Sólido de Lagrange
Mecánica IITema 11
Manuel Ruiz Delgado
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronauticos
Universidad Politecnica de Madrid
Solido de Lagrange– p. 1/22
Sólido de Lagrange
Sólido pesado con punto fijo
Sólido de LagrangeReducción a cuadraturasAnálisis cualitativo
Movimientos estacionarios
Movimiento pseudoregular del trompo rápido
La Tierra como sólido de Lagrange: Precesión de los equinoccios
Solido de Lagrange– p. 2/22
Sólido pesado con punto fijo
EjeOz1 fijo vertical ascendente:Ejes sólido principales enO: Ii = A,B,C
OG = (ξ, η, ζ)0 = (ξ1, η1, ζ1)1
En el caso general hay dos integrales primeras:
Rótula lisa, peso→ conservativo:
1
2
(
Ap2 +Bq2 + Cr2)
+mgζ1 = E
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x1
y1
z1
ζ1
θ
OG
mg
x
y
z
El peso no da momento segúnOz1, pues~g ‖ k1:
MDO · k1 =
dHO
dt· k1 = 0 ⇒ HO · k1 = Hz1
= Cte.
HO = (Ap,Bq,Cr)0 ; k1 = (sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ)0
(Ap sinϕ+Bq cosϕ) sin θ + Cr cos θ = Hz1
Solido de Lagrange– p. 3/22
Sólido pesado con punto fijo
Hace falta otra ecuación, p.e., una de las de Euler:
Ap+ qr(C −B)
Bq + pr(A− C)
Cr + pq(B − A)
= −mg
η cos θ − ζ sin θ cosϕ
ζ cos θ sinϕ− ξ cos θ
sin θ (ξ cosϕ− η sinϕ)
No se pueden integrar analíticamente en el caso general. Puedenreducirse a cuadraturas en dos casos:
Sólido de Sofía Kowaleskaya:A = B = 2C, ζ = 0
Sólido de Lagrange:A = B, ξ = η = 0 (trompo simétrico).
Solido de Lagrange– p. 4/22
Sólido de Lagrange
Sólido pesado con punto fijo, elipsoide de inerciade revolución (A = B) y centro de masas en eleje (ξ = η = 0).
En este caso, la tercera ecuación de Euler dauna integral primera: x
y
z
yz
x
11
1
0
00
O
ϕ θ
θ
ψ
ψ
ψ
θ
.
.
.
mg
Cr + pq(����B − A) = −mg sin θ (��ξ cosϕ−�η sinϕ) ⇒ r = r0
Las dos integrales primeras del caso general quedan:
A(
p2 + q2)
+ Cr20 + 2mgζ cos θ = 2E
A (p sinϕ+ q cosϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1
Ahora el problema puede reducirse a cuadraturas.Solido de Lagrange– p. 5/22
Sólido de Lagrange: reducción a cuadraturas
A(
p2 + q2)
+ Cr20 + 2mgζ cos θ = 2E
A (p sinϕ+ q cosϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1
Sustituyendop y q por sus valores en función de los ángulos de Eulery sus derivadas,
θ2 + ψ2 sin2 θ = 2E−Cr2
0
A − 2mgζA cos θ = α − a cos θ
ψ sin2 θ =Hz1
A − CA r0 cos θ = β − b r0 cos θ
α y β dependen de las condiciones iniciales
a y b dependen de la geometría de masas del sólido
Eliminandoψ, queda una ecuación enθ2 y θ → cuadraturaLas cuadraturas pueden integrarse mediante funciones elípticas
Solido de Lagrange– p. 6/22
Sólido de Lagrange: reducción a cuadraturas
De la integral de la energía se obtiene una cuadratura parat(θ)
(
dθ
dt
)2
= α−a cos θ−(
β − br0 cos θ
sin θ
)2
= f(θ) →∫ t
t0
dt =
∫ θ
θ0
±dθ√
f(θ)
Sustituyendo estedt en la del momento cinético, se obtieneψ(θ):
ψ =β − br0 cos θ
sin2 θ→ ψ − ψ0 = ±
∫ θ
θ0
β − br0 cos θ
sin2 θ
dθ√
f(θ)
Y finalmente, der0 se obtieneϕ(θ)
r0 = ϕ+ψ cos θ → ϕ− ϕ0 = ±∫ θ
θ0
(
r0 −β − br0 cos θ
sin2 θcos θ
)
dθ√
f(θ)
Solido de Lagrange– p. 7/22
Sólido de Lagrange: análisis cualitatativo
Mediante dos integrales primeras se ha dejado la de la energía sólocomo función deθ2 y θ → se puede hacer un análisis cualitativo:
θ2 = α− a cos θ −(
β − br0 cos θ
sin θ
)2
=2
A
[
E′ − Vef (θ)]
≥ 0
queda más simple con el cambiou = cos θ, que dau = −θ sin θ:
θ2 sin2 θ = (α− a cos θ) sin2 θ − (β − br0 cos θ)2 ⇒⇒ u2 = (α− au)
(
1 − u2)
− (β − br0u)2
Con lo que, tomando la constanteE′ como cero, queda:
2
AVef (u) = − (α− au)
(
1 − u2)
+ (β − br0u)2
Solido de Lagrange– p. 8/22
Sólido de Lagrange: análisis cualitatativo
2AVef (u) = − (α− au)
(
1 − u2)
+ (β − br0u)2 ≤ 0.
Polinomio de grado 3 con las siguientes propiedades:
u −∞ −1 u0 1 ∞Vef (u) + + − + −
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
0
Vef (u) 1
1−1
−1 u1 u2 u3
u
θ1
θ2
Traza del eje de revolución sobre la esfera unidad
Solido de Lagrange– p. 9/22
Sólido de Lagrange: casos
Vef (u) = − (α− au)(
1 − u2)
+ (β − br0u)2
ψ sin2 θ = β − br0u ψ = 0 → u∗ =β
br0
∣
∣
∣
∣
β
br0
∣
∣
∣
∣
> 1 |u∗| > 1 ⇒ u∗ /∈ [u1, u2]−1 0 1
Vef(u)
uu1 u2 u3
u*
∣
∣
∣
∣
β
br0
∣
∣
∣
∣
< 1
|u∗| < 1
α > au∗ u∗ ∈ [u1, u2]−1 0 1
Vef(u)
u
u1 u2 u3
u*
α < au∗ u∗ /∈ [u1, u2]−1 0 1
Vef(u)
u
u1 u2 u3
u*
α = au∗ u∗ = u2
[
V ′(u∗) = a(
1 − u∗2)
> 0]
−1 0 1
Vef(u)
u
u1 u2 u3
u*
Solido de Lagrange– p. 10/22
Sólido de Lagrange: casos
∣
∣
∣
∣
β
br0
∣
∣
∣
∣
= 1
u∗ = +1
V ′(1) =
2(α − a)
α > a θ(1) =√
α − a−1 0 1
Vef(u)
u
u1 u2 u3
α < a u = 1 imposible, puesT < 0−1 0 1
Vef(u)
uu1 u2 u3
α = a
b2r2
0>
2a
Trompo dormi-
do estable −1 0 1
Vef(u)
uu1=u2 u3
b2r2
0=
2a
Transición:
ω∗ =2
C
√Amgζ
−1 0 1
Vef(u)
uu1=u2=u3
b2r2
0<
2a
Trompo dormi-
do inestable −1 0 1
Vef(u)
u
u1 u2=u3
Solido de Lagrange– p. 11/22
Sólido de Lagrange: casos
∣
∣
∣
∣
β
br0
∣
∣
∣
∣
= 1u∗ = −1
V ′(1) = −2(α+ a)
α+ a > 0−1 0 1
Vef(u)
uu1u2 u3
α+ a = 0−1 0 1
Vef(u)
uu1=u2 u3
Solido de Lagrange– p. 12/22
Trompo dormido
Vef (u) = − (α− au)(
1 − u2)
+ (β − br0u)2
V ′
ef (u) = a(
1 − u2)
+ 2u (α− au) − 2br0 (β − br0u)
V ′′
ef (u) = 2 (α− au) −4au+ 2b2r20 Disipación:r0 ↓
−1 0 1
Vef(u)
uu1=u2 u3
−1 0 1
Vef(u)
uu1=u2=u3
−1 0 1
Vef(u)
u
u1 u2=u3
Solido de Lagrange– p. 13/22
Trompo dormido
Aplicación del trompo dormido: estabilización de proyectiles porrotación
θ θv
Fr
v
Fr
ψ
ϕ
Solido de Lagrange– p. 14/22
Movimiento estacionario
Movimiento con θ = θ0, θ = 0, ψ = ψ0 y ϕ = ϕ0
Las condiciones inciales necesarias se pueden obtener deanálisis cualitativo: hacerV ′
ef (u) = 0
ecuaciones de Euler: hacerθ = θ = ψ = ϕ = 0
En el movimiento estacionario se cumple parau = u0 = cos θ0
Vef (u0) = −(α− au0)(1 − u20) + (β − br0u0)
2 = 0
V ′
ef (u0) = a(1 − u20) + 2u0(α− au0) − 2br0(β − br0u0) = 0
La primera no dice nada: se cumple siempre que se lance conθ = 0. Lo propio del estacionario es que se anule la derivada.
θ0 = 0 θ0 = 0
Solido de Lagrange– p. 15/22
Movimiento estacionario
V ′
ef (u0) = a(1 − u20) + 2u0(α− au0) − 2br0(β − br0u0) = 0
Las constantesα, β, en función de las condiciones iniciales,
��θ20 + ψ2
0 sin2 θ0 = α− au0
ψ0 sin2 θ0 = β − br0u0
se sustituyen en la derivada del potencial,
a(
1 − u20
)
+ 2u0
[
ψ20
(
1 − u20
)
]
− 2br0
[
ψ0
(
1 − u20
)
]
= 0
Como sólo interesan los casos con|u0| 6= 1, queda:
a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0 = 0
Solido de Lagrange– p. 16/22
Movimiento estacionario
a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0 = 0
Es más intuitivo usarϕ0 en vez der0:
a+ 2u0(1 − b) ψ20 − 2b ϕ0 ψ0 = 0
Esta expresión es cuadrática en laψ0 y lineal en laϕ0:
ψr0 =
2bϕ0+√
4b2ϕ2
0−8au0(1−b)
4u0(1−b) ψl0 =
2bϕ0−
√4b2ϕ2
0−8au0(1−b)
4u0(1−b)
Habrá dos valores de la precesión, rápida y lenta, si:
(ϕ∗
0)2 ≥ 2a
b2u0(1 − b) = ω∗2 u0(1 − b)
dondeω∗ es la velocidad crítica del trompo dormido.
Solido de Lagrange– p. 17/22
Movimiento estacionario
La rotación propia es única, y tiene dos términos:
ϕ0 =a
2b ψ0
+u0 (1 − b)
bψ0 =
mgζ
ψ0
+
(
1 − C
A
)
r0
Uno, inversamente proporcional a la precesión, recoge elefecto del peso a través dea = 2mgζ/A. El otro, proporcional a la
precesión, se debe a lainercia como en el sólido de Poinsot.Para valores altos deϕ0,
Precesión lenta:efecto del peso dominante:ψl0 ≃ a
2bϕ0
Precesión rápida:inercia dominante:ψr0 ≃ bϕ0
u0(1 − b)
Solido de Lagrange– p. 18/22
Movimiento estacionario
ϕ0 =mgζ
ψ0
+
(
1 − C
A
)
cos θ0ψ0
ω∗√
u0(1 − b)
ϕ0
ψ0
u0 > 0b < 1: Prolato
b > 1: Oblato
ψr0
ψl0
Solido de Lagrange– p. 19/22
Precesión de los equinoccios
Movimiento de la Tierra como sólido de Lagrange:
S T
ω
Solido de Lagrange– p. 20/22