Respons thd Eksitasi Harmonik
Getaran Mekanik STT Mandala
Eksitasi harmonik thd sistem tanpa redaman
M k
x Displacement
F=F0cosω t
F(t)=F0cosωt
Misalkan sebuah sistem pegas massa diberikan eksitasi harmonik sebesar
ωadalah frekuensi dari gaya harmonik (driving frequency) F0 adalah besar gaya harmonik Sistem tanpa redaman (c=0)
Persamaan Gerak
( )
mk
mFfana
tftxtx
tFtkxtxm
n
n
/
/dim
)cos()()(
cos)()(
00
02
0
=
=
=+
=+
ω
ωω
ω
Solusi persamaan gerak
)cos()()( 02 tftxtx n ωω =+
Merupakan persamaan differensial orde 2 Solusi merupakan penjumlahan dari solusi homogen dan solusi khusus Solusi homogen sudah dibahas di getaran bebas tak teredam
xp (t) = X cos(ωt)
Solusi khusus diasumsikan mempunyai frekuensi sama dengan frekuensi gaya eksitasi (gaya input)
Solusi persaman gerak Substitusi asumsi solusi khusus ke persamaan gerak
)cos()(
:
)cos(coscos
220
220
022
tftx
khusussolusi
fX
makatftXtX
np
n
nn
ωωω
ωω
ωωωωω
−=
−=
=+−
Solusi total
Solusi total=solusi umum+solusi khusus
tftAtAtxn
nntotal ωωω
ωω coscossin)(22
021 −
++=
A1 dan A2 adalah konstanta integrasi (bentuk Cartesian)
Kondisi awal dimasukkan=0
x(0) = A1 sin0 + A2 cos0 +f0
ωn2 − ω 2 cos0 = A2 +
f0
ωn2 − ω 2 = x0
⇒ A2 = x0 −f0
ωn2 − ω 2
&x(0) = ωn (A1 cos0 − A2 sin0) −f0
ωn2 − ω 2 sin0 = ωnA1 = v0
⇒ A1 =v0
ωn
⇒
x(t) =v0
ωn
sinωnt + x0 −f0
ωn2 − ω 2
cosωnt +f0
ωn2 − ω 2 cosωt
)0(x
Response for m=100 kg, k=1000 N/m, F=100 N, ω = ωn +5 v0=0.1m/s and x0= -0.02 m.
0 2 4 6 8 10 -0.05
0
0.05
Time (sec)
Dis
plac
emen
t (x)
Terdapat 2 fungsi harmonik dengan 2 frekuensi berbeda Respons getaran bebas dipengaruhi oleh gaya eksitasi Solusi tidak terdefinisi untuk ω=ωn
Jika ω dekat dengan ωn
x(t) =2 f0
ωn2 − ω 2 sin
ωn − ω2
t
sinωn + ω
2t
(2.13)
Terjadi fenomena beating
0 5 10 15 20 25 30 -1
-0.5
0
0.5
1
Time (sec)
Dis
plac
emen
t (x)
2 f0
ωn2 − ω 2 sin
ωn − ω2
t
Amplitudo besar
Jika ω=ωn
0 5 10 15 20 25 30 -5
0
5
Time (sec)
Dis
plac
emen
t (x)
resonansi
Contoh : Compute and plot the response for m=10 kg, k=1000 N/m, x0=0,v0=0.2 m/s, F=23 N, ω=2ωn.
)20cos10(cos10667.710sin02.0)( :diperoleh totalsolusi rumus Dari
m 109667.7s/rad )20(10
N/kg 3.2
m 02.0rad/s 10m/s 2.0 N/kg, 3.2
kg 10N 23
rad/s 202 rad/s, 10kg 10N/m 1000
3
3222222
0
00
ttttx
f
vmFf
mk
n
n
nn
−×+=
×−=−
=−
=====
=====
−
−
ωω
ω
ωωω
Compute so that the mount keeps the camera from vibrating more then 0.01 m of maximum amplitude under a wind load of 15 N at 10 Hz. The mass of the camera is 3 kg.
Solusi
Dari kekuatan material: I =bh3
12
Frekuensi pribadi sistem:
ωn
2 =3Ebh3
12ml 3 =Ebh3
14ml 3
Kita harus menghitung yg membuat amplitudo kurang dari 0.01m:
2 f0
ωn2 − ω 2 < 0.01 ⇒
(a) − 0.01 <2 f0
ωn2 − ω 2 , for ωn
2 − ω 2 < 0
(b) 2 f0
ωn2 − ω 2 < 0.01, for ωn
2 − ω 2 > 0
( )
( )tFtxIEItxm
tFtkxtxm
ω
ω
cos)(3)(
cos)()(
03
0
=+
=+
Case (a) (assume aluminum for the material):
−0.01 <2 f0
ω n2 − ω 2 ⇒ 2 f0 < 0.01ω 2 − 0.01ω n
2 ⇒ 0.01ω 2 − 2 f0 > 0.01Ebh3
4ml 3
⇒ l 3 > 0.01Ebh3
4m(0.01ω 2 − 2 f0 )= 0.321⇒ l > 0.6848 m
Case (b):
2 f0
ω n2 − ω 2 < 0.01⇒ 2 f0 < 0.01ω n
2 − 0.01ω 2 ⇒ 2 f0 + 0.01ω 2 < 0.01Ebh3
4ml 3
⇒ l 3 < 0.01Ebh3
4m(2 f0 + 0.01ω 2 )= 0.191⇒ l < 0.576 m
0.5 < l < 0.576, or l > 0.6848 m
Misalnya l dibatasi minimum 0,5 meter maka
Misalnya dipilih l=0.55 m maka cek
ω n
2 − ω 2 =3Ebh3
12ml 3 − 20π( )2= 1742 > 0
m = ρl bh3
= (2.7 × 103)(0.55)(0.02)(0.02)3
= 2.376 × 10−4 kg
Cek massa batang tidak mempengaruhi frekuensi (harus jauh lebih kecil dari massa kamera)
Alternatif bentuk harmonik ( )
mk
mFfana
tftxtx
tFtkxtxm
n
n
/
/dim
)sin()()(
sin)()(
00
02
0
=
=
=+
=+
ω
ωω
ω
xp (t) = X sinωt (2.19)
xp (t) =
f0
ω n2 − ω 2 sinωt
x(t) = x0 cosω nt +
v0
ω n
−ωω n
f0
ω n2 − ω 2
sinω nt +
f0
ω n2 − ω 2 sinωt (2.25)
Latihan
Latihan
k1=100 N/m k2=500 N/m m=89 kg
Top Related