzinom v = dx/dt
pri cemu je d(!t − kx + ®1) = 0. Dakle, u provodnoj sredini posmatrani talasi prostiru se
brzinom v = !/k, gde je k funkcija od ! data sa jednacinom (2.12):
v =!
k= !
{1
2"¹!2
{1 + [1 + (¾R/"!)
2]1/2}}−1/2
= 21/2("¹)−1/2{1+ [1+ (¾R/"!)2]1/2}−1/2.
Kako je vf = ("¹)−1/2, nalazimo
v = vf21/2{1 + [1 + (¾R/"!)
2]1/2}−1/2. (2.22)
Na osnovu poslednje formule vidimo da brzina ravanskog monohromatskog elektromagnetnog
talasa u provodnoj sredini zavisi od !, sto je karakteristicno za disperzivne sredine! Druga
karakteristika elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini je sto se prostiru asihrono, sa
faznom razlikom odredjenom jednacinom (2.17c): ®1 − ®2 = Arctg(s/k). Na Fig. 10(b)
prikazan je jedan ovakav talas.
Kada ¾R → 0, velicina s → 0 tako da faktor prigusenja exp(−sx) tezi jedinici; u posma-
tranom slucaju k → !/vf , tako da se elektromagnetni talasi svode na ravanske monohro-
matske elektromagnetne talase (kruzne) ucestanosti !, koji se brzinom v = vf prostiru u
neprovodnoj sredini.
§3 Transport energije elektromagnetnih talasa
3.1. Vremenska promena gustine energije elektromagnetnog polja
Jedna od glavnih karakteristika elektromagnetnog polja je njegova energija koja je sa
gustinom wem rasporedjena u prostoru. U slucaju vremenski zavisnih polja gustina energije
takodje zavisi od vremena. U nekim tackama prostora dolazice do smanjivanja ove gustine
na racun povecanja ove gustine u drugim delovima prostora. Zbog toga u prostoru postoji
transport (strujanje) energije. U slucaju da su u sredini uspostavljeni elektromagnetni talasi
dolazi do usmerenog transporta elektromagnetne energije.
Gustina energije elektromagnetnog polja wem jednaka je zbiru gustine energije we elek-
tricnog i gustine energije wm magnetnog polja:
wem(r, t) = we(r, t) + wm(r, t). (3.1a)
27
Gustina energije wem se moze izraziti u obliku
wem(r, t) =1
2(E ⋅ D + B ⋅ H). (3.1b)
U posmatranoj tacki prostora, za promenu gustine energije u jedinici vremena imamo
∂
∂twem =
∂
∂t
(1
2E ⋅ D
)+
∂
∂t
(1
2B ⋅ H
). (3.2)
Parcijalni izvodi po vremenu koji figurisu na desnoj strani jednacine (3.2) slede direktno
iz Maxwell-ovih jednacina (1.1a) i (1.4a) koje opisuju transformacije E u B i B u E u toku
vremenski zavisnog procesa:
rotE = −∂B
∂t, rotH = j +
∂D
∂t. (3.3a)
Mnozenjem prve od jednacina (3.3a) skalarno sa H, a druge sa E, dobijamo
H ⋅ rotE = −H ⋅ ∂B∂t
, E ⋅ rotH = E ⋅ j + E ⋅ ∂D∂t
. (3.3b)
Dalja analiza se znatno pojednostavljuje ako se ogranicimo na linearnu, izotropnu sredinu
stacionarnih osobina. U tom slucaju D = "E i B = ¹H, pri cemu je " = const i ¹ = const.
U tom slucaju imamo H ⋅ ∂B∂t
= ∂∂t(12B ⋅ H), E ⋅ ∂D
∂t= ∂
∂t(12E ⋅ D), tako da jednacinu (3.3b)
mozemo napisati u obliku
H ⋅ rotE = − ∂
∂t
(1
2B ⋅ H
), E ⋅ rotH = E ⋅ j + ∂
∂t
(1
2E ⋅ D
). (3.3c)
Druga od jednacina (3.3c) zavisi od gustine struje j koja je sa jacinom polja E povezana
Ohm-ovim zakonom u diferencijalnom obliku: j = ¾RE, gde je ¾R specificna provodljivost
sredine. Pod tim uslovom, jednacina (3.3c) dobija oblik
H ⋅ rotE = − ∂
∂t
(1
2B ⋅ H
), E ⋅ rotH = ¾RE
2 +∂
∂t
(1
2E ⋅ D
). (3.3d)
Koristeci jednacinu (3.3d), za parcijalni izvod gustine energije po vremenu dat jednacinom
(3.2), nalazimo∂
∂twem = E ⋅ rotH − H ⋅ rotE − ¾RE
2. (3.4a)
Kako je ∇⋅ (E× H) = H ⋅ (∇× E)− E ⋅ (∇× H), imamo div(E× H) = H ⋅ rotE− E ⋅ rotH,
tako da jednacinu (3.4a) mozemo napisati u obliku
∂
∂twem = −div(E × H)− ¾RE
2. (3.4b)
Poslednja jednacina pri ¾RE2 = 0 ima oblik jednacine kontinuiteta u diferencijalnom obliku
koja odrazava zakon odrzanja energije, analogno jednacini ∂½/∂t = −divj, koja je izrazavala
zakon odrzanja naelektrisanja.
28
FIG. 11: Energijski bilans u nestacionarnom elektromagnetnom polju
3.2. Pointingov vektor P
Jednacina (3.4b) moze da se prevede u integralni oblik koji tada direktrno opisuje trans-
port energije u nestacionarnom elektromagnetnom polju.
Uocimo zato u prostoru proizvoljnu zapreminu V ogranicenu zatvorenom povrsinom S
kao na Fig. 11 i razmotrimo sta se desava sa energijom u ovoj zapremini za vreme dt. U
trenutku t, energija Wem elektromagnetnog polja u zapremini V data je sa
Wem =
∫
V
wemdV. (3.5)
Smanjenje energije −dWem u zapremini V za vreme dt jednaka je:
− d
dtWem = − d
dt
∫
V
wemdV = −∫
V
∂
∂twemdV. (3.6a)
Koristeci jednacinu (3.4b), nalazimo
− d
dtWem =
∫
V
div(E × H)dV +
∫
V
¾RE2dV. (3.6b)
Prvi clan na desnoj strani jednacine (3.6b) se na osnovu Gauss-ove teoreme transformise u
povrsinski integral∮S(E × H) ⋅ dS. Drugi clan predstavlja velicinu dQ/dt, pri cemu je dQ
toplota koja se iz zapremne V izraci za vreme dt. Dakle,
− d
dtWem =
∮
S
(E × H
)⋅ dS +
dQ
dt. (3.6c)
Jednacina (3.6c) daje bilans energije za vreme dt. Prvi clan na desnoj strani ove jednacine
predstavlja fluks vektora (E × H). Ovaj vektor igra veoma vaznu ulogu u optici i naziva se
Pointingov vektor P :
P = E × H. (3.7a)
29
Fluks Pointingovog vektora kroz povrsinu S, naziva se u optici svetlosni fluks ΦW :
ΦW =
∮
S
P ⋅ dS. (3.7b)
Koristeci velicinu ΦW , energijski bilans dat jednacinom (3.6c) dobija oblik
− d
dtWem = ΦW +
dQ
dt. (3.8)
Na osnovu poslednje jednacine vidimo da je svetlosni fluks ΦW jednak energiji koja se u je-
dinici vremena izraci iz zapremine V strujeci u obliku elektromagnetnih talasa kroz povrsinu
S. Energijski bilans dat jenacinom (3.8) simbolicki je prikazan na Fig. 11.
Fizicki smisao Pointingovog vektora P je dvostruk. Pre svega, pravac i smer Pointingovog
vektora oznacava pravac i smer prostiranja energije. Takodje, na osnovu izraza (3.7b), imamo
da je elementarni fluks dΦW = P ⋅ dS = PdS⊥, gde je dS⊥ element povrsine normalan na
pravac Pointingovog vektora, tako da je intezitet Pointingovog vektora jednak:
P =dΦW
dS⊥. (3.9a)
Ako sa dWem = −dWem oznacimo deo energije koja se pri dQ = 0 izraci iz sistema, onda je
dΦW = d2Wem/dt, tako da formula (3.9a) dobija sledeci oblik:
P =d2Wem
dS⊥dt. (3.9b)
Vidimo da intezitet Pointingovog vektora predstavlja energiju koja se u vidu elektromag-
netnog talasa u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrsine normalno na pravac prosti-
ranja energije. Dimenziono, Pointingov vektor predstavlja gustinu snage, tj. ima dimenzije
snage (energije u jedinici vremena) po jedinici povrsine:
P (=)W
m2. (3.10)
Primer
Razmotrimo sada pravac strujanja energije u strujnom kolu u kome je uspostavljena sta-
cionarna struja jacine I. Za odrzavanje stacionarne struje neophodno je delovanje generatora
elektromotorne sile koji daje energiju pasivnom delu kola; ova energija se ”usisava” u pasivan
deo provodnika strujeci ka njegovoj osi, sto je shematski prikazano na Fig. 12(a).
Da bismo pokazali da se transport energije odvija na prikazan nacin, posmatrajmo deo
provodnika i nadjimo fluks ΦW kroz povrsinu S koja ogranicava cilindar poluprecnika r i
30
FIG. 12: Strujanje energije u kolu stacionarne struje
visine l, cija se osa poklapa sa osom provodnika, Fig. 12(b). Pretpostavimo da je struja
rasporedjena ravnomerno po poprecnom preseku provodnika sa gustinom struje j = const.
U svakoj tacki u unutrasnjosti provodnika vazi Ohm-ov zakon u diferencijalnomobliku j =
¾RE. Prema tome, jacina elektricnog polja na S data je sa E = ½j gde je ½ = 1/¾R specificna
otpornost provodnika. U tacki na rastojanju r od ose provodnika magnetna indukcija je
jednaka H = (1/2)jre' gde je e' jedinicni ort polarnog ugla ', Fig. 12(b). Pointingov vektor
P , dat jednacinom (3.7a), na rastojanju r od ose provodnika jednak je P = E × H = ½j ×(1/2)jre' = −(1/2)½j2rer, gde je er jedinicni vektor r-ose. Vidimo da je Pointingov vektor
usmeren ka osi provodnika, sto znaci da se energija ”usisava” u pasivan deo provodnika.
Fluks ΦW Pointingovog vektora P kroz povrsinu S, definisan jednacinom (3.7b), svodi se
na fluks kroz povrsinu omotaca cilindra Som = 2r¼l: ΦW =∮SP ⋅ dS =
∫Som
(−1/2)½j2rer ⋅dSer = −(1/2)½j2rSom. Dakle, ΦW = −½j2V gde je V = r2¼l zapremina uocenog cilin-
dra. Kako je ½j2V toplota koja se u jedinici vremena izraci iz zapremine V provodnika,
nalazimo −ΦW = dQ/dt. Dakle, u posmatranom sistemu, jednacina (3.8) koja opisuje
opsti energijski bilans u elektrodinamici, svodi se na −dWem/dt = ΦW + dQ/dt = 0. Pod
uslovom stacionarnosti struje, elektromagnetna energija Wem u uocenoj zapremini V se ne
menja: ”usisana” energija u jedinici vremena (−ΦW ) jednaka je izracenoj energiji u jedinici
vremena (dQ/dt), koja u vidu toplote napusta sistem, sto je shematski prikazano na Fig.
12(a).
31
FIG. 13: Ravanski monohromatski talas i transport energije
3.3. Energija ravanskog monohromatskog talasa
U odeljku 1.4. videli smo da se u homogenoj neprovodnoj sredini bez naelektrisanja mogu
uspostaviti ravanski monohromatski elektromagnetni talasi. Razmotrimo sada ove talase
sa stanovista prostiranja energije. Osnovna velicina koja karakterise transport energije je
Pointingov vektor P = E × H, definisan jednacinom (3.7a). Kako su vektori E i B kod
ravanskih monohromatskih talasa dati izrazom (1.29a,b), pri cemu je B = ¹H, nalazimo
P = EmHm cos2(!t− kx+ ®)ex, (3.11a)
gde je ex jedinicni vektor x-ose. Vidimo da je Pointingov vektor usmeren duz pravca prosti-
ranja talasa, sto znaci da se i energija prostire u ovom pravcu, Fig. 13(a). Intezitet Pointin-
govog vektora dobijamo iz jednacine (3.11a). Koristeci jednacinu (1.28c):√"Em =
√¹Hm,
nalazimo da je P =√
"/¹E2mcos
2(!t− kx+ ®), odnosno, kako je vf = 1/√"¹,
P =1
¹vfE2. (3.11b)
Poslednji izraz moze direktno da se poveze sa gustinom energije u posmatranom polju.
Naime, gustina energije elektricnog polja je we = (1/2)"E2, dok je gustina magnetne energije
wm = (1/2)¹H2 = (1/2)¹(Hm/Em)2E2 = (1/2)"E2 = we. Dakle, u posmatranom slucaju
wem = we + wm = 2we = "E2. (3.12)
32
Poredjenjem (3.11b) i (3.12), nalazimo
P =1
"¹vfwem, (3.13a)
odnosno
P = vfwem. (3.13b)
Formula (3.13b) ima direktnu fizicku interpretaciju. Dovoljno je pretpostaviti da se en-
ergija prenosi brzinom vf . Tada je energija koja za vreme dt prodje kroz povrsinu dS⊥,
Fig. 13(b), normalnu na pravac prostiranja (x-osu), jednaka energiji sadrzanoj u zapremini
dV = dS⊥vfdt: dWem = wemdV = wemdS⊥vfdt. Prema tome, energija koja se u jedinici
vremena prenese kroz jedinicu povrsine jednaka je
d2Wem
dS⊥dt= vfwem. (3.13c)
Poredjenjem jednacina (3.13c) i (3.13b) vidimo da je P = d2Wem/(dS⊥dt) sto odgovara
opstoj definiciji (3.9b) inteziteta Pointingovog vektora.
3.4. Svetlosni talas
U okviru klasicne talasne optike svetlost se moze posmatrati kao elektromagnetni talas.
On se u optici cesto naziva i svetlosni talas. Kako je u optickim sredinama uglavnom
dominantna elektricna komponenta elektromagnetnog talasa, to se najcesce razmatra samo
jacina elektricnog polja. Vektor E se naziva svetlosni vektor.
Svetlosni talasi koji se najcesce srecu u prirodi su slozeni elektromagnetni talasi koji
se mogu predstaviti kao odgovarajuce ”superpozicije” monohromatskih talasa, na primer
u obliku talasnog paketa prikazanog jednacinom (1.40a). U nedisperzivnim sredinama svi
komponentni (parcijalni) monohromatski talasi (kruzne) ucestanosti !, tj. frekvencije º =
!/(2¼),
E = A cos(!t− k ⋅ r + ®), (3.14)
prostiru se istom faznom brzinom vf = c/√"r¹r. Njihova talasna duzina je ¸ = 2¼/k, period
T = 2¼/!, a talasni broj k = !/vf .
U optici se sredina karakterise apsolutnim indeksom prelamanja n koji se definise kao
kolicnik brzine svetlosti u vakuumu (c) i fazne brzine (vf ) u posmatranoj sredini:
n =c
vf. (3.15a)
33
FIG. 14: Spektar talasnih duzina elektromagnetnih talasa
Apsolutni indeks prelamanja n je direktno povezan sa elektricnim i magnetnim svojstvima
sredine:
n =√"r¹r. (3.15b)
Kako su opticke sredine slabi magnetici za koje je ¹r ≈ 1, apsolutn indeks prelamanja se
moze izraziti u obliku
n =√"r. (3.15c)
Sredine sa vecim n nazivaju se opticki guscim, a one sa manjim n opticki redjim sredinama.
Za disperzivne sredine indeks prelamanja se moze definisati jednacinom (3.15a) za svaki
parcijalni talas posebno. U ovakvim sredinama n = n(!).
Svetlost je elektromagnetni talas koji se moze registrovati okom. Kako je sposobnost
oka ogranicena na detekciju elektromagnetnih talasa iz uskog intervala talasnih duzina, to
se svetlost moze definisati upravo ovim intervalom. Na Fig. 14 prikazane su sve moguce
talasne duzine ¸0 u vakuumu (tzv. spektar talasnih duzina), i naznaceni su specificni elek-
tromagnetni talasi koji odgovaraju odredjenim intervalima ¸0. Vidimo da vidljiva svetlost
odgovara talasnim duzinama ¸0 u vakuumu iz intervala od 0.38¹m do 0.76¹m (1¹m =
10−6m).
Pri prelasku sa vakuuma na odgovarajucu opticku sredinu treba prvo uzeti u obzir da
se u svim optickim sredinama elektromagnetni talasi prostiru istom ucestanoscu !. Ovo
svojstvo talasa bice dokazano pri razmatranju njihovog ponasanja na granici dve opticke
sredine (odeljak §8). Talasne duzine elektromagnetnih talasa zavise od opticke sredine. U
datoj optickoj sredini indeksa prelamanja n, elektromagnetni talasi ce imati talasnu duzinu
34
¸ = 2¼/k = vf/º. Kako je ¸0 = c/º, nalazimo da je ¸/¸0 = vf/c = 1/n, tj.
¸ =¸0
n. (3.16)
Frekvencija vidljive svetlosti je vrlo velika:
º = º0 =c
¸0
, (3.17)
gde je ¸0 ∈ [0.38¹m, 0.76¹m]. Na primer, na osnovu jednacine (3.17) nalazimo da je
frekvencija koja odgovara talasnoj duzini ¸0 = 0.76¹m jednaka º = 4.8 ⋅ 1014 Hz. Zbog toga
su u optici merljive samo srednje vrednosti po vremenu (i prostoru) odgovarajucih fizickih
velicina.
3.5. Jacina svetlosti
a) Definicija jacine svetlosti
Osnovna fizicka velicina u optici je jacina svetlosti I. Ona se definise kao srednja vrednost
energije elektromagnetnog polja koja se u vidu svetlosnog talasa u jedinici vremena prenese
kroz jedinicu povrsine normalne na pravac prostiranja:
I =
⟨d2Wem
dS⊥dt
⟩. (3.18a)
Na osnovu jednacine (3.9b) vidimo da po svojoj definiciji jacina svetlosti predstavlja intezitet
srednje vrednosti Pointingovog vektora:
I = ∣ < P > ∣. (3.18b)
Dimenziono, na osnovu jednacine (3.10), I(=)P (=)W/m2, tj. jacina svetlosti ima dimenziju
gustine snage (W/m2). U optici se za jacinu svetlosti koristi posebna jedinica: Lumen/m2.
Napomenimo da je formulama (3.18a,b) data tzv. energijska definicija jacine svetlosti.
Pored ove definicije u optici se koristi i fotometrijska definicija koja uzima u obzir sposobnost
ljudskog oka da registruje pojedine talasne duzine. U tom smislu uvodi se jedna bezdimen-
ziona velicina, tzv. vidljivost V koja izvan intervala ¸0 ∈ [0.38¹m, 0.76¹m] pada na nulu, a
ima maksimum negde na sredini ovog intervala koji odgovara zelenoj svetlosti. Na Fig. 14,
funkcija V = V (¸0), je prikazana iznad intervala vidljive svetlosti. Pomocu vidljivosti V , en-
ergijski definisana jacina svetlosti se moze prevesti u fotometrijski definisanu velicinu. Tako,
35
FIG. 15: Usrednjavanje u slucaju periodicnog Pointingovog vektora
na primer, za monohromatski talas date talasne duzine ¸0, fotometrijska jacina svetlosti If
predstavlja proizvod vidljivosti V (¸0) i energijski definisane jacine svetlosti If :
If = V (¸0)I.
Usrednjavanje koje figurise u formuli (3.18b), je u opstem slucaju po prostoru i vremenu:
< P >=< P >ΔV,Δ¿=1
ΔVΔ¿
∫
ΔV,Δ¿
P (r′, t′)dV ′dt′, (3.19a)
gde su ΔV i Δ¿ zapremina i vremenski interval po kojima se vrsi usrednjavanje. U jednacini
(3.19a) se podrazumeva da su ΔV i Δ¿ intervali oko uocene tacke prostora vektora polozaja
r i oko uocenog trenutka vremena t. Velicine ΔV i Δ¿ su direktno povezane sa konkretnim
uslovima pod kojim se vrsi detekcija (merenje) jacine svetlosti. Zbog toga se interval Δ¿
naziva vreme merenja. Analogno, za ΔV se moze reci da predstavlja zapreminu prostora u
kome se vrsi merenje. Ako se u vremenskom intervalu u kome vrsimo merenje Pointingov
vektor malo menja u okviru uocene zapremine ΔV , bice P (r′, t′) ≈ P (r, t′), pa se usrednja-
vanje u jednacini (3.19a) svodi na usrednjavanje po vremenu:
< P >=< P >ΔV,Δ¿=1
Δ¿
∫
Δ¿
[1
ΔV
∫
ΔV
P (r′, t′)dV ′]dt′ ≈ 1
Δ¿
∫
Δ¿
P (r, t′)dt′ =< P >Δ¿ .
(3.19b)
Ukoliko se Pointingov vektor periodicno menja u vremenu sa periodom T , usrednjavanje
po vremenu merenja Δ¿ koje sadrzi veliki broj oscilacija (Δ¿ ≈ NT,N ≫ 1) svodi se na
usrednjavanje po periodu. Pretpostavicemo takodje da je u toku vremena merenja vektor
P konstantnog pravca i smera (npr. u pravcu x-ose). Tada je P (r, t′) = P (r, t′)ex, pri
cemu je P (r, t′) pozitivna oscilatorna funkcija, prikazana na Fig. 15. Ovakav slucaj imamo,
36
npr., kod ravanskog talasa gde je vektor P dat jednacinom (3.11a). Mozemo zakljuciti da
je u posmatranom slucaju: < P >= 1Δ¿
∫Δ¿
P (r, t′)dt′ ≈ 1/(NT )∫ t+(Δ¿/2)
t−(Δ¿/2)P (r, t′)dt′ex ≈
(1/NT )N∫ T
0P (r, t′)dt′ex = (1/T )
∫ T
0P (r, t′)dt′. Dakle,
< P >=< P >T=1
T
∫ T
0
P (r, t′)dt′. (3.19c)
b) Opsti izraz za jacinu monohromatske svetlosti
Na osnovu jednacine (3.19c), moze da se nadje opsti izraz za jacinu svetlosti za sve
slucajeve u kojima se Pointingov vektor periodicno menja sa vremenom. Ovakva situacija
se javlja pod uslovom da je svetlosni vektor u kompleksnom obliku dat sa
ˇE(r, t) =
ˇE0(r) e
−i!t, (3.20a)
a da je magnetna indukcija (u kompleksnom obliku)
ˇH(r, t) =
ˇH0(r) e
−i!t. (3.20b)
Na primer, ravanski monohromatski talas u neprovodnoj sredini, prikazan jednacinom
(1.32b), spada u ovakve talase. Kod njega jeˇE0(r) = Emexp(ik ⋅r−i®)ey. U istu klasu spada
i ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini. U tom slucaju, na osnovu jednacina
(2.14a) i (2.15), nalazimo da jeˇE0(r) = Emexp(−sx)exp(ikx − i®1)ey. Takodje, sferni
monohromatski talas, dat izrazom (1.50b), ima oblik prikazan jednacinom (3.20a). Kod
njega jeˇE0 = (Em/r)exp(ik ⋅ r − i®)eµ.
Pointingov vektor, definisan jednacinom (3.7a), moze se izraziti preko kompleksnih vek-
tora (3.20a,b) u sledecem obliku:
P = E × H = ReˇE × Re
ˇH, (3.21a)
tako da na osnovu jednacine (3.18) za jacinu svetlosti I = ∣ < P > ∣, imamo
I = ∣ < ReˇE × Re
ˇH > ∣ =
∣∣∣⟨Re
(ˇE0(r)e
−i!t)× Re
(ˇH0(r)e
−i!t)⟩∣∣∣ . (3.21b)
Ako uvedemo oznakeˇE0(r) = a + ib i
ˇH0(r) = c + id, nalazimo da je
ˇE0(r)exp(−i!t) =
(a+ ib)exp(−i!t) = (a+ ib)(cos!t− isin!t) i analogno zaˇH0(r)exp(−i!t), tako da je
I = ∣ < (a cos!t+ b sin!t)× (c cos!t+ d sin!t) > ∣, (3.22a)
37
odnosno
I = ∣ < (a× c) cos2!t+ (b× d) sin2!t+ (a× d+ b× c) sin!t cos !t > ∣. (3.22b)
Usrednjavanje u jednacini (3.22b) je po periodu T = ¼/! funkcije P , tako da je
I = ∣(a× c) < cos2!t >T +(b× d) < sin2!t >T +(a× d+ b× c) < sin!t cos!t >T ∣. (3.22c)
Srednja vrednost < sin!t cos !t >T jednaka je nuli:
< sin!t cos!t >T=1
T
∫ T
0
sin!t′ cos!t′dt′ =1
!T
∫sin!t′d(sin!t′)
=1
2!Tsin2!t′∣T0 = 0. (3.23a)
Srednje vrednosti < cos2!t >T i < sin2!t >T jednake su 1/2. Naime, koristeci trigonometri-
jske relacije cos2x = (1/2)(1 + cos2x) i sin2x = (1/2)(1− cos2x) nalazimo
< cos2!t >T=1
T
∫ T
0
cos2!t′dt′ =1
2T
[∫ T
0
dt′ +∫ T
0
cos2!t′dt′]=
1
2+
1
2T
1
2!sin2!t′∣T0
=1
2+
1
4!Tsin2!T =
1
2+
1
4!Tsin2¼ =
1
2, (3.23b)
i analogno
< cos2!t >T=1
2. (3.23c)
Zamenom izraza (3.23a,b,c) u jednacinu (3.22c) nalazimo
I =1
2∣a× c+ b× d∣. (3.24a)
S druge strane, moze se uociti da je Re(ˇE0 × ˇ
H∗0
)= Re[(a+ ib)× (c− id)] = a× c+ b× d,
tako da je
I =1
2
∣∣∣Re(ˇE0 × ˇ
H∗0
)∣∣∣ = 1
2
∣∣∣Re(ˇE × ˇ
H∗)∣∣∣ . (3.24b)
Poslednji izraz se moze smatrati najopstijim oblikom izraza za jacinu monohromatske svet-
losti.
Primer
Na osnovu formule (3.24b) lako se nalazi jacina svetlosti monohromatskog talasa kod
koga su vektoriˇE0 i
ˇH0 ortogonalni, i za koji vazi
√"E0 =
√¹H0 (npr. ravanski talas:
ˇE = Emeye
ikxe−i!t =ˇE0e
−i!t). Tada je I = (1/2)∣Re( ˇE0 × ˇH∗
0 )∣ = (1/2)Re(E0H∗0 ). U
38
posmatranom slucaju E0H∗0 =
√"/¹E0E
∗0 = (1/¹)
√"¹∣E0∣2. Kako je n =
√"r¹r i ¹ ≈ ¹0,
imamo E0H∗0 =
√"0/¹0n∣E0∣2, tako da je
I =
√"0¹0
1
2n∣E0∣2. (3.25a)
Vidimo da je jacina svetlosti posmatranog monohromatskog talasa proporcionalna sa
(1/2)n∣E0∣2, pri cemu je konstanta proporcionalnosti: const =√
"0/¹0. Dakle
I = const ⋅ 12n∣E0∣2. (3.25b)
Primetimo da se velicina ∣E0∣2/2 cesto i sama naziva jacina svetlosti.
Formulu (3.25b) mozemo da napisemo i u obliku
I = const ⋅ 12n∣ ˇE∣2, (3.26a)
gde sada vertikalne crte oznacavaju moduo kompleksnog broja i intezitet vektora:
∣ ˇE∣2 = ˇE ⋅ ˇE∗. (3.26b)
Naime, ∣ ˇE∣2 = ˇE ⋅ ˇE∗ = ˇ
E0 e−i!t ˇE∗
0 ei!t =
ˇE0
ˇE∗
0 = E0E∗0 = ∣E0∣2.
§4 Izvori elektromagnetnih talasa
4.1. Maxwell-ove jednacine u polju naelektrisanja i struja
U odeljku §1 elektromagnetni talasi su razmatrani kao jedno od mogucih resenja Maxwell-
ovih jednacina, u delu prostora ℜ bez naelektrisanja i struja. Pritom je bilo nebitno kako oni
nastaju. Mogucnost da se elektromagnetni talasi posmatraju nezavisno od njihovog izvora
direktna je posledica same prirode nestacionarnih polja. Naime, za razliku od stacionarnih
polja koja su u svakom trenutku vremena vezana za naelektrisanja i struje, nestacionarna
polja mogu da egzistiraju (u obliku elektromagnetnih talasa) cak i vrlo dugo posle njihovog
emitovanja, ili se mogu posmatrati u prostroru vrlo daleko od njihovog izvora. U odeljku §2razmatrali smo prostiranje monohromatskih talasa kroz provodnu, nenaelektrisanu sredinu,
takodje bez razmatranja konkretnih izvora ovih talasa.
U ovom odeljku bice data kompletna slika elektromagnetnih talasa, ukljucujuci i njihove
izvore (i detekciju). U najopstijem clucaju, izvori elektromagnetnih talasa uvek su u vezi
39
sa oscilovanjem naelektrisanja i struja. U tom cilju podjimo od Maxwell-ovih jednacina
za elektromagnetno polje u prisustvu naelektrisanja i struja, rasporedjenih sa gustinama
½ = ½(r, t) i j = j(r, t) u prostoru i vremenu. Posmatrani slucaj odgovara najopstijem
obliku Maxwell-ovih jednacina (1.2a), (1.2b), (1.3a) i (1.3b):
rotE = −∂B
∂t(4.1a)
divB = 0 (4.1b)
rotH = j +∂D
∂t(4.1c)
divD = ½. (4.1d)
Pogodan metod resavanja sistema jednacina (4.1a-d) u slucaju kada su naelektrisanja
i struje lokalizovani u konacnom delu prostora je preko skalarnog i vektorskog potencijala
' = '(r, t) i A = A(r, t). Vektorski potencijal A se definise isto kao i u magnetostatici,
relacijom
B = rotA, (4.2)
kada je jednacina (4.1b) automatski zadovoljena (divB = div(rotA) ≡ 0). Kalibracija
vektora A, tj. biranje divergencije ovog vektora, je proizvoljna. Zamenom jednacine (4.2) u
(4.1a), nalazimo
rot
ÃE +
∂A
∂t
)= 0, (4.3a)
tako da se uvek moze uvesti velicina grad' kao
E +∂A
∂t= −grad' (4.3b)
(jer je rotgrad' ≡ 0). Na osnovu poslednje relacije, nalazimo da je
E = −grad'− ∂A
∂t. (4.3c)
Pretpostavimo sada da je sredina linearna i izotropna (kada je D = "E i B = ¹H) kao
i da je u pogledu dielektricnih i magnetnih svojstava homogena i stacionarna (" = const. i
¹ = const.). Zamena jednacina (4.2) i (4.3c) u (4.1c), u ovom slucaju dovodi do jednacine
rot rotA = ¹j + "¹∂
∂t
Ã−grad'− ∂A
∂t
). (4.4a)
40
Kako je
rot rotA = grad divA−ΔA, (4.4b)
jednacinu (4.4a) mozemo da napisemo u obliku
ΔA = "¹∂2A
∂t2− ¹j + grad
(divA+ "¹
∂'
∂t
). (4.4c)
Izaberimo sada tzv. Lorencovu kalibraciju za vektor A:
divA = −"¹∂'
∂t. (4.5)
Primetimo da Lorencova kalibracija (4.5) ima oblik jednacine kontinuiteta za vektor A, sto
znaci da A ”izvire” u tackama prostora u kojima je ∂'/∂t < 0. Uz kalibracioni uslov (4.5),
jednacina (4.4c) prelazi u
ΔA = "¹∂2A
∂t2− ¹j, (4.6)
sto predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednacinu za vektor A.
Preostaje jos analiza Maxwell-ove jednacine (4.1d), koja moze da se napise u obliku
div
Ã−grad'− ∂A
∂t
)=
½
". (4.7a)
Kako je
div grad' = Δ', (4.7b)
imamo
Δ'+ div∂A
∂t= −½
". (4.7c)
Koristeci kalibracioni uslov (4.5), jednacina (4.7c) postaje
Δ' = "¹∂2'
∂t2− ½
". (4.8)
Poslednja jednacina predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednacinu za skalarni potencijal '.
4.2. Retardovani potencijali
Jednacine (4.8) i (4.6) predstavljaju nezavisne jednacine za ' i A pri cemu je ' odredjeno
rasporedom naelektrisanja a A raspodelom struja. Nadjimo sada resenja ovih jednacina pod
41
FIG. 16: Retardovani skalarni potencijal
uslovom da su ½(r ′, t) i j(r ′, t) nenulte velicine samo u ogranicenom delu prostora zapremine
V .
Nadjimo prvo resenje jednacine (4.8) za ' u tacki M koja se nalazi izvan oblasti V , kao na
Fig. 16. Da bismo dosli do ovog resenja podelimo zapreminu V na elementarne zapremine
dV ′ naelektrisanja dq = ½(r ′, t)dV ′. Po principu superpozicije ukupni potencijal u tacki M
predstavlja integral elementarnih potencijala od naelektrisanja dq. Zbog toga je pogodno
prvo naci ove potencijale.
Oznacimo sa ' potencijal od naelektrisanja dq u tacki M na rastojanju R od dq. Kako
je ½ = 0 u tacki M , jednacina (4.8) za ' u okolini ove tacke ima oblik
Δ' = "¹∂2'
∂t2=
1
v2f
∂2'
∂t2, (4.9a)
gde smo uveli faznu brzinu vf = 1/√"¹ = c/
√"r¹r. Potencijal ' potice od tackastog
naelektrisanja dq tako da mora biti sferno simetrican: ' = '(R, t). Prema tome, izrazivsi
Laplasijan u sfernim koordinatama (jednacina (1.41a)), imamo
Δ' =1
R
∂2
∂R2(R'), (4.9b)
tako da jednacina (4.9a) prelazi u tzv. Dalamberovu talasnu jednacinu
∂2
∂R2(R') =
1
v2f
∂2
∂t2(R'). (4.9c)
Jednacina (4.9c) ima oblik jednacine (1.41b) koju smo imali pri analizi sfernih elektro-
magnetnih talasa u skalarnoj aproksimaciji. Primetimo da smo u odeljku 1.6 trazili samo
42
partikularno resenje ove jednacine (monohromatski talas). Sada je potrebno naci opste
resenje jednacine (4.9c). Zbog toga se prvo uvedi smena (R, t) → (», ´), gde su
» = R− vf t, ´ = R + vf t. (4.10)
Kako su parcijalni izvodi ∂2/∂R2 i ∂2/∂t2 dati sa
∂2
∂R2=
(∂»
∂R
∂
∂»+
∂´
∂R
∂
∂´
)2
=
(∂
∂»+
∂
∂´
)2
=∂2
∂»2+ 2
∂2
∂»∂´+
∂2
∂´2(4.11a)
∂2
∂t2=
(∂»
∂t
∂
∂»+
∂´
∂t
∂
∂´
)2
=
(−vf
∂
∂»+ vf
∂
∂´
)2
= v2f
(∂2
∂»2− 2
∂2
∂»∂´+
∂2
∂´2
), (4.11b)
jednacina (4.9c) prelazi u(
∂2
∂»2+ 2
∂2
∂»∂´+
∂2
∂´2
)(R') =
(∂2
∂»2− 2
∂2
∂»∂´+
∂2
∂´2
)(R'), (4.12a)
odnosno∂2
∂»∂´(R') = 0. (4.12b)
Opste resenje jednacine (4.12b) je funkcija oblika
R' = Ψ1(») + Ψ2(´), (4.13a)
gde su Ψ1(») i Ψ2(´) proizvoljne funkcije svojih argumenata. Resenje koje se prostire u
pozitivnom smeru R-ose, tj. resenje koje predstavlja talas koji izvire iz dq, odgovara prvom
clanu Ψ1(»). Dakle, smatrajuci da su resenja koja bi uvirala u dq nefizicka, imamo
R' = Ψ1(») = Ψ1(R− vf t) = Ψ
(t− R
vf
), (4.13b)
gde je sada sa Ψ(t−R/vf ) oznacena proizvoljna funkcija argumenta t−R/vf . Dakle, skalarni
potencijal '(r, t) od naelektrisanja dq ima isti oblik
' =1
RΨ
(t− R
vf
). (4.14)
Konkretan oblik funkcije Ψ se odredjuje iz uslova da pri vrlo malom R funkcija ' prelazi
u kvazistacionarni oblik 'st:
' → 'st, R → 0. (4.15a)
Kvazistacionarni oblik potencijala u svakom fiksnom trenutku ima istu vrednost kao elek-
trostaticki potencijal:
'st =1
4¼"
½(r′, t)R
dV ′. (4.15b)
43
Naime, na malim rastojanjima polje uvek trenutno prati promenu naelektrisanja. Koristeci
uslov (4.15a) imamo1
RΨ(t) =
1
4¼"
½(r ′, t)R
dV ′, R → 0, (4.16a)
odnosno
Ψ(t) =1
4¼"½(r ′, t)dV ′. (4.16b)
Konacno, na osnovu jednacine (4.14), za potencijal od elementarnog naelektrisanja dq =
½(r ′, t)dV ′ u tacki M imamo
'(r, t) =1
4¼"
½(r ′, t− R
vf
)
RdV ′, (4.16c)
gde je R = ∣r − r ′∣, vidi Fig. 16.Dakle, u tacki M koja se nalazi na rastojanju R od tackastog naelektrisanja dq =
½(r ′, t)dV ′, potencijal u nekom trenutku t odgovara vrednosti naelektrisanja u ranijem
trenutku t′ = t − (R/vf ). Vremenski interval ¿ = R/vf predstavlja vreme potrebno da
se promena naelektrisanja uoci u tacki M . Ovakva pojava se moze interpretirati kao da pos-
toji prostiranje poremecaja u prostoru sa brzinom vf , a potencijal ' se naziva retardovani
potencijal.
Ukupni potencijal ' od kontinualno rasporedjenog naelektrisanja sa gustinom ½(r ′, t)
jednak je
'(r, t) =∑
'(r, t), (4.17a)
odnosno
'(r, t) =1
4¼"
∫
V
½(r′, t− R
vf
)
RdV . (4.17b)
Problem nalazenja vektorskog potencijala u tacki M moze da se resi na potpuno isti
nacin. Naime, ako su struje lokalizovane u zapremini V , Fig. 17, onda razlaganjem vektorske
jednacine (4.6) na tri skalarne jednacine (za i = x, y, z) dobijamo ΔAi = "¹∂2Ai/∂t2 − ¹ji.
Kako je j = 0, dobijamo jednacine analogne jednacini (4.9a) za '. Prema tome, ponavljajuci
isti postupak kao pri izracunavanju ', nalazimo da vektorski potencijal A(r, t) (u tacki M i
trenutku t) ima sledeci retardovan oblik:
A(r, t) =¹
4¼
∫
V
j(r ′, t− R
vf
)
RdV ′. (4.18a)
44
FIG. 17: Retardovani vektorski potencijal
Primetimo da zapreminske struje prelaze u kvazilinijske pri zameni jdV → Idl. U tom
slucaju za vektorski potencijal imamo
A(r, t) =¹
4¼
∮
C
I(t− R
vf
)
Rdl, (4.18b)
gde se sada integracija vrsi po strujnoj konturi.
4.3. Zracenje Hercovog dipola
Svako oscilovanje naelektrisanja i struja predstavlja izvor elektromagnetnih talasa. Naj-
jednostavniji sistem pomocu koga moze da se ostvari ovakvo oscilovanje je tzv. Hercov dipol.
Zracenje Hercovog dipola nije u optickom domenu, ali zakljuci o zracenju ovog sistema imaju
opsti, principijelni karakter.
Ovaj sistem se sastoji od kratkog kvazilinijskog provodnika duzine l koji se na krajevima
zavrsava malim provodnim sferama kao na Fig. 18(a). Sfere igraju ulogu tzv. otvorenog
kondenzatora koji se naizmenicno puni i prazni i na taj nacin se u provodniku koji ih spaja
odrzava promenjiva struja jacine I(t):
I(t) =dq(t)
dt, (4.19)
gde je q(t) naelektrisanje na sferi 1 u trenutku t. U centru dipola nalazi se generator
naizmenicne elektromotorne sile koji odrzava prinudne oscilacije u RLC-kolu; shema ekvi-
valentnog kola prikazana je na Fig. 18(b).
45
FIG. 18: Hercov dipol i njemu ekvivalentno RLC-kolo
FIG. 19: Originalna postavka Hercovog uredjaja i njemu ekvivalentno RLC-kolo
Originalna postavka Hercovog uredjaja data je na Fig. 19(a) a njemu ekvivalentno RLC-
kolo na Fig. 19(b). Uredjaj se sastoji od induktora (izvor visokofrekventne elektromotorne
sile) i provodnika duzine l koji se zavrsava metalnim sferama. U sredini provodnika nalazi
se mali procep, tzv. varnicar. Kada se u procepu varnicara pojavi varnica RLC-kolo se
zatvori i nastaju prigusene oscilacije. Proces se ponavlja ponovnim skokom varnice. Ovakav
uredjaj se cesto naziva i vibrator. Primetimo da nema principijelne razlike izmedju kola na
Fig. 18(b) i Fig. 19(b).
Hercov dipol zraci elektromagnetne talase, koji se u blizini dipola ponasaju dosta kom-
plikovano. Medjutim u oblasti dovoljno daleko od dipola, tj. za r ≫ l, gde je r rastojanje
tacke M od centra dipola, elektromagnetni talasi postaju donekle slicni monohromatskim
46
sfernim talasima. Ova oblast prostora naziva se talasna zona.
U talasnoj zoni, vektorski potencijal A(r, t), dat jednacinom (4.18b), moze da se
aproksimira izrazom u kome je za tekuce rastojanje R od provodnika do tacke M iskoriscena
priblizna jednakost: R ≈ r. Dakle
A(r, t) =¹
4¼
I(t− r
vf
)
rl ez. (4.20)
Skalarni potencijal ' u tacki M talasne zone nalazimo na osnovu jednacine (4.17b), ako
uocimo da je ½ razlicito od nule samo na kuglama 1 i 2:
'(r, t) =1
4¼"
∫
(1)
½1
(r′, t− R
vf
)
RdV ′ +
1
4¼"
∫
(2)
½2
(r′, t− R
vf
)
RdV ′. (4.21a)
Asimptotski oblik za potencijal ' dobijamo stavljajuci R → r u imeniocima. Tada u bro-
jiocima preostaju izrazi∫(1)
½1(r′, t − R/vf )dV
′ ≈ q(t − r1/vf ) i∫(2)
½2(r′, t − R/vf )dV
′ ≈−q(t− r2/vf ), gde su r1 i r2 rastojanja izmedju tacke M i centara kugli ”1” i ”2”. Dakle,
'(r, t) =1
4¼"
1
r
[q
(t− r1
vf
)− q
(t− r2
vf
)]. (4.21b)
Izraz za skalarni potencijal ' se dalje uproscava ako uocimo da za r ≫ l vazi
r1 ≈ r −Δr, r2 ≈ r +Δr, (4.22a)
gde je Δr ≈ (l/2)cosµ. U tom smislu imamo
r2 − r1 ≈ 2Δr ≈ l cosµ. (4.22b)
Zamenom izraza (4.22a) u (4.21b) nalazimo
'(r, t) =1
4¼"
1
r
[q
(t− r
vf+
Δr
vf
)− q
(t− r
vf− Δr
vf
)]. (4.23a)
Ako uzmemo u obzir da je Δr mala velicina u poredjenju sa vf t− r, vidimo da je
'(r, t) =1
4¼"
1
r
∂q(t− r
vf
)
∂(t− r
vf
) 2Δr
vf, (4.23b)
odnosno
'(r, t) =1
4¼"
1
vfr
∂q(t− r
vf
)
∂(t− r
vf
) l cosµ. (4.23c)
47
Znajuci skalarni i vektorski potencijal dat jednacinama (4.23c) i (4.20), jacinu elektricnog
i magnetnog polja mozemo naci primenom jednacina (4.3c) i (4.2). Primetimo da ' zavisi
samo od sfernih koordinata r i µ, tj. ' = '(r, µ), dok je vektorski potencijal oblika: A =
Az(r)ez = Ar(r, µ)er + Aµ(r, µ)eµ. Primenom jednacine (4.3c), dolazimo do zakljucka da
jacina elektricnog polja E ima dve komponente:
E = Erer + Eµeµ. (4.24a)
S druge strane, na osnovu jednacine (4.2), jacina magnetnog polja B, kao rotor vektorskog
potencijala A = Arer + Aµeµ, usmerena je duz '-pravca:
B = B'e'. (4.24b)
Vidimo da su u svakoj tacki talasne zone vektori E i B otrogonalni.
4.4. Polje dipola u talasnoj zoni
Konkretan oblik elektromagnetnih talasa zavisi od nacina oscilovanja naelektrisanja i
struja.
U slucaju Hercovog dipola, moze se smatrati da naelektrisanje q osciluje po harmonijskom
zakonu:
q(t) = q0 cos!t. (4.25a)
Zbog oscilovanja naelektrisanja po zakonu (4.25a), dipolni moment p menja se u toku vre-
mena kao
p(t) = lq(t) = p0 cos!t, p0 = q0l. (4.25b)
Primetimo da bi isti zakon promene p imali ako bi se duzina dipola konstantnog naelek-
trisanja q0 menjala po zakonu l(t) = lcos!t. Zakon promene jacine struje sa vremenom dat
je jednacinom (4.19):
I = −q0! sin !t. (4.25c)
Skalarni potencijal (u talasnoj zoni) Hercovog dipola sada ima oblik
'(r, t) =1
4¼"
q0vfr
∂cos(!(t− r
vf
))
∂(t− r
vf
) l cosµ. (4.26a)
48
FIG. 20: Vektorski potencijal A u talasnoj zoni
Uocivsi da je !/vf = k, nalazimo
'(r, t) = − 1
4¼"
1
vf
q0!
rsin(!t− kr) l cosµ. (4.26b)
Vektorski potencijal u tackiM dat je jednacinom (4.20), gde je jacina struje data jednacinom
(4.25c):
A(r, t) = − ¹
4¼
q0!
rsin(!t− kr) l ez = Az ez. (4.27a)
Kao sto smo vec napomenuli vektorski potencijal A ima samo Ar i Aµ komponente:
A = Arer + Aµeµ, (4.27b)
gde su Ar = Az ez ⋅ er i Aµ = Az ez ⋅ eµ, tj. vidi Fig. 20,
Ar = Azcosµ, Aµ = −Azsinµ. (4.27c)
Primenom jednacine (4.3c), za jacinu elektricnog polja E dobijamo sledeci izraz:
E = −∂'
∂rer − 1
r
∂'
∂µeµ − ∂Ar
∂ter − ∂Aµ
∂teµ, (4.28a)
odnosno
E = lcosµ[− 1
4¼"1vf
q0!rkcos(!t− kr) + 1
4¼"1vf
q0!r2
sin(!t− kr) + ¹4¼
q0!r!cos(!t− kr)
]er
+lsinµ
[− 1
4¼"
1
vf
q0!
r2sin(!t− kr)− ¹
4¼
q0!
r!cos(!t− kr)
]eµ. (4.28b)
49
Zanemarivsi sve velicine koje su reda velicine 1/r2 prema preostalim velicinama reda velicine
1/r i uocivsi da je k/("vf ) = ¹!, tako da se preostala dva sabirka Er-komponente skrate,
nalazimo
E = − ¹
4¼
q0!
r!cos(!t− kr)lsinµeµ. (4.29a)
Kako je p0 = q0l, poslednji izraz mozemo napisati kao
E = − ¹
4¼p0!
2 sinµ
rcos(!t− kr)eµ. (4.29b)
Jacina magnetnog polja B = rotA usmerena je u '-pravcu, i data je sledecim izrazom:
B =(rotA
)'e' =
1
r
[∂
∂r(rAµ)− ∂Ar
∂µ
]e'. (4.30a)
Dakle
B =[− ¹
4¼
q0!
rkcos(!t− kr)lsinµ − ¹
4¼
q0!
r2sin(!t− kr)lsinµ
]e'. (4.30b)
Zanemarujuci drugi sabirak, imamo
B = − ¹
4¼
q0!
rkcos(!t− kr)lsinµe'. (4.31a)
Kako je vf = !/k, poslednji izraz mozemo da napisemo u obliku
B = −¹/vf4¼
p0!2 sinµ
rcos(!t− kr)e'. (4.31b)
Dakle, u talasnoj zoni jacina polja E ima samo µ-komponentu, dok jacina magnetnog
polja B ima samo '-komponentu, kao sto je prikazano na Fig. 21. Izmedju inteziteta E i
B u svakoj tacki talasne zone i u svakom trenutku vremena vazi relacija E = vfB, tj. kako
je k = !/vf , vazi
kE = !B, (4.32)
sto je veza izmedju E i B data jednacinom (1.28b) koju smo imali kod ravanskih (i sfernih)
monohromatskih talasa. Elektromagnetni talasi koji se formiraju u talasnoj zoni predstavl-
jaju tzv. anizotroprne sferne talase. Oni se (do na faktor anizotropije sinµ) ponasaju kao
sferni talasi (1.43a,b). Brzina prostiranja ovih talasa jednaka je v = vf = 1/√"¹. Kruzna
ucestanost ! formiranih talasa jednaka je ucestanosti ! oscilovanja naelektrisanja q.
Prostiranje energije koju zraci Hercov dipol karakterise se sa Pointingovim vektorom. U
proizvoljnoj tacki talasne zone, trenutna vrednost ovog vektora je
P (t) = E × H =1
¹E × B, (4.33a)
50
FIG. 21: Zracenje Hercovog dipola u talasnoj zoni
odnosno
P (t) =1
¹
( ¹
4¼
)2 1
vf
(p0!
2)2 sin2µ
r2cos2(!t− kr)er. (4.33b)
Dakle, elektromagnetna energija prenosi se u pravcu i smeru vektora er, tj. energija u toku
celog perioda oscilovanja struji radijalno od dipola u prostor oko njega.
Jacina svetlosti, koja odgovara Pointingovom vektoru koji osciluje u toku vremena po
zakonu datim jednacinom (4.33b), definisana je opstim izrazom (3.18) kao intezitet srednje
vrednosti Pointingovog vektora
I = ∣ < P > ∣ = ¹
(4¼)21
vf
(p0!
2)2 sin2µ
r2< cos2(!t− kr) >T . (4.34a)
Kako je, po analogiji sa jednacinom (3.23b), < cos2(!t− kr) >T= 1/2, nalazimo
I =1
2
¹
(4¼)21
vf
(p0!
2)2 sin2µ
r2∼ !4. (4.34b)
Dobijeni izraz se moze povezati i sa dipolnim momentom p(t) datim jednacinom (4.25b).
Naime,
< (p)2 >= (p0!2)2 < cos2!t >=
1
2
(p0!
2)2
, (4.35a)
tako da je
I =¹
(4¼)21
vf< (p)2 >
sin2µ
r2. (4.35b)
Poslednji izraz ima opsti karakter, i moze da se primeni na bilko koji sistem koji zraci.
51
§5 Spektralna analiza zracenja
5.1. Elementarna teorija zracenja
Jacina svetlosti po svojoj energijskoj definiciji predstavlja intezitet srednje vrednosti
Pointingovog vektora, tj., na osnovu formule (3.9a),
I = ∣ < P > ∣ =< P >=
⟨dΦW
dS⊥
⟩, (5.1a)
gde je ΦW svetlosni fluks definisan jednacinom (3.7b). Na osnovu energijskog bilansa u polju
zracenja datog jednacinom (3.8), vidimo da je pri dQ/dt = 0, svetlosni fluks
ΦW = −dWem
dt=
dWem
dt. (5.1b)
Dakle, u slucaju kada razmatramo zracenje izvora svetlosti, svetlosni fluks predstavlja en-
ergiju izracenu u jedinici vremena, tako da se on poklapa sa snagom P zracenja izvora:
ΦW = P(t). (5.1c)
Zamenom jednacine (5.1c) u (5.1a), vidimo da je jacina izracene svetlosti u posmatranoj
tacki polja:
I =
⟨dP(t)
dS⊥
⟩=
dPsr
dS⊥, (5.1d)
gde je Psr =< P(t) > srednja snaga zracenja.
Pri razmatranju zracenja, pogodno je pored jacine svetlosti I, vezane za datu tacku polja
zracenja, Fig. 22(a), uvesti i tzv. jacinu svetlosti u datom pravcu I. Ova velicina se definise
kao srednja snaga zracenja po jedinici prostornog ugla, Fig. 22(b). Dakle,
I =dPsr
dΩ(5.2a)
gde je dΩ = sinµdµd' elementarni prostorni ugao. Kako je dS⊥ = r2dΩ, to poredjenjem
izraza (5.1d) i (5.2a) nalazimo
I = r2I. (5.2b)
Jedinica za jacinu svetlosti I u datom pravcu (tzv. svetlosni intezitet) spada u osnovne
jedinice SI. Ova jedinica naziva se kandela (cd). Kandela je jacina svetlosti u datom pravcu,
iz izvora koji emituje monohromatsko zracenje ucestanosti 540⋅ 1012 Hz, a ima u tom pravcu
52
FIG. 22: Jacina svetlosti I i jacina svetlosti u pravcu I
(srednju) snagu po jedinici prostornog ugla (tzv. energetsku jacinu) od 1/683 W/sr. Za
ovakav izvor svetlosti postoji odgovarajuci standard.
Ukupna srednja snaga zracenja dobija se integracijom jednacine (5.2a) po svim prostornim
uglovima:
Psr =
∫IdΩ = r2
∫IdΩ. (5.3a)
Ako u poslednji izraz uvrstimo jacinu svetlosti I datu jednacinom (4.35b), imamo
Psr =¹
(4¼)21
vf< (p)2 >T
∫ ¼
0
∫ 2¼
0
sin3 µdµd'. (5.3b)
Kako je∫ ¼
0
∫ 2¼
0sin3 µdµd' = 2¼
∫ ¼
0sin3 µdµ = 8¼/3, za ukupnu srednju snagu zracenja,
nalazimo
Psr =¹
6¼
1
vf< (p)2 >T . (5.3c)
Primetimo da jednacina (5.3c) ima opsti karakter i moze da se primeni na nalazenje snage
zracenja proizvoljne ubrzane naelektrisane cestice kod koje je tada ¨p = q ¨rq, gde je q naelek-
trisanje a rq vektor polozaja posmatrane cestice.
5.2.Klasican model zracenja atoma
Osnovni model pomocu koga se u okviru klasicne elektrodinamike opisuje zracenje atoma
je model u kome elektron osciluje (duz datog pravca) u polju fiksiranog jezgra.
53
FIG. 23: Klasican model atoma i ”kolaps”
Pretpostavimo da elektron naelektrisanja (-e) i mase m osciluje duz z-ose kruznom
ucestanoscu !0:
rq = r− = z0cos!0tez. (5.4a)
Elektricni dipolni moment atoma (elektron −e, jezgro +e) u sistemu vezanom za +e je po
definiciji
p = −er− + er+ = −er− = −ez0cos!0tez. (5.4b)
Kada bi oscilovanje elektrona bilo trajno periodicno, na osnovu jednacine (4.29b) za-
kljucujemo bi atom emitovao monohromatski talas
E0(r, t) = Emsinµ
rcos(!0t− k0r)eµ. (5.5)
Medjutim, tokom oscilovanja, posmatrani sistem zraci energiju, tako da oscilacije postaju
prigusene. Srednja snaga zracenja data je izrazom (5.3c) u kome je
(p)2 = (ez0!20)
2cos2!0t. (5.6)
Dakle, klasican atom zraci energiju sa srednjom snagom
Psr =¹
6¼
1
vf(ez0!
20)
2 < cos2!0t >T=¹
12¼
1
vf(ez0!
20)
2. (5.7a)
Usled zracenja, energija W elektrona u atomu se smanjuje po zakonu
−dW
dt= Psr =
¹
12¼vf(ez0!
20)
2. (5.7b)
54
Energiju W elektrona mozemo izracunati priblizno, kao energiju linearnog harmonijskog
oscilatora:
W ≈ 1
2m!2
0z20 , (5.7c)
tako da, zamenom izraza (5.7c) u desnu stranu jednacine (5.7b), nalazimo
−dW
dt= °0W, (5.8a)
gde je konstanta °0, tzv. faktor prigusenja, data sa
°0 =¹
6¼vf
e2
m!20. (5.8b)
Smanjenje energije elektrona po zakonu (5.8a) dovodi do prigusenja oscilacija talasnog vek-
tora E, tako da klasican atom zraci prigusene elektromagnetne talase, Fig. 23(b):
E(r, t) = Am(r)e− °0t
2 cos(!0t− k0r)e0E, (5.9a)
gde je sa e0E oznacen jedinicni vektor u pravcu oscilovanja vektora E. Vektor E se moze
prikazati i u obliku E = ReˇE, gde je
ˇE = A(r)e−
°0t2 e−i!0te0E. (5.9b)
Primetimo na kraju da je klasican model atoma, sa stanovista zakona klasicne elektro-
dinamike, sam po sebi kontradiktoran: ovakav sistem brzo kolapsira. Stabilnost atoma kao
mikro-sistema moguca je tek u okviru kvantne mehanike. Sa stanovista kvantne elektrodi-
namike, pobudjeni atom spontano zraci tacno odredjenu energiju posle cega ostaje u (novom)
stabilnom stanju.
5.3. Spektar zracenja
U prethodnom odeljku videli smo da ”klasicni” atomi zrace prigusene elektromagnetne
talase. Isti zakljucak se dobija i u okviru kvantne elektrodinamike; medjutim, ”kvantni”
atom ne kolapsira nego prelazi iz jednog u drugo stabilno stanje. Na makroskopskom nivou,
cinjenica da atomi zrace prigusene talase dovodi do toga da ni jedan realan izvor ne zraci
strogo monohromatske talase. Razlaganje nemonohromatskih talasa na monohromatske
komponente naziva se spektralna analiza talasa.
55
Polazna osnova spektralne analize je cinjenica da se talasni vektor proizvoljnog talasa
uvek moze predstaviti u obliku diskretne sume ili integrala monohromatskih talasa:
E(r, t) =∑
Ei!(r, t) (5.10a)
E(r, t) =
∫ ∞
−∞E!(r, t)d!. (5.10b)
Dalju spektralnu analizu razmotricemo posmatrajuci kontinualnu dekompoziciju talasa datu
jednacinom (5.10b). Ova jednacina u kompleksnom obliku glasi
ˇE(r, t) =
∫ ∞
−∞
ˇA!E(r, !)e
−i!td!, (5.11a)
gde jeˇA!E(r, !)e
−i!td! monohromatski ”talas” ucestanosti !. Pri spektralnoj analizi uzima
se da su pomenuti monohromatski svetlosni vektori istog pravca e0E:
˘A!E(r, !) = A!E(r, !)e0E, (5.11b)
kada jeˇE(r, t) = Ee0E. U tom smislu na dalje ne pisemo vektorske oznake:
E(r, t) =
∫ ∞
−∞A!E(r, !)e
−!td!. (5.11c)
Integral (5.11c) se naziva Furijeov integral, a funkcija A!E Furijeov transform funkcije E.
Funkciju A!E(r, !) nalazimo mnozenjem jednacine (5.11c) sa ei!′t i integraljenjem po
vremenu: ∫ ∞
−∞E(r, t)ei!
′tdt =
∫ ∞
−∞A!E(r, !)
(∫ ∞
−∞ei(!
′−!)tdt
)d!. (5.12)
Integral po vremenu na desnoj strani jednacine (5.12) moze da se izrazi preko Dirakove
±-funkcije. Naime, treba uociti da je integralni oblik ove ”funkcije” dat sa
±(x− x0) =1
2¼
∫ ∞
−∞ei(x−x0)tdt. (5.13a)
Za dalja izracunavanja vazno je sledece integralno svojstvo:
∫ ∞
−∞f(x)±(x− x0)dx = f(x0). (5.13b)
Primetimo da kao specijalni slucaj jednacine (5.13b) imamo
∫ ∞
−∞±(x− x0)dx = 1. (5.13c)
56
Koristeci definiciju (5.13a) Dirakove ±-funkcije, jednacinu (5.12) mozemo napisati u obliku
∫ ∞
−∞E(r, t)ei!
′tdt = 2¼
∫ ∞
−∞A!E(r, !)±(! − !′)d!. (5.14a)
Koristeci osobinu ±-funkcije datu jednacinom (5.13b) nalazimo
A!E(r, !) =1
2¼
∫ ∞
−∞E(r, t)ei!tdt. (5.14b)
Analogno, spektralna analiza bi se mogla izvrsiti i za magnetnu komponentu elektromag-
netnog talasa. Ako sa A!H oznacimo furijeov transform kompleksnog vektoraˇH, imamo
ˇH =
∫ ∞
−∞
ˇA!H(r, !)e
−i!td!. (5.15a)
gde jeˇA!H = A!H e0H . Po analogiji sa jednacinom (5.14b), dobijamo da je velicina A!H
povezana sa velicinom H sledecom relacijom:
A!H(r, !) =1
2¼
∫ ∞
−∞H(r, t)ei!tdt. (5.15b)
Formule (5.14b) i (5.15b) kompletiraju spektralnu analizu proizvoljnog nemonohro-
matskog talasa. Matematicka cinjenica da se u spektralnoj formi (5.11a) i (5.15a), po-
javljuju i negativne ucestanosti (! ∈ [−∞,∞]) dobija svoj fizicki smisao ako se inte-
grali po ! razloze na dva clana. Na primer, ako se jednacina (5.11a) napise u obliku
sume dva clana:ˇE(r, t) =
∫∞0
ˇA!E(r, !)e
−i!td! +∫∞0
ˇA!E(r,−!)ei!td!. Svetlosni vek-
tori Re[ˇA!E(r,±!) exp[∓i!t]d!] = E± predstavljaju monohromatske talase iste ucestanosti.
Ako prvi talas u talasnoj ravni ima svojstvo da vrh vektora E+ opisuje kruznicu rotirajuci
u jednom smeru, onda E− opisuje kruznicu rotirajuci u suprotnom smeru. U odeljku 9.1
videcemo da se ovakvi talasi nazivaju levo i desno polarizovani talasi.
Koristeci spektralna razlaganja (5.11a) i (5.15a), mozemo naci jacinu proizvoljne,
nemonohromatske svetlosti, koristeci definiciju (3.18b):
I =∣∣∣⟨Re
ˇE × Re
ˇH⟩∣∣∣
=
∣∣∣∣⟨Re
(∫ ∞
−∞
ˇA!E(r, !)e
−i!td!
)× Re
(∫ ∞
−∞
ˇA!H(r, t
′)e−i!′td!′)⟩∣∣∣∣ , (5.16a)
tj.
I =
∣∣∣∣∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
⟨Re
(ˇA!Ee
−i!t)× Re
(ˇA!He
−i!′t)⟩
d!d!′∣∣∣∣ . (5.16b)
57
≡∣∣∣∣∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞F (!, !′)d!d!′
∣∣∣∣ . (5.16c)
Pri usrednjavanju u izrazu (5.16c) moze se smatrati da nenulti doprinos daju samo clanovi
sa ! = !′, tj.
F (!, !′) ≈ K!F (!, !)±(! − !′). (5.17)
Naime, kada je ! ∕= !′, jacina svetlosti zavisi od proizvoda Re(ˇA!Ee
−i!t)×Re
(ˇA!He
−i!′t)
koji brzo osciluje oko nulte vrednosti u toku vremena, tako da je njena srednja vrednost po
vremenu jednaka nuli. Koristeci izraz (5.17), nalazimo
I =
∣∣∣∣∫ ∞
−∞K!
⟨Re
(ˇA!Ee
−i!t)× Re
(ˇA!He
−i!t)⟩
d!
∣∣∣∣ . (5.18a)
Srednja vrednost u (5.18a) je istog oblika kao u jednacini (3.21b). Prema tome (vidi
jednacinu (3.24b)),
I =1
2
∣∣∣∣∫ ∞
−∞K!Re
(ˇA!E × ˇ
A∗!H
)d!
∣∣∣∣ . (5.18b)
Kako izmedjuˇA!E = A!E e0E i
ˇA!H = A!H e0H vazi ista veza kao izmedju
ˇE i
ˇH, za-
kljucujemo da jeˇA!E × ˇ
A∗!H = A!EA
∗!H e0 =
√"/¹∣A!E∣2e0 gde je e0 = e0E × e0H . Dakle,
kako je ∣e0∣ = 1,
I =1
2
∫ ∞
−∞K!
√"
¹∣A!E∣2d! =
∫ ∞
−∞const ⋅ n1
2∣A!E∣2d!, (5.18c)
gde je const = K!
√"0/¹0 (pri ¹r ≈ 1).
Relacija (5.18c) moze da se protumaci kao superpozicija jacina svetlosti pojedinih
monohromatskih komponenti:
I =
∫ ∞
−∞I!(!)d!, (5.19a)
gde je
I!(!) = const ⋅ n12∣A!E∣2 (5.19b)
tzv. spektralna gustina.
Skup svih ucestanosti ! koje se javljaju u spektralnoj formi (5.19a), tj. u (5.11c), naziva
se spektar u uzem smislu. Ocigledno, spektar koji smo mi razmatrali je kontinualan spektar:
! ∈ (0,∞), ako se ne razmatra polarizacija. Ukoliko se pojavljuju samo neke (diskretne)
vrednosti !, onda se spektar naziva diskretan: ! = (!1, !2...). Pod spektrom u sirem smislu
podrazumeva se zavisnost I! od ! (vidi Fig. 24(a,b)).
58
FIG. 24: Kontinualni i diskretni spektar zracenja
5.4. Spektar zracenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti
a) Spektar zracenja atoma
Nadjimo prvo spektar zracenja atoma. Spektar zracenja proizvoljnog izvora dobija se
odgovarajucim ”usrednjavanjem”.
Klasican atom (posmatran kao prigusen linearni harmonijski oscilator) zraci prigusene
elektromagnetne talase date jednacinom (5.9b). Vec smo ukazali na cinjenicu da se ovakvo
zracenje dobija i u okviru kvantne elektrodinamike. Priroda prigusenja je bitno razlicita u
ova dva modela. Klasican atom usled zracenja gubi energiju i kolapsira, dok kvanti atom
prelazi u novo stabilno stanje, a prigusenje se pripisuje intrekciji sa ”vakuumom”.
Dakle, atom zraci prigusen elektromagnetni talas koji sa faktrorom prigusenja °0 osciluje
frekvencijom !0. Radi matematickih pogodnosti pretpostavimo da se talas uspostavlja u
trenutku t = 0, tako da je
ˇE(r, t) =
⎧⎨⎩
0, t < 0
A(r)e−°0t2 e−i!0te0E, t ≥ 0
(5.20)
Spektar zracenja atoma odredjen je Furijeovim transformom velicine E, koji je dat
jednacinom (5.14b):
A!E(r, !) =1
2¼
∫ ∞
−∞E(r, t)ei!tdt =
1
2¼A(r)
∫ ∞
0
e−°0t2 ei(!−!0)tdt. (5.21a)
Uvodeci oznaku °0/2 − i(! − !0) = », nalazimo A!E = (1/2¼)A(r)∫∞0
e−»tdt =
(1/2¼)A(r)(1/»)e−»t/∞0 = A(r)/(2¼»), tako da je
A!E(r, !) =1
2¼
A(r)°02− i(! − !0)
. (5.21b)
59
FIG. 25: Spektar zracenja atoma
Za spektralnu gustinu I!(!), koja je data jednacinom (5.19b), sada imamo
I!(!) = const ⋅ n12
1
(2¼)2∣A(r)∣2 1
°20
4+ (! − !)2
. (5.22a)
Poslednji izraz mozemo da napisemo u obliku
I!(!) = k°02
°20
4+ (! − !0)2
. (5.22b)
Konstantu k (za dato r) mozemo da povezemo sa ukupnom jacinom svetlosti I. Naime,
zamenom I!(!) u jednacinu (5.19a) nalazimo
I = k
∫ ∞
−∞
°02
°20
4+ (! − !0)2
d! = k
∫ ∞
−∞
d(2!°0)
1 + (2(!−!0)°0
)2= kArctg
(2(! − !0)
°
)/∞−∞ = k¼,
(5.23a)
odakle je
k =I
¼. (5.23b)
Konacno,
I!(!) =I
¼
°02
°20
4+ (! − !)2
. (5.24)
Spektar zracenja, tj. zavisnost I! od !, dat je na Fig. 25. Vidimo da I!(!) ima oblik
zvonaste krive koja ima maksimum I! = I!,max za ! = !0, tj. pri sopstvenoj ucestanosti
oscilovanja elektrona:
I!,max =2I
¼°0. (5.25)
60
FIG. 26: Zracenje prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti
Sirina spektralne linije, Δ!, se definise kao sirina spektra na polovini visine, Fig. 25. Dakle:
(1/2)I!,max = I!(!0±Δ!/2), tj. (1/2)2I/(¼°0) = (I/¼)(°0/2)/[(°20/4+(!0±(Δ!/2)−!0)
2],
odakle za sirinu Δ! nalazimo
Δ! = °0. (5.26)
Spektar zracenja atoma u kome se prigusenje javlja spontano, usled samog zracenja,
dovodi do tzv. prirodnog sirenja spektralne linije. Odgovarajuci spektar se cesto naziva
prirodni oblik emisione linije. Prirodna sirina linije je veoma mala. Za opticke ucestanosti
imamo Δ!/!0 = °0/!0 ∼ 10−7.
Do prigusenja elektronskog oscilovanja moze doci i pod delovanjem spoljasnjeg elektricnog
polja. Ovakvo delovanje se moze posmatrati kao perturbacija prirodnog oscilovanja. Ovakav
efekat dovodi do dodatnog sirenja spektralne linije. Spektar zracenja se ponovo moze opisati
formulom (5.24) ali u njoj umesto °0 figurise neki drugi parametar prigusenja °.
b) Spektar zracenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetloasti
Zracenje ”prirodnog” izvora nastaje superpozicijom zracenja velikog broja mikro-izvora
(atoma). Pritom mikro-izvori mogu biti vise ili manje nezavisni i podvrgavaju se razlicitim
statistikama. Uzevsi u obzir prirodu zracenja mikro-izvora kao i proces usrednjavanja, jasno
je da se mogu dobiti vrlo razlicita rezultujuca zracenja. Ovde cemo detaljnije razmotriti
samo dva ekstremno razlicita tipa ovako dobijene svetlosti: lasersku svetlost i tzv. termalnu
svetlost.
U principu u oba pomenuta slucaja, rezultujuca jacina polja E jednaka je sumi jacina
61
FIG. 27: Slucajevi (a) nekorelisane i (b) korelisane promene vektora R(r, t) u toku vremena,
karakteristicni za termalnu svetlost i lasersku svetlost, respektivno
polja Ej pojedinih mikro-izvora (atoma). Pretpostavimo da je osnovna ucestanost !0 svih
atoma ista. Tada je, u kompleksnom domenu
ˇE =
∑j
ˇEj,
ˇEj =
ˇAj(r, t)e
−i!0t, (5.27a)
tj., ako uvedemo oznakuˇAj(r, t) = Aj(r, t)e
iΦj(r,t),
ˇE =
∑j
Aj(r, t)eiΦj(r,t)e−i!0t. (5.27b)
Dakle, u tacki M u trenutku t, jacina polja od prirodnog izvora ”monohromatske” svet-
losti je data saˇE(r, t) =
ˇR(r, t)e−i!0t (5.28a)
gde jeˇR(r, t) =
∑j
Aj(r, t)eiΦj(r,t) ≡ R(r, t)eiΦ(r,t). (5.28b)
Da bi se opisala priroda dobijenog polja, opisanog saˇR(r, t), uvodi se pojam koherentne
svetlosti. Za svetlost dobijenu zracenjem posmatranog prirodnog izvora se kaze da je vre-
menski koherentna ako su velicineˇR(r, t) u razlicitim trenucima (a za dato r), medjusobno
korelisane, tj. ako postoji funkcionalna veza izmedjuˇR(r, t1) i
ˇR(r, t2):
ˇR(r, t1) = ℑ( ˇR(r, t2)). (5.29a)
62
Za svetlost se kaze da je prostorno koherentna ako su korelisane vrednostiˇR(r, t) u datom
trenutku a u razlicitim tackama polja, tj. ako postoji funkcionalna zavisnost oblika
ˇR(r1, t) = ℑ( ˇR(r2, t)) (5.29b)
U vezi sa vremenskom i prostornom koherencijom uvode se pojmovi vremena koherencije
i duzine koherencije. Naime, velicineˇR(r, t1) i
ˇR(r, t2) su medjusobno korelisane samo u
toku nekog vremenskog intervala Δtk koji se naziva vreme koherencije, dok se izvan ovog
intervala velicinaˇR(r, t) znacajno i nekontrolisano menja. Takodje velicina
ˇR(r1, t) i
ˇR(r2, t)
se medjusobno korelisane samo u oblasti ΔVk cije se linearne dimenzije nazivaju duzina
koherencije.
Dva pomenuta granicna slucaja rezultujuceg zracenja definisana su vremenskom koheren-
cijom. Kod termalne svetlosti vreme koherencije je vrlo malo, tako da su velicineˇR(r, t)
prakticno nekorelisane. To znaci da se velicine R(r, t) i faze Φ(r, t) u posmatranoj tacki
prostora u toku vremena ponasaju kao slucajne velicine (nepredvidljivo), Fig. 27(a).
Kod laserske svetlosti vreme koherencije je vrlo veliko, tako da su velicineˇR(r, t) u toku
dugog intervala (Δtk) medjusobno korelisane velicine, Fig. 27(b). Do narusenja korelacije
(po isteku vremena koherencije) dolazi zbog razlicitih perturbacija kojima su izlozeni atomi
laserskog izvora.
Razlicito ponasanje velicineˇR(r, t) u toku vremena bitno utice na proces usrednjavanja
kojim se dolazi do jacine svetlosti prirodnog izvora zracenja.
63
II. GEOMETRIJSKA OPTIKA
§6 Aproksimacija geometrijske optike
6.1. Talasna jednacina u ajkonalnoj aproksimaciji
Osnovna ideja geometrijske optike lezi u cinjenici da se u optickom domenu prostiranje
elektromagnetnih talasa moze predstaviti sa velikim stepenom tacnosti kao transfer energije
talasa duz zraka koji se definisu geometrijskim relacijama. Da bi presli od talasne jednacine
na jednacinu zraka potrebno je izvrsiti tzv. ajkonalnu aproksimaciju.
Videli smo da u linearnim i izotropnim sredinama koje su neprovodne (dakle nedis-
perzivne) vektori E i B zadovoljavaju talasne jednacine (1.8a) i (1.9a):
ΔE = "¹∂2E
∂t2, ΔB = "¹
∂2B
∂t2. (6.1a)
Elektromagnetna karakteristika sredine "¹ se u optici izrazava preko indeksa prelamanja
n = c/vf . Koristeci relaciju (1.10a), nalazimo "¹ = 1/v2f = (1/c2)(c/vf )2 = n2/c2, tako da
jednacine (6.1) dobijaju oblik
ΔE =n2
c2∂2E
∂t2, ΔB =
n2
c2∂2B
∂t2. (6.1b)
Primetimo da jednacine (6.1a), pa prema tome i (6.1b), vaze u homogenim sredinama " =
const i ¹ = const, tj. u opticki homogenim sredinama (n = const). Ove jednacine se mogu
primeniti i na nehomogene sredine pod uslovom da je indeks prelamanja n = n(r) sporo
promenjiva funkcija.
U daljem razmatranju ogranicavamo se na monohromatske talase ucestanosti !. Vektori
E i B ovih talasa se mogu izraziti kao realni delovi kompleksnih vektoraˇE i
ˇB relacijama
(1.31) i (1.32):
E = ReˇE,
ˇE =
ˇE0e
−i!t (6.2a)
B = ReˇB,
ˇB =
ˇB0e
−i!t. (6.2b)
Kompleksni vektoriˇE i
ˇB zadovoljavaju iste jednacine (6.1b) kao i njihovi realni delovi E i
B.
Razmotrimo prvo jednacinu zaˇE. Jednacina za
ˇB je potpuno analogna. Zamenom (6.2a)
u (6.1b), nalazimo
e−i!t(ΔˇE0) =
n2
c2(−!2)
ˇE0e
−i!t, (6.3a)
64
odakle vidimo da se clanovi exp(−i!t) skracuju, tako da se dobija vremenski nezavisna
jednacina
ΔˇE0 = −n2!2
c2ˇE0. (6.3b)
Kako je talasni broj u vakuumu (u kome se svetlost prostire istom ucestanoscu ! kao i u
posmatranoj sredini) k0 = !/c, jednacinu (6.3b) mozemo napisati u obliku
ΔˇE0 = −n2k2
0ˇE0. (6.3c)
Jednacina (5.3c) se svodi na tri skalarne jednacine za E0x(r), E0y(r) i E0z(r) koje sve imaju
isti oblik. Oznacivsi sa Ψ(r) proizvoljnu komponentu kompleksnog vektoraˇE0, imamo
1
ΨΔΨ = −n2k2
0. (6.4)
U cilju nalazenja ajkonalne aproksimacije jednacine (5.4), uocimo da je (∂2/∂x2)(ln Ψ) =
(∂/∂x)[(1/Ψ)(∂Ψ/∂x)] = −(1/Ψ2)(∂Ψ/∂x)2 + (1/Ψ)(∂2Ψ/∂x2), odakle je
1
Ψ
∂2Ψ
∂x2=
∂2
∂x2
(ln Ψ
)+
(1
Ψ
∂Ψ
∂x
)2
. (6.5a)
Kako analogne relacije vaze i za izvode po y i z, nalazimo
1
ΨΔΨ =
∂2
∂x2
(ln Ψ
)+
∂2
∂y2(ln Ψ)+
∂2
∂z2(ln Ψ)+
(∂
∂x(ln Ψ)
)2
+
(∂
∂y(ln Ψ)
)2
+
(∂
∂z(ln Ψ)
)2
,
(6.5b)
odnosno1
ΨΔΨ = Δ(ln Ψ) + (grad(ln Ψ))2. (6.5c)
Zamenom jednacine (6.5c) u talasnu jednacinu (6.4), nalazimo
Δ(ln Ψ) + (grad(ln Ψ))2 = −n2k20. (6.6)
Kako je Ψ = Ψ(r) kompleksna funkcija od r, to je njen opsti oblik
Ψ = A(r)eiS(r), (6.7)
gde su amplituda A(r) i faza S(r) realne funkcije. Koristeci opsti izraz za logaritam kom-
pleksne funkcije: ln z = ln ∣z∣+ iArgz, za logaritam Ψ nalazimo: ln Ψ = lnA(r)+ iS(r), tako
da jednacina (6.6) dobija oblik
Δ(lnA) + iΔS + (grad(lnA) + igradS)2 = −n2k20. (6.8a)
65
Jednacina (6.8a), kao kompleksna jednacina, predstavlja skup od dve realne jednacine:
Δ(lnA) + (grad(lnA))2 − (gradS)2 = −n2k20 (6.9a)
ΔS + 2grad(lnA) ⋅ (gradS) = 0. (6.9b)
Kako je, na osnovu (6.5c) (1/A)ΔA = Δ(lnA) + (grad(lnA))2, sistem jednacina (6.9a,b)
mozemo napisati u obliku1
AΔA− (gradS)2 = −n2k2
0 (6.10a)
ΔS + 2grad(lnA) ⋅ (gradS) = 0. (6.10b)
Jednacine (6.10a,b) se znacajno pojednostavljuju u optickom domenu talasnih duzina.
U slucaju linearnih i izotropnih neprovodnih sredina koje su homogene ("r = const i ¹r =
const), sto znaci i da je n = const, elektromagnetni talas se prostire kao ravanski talas. U
tom slucaju amplituda A(r) = const, dok je faza S = k ⋅ r. Kada se svetlost prostire kroz
sistem optickih uredjaja bice n ∕= const, tako da je A(r) ∕= const. Medjutim, amplituda A(r)
se znatno menja samo u oblastima izrazitih nehomogenosti, dok u okviru optickog sistema
(O.S.) mozemo uzeti da je A(r) sporo promenjiva funkcija od r, tj.
A(r) ≈ const, r ∈ O.S. (6.11a)
Ova cinjenica je shematski prikazano na Fig. 28. Drugim recima, aproksimacija (6.11a) vazi
na rastojanjima r < l, gde je l red velicine optickog sistema, pri cemu je ¸ ≪ l. Za fazu S
pri prostiranju svetlosti u datom fizickom sistemu mozemo smatrati da se ponasa skoro isto
kao i u slucaju homogene sredine, tj. S predstavlja sporo promenjivu funkciju koordinata:
S(r) ≈ k ⋅ r ≈ kx, r ∈ O.S. (6.11b)
Kao primer funkcije A(r) koja se znatno menja tek na rastojanju reda velicine l navedimo
funkciju A = A0 exp(−x/l). Laplasijan ove funkcije je: ΔA = A0(−1/l)2 exp(−x/l) = A/l2,
tj. ΔA/A = 1/l2. U opstem slucaju mozemo uzeti da je
1
AΔA ∼ 1
l2≪ 1
¸2, (6.12a)
dok za gradijent faze S vazi proporcionalnost
(gradS)2 ∼(∂S
∂x
)2
∼ k2 ∼ 1
¸2. (6.12b)
66
FIG. 28: Ponasanje amplitude A u okviru optickog sistema n ≈ const
Koristeci procene velicina ΔA/A i (gradS)2 date jednacinama (6.12a,b), vidimo da prvi
clan jednacine (6.10a) moze da se zanemari prema drugom, tako da imamo
(gradS)2 = n2k20. (6.13a)
Jednacina (6.13a) predstavlja talasnu jednacinu u ajkonalnoj aproksimaciji i cesto se naziva
ajkonalna jednacina u skalarnom obliku. Vektorski oblik ove jednacine direktno sledi iz
izraza (6.13a) ako se uzme u obzir da je vektor gradS kolinearan sa talasnim vektorom k
(vidi odeljak 6.2.). U tom slucaju, imamo
gradS = nk0ek, (6.13b)
gde je ek jedinicni vektor (ort) vektora k. Primetimo da je n = c/vf = k/k0, tako da je
nk0ek = k.
Jednacina (6.10b) u ajkonalnoj aproksimaciji ima oblik
ΔS + 2nk0grad(lnA) ⋅ ek = 0 (6.13c)
i moze se posmatrati kao jednacina za amplitudu A, pod uslovom da je poznata faza S (vidi
odeljak 6.5.).
U optici se umesto faze S uvodi nova fizicka velicina, ajkonal Φ:
Φ =S
k0. (6.14a)
Ajkonalna jednacina (6.13b) tada dobija oblik
gradΦ = nek. (6.14b)
67
Podsetimo se da ova jednacina vazi pod uslovom
ΔA
A≪ 1
¸2. (6.15a)
Ako se promena ajkonala odvija duz s-pravca, gornja nejednakost se moze napisati u obliku
∂2A
∂( s¸)2
≪ A, (6.15b)
sto znaci da promena amplitude na rastojanjima reda velicine talasne duzine (s/¸ ∼ 1) mora
da bude mala u poredjenju sa samom amplitudom.
Primetimo na kraju da ajkonalna jednacina (6.13b) predstavlja (vektorsku) diferencijalnu
jednacinu cijim resavanjem nalazimo funkciju S = S(r). Ajkonalna jednacina se moze
posmatrati i kao (vektorska) algebarska jednacina cijim resavanjem nalazimo vektor gradS
u svakoj tacki prostora.
6.2. Svetlosni zraci
U proizvoljnoj tacki prostora jacina elektricnog polja je data jednacinom (6.2a):
E = ReˇE = Re
(ˇE0e
−i!t), (6.16a)
pri cemu se kompleksni vektorˇE0 moze izraziti u obliku
ˇE0 = E0xex + E0yey + E0z ez. Svaka
od komponeneti E0x, E0y, E0z (oznacena sa Ψ u odeljku 6.1) ima oblik E0j = Ajexp(iSj); j =
x, y, z. U ajkonalnoj aproksimaciji amplitude Aj ≈ const, dok sve faze Sj zadovoljavaju istu
ajkonalnu jednacinu (6.13b). Zbog toga su faze Sj medjusobno jednake: Sx = Sy = Sz = S.
U tom slucaju jacina polja E je data sa
E = ReˇE = Re
(A(r)eiS(r)e−i!t
). (6.16b)
Kako je A(r) ≈ const, vidimo da se talasne povrsi (povrsi na kojima je ∣E∣ = const)
poklapaju sa ekvifaznim povrsima (povrsi na kojima je S = const), tako da je u ajkonalnoj
aproksimaciji jednacina talasne povrsi data sa
S(r) = const. (6.17)
Talasna povrs (kao ekvifazna povrs) cesto se naziva i talasni front. Vektor gradS koji se
dobija kao algebarsko resenje ajkonalne jednacine je normalan na talasnu povrs S(r) = const,
sto je prikazano na Fig. 29(a).
68
FIG. 29: Talasne povrsi i zraci u ajkonalnoj aproksimaciji
Definisimo sada svetlosne zrake kao linije duz kojih se prenosi svetlosna energija. Kako se
pravac i smer prenosenja energije poklapa sa vektorom k, vidimo da su svetlosni zraci odred-
jeni polozajem orta ek. Kako je vektor ek uvek normalan na talasnu povrs, zakljucujemo da
vektori ek i gradS moraju biti kolinearni. To je uslov koji smo koristili u odeljku 6.1. pri
pisanju ajkonalne jednacine u vektorskom obliku. Dakle, sada mozemo reci da je svetlosni
zrak linija cija se tangenta u svakoj tacki poklapa sa pravcem vektora gradS. Uzajaman
odnos talasnih povrsi i zraka dat je na Fig. 29(b).
Osnovni metod geometrijske optike je da se prostiranje svetlosti posmatra kao transport
svetlosne energije duz zraka, pri cemu se zraci opisuju ajkonalnom jednacinom. Podsetimo
se da ova jednacina vazi pod uslovom da je A ≈ const, odnosno ΔA/A ≪ 1/¸2, sto nije
zadovoljeno u oblastima jake nehomogenosti opticke sredine. Ovakve nehomogenosti se javl-
jaju na granicnim povrsinama cvrstih prepreka. Kako se upravo na ovakvim mestima javlja
skretanje svetlosti u oblast geometrijske senke, pojava koja se naziva difrakcija svetlosti,
moze se reci da se difrakcioni efekti ne uzimaju u obzir u geometrijskoj optici.
U okviru geometrijske optike celokupno ponasanje svetlosti se svodi na analizu svetlosnih
zraka. Prati se samo ponasanje faze talasa, dok se u potpunosti zanemaruje ponasanje
amplituda vektora E(r, t) (i H(r, t)). Dakle, analizom ajkonalne jednacine, kao osnovne
69
jednacine geometrijske optike ne moze se nista zakljuciti o promeni amplitude, tako da u
aproksimaciji geometrijske optike polje bilo kog zraka ne zavisi od polja ostalih zraka. Ovo
svojstvo se moze formulisati kao zakon nezavisnosti svetlosnih zraka u geometrijskoj optici.
Primer
Svetlosni zraci i talasne povrsi u homogenoj sredini (n = const) mogu direktno da se
dobiju iz ajkonalne jednacine (6.13b) u vektorskom obliku: gradS = nk0ek = k. Na osnovu
ove jednacine nalazimo da je gradS konstantan vektor. Ovo dalje znaci da su zraci prave linije
(na primer duz x-ose). Resavanjem ajkonalne jednacine nalazimo da je faza S = k ⋅ r = kx;
talasne povrsi (S = const) su ravni yOz normalne na zrake.
6.3. Fermaov princip
U poslednjem primeru videli smo da se u homogenoj sredini (n = const) svetlost prostire
pravolinijski. Svetlosni zraci su prave linije, a talasni frontovi su ravni normalne na te
linije. Faza talasa u homogenoj sredini je S = k ⋅ r, gde je k konstantan talasni vektor. U
nehomogenoj sredini n = n(r) svetlost se ne prostire pravolinijski. Ona ce se prostirati duz
takvih linija duz kojih je vreme prostiranja minimalno. Ovo je sadrzaj Fermaovog (Fermat;
1601-1665) principa koji predstavlja jedan od osnovnih principa geometrijske optike. On
direktno sledi iz ajkonalne jednacine u vektorskom obliku.
Polazeci od jednacine (6.13b) i trazeci rotor te jednacine, imamo
rot(gradS) = rot(nk0ek). (6.18a)
Kako je rot(gradS) = 0 za svako S, dolazimo do jednacine
rot(nek) = 0, (6.18b)
tako da je integral po bilo kojoj otvorenoj povrsini S:
∫
S
rot(nek) ⋅ dS = 0. (6.18c)
Transformisuci povrsinski integral u jednacini (6.18c) na osnovu Stoksove teoreme u linijski
integral po zatvorenoj konturi C na koju naleze povrsina S, nalazimo
∮
C
nek ⋅ dl = 0. (6.18d)
70
FIG. 30: Izbor konture C pri dokazu Fermaovog principa
Izaberimo sada konturu C tako da se delimicno prostire duz zraka (put 1(a)2) a delimicno
izvan njega (put 2(b)1), kao na Fig. 30(a). Tada je
∫ 2
1(a)
nek ⋅ dl +∫ 1
2(b)
nek ⋅ dl = 0, (6.19a)
tj. ∫ 2
1(a)
nek ⋅ dl =∫ 2(b)
1
nek ⋅ dl. (6.19b)
Duz puta 1(a)2 vektori ek i dl su kolinearni, tako da je
∫ 2
1(a)
nek ⋅ dl =∫ 2
1(a)
ndl. (6.20a)
Duz puta 1(b)2 bice ek ⋅ dl = dl cos®, tako da
∫ 2
1(b)
nek ⋅ dl =∫ 2
1(b)
n cos®dl. (6.20b)
Zamenom izraza (6.20a,b) u jednacinu (6.19b), nalazimo
∫ 2
1(a)
ndl =
∫ 2
1(b)
n cos®dl <
∫ 2
1(b)
ndl. (6.21)
Dakle, integral velicine ndl duz zraka je minimalan. Velicina
∫ 2
1
ndl = L12 (6.22)
naziva se opticka duzina puta. Na osnovu formule (6.21) dolazimo do zakljucka da opticka
duzina puta ima minimalnu vrednost ako se racuna duz zraka.
71
FIG. 31: Snop tautohtonih zraka
Ako uocimo da je n = c/vf , vidimo da je
L12 = c
∫ 2
1
dl
vf= c¿12, (6.23)
gde je ¿12 vreme potrebno da svetlost predje put 12. Ocigledno, minimalnost opticke duzine
puta duz zraka poklapa se sa minimalnoscu vremena, sto je i sadrzaj Fermaovog principa.
Sam Fermaov princip se moze upotrebiti za novu definiciju zraka: zrak koji spaja dve tacke
je put koji ce svetlost preci za najmanje vreme.
Treba napomenuti da je moguce da izmedju uocenih tacaka postoji veci broj puteva istih
optickih duzina (duz kojih se svetlost prostire za isto vreme). Ovakvi putevi se nazivaju
tautohtoni i oni obrazuju snop svetlosnih zraka. Na Fig. 31 prikazana je tipicna situacija u
optici. Svetlost iz neke tacke predmeta (tacka 1) prelazi razlicite puteve i sabira se u nekoj
tacki lika (tacka 2), ali su pri tom opticke duzine ovih puteva jednake.
6.4. Zakoni refleksije i refrakcije svetlosti u geometrijskoj optici
Na osnovu Fermaovog principa lako se dobijaju dva osnovna zakona geometrijske optike:
zakon refleksije (odbijanja) i zakon refrakcije (prelamanja) svetlosti.
Zakon refleksije dobijamo pracenjem prostiranja zraka koji se reflektuje na granicnoj
povrsini dve opticke sredine indeksa prelamanja n1 i n2. Posmatrajmo zato kojim putem
zrak koji polazi iz tacke 1 posle refleksije stize u tacku 2. Na osnovu Fermaovog principa
zrak ce se prostirati duz puta 10′2 minimalne opticke duzine. Kako se u slucaju refleksije
svetlost prostire u sredini konstantnog indeksa prelamanja n1, najkraci put 10′2 imace i
najmanju opticku duzinu. Na osnovu cisto geometrijskih rasudjivanja zakljucujemo da je
72
FIG. 32: Zakon refleksije: µ = µ′
to put 102 sa Fig. 32. Naime, ako uocimo ”lik” 1′ tacke 1, zakljucujemo da je duzina 10′2
jednaka duzini 1′0′2, a ona je ocigledno veca od 102 = 1′02, jer tacke 1′, 0 i 2 leze na pravoj
liniji.
U optici se zrak 10 naziva upadni zrak a zrak 02 reflektovani zrak. Uglovi µ i µ′ koje
ovi zraci zaklapaju sa normalom nazivaju se upadni ugao i ugao refleksije. Zakon refleksije
dobijen na osnovu Fermaovog principa tvrdi da je upadni ugao jednak uglu refleksije:
µ = µ′. (6.24)
Zakon refrakcije takodje sledi iz Fermaovog principa. Sada je potrebno pratiti zrak koji se
prelama na granicnoj povrsini dve opticke sredine (Fig. 33), indeksa prelamanja n1 = const
i n2 = const. Ponovo trazimo put kojim zrak iz tacke 1 posle prelamanja stize u tacku 2.
U svakoj od homogenih optickih sredina zrak je prava linija. U prvoj sredini to je upadni
zrak 10 a u drugoj sredini to je prelomljeni zrak 02. Oznacimo sa » koordinatu tacke 0 u
kojoj zrak ulazi iz prve sredine u drugu sredinu. Ukupna opticka duzina puta L12 izmedju
tacaka 1 i 2 jednaka je: L12 = L10 + L02, pri cemu je L10 = n1l10 i L02 = n2l02, gde su l10 i
l02 duzine puteva 10 i 02. Dakle
L12 = n1
√l21 + »2 + n2
√l22 + (a− »)2. (6.25a)
Uslov stacionarnosti (minimalnosti) velicine L12 se svodi na
dL12
d»= 0. (6.25b)
73
FIG. 33: Zakon prelamanja
Zamenom (6.25a) u (6.25b) nalazimo
n1»√
l21 + »2− n2
(a− »)√l22 + (a− »)2
= 0. (6.26a)
Uocivsi da je»√
l21 + »2= sin µ,
a− »√l22 + (a− »)2
= sin µ′′, (6.26b)
gde je po definiciji µ′′ ugao prelamanja, jednacinu (5.26a) mozemo da prepisemo u obliku
n1 sin µ − n2 sin µ′′ = 0, (6.27a)
odnosnosin µ
sin µ′′=
n2
n1
. (6.27b)
Zakon (6.27b) naziva se zakon prelamanja ili Snelijev zakon.
Osnovni zakoni geometrijske optike koji su proizasli kao posledica ajkonalne aproksimacije
mogu se formulisati u obliku cetiri osnovna zakona:
1. Zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti u homogenim sredinama (primer u odeljku
6.2)
2. Zakon nezavisnosti svetlosnih zraka (formulisan u odeljku 6.2)
3. Zakon refleksije (jednacina (6.24))
4. Zakon prelamanja (jednacina (6.27b))
74
Istorijski gledano, osnovni zakoni geometrijske optike bili su poznati mnogo pre nego
sto se doslo do elektromagnetne prirode svetlosti. Tako, na primer, zakon pravolinijskog
prostiranja svetlosti bio je poznat jos starim grcima (Empedokle, 490-430 p.n.e; Euklid, 399
p.n.e), dok su zakoni refleksije i prelamanja otkriveni eksperimentalno jos u srednjem veku.
Poznato je da je zakon prelamanja dao Snell (1591-1626).
6.5. Hajgensov princip
Do sada smo razmatrali jednacinu (6.13b) koja je dobijena na osnovu talasne jednacine
u ajkonalnoj aproksimaciji, i na osnovu nje generisali 4 osnovna zakona geometrijske optike.
Analizom jednacine (6.13c) koja takodje sledi iz talasne jednacine u ajkonalnoj aproksimaciji,
moguce je dopuniti ove zakone tako sto ce se uzeti u razmatranje i ponasanje amlitude talasa
i jacine svetlosti duz zraka.
U odeljku 6.1 smo videli da za amplitudu A vazi jednacina (6.13c):
ΔS + 2nk0grad(lnA) ⋅ ek = 0. (6.28a)
Ort ek je upravljen duz zraka a normalan je na talasnu povrs (talasni front). Uvodeci ajkonal
Φ = S/k0 definisan jednacinom (6.14a), jednacinu (6.28a) mozemo napisati u obliku
ΔΦ + 2ngrad(lnA) ⋅ ek = 0. (6.28b)
Kako je gradf ⋅ ek izvod funkcije f u pravcu normale na talasni front (Fig. 34), nalazimo
grad(lnA) ⋅ ek = ∂
∂s(lnA), (6.29a)
gde je s varijabla u pravcu normale, tj. u pravcu zraka. Zamenom (6.29a) u jednacinu
(6.28b) nalazimo
ΔΦ + 2n∂
∂s(lnA) = 0. (6.29b)
Resavanjem jednacine (6.29b) moze se naci amplituda A, pod uslovom da je poznat
ajkonal Φ. Naime, jednacina (6.29b) moze da se napise u obliku
∂
∂s(lnA) = − 1
2nΔΦ, (6.29c)
odakle, direktnom integracijom, nalazimo
ln
(A
A0
)= −
∫ s
0
1
2nΔΦds, (6.30a)
75
FIG. 34: Ponasanje amplitude A duz zraka
gde je A0 = A(s = 0) amplituda na uocenom talasnom frontu. Dakle, za amplitudu A(s) na
rastojanju s od talasnog fronta duz uocenog zraka, imamo
A(s) = A0 exp
[−∫ s
0
1
2nΔΦds
]. (6.30b)
Laplasijan ajkonala se nalazi na osnovu ajkonalne jednacine (6.14b): gradΦ = nek.
Naime,
ΔΦ = div(gradΦ) = div(nek) =∂n
∂s. (6.31a)
Zamenom izraza (6.31a) u jednacinu (6.30b), nalazimo
A(s) = A0 exp
[−∫ s
0
1
2n
∂n
∂sds
]= A0 exp
[−1
2
∫d(lnn)
]= A0 exp
[−1
2ln
n(s)
n0
], (6.31b)
gde su n0 = n(0) i n(s) indeksi prelamanja sredine na uocenom talasnom frontu i na rasto-
janju s duz zraka. Dakle, za amplitudu A(s) imamo
A(s) = A0
(n(s)
n0
)−1/2
, (6.31c)
tj. √n(s)A(s) =
√n0A0. (6.32)
Vidimo da se pri n ≈ const amplituda sporo menja duz zraka, sto je osnovna pretpostavka
ajkonalne aproksimacije. Analizom relacije (6.32) mozemo naci i kako se ponasa jacina
svetlosti duz zraka. Ako za jacinu svetlosti iskoristimo formulu (3.25b): I ∼ n∣E0∣2 i uocimo
76
FIG. 35: Jacina svetlosti duz zraka u optickoj sredini n = n(r) ≈ const
da je, prema jednacini (5.16b), E0 = A(r)eiS(r), za intezitet svetlosti duz zraka nalazimo
I(s) ∼ n(s)∣A(s)eiS(r)∣2 = n(s)A2(s). (6.33a)
Kako je na talasnom frontu I(0) ∼ n0A20, vidimo da je, koristeci formulu (6.32),
I(s)
I0=
n(s)
n0
(A(s)
A0
)2
=
Ã√n(s)A(s)√n0A0
)2
= 1. (6.33b)
Dakle, u ajkonalnoj aproksimaciji (koja lezi u osnovi geometrijske optike) jacina svetlosti
se ne menja duz zraka. Do promene jacine svetlosti dolazi samo u oblastima izrazite neho-
mogenosti opticke sredine gde su naruseni uslovi vazenja ajkonalne aproksimacije.
Relacija (6.33b) omogucava da se uvede pojam jacine svetlosti u pravcu zraka, tj. duz
zraka, Fig. 35(a). Naime, ako je u nekoj tacki izvora jacina svetlosti jednaka I0, onda ce
ona imati istu vrednost duz celog zraka koji polazi iz te tacke:
I(s) = I0 ∀s ∈ zrak. (6.33c)
U okviru geometrijske optike vazi princip nezavisnosti zraka. Zbog toga, ako se u nekoj tacki
sustice vise zraka, rezultujuca jacina svetlosti bice
I =∑i
Ii, (5.33d)
77
FIG. 36: Hajgensov princip
gde je Ii jacina svetlosti duz i-tog zraka (vidi Fig. 35(b)).
Proucimo sada kako se ponasa talasni front u ajkonalnoj aproksimaciji. Primetimo da
smo talasni vektor E izrazili preko jednacina (5.2) i (5.7) u obliku E(r, t) = Re(ˇE0e
−i!t) =
Re[A(r)eiS(r)e−i!t]. Ukupna faza elektromagnetnog talasa je: f(r, t) = S(r)−!t = k0Φ−!t.
Dakle, brzina kojom se pomera talasni front (ekvifazna povrs) duz normale na talasni front
je data sa d(k0Φ − !t)/ds = 0. Dakle, k0dΦ/ds − !dt/ds = 0, odakle vidimo da je brzina
pomeranja talasnog fronta v = ds/dt = (!/k0)(dΦ/ds)−1. S druge strane, iz ajkonalne
jednacine (6.14b) imamo gradΦ ⋅ ek = n, odakle je dΦ/ds = n. Dakle, v = !/(k0n) = c/n =
vf . Prema tome, talasni front se pomera u pravcu normale faznom brzinom: v = vf . Istom
brzinom se prostire i (ravanski) monohromatski talas, vid jednacinu (1.27a).
Znajuci brzinu, pravac i smer pomeranja talasnog fronta, uvek je moguce konstruisati
talasni front u trenutku t+ dt na osnovu talasnog fronta u prethodnom trenutku vremena.
Naime, iz svake tacke talasnog fronta formiranog u trenutku t treba duz zraka naneti duz
vdt = (c/n)dt; krajevi ovih duzi formiraju talasni front u trenutku t+ dt, kao na Fig. 36(a).
Ista ovakva situacija bi se dobila i kada bi zamislili da je svaka tacka talasnog fronta u
trenutku t izvor sekundarnog sfernog talasa koji se brzinom v = c/n prenosi kroz prostor i
nasli obvojnicu svih ovih talasa u trenutku t+dt, Fig. 36(b). Ovo je sadrzaj tzv. Hajgensovog
principa koji je u geometrijsku optiku uveden sa ciljem da se objasni ponasanje svetlosti na
78
FIG. 37: Sociva i ogledala
granicama cvrstih prepreka. Za rezultujucu jacinu svetlosti I od ovako uvedenih sekundarnih
talasa vazi princip superpozicije izrazen jednacinom (6.33d).
§7 Formiranje likova u geometrijskoj optici
7.1. Opticki lik: definicija i klasifikacija likova
U geometrijskoj optici svetlost se svodi na zrak. Izmedju dve tacke 1 i 2 svetlosni zrak
se prostire po Fermaovom principu duz puta cija je opticka duzina L12 minimalna. Ukazali
smo vec na cinjenicu da je u optickim pojavama cest slucaj formiranja snopa tautohtonih
zraka.
U opticki homogenim sredinama zraci se prostiru pravolinijski. Ukoliko se sistem sastoji
od vise razlicitih opticki homogenih sredina onda na njihovim dodirnim povrsinama dolazi
do refleksije i prelamanja. Pri definisanju optickog lika ogranicicemo se na ovakve opticke
sisteme.
Radi jednostavnosti razmatracemo samo centrirane opticke sisteme. To su sistemi sociva
i ogledala ciji centri krivina svi leze na istoj pravoj liniji koja se naziva osa optickog sistema.
Socivo je opticki sistem sa dve ili vise prelamajucih povrsina koje mogu biti sferne ili ravne,
dok ogledalo ima samo jednu ovakvu povrsinu (Fig. 37). Centrirani opticki sistem je rota-
ciono simetrican u odnosu na svoju osu. Primetimo da se i razmaci izmedju sociva mogu
posmatrati kao specificna sociva.
Celokupan centriran opticki sistem oznacicemo simbolom koji se sastoji od dve zagrade
(Fig. 38). Sa leve strane optickog sistema postavicemo predmet. Iz svake tacke predmeta
siri se snop svetlosnih zraka. Posmatrajmo na primer tacku 1 predmeta. Snop svetlosnih
79
FIG. 38: Formiranje realnog lika
FIG. 39: Formiranje imaginarnog lika
zraka koji izlaze iz tacke 1 moze konvergirati (seci se) u nekoj udaljenoj tacki 2. Tada
kazemo da tacka 2 predstavlja realan lik tacke 1. Opticke duzine svih zraka u snopu izmedju
tacke 1 i 2 su jednake. Pored situacije opisane na Fig. 38 moguce je da se u homogenom
delu opticke sredine javlja snop koji izgleda kao da dolazi iz neke unutrasnje tacke optickog
sistema. Tacka 2 u kojoj se seku zamisljeni produzeci zraka predstavlja imaginarni lik tacke
1 (Fig. 39).
Definicija lika kao tacke stvarnog (ili prividnog) presecanja zraka data je nezavisno od
posmatraca. U osnovi ove definicije lezi cinjenica da je jacina svetlosti u tacki preseka zraka
maksimalna. Da bi objasnili subjektivan osecaj vidjenja treba uzeti u obzir i posmatraca.
Poznato je da se lik formira u covekovoj svesti tako sto svetlost iz ”objektivnog” lika pada
na oko koje je takodje opticki sistem. U oku (odnosno sistemu dva oka) formira se lik koji se
takodje moze posmatrati kao lik u obrazovan u okviru centriranog optickog sistema. Pomocu
odgovarajucih nervnih vlakana informacija o ovom liku se prenosi do odgovarajucih centra
80
FIG. 40: Formiranje lika pomocu optickog sistema i oka; presek oka
u mozgu gde se formira svest o predmetu (vidi Fig. 40).
Ljudsko oko, shematski prikazano na Fig. 40 (dole) sastoji se od providne roznjace (A),
kristalnog ocnog sociva (L), staklastog tela (B) itd. Geometrijske karakteristike ocnog sociva
su promenjive. Snop svetlosti se fokusira prema mreznjaci (retini) (M) gde se svetlosna
energija apsorbuje pomocu senzorskih elemenata nervnog sistema. Informacija o raspodeli
jacine svetlosti se vodi do mozga gde se formira svest o predmetu. Fokusiranje oka na
predmet naziva se akomodacija. Najudaljenija tacka (predmet) i najbliza tacka (predmet)
na koje se oko moze da akomodira nazivaju se daleka i bliska tacka akomodacije. Pored
navedenih delova oko sadrzi duzicu (iris) (i) koja limitira sirinu svetlosnog snopa. Iris ima
otvor (zenicu) pomocu koje se regulise svetlosni fluks koji dospeva u oko.
Vratimo se sada na analizu proizvoljnog centriranog optickog sistema. Uporedo sa snopom
svetlosnih zraka moze se posmatrati i talasni front. Kao sto smo videli talasni front se
prostire brzinom v = vf = c/n, tako da su opticke duzine puteva duz zraka izmedju dva
talasna fronta jednake. Zaista, za opticku duzinu puta dL izmedju dva talasna fronta u
trenucima t i t+ dt imamo
dL = nds = nvdt = cdt. (7.1)
Kako je opticka duzina puta L izmedju talasnog fronta∑
0 u trenutku t0 i talasnog fronta∑
u trenutku t, L =∫ t
t0dL = c(t − t0) = const, zakljucujemo da je opticka duzina puta
izmedju∑
0 i∑
duz svih zrakova ista.
Analogno tvrdjenje vazi i za opticke duzine puteva izmedju dve proizvoljne talasne povrsi
81
FIG. 41: Princip invarijantnosti svetlosnog zraka
FIG. 42: Aproksimativno formiranje lika
∑1 i
∑2 u datom trenutku vremena. Neka su talasne povrsi
∑1 i
∑2 definisane jednacinom
S = S1 i S = S2 gde je S faza talasa. Promena faze S duz zraka sledi iz ajkonalne
jednacine (6.14b): dS/ds = nk0. Opticka duzina puta L12 izmedju∑
1 i∑
2 duz zraka je
L12 =∫ 2
1nds =
∫ S2
S1ndS/(nk0) =
∫ S2
S1dS/k0 = (S2 − S1)/k0, tj. L12 = const. Dakle, opticke
duzine puteva duz svih zraka jednog snopa racunate izmedju dva talasna fronta (u datom
trenutku) su iste.
Primetimo da su pojmovi predmet i lik relativni. Obicno se uzima da je predmet izvor
svetlosti a lik njegov odraz posle prolaska svetlosti kroz sistem. Ako lik i predmet promene
mesta, svetlosni zraci ce samo promeniti smer, ali ce njihova konfiguracija na osnovu Fer-
maovog principa ostati ista. Ovo svojstvo se moze formulisati kao princip invarijantnosti
svetlosnog zraka (Fig. 41).
Idealno formiranje likova nastaje onda kada se svi zraci iz jedne tacke predmeta seku u
jednoj tacki lika. Ovakvi sistemi se nazivaju idealni opticki sistemi i oni ce biti predmet
naseg daljeg razmatranja. U praksi dolazi do veceg ili manjeg odstupanja od ovog idealnog
slucaja. Zraci koji polaze iz date tacke predmeta i koji obrazuju konus dimenzije ± nece
se seci u jednoj tacki vec u nekoj konacnoj oblasti prostora dimenzije l (vidi Fig. 42). Do
aproksimativnog formiranja lika dolazi ako je l ∼ ±n gde je n ≥ 2, tj. u slucaju kada je
82
FIG. 43: Prednja i zadnja ziza, F i F ′
velicina l dovoljno mala (za malo ±).
Drugi uslov idealnosti optickog sistema je da svaka prava linija objekta ima pravolinijski
lik. Odstupanje od ove osobine naziva se astigmatizam.
7.2. Kardinalni elementi centriranog optickog sistema
Postoji sistem osnovnih (kardinalnih) tacaka i ravni datog centriranog optickog sistema
koji u potpunosti odredjuju ovaj sistem. To su
1. zize (fokusi) i zizne (fokusne) ravni
2. glavne tacke i ravni
Radi jednoznacnosti definicija kardinalnih elemenata orijentisimo opticku osu s leva na
desno i postavimo predmet levo od optickog sistema.
Zize su dve specificne tacke na osi optickog sistema, ispred i iza sistema. Prva, prednja
ziza centriranog optickog sistema je tacka F ciji se lik formira u beskonacnosti, kao na Fig.
43(a). Tackasti izvor svetlosti smesten u F emituje divergentne svetlosne zrake koji po
izlasku iz optickog sistema obrazuju snop paralelan optickoj osi (i seku se formirajuci lik u
beskonacnosti). Ravan koja je ortogonalna na opticku osu i sece je u prednjoj zizi F zove se
prednja zizna ravan. Zadnja ziza F ′ je tacka u kojoj se sabiraju zraci koji padaju paralelno
optickoj osi (tj. poticu od predmeta u beskonacnosti), Fig. 43(b). Ravan normalna na
opticku osu kroz ovu tacku naziva se zadnja zizna ravan.
Da bismo definisali glavne ravni posmatrajmo dve medjusobno konjugovane ravni nor-
83
FIG. 44: Lik u pravcu predmeta i izvrnut lik
malne na opticku osu. Dve ravni su medjusobno konjugovane ako svi predmeti koji leze u
jednoj ravni imaju svoje likove u drugoj ravni. Duz y koja lezi u jednoj ravni imace lik u
obliku duzi y′ u drugoj ravni. Iz (aksijalne) osne simetrije sistema sledi da duzi y i y′ moraju
da leze u istoj ravni koja prolazi kroz opticku osu sistema (ravan crteza, Fig. 44). Pritom
lik y′ moze biti u pravcu predmeta kao na Fig. 44(a) ili moze biti izvrnut (Fig. 44(b)).
U prvom slucaju duzinu lika predstavljamo kao y′ (y′ > 0), a u drugom slucaju kao −y′
(y′ < 0). Odnos algebarskih vrednosti linearnih dimenzija lika i predmeta naziva se linearno
uvecanje ¯
¯ =y′
y. (7.2)
Kako velicine y i y′ mogu biti oba znaka to i ¯ moze biti kako pozitivna tako i negativna
velicina.
Moze se pokazati da postoje dve takve medjusobno konjugovane ravni koje se preslikavaju
jedna u drugu sa linearnim uvecanjem ¯ = 1. Ove dve ravni se nazivaju glavne ravni. Ravan
koja pripada prostoru predmeta naziva se prednja glavna ravan (oznacicemo je saH), a ravan
koja pripada prostoru likova naziva se zadnja glavna ravan (H ′). Tacke preseka glavnih ravni
sa optickom osom nazivaju se prednja glavna tacka i zadnja glavna tacka sistema (Fig. 45).
Iz definicije glavnih ravni sledi da zrak 1 (koji sece prednju glavnu ravan H u tacki Q)
ima konjugovan zrak 1′ koji sece zadnju glavnu ravan H ′ u tacki Q′ koja je na istoj strani
i na istom rastojanju od opticke ose kao tacka Q, tj. HQ = H ′Q′, kao na Fig. 45(a). Isto
tvrdjenje vazi i kada su glavne ravni rasporedjene unutar sistema (Fig. 45(b)), kada pratimo
produzetke zraka 1 i 1′.
84
FIG. 45: Prednja i zadnja glavna ravan (H i H ′)
FIG. 46: Zizna rastojanja f i f ′ (slucaj f < 0, f ′ > 0)
Relativan odnos tacaka F i H kao i F ′ i H ′ odredjen je tzv. ziznim rastojanjima. Ras-
tojanje od prednje glavne tacke H do prednje zize F naziva se prednje zizno rastojanje f
sistema. Rastojanje od H ′ do F ′ naziva se zadnje zizno rastojanje f ′. Zizna rastojanja f i f ′
su algebarske velicine (f, f ′ ≷ 0). One su pozitivne ako data ziza lezi desno od odgovarajuce
glavne tacke (slucaj F ′ i H ′ na Fig. 46, gde je f ′ > 0), a negativne u suprotnom slucaju
(slucaj F i H na Fig. 46, gde je f < 0).
Moze se pokazati (vidi odeljak 8.3) da izmedju ziznih rastojanja f i f ′ centriranog optickog
sistema, koji se sastoji od sfernih prelamajucih povrsi, vazi relacija
f
f ′ = − n
n′ , (7.3a)
gde je n indeks prelamanja opticke sredine ispred optickog sistema a n′ iza optickog sistema
(Fig. 46). Primetimo da u slucaju n = n′ vazi
f = −f ′. (7.3b)
85
FIG. 47: (a) Pozitivna i (b) negativna ”dioptrija”
Velicina
Φ =n′
f ′ = −n
f(7.4a)
naziva se opticka jacina sistema. Opticka jacina sistema se meri u dioptrijama (dp):
Φ(=)1
m(=)dp. (7.4b)
Da bismo dobili Φ u dioptrijama treba izraziti f u metrima. Pri pozitivnim vrednostima
velicine Φ zadnja zizna daljina f ′ je takodje pozitivna (Fig. 47(a)), dok je pri negativnoj
”dioptriji” f ′ < 0, Fig. 47(b). To znaci da u prvom slucaju (Φ > 0) sistem daje realan lik
beskonacno udaljenog predmeta, tj. paralelan snop zraka pretvara u sabirni (konvergentan)
snop. Pri negativnoj dioptriji (Φ < 0) lik beskonacno udaljenog predmeta bice imaginaran
(paralelni snop zraka pretvara se u rasipni (divergentni) snop.
Vec smo pomenuli da se normalno ljudsko oko moze da posmatra kao centrirani opticki
sistem, tj. moze da se okarakterise prednjom i zadnjom zizom kao i prednjom i zadnjom
glavnom tackom i odgovarajucim ravnima, Fig. 48. Oznacimo sa indeksom ”o” sve velicine
koje se odnose na oko, Fig. 49(a). Daleka i bliska tacka akomodacije za normalno oko nalaze
se u beskonacnosti i na rastojanju ≈ 20 cm od oka. Velicine fo i f ′o su date sa: fo = −17, 1
mm; f ′o = 22, 8 mm. Opticka jacina normalnog ljudskog oka je Φ = 58, 48 dp.
Najcesci nedostaci optickog sistema oka su kratkovidost i dalekovidost. Kratkovido oko
ima opticku jacinu vecu od normalne. Kod njega se, pri relaksiranom oku, lik udaljenog
predmeta formira ispred mreznjace. Dalekovido oko ima opticku jacinu manju od normalne
86
FIG. 48: Normalno ljudsko oko kao centrirani opticki sistem (akomodirano na predmet u ∞)
FIG. 49: Dalekovido oko: (a) snop paralelnih zraka i (b) snop konvergentnih zraka
i kod njega se lik udaljenog predmeta formira iza mreznjace. Primetimo da je za normalno
oko lik na mreznjaci, kao na Fig. 48.
Primer
Razmotrimo malo detaljnije dalekovido oko, kao i mogucnost korigovanja dalekovidosti
pomocu naocara postavljenih na rastojanju d od oka.
Kako je velicina Φo ovakvog oka manja od normalne, to je velicina f ′o veca od normalne,
tako da se paralelni zraci ne seku u tacki M nego u tacki F ′o, kao na Fig. 49(a). Dalekovido
oko, medjutim, moze da se akomodira tako da u tacku M sakuplja konvergentan snop zraka
(Fig. 49(b)). Oznacimo se V najdalju tacku u kojoj se seku produzeci konvergentnog snopa
(a koje oko uspeva da sakupi). Polozaj tacke V dat je velicinom aV (Fig. 49(b)).
87
FIG. 50: Dalekovido oko (o) i naocare (L) za korekciju vida
Ispred dalekovidog oka treba postaviti naocare (socivo) L pozitivne opticke jacine. Da
bismo okarakterisali velicine vezane za naocare, oznacimo ih indeksom L. Opticka jacina
naocara data je sa
ΦL =n′
f ′L
> 0. (7.4c)
Naocare se biraju tako da lik predmeta u beskonacnosti padne na mreznjacu (u tacku M),
kao na Fig. 50. To znaci da same naocare moraju da sakupljaju paralelan snop zraka u tacki
V , odnosno zadnje zizno rastojanje f ′L naocara treba da se poklapa sa aV + d. Zamenom
ove vrednosti u formulu (7.4c), nalazimo
ΦL =n′
aV + d. (6.4d)
Primetimo da aV → ∞ za normalno oko (koje moze da fokusira paralelan snop zraka), tako
da ΦL → 0 (nisu potrebne naocare).
7.3. Osnovna formula centriranog optickog sistema
Ako su poznate osnovne (kardinalne) tacke i ravni centriranog optickog sistema, u pot-
punosti su odredjena sva opticka svojstva sistema. To znaci da se moze resiti osnovni zadatak
geometrijske optike: kako na osnovu datog predmeta odrediti lik.
Posmatrajmo duz OP normalnu na opticku osu kao predmet. Polozaj predmeta mozemo
da zadamo bilo rastojanjem x merenim od polozaja F do O, bilo rastojanjem s od H do O.
Velicine x i s kao i zizne daljine f i f ′ su algebarske velicine. Na Fig. 51 predmet se nalazi
88
FIG. 51: Odredjivanje polozaja lika
levo od F pa je x < 0; predmet je i levo od H pa je s < 0, tj. OF = −x, OH = −s, itd. Na
Fig. 51 ziza F se nalazi levo od H pa je f < 0, dok se F ′ nalazi desno od H ′ pa je f ′ > 0.
Da bismo odredili polozaj lika dovoljno je uzeti dva pogodna zraka koji polaze iz tacke
P i naci presek njima konjugovanih zraka. To su zraci 1 i 2 sa Fig. 51. Zrak 1 ide paralelno
optickoj osi. On sece glavnu ravan H u tacki A. U skladu sa svojstvom glavne ravni, zrak 1′
konjugovan zraku 1 mora da predje kroz tacku A′ (konjugovanu tacki A) u zadnjoj glavnoj
ravni H ′, tako da je AH = A′H ′. Kako je zrak 1 paralelan optickoj osi, njemu konjugovan
zrak 1′ mora proci kroz zadnju zizu F ′. Drugi karakteristican zrak prolazi kroz prednju zizu
F . On sece ravan H u tacki B. Njemu konjugovan zrak 2′ prolazi kroz tacku B′ konjugovanu
tacki B tako da je HB = H ′B′ i po izlasku iz optickog sistema paralelan je optickoj osi.
Tacka P ′ koja se dobija u preseku zraka 1′ i 2′ predstavlja lik tacke P . Lik O′P ′ kao i
predmet OP normalni su na opticku osu.
Polozaj lika (tacka O′) moze se okarakterisati bilo rastojanjem x′ od zize F ′, bilo rasto-
janjem s′ od H ′ (vidi Fig. 51). Velicine x′ i s′ su algebarske velicine. U slucaju posmatranom
na Fig. 51 one su pozitivne velicine (O′F ′ = x′, O′H ′ = s′).
Velicina x′ za date vrednosti f i f ′ zavisi samo od velicine x. Ova veza direktno sledi iz jed-
nostavnih geometrijskih razmatranja. Za pravougle trouglove FPO i FBH sa zajednickim
temenom F vaziOP
HB=
y
−y′=
−x
−f. (7.5a)
Analogno, za trougle F ′A′H ′ i F ′P ′O′ sa zajednickim temenom u tacki F ′ bice
H ′A′
O′P ′ =y
−y′=
f ′
x′ . (7.5b)
89
Izjednacavajuci desne strane jednacina (7.5a,b), nalazimo (−x)/(−f) = f ′/x′, tj.
xx′ = ff ′. (7.6a)
Dobijena formula se naziva Njutnova formula. Ako su opticke sredine ispred i iza optickog
sistema iste (n = n′), vazice jednakost (7.3b): f ′ = −f , tako da je u tom slucaju
xx′ = −f 2. (7.6b)
Od formule (7.6a) koja povezuje x i x′ (pri datim ziznim rastojanjima f i f ′) lako se prelazi
na formulu koja povezuje rastojanja s i s′. Sa Fig. 51 vidimo da je −x = −s − (−f), tj.
x = s−f i x′ = s′−f ′. Zamenom ovih izraza u jednacinu (7.6a), nalazimo (s−f)(s′−f ′) =
ff ′, odakle je ss′ − sf ′ − s′f + ff ′ = ff ′, tj.
f
s+
f ′
s′= 1. (7.7a)
Za n = n′, bice f ′ = −f , tako da je
1
s− 1
s′=
1
f. (7.7b)
Formula (7.7a) predstavlja osnovnu formulu centriranog optickog sistema u tzv. Gausovoj
formi. Ona omogucava da se nadje polozaj predmeta na osnovu poznavanja polozaja lika
pri cemu je sam opticki sistem definisan ziznim rastojanjima f i f ′.
§8 Prostiranje zraka kroz opticki sistem u paraksijalnoj aproksimaciji
8.1. Paraksijalna aproksimacija za sociva
Pod izvesnim uslovima (tzv. paraksijalna aproksimacija) moguce je da se prolazak zraka
kroz socivo opise sistemom od dve linearne jednacine. Ovakav sistem se lako izrazava u
matricnom obliku.
Pri razmatranju prolaska zraka kroz socivo, uvedimo koordinatni sistem sa x-osom duz
opticke ose sistema, i razmotrimo prostiranje zraka u xOy-ravni u smeru x-ose. Socivo,
sacinjeno od optickog materijala indeksa prelamanja n2, ograniceno je sa dve sferne povrsi
poluprecnika r1 i r2. Ove velicine se uvode kao algebarske velicine. Za sfernu povrs ciji se
centar krivine nalazi desno od povrsi uzimamo da je poluprecnik krivine r > 0; ako se on
90
FIG. 52: Poprecni presek sociva; prelamanje zraka u tacki P1
nalazi levo od povrsi, uzima se da je r < 0. U slucaju sociva prikazanog na Fig. 52(a) imamo
r1 > 0 i r2 < 0. Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da je opticka sredina levo i desno od
sociva ista, indeksa prelamanja n1.
Ponasanje zraka pri prolasku kroz socivo jednoznacno je odredjeno pomocu tri ugla, tzv.
uglova skretanja. To su: ugao koji upadni zrak zaklapa sa x-osom (®1), ugao koji zrak
prelomljen u tacki P1 zaklapa sa x-osom (®′′1) i ugao koji zrak prelomljen u tacki P2 zaklapa
sa x-osom (®2). Ugao skretanja se definise algebarski (® ≷ 0), u skladu sa konvencijom
prikazanom na Fig. 52(b).
U paraksijalnoj aproksimaciji smatramo da su svi zraci skoro paralelni x-osi. U tom
slucaju svi uglovi prelamanja kao i uglovi skretanja bice mali i vazice
sin® ≈ ®, cos® ≈ 1, tg® ≈ ®. (8.1)
U ovoj aproksimaciji, zakon prelamanja u tacki P1, izrazen jednacinom (6.27b):
sin µ1sin µ′′1
=n2
n1
, (8.2)
91
dobija jednostavan oblik:µ1µ′′1
=n2
n1
. (8.3)
Upadni ugao µ1 i ugao prelamanja µ′′1 mogu da se izraze preko uglova skretanja ®1 i ®′′1 kao
µ1 = ®1 + '1, µ′′1 = ®′′1 + '1, (8.4)
gde je ugao ' definisan na Fig. 52. Koristeci relaciju (8.3) zakon prelamanja (8.2b) dobija
oblik®1 + '1
®′′1 + '1
=n2
n1
. (8.5)
Ugao '1 zavisi od poluprecnika krivine i rastojanja tacke P1 od x-ose. Oznacimo se y1,
y-koordinatu tacke P1. Tada je
sin'1 =y1r1. (8.6)
Kako malo skretanje zraka, koje je osnovni uslov paraksijalne aproksimacije, u stvari vazi za
zrake koji se prostiru dovoljno blizu opticke ose, kada je i ugao '1 mali, imamo sin'1 ≈ '1,
tako da jednacina (8.6) daje
'1 =y1r1. (8.7)
Zamenom relacije (8.7) u (8.5) imamo
®1 +y1r1
®′′1 +
y1r1
=n2
n1
, (8.8a)
odakle je
®′′1 +
y1r1
=n1
n2
(®1 +
y1r1
), (8.8b)
odnosno
®′′1 = −
(n2 − n1
r1
)1
n2
y1 +n1
n2
®1. (8.8c)
Ako uvedemo konstantu
k1 =n2 − n1
r1, (8.9)
jednacinu (8.8c) mozemo napisati u obliku
®′′1 = −k1
n2
y1 +n1
n2
®1. (8.10)
Poslednja relacija daje ugao skretanja ®′′1 prelomljenog zraka, ako je poznat ugao skretanja
®1 upadnog zraka kao i y-koordinata y1 tacke P1 u kojoj zrak pada na socivo. U tacki P1
zrak se prelama, ali ostaje neprekidan. Ovu cinjenicu mozemo izraziti relacijom
y′′1 = y1 (8.11)
92
FIG. 53: Poprecni presek sociva; prolazak zraka kroz socivo
gde je sa y′′1 oznacena y-koordinata tacke u kojoj prelomljeni zrak ulazi u socivo (tj. koordi-
nata tacke P1).
Posle prelamanja na granicnoj povrsi 1, zrak se prostire kroz socivo i u tacki P2 pada na
sfernu povrs 2, Fig. 53. Tacka P2 karakterise se y-koordinatom y = y′′2 . Ova koordinata
povezana je sa y-koordinatom tacke P1 relacijom
y′′2 = y′′1 +Δtg®′′1. (8.12a)
U paraksijalnoj aproksimaciji bice tg®′′1 ≈ ®′′
1, tako da je
y′′2 = y′′1 +Δ®′′1. (8.12b)
Velicina Δ koja figurise u izrazima (8.12a,b) je po definiciji razlika x-koordinata tacaka P2 i
P1, vidi Fig. 53. U paraksijalnoj aproksimaciji (kada se zrak prostire dovoljno blizu opticke
ose, ili je socivo dovoljno tanko), velicina Δ priblizno je jednaka debljini sociva:
Δ ≈ A1A2. (8.13)
Na sfernu povrs 2 zrak pada pod uglom ®′′1 (Fig. 54). Prema tome, zakon prelamanja u
paraksijalnoj aproksimaciji u tacki P2 ima oblik
sin('2 − ®′′1)
sin('2 − ®2)≈ '2 − ®′′
1
'2 − ®2
=n1
n2
, (8.14a)
93
FIG. 54: Poprecni presek sociva; prelamanje zraka u tacki P2
pri cemu je, za ugao '2 definisan kao na Fig. 54,
sin'2 ≈ '2 =y′′2
(−r2). (8.14b)
Zamenom (8.14b) u (8.14a), nalazimo
y′′2(−r2)
− ®′′1
y′′2(−r2)
− ®2
=n1
n2
, (8.15a)
odakle nalazimo
®2 +y′′2r2
=n2
n1
(®′′1 +
y2r2
), (8.15b)
odnosno
®2 = −(n1 − n2
r2
)1
n1
y′′2 +n2
n1
®′′1. (8.15c)
Uvodeci sada konstantu
k2 =n1 − n2
r2, (8.16)
nalazimo
®2 = −k2n1
y′′2 +n2
n1
®′′1. (8.17)
Uslov neprekidnosti zraka u tacki P2 se moze izraziti relacijom
y2 = y′′2 , (8.18)
94
gde je y-koordinata tacke P2 neposredno po izlasku zraka iz sociva oznacena sa y2.
8.2. Matrica optickog sistema za socivo
Jednacine prelamanja zraka u tackama 1 i 2 dopunjene jednacinama koje izrazavaju
neprekidnost svetlosnog zraka i jednacinama prostiranja zraka kroz socivo, mogu da se
prikazu na jedinstven nacin u matricnom obliku.
Jednacine (8.10) i (8.11) se mogu napisati u obliku
⎛⎝ y′′1
®′′1
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 0
− k1n2
n1
n2
⎞⎠
⎛⎝ y1
®1
⎞⎠ ; (8.19a)
jednacina (8.12b) u obliku
⎛⎝ y′′2
®′′1
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 Δ
0 1
⎞⎠
⎛⎝ y′′1
®′′1
⎞⎠ , (8.19b)
dok se jednacine (8.17) i (8.18) mogu prikazati kao
⎛⎝ y2
®2
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 0
− k2n1
n2
n1
⎞⎠
⎛⎝ y′′2
®′′1
⎞⎠ . (8.19c)
Relacije (8.19a,b,c) mogu da se protumace kao promene ”stanja” zraka pri prelamanju
na povrsi 1, jednacina (8.19a), pri prolasku kroz socivo, jednacina (8.19b) i prelamanju na
povrsi 2, jednacina (8.19c). U ovakvoj interpretaciji za stanje zraka uzima se matrica kolona:
⎛⎝ y
®
⎞⎠ = ”stanje”zraka, (8.19d)
koja povezuje dva karakteristicna parametra zraka, y-koordinatu tacke u kojoj zrak pada na
sfernu povrs i ugao ® koji zrak zaklapa sa optickom osom sociva (ugao skretanja). Uocavamo
cetiri stanja sistema skicirana na Fig. 55.
Razlicita stanja zraka medjusobno su povezana matricama 2×2 . U jednacinama (8.19a) i
(8.19c), koje opisuju prelamanje zraka u tackama P1 i P2, javljaju se tzv. matrice prelamanja:
R1 =
⎛⎝ 1 0
− k1n2
n1
n2
⎞⎠ , R2 =
⎛⎝ 1 0
− k2n1
n2
n1
⎞⎠ . (8.20a)
95
FIG. 55: ”Stanja” zraka pri prelamanju na povrsima 1 i 2 i prolasku kroz socivo
Dakle, na proizvoljnoj sfernoj povrsi radijusa krivine r ≷ 0, (Fig. 56), pri prelasku iz sredine
indeksa prelamanja n1 u sredinu indeksa prelamanja n2, matrica prelamanja ima opsti oblik
R =
⎛⎝ 1 0
− kn2
n1
n2
⎞⎠ (8.20b)
u kome je velicina k odredjena generalizacijom izraza (8.9) i (8.16): k1 = (n2 − n1)/r1 i
k2 = (n1 − n2)/r2, koja daje
k =n2 − n1
r. (8.21)
Primetimo da je determinanta matrice prelamanja
detR =n1
n2
. (8.22)
Matricna jednacina (8.19b) koja povezuje medju-stanja zraka pri njegovom prolasku kroz
socivo (izmedju tacaka P1 i P2) ukazuje na to da su pomenuta stanja takodje povezana
matricom 2 × 2. Ova matrica se naziva matrica prelaza i oznacava se sa T21. Za socivo
debljine Δ ona je data sa
T21 =
⎛⎝ 1 Δ
0 1
⎞⎠ . (8.23a)
Uocimo da je
detT21 = 1. (8.23b)
Uvodeci matrice refleksije R1 i R2, pomocu jednacina (8.20a) i matricu prelaska T21
pomocu jednacine (8.23a), relacije (8.19a,b,c) mogu da se napisu u sledecem obliku⎛⎝ y′′1
®′′1
⎞⎠ = R1
⎛⎝ y1
®1
⎞⎠ ,
⎛⎝ y′′2
®′′1
⎞⎠ = T21
⎛⎝ y′′1
®′′1
⎞⎠ ,
⎛⎝ y2
®2
⎞⎠ = R2
⎛⎝ y′′2
®′′1
⎞⎠ (8.24)
96
FIG. 56: Usvojena konvencija pri pisanju matrice refleksije
Kombinovanjem poslednjih relacija moze se naci ukupna matrica optickog sistema S21 koja
povezuje inicijalno stanje
⎛⎝ y1
®1
⎞⎠ i finalno stanje
⎛⎝ y2
®2
⎞⎠:
⎛⎝ y2
®2
⎞⎠ = S21
⎛⎝ y1
®1
⎞⎠ . (8.25a)
Ocigledno, na osnovu (8.24),
⎛⎝ y2
®2
⎞⎠ = R2
⎛⎝ y′′2
®′′1
⎞⎠ = R2T21
⎛⎝ y′′1
®′′1
⎞⎠ = R2T21R1
⎛⎝ y1
®1
⎞⎠ . (8.25b)
Poredjenjem izraza (8.25a) i (8.25b), za matricu optickog sistema u slucaju sociva u parak-
sijalnoj aproksimaciji, imamo
S21 = R2T21R1. (8.26a)
Eksplicitni oblik matrice S21 nalazimo zamenom eksplicitnih izraza za matrice R1, R2 i
T21, u jednacinu (8.26a). Nalazimo
S21 =
⎛⎝ 1 0
− k2n1
n2
n1
⎞⎠
⎛⎝ 1 Δ
0 1
⎞⎠
⎛⎝ 1 0
− k1n2
n1
n2
⎞⎠ , (8.27a)
odnosno
S21 =
⎛⎝ 1 0
− k2n1
n2
n1
⎞⎠
⎛⎝ (1− k1
n2Δ) n1
n2Δ
− k1n2
n1
n2
⎞⎠ , (8.27b)
97
tj.
S21 =
⎛⎝ 1− k1
n2Δ n1
n2Δ
(− k2n1(1− k1
n2Δ)− k1
n1) − k2
n2Δ+ 1
⎞⎠ ≡
⎛⎝ a b
c d
⎞⎠ , (8.27c)
Dobijena matrica sistema zavisi od indeksa prelamanja sociva (n2), indeksa prelamanja sre-
dine u kojoj je smesteno socivo (n1), kao i od geometrijskih karakteristika sociva (algebarskih
vrednosti poluprecnika krivina r1 i r2 i debljine sociva Δ). Primetimo da konkretan oblik
dat jednacinom (8.27c) odgovara proizvoljnom tipu sociva, pod uslovom da se parametri k1
i k2 odrede na osnovu opste formule (8.21).
Elementi matrice S21 mogu se radi pogodnosti oznaciti sa a, b, c i d, kao u izrazu (8.27c).
Za determinantu matrice S21 nalazimo: detS21 = ad− bc = det(R2T21R1) = detR2 ⋅ detT21 ⋅detR1. Kako su determinante matrica prelaza date jednacinama (8.22) i (8.23): detT21 = 1,
detR1 = n1/n2, detR2 = n2/n1, nalazimo
detS21 = 1. (8.28)
Matrica S21 odredjuje ponasanje zraka od tacke P1 do tacke P2. Ona se moze dopuniti i
odgovarajucim matricama prelaza od tacke predmeta P do tacke P1 i od tacke P2 do tacke
P ′ u kojoj se formira lik. Matrica prelaska iz tacke Pi do tacke Pj nalazimo po analogiji sa
jednacinom (8.23) za T21:
Tji =
⎛⎝ 1 d
0 1
⎞⎠ , (8.29)
gde je d rastojanje duz ose sistema izmedju posmatranih tacaka Pi i Pj. Ocigledno,
detTji = 1. (8.30)
U svim dosadasnjim razmatranjima nismo pratili refleksiju na sfernim povrsinama 1 i 2.
U principu, reflektovani zraci se mogu posmatrati posebno. Metoda izucavanja ovih zraka
u paraksijalnoj aproksimaciji svodi se na definisanje matrice refleksije, na nacin analogan
konstrukciji matrice prelamanja. Na dalje, mi se ovim problemom ne bavimo.
8.3. Odredjivanje kardinalnih elemenata sociva
U odeljku 7.2 definisali smo kardinalne elemente centriranog optickog sistema. Oni su
predstavljali onaj osnovni skup geometrijskih karakteristika optickog sistema koji je dovol-
jan za resavanje osnovnog problema geometrijske optike kako da se na osnovu poznavanja
98
FIG. 57: Formiranje lika kod sociva
polozaja predmeta odredi polozaj lika. Poznavanje matrice sistema, pod uslovom da su is-
punjeni uslovi za vazenje paraksijalne aproksimacije, omogucava da se odrede ovi elementi
u zavisnosti od poluprecnika krivina r1 i r2, debljine sociva Δ i indeksa prelamanja n1 i n2.
Radi konkretnosi mi cemo se ograniciti na socivo i nacicemo velicine lH , l′H , f i f ′, vidi Fig.
57. Na osnovu ovih velicina bice potvrdjena formula (7.3a).
Formiranje lika kod sociva sledi osnovne zakonitosti formiranja lika kod opsteg centriranog
optickog sistema, formulisane u odeljku 7.3. Odgovarajuci geometrijski metod odredjivanja
lika pomocu dva karakteristicna zraka 1 i 2 prikazan je na Fig. 57. Uporedo sa ova dva
zraka, koji polaze iz tacke P i presecaju se u tacki P ′, na Fig. 57 prikazan je i proizvoljan
zrak (isprekidana linija) izmedju ovih dveju tacaka. Inicijalno i finalno stanje ovog zraka
dati su sa
⎛⎝ y
®1
⎞⎠ i
⎛⎝ y′
®2
⎞⎠, respektivno. Ova stanja su povezana relacijom
⎛⎝ y′
®2
⎞⎠ = TP ′P2S21TP1P
⎛⎝ y
®1
⎞⎠ , (8.31)
pri cemu je TP1P matrica prelaza izmedju tacke P i tacke P1 u kojoj posmatrani zrak upada
na granicnu povrs 1; S21 je matrica sistema izmedju tacaka P1 i P2 gde je P2 tacka u kojoj
zrak napusta drugu povrs. Konacno, TP ′P2 je matrica prelaza izmedju tacaka P2 i P ′.
99
Ukupna matrica prelaza
Q = TP ′P2S21TP1P , (8.32a)
predstavlja kompoziciju matrica prelaza TP1P i TP ′P2 i matrice sistema S21. Njen eksciplicitni
oblik je
Q =
⎛⎝ 1 d2
0 1
⎞⎠S21
⎛⎝ 1 d1
0 1
⎞⎠ , (8.32b)
gde su d2 ≈ A2O′ i d1 ≈ A1O. Ako uvedemo algebarske velicine l i l′ (l < 0, l′ > 0 na Fig.
57), bice d2 = l′ i d1 = −l, tako da matrica Q ima oblik
Q =
⎛⎝ 1 l′
0 1
⎞⎠S21
⎛⎝ 1 −l
0 1
⎞⎠ =
⎛⎝ Q11 Q12
Q21 Q22
⎞⎠ , (8.33)
pri cemu je matrica S21 u eksciplicitnom obliku data jednacinom (8.27b). Veza inicijalnog i
finalnog stanja, prikazana jednacinom (8.31), sada moze da se napise u obliku
⎛⎝ y′
®2
⎞⎠ =
⎛⎝ Q11 Q12
Q21 Q22
⎞⎠
⎛⎝ y
®1
⎞⎠ , (8.34a)
odakle slede elementi y′ i ®2:
y′ = Q11y +Q12®1 (8.34b)
®2 = Q21y +Q22®1. (8.34c)
Matricni elementi Qij definisani su jednacinom (7.33):
⎛⎝ Q11 Q12
Q21 Q22
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 l′
0 1
⎞⎠
⎛⎝ a b
c d
⎞⎠
⎛⎝ 1 −l
0 1
⎞⎠ , (8.35a)
odakle je ⎛⎝ Q11 Q12
Q21 Q22
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 l′
0 1
⎞⎠
⎛⎝ a −al + b
c −cl + d
⎞⎠ , (8.35b)
odnosno ⎛⎝ Q11 Q12
Q21 Q22
⎞⎠ =
⎛⎝ a+ cl′ −al + b− cll′ + dl′
c −cl + d
⎞⎠ . (8.35c)
Dakle,
Q11 = a+ cl′ (8.36a)
Q12 = −al + b− cll′ + dl′ (8.36b)
100
Q21 = c (8.36c)
Q22 = −cl + d. (8.36d)
Kako je na osnovu jednacina (8.28) i (8.30), detS21 = 1, , detTP ′P2 = 1 i detTP1P = 1 i kako
je detQ = detTP ′P2 ⋅ detS21 ⋅ detTP1P , bice
detQ = 1. (8.37)
Jednacina (8.37) daje prvi uslov koji moraju da zadovoljavaju matricni elementi Qij.
Drugi uslov potice iz zahteva da linearno uvecanje, definisano jednacina (7.2): ¯ = y′/y,
mora biti nezavisno od ugla skretanja ®1. Linearno uvecanje izracunato na osnovu jednacine
(8.34b) ima oblik
¯ = Q11 +®1
yQ12. (8.38a)
Dakle, uslov formiranja lika kod sociva, koji se svodi na zahtev da ¯ bude nezavisno od ®1,
glasi
Q12 = 0. (8.38b)
Zamena ovog uslova u (8.38a) omogucava da se matricni element Q11 izrazi direktno preko
linearnog uvecanja:
Q11 = ¯. (8.38c)
Matricni element Q22 sledi iz uslova (8.37): detQ = det
⎛⎝ Q11 Q12
Q21 Q22
⎞⎠ = Q11Q22−Q12Q21 =
1. Kako je Q12 = 0, a Q11 = ¯, poslednji uslov daje
Q22 =1
¯. (8.38d)
Cetvrti matricni element Q21 vec je odredjen jednacinom (8.36c):
Q21 = c. (8.38e)
Konacno, za ukupnu matricu prelaza Q imamo
Q =
⎛⎝ ¯ 0
c 1¯
⎞⎠ . (8.39)
S druge strane, uslovi (8.38b), (8.38c) i (8.38d), kombinovani sa jednacinama (8.36a-d), daju
sledece veze elemenata a, b, c i d:
−al + b− cll′ + dl′ = 0 (8.40a)
101
FIG. 58: Odredjivanje glavnih ravni sociva
a+ cl′ = ¯ (8.40b)
−cl + d =1
¯. (8.40c)
Predjimo sada na odredjivanje kardinalnih elemenata sociva. Na osnovu definicije glavnih
ravni imamo da su to ravni koje se preslikavaju jedna u drugu sa linearnim uvecanjem ¯ = 1.
Drugim recima, predmet postavljen u prednju glavnu ravan (l = −lH) ima lik u zadnjoj
glavnoj ravni (−l′ = l′H) pri cemu je y′ = y, odnosno linearno uvecanje ¯ = 1, vidi Fig.
58(a). Zamenom ovih uslova u jednacine (8.40b,c) nalazimo
a− cl′H = 1, (8.41a)
clH + d = 1, (8.41b)
odakle slede polozaji glavnih ravni H i H ′:
lH =1− d
c, l′H =
a− 1
c. (8.42)
Primetimo da velicine a, c i d, definisane jednacinom (8.27c), zavise od geometrije sociva
(poluprecnika krivina r1, r2 i debljine Δ), kao i opticke sredine (n1, n2). Tipicni rasporedi
glavnih ravni dati su na Fig. 58(b).
102
FIG. 59: Odredjivanje polozaja prednje zize
Prednja i zadnja ziza nalaze se na analogan nacin. Naime, predmet postavljen u prednjoj
zizi (Fig. 59), kada −l → −lF ima izvrnuti lik cija duzina −y′ → ∞, tako da je linearno
uvecanje ¯ → −∞. Zamenom uslova l = lF i ¯ = −∞ u jednacinu (8.40c), nalazimo
−clF + d = 0, (8.43a)
odakle je
lF =d
c. (8.43b)
Kako je −f = −lF − lH , Fig. 59, za prednje zizno rastojanje f nalazimo f = lF + lH
gde je velicina lF odredjena jednacinom (8.43b), avelicina lH jednacinom (8.42). Dakle,
f = dc+ 1−d
c, tj.
f =1
c. (8.44)
Zadnja ziza se nalazi postavljanjem predmeta u beskonacnost (−l → ∞) kada se lik nulte
duzine (−y′ → 0) formira u zadnjoj zizi (l′ = l′F ), vidi Fig. 60. Linearno uvecanje ¯ → 0,
tako da jednacina (8.40b) daje
a+ cl′F = 0, (8.45a)
odakle je
l′F = −a
c. (8.45b)
103
FIG. 60: Odredjivanje polozaja zadnje zize
Kako je f ′ = l′F + l′H , za zadnje zizno rastojanje f ′ nalazimo f ′ = −ac+ a−1
c, tj.
f ′ = −1
c. (8.46a)
Poredjenjem jednacina (8.44) i (8.46a) dolazimo do zakljucka da za zizna rastojanja f i f ′
za socivo (kod koga je ista opticka sredina ispred i iza sociva) u paraksijalnoj aproksimaciji
vazi relacija
f ′ = −f. (8.46b)
Ovim je izvedena relacija (7.3b).
Konkretni izrazi za zizne daljine f i f ′ dobijamo zamenom izraza za c u jednacinu (8.44),
tj. (8.46a). Kako je velicina c odredjena jednacinom (8.27c), nalazimo
1
f ′ = − 1
f= −c =
k2n1
(1− k1
n2
Δ
)+
k1n1
, (8.47a)
gde su (na osnovu opste formule (8.21))
k1 =n2 − n1
r1, k2 =
n1 − n2
r2. (8.47b)
Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da se socivo indeksa prelamanja n nalazi u vazduhu
(n1 = 1, n2 = n). Tada izraz (8.47a) dobija oblik 1f ′ = − 1
f= k2(1 − k1
nΔ) + k1, tj.
1f ′ =
− 1f= 1−n
r2(1− Δ
n(n−1)r1
) + n−1r1
odnosno,
1
f ′ = − 1
f= (n− 1)
(1
r1− 1
r2
)+
(n− 1)2Δ
nr1r2. (8.48)
104
FIG. 61: Tanko socivo
Primetimo da se efikasnost metoda odredjivanja kardinalnih elemenata matricnom
metodom uocava tek ako sa prostog sistema (kao sto je socivo) predjemo na slozene opticke
sisteme (npr. sisteme sociva) i uocimo da se uopstavanjem zakona kompozicije (8.32a) moze
naci ukupna matrica prelaza ovakvih sistema, a iz nje i odgovarajuci kardinalni elementi. U
ovom slucaju dobijaju se algebarske jednacine koje se resavaju numericki, primenom kom-
pjutera.
8.4. Tanko socivo
Po definiciji, tanko socivo je ono za koje se drugi clan na desnoj strani izraza (8.48) moze
smatrati znatno manjim od prvog clana. Kako je indeks prelamanja n reda velicine jedinice,
zakljucujemo da debljina Δ tankog sociva mora biti mnogo manja od oba radijusa krivine
∣r1∣ i ∣r2∣ granicnih povrsi sociva:
Δ << ∣r1∣, Δ << ∣r2∣. (8.49)
Ako je ispunjen uslov (8.49), za zizne daljine f i f ′ imamo
1
f ′ = − 1
f= (n− 1)
(1
r1− 1
r2
). (8.50)
105
Primetimo da na osnovu jednacine (87.4a) izraz na desnoj strani jednacine (8.50) pred-
stavlja opticku jacinu za tanko socivo smesteno u vakuumu (n = n′ = 1). Polozaj glavnih
ravni za tanko socivo dfefinisan je pomocu veli vcina lH i l′H ; ove velicine odredjene su
jednacinom (8.42) u kojoj su velicine Δ/∣r1∣ i Δ/∣r2∣ zanemarene prema jedinici. Dakle,
koristeci jednacinu (8.27c) za odredjivanje elemenata a i d matrice S21, pod uslovom da je
n2 = n, nalazimo:
lH =1− d
c=
1
c
k2nΔ, l′H =
a− 1
c= −1
c
k1nΔ. (8.51a)
Matricni element c je na osnovu jednacine (8.44), odnosno jednacine (8.46a), dat sa c =
1/f = −1/f ′, dok su konstante k1 i k2 odredjene jednacinom (8.47b) pri n1 = 1 i n2 = n:
k1 = (n− 1)/r1, k2 = (1− n)/r2. Zamenom ovih vrednosti u jednacinu (8.51a), nalazimo
lH = f(1− n)
n
Δ
r2, l′H = f ′ (n− 1)
n
Δ
r1, (8.51b)
odakle vidimo da za tanko socivo vazi
lH = l′H = 0. (8.52)
Dakle, moze se reci da je tanko socivo centrirani opticki sistem nulte debljine (Δ = 0) kod
koga se obe glavne ravni medjusobno poklapaju i mogu se postaviti duz vertikalne ose sociva
(Fig. 61). Zizne daljine f i f ′ tankog sociva mogu se poistovetiti sa rastojanjem od ziza do
vertikalne ose (Fig. 61).
Matricu sistema S21 za tanko socivo dobijamo iz jednacine (8.27c) kada clanove reda
velicine Δ/∣r∣ zanemarimo prema 1. Za tanko socivo smesteno u vakuumu (n1 = 1, n2 = n),
nalazimo
S21 =
⎛⎝ 1 0
−k2 − k1 1
⎞⎠ . (8.53a)
Kako je, na osnovu izraza (8.47b),
k1 + k2 = (n− 1)
(1
r1− 1
r2
)=
1
f ′ , (8.53b)
za konacni oblik matrice S21 dobijamo
S21 =
⎛⎝ 1 0
− 1f ′ 1
⎞⎠ . (8.54)
106
FIG. 62: Prostiranje zraka kroz tanko socivo
Za matricu prelaza Q koja povezuje predmet i lik (Fig. 62), datu jednacinom (8.32b),
imamo
Q =
⎛⎝ 1 s′
0 1
⎞⎠
⎛⎝ 1 0
− 1f ′ 1
⎞⎠
⎛⎝ 1 −s
0 1
⎞⎠ (8.55a)
(iskoristili smo aproksimaciju d1 ≈ −l ≈ −s i d2 ≈ l′ ≈ s′). Dakle,
Q =
⎛⎝ 1 s′
0 1
⎞⎠
⎛⎝ 1 −s
− 1f ′
sf ′ + 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 1− s′
f ′ (−s+ ss′f ′ + s′)
− 1f ′
sf ′ + 1
⎞⎠ . (8.55b)
Uslov formiranja lika kod sociva Q12 = 0, dat jednacinom (8.38b), sada postaje −s +
ss′f ′ + s′ = 0, odakle sledi
1
s− 1
s′= − 1
f ′ =1
f. (8.56)
Poslednja jednacina se poklapa sa formulom (7.7b) i predstavlja osnovnu formulu tankog
sociva, pomocu koje se odredjuje polozaj lika (s′).
Uz uslov (8.56), imamo 1− s′/f ′ = s′/s i s/f ′ +1 = s/s′, tako da matrica Q dobija oblik
Q =
⎛⎝
s′s
0
− 1f ′
ss′
⎞⎠ . (8.57)
Matrica Q u potpunosti opisuje ponasanje svih zraka pri prolasku kroz tanko socivo. Svi
zraci koji padaju na tanko socivo, prelamaju se na vertikalnoj osi (ravan H = H ′). Jedini
107
FIG. 63: Prostiranje snopa paralelnih zraka kroz tanko socivo
zrak koji se ne prelama je zrak koji prolazi kroz centar sociva O. Da bismo dokazali ovo
tvrdjenje, uocimo da izmedju pocetnog i krajnjeg stanja sada vazi relacija
⎛⎝ y′
®2
⎞⎠ =
⎛⎝
s′s
0
− 1f ′
ss′
⎞⎠
⎛⎝ y
®1
⎞⎠ , (8.58a)
odakle dobijamo dve jednacine:
y′ =s
s′y (8.58b)
®2 = − y
f ′ +s
s′®1. (8.58c)
Da bismo nasli zrak koji se ne prelama, treba naci zrak koji zadovoljava uslov ®1 = ®2
(vidi Fig. 62). Jednacina (8.58c) tada daje, uz pomoc (8.56): ®1(1− ss′ ) = − y
f ′ = (1s− 1
s′ )y =
ys(1− s
s′ ), odakle je ®1 = y/s, tj. −®1 = y/(−s), sto znaci da je tg(−®1) ≈ −®1 = y/(−s).
Sa Fig. 62 vidimo da je jedini zrak, ciji ugao skretanja ®1 zadovoljava ovaj uslov, zrak 33′
koji prolazi kroz centar sociva.
Posmatrajmo sada snop paralelnih zraka koji pod nekim uglom padaju na tanko socivo,
kao na Fig. 63. Ovakvi zraci poticu od predmeta u beskonacnosti tako da se svi seku u datoj
tacki zizne ravni F ′. Polozaj ove tacke odredjen je zrakom koji (bez prelamanja) prolazi
kroz centar sociva O. Primetimo da je talasni front u upadnom snopu (paralelnih zraka)
ravan normalna na ovaj snop. Svi zraci izmedju ove ravni i tacke P u kojoj se sazimaju su
108
FIG. 64: Karakteristicni slucajevi tankih sociva
tautohtoni, tj. odgovarajuce opticke duzine puteva su jednake. Zrak koji prolazi kroz centar
sociva ima najmanju duzinu, ali prolazi kroz socivo indeksa prelamanja n najduzi put, itd.
Primer
Prema ponasanju sociva u odnosu na snop paralelnih traka koji padaju na njega, sociva
se dele na sabirna (konvergentna) i rasipna (divergentna) sociva. Na Fig. 64 prikazani su
tipicni primeri sociva. Opticke jacine svih navedenih sociva se lako nalaze. Za n′ = 1, na
109
FIG. 65: Dublet
osnovu definicije (7.4a) imamo
Φ =1
f ′ = (n− 1)
(1
r1− 1
r2
). (8.59)
Tako, na primer, za sociva prikazana na Fig. 64(d) i Fig. 64(e) imamo Φ < 0 i Φ > 0,
respektivno. To su ”negativna” i ”pozitivna” sociva koja se koriste kao naocare (Φ = ΦL)
za kratkovido i dalekovido oko; vidi primer u odeljku 7.2. Kombinovanjem jednacine (8.59)
i jednacine (7.4d) navedenog primera mogu se priblizno naci poluprecnici r1 i r2 potrebnih
naocara.
8.5. Sistemi tankih sociva
Prednost ”matricne” geometrijske optike nad klasicnim pristupom postaje izrazita kada
se razmatraju slozeniji opticki sistemi. Ovde se ogranicavamo samo na razmatranje najjed-
nostavnijeg sistema, tzv. dubleta.
Dublet se sastoji od dva tanka sociva na medjusobnom rastojanju d12, Fig. 65(a). Svi
karakteristicni kardinalni elementi sociva (1) i (2) prikazani su na navedenoj slici. Dublet je
takodje centrirani opticki sistem ciji su kardinalni elementi prikazani na Fig. 65(b).
Da bismo nasli kardinalne elemente dubleta, formirajmo prvo matricu ovog sistema. Ona
110
predstavlja kompoziciju matrica prelamanja i matrica prelaza:
S21 = S22′T2′1′S1′1, (8.60a)
pri cemu su
S1′1 =
⎛⎝ 1 0
− 1f ′11
⎞⎠ , T2′1′ =
⎛⎝ 1 d12
0 1
⎞⎠ , S22′ =
⎛⎝ 1 0
− 1f ′21
⎞⎠ . (8.60b)
Zamenom izraza (8.60b) u jednacinu (8.60a) nalazimo
S21 =
⎛⎝ 1 0
− 1f ′21
⎞⎠
⎛⎝ 1 d12
0 1
⎞⎠
⎛⎝ 1 0
− 1f ′11
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 d12
− 1f ′2−d12
f ′2+ 1
⎞⎠
⎛⎝ 1 0
− 1f ′11
⎞⎠ , (8.61a)
odnosno
S21 =
⎛⎝ 1− d12
f ′2
d12[− 1
f ′2− 1
f ′1
(−d12
f ′2+ 1
)]−d12
f ′2+ 1
⎞⎠ ≡
⎛⎝ a b
c d
⎞⎠ . (8.61b)
Poredjenjem dobijene matrice S21 sa opstom matricom centriranog optickog sistema
(sociva) datom jednacinom (8.27c), uz pomoc jednacina (8.46a) i (8.46b): f ′ = −f = −1/c,
zakljucujemo da je
f =1
c= − 1
1f ′2+ 1
f ′1
(1− d12
f ′2
) = − f ′2f
′1
f ′1 + f ′
2 − d12. (8.62a)
Ako uvedemo ”algebarsku” velicinu
l = d12 − f ′1 + f2 = d12 − (f ′
1 + f ′2) , (8.62b)
prednje zizno rastojanje f dubleta mozemo izraziti u obliku
f =f ′1f
′2
l=
f1f2l
, (8.63a)
dok je zadnje zizno rastojanje f ′ dubleta dato sa
f ′ = −1
c= −f = −f ′
1f′2
l. (8.63b)
Koristeci opste relacije (8.42) za centrirani opticki sistem (sv civo): lH = 1−dc, l′H = a−1
c,
mozemo naci i polozaj glavnih ravni posmatranog dubleta. Za velicinu lH vazi sledeci izraz:
lH = 1−dc
= 1cd12f ′2= f d12
f ′2= −f d12
f2. Konacno, koristeci jednacinu (8.63a) imamo:
lH = −f2f1l
d12f2
= −f1d12l. (8.64a)
111
FIG. 66: Dublet kao sabirno socivo
Analogno,
l′H =a− 1
c= −1
c
d12f ′1
= f ′d12f ′1
= −f ′2f
′1
l
d12f ′1
= −f ′2
d12l. (8.64b)
Dosadasnja razmatranja su imala potpuno opsti karakter. Pokazimo sada da sistem dva
tanka sabirna sociva moze biti kako rasipno tako i sabirno socivo zavisno od znaka velicine
l. Na Fig. 66(a) prikazan je slucaj l > 0 a na Fig. 66(b) slucaj l < 0. Karakter rezultujuceg
sistema direktno sledi iz rasporeda kardinalnih elemenata dubleta. Naime, u prvom slucaju
imamo
f =f1f2l
> 0, f ′ < 0, (8.65a)
tako da je lH > 0 a l′H < 0 (vidi Fig. 66(a)), tako da je rezultujuce socivo rasipno. S druge
strane, pri l < 0, Fig. 66(b), bice f = f1f2l
< 0 i f ′ > 0, dok je lH < 0 i l′H > 0, tako da je
sistem sabirno socivo.
112
III. TALASNA OPTIKA
§9 Elektromagnetni talasi na granici dve opticke sredine
9.1. Refleksija i prelamanje ravanskog talasa na granici dve opticke sredine
U okviru geometrijske optike formulisali smo neke od osnovnih zakona optike. Medju
njima je i zakon refleksije i prelamanja (odeljak 6.4). Medjutim, postoji citava klasa optickih
pojava koje se uopste ne mogu objasniti u okviru geometrijske optike. Sustina svih ovih
pojava je u kompletnoj elektromagnetnoj talasnoj prirodi svetlosti. Oblast optike koja se
bavi ovim pojavama naziva se talasna optika.
Na granici dve opticke sredine dolazi do promene pravca prostiranja talasa (refleksija i
prelamanje), pri cemu se menja i amplituda i faza talasa. Prvu pojavu moguce je analizirati
samo na osnovu pojma zraka i Fermaovog principa, bez ulazenja u detalje o prirodi svetlosti.
U ovom odeljku bice pokazano kako se ovi zakoni dobijaju u okviru talasne optike, dok ce u
narednim odeljcima biti razmatrane promene amplituda i faza elektromagnetnih talasa.
Pretpostavimo da ravanski monohromatski talas pada na granicnu ravan dva homogena
i izotropna dielektrika. Neka je relativna dielektricna propustljivost sredine kroz koju se
prostire upadni talas "r1 , a druge sredine "r2 . Relativne magnetne propustljivosti neka su
¹r1 = ¹r2 = 1. U tom slucaju indeksi prelamanja prve, odnosno druge sredine su n1 =√"r1
i n2 =√"r2 , respektivno.
Eksperimenti pokazuju da ce se u drugoj sredini pojaviti ravanski prelomljeni talas, a
u prvoj sredini pored upadnog talasa i reflektovan (odbijen) ravanski talas. Svaki od ovih
talasa karakterise se svojim talasnim vektorom: k za upadni talas, k′ za reflektovan talas i
k′′ za prelomljeni talas. Talasni vektor upadnog talasa k i normala n na granicnu povrsinu
odredjuju ravan koja se naziva upadna ravan (Fig. 67(a)). Iz razloga simetrije sledi da
vektor k′ reflektovanog talasa mora da lezi u istoj ravni (koja je u ravni crteza na Fig.
67(b)). Naime, ako pretpostavimo da vektor k′ ne lezi u upadnoj ravni nego da sa njom
zaklapa neki ugao, onda bi potpuno ravnopravno mogao da zaklapa isti ugao ali sa druge
strane upadne ravni. Kako k′ mora biti jednoznacan, preostaje da mora da pripada upadnoj
ravni. Isti je slucaj i sa talasnim vektorom k′′ prelomljenog talasa. Dakle, talasni vektori k, k′
i k′′ svi leze u istoj (upadnoj) ravni. Veza izmedju ovih vektora (koja daje zakone refleksije
i prelamanja u okviru talasne optike) sledi iz granicnih uslova za normalnu i tangencijalnu
113
FIG. 67: (a) Upadna i granicna ravan i (b) talasni vektori k, k′ i k′′ na granici dve opticke sredine
komponentu jacine elektricnog polja E (svetlosni vektor) na granici dva dielektrika.
Za vremenski zavisno elektromagnetno polje, vektori E i B povezani su Maxwell-ovim
jednacinama (1.2a), (1.2b) i (1.4a), (1.4b). Ponasanje tangencijalne komponente vektora E
na granici dva dielektrika sledi iz jednacine (1.1a):
rotE = −∂B
∂t, (9.1a)
koja u integralnom obliku glasi
∮
C
E ⋅ dl = −∫
S
∂B
∂t⋅ dS. (9.1b)
Dakle, cirkulacija vektora E duz proizvoljne konture C jednaka je −dΦm/dt, gde je Φm
magnetni fluks kroz povrsinu S naleglu na konturu C. Primenivsi jednacinu (9.1b) na
konturu C sa Fig. 68, pri b → 0, jednacina (8.1b) se svodi na
∮
C
E ⋅ dl = (E1y − E2y)a = −∫
S
∂B
∂t⋅ dS. (9.2)
Kako se pri b → 0 anulira desna strana jednacine (9.2) (jer S = ab → 0), nalazimo granicni
uslov
E1y = E2y. (9.3)
114
FIG. 68: Cirkulacija vektora E
Primetimo da uslov (9.3) vazi duz proizvoljne y-ose koja lezi u granicnoj ravni.
Dalju analizu refleksije i prelamanja izvrsicemo u formalizmu kompleksnih svetlosnih
vektora definisanih jednacinom (1.32a). Kompleksni talasni vektor upadnog talasa (nulte
pocetne faze ®) jeˇE = Em exp[−i(!t− k ⋅ r)]. (9.4a)
Analogno, kompleksni svetlosni vektori reflektovanog i prelomljenog talasa imaju oblik
ˇE ′ = E ′
m exp[−i(!′t− k′ ⋅ r + ®′)], (9.4b)
ˇE ′′ = E ′′
m exp[−i(!′′t− k′′ ⋅ r + ®′′)]. (9.4c)
Kako svi talasni vektori ki = k, k′, k′′ leze u talasnoj ravni xOy, bice
ki ⋅ r = kixx+ kiyy. (9.5)
Rezultujuca jacina polja u prvoj optickoj sredini je
ˇE1 =
ˇE +
ˇE ′, (9.6a)
tj.ˇE1 = Em exp[−i(!t− kxx− kyy)] + E ′
m exp[−i(!′t− k′xx− k′
yy + ®′)], (9.6b)
a u drugoj sredini, jacina polja je data sa
ˇE2 =
ˇE ′′, (9.7a)
tj.ˇE2 = E ′′
m exp[−i(!′′t− k′′xx− k′′
yy + ®′′)]. (9.7b)
115
Granicni uslov (9.3) tvrdi da y-komponente vektora E1 i E2 na granici dve opticke sredine
(tj. pri x = 0) moraju biti jednake. Isto vazi i u kompleksnom domenu. Dakle,
Emy exp[−i(!t− kyy)] +E ′my exp[−i(!′t− k′
yy+ ®′)] = E ′′my exp[−i(!′′t− k′′
yy+ ®′′)]. (9.8)
Da bi relacija (9.8) vazila u svakom trenutku t, mora biti
! = !′ = !′′ (9.9)
(tada se clanovi ”exp(−!t)” skrate). Dakle, kruzna ucestanost reflektovanog i prelomljenog
talasa jednaka je kru vznoj ucestanosti upadnog talasa. Na ovu cinjenicu smo vec vise puta
ukazivali u dosadasnjim razmatranjima.
Pod uslovom (9.9), u jednacini (9.8) preostaje y-zavisnost. Kako granicni uslov mora da
bude zadovoljen i za svako y, to mora da vazi
ky = k′y = k′′
y , (9.10)
tj. y komponente talasnih brojeva upadnog, reflektovanog i prelomljenog talasa medjusobno
su jednake. Relacija (9.10) daje vezu izmedju upadnog ugla (µ), ugla refleksije (µ′) i ugla
prelamanja (µ′′), vidi Fig. 67(b). Naime,
ky = k sin µ, k′y = k′ sin µ′, k′′
y = k′′ sin µ′′, (9.11a)
tako da jednacina (9.10) prelazi u
k sin µ = k′ sin µ′ = k′′ sin µ′′. (9.11b)
Vektori k i k′ imaju iste intezitete: k = ∣k∣ = !/v1, k′ = ∣k′∣ = !/v1, gde je v1 (fazna) brzina
svetlosti u prvoj sredini, dok je k′′ = ∣k′′∣ = !/v2 gde je v2 brzina svetlosti u drugoj sredini.
Dakle,!
v1sin µ =
!
v1sin µ′ =
!
v2sin µ′′. (9.11c)
Iz jednacine (9.11c) direktno slede zakoni refleksije i prelamanja u obliku
µ = µ′,sin µ
sin µ′′=
n2
n1
. (9.12b)
Dakle, dobijaju se isti zakoni kao i u okviru geometrijske optike (jednacine (6.24) i (6.27b)).
Zakon prelamanja svetlosti tvrdi da se svetlost pri prelasku iz opticki gusce sredine u
opticki redju sredinu (n1 > n2) otklanja od normale (µ′′ > µ), Fig. 69(a). Povecavanjem
116
FIG. 69: Refleksija i prelamanje u slucaju n1 > n2; debljina zraka odgovara energiji
upadnog ugla µ dolazi do jos brzeg povecavanja ugla µ′′, tako da pri nekoj vrednosti µ = µgr,
ugao µ′′ postaje jednak ¼/2, ka na Fig. 69(b). Na osnovu jednacine (9.12b), nalazimo da je
sin µgr = n2/n1, tj. granicni ugao µgr je
µgr = arcsinn2
n1
. (9.13)
Da bismo razmotrili sta se desava sa svetloscu pri upadnom uglu µ > µgr u posmatranom
slucaju n1 > n2, razmotrimo proces prelamanja i refleksije sa energijskog stanovista. Svaki
od talasa (upadni, prelomljeni i reflektovani) prenose odgovarajucu energiju (po jedinici
vremena). Energija upadnog talasa rasporedjuje se na reflektovanu i energiju koju nosi
prelomljeni talas. Pri porastu ugla µ, energija prelomljenog talasa sve brze opada, a energija
reflektovanog talasa raste, tako da pri µ ≥ µgr energija prelomljenog talasa pada na nulu,
kao na Fig. 69(b).
Moze se pokazati da pri µ > µgr svetlosni talas ipak prodire u drugu sredinu, ali samo do
dubine reda rastojanja talasne duzine ¸, a zatim se vraca u prvu sredinu. Ova pojava se
naziva totalna unutrasnja refleksija.
117
FIG. 70: Normalni upad na granicu dve opticke sredine
9.2. Amplitude i faze ravanskog talasa na granici dve opticke sredine
Nadjimo sada vezu amplituda i faza upadne, reflektovane i prelomljene svetlosti. Radi
jednostavnosti ogranicicemo se na slucaj normalnog upada ravanskog monohromatskog ta-
lasa na granicu dve opticke sredine (dva homogena, linearna i izotropna dielektrika).
Svetlosni talas pada normalno na granicnu ravan prostiruci se duz x-ose, pri cemu svet-
losni vektor E osciluje duz y-ose (Fig. 70(a)). Na osnovu zakona prelamanja i refleksije,
prikazanog jednacinom (9.12b), zakljucujemo da ce se i reflektovan i prelomljen talas pro-
stirati duz x-ose, kao na Fig. 70(b). Svetlosni vektori reflektovanog i prelomljenog talasa
oscilovace takodje duz y-ose: E = Eyey, E′ = E ′
yey, E′′ = E ′′
y ey. Na granici dve sredine vazi
jednacina (9.3):
Ey + E ′y = E ′′
y . (9.14)
Energija koja u jedinici vremena padne na jedinicu granicne povrsine dva dielektrika
jednaka je intezitetu P Pointingovog vektora upadnog talasa (vidi jednacinu (3.9b)). U
slucaju ravanskog monohromatskog talasa koji se brzinom vf1 = v1 prostire duz x-ose kroz
prvu sredinu (magnetne propustljivosti ¹ = ¹1 ≈ ¹0), na osnovu jednacine (3.11b) za
Pointingov vektor P imamo
P =1
¹0v1E2ex. (9.15a)
118
Kako je E2 = E2y , za intezitet vektora P nalazimo
P =1
¹0v1E2
y . (9.15b)
Upadna energija se (u jedinici vremena sa jedinice povrsine) prerasporedjuje na energiju
(P ′) koja se putem reflektovanog talasa emituje sa granicne povrsine i energiju P ′′ koja se
brzinom vf2 = v2 prenosi u drugu sredinu (magnetne propustljivosti ¹2 ≈ ¹0). Velicine P ′ i
P ′′ su date sa
P ′ =1
¹0v1E ′2
y , P ′′ =1
¹0v2E ′′2
y . (9.15c)
Zakon odrzanja energije daje
P = P ′ + P ′′, (9.16a)
odakle nalazimo1
¹0v1E2
y =1
¹0v1E ′2
y +1
¹0v2E ′′2
y . (8.16b)
Uocivsi da je n1 = c/v1 i n2 = c/v2, jednacinu (9.16b) mozemo da napisemo u obliku
n1E2y = n1E
′2y + n2E
′′2y . (9.16c)
Poslednja jednacina zajedno sa jednacinom (9.14) predstavlja sistem jednacina pomocu koga
se komponente E ′y i E ′′
y mogu izraziti u funkciji Ey. Zamenom izraza E ′y = E ′′
y − Ey u
jednacinu (9.16c), nalazimo: n1E2y = n1(E
′′y−Ey)
2+n2E′′2y , tj. n1E
′′2y −2n1EyE
′′y+n2E
′′2y = 0,
odakle je
E ′′y =
2n1
n1 + n2
Ey. (9.17a)
Dalje, zamenom izraza (9.17a) u jednacinu (9.14), nalazimo da je Ey+E ′y =
2n1
n1+n2Ey, odakle
dobijamo
E ′y =
n1 − n2
n1 + n2
Ey. (9.17b)
Na osnovu dobijenih relacija (9.17a,b), koje se nazivaju Frenelove formule, vidimo da se
upadni, reflektovani i propusteni talasi u tacki O ponasaju kao
E = Em cos(!t)ey (8.18a)
E ′ =(n1 − n2
n1 + n2
)Em cos(!t)ey (9.18b)
E ′′ =2n1
n1 + n2
Em cos(!t)ey, (9.18c)
119
odakle direktno dobijamo veze amplituda i faza posmatranih talasa. Na osnovu formula
(9.18a) i (9.18c) vidimo da su vektori E i E ′′ uvek istog pravca i smera: svetlosni vektori E
i E ′′ upadnog i propustenog talasa osciluju u fazi. Poredjenjem jednacina (9.18a) i (9.18b),
zakljucujemo da su pravci vektora E i E ′ isti (y-osa) ali da im smerovi mogu biti isti
(n1 > n2) ili suporotni (n1 < n2). Drugim recima, pri refleksiji svetlosti na granici opticki
gusce i opticki redje sredine ne dolazi do promene faze, dok se u slucaju refleksije na granici
opticki redje i opticki gusce sredine faza oscilovanja svetlosnog vektora menja za ¼. Isti
rezultati vaze i za kos upad na granicu dve opticke sredine. Ponasanje svetlosnih vektora u
tacki O tokom vremena prikazano je na Fig. 71(a,b).
Da bi se opisao odnos jacina svetlosti u reflektovanom i propustenom talasu u odnosu na
jacinu svetlosti u upadnom talasu (u tacki O uvode se dve bezdimenzione fizicke velicine: ko-
eficijent refleksije ½I i koeficijent transmisije ¿I . Koeficijent refleksije se definise kao kolicnik
jacine reflektovane svetlosti I ′ i upadne svetlosti I, a koeficijent transmisije kao kolicnik
jacine propustene svetlosti I ′′ i upadne svetlosti I:
½I =I ′
I, ¿I =
I ′′
I. (9.19a)
Jacina svetlosti ravanskog monohromatskog talasa, jednacina (3.26a) proporcionalna je sa
nE2m. Prema tome imamo: I ∼ n1E
2m, I
′ ∼ n1
(n1−n2
n1+n2
2E2
m
)2
, I ′′ ∼ n2
(2n1
n1+n2
)2
E2m, tako da
je
½I =
(n1 − n2
n1 + n2
)2
, ¿I =n2
n1
(2n1
n1 + n2
)2
. (9.19b)
Pri n1 = n2, kao sto se ocekuje, ½I = 0 i ¿I = 1. Drugi granicni slucaj nastaje pri refleksiji
svertlosti na ogledalu, kada n2 → ∞. Tada ½I → 1 i ¿I → 0. Kako je u ovom slucaju
n2 > n1, pri refleksiji na ogledalu faza talasa se menja za ¼.
Primetimo na kraju da formule izvedene u ovom odeljku (koje se odnose na normalni
upad) mogu da se primene i pri malom upadnom uglu. Ukoliko je upadni ugao veci,
pored komponente elektricnog polja koja lezi u upadnoj ravni (E∥ = Eyey) postoji i kom-
ponenta normalna na ovu ravan (E⊥ = Ez ez). Obe ove komponente trpe odgovarajuce
promene na granici dva dielektrika. Ponasanje ovih komponenti dato je odgovarajucim
opstim Frenelovim formulama. Do ovih formula se moze doci ako se uoci da je ukupna
jacina polja E = E∥ + E⊥, kao i da je jacina magnetnog polja H ⊥ E pri cemu je H ∼ E.
Navedimo ovde samo jednu interesantnu posledicu opstih Frenelovih formula. Naime,
kada svetlost pada pod specificnim uglom µ = µB na granicu opticki gusce i opticki redje
120
FIG. 71: Ponasanje velicina Ey, E′y i E′′
y tokom vremena u tacki O granicne povrsine dve opticke
sredine za (a) n1 > n2 i (b) n1 < n2.
sredine (Fig. 72) reflektovani talas ima samo normalnu komponentu (E ′ = E ′⊥) dok je pravac
prelomljenog talasa pod pravim uglom u odnosu na pravac reflektovanog talasa. Opisani
efekat se naziva Brusterov efekat. On je posluzio kao dokaz ”transferzalnog” karaktera
121
FIG. 72: Kos upad na granici dve opticke sredine; Brusterov ugao µ¯
elektromagnetnih talasa.
Primetimo na kraju, da se pri refleksiji svetlosti u realnim eksperimentalnim uslovima
pri upadu pod Brusterovim uglom nikada ne realizuje u potpunosti relacija E ′ = E ′⊥ vec se
javlja i komponenta E ′∥ koja je na specifican nacin povezana sa E ′
⊥.
§10 Polarizacija svetlosti
10.1. Osnovni tipovi polarizacije svetlosti
Elektromagnetni talas predstavlja specificno vremenski zavisno elektromagnetno polje.
Svakoj tacki prostora pridruzuje se par vektora E(r, t) i B(r, t). Cinjenica da se radi o
vektorskim velicinama povlaci za sobom potrebu da se razmatra stepen uredjenosti pravaca
ovih vektora u prostoru i vremenu. U slucaju da postoji ovakva uredjenost za talas se kaze
da je polarizovan. Razmotrimo prvo neke osnovne tipove polarizacije svetlosti.
Za svetlosni talas kazemo da je linearno polarizovan ako je u odgovarajucem polju pravac
vektora E (odnosno B) u svim tackama prostora isti i ne menja se sa vremenom. Kao
primer navedimo ravanski elektromagnetni talas ciji su vektori E i B dati jednacinama
122
FIG. 73: (a) Linearno i (b) elipticki polarizovan talas
(1.29a,b), prikazan na Fig. 73(a). Vrh vektora E kod ovog talasa u datoj tacki prostora
tokom vremena opisuje pravu liniju (paralelnu y-osi). Analogno, vrh vektora B opisuje
pravu liniju paralelnu z-osi. Napomenimo da je refleksija pod Brusterovim uglom nacin
dobijanja linearno polarizovane svetlosti (E ′ = E ′⊥).
Ukoliko vrh vektora E u datoj tacki prostora tokom vremena opisuje elipsu za talas se
kaze da je elipticki polarizovan, a u specijalnom slucaju kada elipsa predje u krug, talas je
kruzno (cirkularno) polarizovan. Na Fig. 73(b) prikazano je ponasanje vektora E tokom
vremena za elipticki polarizovan talas.
U principu svaki elipticki polarizovan talas moze se dobiti superpozicijom dva linearno
polarizovana monohromatska talasa istih ucestanosti koji se prostiru u istom pravcu (x-osa),
pri cemu su pravci njihovih polarizacija uzajamno ortogonalni. Neka je prvi talas polarizovan
duz y-ose, a drugi duz z-ose:
E1 = E10 cos(!t− kx)ey (10.1a)
E2 = E20 cos(!t− kx+ ±)ez, (10.1b)
gde je sa ± oznacena fazna razlika ova dva talasa.
Rezultujuca jacina polja
E = E1 + E2, (10.2)
predstavlja elipticki polarizovan talas. Da bismo to pokazali ispitajmo ponasanje vektora
E u yOz-ravni tokom vremena. U tom cilju nadjimo y i z projekcije ukupnog vektora E.
123
Imamo
Ey = E1y = E10 cos(!t− kx) (10.3a)
Ez = E2z = E20 cos(!t− kx+ ±). (10.3b)
Jednacine (10.3a,b) predstavljaju jednacinu krive linije f(Ey, Ez) = 0 zadate u param-
etarskom obliku gde je » = !t − kx parametar. Eliminacijom parametra dolazimo
do jednacine f(Ey, Ez) = 0. Iz jednacine (10.3a) imamo cos » = Ey/E10, tako da je
sin » =√
1− cos2 » =√
1− (Ey/E10)2. Jednacina (10.3b) ima oblik
Ez = E20 cos(» + ±) = E20 cos » cos ± − E20 sin » sin ±, (10.3c)
tj.
Ez = E20Ey
E10
cos ± − E20
√1−
(Ey
E10
)2
sin ±. (10.4a)
Ako izvrsimo pregrupisavanje clanova, poslednju jednacinu mozemo napisati u obliku
Ez
E20
− Ey
E10
cos ± = −√
1−(
Ey
E10
)2
sin ±. (10.4b)
Standardni oblik dobijene krive linije dobijamo kvadriranjem gornjeg izraza:(
Ez
E20
)2
−
2(
Ez
E20
)(Ey
E10
)cos ± +
(Ey
E10
)2
cos2 ± =
[1−
(Ey
E10
)2]sin2 ±, odakle vidimo da je
(Ez
E20
)2
− 2
(Ez
E20
)(Ey
E10
)cos ± +
(Ey
E20
)2
= sin2 ±. (10.5)
Na osnovu jednacine (10.5) vidimo da je dobijena kriva elipsa cije se ose ne poklapaju sa
koordinatnim osama. Vrh vektora E obilazi celu elipsu pri promeni parametra » = !t− kx.
Za specijalne vrednosti faznog parametra ± ova elipsa moze postati centrirana. Za ± =
¼/2 + n¼ gde je n = 0,±1,±2, ..., imacemo cos ± = 0 i sin ± = (−1)n, pa jednacina (10.5)
prelazi u (Ez
E20
)2
+
(Ey
E10
)2
= 1. (10.6)
Jednacina (10.6) predstavlja jednacinu elipse sa centrom u koordinatnom pocetku i osama
duz z i y-ose (Fig. 74). Poluose elipse su E20 i E10. U posmatranom slucaju komponente
Ey i Ez vektora E, prikazane jednacinama (10.3a,c), date su sa
Ey = E10 cos(!t− kx) (10.7a)
124
FIG. 74: Elipsa koju opisuje vrh vektora E
Ez = −E20(−1)n sin(!t− kx). (10.7b)
Da bismo videli kako se tokom vremena ponasa vrh vektora E, uocimo talasnu ravan
x = 0, na kojoj je Ey = E10 cos!t i Ez = −E20(−1)n sin!t. U pocetnom trenutku vremena
t = 0, imamo Ey = E10, Ez = 0 (tacka 1 na Fig. 74). Pri porastu t, Ey se smanjuje, dok
se Ez smanjuje za parno n a raste za neparno n (tacka 1 se krece ka tackama 2 ili 2′). Prvi
slucaj odgovara kretanju po elipsi u smeru suprotnom od kretanja skazaljke na satu, dok
je u drugom slucaju smer suprotan. Prvi slucaj odgovara tzv. levo elipticki polarizovanoj
svetlosti a drugi desno polarizovanoj svetlosti.
Ukoliko je fazna razlika ± = ¼/2 + n¼ gde je n = 0,±1,±2, ..., a pri E10 = E20 = E0,
jednacina (10.6) prelazi u jednacinu kruznice
E2z + E2
y = E20 , (10.8)
kada je odgovarajuci svetlosni talas kruzno polarizovan.
U slucaju da je ± = n¼, imali bi cos ± = (−1)n i sin ± = 0, kada se jednacina (10.5) svodi
na (Ez
E20
)2
− 2
(Ez
E20
)(Ey
E10
)(−1)n +
(Ey
E10
)2
= 0, (10.9a)
tj.Ez
E20
− (−1)n(
Ey
E10
)= 0, (10.9b)
125
FIG. 75: Prave linije koje opisuje vrh vektora E
sto predstavlja jednacinu prave linije
Ey = (−1)nE10
E20
Ez. (10.10)
U posmatranom slucaju rezultujuci elektromagnetni talas je linearno polarizovan. Na Fig.
75(a) prikazan je slucaj kada je n paran broj, a na Fig. 75(b) slucaj neparnog n. U talasnoj
ravni (x = 0) komponente Ey i Ez (jednacine (10.3a,c)) menjaju se u toku vremena po
sledecem zakonu:
Ey = E10 cos!t, Ez = E20(−1)n cos!t. (10.10)
U trenutku t = 0, bice Ey = E10 i Ez = E20(−1)n, tacka 1 na Fig. 75. Sa porastom vremena
vrh vektora E seta po prikazanim pravim linijama izmedju tacaka 1 i 2.
Dakle, kod polarizovane svetlosti vrh vektora E u talasnoj ravni (x = 0) u toku vremena
opisuje elipsu koja pri odredjenim vrednostima faze ± i amplituda E10 i E20 moze da se
degenerise u kruznicu ili pravu liniju. Ponasanje vektora E ima regularan karakter i kada se
posmatra njegov raspored u prostoru, u datom trenutku vremena t, na primer u trenutku
t = 0. Neka je ± = ¼/2 + n¼, kada je cos ± = 0 a sin ± = (−1)n, kada jednacine (10.3a) i
(10.3c) u trenutku t = 0 dobijaju sledeci oblik:
Ey = E10 cos(kx), Ez = E20(−1)n sin(kx). (10.11)
Variranjem x dobijamo krivu liniju prikazanu na Fig. 76. Vektor E uvek lezi u talasnoj
126
FIG. 76: Zavojnica namotana na elipsoidni cilindar koju opisuje vrh vektora vecE
ravni paralelnoj yOz-ravni, a njegov kraj na prikazanoj krivoj liniji.
U ovom odeljku videli smo kako se superpozicijom dva linearno polarizovana talasa dobija
elipticki polarizovan talas. Moze se pokazati da vazi i obrnuta ”teorema”. Elektromagnetni
talas sa proizvoljnom polarizacijom moze biti predstavljen u obliku superpozicije dva lin-
earno polarizovana talasa cije su ravni oscilovanja elektricnog vektora uzajamno ortogonalne.
Drugim recima, svetlost (elektromagnetni talas) poseduje dva nezavisna stanja polarizacije.
10.2. Delimicna polarizacija. Matrica polarizacije i stepen polarizovanosti
Polarizovanost svetlosti smo definisali kao uredjenost u vremenu (i prostoru) stanja oscilo-
vanja svetlosnog vektora E. U odeljku 10.1 definisali smo tri osnovna tipa stroge uredjenosti.
Da bi se opisala delimicna polarizacija uvodi se pojam: stepen polarizovanosti. Pri defin-
isanju ove fizicke velicine uzima se u obzir cinjenica da su merljive karakteristike svetlosnog
talasa samo srednje prostorno-vremenske velicine.
Osnovna fizicka velicina koja opisuje stepen polarizovanosti talasa je tzv. matrica ko-
herencije ℑ, ciji su elementi srednje vrednosti karakteristicnih funkcija polja. Za talas koji
se prostire duz x-ose, potrebno je opisati stepen uredjenosti komponenti Ey i Ez vektora E
127
u yOz-ravni. Matrica ℑ je tada definisana kao komleksna matrica:
ℑ =1
2
⎛⎝ < EyE
∗y > < EyE
∗z >
< EzE∗y > < EzE
∗z >
⎞⎠ =
⎛⎝ ℑ11 ℑ12
ℑ21 ℑ22
⎞⎠ , (10.12)
gde su Ey i Ez komponente kompleksnog svetlosnog vektoraˇE duz y i z ose:
ˇE =
ˇEyey +
ˇEez. (10.13)
Navedimo neke od osnovnih osobina matrice koherencije ℑ. Po samoj definiciji, vidimo
da je ona ermitska, tj.
ℑ† = ℑ, (10.14a)
pri cemu je matrica ℑ† definisana sa
(ℑ†)ij = ℑ∗ji. (10.14b)
Vazna osobina ermitskih matrica je da imaju realne determinante. Trag Trℑ matrice ℑ,(suma njenih dijagonalnih elemenata) je:
Trℑ =1
2[< EyE
∗y > + < EzE
∗z >]. (10.15)
Vidimo da je i Trℑ realna velicina.
Matrica ℑ podeljena sa svojim tragom je po definiciji tzv. matrica polarizacije ½:
½ =ℑ
Trℑ . (10.16)
Matrica ½ ima jedinicni trag, pa u tom smislu predstavlja ”normiranu” matricu koheren-
cije. Stepen polarizabilnosti ℘ posmatrane svetlosti (elektromagnetnog talasa) definise se
relacijom
℘ = 1− 4det½. (10.17a)
Kako je det½ = 0 kada je svetlost polarizovana (vidi premere 1 i 2 ovog odeljka), za-
klju7cujemo da je stepen polarizovanosti ovih talasa ℘ = 1. Za delimicno polarizovane
talase det½ > 0 i ima utoliko vecu vrednost ukoliko je uredjenost vektora E manja. Dakle,
sto je talas ”manje” polarizovan, to je stepen polarizovanosti ℘ manji (videti primer 3, ovog
odeljka). Za potpuno nepolarizovanu svetlost bice ℘ = 0. Dakle, za delimicno polarizovanu
svetlost
0 ≤ ℘ ≤ 1. (10.17b)
128
Primer 1
Nadjimo prvo stepen polarizovanosti ℘ za linearno polarizovan (monohromatski talas).
Neka se talas prostire duz x-ose i neka je polarizovan duz y-ose. Tada je vektor E dat
jednacinom (10.1a):
E = E0 cos(!t− kx)ey. (10.18a)
Dakle, u razmatranom primeru imamo
Ey = E0 exp[−i(!t− kx)], Ez = 0, (10.18b)
tako da na osnovu jednacine (9.12) za matricu koherencije ℑ nalazimo:
ℑ =1
2
⎛⎝ E2
0 0
0 0
⎞⎠ =
1
2E2
0
⎛⎝ 1 0
0 0
⎞⎠ . (10.20a)
Trag matrice ℑ jednak je Trℑ = 12E2
0 , tako da je matrica polarizacije ℘ data sa
℘ =
⎛⎝ 1 0
0 0
⎞⎠ . (10.20b)
Determinanta matrice polarizacije je
det½ = 0, (10.20c)
tako da jednacina (9.17a) za stepen polarizovanosti ℘ linearno polarizovane svetlosti daje
sledecu vrednost:
℘ = 1. (10.21)
Primer 2
Drugi po slozenosti slucaj polarizovane svetlosti je kruzno polarizovana svetlost. Kom-
ponente Ey i Ez su tada date jednacinama (10.7a,b):
Ey = E10 cos(!t− kx) (9.22a)
Ez = E20(−1)n cos(!t− kx+
¼
2
), (10.22b)
u kojima je E10 = E20 = E0. Dakle, komponente Ey i Ez koje ulaze u definiciju matrice
koherencije sada su
Ey = E0 exp[−i(!t− kx)], Ez = E0(−1)n exp[−i
(!t− kx+
¼
2
)], (10.22c)
129
tako da je, na osnovu jednacine (10.12),
ℑ =1
2
⎛⎝ E2
0 iE20(−1)n
−iE20(−1)n E2
0
⎞⎠ =
1
2E2
0
⎛⎝ 1 i(−1)n
−i(−1)n 1
⎞⎠ . (10.23a)
Kako je Trℑ = E20 , za matricu polarizacije, definisanu jednacinom (10.16), imamo
½ =1
2
⎛⎝ 1 i(−1)n
−i(−1)n 1
⎞⎠ . (10.23b)
Determinanta matrice polarizacije
det½ =1
4(1 + i2) = 0, (10.23c)
tako da je na osnovu jednacine (10.17a) stepen polarizovanosti ℘ kruzno polarizovane svet-
losti
℘ = 1. (10.24)
Primer 3
Posmatrajmo sada delimicno polarizovan kvazimonohromatski talas koji predstavlja su-
perpoziciju dva linearno polarizovana kvazi-monohromatska talasa: E = E1 + E2, gde su
talasi E1 i E2 polarizovani duz y i z ose:
E1 = A1(x, t) cos(!t− kx+ fg1(x, t))ey (10.25a)
E2 = A2(x, t) cos(!t− kx+ fg2(x, t))ez. (10.25b)
Odgovarajuci kompleksne komponente Ey i Ez sada su date sa
Ey = A1(x, t) exp[−i(!t− kx+ fg1)] (10.26a)
Ez = A2(x, t) exp[−i(!t− kx+ fg2)]. (10.26b)
Ukoliko su velicine A1, A2 i Δf = fg2−fg1 ponasaju kao slucajne velicine koje se potpuno
neregularno menjaju u oblasti usrednjavanja, vrh vektora E opisivace (na primer u talasnoj
ravni xOy), neregularnu krivu shematski prikazanu na Fig. 77; posmatrani talas bice pot-
puno nepolarizovan. Ovako se, na primer, ponasa prirodna svetlost. Ukoliko velicine A1,
A2 i Δf = fg2 − fg1 nisu slucajne velicine, svetlost ce biti delimicno polarizovana, dok pri
konstantnim, vrednostima svih ovih velicina ona postaje polarizovana (slucaj razmatran u
predhodnom odeljku).
130
FIG. 77: Nepolarizovan (kvazi-monohromatski) talas, shematski
U posmatranom primeru, matrica ℑ je
ℑ =1
2
⎛⎝ < A2
1 > < A1A2eiΔf >
< A1A2e−iΔf > < A2
2 >
⎞⎠ . (10.27a)
Pretpostavimo dalje, radi jednostavnosti da je A1 = A2 = A0, kao i da je A0 ≈ const u
oblasti usrednjavanja. U tom slucaju matrica koherencije ima oblik
ℑ =1
2A2
0
⎛⎝ 1 < eiΔf >
< e−iΔf > 1
⎞⎠ . (10.27b)
Trag ove matrice je jednak Trℑ = A20, tako da na osnovu jednacina (10.16) za matricu
plarizacije ½ imamo
½ =1
2
⎛⎝ 1 < eiΔf >
< e−iΔf > 1
⎞⎠ . (10.28a)
Determinanta matrice ½ je:
det½ =1
4[1− < eiΔf >< e−iΔf >], (10.28b)
tako da za stepen polarizovanosti ℘, definisan jednacinom (10.17a), nalazimo
℘ =< eiΔf >< e−iΔf >= ∣ < eiΔf > ∣2. (10.29a)
Kako je 0 ≤ ∣ < eiΔf > ∣2 ≤ 1, za stepen polarizovanosti delimicno polarizovane svetlosti,
nalazimo
0 ≤ ℘ ≤ 1. (10.29b)
131
Dakle, delimicno polarizovana svetlost ima stepen polarizovanosti iz intervala [0, 1]. Kod
potpuno nepolarizovane svetlosti bice ∣ < eiΔf > ∣2 = 0, pa je ℘ = 0, a za polarizovanu
svetlost, kada Δf = const, imamo < eiΔf >= eiΔf , tako da je ∣ < eiΔf > ∣2 = 1, pa je
℘ = 1.
10.3. Merenje stepena polarizovanosti svetlosti
Stepen polarizovansti svetlosti je u potpunosti poznat ako je poznata matrica koherencije,
tj. ako su poznate vrednosti ℑ11 =< EyE∗y > /2 =< ∣Ey∣2 > /2, ℑ12 =< EyE
∗z > /2, ℑ21 =
< EzE∗y >/2 =< EyE
∗z >∗ /2 i ℑ22 =< EzE
∗z > /2 =< ∣Ez∣2 > /2. Dakle, treba odrediti 4
nezavisne relane velicine: < ∣Ey∣2 >,Re < EyE∗z >, Im < EyE
∗z > i < ∣Ez∣2 >. U principu
za ovo je potrebno izvrsiti cetiri nezavisna merenja.
Uredjaji koji se koriste pri odredjivanju ovih parametra su polarizatori. Svaki polarizator
se karakterise osom slobodnog propustanja e; naime, on propusta samo deo elektromag-
netnog talasa (svetlosti) koji pada na njega i to onaj deo koji je polarizovan u pravcu ose
polarizatora. U principu polarizator (simbolicki Pe) se ponasa kao ”projektor”:
PeE = (E ⋅ e)e. (10.30)
Razmotrimo sada nacin merenja stepena polarizovanosti delimicno polarizovanog kvazi-
monohromatskog talasa koji se prostire duz x-ose. Ovakav talas se uvek moze razloziti na
dva linearno polarizovana talasa, tj.
ˇE = Eyey +
ˇEz ez, (10.31a)
gde su Ey i Ez dati jednacinama (10.26a,b):
Ey = A1 exp[−i(!t− kx+ fg1)], Ez = Az exp[−i(!t− kx+ fg2)], (10.31b)
Odgovarajuca matrica koherencije data je izrzom (10.27a), na osnovu koga zakljucujemo da
je u posmatranom slucaju ova matrica poznata ako izmerimo velicine
ℑ11 =1
2< A2
1 >, ℑ22 =1
2< A2
2 >, (10.32a)
Reℑ12 =1
2Re < A1A2e
iΔf >, Imℑ12 =1
2Im < A1A2e
iΔf > . (10.32b)
132
Ovakva merenja se svode na merenja jacine svetlosti posle prolaska kroz specificno postavl-
jene polarizatore.
Podsetimo se da je jacina svetlosti definisana jednacinom (3.18) kao intezitet srednje
vrednosti Pointingovog vektora:
I = ∣ < E × H > ∣. (10.33a)
Za posmatrani elektromagnetni talas vektori E i H su ortogonalni i osciluju u fazi, pri cemu
je kEm = !Bm, tako da je (za ¹ = ¹0)
H =1
c¹0
nE (10.33b)
(vidi izvodjenje jednacine (3.25)). Dakle
I =1
c¹0
n < E2 >=1
c¹0
n < ReˇE ⋅ Re ˇE > (10.34a)
Koristeci relaciju ReˇE = 1
2(ˇE +
ˇE∗), imamo
I =1
4c¹0
n <(ˇE +
ˇE∗
)⋅(ˇE +
ˇE∗
)>=
1
4c¹0
n[< E2 > +2 <
ˇE ⋅ ˇE∗ > + < E∗2 >
].
(10.34b)
Kako jeˇE ⋅ ˇE∗ = ∣E∣2, i vazi E2 + E∗2 = 2ReE2, nalazimo
I =1
2c¹0
n[Re < E2 > + < ∣E∣2 >]. (10.34c)
Propustimo sada svetlost kroz sistem pogodnih mernih uredjaja. U prvom merenju po-
larizator se postavlja duz y-ose (Fig. 78). Po izlasku iz njega svetlost je polarizovana duz
y-ose, a svetlosni vektor u kompleksnom obliku je dat sa
PeyˇE = (
ˇE ⋅ ey)ey = Eyey. (10.35)
Po izlasku iz polarizatora meri se jacina svetlosti I1. Na osnovu jednacine (10.34c) ova jacina
svetlosti je
I1 =1
2c¹0
n[Re < E2y > + < ∣Ey∣2 >], (10.36a)
gde je velicina Ey data jednacinom (10.31b). Dakle, ako uzmemo u obzir da su amplitude
A1 i A2 kao i faze fg1 i fg2 sporo promenjive funkcije koordinata i vremena, tako da se u
procesu usrednjavanja mogu smatrati konstantnim, nalazimo:
I1 =1
2c¹0
n[A2
1Re(e−2ifg1 < e−2i(!t−kx) >) + A2
1
]. (10.36b)
133
FIG. 78: Prvo merenje: meri se jacina svetlosti I1 posle prolaska kroz polarizator Pey
U opstem slucaju usrednjavanje koje se javlja u izrazu (10.36b) za jacinu svetlosti je
prostorno-vremenskog tipa; ovo usrednjavanje se svodi na srednju vrednost po periodu T za
x = x0, vidi jednacinu (3.19b):
< e−2i(!t−kx) >≈ e2ikx0 < e−2i!t >T= 0, (10.36c)
tako da je
I1 =1
2c¹0
nA21 ≈
1
2c¹0
n < A21 > . (10.37a)
Na osnovu izraza (10. 32a) vidimo da je
ℑ11 =c¹0
nI1, (10.37b)
tako da se merenjem I1 odredjuje matricni element ℑ11 matrice koherencije.
U drugom merenju meri se jacina svetlosti I2 posle prolaska svetlosti kroz polarizator Pez
cija je osa postavljena duz z-ose, kao na Fig. 79. Sada imamo
PezˇE = Ez ez, (10.38)
tako da je jacina svetlosti I2 data jednacinom (10.36a) u kojoj je y → z. Kako je Ez dato
sa jednacinom (10.31b), za jacinu svetlosti I2, nalazimo izraz (10.37a) u kome je A1 → A2.
Dakle merenjem I2 direktno nalazimo matricni element ℑ22 matrice koherencije:
ℑ22 =c¹0
nI2. (10.39)
134
FIG. 79: Drugo merenje: meri se jacina svetlosti I2 posle prolaska kroz polarizator Pez
FIG. 80: Trece merenje: meri se jacina svetlosti I3 posle prolaska kroz polarizator ℘ey
Trece merenje se vrsi sa polarizatorom cija je osa postavljena u yOz-ravni pod uglom od
45∘ u odnosu na y-osu (Fig. 80). Svetlost koja prodje kroz polarizator Pey′ polarizovana je
u y′-pravcu, a njen svetlosni vektor u kompleksnom obliku je
Pey′ˇE = (
ˇE ⋅ ey′)ey′ = Ey′ ey′ . (10.40)
Po analogiji sa jednacinom (10.36a), jacina svetlosti I3 posle prolaska kroz ovaj polarizator
data je sledecim izrazom:
I3 =1
2c¹0
n[Re < E2y′ > + < ∣Ey′∣2 >]. (10.41a)
135
Kako jeˇE = Eyey + Ez ez, bice Ey′ = E ⋅ ey′ = Eyey ⋅ ey′ + Ez ez ⋅ ey′ . Uocivsi da je
ey ⋅ ey′ = ez ⋅ ey′ = cos(¼/4) = 1/√2, nalazimo
Ey′ =1√2(Ey + Ez), (10.41b)
tj. zamenom izraza za Ey i Ez iz jednacine (10.31),
E ′y =
1√2(A1e
−ifg1 + A2e−ifg2 )e−i(!t−kx). (10.41c)
Konacno, za jacinu svetlosti I3, imamo
I3 =1
4c¹0
n{Re[(A1e−ifg1 +A2e
−ifg2 ) < e−i(!t−kx) >]+ < ∣A1e−ifg1 +A2e
−ifg2 ∣2 >}, (10.42a)
tj. koristeci jednacinu (10.36c),
I3 =1
4c¹0
n < ∣A1e−ifg1 + A2e
−ifg2 ∣2 > . (10.42b)
Kako je ∣z1 + z2∣2 = ∣z1∣2 + ∣z2∣2 + 2Re(z∗1z2), za jacinu svetlosti I3 imamo
I3 =1
4c¹0
n[< A21 > + < A2
2 > +2Re < A1A2eiΔf >]. (10.42c)
Kako su velicine < A21 > i < A2
2 > vec poznate, na osnovu merenja jacina svetlosti I1 i I2,
poznavanje jacine svetlosti I3 omogucava da se nadje Reℑ12:
Reℑ12 =1
2Re < A1A2e
iΔf >=c¹0
nI3 − 1
4< A2
1 > −1
4< A2
2 > . (10.43a)
Dakle, koristeci relaciju (10.37a)za jacinu svetlosti I1, i analognu za I2, nalazimo
Reℑ12 =c¹0
n
(I3 − 1
2I1 − 1
2I2
). (10.43b)
Da bi kompletirali matricu koherencije treba jos izmeriti Imℑ12 = Im < A1A2eiΔf > /2.
U ovom, cetvrtom merenju, koristi se tzv. ”plocica ¸/4”, koja se postavlja ispred polarizatora
Pey′ . Ova plocica ima dve ose polarizovanja e1 i e2 i moze da napravi faznu razliku izmedju
komponenti talasa duz ovih osa. Ako ovu plocicu oznacimo simbolicki sa Pe1e2 , imamo
Pe1e2ˇE = (
ˇE ⋅ e1)e1 + e
i¼2 (
ˇE ⋅ e2)e2. (10.44a)
Ako se plocica ¸/4 postavi tako da su e1 = ey i e2 = ez, kao Fig. 81, onda svetlost svetlosnog
vektora (u kompleksnom obliku)ˇE = Eyey + Ez ez po prelasku kroz plocicu prelazi u
Pey ezˇE = Eyey + e
i¼2 Ez ez. (10.44b)
136
FIG. 81: Cetvrto merenje
Sada na polarizator Pey′ pada svetlost svetlosnog vektora Eyey + (iEz)ez, gde su Ey i Ez
dati sa jednacinom (10.31b); za iEz imamo
iEz = A2 exp[−i(!t− kx+ fg2 −¼
2)], (10.45)
sto se od Ez razlikuje samo po fazi. Dakle kada se posle prolaska kroz polarizator Pe′y meri
jacina svetlosti I4, dobicemo vrednost datu jednacinom (10.42c) u kojoj umesto Δf stoji
Δf − ¼/2:
I4 =1
4c¹0
n[< A21 > + < A2
2 > +2Re < A1A2eiΔfe−i¼
2 >]. (10.46a)
Kako je Re(ze−i¼/2) = Re(−iz) = Imz, imamo
I4 =1
c¹0
n1
4[< A2
1 > + < A22 > +2Im < A1A2e
iΔf >]. (10.46b)
Po analogiji sa jednacinom (10.43b), sada imamo
Imℑ12 =c¹0
n
(I4 − 1
2I1 − 1
2I2
). (10.47)
Jednacinama (10.37b), (10.39), (10.43b) i (10.47) u potpunosti je odredjena matrica ko-
herencije, a na osnovu nje se moze odrediti stepen polarizovanosti ℘.
137
§11 Interferencija svetlosti
11.1. Fenomen interferencije
Interferencija svetlosti je pojava povezana sa preraspodelom jacine svetlosti u prostoru i
u vezi je sa superpozicijom svetlostnih (elektromagnetnih) talasa. Kako je jacina svetlosti
jednaka srednjoj vrednosti energije koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrsine
normalne na pravac prostiranja svetlosti (vidi odeljak 3.5), interferencija se moze posmatrati
kao preraspodela svetlosnog fluksa, definisanog jednacinama (3.18) i (3.9).
Najjednostavniji slucaj imamo pri superpoziciji dva svetlosna talasa. Ukupna jacina polja
u proizvoljnoj tacki prostora (u datom trenutku) tada je jednaka
E(r, t) = E1(r, t) + E2(r, t), (11.1)
tako da je jacina svetlosti I, u posmatranoj tacki prostora (i datom trenutku vremena) data
jednacinom (10.34a):
I =1
c¹0
n < E2 >= const ⋅ n < E ⋅ E > . (11.2a)
gde smo uveli oznaku const = 1/(c¹0). Zamenom jednacine (11.1) u (11.2a), nalazimo
I = const ⋅ n < (E1 + E2) ⋅ (E1 + E2) >, (11.2b)
odnosno
I = const ⋅ n[< E21 > + < E2
2 > +2 < E1 ⋅ E2 >]. (11.2c)
Kako je u polju svetlosnog vektora Ei jacina svetlosti Ii u posmatranoj tacki prostora (i
datom trenutku)
Ii = const ⋅ n < E2i >, i = 1, 2 (11.3)
na osnovu jednacine (11.2c) nalazimo da je
I = I1 + I2 + I12, (11.4a)
gde je
I12 = const ⋅ 2n < E1 ⋅ E2 > . (11.4b)
Vidimo da jacina svetlosti I nije prost zbir jacina svetlosti I1 i I2 vec se javlja i dodatni
clan I12, tzv. interferencioni clan (Fig. 82). Po pravilu interferencioni clan I12 ima razlicite
138
FIG. 82: Shematski prikaz interferencije
vrednosti u razlicitim tackama prostora, tako da se u prostoru stvara preraspodela jacine
svetlosti. Na nekom zaklonu unetom u posmatrano polje pojavljuju se svetle i tamne oblasti
koje mogu da obrazuju pruge, koncentricne prstenove... Ovakva slika naziva se interferen-
ciona slika.
Interferencioni clan dat jednacinom (11.4b), definisan je preko srednje vrednosti
< E1 ⋅ E2 >, pri cemu se usrednjavanje vrsi po tzv. vremenu merenja Δ¿ (vidi jednacinu
(3.19b)):
I12(r, t) = const ⋅ 2n 1
Δ¿
∫ t+Δ¿/2
t−Δ¿/2
E1 ⋅ E2dt. (11.5)
Dakle, za registrovanje interferencije potrebno je neko vreme Δ¿ . Vrednost interferencionog
clana I12(r, t), medjutim, ne zavisi samo od ovog vremena. Naime, i sami izvori svetlosti
mogu menjati svoj karakter u toku vremena, sto utice i na karakter polja E1 i E2. Tako,
na primer, u toku vremenskog intervala Δt (oko trenutka t) svetlosni talasi E1 i E2 mogu
imati iste ucestanosti, a izvan ovog intervala razlicite. ”Saglasni” svetlosni talasi koji se
pojavljuju u toku vremenskog intervala Δt nazivaju se koherentni talasi, a vreme Δt je
tzv. vreme koherencije. Oba vremena Δ¿ i Δt, kao karakteristike izvora i optickog sistema
pomocu koga se postize interferencija, uticu na stabilnost interferencione slike. Naime,
interferenciona slika je vidljiva samo ako je vreme merenja Δ¿ manje od vremena koherencije
Δt:
Δ¿ < Δt, (11.6)
tj. interferencija je moguca samo dok su talasi koherentni u toku merenja.
Ako su u toku vremena koherentnosti oba talasa E1 i E2 monohromatska i istih ucestanosti
!, i rezultujuci talas E bice monohromatski. U tom slucaju se usrednjavanje po vremenu
139
FIG. 83: (a) Interferencija dva monohromatska talasa polarizovana u istom pravcu i (b) u dva
razlicita pravca
svodi na usrednjavanje po periodu Δ¿ = T , tako da na osnovu jednacine (3.25b) za jacinu
svetlosti imamo
I = const ⋅ n ⋅ 12∣ ˇE∣2. (11.7)
Primetimo, na kraju da se interferencija ne uspostavlja u celom prostoru vec samo u
jednom njegovom delu. Ova oblast se naziva polje (prostor) interferencije.
11.2. Interferencija dva monohromatska talasa istih ucestanosti
Pretpostavimo da u nekoj tacki M polja dolazi do preklapanja talasnih polja dva
monohromatska talasa istih ucestanosti !. Pretpostavimo takodje da su oba talasa linearno
polarizovana.
Razmotrimo prvo slucaj kada su oba talasa linearno polarizovana duz iste, y-ose. Tada
su kompleksni svetlosni vektori komponentnih polja (u tacki M i trenutku t), Fig. 82(a),
ˇE1(r, t) = A1(r) exp[−i(!t− k1 ⋅ r + '01)]ey (11.8a)
ˇE2(r, t) = A2(r) exp[−i(!t− k2 ⋅ r + '02)]ey, (11.8b)
tj. talasi 1 i 2 stizu u tacku M sa koordinatom r u trunutku t sa amplitudama A1(r) i A2(r)
i sa fazama
'1 = k1 ⋅ r − '01, '2 = k ⋅ r − '02. (11.9)
140
Kao rezultat superpozicije talasa, formira se ukupni talasni vektorˇE =
ˇE1+
ˇE2, rezultujuceg
monohromatskog talasa:ˇE = (A1e
i'1 + A2ei'2)e−i!tey. (11.10)
Jacina svetlosti u tacki M data je jednacinom (11.7):
I = const ⋅ n ⋅ 12∣A1e
i'1 + A2ei'2∣. (11.11a)
Kako je ∣z1 + z2∣2 = ∣z1∣2 + ∣z2∣2 + 2Re(z∗1z2), bice
I = const ⋅ n ⋅ 12[A2
1 + A22 + 2A1A2 cos('2 − '1)]. (11.11b)
Uocivsi da su
Ii = const ⋅ n ⋅ 12A2
i , i = 1, 2 (11.12)
jacine svetlosti od komponentnih polja, imamo
I = I1 + I2 + 2√
I1I2 cos ±, (11.13a)
gde je
± = '2 − '1 (11.13b)
fazna razlika posmatrana dva talasa u posmatranoj tacki polja interferencije. U razmatgra-
nom slucaju interferencioni clan je
I12 = 2√
I1I2 cos ± = const. (11.14)
Naime dva monohromatska talasa istih ucestanosti i polarizovana u istom pravcu predstavl-
jaju koherentne talase sa beskonacnim vremenom koherencije. Zbog toga je interferenciona
slika stabilna.
U onim tackama prostora u kojima je cos ± > 0, ukupna jacina svetlosti I ce biti veca od
I1+ I2, a u tackama u kojima je cos ± < 0, I ce biti manje od I1+ I2. Zbog toga pri slaganju
posmatranih talasa dolazi do preraspodele jacine svetlosti u prostoru. Na nekim mestima
nastaju maksimumi Imax, a na drugim minimumi Imin jacine svetlosti:
Imax = I/cos ±=1 = (√
I1 +√
I2)2 (11.15a)
Imin = I/cos ±=−1 = (√
I1 −√
I2)2. (11.15b)
141
U slucaju interferencije talasa istih amplituda (A1 = A2), jacine svetlosti I1 i I2 bile bi
medjusobno jednake (I1 = I2 = I0) i tada efekat interferencije postaje izrazit. Jacina
svetlosti I, data jednacina (11.13a), tada ima sledecu vrednost:
I = 2I0(1 + cos ±) = 4I0 cos2 ±
2, (11.16)
tako da je Imax = 4I0, a Imin = 0.
U opstem slucaju kada talasi koji interferiraju poseduju razlicite ose polarizacije (Fig.
83(b)) okarakterisane ortovima e1 i e2, imali bi
ˇE1 = A1(r) exp[−i(!t− k1 ⋅ r + '01)]e1 (11.17a)
ˇE2 = A2(r) exp[−i(!t− k2 ⋅ r + '02)]e2, (11.17b)
tako da je rezultujuci svetlosni vektor
ˇE = (A1e
i'1 e1 + A2ei'2 e2)e
−i!t. (11.17c)
Ponovo se dobija monohromatski talas, tako da je jacina svetlosti data jednacinom (11.7):
I = const ⋅ n ⋅ 12∣A1e
i'1 e1 + A2ei'2 e2∣2. (11.18a)
Vertikalne crte oznacavaju istovremeno i moduo kompleksnog broja i intezitet vektora (vidi
jednacinu 3.26b). Dakle,
I = const ⋅ n ⋅ 12
(A1e
i'1 e1 + A2ei'2 e2
) ⋅ (A1e−i'1 e1 + A2e
−i'2 e2), (11.18b)
tj.
I = const ⋅ n ⋅ 12
[A2
1 + A22 + A1A2(e
i± + e−i±)(e1 ⋅ e2)], (11.18c)
odnosno
I = I1 + I2 + 2√
I1I2(e1 ⋅ e2) cos ± (11.19)
Interferencioni clan u jednacini (11.19) zavisi od e1 ⋅ e2. Prema tome, talasi linearno
polarizovani duz iste ose (e1 ⋅ e2 = 1) maksimalno interferiraju, dok talasi polarizovani pod
pravim uglom (e1 ⋅ e2 = 0) uopste ne interferiraju.
Primer 1
Nadjimo prvo faznu razliku ± pri interferenciji svetlosti od dva tackasta izvora S1 i S2
koji su izvori sfernih talasa.
142
FIG. 84: Interferencija dva sferna talasa
Neka tackasti izvori S1 i S2 zrace monohromatske talase istih ucestanosti !, Fig. 84.
Pretpostavicemo takodje da u trenutku vremena t = 0 talasi u izvorima osciluju u fazi. U
nekom trenutku t i tacki M na rastojanju s1 od izvora S1 i na rastojanju s2 od izvora S2,
svetlosni talasi imaju sledeci oblik:
ˇE1 = A1(r) exp[−i(!t− k1s1)]e1 (11.20a)
ˇE2 = A2(r) exp[−i(!t− k2s2)]e2, (11.20b)
Za faznu razliku ± ovih talasa imamo ± = k2s2− k1s1. Ako se talasi prostiru kroz homogenu
opticku sredinu indeksa prelamanja n, kao na Fig. 84, talasni brojevi k1 = !/v = !n/c,
i k2 = !n/c bice medjusobno jednaki k1 = k2 = k. Uvodeci putnu razliku Δ = s2 − s1,
nalazimo
± = kΔ,Δ = s2 − s1. (11.20c)
Ukoliko talasi stizu u tacku M posle visestrukih refleksija, kao na Fig. 85, onda formula
(11.20c) mora da se modifikuje. Naime, pri svakoj refleksiji od opticki gusce sredine (u
odnosu na sredinu kroz koju se prostire talas), menja se faza talasa za ¼ (vidi jednacinu
(9.18b) i Fig. 71), sto doprinosi ukupnoj faznoj razlici ±'. U tom slucaju, fazna razlika ± je
data sa
± = kΔ+ ±', Δ = s2 − s1 (11.20d)
pri cemu su s1 i s2 ukupni putevi zraka 1 i 2 od S1 do M i od S2 do M .
Ukoliko se zraci kroz opticki sistem prostiru bez prelamanja, mozemo smatrati da su
zadovoljeni uslovi za vazenje relacije (6.32). U tom slucaju vazi jednacina (6.33b), tako da
143
FIG. 85: Interferencija dva sferna talasa posle visestrukih refleksija
FIG. 86: Interferencija dva ravanska talasa
se jacina svetlosti I ne menja duz zraka. U ovakvim slucajevima I1 i I2 u jednacini (11.19)
mogu da se poistovete sa jacinama svetlosti koje izrace izvori 1, odnosno 2 (u datom pravcu)
ili sa jacinama svetlosti duz zraka 1 tj. 2.
Primer 2
Posmatrajmo sada slucaj interferencije dva ravanska talasa koji se prostiru u pravcima
odredjenim talasnim vektorima k1 i k2 kao na Fig. 86. U ovom slucaju pojam putne razlike
se ne poklapa sa razlikom puteva zraka.
Neka su oba talasa monohromatska istih ucestanosti !. Pretpostavimo takodje da pos-
matrani talasi imaju iste faze u koordinatnom pocetku O. U nekom trenutku t i tacki M
144
vektora polozaja r, svetlosni talasi imaju sledeci oblik:
ˇE1 = A1(r) exp[−i(!t− k1 ⋅ r)]ey (11.21a)
ˇE2 = A2(r) exp[−i(!t− k2 ⋅ r)]ey, (11.21b)
tj. uzmimo da je '01 = '02 = 0. Fazna razlika ±, definisana jednacinom (11.13b), sada ima
sledecu vrednost:
± = k2 ⋅ r − k1 ⋅ r. (11.21c)
Neka pravci vektora k1 i k2 zaklapaju uglove '1 i '2 sa x-osom. Oznacimo sada sa s1
rastojanje od tacke O (u kojoj su talasi po pretpostavci u fazi) do talasnog fronta Σ1 prvog
talasa kroz tacku M , a sa s2 rastojanje od tacke O do talasnog fronta Σ2 drugog talasa kroz
tacku M , Fig. 86. Sa slike se vidi da je s2 = r cos('2+®), dok je s1 = r cos('1−®), gde je ®
ugao koji vektor r zaklapa sa x osom. Kako je ± = k2⋅r−k1⋅r = k2 cos('2+®)−k1 cos('1−®),
za faznu razliku ± posmatrana dva ravanska talasa imamo ± = k2s2 − k1s1. U specijalnom
slucaju k = k1 = k2 = c!/n, ponovo dobijamo formulu (11.20d):
± = kΔ, Δ = s2 − s1. (11.22)
Interferencija dva monohromatska talasa istih ucestanosti predstavlja samo najjednos-
tavniji teorijski model procesa interferencije. Svaki slozeniji model mora da uzme u obzir da
svetlosni talasi iz realnih izvora nisu strogo monohromatski, kao i to da se karakter izracenih
talasa menja tokom vremena. Prvu cinjenicu mozemo ukljuciti u model posmatrajuci talase
kao kvazi-monohromatske ili kao talasne pakete. Druga cinjenica se modeluje svetlosnim
talasima cija se ucestanost menja u segmentima, tzv. talasni segmenti. Ucestanost ovakvih
talasa ima vrednost !1 u intervalu Δt1, pa !2 u intervalu Δt2, itd. Zbog svega ovoga vreme
koherencije talasa iz realnih izvora je uvek konacno. Dodatnu otezavajucu okolnost pri
razmatranju realnih izvora je njihova prostornost. Tackasti izvori predstavljaju samo prvu
aproksimaciju jednog prostornog izvora.
11.3. ”Interferencija” dva monohromatska talasa razlicitih ucestanosti
Pokazimo sada da ne moze doci do interferencije talasa nejednakih ucestanosti.
145
Neka se dva monohromatska talasa ucestanosti !1 i !2 prostiru duz x-ose i neka su oba
linearno polarizovana duz y-ose. Za kompleksne svetlosne vektore tada imamo
ˇE1 = A1(x) exp[−i(!1t− k1x+ '01)]ey (11.23a)
ˇE2 = A2(x) exp[−i(!2t− k2x+ '02)]ey; (11.23b)
odgovarajuci svetlosni vektori E1 = ReˇE1 i E2 = Re
ˇE2 su
E1 = A1(x) cos(!1t− k1x+ '01)ey (11.24a)
E2 = A2(x) cos(!2t− k2x+ '02)ey. (11.24b)
Rezultujuci talas svetlosnog vektora E = E1 + E2, nastao superpozicijom dva monohro-
matska talasa razlicitih ucestanosti, nije monohromatski. Jacina svetlosti u datoj tacki
rezultujuceg polja data je opstim izrazom (11.4a): I = I1 + I2 + I12, gde su jacine svetlosti
Ii = const ⋅n⋅ < E2i > , i = 1, 2 (od monohromatskih komponenti) date jednacinom (11.12):
Ii = const ⋅ n ⋅ 12A2
i , (11.25a)
dok je interferencioni clan dat jednacinom (11.4b):
I12 = const ⋅ 2n < E1 ⋅ E2 > . (11.25b)
Ako predpostavimo da su amplitude A1 i A2 sporo promenjive funkcije koordinata, nalazimo
I12 = const ⋅ 2n ⋅ A1A2 < cos(!1t− '1) cos(!2t− '2) >, (11.26a)
gde smo uveli faze 'i = kix−'0i, i = 1, 2. Kako je cos µ1 cos µ2 =12[cos(µ1−µ2)+cos(µ1+µ2)],
uvodeci oznake ±− = ± = '2 − '1 i ±+ = '2 + '1, kao i oznake Δ!− = !2 − !1 = Δ! i
Δ!+ = !2 + !1, za interferencioni clan nalazimo
I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2[< cos(Δ!−t− ±−) > + < cos(Δ!+t− ±+) >]. (11.26b)
Srednje vrednosti u interferencionom faktoru se odnose na trenutak t i racunaju se u
vremenskom intervalu jednakom vremenu merenja Δ¿ ; na osnovu jednacine (11.5) imamo
< cos(Δ!t− ±) >=1
Δ¿
∫ t+Δ¿2
t−Δ¿2
cos(Δ!t− ±)dt
146
=1
Δ¿Δ!
[sin
(Δ!
(t+
Δ¿
2
)− ±
)− sin
(Δ!
(t− Δ¿
2
)− ±
)]
=1
Δ¿Δ!
[sin
(Δ!t− ± +
Δ!Δ¿
2
)− sin
(Δ!t− ± − Δ!Δ¿
2
)]. (11.27a)
Uvodeci oznake ® = Δ!t− ± i ¯ = Δ!Δ¿/2, imamo
< cos(Δ!t− ±) >=1
Δ¿Δ![sin(®+ ¯)− sin(®− ¯)]
=1
Δ¿Δ![sin® cos ¯ + cos® sin ¯ − sin® cos ¯ + cos® sin ¯] =
2
Δ¿Δ!cos® sin ¯
=2
Δ¿Δ!cos(Δ!t− ±) sin
(Δ!Δ¿
2
). (11.27b)
Zamenom ovog izraza u (11.26b), nalazimo
I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2
⎡⎣sin
(Δ!−Δ¿
2
)
Δ!−Δ¿2
cos (Δ!−t− ±−) +sin
(Δ!+Δ¿
2
)
Δ!+Δ¿2
cos (Δ!+t− ±+)
⎤⎦ .
(11.28a)
Da bismo procenili red velicine interferencionog faktora (11.28a), posmatrajmo tacku
talasne ravni x = 0 u trenutku t = 0, i pretpostavimo da su pocetne faze '01 = '02 = 0.
Tada su ±+ = ±− = 0, pa je
I12 ∼sin
(Δ!−Δ¿
2
)
Δ!−Δ¿2
+sin
(Δ!+Δ¿
2
)
Δ!+Δ¿2
. (11.28b)
Uobicajno vreme merenja je Δ¿ ∼ 10−9s, a Δ!+/2 ∼ ! ∼ 1015s−1 (vidi odeljak 3.4). Za
ove vrednosti drugi clan u izrazu (11.28b) je
∣∣∣∣∣∣sin
(Δ!+Δ¿
2
)
Δ!+Δ¿2
∣∣∣∣∣∣∼
∣∣∣∣sin (!Δ¿)
!Δ¿
∣∣∣∣ ≤1
!Δ¿∼ 10−6 ≪ 1. (11.29a)
Pri analizi reda velicine prvog clana u (11.28b) uzimamo da Δ!− = !2 − !1 odgovara
intervalu ucestanosti vidljivog spektra: Δ!− ∼ 1015s−1. U tom slucaju imamo
∣∣∣∣∣∣sin
(Δ!−Δ¿
2
)
Δ!−Δ¿2
∣∣∣∣∣∣≲ 2
Δ!−Δ¿= 2 ⋅ 10−6 ≪ 1. (11.29b)
Dakle pri !1 ∕= !2 interferencioni clana je zanemarljiv
I12 ≪ I1 ∼ I2, !1 ∕= !2. (11.30)
147
Izraz (11.28a) omogucava da se razmotri i slucaj !1 = !2. U tom slucaju procena reda
velicine data sa (11.29a) ostaje u vaznosti, a umesto izraza (11.29b) imamo:
sin(
Δ!−Δ¿2
)
Δ!−Δ¿2
→ 1, Δ!− → 0,Δ¿ < ∞, (11.31a)
tako da u tom slucaju, na osnovu jednacine (11.28a), za interferencioni clan imamo
I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2 cos ± = 2√
I1I2 cos ±, !1 = !2, (11.31b)
gde su Ii jacine svetlosti date jednacinom (11.25a). Jednacina (11.31b) se poklapa sa pred-
hodno dobijenim izrazom (11.14) za interferencioni clan pri interferenciji dva monohromat-
dka talasa istih ucestanosti.
Pri slaganju talasa dovoljno bliskih ucestanosti !1 i !2, interferencioni clan je dat izrazom
(11.28a) u kome je drugi sabirak zanemarljiv prema prvom. Kako je pod ovim uslovima
Δ!−t ≈ 0, bice
I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2
sin(Δ!Δ¿
2
)Δ!Δ¿
2
cos ±, (11.32a)
tj.
I12 =sin
(Δ!Δ¿
2
)Δ!Δ¿
2
⋅ 2√
I1I2 cos ±, !1 ≈ !2. (11.32b)
Dakle, pri !1 ≈ !2, vidljivost interferencije zavisi od vrednosti funkcije
V (Δ!,Δ¿) =sin
(Δ!Δ¿
2
)Δ!Δ¿
2
, (11.33a)
koju mozemo nazvati faktor vidljivosti; interferencioni clan ima sledeci oblik:
I12 = V (Δ!,Δ¿) ⋅ 2√
I1I2 cos ±, !1 ≈ !2. (11.33b)
Poslednji izraz se od izraza (11.14) razlikuje za faktor vidljivosti V .
11.4. Interferencija talasa nastalih deobom amplituda talasa (plan-paralelna plocica)
U slucaju slaganja dva monohromatska talasa istih ucestanosti dobija se izrazit interfer-
encioni efekat. Vreme koherencije ovakvih talasa je beskonacno pa je interferenciona slika
stabilna. Ovakvi talasi mogu da se dobiju razdvajanjem (deobom) jednog monohromatskog
talasa na dva dela. Na ovaj nacin se dobijaju dva talasa koji su u pogledu svoje vremenske
148
zavisnosti tacne kopije originalnog talasa. Primetimo, medjutim, da u realnim uslovima
ovakvi talasi mogu da se odrzavaju samo odredjeno vreme, tj. karakterisu se konacnim
vremenom koherencije.
Postoje principijalno dva nacina deobe talasa: deoba amplitude talasa i deoba talasnog
fronta. Za postizanje deobe talasa koriste se opticki sistemi (ogledala, sociva,...). Zbog
toga se namece potreba da se u objasnjenje jednog cisto talasnog fenomena (kao sto je
interferencija) uvedu i neki elementi geometrijske slike svetlosti - svetlosni zraci. Treba
imati u vidu, medjutim, da se u svakoj tacki prostora formira jedinstveno vremenski zavisno
elektromagnetno polje (E(r, t), B(r, t)), a da zraci prikazuju samo pravac i smer transporta
energije ovog polja.
U ovom odeljku cemo razmatrati amplitudnu deobu talasa. Najjednostavniji opticki
sistem pomocu koga se moze izvrsiti amplitudna deoba talasa je plan-paralelna plocica A1A2
od dielektrika (Fig. 87). Kao izvor svetlosti koristi se zapreminski izvor monohromatske
svetlosti. Detekcija svetlosti se vrsi pomocu teleskopa sa socivom. Radi refleksije zraka u
sistem se postavlja i jedno ogledalo.
Kako je u sistemu prisutno tanko socivo, u tacki M zizne ravni ovog sociva gde se ”de-
tektuje” jacina svetlosti, sabirace se svi zraci koji su paralelni sa pravcem OM kroz centar
sociva (vidi Fig. 63, odeljak 8). Oznacimo ugao izmedju ovog pravca i x-ose sa µ, kao na
Fig. 87. y-koordinata tacke M koja lezi u zadnjoj ziznoj ravni sociva je tada, za male uglove
µ,
y = f ′ cos µ ≈ f ′µ. (11.38)
Sa Fig. 87 se vidi da ce upravu zrak koji pod uglom µ pada na povrsinu A1 plan-paralelne
plocice dati zrake koji se posle amplitudne deobe sabiraju u tacki M . Ovakav zrak polazi iz
tacke S1 izvora, i posle refleksije od ogledala pada na plan-paralelnu plocicu od dielektrika.
Ponasanje svetlosti (elektromagnetnog talasa) na granici dva dielektrika vec je razmatrano
u odeljku 9.2 za normalni upad svetlosti; analogni rezultati vaze i za kos upad ako je upadni
ugao mali.
Ponasanje uocenog zraka koji pod uglom µ pada na plan-paralelnu plocicu prikazano je
na Fig. 88. Posmatrani zrak se u tacki O1 reflektuje (zrak I) pod uglom µ i prelama pod
uglom µ′′ (zrak I ′′). Ugao µ′′ je odredjen relacijom (9.12b):
sin µ
sin µ′′=
n2
n1
. (11.39)
149
FIG. 87: Amplitudna deoba talasa pomocu plan-paralelne plocice
U tacki O2 zrak I ′′ se reflektuje (zrak II ′′) i prelama. Konacno, u tacki O3, zrak II ′′ se
reflektuje i prelama (zrak II). Oznacimo sada amplitudu upadnog talasa sa A0 (velicina Em
i jednacina (9.18a)). U tacki O1 dolazi do ”amplitudne deobe”; amplituda AI talasa koji se
prostire duz zraka I (reflektovan talas), i amplituda AI′′ talasa koji se prostire duz zraka I ′′
(prelomljeni talas) date su jednacinama (9.18b,c):
AI =
∣∣∣∣n1 − n2
n1 + n2
∣∣∣∣A0, AI′′ =2n1
n1 + n2
A0. (11.40a)
150
FIG. 88: Amplitudna deoba na plan-paralelnoj plocici
U tacki O2 zrak I ′′ (sa amplitudom AI′′) predstavlja upadni zrak, dok je zrak II ′′ reflektovan
zrak duz koga se sada prostire talas amplitude AII′′ koja je jednaka
AII′′ =
∣∣∣∣n2 − n1
n2 + n1
∣∣∣∣AI′′ . (11.40b)
Konacno, zrak II ′′ je upadni zrak u tackiO3 (sa amplitudom AII′′), dok je zrak II prelomljeni
zrak duz koga se prostire talas sa amplitudom
AII =2n2
n1 + n2
AII′′ . (11.40c)
Dakle, na izlasku iz plocice imamo dva paralelna zraka I i II duz kojih su amplitude
talasa date sa
AI =
∣∣∣∣n1 − n2
n1 + n2
∣∣∣∣A0 ≡ ½A0 (11.41)
i
AII =2n2
n1 + n2
∣∣∣∣n1 − n2
n1 + n2
∣∣∣∣2n1
n1 + n2
A0 =4n1n2
(n1 + n2)2½A0. (11.42a)
Kako je 1− ½2 = 1− (n1−n2
n1+n2)2 = (n1+n2)2−(n1−n2)2
(n1+n2)2= 4n1n2
(n1+n2)2, vidimo da je
AII = (1− ½2)½A0. (11.42b)
151
U slucajevima da je plan-paralelna plocica od stakla smestena u vazduhu imali bi ½ = 0.2,
a 1− ½2 = 0.96 ≈ 1, tako da za amplitudu AII imamo
AII ≈ ½A0 = AI . (11.42c)
Primetimo da je velicina ½2 jednaka koeficijentu refleksije ½I koji jedefinisan jednacinom
(9.19b).
Na osnovu jednacina (11.41) i (11.42c) vidimo da se na izlasku iz plocice javljaju dva
paralelna zraka I i II koji pod uglom µ napustaju plocicu (zraci I i II na Fig. 87). Svetlosni
talasi se duz ovih zraka priblizno au jednaki (istih ucestanosti i priblizno istih amplituda).
Uoceni zraci se sabiraju u tacki M zaklona, ucestvujuci u stvaranju interferencione slike.
Jacina svetlosti koja potice od tacke S1 izvora u tacki M zaklona bice data jednacinom
(11.13a):
I = I1 + I2 + 2√
I1I2 cos ±, (11.43a)
gde je ± fazna razlika talasa I i II, dok je
Ii = ½2I0, I0 = const ⋅ n ⋅ 12A2
0, i = 1, 2. (11.43b)
Zamenom (11.43b) u (11.43a) nalazimo
I = 4½2I0 cos2 ±
2. (11.43c)
Kako se zrak I dva puta reflektuje od opticki gusce sredine a zrak II jedanput, imamo
± = kΔ+ ¼, (11.43d)
pri cemu putnu razliku Δ treba racunati samo do svetlosnog fronta (talasne ravni) Σ. Naime,
od ove ravni do tacke M svi zraci su tautohtoni (tako da imaju iste opticke puteve) pa
ne doprinose faznoj razlici ± (vidi primer 2, odeljka 11.2). Pri pisanju jednacine (11.44a)
pretpostavili smo da je promena talasnog broja pri putu zraka kroz plocicu zanemarljiva.
Da bismo nasli putnu razliku Δ zraka I i II pretpostavimo da je µ′′ ≈ µ, tj. zanemarimo
skretanje zraka u tackama O1 i O2, kao na Fig. 89. U tom slucaju putna razlika
Δ = (S0O2 +O2B2)− (S0O1 +O1B1) (11.44a)
moze lako da se nadje ako se uvedu ”likovi” S ′1 i S
′2 tacke S0 (simbolicki prikazane kao izvor
svetlosti na Fig. 89) u odnosu na ravni A1 i A2, tj. postavljajuci tacke S ′1 i S ′
2 tako da je
152
FIG. 89: Odredjivanje putne razlike metodom likova
S0A1 = A1S ′1 i S0A2 = A2S ′
2. Sa Fig. 89 se vidi da je S0O2 = S ′2O2 i S0O1 = S ′
1O1, tako da
je
Δ = (S ′2O2 +O2B2)− (S ′
1O1 +O1B1) = S ′2B2 − S ′
1B1. (11.44b)
Ocigledno,
Δ = S ′1S
′2 cos µ, (11.44c)
pri cemu je S ′1S
′2 = S0S ′
2 − S0S ′1 = 2(S0A2 − S0A1) = 2d, tako da je
Δ = 2d cos µ. (11.45)
Pored posmatrana dva zraka koji se sabiraju u tacki M , a potice od tacke S1 izvora, u
ovoj tacki ce se sabirati i zraci koji iz razlicitih tacaka izvora krecu paralelno uocenom zraku
iz tacke S1 (Fig. 87). Svaki od ovih zraka ce se amplitudno podeliti u plan-paralelnoj plocici
na dva ”parcijalna” zraka. Kako svaki od zraka iz uocenog snopa paralelnih zraka pada pod
istim uglom µ na plocicu, fazne razlike svetlosti odgovarajucih parcijalnih talasa bice ponovo
date sa jednacinama (11.43c) i (11.45):
± = 2kd cos µ + ¼. (11.46)
Parcijalni talasi I i II nastali amplitudnom deobom pojedinog zraka iz snopa medjusobno
interferiraju, tako da je jacina sv etlosti u tacki M data jednacinom (11.43c). Ako uzmemo
153
FIG. 90: Zavisnost I od µ
u obzir da je izvor svetlosti kontinualan, za jacina svetlosti dI u tacki M , od elementa dV
izvora oko tacke S1, imamo:
dI = 4½2dI0 cos2 ±
2, (11.47)
gde je sa dI0 oznacena jacina svetlosti od elementa dV u posmatranom pravcu (u kome se
prostire snop paralelnih zraka koji se sabira u tacki M). ”Parcijalni talasi” razlicitih zraka
su medjusobno nekoherentni , tj. ne interferiraju. Zbog toga za ukupnu jacinu svetlosti u
tacki M imamo zbir (inhtegral) jacine svetlosti dI:
I =
∫dI. (11.48a)
Kako su sve fazne razlike u izrazu za dI jednake, za ukupnu jacinu svetlosti u tackiM imamo
I = 4½2I0 cos2(kd cos µ +
¼
2
), (11.48b)
gde je I0 =∫dI0 ”ukupna” jacina svetlosti (celog izvora) izracena u uocenom pravcu.
Na osnovu jednacine (11.48b) vidimo da je jacina svetlosti u zadnjoj ziznoj ravni F ′,
funkcija ugla µ, kao sto je prikazano na Fig. 90. Kako zraci iz izvora padaju na plocicu pod
svim mogucim uglovima µ, pri cemu je na osnovu jednacine (11.38) y = f ′ ⋅ µ, uocavamo
154
FIG. 91: Interferenciona slika nastala amplitudnom deobom
da se na zaklonu javlja interferenciona slika, koja zbog rotacione simetrije sistema imam
oblik koncentricnih svetlih i tamnih prstenova. Da bi se opisala ova slika uvodi se tzv. red
interferencije m, jednacinom
±m = 2¼m. (11.49a)
Po svojoj definiciji m predstavlja celobrojni umnozak velicine 2¼ sadrzane u fazi ±. Kako je
± dato izrazom (11.46), imamo
m =kd
¼cos µm +
1
2= 1, 2, ... (11.49b)
Red interferencije se moze izraziti i preko talasne duzine ¸ = 2¼/k:
m =2d
¸cos µm +
1
2. (11.49c)
Po definiciji (11.49a) za µ = µm vazi ±m = 2¼m, tako da je cos2(±m/2) = 1, tj. za µ = µm
jacina svetlosti ima maksimume. Na osnovu nejednakosti cos µm ≤ 1, vidimo da postoji
maksimalan red interferencije
mmax =
[2d
¸+
1
2
]. (11.50)
155
Broj mmax odredjuje ukupan broj interferencionih prstenova na zaklonu. Kako mmax odgo-
vara vrednosti cos µm ≈ 1, tj. µ ≈ 0, vidimo da maksimalni red interferencije odgovara
centralnoj tacki na zaklonu (vidi Fig. 91).
Preko velicine mmax ≈ 2d¸+ 1
2, red interferencije se moze izraziti u obliku
m =
(mmax − 1
2
)cos µm +
1
2. (11.51a)
Za male uglove µ, bice cos µ =√
1− sin2 µ ≈ √1− µ2 ≈ 1− µ2/2, tako da je, za mmax ≫ 1
i µm ≪ 1,
m =
(mmax − 1
2
)(1− 1
2µ2m
)+
1
2≈ mmax
(1− 1
2µ2m
). (11.51b)
Poluprecnik ym m-tog prstena je dat jednacinom (11.38):
ymf ′ = µm. (11.52a)
Zamenom µm iz jednacine (11.51b) u jednacinu (11.52a) nalazimo
ym = f ′√
2mmax −m
mmax
. (11.52b)
Na osnovu jednacine (11.50) vidimo da sa porastom debljine plocice d raste mmax, tako
da prstnovi postaju sve blizi jedan drugom, pri cemu se na rubovima interferencione slike oni
slivaju u jedan i ne mogu se jasno raspoznavati. Sama interferenciona slika je lokalizovana
u prostoru. Linearne dimenzije ove oblasti su odredjene velicinom
y0 = f ′√2. (11.52c)
11.5. Amplitudna deoba-Majkelsonov interferometar
Amplitudna deoba svetlosnog talasa se moze postici i pomocu Majkelsonovog interfer-
ometra. Ovaj opticki instrument moze biti podesen za razlicite vrste merenja, na primer za
merenje talasne duzine svetlosti, za razna spektroskopska merenja i slicno. U ovom odeljku
mi cemo prvo opisati kako se pomocu ovog uredjaja moze izmeriti talasna duzina, a zatim
cemo objasniti kako isti uredjaj sluzi za dobijanje interferencione slike.
Shema uredjaja je data na Fig. 92. Kao izvor svetlosti koristi se zapreminski izvor
monohromatske svetlosti. Amplitudna deoba se vrsi pomocu jednostrano posrebrenog
ogledala nagnutog pod uglom od 45∘ prema optickoj osi sistema (x-osa). Ovakvo ogledalo
156
FIG. 92: Majkelsonov interferometar
predstavlja polupropustljivo ogledalo. Zraci nastali amplitudnom deobom reflektuju se od
ogledala A1 i A2 i ponovo rekombinuju na polupropustljivom ogledalu. Deo uredjaja je i
kompenzaciona plocica koja se postavlja da bi svaki zrak prolazio jednak put kroz staklo od
koga je napravljeno polupropustljivo ogledalo. Kao detektor svetlosti se koristi durbin sa
socivom. Ukoliko se interferenciona slika detektuje okom treba uociti da i oko sadrzi socivo.
Razmotrimo prvo nacin formiranja zraka koji u detektor stizu u tacku M na optickoj
osi, tj. pod uglom µ = 0 (Fig. 92). U tacki M se sazimaju zraci koji nastaju amplitudnom
deobom zraka S0O kao i oni koji poticu od snopa svetlosnih zraka paralelnih zraku S0O.
Kako kompenzaciona plocica ponistava faznu razliku zraka nastalu usled prelaska kroz staklo,
na Fig. 93 polupropustljivo ogledalo je prikazano bez dimenzija.
Zrak 1 koji polazi iz izvora S0 pada na polupropustljivo ogledalo. Zrak se u tacki O
delimicno reflektuje i delimicno prolazi kroz ogledalo. Zrak 1′ koji se reflektuje ide ka ogledalu
A1, a propusten zrak 2′ ide ka ogledalu A2. Posle odbijanja od ogledala A1 (zrak 1′′) i
157
FIG. 93: Amplitudna deoba zraka kod Majkelsonovog interferometra
ogledala A2 (zrak 2′′), zraci ponovo padaju na polupropustljivo ogledalo u tacki O. Zrak 1′′
se delimicno odbija (zrak 1′′′) a delimicno prolazi kroz polupropustljivo ogledalo (zrak I),
dok se zrak 2′′ delimicno reflektuje (zrak II) i delimicno prolazi (zrak 2′′′). Talasi koji se
krecu duz zraka I i II (koji su u pravcu ose x ose) medjusobno interferiraju i po prolasku
kroz socivo sabiraju se u tacki M . Interferencija je posledica koherentnosti talasa koji se
prostiru duz zraka I i II; naime ovi talasi su monohromatski talasi istih ucestanosti.
Amplitude talasa I i II nalazimo razmatrajuci deobe amplituda na svim granicama
izmedju dve opticke sredine. Strogo govoreci, sada bi trebalo ponoviti analizu iz prethodnog
odeljka. Medjutim, radi jednostavnosti, pretpostavicemo da se pri deobi talasa energija
talasa deli na dva jednaka dela. Oznacimo sada sa A0 amplitudu talasa duz upadnog zraka
1. Energija koja duz zraka 1 padne na jedinicu povrsine u jedinici vremena proporcionalna je
sa A20. Ona se deli na reflektovanu energiju (A2
0/2) koja se prostire duz zraka 1′ i propustenu
energiju (A20/2) koja se prostire duz zraka 2′. Prema tome amplitude talasa duz zraka 1′ i
158
2′ bice A0/√2. Posle refleksije na ogledalima A1 i A2 gde se ne menja energija, zraci 1′′ i 2′′
(sa amplitudama A0/√2) ponovo dolaze u tacku O. Kako se energija svakog od njih deli na
dva jednaka dela, zakljucujemo da ce amplitude talasa AI i AII biti
AII ≈ AI ≈ 1
2A0. (11.53)
Dakle, talasi I i II sada interferiraju po zakonu (11.43c) gde je ½ = 1/2. Jacina svetlosti
u tacki M od elemenata dV izvora data je formulom (11.47):
dI = dI0 cos2 ±
2, (11.54)
gde je dI0 jacina svetlosti od elementa dV u pravcu S0O. Velicina ± u jednacini (11.54)
predstavlja faznu talasa I i II u tacki M . Ako se uzme u obzir da oba talasa dozivljavaju
isti broj refleksija, ukupna fazna razlika zbog refleksije ce biti jednaka nuli, tako da je
± = kΔ =2¼
¸, (11.55a)
gde je Δ putna razlika zraka I i II. Kod Majkelsonovog interferometra putna razlika je
jednaka:
Δ = s2 − s1, (11.55b)
gde su si ukupni putevi koje predju zraci I i II od S0 do B. Sa Fig. 93 vidimo da su ovi
putevi dati sa: s1 = y1 + 2l1 + x, s2 = y1 + 2l2 + x, tako da je
Δ = 2d, d = l2 − l1. (11.55c)
Ukupna jacina svetlosti od snopa svetlosnih zraka paralelnih y osi (koji medjusobno ne
interferiraju) sada se nalazi integracijom jednacine (11.54):
I =
∫dI, (11.56a)
tj.
I = I0 cos2 ±
2, ± =
4¼
¸d, (11.56b)
gde je I0 ukupna jacina svetlosti koju zraci izvor u pravcu y-ose. Vidimo da se variranjem
vrednosti l1 i l2 moze postici razlicita jacina svetlosti u detektoru. Pri ±m = 2¼m, kada je
2¼¸dm = m¼ gde je m = 0, 1, 2, ... imali bi I = I0. U posmatranom slucaju celokupna energija
izracena iz izvora (u posmatranom pravcu y ose, u jedinici vremena) stize u detektor. Na
159
FIG. 94: Metod likova i Majkelsonov interferometar
osnovu formule (11.56b) vidimo da iz poznavanja rastojanja dm pri kome jacina svetlosti
ima maksimum, moze da se odredi talasna duzina ¸. Za m = 1, imamo
¸ = 2d1. (11.57)
Kako se velicina d moze da menja pomeranjem ogledala A1 i A2 Majkelsonov uredjaj moze
da sluzi za merenje jacine svetlosti.
Pri fiksiranom polozaju ogledala, interferencionu sliku mozemo detektovati u zadnjoj
ziznoj ravni. Sada ce se u posmatranoj tacki M (pod uglom µ) u odnosu na x-osu, sabirati
zraci koji su paralelni pravcu koji formira centar sociva i tacka M . Da bismo pojednostavili
analizu interferencione slike, pokazimo prvo da se slucaj µ = 0 moze lako opisati metodom
likova. Potrebno je uvesti lik S ′0 izvora S0 i lik A′
2 ogledala A2 (Fig. 94(a)). U ovom slucaju
svi opticki sistemi A1, A′2, S
′0, sociva su na istoj osi (x-osa). Zrak I sada kao da ide od S ′
0
odbija se od A1 i vraca duz x-ose, dok zrak II polazi iz izvora S ′0 reflektuje se od A′
2 i vraca
duz x-ose. Fazna razlika ovako formiranih zraka je ± = kΔ, gde je Δ = 2d = 2(l2 − l1), tako
da sa stanovista detekcije svetlosti u tacki M nema razlike izmedju sistema sa Fig. 93 i Fig.
94(a).
Ako se usvoji ista ekvivalentnost i pri uglu µ ∕= 0 imali bi kos upad na sistem A1A′2, kao
160
na Fig. 94(b), pod uglom µ. Ovim smo Majkelsonov interferometar sveli na slucaj plan-
paralelnih plocica prikazan na Fig.89. Jedina razlika u odnosu na plan-paralelnu plocicu je
sto su A1 i A′2 sada ogledala. Zrak I ide od izvora S ′
0, reflektuje se od ogledala A1 i vraca se
u M , dok se zrak II formira kada zrak formalno prodje kroz A1, reflektuje se o A2 i vraca
u M (Fig. 94(b)). Po analogiji sa jednacinom (11.45), fazna razlika posmatranih zraka je
sada jednaka:
± = kΔ =2¼
¸Δ, Δ = 2d cos µ, d = l2 − l1. (11.57)
Jacina svetlosti u tacki M sada zavisi od jacine svetlosti izvora izracene u pravcu ra-
zlicitom od y-ose. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da izvor zraci izotropno, tj. da je
ukupna jacina svetlosti I0 ista u svim pravcima. U tacki M , tada imamo
I = I0 cos2 ±
2, ± =
4¼
¸d cos µ = 2kd cos µ (11.58a)
(dobili smo izraz (11.48b) u kome je ½ = 1/2 i bez fazne razlike ¼/2). Dalja analiza inter-
ferencione slike bila bi analogna onoj u predhodnom odeljku. Po analogiji sa (11.49c), red
interferencije sada bi bio dat jednacinom
m =2d
¸cos µm = 0, 1, 2, ... (11.58b)
gde vrednosti µm odgovaraju maksimumima jacine svetlosti. Interferenciona slika je analogna
onoj prikazanoj na Fig. 91. Broj interferencionih prestenova odredjen je sa maksimalnim
redom interferencije, koji je sada jednak
mmax = [2d
¸]. (11.58c)
Poluprecnik m-tog prstena je dat jednacinom (11.52b):
ym = f ′√
2mmax −m
mmax
. (11.59)
Dakle, pri malom rasipanju svetlosnog snopa, i paralelnim ravnima A1 i lika ravni A2,
dobijaju se ravnomerno rasporedjeni koncentricni svetli i tamni prstenovi kojih ukupno ima
mmax i ciji su poluprecnici dati jednacinom (11.59).
Pomocu opisanog interferometra Majkelson je ostvario nekoliko istorijskih eksperimenata.
Najpoznatiji od njih ostvaren je u saradnji sa Morlijem 1887. godine sa ciljem da se utvrdi
kretanje Zemlje u odnosu na etar. Primetimo da Majkelsonov interferometar moze da se
iskoristi na vise nacina. U jednoj od varijanti on predstavlja osnovni uredjaj tzv. interfer-
encione spektrometrije.
161
11.6. Interferencija talasa nastalih deobom talasnog fronta
Deoba talasnog fronta talasa iz jednog izvora svetlosti predstavlja drugi nacin da se ostvari
koherencija talasa koji interferiraju. Najjednostavniji nacin da se ostvari deoba talasnog
fronta predlozio je Jung (1801. godine).
Shematski prikaz Jungovog eksperimenta dat je na Fig. 95. Zraci koji polaze od izvora
svetlosti S nailaze na nepropustljivu pregradu na kojoj se nalaze dva mala otvora koji su
simetricno postavljeni, kao na Fig. 95. Tackasti izvor svetlosti S se nalazi na x-osi koja
je ortogonalna na pregradu. U saglasnosti sa Hajgensovim principom (odeljak 6.5), svaka
tacka talasnog fronta svetlosnog talasa Σ iz izvora S postaje izvor sekundarnog talasa. Zbog
postojanja pregrade ostaju aktivne samo otvori S1 i S2, tako da se oni javljaju kao izvori
sekundarnih talasa. Izvor S kao i otvori S1 i S2 predstavljaju izvore sfernih talasa. Kako
izvore S1 i S2 pobudjuje isti prvobitni talasa, sekundarni talasi iz ovih izvora bice uzajamno
koherentni. Primetimo da je za malo rastojanje d izmedju otvora sistem priblizno rotaciono
simetrican u odnosu na x-osu (vidi Fig. 95).
Sekundarni (sferni) talasi interferiraju, tako da se na zaklonu (yOz-ravan) koji je postavl-
jen na rastojanju l od pregrade, javlja interferenciona slika. Oznacimo sa y, y-koordinatu
proizvoljne tacke M na zaklonu. Izvori S1 i S2 su izvori monohromatskih talasa istih
ucestanosti !. Ovi talasi su istih amplituda, koje se mogu smatrati konstantnim duz zraka
1 i 2 (od tacaka S1 i S2 do M). Zbog toga su jacine svetlosti I1 i I2 od izvora S1 i S2
medjusobno jednake, I1 = I2 = I0, tako da je jacina svetlosti u tacki M data sa jednacinom
(11.16):
I = 4I0 cos2 ±
2. (11.60a)
Kako talasi u izvorima S1 i S2 osciluju u fazi, fazna razlika ± bice odredjena jednacinom
(11.20c):
± = k(s2 − s1), (11.60b)
gde su s1 i s2 udaljenosti tacke M od izvora S1 i S2.
U realnim eksperimentalnim uslovima rastojanje izmedju otvora d je znatno manje od
udaljenosti l izmedju pregrade i zaklona. Takodje, u oblasti u kojoj se realno ostvaruje
interferencija i udaljenost tacke M od x-ose, bice znatno manja od l:
d ≪ l, y ≪ l. (11.61)
162
FIG. 95: Shematski prikaz Jungovog eksperimenta
Pod uslovima (11.61) izraz za faznu razliku se znatno pojednostavljuje. Naime, sa Fig. 95
imamo
s21 = l2 +
(y − d
2
)2
, s22 = l2 +
(y +
d
2
)2
, (11.62a)
tako da je
s22 − s21 = (s2 + s1)(s2 − s1) =
(y +
d
2
)2
−(y − d
2
)2
= 2yd. (11.62b)
Kako je, pod uslovima (11.61), s1 ≈ s2 ≈ l, iz jednacine (11.62b) nalazimo
s2 − s1 ≈ yd
l. (11.62c)
Zamenom ove vrednosti u izraz (11.60b), i uocivsi da je k = 2¼/¸, za faznu razliku ±
nalazimo:
± =2¼
¸Δ, Δ =
yd
l. (11.63)
Dakle, na zaklonu se javlja interferenciona slika u obliku svetlih i tamnih prstenova. Duz
163
FIG. 96: (a) Zavisnost I od y i (b) interferenciona slika
y-pravca, jacina svetlosti I se menja po zakonu
I = 4I0 cos2
(¼d
¸ly
). (11.64)
Interferenciona slika se ponovo moze okarakterisati pomocu reda interferencije m koji je
definisan sa ±m = 2¼m,jednacinom (11.49a). U posmatranom slucaju imamo:
m =ymd
¸l= 0,±1,±2, ... (11.65a)
Ocigledno, polozaji
ym = ml
d¸, m = 0,±1,±2, ... (11.65b)
oznacavaju polozaje maksimalnih inteziteta svetlosti (vidi Fig. 96). Inteziteti svetlosti bice
minimalni za ±m = (2m+ 1)¼, odakle vidimo da su polozaji minimuma odredjeni sa
ymin =
(m+
1
2
)l
d.¸. (11.66c)
Rastojanje izmedju susednih maksimuma, jednako je rastojanju izmedju susednih minimuma
i iznosi
Δy =l
d¸. (11.66d)
Za sirinu prstena se takodje moze uzeti gornji izraz.
164
Dakle, rastojanje izmedju prstenova opada sa povecanjem rastojanja d izmedju otvora.
U slucaju da je d reda velicine l, rastojanje izmedju prstenova bi bilo reda velicine ¸, tj.
nekoliko ¹m i pojedini prstenovi se ne bi uocavali. Da bi interferenciona slika bila uocljiva
neophodan je uslov d ≪ l, kao sto je i bilo zadato uslovom (11.61).
Napomenimo na kraju, da se jacina svetlosti I menja duz y-ose po zakonu (11.60a) samo
za monohromatsku svetlost. Ukoliko bi izvor S bio prirodna bela svetlost (tj. svetlost koja
je sastavljena od komponentnih talasa svih ucestanosti ! iz vidljivog dela spektra) interfer-
enciona slika bi postala razmazana. Naime, za svaku od komponenti, vazila bi jednacina
(11.60a), pa bi se maksimumi inteziteta svetlosti ym = ml¸/d pojedinih komponenti raz-
likovali. Ovi maksimumi bi se poklapali jedino u centru zaklona (m = 0, ym = 0). Pri
udaljavanju od centra maksimumi razlicitih ”boja” se medjusobno mesaju.
Jasna interferenciona slika koja se dobija u slucaju monohromatskog izvora date talasne
duzine ¸ moze da se iskoristi za merenje ove fizicke velicine. Treba samo uociti da je, na
osnovu jednacine (11.66d) ¸ = dlΔy, tako da merenjem rastojanja izmedju prstenova moze
da se odredi talasna duzina svetlosti. Upravo je u eksperimentima ovog tipa prvi put i bila
izmerena jacina svetlosti.
Deoba talasnog fronata moze da se izvede i sa izvorom u obliku svetlece niti postavljenim
duz z-ose, ako se na pregradi naprave tanke pukotine takodje u ovom pravcu. Izvor svetlosti
S, kao i pukotine S1 i S2 su tada izvori cilindricnih talasa. Ovi talasi takodje interferiraju, a
rezultujuca jacina svetlosti duz y ose je ponovo data jednacinom (11.64); medjutim, umesto
koncenticnih krugova na na zaklonu se javljaju paralelne svetle i tamne pruge.
§12 Koherencia svetlosti
12.1. Vremenska koherencija (talasni segmenti)
Pojam koherencije svetlosnih talasa vec je uveden u odeljku 11.1 gde smo diskutovali
fenomen interferencije, kao saglasnost svetlosnih talasa koji ucestvuju u interferenciji. Ova
saglasnost moze biti vise ili manje izrazena, tako da je potrebno definisati stepen koherent-
nosti.
Stepen koherentnosti talasa bitno utice na stabilnost interferencione slike. Naime,
narusavanjem prostorno-vremenske koherencije talasa koji ucestvuju u interferenciji, dolazi
165
FIG. 97: Vremenska koherencija: model (a) talasnih segmenata i (b) talasnog paketa
do gubitaka interferencione slike. Svetlosni talasi koji poticu od realnih izvora (dakle, pros-
tornih, nemonohromatskih izvora) karakterisu se konacnim vremenom koherencije Δt. In-
terferenciona slika je vidljiva samo pod uslovom (11.6), kada je vreme Δt vece od vremena
merenja Δ¿ .
U ovom odeljku i odeljku 12.2 bice razmatrana tzv. vremenska koherencija koja je karak-
teristicna za interferenciju svetlosti nastalu amplitudnom deobom. Prostorna koherencija
koja se javlja pri interferenciji talasa nastalih deobom talasnog fronta bice analizirana u
osljku 12.3.
Vremensku koherenciju razmotricemo na primeru Majkelsonovog interferometra, zasno-
vanog na postizanju koherencije amplitudnom deobim (odeljak 11.5). U ovom slucaju sta-
bilna interferenciona slika moze biti ostvarena samo ako je velicina d = l2−l1 dobro podesena
u odnosu na karakteristike izvora. Pritom bitnu ulogu igra nemonohromatski karakter real-
nih izvora. Za opis ovakvih izvora koriste se dva modela: model talasnih segmenata i model
talasnog paketa, koji su prikazani na Fig. 97(a,b), respektivno.
U prvom slucaju se pretpostavlja da izvor zraci talas date ucestanosti samo u toku vre-
mena koherencije Δt, a da se van ovog intervla ucestanost menja, Fig. 97(a). Zraci I i II
koji interferiraju prelaze razlicite puteve. Prema tome, svetlosnim talasima I i II koji stizu
u tacku M , polazeci od tacke S0 treba razlicito vreme t1 i t2. Kako su zraci od talasne ravni
166
FIG. 98: Zavisnost ! od vremena za talasne segmente
Σ do M tautohtoni, razlika Δ¿ = t2− t1 u vremenima jednaka je Δ¿ = Δ/v, gde je v brzina
svetlosti a Δ putna razlika data jednacinom (11.55c):
Δ¿ =Δ
v, Δ = 2d, d = l2 − l1. (12.1)
Vreme kasnjenja Δ¿ u posmatranom modelu igra ulogu vremena merenja.
Pri interferenciji u Majkelsonovom interferometru talasi duz zraka I i II imace u trenutku
detekcije t ucestanosti !I = !(t − t1) i !II = !(t − t2), gde je t2 − t1 = Δ¿ . Ako trenutak
t− t1 oznacimo sa t′, imamo
Δ!(t) = !II − !I = !(t′ −Δ¿)− !(t′). (12.2a)
Za talasne segmente zavisnost ! od t′ je data na Fig. 98. Vazno je razlikovati dve situacije:
Δ¿ < Δt, Fig 98(a) i Δ¿ > Δt, Fig 98(b). U posmatranim slucajevima imamo
Δ!(t) = 0;Δ¿ < Δt, Δ!(t) = !2 − !1; Δ¿ > Δt. (12.2b)
U opstem slucaju dolazi do ”interferencije” dva monohromatska talasa razlicitih
ucestanosti !1 i !2. Ako, radi jednostavnosti, pretpostavimo da je !1 ≈ !2, za interfer-
encioni clan I12 jacine svetlosti u tacki M u trenutku t imamo izraz dat jednacina (11.32b),
u kome su zbog deobe amlituda (AI = AII = A0/2) jacine svetlosti I1 = I2 = I0/4. Ukupna
jacina svetlosti je prema tome data sledecim izrazom:
I =1
2I0[1 + V (Δ!,Δ¿) cos ±], ± ≈ 4¼
¸1
d, d = l2 − l1, (12.3a)
167
gde je vidljivost
V (Δ!,Δ¿) =sin
(Δ!(t)Δ¿
2
)
Δ!(t)Δ¿2
. (12.3b)
Ocigledno, za Δ¿ < Δt, kada je Δ!(t) = 0, imamo V → 1, tj. interferenciona slika je
jasno vidljiva. Kada je Δ¿ > Δt, vrednost funkcije V je manja od 1. U tom slucaju vidljivost
slike zavisi od odnosa Δ! = !2 − !1 i vremena kasnjenja Δ¿ . Iz predhodne analize je jasno
zasto vreme trajanja segmenta Δt mozemo smatrati vremenom koherencije. Uslov jasne
vidljivosti (V = 1) ispunjen je pod uslovom
Δ¿ =Δ
v< Δt. (12.4a)
Pri datom Δt (karakteristika izvora) nejednakost (12.4a) karakterise ponasanje jacine svet-
losti u tacki M kao funkcije rastojanja Δ = 2d = 2(l2− l1). Naime, pri povecanju Δ, u tacki
M se prvo smenjuju svetlost i tama, a zatim se pri Δ = Δgr, gde je
Δgr
v= Δt (12.4b)
interferencioni efekat gubi. Pri daljem povecanju Δ(Δ > Δgr) ne dolazi do promene jacine
svetlosti: ona ce biti data jednacinom (12.3a) u kojoj je V = 0.
Primetimo da u jednacinama (12.4a,b) figurise velicina v ⋅Δt koja ima dimenzije duzine
i naziva se duzina koherencije:
lkoℎ = v ⋅Δt (12.5a)
Uslov jasne vidljivosti (12.4a) kao i ”granicni” uslov (12.4b) mogu da se izraze i preko duzine
koherencije kao
Δ < lkoℎ, (12.5b)
odnosno
Δgr = lkoℎ. (12.5c)
Dosadasnja analiza se odnosila na detekciju svetlosti u tacki M na x-osi optickog sistema.
Ukoliko se detekcija svetlosti vrsi u tacki M koja ne lezi na x-osi nego je pod uglom µ u
odnosu na centar sociva, videti npr. Fig. 94(b), onda za vreme kasnjenja (merenja) Δ¿
imamo Δ¿ = Δv, gde je Δ = 2d cos µ, pri cemu je d = l2 − l1. Uslov vremenske koherencije
Δ¿ < Δt dobija sledeci eksplicitni oblik:
2d
vcos µ < Δt. (12.6a)
168
Pri fiksiranoj vrednosti d, uslov (12.6a) odredjuje prostornu oblast u kojoj je obezbedjena
vremenska koherencija. Granicni ugao µgr je odredjen relacijom
cos µgr =vΔt
2d. (12.6b)
Na osnovu jednacinu (12.6a), velicina vΔt u jednacini (12.6b) predstavlja duzinu koherencije,
tako da je
cos µgr =lkoℎ2d
. (12.6c)
Dakle, zbog zahteva za vremenskom koherentnoscu, interferenciona slika je vidljiva samo
do µ < µgr, tj. postoji konacna prostorna oblast (polje) interferencije. Na osnovu jednacine
(12.6c) vidimo da su linearne dimenzije ove oblasti odredjene duzinom koherencije.
12.2. Vremenska koherencija (talasni paket)
Drugi model zracenja realnog izvora, pretpostavlja da izvor zraci kontinum ucestanosti
iz intervala ! ∈ [!0 − Δ!2, !0 +
Δ!2], tako da se umesto monohromatskih talasa formiraju
talasni paketi (Fig. 97(b)), opisani u odeljku 1.5. Talasni paketi koji se prostiru duz y ose
su prostorno lokalizovani u oblasti Δy, pri cemu izmedju Δk = Δ!/v i Δy vazi relacija
”neodredjenosti” (1.44): ΔyΔk = 2¼, gde je Δk = Δ!/v interval talasnih brojeva paketa.
Pretpostavimo sada da do interferencije dolazi samo izmedju talasa nastalih amplitudnom
deobom parcijalnih talasa datog !, dok izmedju talasa razlicitog ! nema interferencije. U
tom slucaju rezultujuca jacina svetlosti data je sa:
I =
∫ !0+Δ!2
!0−Δ!2
dI(!) (12.7a)
gde je dI(!) jacina svetlosti u detektoru od dela paketa ucestanosti d!. Velicina dI(!) je
data jednacinom (11.56b):
dI! = I0! cos2
(±(!)
2
)d! =
1
2I0!(1 + cos ±(!))d!, (12.7b)
gde je I0! jacina svetlosti koju posmatrani izvor izraci (u odgovarajucem pravcu) po jedinici
!, tj. I0!d! je jacina svetlosti ucestanosti ! iz intervala d!. Fazna razlika ± odgovara
uocenom parcijalnom talasu:
±(!) = kΔ =!
vΔ, Δ = 2d, d = l2 − l1. (12.7)
169
Rezultujucu jacinu svetlosti nalazimo zamenom (12.7b) u (12.7a):
I =1
2
∫ !0+Δ!2
!0−Δ!2
I0!
[1 + cos
(Δ
v!
)]d!. (12.8a)
Primenom teoreme o srednjoj vrednosti, za jacinu svetlosti nalazimo
I =1
2< I0! >
∫ !0+Δ!2
!0−Δ!2
[1 + cos
(Δ
v!
)]d! (12.8b)
gde je < I0! > srednja vrednost velicine I! po ! u intervalu ! ∈ [!0 − Δ!2, !0 +
Δ!2].
Direktnom integracijom, za jacinu svetlosti I, nalazimo
I =1
2< I0! >
⎡⎣Δ! +
v
Δsin
(Δ
v!
) ∣∣∣∣∣∣!0 +
Δ!2
!0 − Δ!2
⎤⎦ , (12.9a)
odnosno
I =1
2< I0! > Δ![1 + ²], (12.9b)
gde je
² =sin
(Δv!)
ΔvΔ!
∣∣∣∣∣∣!0 +
Δ!2
!0 − Δ!2
=
=1
ΔvΔ!
[sin
(Δ
v!0 +
Δ
2vΔ!
)− sin
(Δ
v!0 − Δ
2vΔ!
)]. (12.9c)
Za ® = Δv!0 i ¯ = Δ
2vΔ!, imamo
² =1
2¯[sin(®+ ¯)− sin(®− ¯)] =
1
2¯⋅ sin ¯ cos®. (12.10a)
Uocivsi da je ® = k0Δ = ±(!0), nalazimo:
² =sin
(Δ2vΔ!
)Δ2vΔ!
cos ±(!0). (12.10b)
Zamenom (12.10b) u (12.9b), nalazimo
I =1
2< I0! > Δ!
[1 +
sin(Δ2vΔ!
)Δ2vΔ!
cos ±(!0)
]. (12.11)
Pretpostavimo sada da je zracenje izvora ravnomerno. Tada je
< I0! >=I0Δ!
, (12.12)
170
FIG. 99: Grafik funkcije sin »!/»!
gde je I0 ukupna jacina svetlosti koju izvor izraci u datom pravcu. Tada se jacina svetlosti
I moze napisati u sledecem obliku
I =1
2I0(1 + V! cos ±(!0)), (12.13a)
gde je
V! =sin
(Δ2vΔ!
)Δ2vΔ!
. (12.13b)
Izraz (12.13a) ima oblik koji se od odgovarajuce jacine svetlosti za monohromatski izvor
razlikuje samo za faktor V!. Kada se talasni paket koji zraci izvor redukuje na monohro-
matski talas (Δ! → 0), funkcija V! → 1, tako da se izraz (12.13a) poklapa sa izra-
zom (11.56b) za jacinu svetlosti dobijenu interferencijom svetlosti monohromatskog izvora
pomocu Mejkelsonovog interferometra. Primetimo takodje da V! → 0 kada Δ! → ∞,
kada I → I0/2. Ocigledno funkcija V! odredjuje vidljivost interferencione slike i karakterise
stepen koherentnosti talasa koji interferiraju.
Ako uvedemo velicinu »! = Δ ⋅Δ!/(2v) vidimo da je vidljivost V! data sa
V! =sin »!»!
. (12.13c)
Grafik ove funkcije je dat na Fig. 99, sa koga vidimo da je V! ≈ 1 za −¼2< »! < ¼
2, sto
znaci da talase mozemo smatrati vremenski koherentnim za
Δ ⋅Δ!
2v<
¼
2. (12.14a)
171
Ako gornju nejednakost izrazimo preko vremena kasnjenja Δ¿ = Δ/v, koje se moze smatrati
vremenom merenja, imamo
Δ¿ <¼
Δ!. (12.14b)
Poslednja relacija moze da se protumaci kao uslov (potpune) vidljivosti interferencione slike,
koji se izrazava uslovom (10.4a): Δ¿ < Δt. U tom smislu vreme koherencije za izvor koji
zraci ”kontinuum” ucestanosti iz intervala sirine Δ! iznosi
Δt =¼
Δ!. (12.15a)
Duzina koherencije koja odgovara ovom vremenu koherencije je lkoℎ = vΔt, tj.
lkoℎ =¼v
Δ!. (12.15b)
Primetimo da duzina koherencije moze da se poveze sa prostornoscu talasnog paketa Δy.
Naime, kako je ΔyΔk = ΔyΔ!/v = 2¼, vidimo da je lkoℎ = Δy/2.
Granica vidljivosti u slucaju talasnog paketa odredjena je jednakoscu u nejednacini
(12.14b). Ona se moze izraziti u dva ekvivalenta oblika
Δ¿gr = Δt, Δgr = lkoℎ (12.15c)
gde je Δgr granicna vrednost putne razlike Δ = 2d.
Kada je vreme koherencije Δt = ¼/Δ! manje od vremena merenja Δ¿ = Δ/v, bice V! ≈0, pa se gubi interferencioni efekat. Naime, za Δ¿ > Δt, tj. Δgr > lkoℎ, polozaji maksimuma
inteziteta svetlosti jednih ucestanosti mogu se poklapati sa polozajima minimuma inteziteta
svetlosti drugih ucestanosti tako da se interferenciona slika gubi. Vidljivost interferencione
slike ocigledno zavisi od karakteristika interferometra (d = l2−l1) i vremenskih karakteristika
izvora (Δ!).
12.3. Prostorna koherencija
Vrsta koherencije koja se ostvaruje pri deobi talasnog fronta je tzv. prostorna koherencija.
Naime, u ovom slucaju je potrebno ostvariti fazne korelacije duz talasnog fronta u datom
vremenskom intervalu.
Stepen ove koherencije u realnim uslovima povezan je sa prostornoscu izvora svetlosti.
U odeljku 11.6 mi smo razmatrali interferenciju talasa nastalih deobom talasnog fronta za
172
FIG. 100: Amplitudna deoba sa prostornim izvorom
tackasti izvor svetlosti S. Pretpostavimo sada da je izvor svetlosti konacnih dimenzija. Radi
jednostavnosti ogranicimo se na linijski izvor postavljen duz y-ose visine 2u0 (Fig. 100) i
oznacimo sa y′ tekucu koordinatu izvora.
Fazna razlika sfernih talasa od elementa izvora koordinate y′ u tacki M zaklona jednaka
je ± = kΔ, gde je
Δ = s2 − s1 + s′2 − s′1 (12.16a)
(videti primer 1, odeljka 11.2). Pretpostavimo sada da vaze uslovi (11.61): d ≪ l, y ≪ l,
kao i d ≪ l′ i y′ ≪ l′. Tada, po analogiji sa jednacinom (11.62c) imamo
s2 − s1 =yd
l, s′2 − s′1 =
y′dl′
. (12.16b)
Talasi nastali amplitudnom deobom u otvorima su istih amplituda i istih ucestanosti, tako
da za jacinu svetlosti dI od uocenog elementa izvora vazi ednacina (11.16):
dI = 4I0y cos2 ±
2dy = 2I0y(1 + cos ±)dy, (12.17a)
173
gde je I0ydy′ jacina svetlosti koju bi emitovao izolovan deo izvora koordinate y′ u pravcu
otvora S1 (odnosno S2). Kako zraci koji stizu u tacku M od razlicitih delova izvora nisu
medjusobno koherentni, oni ne interferiraju, tako da je ukupna jacina svetlosti u tacki M
jednaka
I =
∫dI. (12.17b)
Zamenom (12.17a) u (12.17b), nalazimo
I = 2 < I0y >
∫ u0
−u0
[1 + cos
(kd
ly +
kd′
l′y′)]
dy, (12.18a)
gde smo sa < I0y > oznacili prostornu srednju vrednost velicine I0y(y′). Dakle
I = 2 < I0y >
⎡⎣2u0 +
l′
kdsin
(kd
ly +
kd
l′y′) ∣∣∣∣∣∣
u0
−u0
⎤⎦ , (12.18b)
odnosno, za ® = kdly i ¯ = kd
l′ u0,
I = 4 < I0y > u0
[1 +
1
2¯(sin(® + ¯)− sin(®− ¯))
]= 4 < I0y > u0
(1 +
1
¯sin ¯ cos®
),
(12.18c)
tako da je
I = 4 < I0y > u0
[1 +
sin(kdl′ u0
)kdl′ u0
cos
(kd
ly
)]. (12.18d)
Ako je zracenje izvora prostorno ravnomerno, bice < I0y >= I02u0
gde je I0 jacina svetlosti
koju emituje izvor u pravcu otvora S1 (odnosno S2). Jacina svetlosti od ovakvog izvora u
tacki M zaklona jednaka je
I = 2I0
[1 + Vu cos
(kd
ly
)], (12.19a)
gde je velicina Vu data sa
Vu =sin
(kdl′ u0
)kdl′ u0
. (12.19b)
Uporedjujuci izraz (12.19a) sa izrazom (11.64) koji vazi za tackasti izvor:
I = 2I0
[1 + cos
(kd
ly
)], (12.19c)
vidimo da se oni razlikuju za faktor Vu, koji sada preuzima ulogu vidljivosti. Kada u0 →0 (prostorni izvor se svodi na tackasti), imamo Vu → 1, pa se izrazi (12.19a) i (12.19c)
174
poklapaju, a interferenciona slika je potpuno jasna. Kada u0 → ∞, vidljivost Vu → 0, pa
interferenciona slika u potpunosti nestaje.
Za konacni izvor bice
0 < Vu < 1, (12.20)
a talasi koji nastaju deobom talasnog fronta talasa iz date tacke izvora bice samo delimicno
(prostorno) koherentni. Vidljivost Vu bitno zavisi od kolicnika u0/l′ = tan'/2 ≈ '/2, gde je
' tzv. ugaona dimenzija izvora (vidi Fig. 100). Prema tome, mereci vidljivost Vu svetlosti od
prostornog izvora mogu se odrediti njegove ugaone dimenzije. Na ovom principu je zasnovan
tzv. Majkelsonov zvezdani interferometar.
U vezi sa velicinom Vu moze se definisati granica vidljivosti interferencione slike. Naime,
izrazena preko velicine »u = kdu0/l′ = 2¼du0/(¸l
′) = ¼'d/¸, vidljivost Vu je
Vu =sin »u»u
, (12.21)
tj. ima isti oblik kao vidljivost V! definisana jednacinom (12.13c). Ako granicu vidljivosti
definisemo sa uslovom Vu ≈ 1,−¼2< »u < ¼
2(Fig. 100), zakljucujemo da talase mozemo
smatrati prostorno koherentnim za'd
¸<
1
2. (12.22)
Vidljivost interferencione slike u slucaju razmatrane prostorne koherencije zavisi od karak-
teristika ”interferometra” (d) i prostornih karakteristika izvora (').
Primetimo, medjutim da se razlicite vrste koherencije ne javljaju izolovano. Tako, na
primer, u interferencionom eksperimentu sa deobom talasnog fronta izvora koji nije strogo
monohromatski, nego zraci kontinuum ucestanosti ! ∈ [!0 − Δ!2, !0 +
Δ!2], pored uslova
(12.22) treba uzeti u obzir i prostornu ogranicenost interferencione slike, odredjene, na
primer, uslovom (12.15c): Δ < lkoℎ, gde je lkoℎ = ¼v/Δ!. Pritom se za putnu razliku
Δ moze uzeti isti izraz (11.63) kao i za tackasti izvor (Δ = yd/l).
Dakle, u principu, postoje kombinovana ogranicenja. Zbog prostornosti izvora, interfer-
enciona slika je vidljiva samo za izvore cije su ugaone dimenzije manje od 'gr gde je
'gr =¸
2d. (11.23a)
Zbog nemonohromaticnosti izvora, postoji ograniceno polje interferencije, tj. interferenciona
slika je vidljiva do ygr gde je
ygr = lkoℎ ⋅ ld. (12.23)
175
Poslednji vidljiv red interferencije m = d ⋅ ym/(¸l), jednacina (11.65a), je prema tome dat
uslovom ym = ygr, odakle dobijamo
mgr =lkoℎ¸
. (12.23c)
Primetimo da je u opstem slucaju lkoℎ = Δt ⋅ v gde je Δt vreme koherencije (karakteristika
izvora).
§13 Difrakcija
13.1. Fenomen difrakcije
Pod difrakcijom se u najopstijem smislu podrazumeva ponasanje svetlosti na granicama
neprovidnih sredina, tj. kada se na putu svetlosti nadju zakloni sa otvorima ili neko ne-
providno telo. Na osnovu zakona geometrijske optike u ovim slucajevima bi razlikovali
mesta jasne osvetljenosti i tamna mesta (senke). Medjutim, eksperimenti pokazuju da svet-
lost zalazi u geometrijsku senku, a da u okolini granica neprovidnih tela jacina svetlosti
postaje neravnomerno rasporedjena (kao pri interferenciji). Ova pojava se naziva difrakcija
svetlosti.
Na primer, ako se na put svetlosti postavi neprovidna prepreka sa kruznim otvorom,
Fig. 101, onda bi se na zaklonu iza otvora pojavila slika otvora (svetlost) i oko nje oblast
(geometrijske) senke. Medjutim, zavisno od velicine otvora, osvetljenost na zaklonu je vise
ili manje prosirena, tj. svetlost ulazi u oblast geometrijske senke. Takodje, smanjenjem
poluprecnika otvora, koje bi prema zakonima geometrijske optike trebalo da bude praceno
smanjenjem osvetljene oblasti na zaklonu, dovodi do suprotnog efekta. Svetlost sve dublje
prodire u oblast geometrijske senke. Dalje, osvetljena oblast na zaklonu nije monotono
osvetljena vec se javljaju oblasti maksimalne i minimalne osvetljenosti. Moze se cak desiti
(pri nekoj velicini otvora) da se nasuprot otvora pojavljuje senka!
Sa teorijskog stanovista, ovakvo ponasanje nije neocekivano. Potrebno je samo da se
podsetimo da su granice neprovidnih sredina oblasti jake opticke nehomogenosti tako da
je uslov (6.12a) pod kojim vazi ajkonalna aproksimacija (a koja lezi u osnovi geometrijske
optike) narusen. Drugim recima, na ovim granicama svetlosni vektor menja svoj pravac i
svoju amplitudu kao na granici dve opticke sredine u skladu sa opstom elektromagnetnom
teorijom.
176
FIG. 101: Ponasanje svetlosti pri nailasku na kruzni otvor u okviru geometrijske optike
FIG. 102: Ponasanje svetlosti pri nailasku na kruzni otvor na osnovu Hajgensonovog principa
U odeljku 6.5, medjutim, formulisali smo Hajgensov princip koji daje mogucnost kvalita-
tivnog objasnjenja pojave difrakcije. Saglasno ovom principu svaka tacka talasnog fronta se
moze posmatrati kao izvor sekundarnog talasa cija obvojnica formira novi talasni front. Ako
ovaj princip primenimo na prepreku sa otvorom videcemo da je moguce skretanje svetlosti u
geometrijsku senku (Fig. 102). Potpuno objasnjenje difrakcije na otvoru, medjutim, zahteva
da se uzme u obzir interferencija sekundarnih talasa i to smatrajuci da su oni medjusobno ko-
herentni. U tom smislu, nema principijelne razlike izmedju interferencije i difrakcije. Jedino
177
FIG. 103: Fraunhoferova difrakcija
FIG. 104: Frenelova difrakcija
se u okviru interferencije razmatraju dva koherentna talasa, dok se u difrakcionim pojavama
radi o kontinumu koherentnih talasa.
Prvi kvantitativan opis pojave difrakcije zasnivao sa na Hajgens-Frenelovom principu.
Ovaj princip daje semi-empirijsku formulu pomocu koje se moze naci rezultujuci talasni
vektor koji nastaje superpozicijom sekundarnih talasa. Formula ovakvog tipa moze se dobiti
i polazeci od Maksvelovih jednacina za elektromagnetno polje na osnovu analize ponasanja
talasnih jednacina koje iz njih slede (odeljak 13.2).
Pre nego sto predjemo na ova teorijska razmatranja primetimo da postoje dva tipa difrak-
178
cije: Fraunhoferova i Frenelova. U prvom slucaju interferiraju (ravanski) talasi u okviru
snopa paralelonih zraka, dok se u drugom slucaju difrakcija dobija interferencijom sfernih
talasa. Fraunhoferova difrakcija se moze dobiti postavljanjem po jednog (tankog) sociva iza
tackastog izvora S i ispred tacke detekcije M , Fig. 103, tako da tacke S i M leze u ziznim
ravnima sociva. Ukoliko u sistemu nema sociva, dolazi do Frenelove difrakcije, Fig. 104.
13.2. Kirkhofova formula i Hajgens-Frenelov princip
Razmotrimo sada kako se Hajgens-Frenelov princip moze dobiti egzaktno na osnovu elek-
tromagnetne prirode svetlosti.
Posmatrajmo polje monohromatskih talasa E(r, t) i B(r, t). Ove vektore mozemo pred-
staviti u kompleksnom obliku:ˇE =
ˇE0(r)e
−i!t iˇB =
ˇB0(r)e
−i!t. Vektori E i B u ne-
provodnim sredinama bez stranih naelektrisanja koje su homogene ("r = const, ¹r = const)
i stacionarne ("r ∕= "r(t), ¹r ∕= ¹r(t)), zadovoljavaju talasne jednacine (1.8a) i (1.9a). Isto
vazi i za kompleksne vektoreˇE i
ˇB. S obzirom na pretpostavljeni monohromatski karakter
talasaˇE i
ˇB, obe ove jednacine, mogu da se napisu u obliku jednacine (6.4):
ΔΨ = −n2k20Ψ = −k2Ψ, (13.1)
gde je Ψ proizvoljna komponenta vektoraˇE0 ili
ˇB0.
Dokazimo sada jednu vaznu osobinu jednacine (13.1) koja se cesto formulise kao teorema
o jedinstvenosti. Naime, resenje jednacine (13.1) je jednoznacno odredjeno u celom prostoru
ako je poznato na nekoj zatvorenoj povrsini (S). Da bismo dokazali ovo tvrdjenje uocimo
proizvoljnu tacku M unutar oblasti obuhvacenoj povrsinom S, kao na Fig. 105. Uocimo
takodje sferu S0 oko tacke M . Konstruktivni dokaz se zasniva na primeni Gausove teoreme
po oblasti zapremine V − V0, koja se nalazi izmedju povrsina S0 i S,∫
V−V0
divˇa dV =
∫
S+S0
ˇa ⋅ dS. (13.2a)
Gausova teorema se primenjuje na kompleksni vektor ˇa = ˇa(r), gde je sa r oznacena tekuca
koordinata zapremine V − V0, oblika
ˇa = Ψgrad
(eikr
r
)− eikr
rgradΨ (13.2b)
Izabrani oblik vektor ˇa je pogodan, zato sto omogucava da se polje u tacki M izrazi preko
polja na povrsini S preko pojma sekundaarnih sfernih talasa eikr/r, sto u krajnjoj liniji
179
FIG. 105: Povrsine S i S0 oko tacke M
dovodi do formulisanja Hajgens - Frenelovog principa. Primetimo da je u oblasti V − V0
moduo ∣ˇa∣ konacna velicina.
Divergencija kompleksnog vektora ˇa je
divˇa = div
(Ψgrad
(eikr
r
))− div
(eikr
rgradΨ
), (13.3a)
odnosno
divˇa = gradΨ ⋅ grad(eikr
r
)+ ΨΔ
(eikr
r
)− grad
(eikr
r
)⋅ gradΨ− eikr
rΔΨ, (13.3b)
tj.
divˇa = ΨΔ
(eikr
r
)− eikr
rΔΨ. (13.3c)
S druge strane, vaze sledeci izrazi:
grad
(eikr
r
)=
∂
∂r
(eikr
r
)er (13.4a)
i
gradΨ ⋅ dS =∂Ψ
∂sdS =
∂Ψ
∂sen ⋅ dS, (13.4b)
gde je s varijabla u pravcu normale na povrsinu, a en jedinicni ort normale (vidi Fig. 105).
Koristeci jednacine (13.4a) i (13.4b), nalazimo
ˇa ⋅ dS =
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS. (13.4c)
Zamenom jednacina (13.3a) i (13.4c) u jednacinu (13.2a), dobijamo
∫
V−V0
[ΨΔ
(eikr
r
)− eikr
rΔΨ
]dV =
∫
S+S0
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂ren
]⋅ dS. (13.5)
180
Uocivsi da je
Δ
(eikr
r
)=
1
r
∂2
∂r2
(reikr
r
)= −k2 e
ikr
r, (13.6a)
kao i da je (na osnovu jednacine (13.1)) ΔΨ = −k2Ψ, zakljucujemo da je leva strana
jednacine (13.5) jednaka nuli. Prema tome, bice jednaka nuli i desna strana ove jednacine:
∫
S+S0
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS = 0, (13.7a)
odnosno, razdvajajuci integral po S + S0 na integrale po S i S0,
∮
S0
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS = −
∮
S
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS. (13.7b)
Pretpostavimo sada da se sfera S0 sazima u tacku M . Tada, uocivsi da je na povrsi S0
element povrsine dS = −dSer, imamo
∮
S0
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS = lim
r→0
[−Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)⋅ 4r2¼ − eikr
r
∂Ψ
∂s⋅ 4r2¼
]
= limr→0
[4¼Ψeikr − Ψ(ik)eikr4r¼ − ∂Ψ
∂seikr4r¼
]. (13.8a)
Kako je velicina Ψ konacna u tacki M , vidimo da poslednja dva clana teze nuli, dok
exp(ikr) → 1, a Ψ → Ψ(M). Dakle,
∮
S0
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS = 4¼Ψ(M). (13.8b)
Zamenom poslednje jednacine u jednacinu (13.7b) imamo
Ψ(M) = − 1
4¼
∮
S
[Ψ
∂
∂r
(eikr
r
)er − eikr
r
∂Ψ
∂sen
]⋅ dS, (13.9a)
tj. koristeci jednacine (13.4a,b),
Ψ(M) = − 1
4¼
∮
S
[Ψgrad
(eikr
r
)− eikr
rgradΨ
]⋅ dS. (13.9b)
Analizom jednacine (13.9b) dolazimo do zakljucka da je funkcija Ψ(M) u proizvoljnoj
tacki M odredjena vrednostima Ψ i gradΨ na proizvoljnoj zatvorenoj povrsini S koja obuh-
vata tacku M . Jednacina (13.9b) po svojoj sustini predstavlja tzv. integralnu jednacinu za
Ψ ciji je diferencijalni oblik talasna jednacina (13.1).
Primenimo sada jednacinu (13.9b) na opis Frenelove difrakcije na kruznom otvoru. Za
zatvorenu povrsinu S uzimamo da se delimicno poklapa sa delom talasne povrsine sfernog
181
FIG. 106: Pregrada sa kruznim otvorom; izbor povrsine S
talasa koga zraci tackasti izvor svetlosti (povrsina ΔS), a delom da se poklapa sa pregradom
ili da odlazi u beskonacnost (povrsina S−ΔS), kao na Fig. 106. Pri ovakvom izboru povrsine
S, talasni vektor E bice poznat na celoj ovoj povrsini. Na prepreci, kao i na delu povrsi
S −ΔS ovaj vektor se anulira. Na povrsi ΔS koja predstavlja deo sfere poluprecnika R, to
je sferni talas dat jednacinom (1.43a):
ˇE =
A
ReikReµ, (13.10a)
gde je eµ ort u pravcu porasta ugla µ, vidi Fig. 106. Odgovarajuce dekartove koordinate
vectoraˇE su:
ˇE0i = A
ReikReµ ⋅ ei gde su ei = ex, ey iez ortovi x, y i z-ose. Kada je izvor
dovoljno daleko od otvora (tj. kada je otvor dovoljno mali) bice eµ ⋅ ex ≈ eµ ⋅ ez ≈ 0, dok je
eµ ⋅ ey ≈ 1. Tada mozemo uzeti da je
ˇE ≈ A
ReikRey = E0yey ≈ Ψey. (13.10b)
U posmatranom slucaju za Ψ i gradΨ na povrsi S imamo
Ψ =
⎧⎨⎩
AReikR ,ΔS
0 , S −ΔSgradΨ =
⎧⎨⎩
grad(Ar′ e
ikr′)/r′=R ,ΔS
0 , S −ΔS(13.10c)
Zamenom izraza (13.10c) u jednacinu (13.9b) nalazimo:
Ψ(M) = − 1
4¼
∫
ΔS
[A
ReikRgrad
(eikr
r
)− eikr
rgrad
(A
r′eikr
′)/r′=R
]dSen. (13.11)
Uocivsi da je
grad
(eikr
r
)=
∂
∂r
(eikr
r
)er =
1
r
(−1
r+ ik
)eikrer, (13.12a)
182
kao i da je
grad
(eikr
′
r′
)
r′=R
=1
R
(− 1
R+ ik
)eikReR, (13.12b)
gde je eR = −en, imamo
Ψ(M) = − 1
4¼AeikR
R
∫
ΔS
[(−1
r+ ik
)er +
(− 1
R+ ik
)en
]⋅ dS. (13.13a)
Konacno, kako je dS = dSen, a er ⋅ en = cos', vidi Fig. 106, nalazimo
Ψ = − 1
4¼AeikR
R
∫
ΔS
eikr
r
[(−1
r+ ik
)cos'+
(− 1
R+ ik
)]dS. (13.13b)
Formula (13.13b) predstavlja tzv. Kirhofovu formulu, pomocu koje je moguce naci svetlosni
vektor E = Re[Ψ exp(−i!t)]e, u proizvoljnoj tacki M iza zaklona sa kruznim otvorom.
Kirhova formula (13.13b) moze se uprostiti kada su izvor S i tackaM (u kojoj posmatramo
svetlost) udaljeni od otvora na rastojanja znatno veca od talasne duzine ¸ talasa. U tom
slucaju mogu se zanemariti clanovi 1/r i 1/R u odnosu na k. Tada dobijamo
Ψ = − ik
2¼AeikR
R
∫
ΔS
eikr
r
1
2(cos'+ 1)dS. (13.14)
Oznacimo izraz ispred integrala sa a0:
a0 = − ik
2¼AeikR
R, (13.15a)
i uvedimo oznaku1
2(cos'+ 1) = cos2
'
2= K('). (13.15b)
Tada se izraz (13.14a) za Ψ(M) svodi na
Ψ(M) =
∫
ΔS
k(')a0reikrdS. (13.15c)
Na osnovu poslednjeg izraza, za intezitet talasnog vektora E u tacki M imamo E =
Re[Ψexp(−i!t)] = Re(E), gde je
E(M) =
∫
ΔS
K(')a0re−(!t−kr)dS. (13.16)
Poslednja formula se moze interpretirati kao da svaka tacka dela talasnog fronta ΔS koji
”stane” u otvor postaje izvor sekundarnog sfernog talasa a0 exp[−i(!t− kr)]/r, pri cemu se
ovi talasi superponiraju (interferiraju), tako da u tacki M , u trenutku t, daju ukupni svet-
losni vektor inteziteta E datog formulom (13.16). Faktor k(') karakterise razlicit doprinos
pojedinih delova ΔS. Njegova vrednost je maksimalna u pravcu normale na talasni front
(er = en, kada je cos' = 1), tako da je K(') = 1. Jednacina (13.16) ima isti oblik kao i
semiempirijski Hajgens-Frenelov princip.
183
FIG. 107: Frenelove zone
13.3. Frenelove zone i zakon slaganja amplituda
Izracunavanje velicine E na osnovu formule (13.16) se znatno pojednostavljuje ako se
talasna povrs podeli na zone (delove povrsi) ciji se doprinos ukupnom svetlosnom talasu u
tacki M lako izracunava. Na taj nacin, izracunavanje rezultujuce jacine svetlosti moze se
svesti na algebarski (ili geometrijski) problem.
Talasna povrs sfernog monohromatskog talasa (talasne duzine ¸), posmatrana iz tacke
M , moze se izdeliti na zone, simetricno postavljene duz pravca SM , Fig. 107. Definisimo
ove zone tako da se rastojanja od kraja svake zone do tacke M razlikuju za ¸/2. Zone koje
imaju ovo svojstvo nazivaju se Frenelove zone. Rastojanja bm od kraja m-te zone do tacke
M je dato sa
rm = b+m¸
2, m = 1, 2, ..., (13.17)
gde je b rastojanje centralne tacke O talasne povrsi od tacke M (vidi Fig. 107).
Podelivsi talasnu povrs na zone, povrsinu ΔS po kojoj se vrsi integracija u jednacini
(13.16) mozemo podeliti na povrsine ΔSm, tako da je
E(M) =∑m
Em(M), (13.18a)
gde je
Em(M) =
∫
ΔSm
K(')a0re−i(!t−kr)dS. (13.18b)
184
FIG. 108: m-ta Frenelova zona
Sumiranje u jednacini (13.18a) se vrsi po svim otvorenim Frenelovim zonama, tj. zonama
koje stanu u ”otvor”. S obzirom da su povrsine ΔSm vrlo male, imamo
Em(M) ≈ Km(')a0rm
e−i(!t−krm)ΔSm. (13.19a)
Ako kompleksnu velicinu a0 izrazimo preko modula a0 = ∣a0∣ i faze ® kao a0 = a0ei®, izraz
(13.19a) se moze predstaviti u sledecem pogodnom obliku:
Em(M) = Amei®0e−i!t+ikrm , (13.19b)
gde je Am realna velicina (amplituda) odredjena relacijom
Amei®0 = Km(')
a0rm
ΔSm. (13.19c)
Povrsinu m-te Frenelove zone mozemo naci integracijom elementarne povrsine dS =
R2 sin µdµdÁ:
ΔSm =
∫ µm
µm−1
∫ 2¼
0
R2 sin µdµdÁ, (13.20a)
gde su granice integracije date sa
cos µm =R− ℎm
R, cos µm−1 =
R− ℎm−1
R. (13.20b)
Dakle,
ΔSm = 2¼R2(cos µm−1 − cos µm). (13.20c)
Zamenom izraza (13.20b) u izraz (13.20c), nalazimo
ΔSm = 2¼R2
(R− ℎm−1
R− R− ℎm
R
)= 2¼R (ℎm − ℎm−1) . (13.21)
185
Velicina ℎm, sledi iz geometrijskih odnosa koji se mogu uociti na Fig. 108. Naime,
½2m = R2 − (R− ℎm)2 = r2m − (b+ ℎm)
2, (13.22a)
odakle je
ℎm =r2m − b2
2(b+R). (13.22b)
Iskoristivsi definiciju (13.17) za rm, za velicinu ℎm imamo
ℎm =
(b+m¸
2
)2 − b2
2(b+R)=
bm¸
2(b+R)
(1 +
m
4
¸
b
). (13.22c)
Ako broj otvorenih Frenelovih zona nije veliki, onda je m¸/(4b) ≪ 1, tako da je
ℎm =bm¸
2(b+R). (13.23)
Zamenom izraza (13.23) u (13.22a) mozemo naci poluprecnik ½m m-te Frenelove zone
usledecem obliku:
½2m = R2 − (R− ℎm)2 = (2R− ℎm) ⋅ ℎm. (13.24a)
Pri relativno malom m, bice ℎm ≪ R, tako da je
½2m ≈ 2Rℎm, (13.24b)
odnosno, zamenom izraza (13.23) u izraz (13.24b),
½2m = 2Rbm¸
2(b+ r). (13.24c)
Dakle, poluprecnik ½m, m-te zone je
½m =
√Rb
R + bm ⋅ ¸. (13.25a)
Da bismo procenili red velicine zona, pretpostavimo da je R = b = 1 m i ¸ = 0.5¹m =
0.5 ⋅ 10−6 m. Tada za poluprecnik centralne (I zone) imamo
½1 =
√1
2⋅ 12⋅ 10−6m =
1
2⋅ 10−3m = 0.5mm. (13.25b)
Sa porastom m, poluprecnik zone raste kao√m.
Koristeci izraz (13.23) za ℎm, za povrsinu m-te zone, koja je data jednacinom (13.21),
nalazimo:
ΔSm = 2¼R
[bm¸
2(b+R)− b(m− 1)¸
2(b+R)
],
186
tj.
ΔSm =¼Rb
b+R¸. (13.26)
Dakle, za veliko R i b, povrsine svih Frenelovih zona malog rednog broja su priblizno jednake.
Vratimo se sada na jacinu polja E u tacki M , izrazenoj jednacinama (13.18a) i (13.19b):
E(M) =∑m
Amei®0e−i(!t−krm). (13.27a)
Kako je, za velicinu rm datu jednacinom (13.17) i k¸ = 2¼,
eikrm = eik(b+m¸2
) = eikbeikm¸/2 = eikbeim¼ = (−1)meikb, (13.27b)
za jacinu polja u tacki M imamo
E(M) =
[mmax∑m=1
(−1)m+1Am
]ei(®0+¼)eikbe−i!t. (13.27c)
Poslednji izraz moze da se napise u obliku
E(M) = Ae−i(!t−kb−®0−¼), (13.28a)
gde je
A =mmax∑m=1
(−1)m+1Am. (13.28b)
Poslednja relacija ukazuju na to da se amplituda A ukupne jacine polja u tacki M dobija
kao alternativna suma (13.28b) amplituda od svih otvorenih Frenelovih zona. Zapravo, zone
su i konstruisane tako da talasi susednih zona u tacku M stizu u protiv-fazi.
Amplituda Am, definisana je jednacinom (13.19c). Kako ΔSm ne zavisi od m, a takodje
ni Km, vidimo da je Am ∼ 1/rm, tj. amplitude Am formiraju monotono opadajuci niz:
A1 > A2 > A3 > ... (13.29a)
Zbog ovakvog karaktera amplituda Ai, vazi sledeca priblizna relacija:
Am ≈ Am−1 + Am+1
2. (13.29b)
Grupisuci clanove u izrazu za amplitudu A imamo (za parno, odnosno neparno m = mmax )
A =A1
2+
(A1
2− A2 +
A3
2
)+
(A3
2− A4... +
⎧⎨⎩
Am−1
2− Am ,m− parno
Am
2,m− neparno
. (13.30a)
187
Iskoristivsi sada pribliznu relaciju (13.29c), imamo
A ≈ A1
2+ 0 + ...+
⎧⎨⎩
Am−1
2− Am ,m− parno
Am
2,m− neparno
. (13.30b)
Kako su amplitude susednih Frenelovih zona prakticno jednake, bice Am ≈ Am−1, pa je
A ≈ A1
2∓ Am
2, m = mmax =
⎧⎨⎩
parno
neparno. (13.30c)
Napomenimo da u slucaju kada uopste nema zatvaranja Frenelovih zona (tj. ako se na putu
svetlosti ne nalazi zaklon)
A =A1
2, m = mmax → ∞. (13.30d)
jer je u tom slucaju Am ≪ A1.
13.4. Frenelova difrakcija na kruznom otvoru i disku
Metod slaganja amplituda razmatran u prethodnom odeljku omogucava da se resi niz
problema is difrakcije svetlosti. Razmotrimo prvo difrakciju na kruznom otvoru.
Neka se na putu sfernog talasa iz izvora S (Fig. 109) nalazi pregrada sa kruznim otvorom
poluprecnika ½0, tako da normala (x-osa) povucena iz izvora S na prepreku pada na centar
otvora. Na produzetku ove normale nalazi se tacka detekcje M . Pretpostavicemo da je otvor
dovoljno mali, tako da je
½0 ≪ b, ½0 ≪ R, (13.31)
gde je R normalno rastojanje od izvora do pregrade, a b rastojanje od otvora do zaklona
(duz OM na Fig. 109).
Jacina polja E u tacki M data je jednacinom (13.28a). Kako je rezultujuci talas u tacki
M monohromatski talas, jacina svetlosti u tacki M bice data jednacinom (3.25b):
I = const ⋅ n ⋅ 12∣E∣2 = const ⋅ n ⋅ 1
2A2, (13.32a)
gde je A amplituda svetlosnog vektora data jednacinom (13.28b), tj. jednacinom (13.30c).
Dakle,
I = const ⋅ n ⋅ 18(A1 ∓ Ammax)
2 , (13.32b)
188
FIG. 109: Frenelova difrakcija na kruznom otvoru
gde je mmax broj otvorenih Frenelovih zona. Broj mmax nalazimo izjednacavanjem
poluprecnika ½m m-te zone, datog jednacinom (12.25a), sa poluprecnikom otvora:
√Rb
R + bmmax ⋅ ¸ = ½0, (13.33a)
odakle je
mmax =
[½2
¸
(1
R+
1
b
)], (13.33b)
gde [x] oznacava ceo broj od x.
Jacina svetlosti u tacki M imace maksimum ili minimum u zavisnosti od toga da li je
mmax parno (znak ”-” u jednacini (13.32b)) ili neparno (znak ”+”). Ako je broj otvorenih
Frenelovih zona mali, bice A1 ≈ Ammax , tako da je
I = const ⋅ n ⋅ 12
⎧⎨⎩
0 ,mmax − parno
A21 ,mmax − neparno
. (13.34a)
Primetimo da je u slucaju kada uopste nema prepreke, jacina svetlosti I0 data jednacinom
(13.32a), gde je na osnovu jednacine (12.30d) amplituda A = A1/2, tj.
I0 = const ⋅ n ⋅ 18A2
1. (13.34b)
Dakle, jacina svetlosti u tacki M na zaklonu je
I =
⎧⎨⎩
0 ,mmax − parno
4I0 ,mmax − neparno. (13.34c)
189
FIG. 110: Difrakciona slika za razlicite vrednosti mmax
Vidimo da se u slucaju malog broja otvorenih Frenelovih zona, u tacki M nasuprot otvora
moze dobiti ili tamno mesto (Fig. 109(b)) ili je jacina svetlosti veca nego bez otvora
(Fig. 109(a))! Oba ova rezultata su potvrdjena eksperimentalno. Istorijski gledano, ovakvo
ponasanje svetlosti pri difrakciji predstavljalo je potvrdu talasne prirode svetlosti.
Ako je broj otvorenih Frenelovih zona veliki, kao na Fig. 110(c), onda je Ammax ≪ A1,
tako da se u tacki M nasuprot otvoru javlja jacina svetlosti data jednacinama (13.32b) i
(13.34b):
I = I0, (13.34d)
tj, dobija se ista vrednost kao i kada nema prepreke sa otvorom.
190
FIG. 111: Frenelove zone u odnosu na pravac SM
Da bismo ispitali sta se desava sa jacinom svetlosti duz y-ose, uocimo da su Frenelove
zone definisane relativno, tj. uvek u odnosu na pravac SM (Fig. 111). Prema tome, ako je
tacka M pomerena sa x-ose, broj otvorenih Frenelovih zona bice razlicit od broja otvorenih
zona vidjenih iz tacke M . Pomeranjem duz y-ose broj otvorenih Frenelovih zona se menja,
tako da se jacina svetlosti menja periodicno. Pritom, sa udaljavanjem od x-ose, pojedine
zone nece biti u potpunosti otvorene, tako da maksimalne jacine svetlosti opadaju, vidi Fig.
110(a,b).
Dakle, ako se na putu svetlosti postavi dovoljno mali otvor, tako da vazi jednacina (13.31),
na zaklonu ce se pojaviti difrakciona slika koja ce se sastojati od koncentricnih svetlih i
tamnih prstenova, pri cemu sa udaljavanjem od centra zaklona jacina svetlosti prstenova
slabi. Ukoliko je broj otvorenih frenelovih zona veliki, u oblasti geometrijske senke, jacina
svetlosti imace priblizno konstantnu vrednost (I ≈ I0); svetlost zadire i u oblast geometrijske
senke gde se javljaju oscilacije jacine svetlosti, kao na Fig. 110(c).
Ukoliko bi na putu svetlosti imali dovoljno mali disk, ponovo bi se javio efekat difrakcije.
Analiza difrakcije u ovom slucaju je komplementarna diskusiji difrakcije na otvoru. Naime,
sada bi mmax zona bilo zatvoreno, a pocev od mmax + 1-zone sve zone bi bile otvorene. Na
zaklonu se javlja difrakciona slika, koja sada zavisi od vrednosti amplitude Ammax+1.
Ako je broj zatvorenih Frenelovih zona mali u tacki M nasuprot disku, imali bi jacinu
svetlosti datu jednacinom (13.32a) gde je amplituda A = 12Ammax+1 , tj. I = const ⋅ n ⋅
18(Ammax+1)
2 ≈ const ⋅ n ⋅ 18A2
1. Uporedivsi I sa jacinom svetlosti I0 datom jednacinom
(12.34b), vidimo da je I = I0, Fig 112(a). Ponasanje jacine svetlosti duz y-ose, nalazimo
191
FIG. 112: Frenelova difrakcija na disku
analogno kao za otvor. Sada se na zaklonu pojavljuje difrakciona slika koja se ponovo
sastoji od koncentricnih svetlih i tamnih prstenova, stim sto je nasuprot ”malom” disku
sada osvetljeno mesto (Fig. 112(a))!
Ako je broj zatvorenih Frenelovih zona veliki, onda je u tacki M jacina svetlosti jednaka
I = const ⋅ n ⋅ 18(Amax+1)
2 ≈ 0. Dakle u ovom slucaju, nasuprot disku se javlja senka, sa
koncentricnim prugama na rubu ove oblasti (Fig. 112(b)). Drugi granicni slucaj je kada
disk zaklanja samo mali deo centralne Frenelove zone. Ovakav disk uopste ne pravi senku;
osvetljenost zaklona bice svuda ista kao i da nema prepreke.
Primetimo, na kraju, da su kruzni otvor i disk samo tipicni primeri za difrakcioni efekat.
Pored ovih slucajeva u red jednostavnih primera spadaju difrakcija na ravnoj ivici poluravni
kao i difrakcija na pukotini. Difrakcione slike (koje se u ovim slucajevima sastoje od niza
svetlih i tamnih paralelnih pruga) objasnjavaju se ponovo Frenelovom shemom slaganja am-
plituda koja se zasniva na prevodjenju integrala u jednacini (13.16) za E(M) u odgovarajuce
sumiranje amplituda.
Napomenimo da svi rezultati dobijeni u ovom odeljku vaze pod uslovom da je radijus ko-
herentnosti svetlosnog talasa koji pada na prepreku mnogo veci od karakteristicnih dimenzija
prepreke (precnici otvora, radijus diska, itd.).
192
FIG. 113: Fraunhoferova difrakcija na pukotini
13.5. Fraunhoferova difrakcija na pukotini
Drugi tip difrakcije nastaje u polju paralelnih zraka posle prolaska svetlosti kroz odgo-
varajuce pukotine.
Neka na beskonacno dugacku pukotinu, odnosno na pukotinu cija je duzina l mnogo veca
od njene sirine b pada ravanski monohromatski svetlosni talas. Iza pukotine postavlja se
tanko sabirno socivo a u ziznu ravan sociva postavlja se zaklon na kome se detektuje jacina
svetlosti (Fig. 113). Talasne povrsi upadne svetlosti, ravan i zaklon medjusobno su paralelni.
Kako je pukotina ”beskonacna”, slika koja se javlja u bilo kojoj ravni normalnoj na pukotinu
bice ista. Zbog toga je dovoljno razmotriti difrakcionu sliku u jednoj od tih ravni, na primer
u ravni xy (ravan crteza na Fig. 113).
Osnovna formula na kojoj se zasniva nalazenje jacine svetlosti u tacki M predstavlja
modifikovanu formulu (13.16) u kojoj umesto sfernih talasa figurisu ravanski talasi tako da
je K(')/r = K0 konstantna velicina. Koristeci oznaku a0 = a0 exp(i®0), nalazimo
E(M) =
∫
ΔS
K0a0e−i(!t−∑
kisi−®0)dS. (13.35)
Pri pisanju poslednje formule uzeto je u obzir, da se, posle prolaska kroz pukotinu, svetlost
sabira pomocu sociva, tako da opticka sredina nije homogena. Sa ki je oznacen talasni broj
193
i-te opticke sredine, a sa si put koji predje uoceni zrak kroz ovu sredinu.
Radi integracije u jednacini (13.35), podelimo otkriveni deo talasne povrsi ΔS (koji se
poklapa sa pukotinom) na elementarne zone. One ce u posmatranom slucaju biti trake sirine
dy′ paralelne ivicama pukotine, tj. u jednacini (13.35) mozemo uzeti da je dS = ldy′. Dakle,
u slucaju Fraunhoferove difrakcije imamo
E(M) =
∫ b
0
K0la0e−i(!t−∑
kisi−®0)dy′. (13.36a)
Radi pogodnosti, uvodi se oznaka
K0la0 =A0
b, (13.36b)
tako da se jacina svetlosti u tacki M moze napisati u obliku
E(M) =
∫ b
0
A0
be−i(!t−∑
kisi−®0)dy′. (13.36c)
Kako se zraci u tacki M sabiraju pomocu sociva, to ce u tacku M odredjenu uglom 'M stici
svi zraci paralelni pravcu OM , vidi Fig. 113. Od talasnog fronta Σ do tacke M posmatrani
zraci su tautohtoni, odnosno imaju iste opticke duzine puteva. Prema tome, velicina
∑kisi = !Σ
sivi
=!
c
∑nisi (13.37a)
moze da se napise u obliku
∑kisi =
!
c(nΔ+ LΣM) = kΔ+
!
cLΣM , (13.37b)
gde je LΣM opticka duzina puta od talasnog fronta Σ do tacke M , dok je
Δ = Δ(y′) = y′ sin'M (13.38)
duzina puta od elementa dy′ povrsi ΔS do talasnog fronta Σ, duz koga se ostvaruje fazna
razlika.
Zamenom izraza (13.37b) i (13.38) u jednacinu (13.36c), nalazimo
E(M) =
∫ b
0
A0
be−i(!t−!
cLΣM−®0−kΔ(y′))dy′. (13.39a)
Radi jednostavnosti, uzecemo da je ®0 +!cLΣM = 0, cime je odredjena pocetna faza ®0.
Prelazeci na realan domen, za jacinu polja u tacki M , nalazimo
E(M) =
∫ b
0
A0
bcos(!t− ky′ sin'M)dy′. (13.39b)
194
FIG. 114: Zavisnost IM od » = ¼b¸ sin'M
Podintegralni izraz u jednacini (13.39b) predstavlja talas dEy′ (od elementarne zone sa
koordinatom y′) u tacki M ciji je polozaj na zaklonu odredjen uglom 'M .
Ako izvrsimo integraciju u jednacini (13.39b), nalazimo (smenom ¿ = !t− ky′ sin'M)
E(M) =A0
b
(− 1
k sin'M
)[sin(!t− kb sin'M)− sin!t] . (13.40a)
Koristeci relaciju sin®− sin ¯ = 2 sin ®−¯2
cos ®+¯2, izraz (13.40a) mozemo napisati u obliku
E(M) = A0
sin(kb2sin'M
)kb2sin'M
cos
(!t− kb
2sin'M
). (13.40b)
Dakle, u tacku M stize monohromatski talas amplitude
AM =
∣∣∣∣∣A0
sin(kb2sin'M
)kb2sin'M
∣∣∣∣∣ . (13.40c)
Jacina svetlosti u tacki M je proporcionalna kvadratu amplitude AM :
IM = const ⋅ 12⋅ n(AM)2, (13.41a)
odnosno
IM = I0sin2
(kb2sin'M
)
(kb2sin'M)2
, (13.41b)
gde je sa I0 oznacena jacina svetlosti u sredini difrakcione slike (nasuprot centra sociva, u
tacki ugaone kordinate 'M = 0). Kako je polozaj tacke na zaklonu odredjen koordinatom
y = ±f ′ tan'M , na osnovu formule (13.41b) moze se naci zavisnost IM(y). Dobija se parna
funkcija od y, sto znaci da je difrakciona slika simetricna u odnosu na centar sociva. Izrazeno
preko varijable » = kb2sin'M = ¼b
¸sin'M , jacina svetlosti IM se ponasa kao na Fig. 114. U
195
FIG. 115: Frenelove zone pri Fraunhoferovoj difrakciji na pukotini
tacki y = 0 u kojoj je » = 0 jacina svetlosti je maksimalna. Pri udaljavanju od ove tacke
smenjuju se tamna i svetla mesta koja na zaklonu obrazuju sistem pruga. Vidimo da su
minimumi jacine svetlosti odredjeni uslovom » = ¼b¸sin'M = m¼,m = ±1,±2, ... odnosno
uslovom
sin'min =m¸
b, m = ±1,±2, ... (13.42a)
Kako apsolutna vrednost sin'min ne moze biti veca od jedinice, vidimo da je broj minimuma
(broj pruga) ogranicen; naime,
m ≤ b
¸. (13.42b)
Kada je sirina pukotine b manja od talasne duzine, minimumi se uopste ne pojavljuju. U
tom slucaju jacina svetlosti monotono opada duz y-ose. Granicna vrednost » = ¼b/¸ takodje
je prikazana na Fig. 114.
Krajevima centralnog maksimuma odgovara vrednost » = ±¼, odnosno uglovi sin'M =
±¸/b. Prema tome, ugaona sirina centralnog maksimuma jednaka je
±' = 2arcsin¸
b. (13.43a)
U slucaju kada je b ≫ ¸, za vrednost sin ¸bmozemo priblizno uzeti ¸/b. Tada se formula
(13.43a) za ugaonu sirinu centralnog maksimuma pojednostavljuje:
±' ≈ 2¸
b. (13.43b)
Primetimo, na kraju, da se i u slucaju Fraunhoferove difrakcije na pukotini moguce
uvesti Frenelove zone. One se definisu kao trake debljine Δy′, tako da duzina Δm definisana
196
jednacinom (13.38), bude jednaka
Δm =¸
2m, m = 1, 2, ... (13.44a)
(vidi Fig. 115). Pri ovakvoj podeli na zone, jednacina (13.39a) moze da se napise u obliku
E(M) ≈mmax∑m=1
A0
be−i(!t−kΔm)Δy′. (12.45a)
Kako je kΔm = k ¸2⋅m = m¼, dok je Δy′ = ¸
2 sin'M= ¼
k sin'M, nalazimo
E(M) ≈ A0¼
kb sin'M
Ãmmax∑m=1
(−1)m
)e−i!t ≡ Ae−i!t. (13.45b)
Sumiranje u poslednjoj jednacini ide do mmax, koji prerdstavlja broj otvorenih Frenelovih
zona posmatranih u pravcu odredjenim uglom 'M :
mmax = [bsin'M
¸/2]. (13.46a)
Prema jednacini (13.45b) u tackama zaklona u kojima je mmax = 2m, imacemo nultu am-
plitudu, tj. pojavice se minimumi inteziteta svetlosti; odgovarajuci uglovi 'min odredjeni su
uslovom
2m = [b sin'min
¸/2], (13.46b)
tj. poklapaju se sa vec dobijenim uslovom (13.42a).
Pri upotrebi Frenelovih zona, jedini problem cini tacka nasuprot pukotini (na x-osi). Vec
smo ranije videli da se u ovim tackama javlja maksimum. Zato pri sumiranju (13.45b) treba
koristiti konvenciju∑mmax
m=1 (−1)m = 1 za mmax = 0.
13.6. Difrakciona resetka
Pod dirakcionom resetkom se podrazumeva sistem velikog broja jednakih pukotina koje
su rasporedjene na jednakim medjusobnim raastojanjima. Rastojanje d izmedju sredina
susednih pukotina naziva se period resetke.
Razmotrimo ponasanje resetke u uslovima Fraunhoferove difrakcije. Naime, iza resetke
se postavlja sabirno socivo a u njegovoj ziznoj ravni zaklon. Na resetku pada ravanski
monohromatski talas. Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da talas pada normalno na
resetku (Fig. 116).
197
FIG. 116: Difrakciona resetka
Svaka pukotina nezavisno obrazuje na zaklonu sliku kojoj odgovara raspodela jacine svet-
losti datu jednacinom (13.41b). Difrakcione slike od svih pukotina padaju na isto mesto
zaklona; centralni maksimum od svake pukotine lezi nasuprot centru sociva na x-osi. Ako bi
talasi koji stizu u tacku M iz razlicitih pukotina bili medjusobno nekoherentni, rezultujuca
slika od N pukotina razlikovala bi se od slike jedne pukotine samo utoliko sto bi intezitet
porastao N puta (IM,res = NIM). Medjutim, talasi od razlicitih pukotina su u manjoj ili
vecoj meri medjusobno koherentni. Zbog toga rezultujuca jacina svetlosti IM,res nece biti
data prostim slaganjem jacina svetlosti pojedinih pukotina.
Radi jednostavnosti, prepostavicemo da je duzina koherencije upadnih talasa mnogo veca
od duzine resetke, tako da talase od svih pukotina mozemo smatrati medjusobno koherent-
198
nim. U tom slucaju, rezultujuci talas u tacki M ciji je polozaj odredjen uglom 'M pred-
stavlja sumu N -talasa istih amplituda AM pomerenih jedan u odnosu na drugi po fazi za
konstantnu velicinu ± = kΔij. Velicina Δij, vidi Fig. 116 predstavlja putnu razliku talasa
susednih pukotina, tako da je:
± = k ⋅ d sin'M =2¼
¸d sin'M , (13.47)
gde je ¸ talasna duzina svetlosti a d period resetke.
U tacki M interferira N posmatranih talasa:
E =N∑
n=1
En, (13.48a)
gde je kompleksni oblik talasa En od n-te pukotine, dat jednacinom (13.40b) uz uracunatu
razliku u fazi ± izmedju susednih talasa,:
En = AMe−i(!t−(n−1)±), n = 1, 2, ...N (13.48b)
Faktor kb2sin'M koji postoji u izrazu (13.40b) predstavlja konstantnu fazu u datoj tacki
M svih talasa i uzet je za nulu. Primetimo da ovaj faktor ne postoji u pribliznom izrazu
(13.45b). Zamenom (13.48b) u (13.48a), nalazimo
E = AMe−i!t
N∑n=1
ei(n−1)±. (13.48c)
Poslednja suma predstavlja sumu prvih N clanova geometrijske progresije ciji je prvi clan
jednak jedinici. Naime, S =∑N
n=1 ei(n−1)± =
∑N−1m=0 e
im± =∑N−1
m=0(ei±)m =
∑N−1m=0 q
m gde je
q = ei±, tako da je
S =qN − 1
q − 1=
ei±N − 1
ei± − 1, (13.49)
odnosno
E = AMe−i!t1− eiN±
1− ei±= Ae−i!t, (13.50a)
gde smo uveli kompleksnu amplitudu
A = AM1− eiN±
1− ei±. (13.50b)
Jacina svetlosti u tacki M je
IM,res = const ⋅ n ⋅ 12∣A∣2. (12.51a)
199
Kako je
∣A∣2 = AA∗ = A2M
(1− eiN±)(1− e−iN±)
(1− ei±)(1− e−i±)= A2
M
2− eiN± − e−iN±
2− ei± − e−i±= A2
M
1− cosN±
1− cos ±,
(13.51b)
tj.
∣A∣2 = A2M
sin2 N±2
sin2 ±2
, (13.51c)
za jacinu svetlosti nalazimo
IM,res = const ⋅ n ⋅ 12A2
M
sin2 N±2
sin2 ±2
. (13.52a)
Uocivsi da je na osnovu jednacine (13.41a), velicina const ⋅ n ⋅ 12A2
M = IM , gde je IM jacina
svetlosti u tacki M pri difrakciji na jednoj pukotini, nalazimo
IM,res = IMsin2 N±
2
sin2 ±2
, (13.52b)
gde je ± dato jednacinom (13.47)
Zamenom izraza (13.41b) za jacinu svetlosti IM , u jednacinu (13.52b) dobijamo
IM,res = I0sin2(kb
2sin'M)
(kb2sin'M)2
sin2(Nkd2
sin'M)
sin2(kd2sin'M)
, (13.53)
gde je I0 jacina svetlosti pri difrakciji na jednoj pukotini u tacki zaklona nasuprot centra
sociva. Prvi mnozitelj u izrazu (13.53) se anulira pri » = kb2sin'M = m¼,m = ±1,±2, ... tj.
b sin'M = m¸; m = ±1,±2, ... (13.54a)
U ovim tackama jacina svetlosti ”od pojedinih pukotina” jednaka je nuli, videti jednacinu
(13.42a). Drugi mnozitelj u jednacini (13.53) dobija maksimalnu vrednost u tackama u
kojima je »′ = kd2sin'M = m′¼,m′ = 0,±1,±2, ..., tj. za
d sin'M = m′¸, m′ = 0,±1,±2, ... (13.54b)
Zaista, u ovim tackama imamo: limd sin'M→m′¸sin(Nkd
2sin'M )
sin( kd2
sin'M )= lim»′→m′¼
sin(N»′)sin »′ =
N lim»′→m′¼cos(N»′)cos(»′) = N(−1)(N−1)m′
, tako da jesin2(Nkd
2sin'M )
sin2( kd2
sin'M )= N2. U pravcima odred-
jenim uslovom (13.59b) talasi pojedinih pukotina se uzajamno pojacavaju, pa se na zaklonu
javljaju maksimumi inteziteta svetlosti (IM,res)max = N2IM , gde je IM jacina svetlosti od
200
FIG. 117: (a) Jacina svetlosti dobijena difrakcijom na resetci i (b) pukotini (slucaj +¸b = 3¸
d, tj.
N = 4, db = 3
201
jedne pukotine. Maksimumi inteziteta svetlosti (IM,res)max odredjeni uslovom (13.54b) nazi-
vaju se glavni maksimumi. Broj ∣m′∣ daje red glavnog maksimuma. Postoji samo jedan
glavni maksimum nultog reda, dok maksimumi prvog, drugog, itd. reda ima po dva.
Pored minimuma odredjenih uslovom (13.54a), u intervalu izmedju susednih glavnih mak-
simuma postoji po N −1 dodatni minimum. Ovi minimumi se javljaju u pravcima u kojima
se talasi od pojedinih pukotina uzajamno ponistavaju. U skladu sa formulom (13.53) polozaji
dodatnih minimuma odredjeni su uslovom N»′ = m′′¼,m′′ = ±1,±2, ...; »′ ∕= m′¼, tj.
d sin'M =m′′
N¸, m′′ = ±1,±2, ...;m′′ ∕= m′N (13.54c)
Naime, m′′ moze uzimati sve vrednosti ±1,±2, .. osim onih (m′′ = m′N) za koje se dobija
uslov (13.54b) glavnih maksimuma.
Izmedju dodatnih minimuma rasporedjeni su slabi sekundarni maksimumi. Broj ovih
maksimuma u intervalu izmedju susednih glavnih maksimuma jednak je N − 2. Inteziteti
sekundarnih maksimuma ne prelaze 1/22 inteziteta najblizeg glavnog maksimuma. Na Fig.
117(a) prikazan je slucaj N = 4 i d/b = 3. Pri ovom odnosu d/b, glavni maksimumi 3-ceg,
6-tog, itd. reda se poklapaju sa minimumima inteziteta od jedne pukotine (Fig. 117(b)),
usled cega se ovi maksimumi gube.
Broj glavnih maksimuma odredjen je odnosom perioda resetke d i talasne duzine ¸.
Apsolutna vrednost sin'M ne moze biti veca od jedinice, tako da iz jednacine (13.54b) sledi
m′ ≤ d
¸. (13.55)
Polozaji glavnih maksimuma zavise od talasne duzine ¸. Zbog toga, ako se kroz resetku
propusta bela svetlost, svi maksimumi, osim centralnog, razlazu se u spektar ciji se ljubicasti
deo nalazi blize centru slike, a crveni prema kraju. Na taj nacin, difrakciona resetka pred-
stavlja spektralni uredjaj.
Kraj kursa
202
LITERATURA
203
Top Related