UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
IME - Instituto de Matemática e Estatística
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA HMAP – 2010/4 NOME: Mário César Cunha
PÓLO: Botucatu- SP
GRUPO: 06
RESOLUÇÃO DA EQUACAO DO 2o GRAU PELOS MÉTODOS DE
AL-KHWARIZMI
Para exemplificar seus dois métodos, buscaremos a solução da equação do 2º grau
x² + 10x = 39. Esta equação é realmente encontrada no trabalho de Al-Khwarizmi.
Solução da equação x² + 10x = 39 pelo 1º método de Al-Khwarizmi
Primeiramente, a equação é escrita na forma 394
1042 =⋅⋅+ xx ; ou seja,
392
542 =⋅⋅+ xx
Figura 1- Problema 1º método de Al- Khwarizmi
Figura 1. Na parte superior, a equação 392
542 =⋅⋅+ xx e interpretada geometricamente.
Na parte inferior, é completado o quadrado e resultando na equação equivalente
222
2
5439
2
54
2
54
⋅+=
⋅+⋅⋅+ xx
Interpretando geometricamente o lado esquerdo desta equação, como na figura 1, temos a
soma das áreas de um quadrado de lado x e de quatro retângulos de lados 5/2 e x
totalizando 39 unidades de área.
Completando entao essa soma de áreas com a área de quatro quadrados de lados 5/2, cada
um de área 25/4, obtém-se a área de um quadrado de lado 52
52 +=
⋅+ xx medindo então
6425394
25439 =+=
⋅+ unidades de área. Algebricamente,
222
2
5439
2
54
2
54
⋅+=
⋅+⋅⋅+ xx
ou seja,
( ) 6425395 2 =+=+x
de onde, então, Al-Khwarizmi deduz que
8645 ==+x
Chega-se então à solução x = 8 -5 = 3. Para Al-Khwarizmi porém, quantidades
negativas careciam de sentido. No seu método, a solução x = -8 -5 = -13 não vem à tona.
Ao resolvermos equações do 2º grau nos podemos, no entanto, usar o método geométrico
de Al-Khwarizmi para completar os quadrados e, ao final, “esquecê-lo”, deduzindo também
eventuais soluções negativas da equação.
Solução da equação x² + 10x = 39 pelo 2º método de Al-Khwarizmi
Neste método mais simples, a equação é escrita na forma x² + 5x + 5x = 39
Figura 2- Problema 2º método de Al- Khwarizmi
Figura 2. Na parte superior, a equacao x²+5x = 39 é interpretada geometricamente. Na parte
inferior, completando o quadrado resulta na equação equivalente
x² + 5x + 5x + 5² = 39+5²
Interpretando geometricamente o lado esquerdo desta equação, como na figura 2,
temos agora a soma das áreas de um quadrado de lado x e de dois retângulos de lados 5 e x
totalizando 39 unidades de área. Completando então essa soma de áreas com a área de um
quadrado de lado 5, portanto de área 25, obtém-se a área de um quadrado de lado x + 5,
medindo então 39 + 25 = 64 unidades de área. Algebricamente,
x² + 5x + 5x + 5² = 39+5²
de onde, então,
(x + 5)² = 39+25 = 64
de onde, então, Al-Khwarizmi deduz que
8645 ==+x
OBSERVAÇÃO: Mas e se tivermos que tratar da equação x² - 5x = 33? Como
interpretar geometricamente o completamento de quadrados, se agora estamos subtraindo
dois retângulos de lados 5 e x?
O melhor, neste caso, é fazer uma substituição x = -u, de onde x² = u². A equação
então se torna u²+8u = 33. Aplicando então o método geométrico de Al-Khwarizmi,
chegaremos às soluções u1 = 3 e u2 = -11, de onde obtemos x1 = -3 e x2 = 11.
Problemas complementares
1. (Al-Khwarizmi) Encontre o lado de um quadrado inscrito num triângulo de lados 10, 10
e 12. Resposta: O quadrado tem lado de comprimento 4,8.
2. (Al-Khwarizmi) Resolva as seguintes equa»c~oes :
(a) 50 + x² = 29+10x. Resposta: x1 = 7; x2 = 3.
(b) x² = 40x - 4x². Resposta: x1 = 8; x2 = 0
3. Resolva as seguintes equações
(a) x² - 16x + 80 = 0. Resposta: A equação não tem solução (real).
(b) x² - 12x = 28. Resposta: x1 = 14; x2 = -2
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