Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
STATİK
Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
STATİK
STATİK
YAPILAR
Behcet DAĞHAN
4Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Düzlem Kafes Sistemler
4.1STATİK
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 1
Ağır yükleri taşımakta kullanılan yapılarınkendi ağırlıklarının mümkün olduğu kadar hafif olması istenir.
Bu amaçla krenler, köprüler, çatılar vb. yapılarkafes sistem tekniği ile tasarlanır.
Kafes sistemler, "yalnızca iki kuvvet taşıyan elemanlar"ın birbirine bağlanmasıile ortaya çıkan yapılardır. Bu elemanların, serbestçe dönen ve moment iletmediğifarzedilen pimlerle birbirine bağlandığı düşünülür.
Eğer elemanların tamamı aynı düzlemde yer alıyorsa o zamandüzlem kafes sistemlerden bahsedilir.
Elemanlar, elde edilen yapının rijit olabilmesi için,üçgenler oluşturacak şekilde birleştirilirler.
Rijit, çökmez.Yük taşıyabilir.
Rijit değil, çöker.Yük taşıyamaz.
İki üçgene bölünürse yük taşıyabilecek hale gelir.
Elemanların bağlantı noktalarından geçen doğru, taşıdığı kuvvetlerin ortak tesir çizgisidir ve bu kuvvetler çekme veya basma yönünde olabilirler.Bir eleman herhangi bir yerinden hayali olarak kesilirse o kesitte elemanın ucundaki kuvveti dengeleyecek şekilde bir kuvvet olduğu görülür.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 2
Düğüm Yöntemi
Kafes sistemlerin taşıdığı yükler, eğer yayılı yük ise elemanları bağlayan pimlere uygulanan tekil yüklere indirgenirler.Tekil yükler elemanların uç noktalarının dışında arada bir yere uygulanmaz.Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları yüke nazaran, çoğunlukla, ihmal edilir.İhmal edilmediği zaman bir elemanın ağırlığı ikiye bölünerek uç noktalarındaki pimlere uygulanır.
Kafes sistemlerin tasarımı yapılırken elemanların taşıdığı kuvvetler bulunmalıdır. Bu kuvvetleri bulmak amacı ile takip edilen iki temel yaklaşım vardır:
- Düğüm yöntemi,- Kesim yöntemi.
Kafes sistemin parçalarının birbirine birleştirildiği yerlere düğüm denir. Bu düğümlerde elemanların birbirine bir pim vasıtası ile bağlandığı farzedilir.Düğüm yönteminde bu pimlerin dengesi incelenerek bilinmeyenler bulunur.
x
y
A
A
AB
AG
ΣFx = 0
ΣFy = 0
Denge kategorisi bir noktada kesişen kuvvetler kategorisi olduğundan Bir düğümün dengesinden en fazla 2 bilinmeyen bulunabilir.
AB
AB
A
AG AG
A
F
A D
B C
EG
A pimi
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 3
Özel düğümler
y
ΣFy = 0
ΣFx = 0
xF2F1
→ F3 = 0
→ F1 = F2
y
ΣFy = 0
ΣFx = 0
xF2F1
→ F3 = 0
→ F1 = F2
F3 = 0 F3 = 0y
ΣFy = 0
ΣFx = 0
xPF1
→ F2 = 0
→ F1 = P
F2 = 0
F
A D
B C
EG
F
A D
A D
Kafes sistemin tamamının dengesinden de ilave denklemler elde edilebilir.Mesnet tepkileri bulunabilir.
Bir üçgeni oluşturan çubuklardaki kuvvetlerinkendi aralarında dengede olduğu söylenemez.
CD
ED
CE = 0
!
F
A D
B C
EG
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 4
y
ΣFy = 0
ΣFx' = 0
F4
F2F1
→ F3 = F4
→ F1 = F2
F3
∟
∟
x' y
ΣFy = 0
ΣFy' = 0
F2 = 0
F1 = 0
→ F1 = 0
→ F2 = 0
y'
∟
∟
L
İki sabit mesnet arasındaki çubuk kuvvet taşımaz.
EF
= 0
ΣFy = 0 → F1 = F2
F2F1
F1 = F2 = F3
F3
60o
60o
F2 F1
F3
60o 60o
60o
P
F1
F1 = F2 = P
60o
60o
F2 F1
60o 60o
60o
P
F2
F2
F3
F1
y
∟
EF = 0
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 5
Kafes sistemler tasarlanırken bazen yukarıdaki gibi iki tane kablo çapraz olarak takılabilir.
Bu durumda kablolardan sadece birisi yük taşır.
Eğer hangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan eleman olarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir.
Yapılan hesaplamanın sonucunda yük taşıdığı düşünülen kabloda çekme kuvveti bulunursa demekki yapılan kabul doğrudur.
Basma kuvveti bulunursa, bir kablo basma kuvveti taşıyamayacağı için yapılan kabulün tersi doğrudur.
A A B BAB AB AB AB Bir düğümde çekme olan çubuk kuvveti diğer düğümde de çekmedir.AB kuvveti A düğümünde çekme ise B düğümünde de çekmedir.
Bir düğümde basma olan çubuk kuvveti diğer düğümde de basmadır.AB kuvveti A düğümünde basma ise B düğümünde de basmadır.
A A B BAB AB AB AB
∟
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 6
Örnek Problem 4/1
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvvetibulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır.
L1 = 4 kN
AB = ?
AE = ?
CD = ?
DE = ?
y
Ay
∟
C
Ax
x
Tekerlekli mesnette ortayaçıkan tepki kuvveti daima dayanma yüzeyine diktir.
2
2
Çubukların boyunu 2 birim alalım.
2
2 2
22
30o
ΣFy' = 0
ΣFy = 0
ΣMA = 0
− 4 (1) − 8 (2) − 2 (3) + C sin30o (4) = 0
C = 13 kN
y
∟
C = 13 kN
x30o
C düğümü:
CBC
CD
60o
y'
30o
→
→
C sin30o − CD sin60o = 0
C − BC cos30o = 0
→
→
CD = 7.51 kN
BC = 15.01 kN
CCD
BC
30o60o
→
CD = BC cos60o
C = BC cos30o
L2 = 8 kN
L3 = 2 kN
BE = ?
BC = ?
BD = ?
Çözüm
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 7
Örnek Problem 4/1
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvvetibulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır.
L1 = 4 kN
AB = ?
AE = ?
BE = ?
BC = ?
BD = ?
CD = ?
DE = ?
ΣFx = 0
ΣFy = 0
y
x
D düğümü:
DDE
CD = 7.51 kN
60o
CD sin60o − BD sin60o − 2 = 0
BD = 5.2 kN
L2 = 8 kN
L3 = 2 kN60o
BD
2 kN
CD cos60o + BD cos60o − DE = 0
DE = 6.35 kNΣFy = 0
ΣFx = 0
y
x
E düğümü:
E
BE
ED + BE cos60o − AE cos60o = 0
AE = 8.66 kN
60o
AE
4 kN
BE sin60o + AE sin60o − 4 = 0
BE = − 4.04 kN
DE = 6.35 kN60o
Bir çubuğun bir düğümünde çekme olan çubuk kuvveti,diğer düğümünde de çekmedir. CD kuvveti C düğümünde
çekme olarak bulunduğu içinD düğümünde de çekmedir.
Yön belirtir.Seçilen yönde değil, ters yöndedir.
ΣFx = 0
y
x
B düğümü:
B
BE = 4.04 kN
AB + BE cos60o − BD cos60o − BC = 0
60o
BD = 5.2 kN
8 kN
BC = 15.01 kN
60o
AB
AB = 15.59 kN
Çözüm (devamı)
↑
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 8
Örnek Problem 4/2
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin BD ve BE çubuklarının taşıdığı kuvvetleri bulunuz.Bütün iç açılar ya 60o veya 120o dir.
BE = ?
BD = ?
Çözüm
LG düğümü:
G
EG120o
FG
L
BE = L
120o
––––––– = –––––––sin120o sin120o
EG L
EG = L
E düğümü:
E
EG = L
60o
BE
BE = EG = L
DE
60o BE
60o
60o
60o
EG
DE
BD = L
B düğümü:
B
BD60o
BE = L BD = BE = L
AB
60o
BE
60o
60o
60o
BD
AB
L
60o
60o
60o
EG
FG
Bu kafes sistemin tamamı üçgenlerdenmeydana gelmemiştir.
Fakat rijit bir yapı ortaya çıkmıştır,yük taşıyabilmektedir.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 9
Örnek Problem 4/3
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun kütlesi 40 kg olduğuna göre her birçubuğa gelen ortalama kuvveti hesaplayınız.
Çözüm
m = 40 kg
L = 8 m
AB = ?
AE = ?
BE = ?
BC = ?
BD = ?
CD = ?
DE = ?
Kafes sistem yükleme açısından veaynı zamanda geometrik olarak simetrik olduğu için:
AE = CD AB = BC BE = BD
A C
A = C = WT / 2 = 1373 N
g = 9.81 m/s2
W = mg
WT
A düğümü:
A
AE
60o
A = 1373 N
AB
W
Çubukların ağırlıklarını, ihmal etmediğimiz zaman,uç noktalarındaki pimlere etki eden iki kuvvete böleriz.
Bir çubuğun ağırlığına W diyelim.
x
yAE ve AB çubuklarınınağırlıklarının yarısını
A düğümüne etkiettiririz.
W = 392 N
ΣFy = 0
ΣFx = 0
AB − AE cos60o = 0
AB = 566 N
A − W − AE sin60o = 0
AE = 1133 N
E düğümü:
E
AE = 1133 N30o
DE
1.5W
x
yΣFy = 0
ΣFx = 0 AE sin30o + BE sin30o − DE = 0
DE = 794 N
AE cos30o − 1.5 W − BE cos30o = 0
BE = 454 N
BE
→
30o
→
WT = 40 (7) (9.81) = 2747 N
→
Kafes sistemin tamamının ağırlığı
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 10
Örnek Problem 4/4
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çaprazkablodan oluşmuştur. AC ve BD kabloları basma taşıyamayan elemanlardır. L yükü (a) B düğümüne,(b) C düğümüne uygulandığı zaman elemanlarda ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.
Çözüm
AB = ?
AC = ?
BC = ?
BD = ?
CD = ?
AD = ?
Lİki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi yük taşır. Eğerhangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan elemanolarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir. AC nin çekme taşıdığını veBD nin yük taşımadığını kabul edelim.
y
x
B düğümü:
BAB
BC
(a) L yükü B den uygulanıyor:
L
ΣFy = 0
ΣFx = 0 → AB = 0
→ BC = L
y
x
C düğümü:
CCD
BC = L
BD = 0
AC
CD
AC
CD = 4L / 3
AC = 5L / 3
BC = L
y
x
D düğümü:
D
D CD
ΣFy = 0 → AD = 0
AD
AC kuvveti pozitif çıktı.Demekki yapılan seçim doğrudur.AC kablosu yük taşır. BD kablosu taşımaz.
BD = 0
35
4
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 11
Örnek Problem 4/4
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çaprazkablodan oluşmuştur. AC ve BD kabloları basma taşıyamayan elemanlardır. L yükü (a) B düğümüne,(b) C düğümüne uygulandığı zaman elemanlarda ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.
Çözüm (devamı)
AB = ?
AC = ?
BC = ?
BD = ?
CD = ?
AD = ?
L
y
x
B düğümü:
BAB
BC
(b) L yükü C den uygulanıyor:
ΣFy = 0
ΣFx = 0 → AB = 0
→ BC = 0
y
x
C düğümü:
CCD
L
BD = 0
AC
CD
ACL
y
x
D düğümü:
D
D CD
ΣFy = 0 → AD = 0
AD
AC kuvveti pozitif çıktı.Demekki yapılan seçim doğrudur.AC kablosu yük taşır. BD kablosu taşımaz.
İki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi yük taşır. Eğerhangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan elemanolarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir. AC nin çekme taşıdığını veBD nin yük taşımadığını kabul edelim. BD = 0
→
35
4
CD = 4L / 3
AC = 5L / 3
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 12
Kesim Yöntemi
F
A D
A D
Elemanların taşıdığı kuvvetleri bulmak amacı ile aşağıdaki gibi kesim yapılarak sadece kafes sistemin bir kısmının dengesi incelenebilir.
ΣFx = 0
ΣFy = 0
Mesnet tepkileri kafes sistemin tamamının dengesinden de bulunabilir.
F
AB C
D
EG
F
A
G GE
BE
BC
A
BΣMA = 0y
x
Dengesi incelenen kısmın denge kategorisi genel kategori ise üç tane bağımsız denklem vardır.
Dolayısı ile, mecbur kalmadıkça, bir kesimde 3 ten fazla eleman kesmemeye dikkat edilir.Eğer bilinmeyen sayısı 3 ten fazla ise birden fazla kesim yapılabilir.
Kafes sistemlerin çözümündesadece düğüm yöntemini veya sadece kesim yöntemini kullanmak yerine
iki yöntem birlikte de kullanılabilir.
Belirsiz durum ortaya çıkmaması için Kesim çizgisi düğümlerden geçmemelidir.
Yandaki denklemler yerine alternatifdenge denklemleri de kullanılabilir.Bilinmeyenlerden iki tanesinin tesirçizgisinin kesiştiği bir noktaya göremoment alınarak bir denklemden birbilinmeyen direk olarak bulunabilir.
!
Kesim yöntemi ile en fazla 3 bilinmeyen bulunabilir.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 13
Örnek Problem 4/5
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin BC, BE ve BF elemanlarındakikuvvetleri bulunuz. Üçgenler eşkenardır.
Çözüm
BC = ?
BE = ?
BF = ?
L
BE
BC
EF
60o
ΣME = 0
1
1
sin60o
60o 60o
BC (sin60o) − L (1) = 0
BC = L /sin60o
ΣMD = 0
BC (sin60o) − BE sin60o (1) = 0
BC = BE = L /sin60o
BF
AB
y
x EF
60o
60o 60o
60o 60o
ΣFy = 0
BF sin60o − L = 0
BF = L /sin60o
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 14
Örnek Problem 4/6
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
GM = ?
L
GM
MN
GH
K = 4L
Kafes sistemintamamının dengesinden bulunur.
12 m
9 m
6 m
αΣMS = 0
GM sinα (12) + L (12) + L (9) + (L/2) (6) − K (6) = 0
GM = 0
S
13
3
5
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin GM elemanındaki kuvveti bulunuz.
K
8 x 3 m
GM çubuğundaki kuvveti, düğüm yöntemi ile bulmamız istenseydi altı tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti.Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.
↑
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 15
Örnek Problem 4/7
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
IJ = ?
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin IJ elemanındaki kuvveti bulunuz.
Boyutlar metre cinsindendir.
A = 150 kN
Kafes sistemintamamının dengesinden bulunur.
7
ΣMD = 0
IJ (7) + 75 (10) + 25 (16) − A (20) = 0
IJ = 264.29 kN
IJ
IJ çubuğundaki kuvveti, düğüm yöntemi ile bulmamız istenseydi beş tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti.Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.
↑
Top Related