7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
1/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Statistic n comer, turism, servicii
Curs 4 - 5
Msuri statistice descriptive pentru date
univariate (II)B. Msurarea variabilitii
Regula de compunere a variabilitii
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
2/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Msurarea variabilitii
Pentru analiza variabilitiiunei serii de date numericese utilizeaz:
o indicator i s im pl i(msoar mprtierea valorilor individuale aleseriei, una fa de alta, ori fa de o valoare tipic)
o indicator i sintet ic i(utilizati pentru sintetizarea, ntr-o singurexpresie, amprtierii tuturor valorilor din seria statistic analizat).
Dou serii statistice pot s difere prin tendina central, prin mprtierea datelorsau prin amndou.
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
3/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Ind icator i i s impl iai variabilitii
1. Amplitudinea variaiei
mplitudinea absolut a variaiei(Ax):Ax= xmax xmin.
Axare unitatea de msur a variabilei
Axdescrie ecartul maxim al valorilor pe scal.
Axse folosete n construirea intervalelor de variaie i al graficelor.
Axeste foarte sensibil la valorile extreme
Axnu ine cont de distribuia celorlalte valori din serie.
mplitudinea relativ a variaiei( %xA ): 100m inm ax%
x
xxAx .
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
4/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Ind icator i i s impl iai variabilitii
2. Abaterea intercuartilic- se determin ca diferen ntre cuartila superioar i cea inferioar
13QQIQR
- arat intervalul de valori n care se ncadreaz 50% din unitile situate n
mijlocul seriei
- elimin dezavantajele cauzate de luarea n consideraie a valorilor extreme
- are unitatea de msur a variabilei studiate
- reprezint lungimea dreptunghiului din diagrama Box-Plot.
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
5/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Ind icator i i s impl iai variabilitii
3. Abaterea individual
- msoar mprtierea fiecrei valori fa de nivelul mediu:
xxd ii
- au unitatea de msur a variabilei studiate;
- sunt pozitive sau negative
- abaterile mari indic o mprtiere ridicat, iar abaterile mici arat c valorile
variabilei sunt concentrate n jurul mediei;
- se compenseaz reciproc pe ansamblul colectivitii studiate, suma lor fiind
nul
0
1
n
i
i xx .
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
6/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Indicatorii sintetici ai variabilitii
1. Abaterea medie liniar
- se determin ca medie aritmetic a abaterilor individuale, considerate n valoare
absolut:
n
xx
d
n
i
i
x
1
- se exprim n unitatea de msur a caracteristicii
- prezint dezavantajul c acord aceeai importan att abaterilor mici ct i
abaterilor mari ale valorilor de la media lor (variabilitatea datelor este afectat, mai
ales, de abaterile mari)
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
7/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Indicatorii sintetici ai variabilitii
2. Dispersia(variance, n engl.)- se determin ca medie aritmetic a ptratelor abaterilor individuale ale valorilor de
la tendina central, uzual de la medie deoarece cea mai mic sum a ptratelor
abaterilor individuale fat de o constant se obtine pentru constanta :
pentru un eantion (sample variance, n engl.) - estimator
pentru populaia statistic parametru
1
1
2
2
n
xx
s
n
i
i
N
x
N
i
i
1
2
2
x
n
i
ia
n
i
i axxx1
2
1
2min
R
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
8/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Indicatorii sintetici ai variabilitii- Dispersia
Pentru o serie de distribuie de frecvene
O formul mai simpl pentru determinarea dispersiei este:
1
1
2
2
n
nxx
s
r
i
ii
r
i
inn
1
.
11
2
1
2
2
2
1
1
2
2
n
xnx
ssaun
n
x
x
s
n
i
i
n
i
in
i
i
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
9/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Indicatorii sintetici ai variabilitii- Dispersia
n practic, dispersia n eantion se calculeaz cu formula
1
1
2
2
n
xx
s
n
i
i
pentru eantioane de volum redus ( 30n ),
respectiv cu formula
n
xx
s
n
i
i
1
2
2pentru eantioane de volum mare
( 30n ),
deoarece se consider c, pentru un volum al eantionului suficient demare nn 1 .
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
10/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Proprietati ale mediei si dispersiei
1.Dac fiecare valoare nixi ,1, se modific cu constanta c
(crete cnd c>0 sau descrete cnd c
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
11/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Indicatorii sintetici ai variabilitii
3. Abaterea standard(standard deviation, n engl.)- se determin ca medie ptratic din abaterile individuale
pentru un eantion (sample standard deviation, n engl.) - estimator
pentru populaia statistic parametru
- reprezint rdcina ptrat a dispersiei
- are unitatea de msur a variabilei studiate
1
1
2
2
n
xxss
n
i
i
N
x
N
ii
1
2
2
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
12/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Indicatorii sintetici ai variabilitii
4. Coeficientul de variaie
- reprezint expresia relativ a variabilitii, fiind calculat ca raport ntre abaterea
standard i medie:
- cu ct valoarea coeficientului de variaie este mai mic, cu att datele sunt mai omogene
- seriile pentru care v30-35% sunt omogene, cu medii reprezentative ce caracterizeaz corect
tendina central din colectivitate
- dac dou serii statistice au coeficieni de variaie diferii, seria care are coeficientul de variaie maimic este mai omogen
- dac coeficientul de variaie este mare atunci seria statistic se mparte n subserii omogene, dup
un criteriu considerat cu influen semnificativ asupra variaiei
100 x
sv
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
13/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
ExempluPentru adecvarea promoiilor la cadourile de srbtori, un magazinrealizeaz un studiu referitor la veniturile clienilor, nivelul sumelor pealocate pentru cadouri, categoria socio-profesional.Datele referitoare la cheltuielile pentru cadouri, nregistrate pentru 14clieni, sunt:
6,5 2,5 3 3,2 2,2 2,3 3 5 4 5,5 6,5 8 2 7
media 4,34dispersia 4,17
abaterea standard 2,04Coeficientul de variatie 47%
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
14/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Deoarece seria are un grad redus de omogenitate, clienii au fostmprii n 2 grupe, n funcie de categoria socio-profesional astfel:
Cheltuieli pentru cadouri (sute lei)Pensionari (gr.1) Salariati (gr. 2 )
2 32,5 53 4
3,2 5,52,2 6,52,3 8
6,57
Pensionari (gr.1) Salariati (gr. 2 )medie 2,5 5,69dispersie 0,22 2,71abatere standard 0,47 1,65coeficient de variatie 19% 29%
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
15/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Dac o serie statistica este alctuit din mai multe grupe
componente, variaia totalse poate calcula dupa o schem
cunoscut sub numele de regula de compunere a variabilitii
totale.
Abaterea fiecrei valori de la media total a seriei este explicat
prin influena factorului de gruparei a altor factori ce acioneaz
la nivelul fiecrei grupe.
Putem cuantifica, astfel, ct din variaia caracteristicii studiate
este explicat de factorul de grupare ales
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
16/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Dac o serie statistic de volum n este alcatuita din m grupe, pentru fiecare grup de
volum mini ,1, (
m
i
inn1
) se pot determina mediile ( ix ) i dispersiile (2
is ) astfel:
Volumul grupei Media grupei Dispersia grupei
Grupa 1111211
,,, nxxx 1
n
1
11
11
1 n
jjxnx
1
1
2
11
1
2
1 1
1 n
jj
xxn
s
Grupa 2222221
,,, nxxx 2
n
2
1
2
2
2
1 n
j
jxn
x
2
1
2
22
2
2
21
1 n
j
j xxn
s
Grupa iiinii
xxx ,,, 21 in
in
j
ij
i
i xn
x1
1
in
j
iij
i
i xxn
s1
22
1
1
Grupa m
mmnmmxxx ,,, 21 mn
mn
j
mj
m
m xn
x1
1
mn
j
mmj
m
m xxn
s1
22
1
1
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
17/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Abaterea individual de la media total poate fi descompus astfel:
xxxxxx iiijij unde:
m
i
ii
m
i
n
j
ij nxn
xn
xi
11 1
11
este media total a seriei.
Prin ridicarea la ptrat i nsumarea fiecrui termen i folosind proprietile
mediei se obine:
grupedintrevariatia
1
2
grupelorinterioruldinvariatia
1 1
2
totalavariatia
1 1
2
m
i
ii
m
i
n
j
iij
m
i
n
j
ij nxxxxxxii
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
18/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Se noteaz:
SST=
m
i
n
j
ij
i
xx1 1
2
variatia totala sau variabilitatea totala, adica
suma patratelor abaterilor individuale de la media totala a seriei(sum oftotal squares).
SSW= m
i
n
j
iij
i
xx1 1
2
variatia din interiorul grupelor , adica
suma patratelor abaterilor individuale de la mediile de grup (sum ofsquares within groups).
SSB=
m
i
ii nxx1
2
variatia dintre grupe , adica suma patratelorabaterilor mediilor de grup de la media total (sum of squaresbetween groups).
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
19/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Relaia SST = SSW + SSB
- se numete REGULA DE COMPUNERE A VARIABILITII TOTALE
- permite determinarea dispersiei seriei cu formula
1
2
n
SSTs
- permite determinarea msurii n care factorul de grupare influeneaz
variaia caracteristicii studiate prin calculul coeficientului dedeterminaie:
SST
SSBR
2
sau, n expresie procentual, gradul de determinaie:
100*2
SST
SSBR
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
20/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Dac variatia dintre grupeSSBare o pondere mai mare n variatia
total SSTatunci nseamn c factorul de grupare explic mai mult
variaia caracteristicii studiate.
Dac variatia din interiorul grupelorSSWare o pondere mai maren variatia total SSTatunci nseamn c variaia caracteristicii
studiate este influenat de ali factori
Se poate calcula coeficientul/gradul de nedeterminaie:
22 1 RSSTSSWK 2
%
2
% 100100 RSST
SSWK
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
21/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Regula de compunere a variabilitii
Dac se lucreaz cu eantioane de volum mare ( 30in ) atunci prin mprirea la n a relaiei:
grupedintrevariatia
1
2
grupelorinterioruldinvariatia
1 1
2
totalavariatia
1 1
2
m
i
ii
m
i
n
j
iij
m
i
n
j
ij nxxxxxxii
SST = SSW + SSB
Se obine relaia:
n
SSB
n
SSW
n
SST
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
22/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
REGULA DE ADUNARE A DISPERSIILOR
1 1
2
n
xx
n
SST
m
i
n
j
ij
i
se noteaz cu2
s i reprezint dispersia total
n
ns
n
xx
n
SSW
m
i
ii
m
i
n
j
iij
i
12
1 1
2
se noteaz cu2
s i reprezint media dispersiilor pariale
n
nxx
n
SSB
m
i
ii
1
2
se noteaz cu 2 i reprezint dispersia dintre grupe
Relaia
222 ss
este cunoscut n literatura de specialitate ca REGULA DE ADUNARE A DISPERSIILOR
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
23/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Exemplu
Pentru a analiza n ce proporie categoria socio-profesional influeneaz
variaia cheltuielilor pentru cadouri se determin:
SSW= 08.2097.1811.18
1
2
22
6
1
2
11
2
1 1
2
jj
jj
i
n
j
iij xxxxxxi
i
SSB= 11.348)34.469.5(6)34.45.2( 22
2
1
2
iii nxx
SST=54,19
%631002 SST
SSBR
7/30/2019 STATcom - Curs 4-5
24/24
Statistic n comer, turism, servicii
asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat
Departamentul de Statistic i Econometrie
Exemplu
Pensionari Salariati
jx1 2
11xx j jx2
2
22xx j
2 0,28 3 7,22
2,5 0,00 5 0,47
3 0,22 4 2,85
3,2 0,44 5,5 0,04
2,2 0,11 6,5 0,66
2,3 0,05 8 5,35
6,5 0,66
7 1,72
Total 11,16
1
211
j
jxx 97,18
8
1
222
j
j xx
Top Related