Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance dari Dua Peubah
YX YXEYXCov ),(
YEXE YX ,
Definisi:
Di mana:
YEXEXYEYXEYXCov YX ),(
Untuk mengukur keeratan hubungan antara peubah X dan Y
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Bukti:
YX YXEYXCov ),(
Jabarkan dua suku perkalian tersebut
YXXY YXXYE
Operasikan nilai harapan pada setiap suku
YXXY EYEXEXYE
Menerapkan sifat nilai harapan konstanta
YXXY YEXEXYE
YEXE YX , YXYXXYXYE
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance Dua Peubah yang sama?),( XXCov
Definisi: XEXXEXEXXCov ),(
XYXCov var,
Definisi dari ragam: Xvar
2XXE
22var XEXEX Rumus kerja:
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1:
selainnya ,0
10 ,3,
xyxyxf
?),( YXCov
YEXEXYE ,,
1
0 0
3x
dydxxxyXYEx = y
1
0 0
23 dxydyxx
1
0
423
1
0
22123 dxxdxxx
10
3
?)var(X
)( 2XE
?)var(Y
)( 2YE
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1 (lanjut):
?XE 1
0
dxxxfXE x
x = y
xy
y
X dyyxfxf0
,
x
xdy0
3 xyx0
3
10,3 2 xuntukxxfX
1
0
31
0
2 33 dxxdxxxXE
4
3XE
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1 (lanjut):
?YE 1
0
dyyyfYE y
x = y
1
,x
yx
Y dxyxfyf
1
3y
xdx12
23
yx
10,1 223 yuntukyyfY
1
0
223
1
0
223 11 dyyydyyyYE
8
3YE
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1 (lanjut):
83
43
103 ,, YEXEXYE
801
83
43
103),( YXCov
YEXEXYEYXCov ),(
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1 (lanjut)
22),(var XEXEXXCovX
1
0
22 dxxfxXE
10,3 2 xuntukxxfXDiperlukan E(X2)
4
3XE
1
0
43 dxx 53
1
0
553 x
8032
43
5322var XEXEX
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1 (lanjut)
22),(var YEYEYYCovY
Diperlukan E(X2)
8
3YE
320192
83
5122var YEYEY
10,1 223 yuntukyyfY
1
0
2223
1
0
22 1 dyyydyyfyYE Y 51
1
0
5513
31
23 yy
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 2
selainnya ,0
10,10 ,4,
yxxyyxf
selainnya
yyyfY ,0
10,2
selainnya
xxxfX ,0
10,2 X dan Y saling bebas?),( YXCov
YEXEXYE ,,
1
0
21
0
22 dxxdxxxXE32
1
0
21
0
22 dyydyyyYE32
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 2 (lanjut):
1
0
1
0
4 dxdyxyxyXYE
1
0
1
0
224 dxdyyx dydxxy
1
0
1
0
224
dyy1
0
234
94
YEXEXYEYXCov ),(
03
2
3
2
9
4
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance 2 PA saling Bebas
Definisi: YEXEXYEYXCov ),(
Hukum kebebasan
YEXEXYE
0),( YEXEYEXEYXCov
Dua Peubah acak yang saling bebas akan memiliki covariance = 0 (tapi tidak sebaliknya)
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance dari fungsi Linier PA
?),( YXaCov
YX YXEYXCov ),(Definisi:
YEYXaEXaEYXaCov ),(
YEXE YX ,
Definisi nilai harapan: XaXaE YX YaXaE
YX YXE
YXCovYXaCov ,, Definisi covariance:
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance dari Fungsi Linier PA?),( YbXaCov
Definisi: YbEYbXaEXaEYbXaCov ),(
Definisi nilai harapan:
XaXaE
YbYbE
YX bYbaXaE
YX YXE
YXCovYbXaCov ,, Definisi covariance:
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance dari Fungsi Linier PA?),( bYaXCov
Definisi: bYEbYaXEaXEbYaXCov ),(
Definisi nilai harapan:
XaaXE
YbbYE
YX bbYaaXE
YX YXabE
YXabCovbYaXCov ,, Definisi covariance:
YX YXabE
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Covariance dari Fungsi Linier PA?),( ZYXCov
Definisi: ZEZYEYXEXEZYXCov ),(
ZXCovYXCov ,, Definisi covariance:
ZEZXEXYEYXEXE
ZEZXEXEYEYXEXE
ZXCovYXCovZYXCov ,,,
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Koefisien Korelasi
• Kovarian tidak dapat digunakan sebagai ukuran absolut untuk mengukur ketergantungan antar peubah
• Kovarian tergantung pada skala pengukuran• Dua nilai kovarian tidak dapat dibandingkan• Kovarian perlu distandarisasi: KOEFISIEN
KORELASI
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Koefisien Korelasi
• Definisi koefisien korelasi untuk peubah X dan Y:
YX
YXCov
varvar
),(
11
• Nilai -1 dan 1: korelasi sempurna• +, perubahan X dan Y searah • -, perubahan X dan Y tidak searah
• Nilai = 0: Saling bebas
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh:
• Pada X dan Y dengan fungsi kepekatan peluang:
selainnya ,0
10 ,3,
xyxyxf
32019var Y 80
3var X801),( YXCov
YX
YXCov
varvar
),( 26.0
32019
803
801
• X dan Y mempunyai hubungan yang tidak terlalu erat.
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Nilai Harapan Bersyarat
Definisi: dxyxfxyYXE
x
yxxpyYXE
PA kontinyu
PA diskrit
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh 1:
selainnya ,0
20 ,2
1, yxyxf
yf
yxfyxf
Y
,
yy
1
21
21
selainnya 0 ,20 yxuntuk
selainnya ,0
20 ,2
1yyyfY
Dari contoh sebelumnya
dxyxfxYXEyx
x
111
0
2
11
1
0
dxx
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Teorema yYXEEXE
Bukti:
Definisi nilai harapan:
dxxxfXE X
Dari definisi fungsi marjinal:
dxdyyxfxXE ,
Dari definisi peluang bersyarat
dxdyyfyxfxXE y yfyxfyxf y,
Top Related