Diseno de compensadores en adelanto (Phase-leadcontroller) mediante la respuesta en frecuencia
Dr. Herman Castaneda CuevasSERVOMECANISMOS
Ingeniera en Mecatronica
Facultad de Ingeniera Mecanica y Electrica (FIME)Universidad Autonoma de Nuevo Leon (UANL)
San Nicolas de los Garza, N.L. 2014.
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Programa
1 Introduccion.
2 Procedimiento de diseno de un compensador en adelanto de fase
3 Ejemplo 1: Compensador en adelanto de fase
4 Ejemplo 2: Compensador en adelanto de fase
5 Ejemplo 3: Compensador en adelanto de fase
6 Conclusiones.
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Introduccion
La compensacion en adelanto de fase, produce en escencia, unmejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequenoen la precision en estado estable. Por otro lado, puede acentuar el ruido dealta frecuencia.
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Compensador en adelanto de fase
Sea un compensador en adelanto de fase que tiene la funcion detransferencia siguiente:
KcTs+ 1
Ts+ 1= Kc
s+ 1Ts+ 1T
, (0 < < 1) (1)
donde es el factor de acentuacion y Kc la ganancia del compensador.Tiene un cero en s = 1/T y un polo en s = 1/T . Puesto que,0 < < 1, se observa que el cero siempre estara localizado a la derechadel polo en el plano complejo. Entonces, para un valor pequeno de , elpolo se localiza lejos a la izquierda.
El valor mnimo de esta limitado por la construccion del compensador yusualmente se toma como valor mnimo 0.05, es decir, que el adelantomaximo del compensador sera de 65
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Compensador en adelanto de fase
El diagrama polar de
KcjT + 1
jT + 1, (0 < < 1) (2)
con Kc = 1.
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Compensador en adelanto de fase
Para un valor determinado de , el angulo entre el eje real positivo y lalinea tangente desde el origen al semicirculo proporciona el angulo deadelanto de fase maximo m. Se llamara m a la frecuencia en el puntotangente y se puede obtener la siguiente razon
senm =12
1+2
=1 1 +
(3)
que relaciona el angulo de adelanto de fase maximo con el valor de .
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Compensador en adelanto de fase
El diagrama de Bode de
KcTs+ 1
Ts+ 1, (0 < < 1) (4)
con Kc = 1 y = 0.1.
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Compensador en adelanto de fase
Las frecuencias en las esquinas para el compensador en adelanto de faseson = 1/T y = 1/T , si se examina el diagrama de Bode, se deduceque m es la media geometrica de las dos frecuencias esquinas, es decir
logm =1
2
(log
1
T+ log
1
T
)(5)
Por tanto,
m =1T
Tambien, se puede deducir a partir del Bode que el compensador enadelanto de fase es basicamente un filtro pasa alta. (Pasan frecuenciasaltas, pero se atenuan las frecuencias bajas)
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Diseno de un compensador en adelanto de fase
La funcion principal del compensador en adelanto es modificar la curva derespuesta en frecuencia para proporcionar un angulo de fase suficiente paracompensar el excesivo retardo de fase asociado a los componentes delsistema. El sistema de control esta dado en la siguiente figura
Las especificaciones se daran en funcion del margen de fase, margen deganancia, constantes del error estatico de velocidad. Para lo cual se da elsiguiente procedimiento.
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Procedimiento de diseno de un compensador en adelanto
Tecnicas de compensacion en adelanto de fase.1.- Suponga el compensador en adelanto:
Gc(s) = KcTs+ 1
Ts+ 1= Kc
s+ 1Ts+ 1T
, (0 < < 1), (6)
definiendo K = Kc, se tiene
Gc(s) = KTs+ 1
Ts+ 1. (7)
Por lo tanto, la funcion de transferencia en lazo abierto del compensadorcon la planta es
Gc(s)G(s) = KTs+ 1
Ts+ 1G(s) =
Ts+ 1
Ts+ 1KG(s). (8)
Entonces, determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre laconstante estatica de error dada.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 10 / 34
Procedimiento de diseno de un compensador en adelanto
2.- Dibuje el diagrama de Bode de KG(s), que es el sistema con laganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el margen de fase.
3.- Determine el angulo de fase que se necesita agregar al sistema. A esevalor, agreguele de 5 a 12 mas. Esto debido a que la adicion delcompensador de adelanto desplaza la frecuencia de cruce de gananciahacia la derecha y disminuye as el margen de fase.
4.- Determine el factor de atenuacion usando
senm =1 1 +
, =1 + senm1 senm
despues determine la frecuencia donde la magnitud del sistema nocompensado sea
20log(1/)Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 11 / 34
Procedimiento de diseno de un compensador en adelanto
Esta frecuencia sera la nueva frecuencia de cruce de ganancia ycorresponde a
m =1T
y el cambio de fase maximo m ocurre en esta frecuencia.
5.- Determine el polo y el cero del compensador
Cero del compensador: = 1/T
Polo del compensador; = 1/T
6.- Con el valor de K y de , calcule la constante del compensador
Kc =K
7.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.
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Ejemplo 1: Compensador en adelanto
Considere la siguiente funcion de trasnferencia:
G(s) =4
s(s+ 2)(9)
Se requiere disenar un compensador para el sistema de manera que laconstante de error estatico de velocidad Kv sea 20seg
1, el margen defase de al menos 50 y el margen de ganancia de al menos 10dB.Solucion.Utilizando el compensador en adelanto de la forma
Gc(s) = KcTs+ 1
Ts+ 1= Kc
s+ 1Ts+ 1T
, (10)
el sistema en compensado tendra la funcion en lazo abierto Gc(s)G(s).
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Ejemplo 1: Compensador en adelanto
Definiendo
G1(s) = KG(s) =4K
s(s+ 2), K = Kc
El primer paso es ajustar la ganancia K para cumplir el requerimiento deestado estacionario. Como esta constante es de 20seg1, se obtiene
Kv = lims0
sGc(s)G(s) = lims0
sTs+ 1
Ts+ 1G1(s) = lim
s0s4K
s(s+ 2)= 2K = 20
(11)Por tanto, K = 10 y entonces se grafican los diagramas de Bode de
G1(s) = KG(s) =40
s(s+ 2)
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Ejemplo 1: Compensador en adelanto
2.- Se observa que los margenes de fase y de ganancia son 18 y +dB.3.- Considerando el desplazamiento de la frecuencia de cruce de ganancia,el angulo requerido sera 38 esto porque 50 18 = 32 + 5-12.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 15 / 34
Ejemplo 1: Compensador en adelanto
4.- Determinar el factor de atenuacion a partir de m = 38,
sen38 =1 1 +
, = 0.24
Ahora, se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar elcompensador. Se utiliza 20log(1/
).
20log(1/0.24) = 6.2dB
se observa en el diagrama de Bode en que frecuencia se tiene unamagnitud de -6.2dB y se define como la nueva frecuencia de cruce deganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es c = 9rad/s.
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Ejemplo 1: Compensador en adelanto
Despues se hace que a esta frecuencia ocurra el maximo aumento de fasem. En otras palabras c es la frecuencia media entre frecuencia de cortedel cero y del polo.
c =1T
,
entonces, se tiene que
1
T=c = 4.41,
1
T=
c= 18.4
Por lo tanto, el compensador queda detrminado de la siguiente manera
Gc(s) = Kcs+ 4.41
s+ 18.4= Kc
s+ 1Ts+ 1T
con Kc = K/ = 10/0.24 = 41.7
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Ejemplo 1: Compensador en adelanto
La funcion de transferencia en lazo abierto resulta:
Gc(s)G(s) = 10s+ 4.41
s+ 18.4
4
s(s+ 2)= 41.7
s+ 1/4.41
s+ 1/18.4
4
s(s+ 2)
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Ejemplo 1: Compensador en adelanto
Resultado
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Ejemplo 2: Compensador en adelanto
Considere el control de un seguidor solar, representado por la siguientefuncion de trasnferencia:
G(s) =0(s)
A(s)=
2500K
s(s+ 25)(12)
Se requiere disenar un compensador para el sistema de manera que laconstante de error estatico de velocidad 0.01, el margen de fase de almenos 45 .Solucion.Utilizando el compensador en adelanto de la forma
Gc(s) = KcTs+ 1
Ts+ 1= Kc
s+ 1Ts+ 1T
, (13)
el sistema en compensado tendra la funcion en lazo abierto Gc(s)G(s).
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Ejemplo 2: Compensador en adelanto
El primer paso es ajustar la ganancia K para cumplir el requerimiento deestado estacionario. Aplicando el teorema de valor final a A(t), tenemos
lims0
sA(s) = lims0
sr(s)
1 +G(s)
Puesto que r(s) = 1/s2 (rampa unitaria), mediante el uso de la funcion
de transferencia original, se tiene
limtA(t) = 0.01K
As, s K = 1 tendremos el error en estado estacionario igual a 0.01, elcual es el maximo permitido. Sin embargo para este valor de K elcoeficiente de amortiguamiento es de 0.25, que corresponde a un 44.4% desobrepaso en la respuesta al escalon.
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Ejemplo 2: Compensador en adelanto
2.- Se observa que el margen de fase es 28.3.- Considerando el desplazamiento de la frecuencia de cruce de ganancia,el angulo requerido sera 25 esto porque 45 28 = 17 + 8-12.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 22 / 34
Ejemplo 2: Compensador en adelanto
4.- Determinar el factor de atenuacion a partir de m = 25,
sen25 =1 1 +
, = 2.46
Ahora, se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar elcompensador. Se utiliza 20log(1/
).
20log(1/2.46) = 3.91dB
se observa en el diagrama de Bode en que frecuencia se tiene unamagnitud de 3.91dB y se define como la nueva frecuencia de cruce deganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es c = 60rad/s.
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Ejemplo 2: Compensador en adelanto
Despues se hace que a esta frecuencia ocurra el maximo aumento de fasem. En otras palabras c es la frecuencia media entre frecuencia de cortedel cero y del polo.
c =1T
,
entonces, se tiene que
1
T=c =
2.46 60 = 94, 1
T=
c= 94/
2.46 = 38.2.
Por lo tanto, el compensador queda detrminado de la siguiente manera
Gc(s) = Kcs+ 38.2
s+ 94= Kc
s+ 1Ts+ 1T
con Kc = K/ = 1/2.46 = 0.4065
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Ejemplo 2: Compensador en adelanto
La funcion de transferencia en lazo abierto resulta:
Gc(s)G(s) = 2.46s+ 38.2
s+ 94
2500
s(s+ 25)
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Ejemplo 2: Compensador en adelanto
Resultado
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Ejemplo 3: Compensador en adelanto
Considere la siguiente funcion de trasnferencia:
G(s) =1
s2(s+ 5)(14)
Se requiere disenar un compensador para el sistema con un margen de fasede al menos 50 y el margen de ganancia de al menos 10dB. Ademas, sedesea un ancho de banda de 1 2rad/sSolucion.Utilizando el compensador en adelanto de la forma
Gc(s) = KcTs+ 1
Ts+ 1= Kc
s+ 1Ts+ 1T
, (15)
el sistema en compensado tendra la funcion en lazo abierto Gc(s)G(s).
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Ejemplo 3: Compensador en adelanto
El Bode del sistema sin compensador es:
En = 1, la fase es de 191.31. Por lo tanto, el compensador deadelanto necesita aportar 50 + 11.31 = 61.31.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 28 / 34
Ejemplo 3: Compensador en adelanto
As, se puede determinar a partir de
senm = sen61.31 =
1 1 +
= 0.8772, = 0.06541
Se considera que el maximo aumento de fase m ocurre en la mediageometrica. En otras palabras c es la frecuencia media entre frecuenciade corte del cero y del polo.
c =1T
=1
0.06541T=
3.910
T= 1,
entonces, se tiene que
1
T=
1
3.910= 0.2558,
1
T=
0.2558
0.06541= 3.910
Por lo tanto, el compensador queda detrminado de la siguiente manera
Gc(s) = Kc0.065413.910s+ 1
0.2558s+ 1
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Ejemplo 3: Compensador en adelanto
La funcion de transferencia en lazo abierto resulta:
Gc(s)G(s) = Kc0.065413.910s+ 1
0.2558s+ 1
1
s2(s+ 5)o
Gc(s)G(s)
Kc0.06541=
3.910s+ 1
0.2558s+ 1
1
s2(s+ 5)
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Ejemplo 3: Compensador en adelanto
Mediante el diagrama de Bode se encuentra que la curva de magnituddebe elevarse en 2.3 dB para que la magnitud sea igual a 0 dB en = 1rad/s. En este caso, se establece
20log0.06541Kc = 2.3
o0.06541Kc = 10
2.320 = 1.3041
Por lo tanto Kc = 19.94
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Ejemplo 3: Compensador en adelanto
Resultado
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Conclusiones
El diseno de compensadores en adelanto ayuda a mejorar la respuesta delsistema, sus caracteristicas nos permiten adicionar fase necesaria paraobtener un comportamiento deseado de la salida del sistema. Comodesventaja se tiene que el sistema puede ser sensible a ruido de altafrecuencia, puesto que el compensador en adelanto se comporta como unfiltro pasa altas.
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Gracias por su atencion !!!Siguiente clase: Compensadores en
atraso de fase mediante la respuesta enfrecuencia
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Introduccin.Procedimiento de diseo de un compensador en adelanto de faseEjemplo 1: Compensador en adelanto de faseEjemplo 2: Compensador en adelanto de faseEjemplo 3: Compensador en adelanto de faseConclusiones.
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