c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 26
STK352Analisis Deret Waktu
Pendugaan Parameter Model ARIMAPertemuan 9
Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB
6 Mei 2008
MATERI PEMBAHASAN
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 2 / 26
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRAT TERKECIL
METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
RESUME
PENGANTAR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 3 / 26
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
✦ Ragam white noise: σ2a
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
✦ Ragam white noise: σ2a
✦ Nilai tengah {Zt}: µ
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
✦ Ragam white noise: σ2a
✦ Nilai tengah {Zt}: µ
● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
✦ Ragam white noise: σ2a
✦ Nilai tengah {Zt}: µ
● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:
1. Metode Momen
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
✦ Ragam white noise: σ2a
✦ Nilai tengah {Zt}: µ
● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:
1. Metode Momen2. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square)
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
❖ Pengantar
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 26
● Setelah model ARIMA tentatif ditetapkan, langkah berikutnyadalam pemodelan Box-Jenkins adalah pendugaan parametermodel.
● Parameter yang diduga meliputi:
✦ Komponen AR: φ1, φ2, . . . , φp
✦ Komponen MA: θ1, θ2, . . . , θq
✦ Ragam white noise: σ2a
✦ Nilai tengah {Zt}: µ
● Pada bagian ini disajikan tiga alternatif metode pendugaan:
1. Metode Momen2. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square)3. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood)
METODE MOMEN
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 26
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
✦ ordo 1: E(X) = µ
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
✦ ordo 1: E(X) = µ
✦ ordo k: E(Xk)
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
✦ ordo 1: E(X) = µ
✦ ordo k: E(Xk)
● Momen contoh:
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
✦ ordo 1: E(X) = µ
✦ ordo k: E(Xk)
● Momen contoh:
✦ ordo 1: 1n
∑ni=1 Xi = X̄
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
✦ ordo 1: E(X) = µ
✦ ordo k: E(Xk)
● Momen contoh:
✦ ordo 1: 1n
∑ni=1 Xi = X̄
✦ ordo k: 1n
∑ni=1 Xk
i
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 26
● Statistik pada Metode Momen diperoleh dengan caramenyamakan momen populasi dengan momen contoh-nya
● Momen populasi:
✦ ordo 1: E(X) = µ
✦ ordo k: E(Xk)
● Momen contoh:
✦ ordo 1: 1n
∑ni=1 Xi = X̄
✦ ordo k: 1n
∑ni=1 Xk
i
● Sebagai ilustrasi, mudah kita peroleh bahwa µ̂ = X̄
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26
● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26
● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1
● Model AR(2):
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26
● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1
● Model AR(2):
✦ kaitan antara parameter φ1 dan φ2 dengan berbagaimomen tercermin lewat persamaan Yule Walker:
ρ1 = φ1 + ρ1φ2 dan ρ2 = ρ1φ1 + φ2
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 26
● Model AR(1): karena ρ1 = φ, maka φ̂ = r1
● Model AR(2):
✦ kaitan antara parameter φ1 dan φ2 dengan berbagaimomen tercermin lewat persamaan Yule Walker:
ρ1 = φ1 + ρ1φ2 dan ρ2 = ρ1φ1 + φ2
✦ dengan mengganti ρ1 dan ρ2 masing-masing dengan r1 danr2 diperoleh
φ̂1 =r1(1 − r2)
1 − r21
dan φ̂2 =r2 − r2
1
1 − r21
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26
● Model AR(p):
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26
● Model AR(p):
✦ pada persamaan Yule-Walker, dengan mengganti ρk
dengan rk diperoleh:
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26
● Model AR(p):
✦ pada persamaan Yule-Walker, dengan mengganti ρk
dengan rk diperoleh:
r1 = φ1 + φ2r1 + . . . + φprp−1
r2 = φ1r1 + φ2 + . . . + φprp−2
...
rp = φ1rp−1 + φ2rp−2 + . . . + φp
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 26
● Model AR(p):
✦ pada persamaan Yule-Walker, dengan mengganti ρk
dengan rk diperoleh:
r1 = φ1 + φ2r1 + . . . + φprp−1
r2 = φ1r1 + φ2 + . . . + φprp−2
...
rp = φ1rp−1 + φ2rp−2 + . . . + φp
✦ SPL tersebut dapat diselesaikan untuk mendapatkanφ1, φ2, . . . , φp sebagai fungsi dari r1, r2, . . . , rp.
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
● Model MA(1)
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
● Model MA(1)
✦ ρ1 = − θ1+θ2
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
● Model MA(1)
✦ ρ1 = − θ1+θ2
✦ Karena ρ1 = r1, maka
θ̂ =−1 +
√
1 − 4r21
2r1
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
● Model MA(1)
✦ ρ1 = − θ1+θ2
✦ Karena ρ1 = r1, maka
θ̂ =−1 +
√
1 − 4r21
2r1
✦ Penduga bagi θ bernilai riil dan invertible bila |r1| < 0.5.
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
● Model MA(1)
✦ ρ1 = − θ1+θ2
✦ Karena ρ1 = r1, maka
θ̂ =−1 +
√
1 − 4r21
2r1
✦ Penduga bagi θ bernilai riil dan invertible bila |r1| < 0.5.
● Perhatikan bahwa metode momen bermasalah terutama ketika|r1| > 0.5.
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 26
● Model MA(1)
✦ ρ1 = − θ1+θ2
✦ Karena ρ1 = r1, maka
θ̂ =−1 +
√
1 − 4r21
2r1
✦ Penduga bagi θ bernilai riil dan invertible bila |r1| < 0.5.
● Perhatikan bahwa metode momen bermasalah terutama ketika|r1| > 0.5.
● Secara umum, untuk Model MA(q) pendugaan bagi θmelibatkan persamaan yang nonlinier serta hanya sebagiansolusinya yang menghasilkan model yang invertible.
Pendugaan Untuk Model ARMA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26
Pendugaan Untuk Model ARMA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26
● Untuk model ARMA(1,1): ρk = (1−θφ)(φ−θ)1−2φθ+θ2 φk−1
Pendugaan Untuk Model ARMA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26
● Untuk model ARMA(1,1): ρk = (1−θφ)(φ−θ)1−2φθ+θ2 φk−1
● Karena ρ2/ρ1 = φ, maka φ̂ = r2
r1
Pendugaan Untuk Model ARMA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 26
● Untuk model ARMA(1,1): ρk = (1−θφ)(φ−θ)1−2φθ+θ2 φk−1
● Karena ρ2/ρ1 = φ, maka φ̂ = r2
r1
● Selanjutnya, persamaan r1 = (1−θφ̂)(φ̂−θ)
1−2φ̂θ+θ2digunakan untuk
mendapatkan θ̂.
Pendugaan Untuk Ragam
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26
Pendugaan Untuk Ragam
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26
● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P
n
t=1(Zt−Z̄)2
n−1
Pendugaan Untuk Ragam
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26
● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P
n
t=1(Zt−Z̄)2
n−1
● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan
memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.
Pendugaan Untuk Ragam
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26
● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P
n
t=1(Zt−Z̄)2
n−1
● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan
memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.● Untuk AR(p):
σ̂2a = (1 − φ̂1r1 − φ̂2r2 − . . . − φ̂prp)S
2
Pendugaan Untuk Ragam
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26
● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P
n
t=1(Zt−Z̄)2
n−1
● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan
memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.● Untuk AR(p):
σ̂2a = (1 − φ̂1r1 − φ̂2r2 − . . . − φ̂prp)S
2
● Untuk MA(q):
σ̂2a =
S2
1 + θ̂21 + θ̂2
2 + . . . + θ̂2q
Pendugaan Untuk Ragam
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
❖ Pengantar
❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA❖ Pendugaan UntukModel ARMA❖ Pendugaan UntukRagam
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 26
● Dugaan bagi ragam {Zt}: γ̂0 = S2 =P
n
t=1(Zt−Z̄)2
n−1
● Secara umum, dugaan bagi σ2a dilakukan dengan
memanfaatkan hubungannya dengan γ0, θ, serta φ.● Untuk AR(p):
σ̂2a = (1 − φ̂1r1 − φ̂2r2 − . . . − φ̂prp)S
2
● Untuk MA(q):
σ̂2a =
S2
1 + θ̂21 + θ̂2
2 + . . . + θ̂2q
● Untuk ARMA(1,1):
σ̂2a =
(1 − φ̂2)
1 − 2θ̂φ̂ + θ̂2S2
METODE KUADRAT TERKECIL
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 12 / 26
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 26
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 26
● Penduga parameter dari Metode Kuadrat Terkecil merupakanstatistik yang meminimumkan jumlah kuadrat galat.
Pendugaan Untuk Model AR
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 26
● Penduga parameter dari Metode Kuadrat Terkecil merupakanstatistik yang meminimumkan jumlah kuadrat galat.
● Untuk model AR(1): Zt − µ = φ(Zt−1 − µ) + at, jumlah kuadratgalat adalah sebesar
S∗(φ, µ) =
n∑
t=2
[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26
● Penduga bagi µ
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26
● Penduga bagi µ
✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26
● Penduga bagi µ
✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
✦ ∂S∗
∂µ =∑n
t=2 2[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)](−1 + φ) = 0
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26
● Penduga bagi µ
✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
✦ ∂S∗
∂µ =∑n
t=2 2[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)](−1 + φ) = 0
✦ Dengan demikian,
µ̂ =
∑nt=2 Zt − φ
∑nt=2 Zt−1
(n − 1)(1 − φ)
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 26
● Penduga bagi µ
✦ µ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
✦ ∂S∗
∂µ =∑n
t=2 2[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)](−1 + φ) = 0
✦ Dengan demikian,
µ̂ =
∑nt=2 Zt − φ
∑nt=2 Zt−1
(n − 1)(1 − φ)
✦ Untuk n besar,∑n
t=2Zt
n−1 ≈∑n
t=2Zt−1
n−1 ≈ Z̄ sehingga
µ̂ ≈Z̄ − φZ̄
1 − φ= Z̄
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26
● Penduga bagi φ
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26
● Penduga bagi φ
✦ φ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
∂S∗(φ, µ)
∂φ= −
n∑
t=2
2[(Zt − Z̄) − φ(Zt−1 − Z̄)](Zt−1 − Z̄) = 0
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26
● Penduga bagi φ
✦ φ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
∂S∗(φ, µ)
∂φ= −
n∑
t=2
2[(Zt − Z̄) − φ(Zt−1 − Z̄)](Zt−1 − Z̄) = 0
✦ Dengan demikian
φ̂ =
∑nt=2(Zt − Z̄)(Zt−1 − Z̄)∑n
t=2(Zt−1 − Z̄)2
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 26
● Penduga bagi φ
✦ φ yang membuat fungsi S∗(φ, µ) minimum adalah yangmembuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
∂S∗(φ, µ)
∂φ= −
n∑
t=2
2[(Zt − Z̄) − φ(Zt−1 − Z̄)](Zt−1 − Z̄) = 0
✦ Dengan demikian
φ̂ =
∑nt=2(Zt − Z̄)(Zt−1 − Z̄)∑n
t=2(Zt−1 − Z̄)2
✦ Statistik ini hampir sama dengan r1
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26
● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26
● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar
✦ Dapat ditunjukkan bahwa µ̂ ≈ Z̄
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26
● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar
✦ Dapat ditunjukkan bahwa µ̂ ≈ Z̄✦ Untuk penduga koefisien model φ, dapat ditunjukkan pula
bahwa statistik yang diperoleh memanfaatkan PersamaanYule-Walker.
Pendugaan Untuk Model AR (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 26
● Untuk Model AR(p) dengan ukuran contoh besar
✦ Dapat ditunjukkan bahwa µ̂ ≈ Z̄✦ Untuk penduga koefisien model φ, dapat ditunjukkan pula
bahwa statistik yang diperoleh memanfaatkan PersamaanYule-Walker.
✦ Karena itu, untuk Model AR(p) serta ukuran contoh besar,Metode Momen dan Metode Kuadrat Terkecil menghasilkanpenduga parameter yang sama.
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26
● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26
● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.
● Hal ini disebabkan model yang terlibat merupakan modelnonlinier.
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26
● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.
● Hal ini disebabkan model yang terlibat merupakan modelnonlinier.
● Sebagai ilustrasi, model MA(1): Zt = at − θat−1 yang invertibledapat dituliskan menjadi
Zt = −θZt−1 − θ2Zt−2 − . . . + at
Pendugaan Untuk Model MA
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL❖ Pendugaan UntukModel AR❖ Pendugaan UntukModel MA
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 26
● Berbeda dengan Model AR, untuk Model MA (maupun modelARMA), tidak ada rumus jadi (closed form) bagi pendugaparameter model.
● Hal ini disebabkan model yang terlibat merupakan modelnonlinier.
● Sebagai ilustrasi, model MA(1): Zt = at − θat−1 yang invertibledapat dituliskan menjadi
Zt = −θZt−1 − θ2Zt−2 − . . . + at
● Karena itu, statistik yang meminimumkan jumlah kuadratS∗(θ) = Σa2
t dihasilkan melalui algoritma optimisasi numerissemacam Algoritma Marquardt.
METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 18 / 26
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26
● Berbeda dengan Metode Momen maupun Metode KuadratTerkecil yang hanya memanfaatkan momen pertama dankedua, Metode Kemungkinan Maksimum memanfaatkankeseluruhan informasi yang dikandung data karena bekerjaberdasarkan sebaran peluang data.
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26
● Berbeda dengan Metode Momen maupun Metode KuadratTerkecil yang hanya memanfaatkan momen pertama dankedua, Metode Kemungkinan Maksimum memanfaatkankeseluruhan informasi yang dikandung data karena bekerjaberdasarkan sebaran peluang data.
● Bila X1, X2, . . . , Xn merupakan contoh acak dari populasi yangsama yang memiliki parameter sebesar θ, sehingga
Xii.i.d∼ f(X|θ)
Pengantar
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 26
● Berbeda dengan Metode Momen maupun Metode KuadratTerkecil yang hanya memanfaatkan momen pertama dankedua, Metode Kemungkinan Maksimum memanfaatkankeseluruhan informasi yang dikandung data karena bekerjaberdasarkan sebaran peluang data.
● Bila X1, X2, . . . , Xn merupakan contoh acak dari populasi yangsama yang memiliki parameter sebesar θ, sehingga
Xii.i.d∼ f(X|θ)
maka sebaran peluang bersama dari n contoh tersebut adalah
f(X1, X2, . . . , Xn|θ) =n∏
i=1
f(Xi|θ)
Pengantar (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26
Pengantar (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26
● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan
f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)
Pengantar (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26
● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan
f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)
● Fungsi L ini biasa dinamakan dengan fungsi kemungkinan(likelihood function).
Pengantar (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26
● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan
f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)
● Fungsi L ini biasa dinamakan dengan fungsi kemungkinan(likelihood function).
● Penduga kemungkinan maksimum selanjutnya adalah pendugayang memaksimumkan kemungkinan terambilnya contoh atauyang memaksimumkan fungsi kemungkinan.
Pengantar (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 26
● Fungsi f(X1, X2, . . . , Xn|θ) dapat pula dipandang sebagaifungsi dari θ bila pengamatan dianggap konstan
f(X1, X2, . . . , Xn|θ) = L(θ|X1, X2, . . . , Xn)
● Fungsi L ini biasa dinamakan dengan fungsi kemungkinan(likelihood function).
● Penduga kemungkinan maksimum selanjutnya adalah pendugayang memaksimumkan kemungkinan terambilnya contoh atauyang memaksimumkan fungsi kemungkinan.
● Biasanya, fungsi yang dimaksimumkan bukan fungsi Lmelainkan log(L).
Ilustrasi Untuk AR(1)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26
Ilustrasi Untuk AR(1)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26
● Bila at ∼ Normal(0, σ2a) maka fungsi kepekatan peluang bagi at
adalah
f(at) = (2πσ2a)−1/2 exp
(
−a2
t
2σ2a
)
untuk −∞ < at < ∞
Ilustrasi Untuk AR(1)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26
● Bila at ∼ Normal(0, σ2a) maka fungsi kepekatan peluang bagi at
adalah
f(at) = (2πσ2a)−1/2 exp
(
−a2
t
2σ2a
)
untuk −∞ < at < ∞
● Sehingga sebaran peluang bersama a2, a3, . . . , an adalah
f(a2, a3, . . . , an) = (2πσ2a)−(n−1)/2 exp
(
−1
2σ2a
n∑
t=2
a2t
)
Ilustrasi Untuk AR(1)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 26
● Bila at ∼ Normal(0, σ2a) maka fungsi kepekatan peluang bagi at
adalah
f(at) = (2πσ2a)−1/2 exp
(
−a2
t
2σ2a
)
untuk −∞ < at < ∞
● Sehingga sebaran peluang bersama a2, a3, . . . , an adalah
f(a2, a3, . . . , an) = (2πσ2a)−(n−1)/2 exp
(
−1
2σ2a
n∑
t=2
a2t
)
● Untuk AR(1): Zt − µ = φ(Zt−1 − µ) + at didapatkan
Z2 − µ = φ(Z1 − µ) + a2
Z3 − µ = φ(Z2 − µ) + a3
...
Zn − µ = φ(Zn−1 − µ) + an
Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 26
Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 26
● Bila Z1 diketahui (Z1 = z1), maka sebaran peluang bersamadari Z2, Z3, . . . , Zn dapat diperoleh dari f(a2, a3, . . . , an) denganmengganti komponen a dengan z
f(Z2, Z3, . . . , Zn|Z1 = z1) = (2πσ2a)−(n−1)/2
× exp
{
−1
2σ2a
n∑
t=2
[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2}
Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26
Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26
● Dari pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa E(Z1) = µ danV ar(Z1) = γ0 = σ2
a/(1 − φ2)
Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26
● Dari pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa E(Z1) = µ danV ar(Z1) = γ0 = σ2
a/(1 − φ2)● Karena itu
L(φ, µ, σ2a) = (2πσ2
a)−n/2(1 − φ2)1/2 exp[
−1
2σ2a
S(φ, µ)
]
di mana
S(φ, µ) =
n∑
t=2
[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2
+ (1 − φ2)(Z1 − µ)2
Ilustrasi Untuk AR(1) (lanjutan)
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
❖ Pengantar
❖ Ilustrasi Untuk AR(1)
RESUME
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 26
● Dari pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa E(Z1) = µ danV ar(Z1) = γ0 = σ2
a/(1 − φ2)● Karena itu
L(φ, µ, σ2a) = (2πσ2
a)−n/2(1 − φ2)1/2 exp[
−1
2σ2a
S(φ, µ)
]
di mana
S(φ, µ) =
n∑
t=2
[(Zt − µ) − φ(Zt−1 − µ)]2
+ (1 − φ2)(Z1 − µ)2
● Jumlah kuadrat S(φ, µ) biasa disebut dengan jumlah kuadrattidak bersyarat (unconditional sum of squares), sementaraS∗(φ, µ) disebut dengan jumlah kuadrat bersyarat(conditional sum of squares)
RESUME
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 24 / 26
Resume
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26
Resume
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26
● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh
Resume
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26
● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh
● Metode Kuadrat Terkecil Bersyarat: Meminimumkan jumlahkuadrat S∗(φ, µ)
Resume
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26
● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh
● Metode Kuadrat Terkecil Bersyarat: Meminimumkan jumlahkuadrat S∗(φ, µ)
● Metode Kuadrat Terkecil Tidak Bersyarat: Meminimumkanjumlah kuadrat S(φ, µ)
Resume
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 26
● Metode Momen: Menyamakan momen populasi denganmomen contoh
● Metode Kuadrat Terkecil Bersyarat: Meminimumkan jumlahkuadrat S∗(φ, µ)
● Metode Kuadrat Terkecil Tidak Bersyarat: Meminimumkanjumlah kuadrat S(φ, µ)
● Metode Kemungkinan Maksimum: Memaksimumkan fungsikemungkinan L(φ, µ, σ2
a).
❖ MATERIPEMBAHASAN
PENGANTAR
METODE MOMEN
METODE KUADRATTERKECIL
METODEKEMUNGKINANMAKSIMUM
RESUME
❖ Resume
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 26 / 26
TERIMA KASIH
Top Related