5/18/2018 SPL Metnum
1/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Bab 3. Penyelesaian Sistem
Persamaan Linier (SPL)
Yuliana Setiowati
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007
5/18/2018 SPL Metnum
2/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Topik
5/18/2018 SPL Metnum
3/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Definisi SPL
Suatu sistem yang merupakan gabungan daribeberapa persamaan linier dengan variabel
SPL diatas mempunyai m persamaan dan n variabel SPL mempunyai minimal sebuah solusi disebut
konsisten !ika tidak mempunyai solusi disebut tidakkonsisten
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
"""
"""
"""
22##
22222#2#
##2#2###
nxxx """ 2#
5/18/2018 SPL Metnum
4/71
Metode Numerik
PENS-ITS
SPL
$entuk persamaan linier simultan dengan n
persamaan dan nvariabel bebas
=
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
""""""
"""
""""""""""""
""""""
2
#
2
#
2#
2222#
##2##
5/18/2018 SPL Metnum
5/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Bentuk Matrik SPL
SPL dengan m persamaan dan n variabel
$entuk SPL dapat ditulis dengan
%apat ditulis &' ( $
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
"""
"""
"""
22##
22222#2#
##2#2###
"""
"""
"""
2#
2222#
##2##
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
mb
b
b
2
#
mx
x
x
2
#
=
5/18/2018 SPL Metnum
6/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Bentuk Matrik SPL
%imana & ( ' ( $(
& adalah matrik koe)isien dari SPL *matrik +a,obian-"
.ektor ' disebut vektor variabel
.ektor $ disebut vektor konstanta
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
"""
"""
"""
2#
2222#
##2##
mb
b
b
2
#
mx
x
x
2
#
5/18/2018 SPL Metnum
7/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Augmented Matrik
/atrik yang merupakan perluasan matrik &
dengan dengan menambahkan vektor $ pada
kolom terakhirnya
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
"""
"""
"""
2#
22222#
###2##
5/18/2018 SPL Metnum
8/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
' 1y 2 ( 33
' 3y ( 34
2' 5y 5 ( 61
$entuk matrik SPL
&ugmented /atrik
552
#3#
21#
z
y
x
61
34
33
61552
34#3#
3321#
=
5/18/2018 SPL Metnum
9/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Penyelesaian SPL
$erdasarkan penyelesaiannya SPL dibedakan
men!adu 1 ma,am
8 9idak mempunyai penyelesaian *no solutions-
8 9epat satu penyelesaian *exactly one solution-
8 $anyak penyelesaian*infinitely many solutions-
5/18/2018 SPL Metnum
10/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Secara geometripenyelesaian sist pers linier untuk 2 var
bebasdapat digambarkan
Penyelesaian SPL
l#
l2
l#
l2
Mempunyai 1 penyelesaiaTidak mempunyaipenyelesaian
y
x x
y
5/18/2018 SPL Metnum
11/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Secara geometripenyelesaian sist pers linier untuk 2 var
bebasdapat digambarkan
Penyelesaian SPL
l#=l2 Mempunyai banyakpenyelesaian
y
x
5/18/2018 SPL Metnum
12/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! "
Seorang pembuat boneka ingin membuat dua ma,am bonekayaitu boneka & dan boneka $" :edua boneka tersebut dibuatdengan menggunakan dua ma,am bahan yaitu potongan kaindan kan,ing" $oneka & membutuhkan #0 potongan kain dan ;
kan,ing sedangkan boneka $ membutuhkan 6 potongan kaindan 6 kan,ing"
Permasalahannya adalah berapa buah boneka A danboneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62kancing ?
5/18/2018 SPL Metnum
13/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! "
Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan 8 x( !umlah boneka &
8 y( !umlah boneka $
5/18/2018 SPL Metnum
14/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! #
Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar *zoom- sebagai berikut
Perhatikan bahwa pada ke=3 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus sehinggatampak kasar"
5/18/2018 SPL Metnum
15/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! #
3 titik yang ditun!uk adalah *21- *7;- *6#3- dan *#2#0-" 3 titik ini dapat didekatidengan )ungsi polinom pangkat 1 yaitu
$ila nilai ' dan y dari 3 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akandiperoleh model persamaan simultan sebagai berikut
9itik # 1 ( 6 a 3 b 2 , d
9itik 2 ; ( 131 a 34 b 7 , d
9itik 1 #3 ( 5#2 a ;3 b 6 , d
9itik 3 #0 ( #726 a #33 b #2 , d
Nilai a b , dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas"
dcxbxaxy +++= 21
5/18/2018 SPL Metnum
16/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! #
Setelah nilai a b , dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya
didapatkan dan dengan menggunakan step ' yang lebih ke,il dapat
digambarkan gra)iknya dengan lebih halus"
d ik
5/18/2018 SPL Metnum
17/71
Metode Numerik
PENS-ITS
$perasi%operasi Dasar
(&lementary $perations)
9erdapat dua tahap untuk menyelesaikan SPL yaitu8 >eduksi sistem *mengeliminasi variabel-
8 /endeskripsikan himpunan penyelesaian 9u!uan dari reduksi sistem adalah untuk
menyederhanakan SPL dengan mengeliminasivariabel=variabel sehingga sistem yang dihasilkan
mempunyai himpunan penyelesaian yang samadengan sistem aslinya"
M d N ik
5/18/2018 SPL Metnum
18/71
Metode Numerik
PENS-ITS
Sistemequivalent
%e)inisi
%ua SPL dengan n variabel disebut equivalent!ika
SPL tersebut mempunyai himpunan penyelesaian
yang sama
M t d N ik
5/18/2018 SPL Metnum
19/71
Metode Numerik
PENS-ITS
$perasi Baris &lementer
i k>!-
M t d N ik
5/18/2018 SPL Metnum
20/71
Metode Numerik
PENS-ITS
$perasi Baris &lementer
/enambah perkalian k dengan sebuah baris dengan baris
lainnya" *>i k>!-
$2 8 2$# artinya elemen=elemen pada baris kedua dikurangi dengan dua
kali elemen pada baris ke satu
=2$# =2 =2 =3 =#6
$2 2 3 =1 #
$2 8 2$# 0 2 =7 =#7 *men!adi elemen baris ke=2-
05;1#132
42##
05;1#7720
42##B2 2B1
M t d N ik
5/18/2018 SPL Metnum
21/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! Penggunaan
$perasi Baris &lementer
05;1
7#72
42
=+
==++
zyx
zy
zyx
05;1
#132
42
=+
=+=++
zyx
zyx
zyx
05;1
#13242##
05;1
#7720
42##
B2 2B1 B3 3B1
B2
2B1
B3
3B1
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
22/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! Penggunaan
$perasi Baris &lementer
0##1
42
2#7
27
=
=
=++
zy
zy
zyx
27##1
#772
42
=
==++
zy
zy
zyx
27##10
#772042##
27##10
#0
42##
2#7
27
1/2B2 B3
3B2
1/2B2 B3 3B2
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
23/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! Penggunaan
$perasi Baris &lementer
1
42
2
#7
2
7
==
=++
zzy
zyx
21
2#
2#727
42
==
=++
z
zy
zyx
21
2#
2#7
27
00
#0
42##
1#00
#042##
2
#727
-2B3
B1 B2-2B3
B1 B2
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
24/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto! Penggunaan
$perasi Baris &lementer
1
2
#
===
z
y
x
1
2#7
27
215
2##
=
=
=+
z
zy
zx
1#00
#0
0#
2
#727
215
2##
1#00
20#0
#00#
SPL diatas mempunyai penyelesaian tunggalx=1,y=2,z=3
Proses reduksi pada contoh diatas disebut EliminasiGauss-Jordan
B2+ 7/2 B3
B1 11/2 B3
B2+ 7/2 B3
B1 11/2 B3
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
25/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
2'2 '1( =2
1'# 5'2= 5'1( #
2'# 3'2= 2'1( 2
2232
#551
2#20
B1B3
2#20
#551
2232
1/2B1
2#20
#551
##2#
B2- 3B1
2#20
22#0
##2#
-B2
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
26/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
2#20
22#0
##2#
2#20
22#0
150#
;10022#0
150#
B1- 2B2 B3- 2B2
-1/3B3
2#00
22#0
150#
B1+ 5B3
2#00
22#0
700#
B2- 2B3
2#00
20#0
700#
SPL diatas mempunyai penyelesaian tunggal yaitu x1=7,
x2=-2 dan x3=-2
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
27/71
Metode Numerik
PENS-ITS
3 'emungkinan Penyelesaian SPL(a)
3#00
20#0
500#
*a-
3
2=
5
=
=
=
z
y
xPenyelesaian (a)
ari matrik augmented SPL direduksi denganoperasi baris elementer diperoleh bentuk reducedechelon !orm" Terdapat 4 kemungkinanpenyelesaian seperti berikut #
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
28/71
Metode Numerik
PENS-ITS
3 'emungkinan Penyelesaian SPL(b")
0000
;110
32##
*b-
Penyelesaian (b)
;=1=1=
32
12
12#
=
=++
xx
xxx
Variabel depan(leading variables)
Variabel bebas(free variables)
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
29/71
Metode Numerik
PENS-ITS
3 'emungkinan Penyelesaian SPL(b#)
$ariabel bebas dapat diisi dengansembarang nilai k% selan&utnyadapat ditentukan 'ariabel depan
Terdapat banyakpenyelesaian%penyelesaian secaraumum diberikan denganmenggunakan !ormula
x1= 10 5x
3
x2= 3 x
3
x1= 10 5k
x2
= 3 xk3
x3= k
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
30/71
Metode Numerik
PENS-ITS
3 'emungkinan Penyelesaian
SPL()
#000
;110
32##
Penyelesaian (c)
1" Persamaan yangbersesuai dengan baristerakhir tsb adalah
2" Tidak ada nilai iyang
memenuhi persamaantersebut
0x1+ 0x
2 + 0x
3= 1
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
31/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
/atrik di bawah ini adalah matrik redu,ed e,helon )orm"
+elaskan SPL yang berhubungan dengan matrik tersebut dan
bagaimana penyelesaiannya?
=
0000
7#00
20#0100#
A
=#000
01#00#0#
B
=
00000
#5#00
2301#
C
=0000
0#00502#
D
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
32/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
/atrik & adalah matrik augmented dengan SPL sbb
SPL mempunyai penyelesaian tunggal yaitu
/atrik $ adalah matrik augmented dengan SPL sbb
SPL tidak mempunyai penyelesaian karena pada persamaanke=1 SPL tidak konsisten
7
2=
1
1
2
#
=
==
x
x
x
#000
01
0=
12#
12
1#
=++
=+
=
xxx
xx
xx
72=1 12# === xxx
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
33/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
/atrik @ adalah matrik augmented dengan SPL
/atrik @ adalah matrik augmented dengan SPL
.ariabel depan adalah '#dan '1 variabel bebas adalah '2dan '3" SPL mempunyaipenyelesaian banyak dapat dinyatakan dengan )ormula
#5=
231=
31
32#
=
=+
xx
xxx
31
32#
5#
312
xx
xxx
+=
+=
tx
tx
sx
tsx
=
+=
=
+=
3
1
2
#
5#
312
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
34/71
Metode Numerik
PENS-ITS
onto!
/atrik % adalah matrik augmented dengan SPL
/atrik % adalah matrik augmented dengan SPL
.ariabel depan adalah '#dan '1 variabel bebas adalah '2"SPL mempunyai penyelesaian banyak dinyatakan dengan)ormula
0
52
1
2#
=
=+
x
xx
02=5
1
2#
==
xxx
0
2=5
1
2
#
=
=
=
x
sx
sx
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
35/71
PENS-ITS
Metode Analitik
metode gra)is
aturan @rammer
invers matrik
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
36/71
PENS-ITS
Metode umerik
/etode Eliminasi Aauss
/etode Eliminasi Aauss=+ordan
/etode Bterasi Aauss=Seidel
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
37/71
PENS-ITS
Metode &liminasi *auss
/etode Eliminasi Aauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi yaitu menghilangkan
atau mengurangi !umlah variable sehingga dapat diperoleh
nilai dari suatu variable bebas
matrik diubah men!adi augmented matrik
nnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
"""
"""
""""""""""""
"""
"""
2
#
2n#
2222#
##2##
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
38/71
PENS-ITS
Metode &liminasi *auss
ubah matrik men!adi matrik segitiga atas atau segitiga bawah
dengan menggunakan OBE*Operasi Baris Elementer-"
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
"""
""""""""""""""""""
"""
"""
"""
12#
1111121#
2221222#
###1#2##
nnn
n
n
n
dc
dcc
dccc
dcccc
"""000
""""""""""""""""""
"""00
"""0
"""
1111
222122
###1#2##
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
39/71
PENS-ITS
Metode &liminasi *auss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan
( )
( )
( )nn
nn
nnnn
nn
n
nn
nn
xcxcxcdc
x
xcxcxcdc
x
dxcc
x
c
dx
##12#2#
##
#
23231212
22
2
##
##
#
"""1#
"""#
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""
#
=
=
+=
=
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
40/71
PENS-ITS
onto! +
Selesaikan sistem persamaan berikut
&ugmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut
#022
22
;
12#
12#
12#
=++
=+
=++
xxx
xxx
xxx
#02#2
2#2#
;###
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
41/71
PENS-ITS
onto! +
Lakukan operasi baris elementer
#1
#2
2BBBB
20#0
32#0
;###
21 BB +
;20032#0
;###
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
42/71
PENS-ITS
onto! +
Penyelesaian
( )
( ) #12;#
#
21-2*3#
#
12
;
#
2
1
==
==
=
=
x
x
x
Metode Numerik
Al i M d Eli i i
5/18/2018 SPL Metnum
43/71
PENS-ITS
Algoritma Metode Eliminasi
Gauss
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
44/71
PENS-ITS
Metode Eliminasi Gauss Jordan
/etode ini merupakan pengembangan metode eliminasiAauss hanya sa!a augmented matrik pada sebelah kiri
diubah men!adi matrik diagonal
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilaid#d2d1Cdn dan atau
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaabaaaa
baaaa
"""
""""""""""""""""""
""""""
"""
12#
1111121#
2221222#
###1#2##
nd
dd
d
#"""000
""""""""""""""""""
0"""#000"""0#0
0"""00#
1
2
#
nn dxdxdxdx ==== """" 1122##
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
45/71
PENS-ITS
onto! &liminasi *auss ,ordan ("-")
Selesaikan persamaan
linier simultan
&ugmented matrik daripersamaan linier
simultan
Lakukan operasi
baris elementer
632
1
2#
2#
=+=+xx
xx
632
1##
##0
20#
##0
1##2D2
2201##2
2#
#2
BB
B
bB
Penyelesaian persamaan liniersimultan #
x1= 2danx
2= 1
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
46/71
PENS-ITS
onto! &liminasi *auss ,ordan ("-)
05;1
7#72
42
=+
==++
zyx
zy
zyx
05;1
#132
42
=+
=+=++
zyx
zyx
zyx
05;1
#132
42##
05;1
#7720
42##
2*21
2*21
3*31
3*31
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
47/71
PENS-ITS
onto! &liminasi *auss ,ordan (#-)
0##1
42
2#7
27
=
=
=++
zy
zy
zyx
27##1
#772
42
=
==++
zy
zy
zyx
27##10
#7720
42##
27##10
#0
42##
2#7
27
+ 2
+ 2 3*32
3*32
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
48/71
PENS-ITS
onto! &liminasi *auss ,ordan (3-)
1
42
2#7
27
=
=
=++
z
zy
zyx
21
2#
2#7
27
42
=
=
=++
z
zy
zyx
21
2#
2#7
27
00
#042##
1#00
#0
42##
2
#727
*2 3
*2 3
1* 2
1* 2
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
49/71
PENS-ITS
onto! &liminasi *auss ,ordan (-)
1
2
#
=
==
z
y
x
1
2#7
27
215
2##
=
=
=+
z
zy
zx
1#00
#0
0#
2#7
27
215
2##
1#00
20#0
#00#
Solusi , 1% y,2 dan -,3
2. /02 3
1* 1102
3
2. /02 3
1* 1102
3
Metode Numerik
Al it M t d Eli i i
5/18/2018 SPL Metnum
50/71
PENS-ITS
Algoritma Metode Eliminasi
Gauss-Jordan
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
51/71
PENS-ITS
Strategy Pi/oting
Prinsip strategy pivoting adalah !ika app*p=#-(0
,ari baris k dengan akp 0 dan k F p lalu
pertukarkan baris p dan baris k"
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
52/71
PENS-ITS
,enis pi/oting (")
a!tial "ivotin#*pivoting sebagian-8 Pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilaimutlak terbesar"
GakpG ( ma'HGappG Gap#pG C Gan=#pG GanpGI
8 Lalu pertukarkan baris ke=k dengan baris ke=p"
8 /isal setelah operasi baris pertama diperoleh matrik sbb
8
5/18/2018 SPL Metnum
53/71
PENS-ITS
,enis pi/oting (#)
Com"lete "ivotin#*pivoting lengkap-
8%isamping baris kolom !uga diikutkan dalam
pen,arian elemen terbesar dan kemudian
dipertukarkan maka strategi ini disebut pivotinglengkap"
8Pivoting lengkap !arang dipakai dalam program
sederhana karena pertukaran kolom mengubah
urutan suku ' dan akibatnya menambah kerumitan
program se,ara berarti
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
54/71
PENS-ITS
onto!
Selesaikan SPL dengan metode Eliminasi Aauss
Penyelesaian $aris pertama dipertukarkan dengan baris ke=2 sehingga
0"1353 men!adi pivot
#"0#631;"20"1353
#"5;45;;"#0"0001
2#
2#
=
=+
xx
xx
#"0#62"31;=0"1353
#"5;4#"5;;0"0001 #2 >>
#"5;4#"5;;0"0001
#"0#62"31;=0"1353
#2 >1353"0
0001"0>
#"5;6#"5;60
#"0#62"31;=0"1353
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
55/71
PENS-ITS
onto!
%engan ba,kward subtitusi diperoleh
02"#01353"0
-000"#-*31;"2*0#6"#'
#5;6"#
5;6"#'
#
2
==
==
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
56/71
PENS-ITS
Metode 0terasi *auss Seidel
/etode untuk menyelesaikan SPL yang menggunakanproses iterasi"
$aik untuk menyelesaikan SPL yang besar
$ila diketahui SPL seperti di bawah ini
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
=++++
=++++
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""
"""
"""
1122##
11111212#1#
22121222#2#
##1#12#2###
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
57/71
PENS-ITS
Metode Iterasi Gauss-Seidel
$erikan nilai awal dari setiap 'i*i(# sDd n-
( )
( )
( )##22##
2121#2#2
2
2
#1#12#2#
##
#
""""#
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
""""#
""""#
2
=
=
=
nnnnnn
nn
n
nn
nn
xaxaxab
a
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
58/71
PENS-ITS
Metode Iterasi Gauss-Seidel
%engan menghitung nilai=nilaixi *i(# sDd n- menggunakanpersamaan=persamaan di atas se,ara terus=menerus hingganilai untuk setiapxi*i(# sDd n- sudah sama dengan nilai 'i
pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dariSPL tersebut"
&tau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisihnilaixi *i(# sDd n- dengan nilaixipada iterasi sebelumnya
kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan"
5/18/2018 SPL Metnum
59/71
PENS-ITS
Syarat 'on/ergen
Syarat agar konvergen adalah sistem dominan se,ara diagonal
@ontoh SPL berikut
%ominan se,ara diagonal karena
G 1 G F G # G G =# GG 3 G F G 2 G G # G
G 6 G F G =# G G 5 G
Sehingga pasti konvergen
=
>n
i$$
i$ii aa#
565
532
#1
12#
12#
12#
=++
=++
=+
xxx
xxx
xxx
Metode Numerik
Algoritma Metode Iterasi
5/18/2018 SPL Metnum
60/71
PENS-ITS
Algoritma Metode Iterasi
Gauss-Seidel
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
61/71
PENS-ITS
onto!
Selesaikan SPL di bawah ini menggunakan metode
iterasi Aauss=Seidel
$erikan nilai awal '# ( 0 dan '2 ( 0
Susun persamaan men!adi
#332
5
2#
2#
=+=+xx
xx
( )#2
2#
2#33
#
5
xx
xx
=
=
(5,0)
(5,1)
(4,1)
(4,3/2)
(7/2,3/2)
(7/2,7/4)
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
62/71
PENS-ITS
onto!(13/4,7/4)
(13/4, 15/8)
(25/8, 15/8)
(25/8, 31/16)
(49/16, 31/16)
(49/16, 63/32)(97/32, 63/32)
(97/32, 127/64)
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
63/71
PENS-ITS
onto! +
Selesaikan sistem persamaan berikut
&ugmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut
#022
22
;
12#
12#
12#
=++
=+
=++
xxx
xxx
xxx
#02#2
2#2#
;###
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
64/71
PENS-ITS
1asil Di/ergen
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
65/71
PENS-ITS
1asil 'on/ergen
;
22
#022
12#
12#
12#
=++
=+
=++
xxx
xxx
xxx
Metode Numerik
C t h P l i P l h
5/18/2018 SPL Metnum
66/71
PENS-ITS
Contoh Penyelesaian Permasalahan
Persamaan Linier Simultan
/r"J membuat 2 ma,am boneka & dan $" $oneka & memerlukan bahan #0 blok$# dan 2 blok $2 sedangkan boneka $ memerlukan bahan 5 blok $# dan ; blok$2" $erapa !umlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 60 blok bahan $#dan 1; blok bahan $2"
odel Sistem Persamaan !inier "
#ariabel yang dicari adalah $umlah boneka% anggap"
x1adalah !umlah boneka &
x2adalah !umlah boneka $
Perhatikan dari pemakaian bahan "
$# #0 bahan untuk boneka & 5 bahan untuk boneka $ ( 60$2 2 bahan untuk boneka & ; bahan untuk boneka $ ( 1;
%iperoleh model sistem persamaan linier
10 x1 + % x2 = 80
2 x1 + 6 x2 = &6
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
67/71
PENS-ITS
onto!
metode eliminasi Aauss=+ordan
%iperoleh '# ( ; dan '2 ( 3 artinya bahan yang tersedia dapat dibuat ; boneka &dan 3 boneka $"
Metode Numerik
onto! +Penghalusan Kurva Dengan Fungsi
5/18/2018 SPL Metnum
68/71
PENS-ITS
onto! +Penghalusan Kurva Dengan Fungsi
Pendeatan Polinomial
Perhatikan bahwa pada ke=3 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus
sehingga tampak kasar"
5/18/2018 SPL Metnum
69/71
PENS-ITS
onto! # +
/isalkan pada ,ontoh diatas 3 titik yang ditun!uk adalah*21- *7;- *6#3- dan *#2#0-" 3 titik ini dapat didekatidengan )ungsi polinom pangkat 1 yaitu
$ila nilai ' dan y dari 3 titik dimasukkan ke dalam persamaandi atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai
berikut
9itik # 1 ( 6 a 3 b 2 , d
9itik 2
; ( 131 a 34 b 7 , d 9itik 1 #3 ( 5#2 a ;3 b 6 , d
9itik 3 #0 ( #726 a #33 b #2 , d
Metode Numerik
%engan menggunakan /etode Eliminasi Aauss=+ordan
5/18/2018 SPL Metnum
70/71
PENS-ITS
e g e ggu e ode s A uss +o d
a = -0,303
b = 6,39
c = -36,59
d = 53,04
y = -0,303 x3 +6,39 x2 36,59 x +53,04
Metode Numerik
5/18/2018 SPL Metnum
71/71
Lati!an Soal
Selesaikan dg Eliminasi Aauss Eliminasi Aauss
+ordan dan Bterasi Aauss Seidel
#0371#12
62
12#
12#
12#
=+=+
=++
xxxxxx
xxx
#12
05"#000#"#
2#
2#
=+
=+
xx
xx
200112000
;22"#50;5"#500#22";
2#
2#
=+
=+
xx
xx
13;
221#242
0216
31#
312#
312#
312#
=++=++ =+
=+++
xxx
xxxxxxxx
xxxx
51"036"#03"1;6"201"#1"#41"036"#
05"051"336"#5#"2
12#
12#
12#
=+ =+
=++
xxxxxx
xxx
Top Related