Outline
RUANG VEKTOR(Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang
Vektor Umum)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan MatematikaPS. Sistem Informasi
University of JemberIndonesia
Jember, 2009
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Outline
Outline
1 Ruang VektorRuang-n EuclidisRuang Vektor Umum
2 Basis dan DimensiKebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
3 Ruang Vektor KhususRuang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Outline
Outline
1 Ruang VektorRuang-n EuclidisRuang Vektor Umum
2 Basis dan DimensiKebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
3 Ruang Vektor KhususRuang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Outline
Outline
1 Ruang VektorRuang-n EuclidisRuang Vektor Umum
2 Basis dan DimensiKebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
3 Ruang Vektor KhususRuang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunansemua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakandengan Rn
Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada Rn
u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)
jika k skalar, maka ku = (ku1, ku2, ..., kun)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunansemua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakandengan Rn
Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada Rn
u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)
jika k skalar, maka ku = (ku1, ku2, ..., kun)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunansemua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakandengan Rn
Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada Rn
u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)
jika k skalar, maka ku = (ku1, ku2, ..., kun)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunansemua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakandengan Rn
Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada Rn
u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)
jika k skalar, maka ku = (ku1, ku2, ..., kun)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunansemua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakandengan Rn
Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada Rn
u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)
jika k skalar, maka ku = (ku1, ku2, ..., kun)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Ilmu Hitung dalam Rn
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan
u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:
u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)
v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan
u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:
u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)
v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan
u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:
u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)
v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan
u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:
u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)
v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan
u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:
u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)
v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan
u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:
u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)
v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Norm dan Jarak Euclidis
Analog dengan norm pada R2 dan R3
Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u1, u2, ..., un) pada Rn
adalah||u|| = (u · u)
12 =
√u2
1 + u22 + ... + u2
n
Analog dengan jarak pada R2 dan R3
Jarak Euclidis antara titik u = (u1, u2, ..., un) danv = (v1, v2, ..., vn) pada Rn dinotasikan d(u, v) dan samadengan
||u − v || =√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Norm dan Jarak Euclidis
Analog dengan norm pada R2 dan R3
Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u1, u2, ..., un) pada Rn
adalah||u|| = (u · u)
12 =
√u2
1 + u22 + ... + u2
n
Analog dengan jarak pada R2 dan R3
Jarak Euclidis antara titik u = (u1, u2, ..., un) danv = (v1, v2, ..., vn) pada Rn dinotasikan d(u, v) dan samadengan
||u − v || =√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika
1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu
10 1u = u
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Dasar Ruang Vektor
Jika V ruang vektor
maka ∀u ∈ V , u disebut vektor
Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar
0u = 0
k0 = 0
(−1)u = −u
ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Dasar Ruang Vektor
Jika V ruang vektor
maka ∀u ∈ V , u disebut vektor
Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar
0u = 0
k0 = 0
(−1)u = −u
ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Dasar Ruang Vektor
Jika V ruang vektor
maka ∀u ∈ V , u disebut vektor
Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar
0u = 0
k0 = 0
(−1)u = −u
ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Dasar Ruang Vektor
Jika V ruang vektor
maka ∀u ∈ V , u disebut vektor
Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar
0u = 0
k0 = 0
(−1)u = −u
ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Dasar Ruang Vektor
Jika V ruang vektor
maka ∀u ∈ V , u disebut vektor
Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar
0u = 0
k0 = 0
(−1)u = −u
ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Sifat Dasar Ruang Vektor
Jika V ruang vektor
maka ∀u ∈ V , u disebut vektor
Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar
0u = 0
k0 = 0
(−1)u = −u
ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Subruang
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang
jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahanvektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V
Teorema Subruang
Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruangdari V ⇐⇒
1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Subruang
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang
jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahanvektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V
Teorema Subruang
Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruangdari V ⇐⇒
1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Subruang
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang
jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahanvektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V
Teorema Subruang
Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruangdari V ⇐⇒
1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Subruang
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang
jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahanvektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V
Teorema Subruang
Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruangdari V ⇐⇒
1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Kombinasi Linier dan Merentang
Kombinasi Linier
Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektorv1, v2, ..., vn jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai
w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn
dengan k1, k2, ..., kn adalah skalar-skalar.
Merentang
Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linierdari v1, v2, ..., vr maka vektor-vektor v1, v2, ..., vr dikatakanmerentang V . Dinotasikan:
V = lin{v1, v2, ..., vr}Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Kombinasi Linier dan Merentang
Kombinasi Linier
Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektorv1, v2, ..., vn jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai
w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn
dengan k1, k2, ..., kn adalah skalar-skalar.
Merentang
Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linierdari v1, v2, ..., vr maka vektor-vektor v1, v2, ..., vr dikatakanmerentang V . Dinotasikan:
V = lin{v1, v2, ..., vr}Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Himpunan Kombinasi Linier
Teorema
Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan W = {k1v1 + k2v2 + ... + kr vr}, maka
W subruang V .
W subruang terkecil yang memuat v1, v2, ..., vr
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Himpunan Kombinasi Linier
Teorema
Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan W = {k1v1 + k2v2 + ... + kr vr}, maka
W subruang V .
W subruang terkecil yang memuat v1, v2, ..., vr
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum
Himpunan Kombinasi Linier
Teorema
Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan W = {k1v1 + k2v2 + ... + kr vr}, maka
W subruang V .
W subruang terkecil yang memuat v1, v2, ..., vr
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Definisi
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dansatu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0
adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebaslinier , dan v1, v2, ..., vr disebut vektor-vektor bebas linier
Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakankombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Definisi
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dansatu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0
adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebaslinier , dan v1, v2, ..., vr disebut vektor-vektor bebas linier
Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakankombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Definisi
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dansatu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0
adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebaslinier , dan v1, v2, ..., vr disebut vektor-vektor bebas linier
Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakankombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Definisi
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dansatu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0
adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebaslinier , dan v1, v2, ..., vr disebut vektor-vektor bebas linier
Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakankombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Teorema Kebebasan Linier
Jika
sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebuttak bebas linier
Sebuah himpunan
mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jikasalah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain
Misalkan
S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dalam Rn.Jika r > n maka S tak bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Teorema Kebebasan Linier
Jika
sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebuttak bebas linier
Sebuah himpunan
mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jikasalah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain
Misalkan
S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dalam Rn.Jika r > n maka S tak bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Teorema Kebebasan Linier
Jika
sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebuttak bebas linier
Sebuah himpunan
mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jikasalah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain
Misalkan
S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dalam Rn.Jika r > n maka S tak bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika
S bebas linier
S merentang V
1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi
V .
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Teorema Basis
Teorema a
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis
Teorema b
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor yangmerentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis
Teorema c
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan r vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapatdiperbesar untuk menjadi basis V
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Teorema Basis
Teorema a
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis
Teorema b
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor yangmerentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis
Teorema c
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan r vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapatdiperbesar untuk menjadi basis V
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi
Teorema Basis
Teorema a
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis
Teorema b
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor yangmerentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis
Teorema c
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan r vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapatdiperbesar untuk menjadi basis V
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Ruang Baris dan Ruang Kolom
Tinjaulah matriks m × n
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
... ......
am1 am2 ... amn
Subruang Rn
yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang barisA
Subruang Rm
yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruangkolom A
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Ruang Baris dan Ruang Kolom
Tinjaulah matriks m × n
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
... ......
am1 am2 ... amn
Subruang Rn
yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang barisA
Subruang Rm
yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruangkolom A
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basisuntuk ruang baris A
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dandinyatakan dengan rank(A)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basisuntuk ruang baris A
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dandinyatakan dengan rank(A)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basisuntuk ruang baris A
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dandinyatakan dengan rank(A)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basisuntuk ruang baris A
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dandinyatakan dengan rank(A)
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:
1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Beberapa Teorema Lanjutan
Sebuah sistem linier Ax = b
adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruangkolom matriks A
Sebuah sistem linier Ax = b
akan konsisten jika dan hanya jika rank(A) = rank(A|b)
Jika Ax = b sistem konsisten
yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jikarank(A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − rparameter
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Beberapa Teorema Lanjutan
Sebuah sistem linier Ax = b
adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruangkolom matriks A
Sebuah sistem linier Ax = b
akan konsisten jika dan hanya jika rank(A) = rank(A|b)
Jika Ax = b sistem konsisten
yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jikarank(A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − rparameter
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Beberapa Teorema Lanjutan
Sebuah sistem linier Ax = b
adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruangkolom matriks A
Sebuah sistem linier Ax = b
akan konsisten jika dan hanya jika rank(A) = rank(A|b)
Jika Ax = b sistem konsisten
yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jikarank(A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − rparameter
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:
1 < u, v >=< v , u >
2 < u + v , w >=< u, w > + < v , w >
3 < ku, v >= k < u, v >
4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0
untuk u, v , w ∈ V dan k skalar
Sebuah ruang vektor riil
dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:
1 < u, v >=< v , u >
2 < u + v , w >=< u, w > + < v , w >
3 < ku, v >= k < u, v >
4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0
untuk u, v , w ∈ V dan k skalar
Sebuah ruang vektor riil
dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:
1 < u, v >=< v , u >
2 < u + v , w >=< u, w > + < v , w >
3 < ku, v >= k < u, v >
4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0
untuk u, v , w ∈ V dan k skalar
Sebuah ruang vektor riil
dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:
1 < u, v >=< v , u >
2 < u + v , w >=< u, w > + < v , w >
3 < ku, v >= k < u, v >
4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0
untuk u, v , w ∈ V dan k skalar
Sebuah ruang vektor riil
dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:
1 < u, v >=< v , u >
2 < u + v , w >=< u, w > + < v , w >
3 < ku, v >= k < u, v >
4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0
untuk u, v , w ∈ V dan k skalar
Sebuah ruang vektor riil
dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:
1 < u, v >=< v , u >
2 < u + v , w >=< u, w > + < v , w >
3 < ku, v >= k < u, v >
4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0
untuk u, v , w ∈ V dan k skalar
Sebuah ruang vektor riil
dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan kskalar
< 0, v >=< v , 0 >= 0
< u, v + w >=< u, v > + < u, w >
< u, kv >= k < u, v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan kskalar
< 0, v >=< v , 0 >= 0
< u, v + w >=< u, v > + < u, w >
< u, kv >= k < u, v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan kskalar
< 0, v >=< v , 0 >= 0
< u, v + w >=< u, v > + < u, w >
< u, kv >= k < u, v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan kskalar
< 0, v >=< v , 0 >= 0
< u, v + w >=< u, v > + < u, w >
< u, kv >= k < u, v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka
norm vektor u = ||u|| =< u, u >12
jarak antara titik u dan v adalah
d(u, v) = ||u − v ||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
< u, v >2≤< u, u >< v , v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka
norm vektor u = ||u|| =< u, u >12
jarak antara titik u dan v adalah
d(u, v) = ||u − v ||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
< u, v >2≤< u, u >< v , v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka
norm vektor u = ||u|| =< u, u >12
jarak antara titik u dan v adalah
d(u, v) = ||u − v ||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
< u, v >2≤< u, u >< v , v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka
norm vektor u = ||u|| =< u, u >12
jarak antara titik u dan v adalah
d(u, v) = ||u − v ||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
< u, v >2≤< u, u >< v , v >
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Sifat Dasar Norm dan Jarak
Norm Jarak‖u‖ ≥ 0 d(u, v) ≥ 0‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 0 d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v‖ku‖ = |k |‖u‖ d(u, v) = d(v , u)‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w , v)
Jika V ruang hasilkali dalam
maka norm dan jarak yang didefinisikan memenuhi semua sifatyang didaftar dalam tabel di atas
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Ortogonalitas
Dalam ruang hasilkali dalam
vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v >= 0.Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor padahimpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W
Teorema Pythagoras yang digeneralisasi
Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruanghasilkali dalam, maka
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Ortogonalitas
Dalam ruang hasilkali dalam
vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v >= 0.Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor padahimpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W
Teorema Pythagoras yang digeneralisasi
Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruanghasilkali dalam, maka
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebutortonormal jika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal
semua vektor memiliki norm 1
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis ortonormal pada ruanghasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka
u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn
Jika S = {v1, v2, ..., vn} himpunan ortogonal dari vektor-vektortaknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebutortonormal jika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal
semua vektor memiliki norm 1
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis ortonormal pada ruanghasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka
u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn
Jika S = {v1, v2, ..., vn} himpunan ortogonal dari vektor-vektortaknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebutortonormal jika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal
semua vektor memiliki norm 1
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis ortonormal pada ruanghasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka
u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn
Jika S = {v1, v2, ..., vn} himpunan ortogonal dari vektor-vektortaknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebutortonormal jika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal
semua vektor memiliki norm 1
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis ortonormal pada ruanghasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka
u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn
Jika S = {v1, v2, ..., vn} himpunan ortogonal dari vektor-vektortaknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebutortonormal jika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal
semua vektor memiliki norm 1
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis ortonormal pada ruanghasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka
u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn
Jika S = {v1, v2, ..., vn} himpunan ortogonal dari vektor-vektortaknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proyeksi Ortogonal
Misalkan V adalah ruang hasilkali dalam
dan {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan ortonormal darivektor-vektor V . Jika W menyatakan ruang yang direntangoleh v1, v2, ..., vr maka tiap vektor u dalam V dapat dinyatakandalam bentuk
u = w1 + w2
dengan w1 terletak pada W
w1 =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vr > vr = proyW u
dan w2 ortogonal terhadap W
w2 = u− < u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Teorema
Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknolmempunyai sebuah basis ortonormal
Bukti
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksisebuah basis ortonormal {v1, v2, ..., vn} dari sebarang basisS = {u1, u2, ..., un} dengan menggunakan prosesGram-Schmidt
Step 1
v1 = u1‖u1‖
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Teorema
Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknolmempunyai sebuah basis ortonormal
Bukti
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksisebuah basis ortonormal {v1, v2, ..., vn} dari sebarang basisS = {u1, u2, ..., un} dengan menggunakan prosesGram-Schmidt
Step 1
v1 = u1‖u1‖
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Teorema
Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknolmempunyai sebuah basis ortonormal
Bukti
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksisebuah basis ortonormal {v1, v2, ..., vn} dari sebarang basisS = {u1, u2, ..., un} dengan menggunakan prosesGram-Schmidt
Step 1
v1 = u1‖u1‖
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Step 2
v2 =u2−proyW1
u2
‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1
‖u2−<u2,v1>v1‖
Step 3
v3 =u3−proyW2
u3
‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2
‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖
Step 4
v4 =u4−proyW3
u4
‖u4−proyW3u4‖ = u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3
‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖
Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v1, v2, v3, v4} merupakanhimpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjuthingga mendapat basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Step 2
v2 =u2−proyW1
u2
‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1
‖u2−<u2,v1>v1‖
Step 3
v3 =u3−proyW2
u3
‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2
‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖
Step 4
v4 =u4−proyW3
u4
‖u4−proyW3u4‖ = u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3
‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖
Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v1, v2, v3, v4} merupakanhimpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjuthingga mendapat basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Step 2
v2 =u2−proyW1
u2
‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1
‖u2−<u2,v1>v1‖
Step 3
v3 =u3−proyW2
u3
‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2
‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖
Step 4
v4 =u4−proyW3
u4
‖u4−proyW3u4‖ = u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3
‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖
Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v1, v2, v3, v4} merupakanhimpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjuthingga mendapat basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Proses Gram-Schmidt
Step 2
v2 =u2−proyW1
u2
‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1
‖u2−<u2,v1>v1‖
Step 3
v3 =u3−proyW2
u3
‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2
‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖
Step 4
v4 =u4−proyW3
u4
‖u4−proyW3u4‖ = u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3
‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖
Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v1, v2, v3, v4} merupakanhimpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjuthingga mendapat basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Koordinat
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis
untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapatdinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn dengantepat satu cara
Skalar c1, c2, ..., cn disebut koordinat v relatif terhadap basis S
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Koordinat
Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis
untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapatdinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn dengantepat satu cara
Skalar c1, c2, ..., cn disebut koordinat v relatif terhadap basis S
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Vektor dan Matriks Koordinat
Vektor Koordinat
dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh
(v)S = {c1, c2, ..., cn}
Matriks Koordinat
dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh
[v ]S =
c1
c2...
cn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Vektor dan Matriks Koordinat
Vektor Koordinat
dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh
(v)S = {c1, c2, ..., cn}
Matriks Koordinat
dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh
[v ]S =
c1
c2...
cn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Kontribusi Basis Ortonormal
Jika S adalah basis ortonormal
untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika
(u)S = (u1, u2, ..., un)
dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)
maka
‖u‖ =√
u21 + u2
2 + ... + u2n
d(u, v) =√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2
< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Kontribusi Basis Ortonormal
Jika S adalah basis ortonormal
untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika
(u)S = (u1, u2, ..., un)
dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)
maka
‖u‖ =√
u21 + u2
2 + ... + u2n
d(u, v) =√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2
< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Kontribusi Basis Ortonormal
Jika S adalah basis ortonormal
untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika
(u)S = (u1, u2, ..., un)
dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)
maka
‖u‖ =√
u21 + u2
2 + ... + u2n
d(u, v) =√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2
< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Kontribusi Basis Ortonormal
Jika S adalah basis ortonormal
untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika
(u)S = (u1, u2, ..., un)
dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)
maka
‖u‖ =√
u21 + u2
2 + ... + u2n
d(u, v) =√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2
< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Masalah
Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama, B,ke basis baru B′, bagaimanakah matriks (vektor) koordinat vterhadap basis lama, [v ]B, bila dihubungkan dengan matriks(vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B′ ?
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Ilustrasi
Misal
B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′
2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)
(v)B′ = (k1, k2)
Tentukan (v)B !
Solusi
[v ]B =
[a cb d
][v ]B′
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Ilustrasi
Misal
B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′
2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)
(v)B′ = (k1, k2)
Tentukan (v)B !
Solusi
[v ]B =
[a cb d
][v ]B′
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Ilustrasi
Misal
B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′
2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)
(v)B′ = (k1, k2)
Tentukan (v)B !
Solusi
[v ]B =
[a cb d
][v ]B′
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Ilustrasi
Misal
B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′
2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)
(v)B′ = (k1, k2)
Tentukan (v)B !
Solusi
[v ]B =
[a cb d
][v ]B′
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Ilustrasi
Misal
B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′
2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)
(v)B′ = (k1, k2)
Tentukan (v)B !
Solusi
[v ]B =
[a cb d
][v ]B′
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Ilustrasi
Misal
B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′
2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)
(v)B′ = (k1, k2)
Tentukan (v)B !
Solusi
[v ]B =
[a cb d
][v ]B′
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Masalah Secara Umum
Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama,B = {u1, u2, ..., un}, ke basis baru B′ = {u′
1, u′2, ..., u′
n},bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basislama, [v ]B, bila dihubungkan dengan matriks (vektor)koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B′ ?
Solusi
[v ]B = P [v ]B′
denganP =
[[u′
1
]B ,
[u′
2
]B , ...,
[u′
n
]B
]Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Masalah Perubahan Basis
Masalah Secara Umum
Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama,B = {u1, u2, ..., un}, ke basis baru B′ = {u′
1, u′2, ..., u′
n},bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basislama, [v ]B, bila dihubungkan dengan matriks (vektor)koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B′ ?
Solusi
[v ]B = P [v ]B′
denganP =
[[u′
1
]B ,
[u′
2
]B , ...,
[u′
n
]B
]Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Transisi
Jika P matriks transisi dari basis B′ ke basis B, maka
P invertibel
P−1 adalah matriks transisi dari B ke B′
Jika P adalah matriks transisi
dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lainuntuk suatu ruang hasilkali dalam, maka
P−1 = P t
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Transisi
Jika P matriks transisi dari basis B′ ke basis B, maka
P invertibel
P−1 adalah matriks transisi dari B ke B′
Jika P adalah matriks transisi
dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lainuntuk suatu ruang hasilkali dalam, maka
P−1 = P t
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Transisi
Jika P matriks transisi dari basis B′ ke basis B, maka
P invertibel
P−1 adalah matriks transisi dari B ke B′
Jika P adalah matriks transisi
dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lainuntuk suatu ruang hasilkali dalam, maka
P−1 = P t
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Transisi
Jika P matriks transisi dari basis B′ ke basis B, maka
P invertibel
P−1 adalah matriks transisi dari B ke B′
Jika P adalah matriks transisi
dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lainuntuk suatu ruang hasilkali dalam, maka
P−1 = P t
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Ortogonal
Matriks Ortogonal
adalah matriks persegi yang inversnya sama dengantransposnya.
A−1 = At
Pernyataan berikut ekivalen
1 A matriks ortogonal2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Ortogonal
Matriks Ortogonal
adalah matriks persegi yang inversnya sama dengantransposnya.
A−1 = At
Pernyataan berikut ekivalen
1 A matriks ortogonal2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Ortogonal
Matriks Ortogonal
adalah matriks persegi yang inversnya sama dengantransposnya.
A−1 = At
Pernyataan berikut ekivalen
1 A matriks ortogonal2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Ortogonal
Matriks Ortogonal
adalah matriks persegi yang inversnya sama dengantransposnya.
A−1 = At
Pernyataan berikut ekivalen
1 A matriks ortogonal2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Ruang VektorBasis dan Dimensi
Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis
Matriks Ortogonal
Matriks Ortogonal
adalah matriks persegi yang inversnya sama dengantransposnya.
A−1 = At
Pernyataan berikut ekivalen
1 A matriks ortogonal2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan
ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis
Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR
Top Related