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REPRESENTACION GRÁFICA DE
FUNCIONES
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REPRESENTACION GRÁFICA DE
FUNCIONES
UNIDADES……………………………………………………………………………………Pag.
1. DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA FUNCIÓN …………………………………………….3
2. CORTES CON LOS EJES …………………………………………………………………...5
3. SIMETRÍA……………………………………………………………………………………..7
4. PERIODICIDAD………………………………………………………………………………9
5. FUNCIONES INVERSAS…………………………………………………………..………..10
6. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN……………..………….…12
7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN……………………………15
a) CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN……………………….17
b) CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA DERIVADA…………………….20
c) CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA…….….22
8. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN ……………………….….……24
9. PUNTOS DE INFLEXIÓN………………………………………………………………….27
10. ASINTOTAS DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………….29
11. REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN………………………………….33
3
DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA
FUNCIÓN
El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números
reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).
Ejemplos:
4
5
CORTES CON LOS EJES
Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la
función que pertenecen a los ejes coordenados.
Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve
el sistema:
Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve
el sistema:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Punto de corte con el eje OY :
Puntos de corte con el eje OX :
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Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:
TABLA DE VALORES
X Y
0 2
1 0
2 0
-1/2 0
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SIMETRÍA
FUNCIÓN PAR
Una función f es PAR cuando:
Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY).
Ejemplo:
FUNCIÓN IMPAR
Una función f es IMPAR cuando:
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Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Ejemplo:
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PERIODICIDAD
FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función f es PERIÓDICA cuando existe un número tal que:
(los valores de la función se repiten de p en p).
El número p se llama periodo.
Ejemplo:
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FUNCIONES INVERSAS
Sea F una función la función f -1 es la INVERSA cuyo domino es el
codominio de f y tiene la propiedad de que para cada x ϵ R :
(f f-1
)(x)=x
Sea f la función de A en B. La función f-1 de B en A se define
f-1
= (x,y) (y,x) R
Ej: Sea ;
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f=1/(4-3x) f-1=(4x-1)/3x
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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
DE UNA FUNCIÓN
TEOREMA
Sea f(x) una función derivable en el punto xo
I.
Demostración Demostración - 1
(1) f es estrictamente
creciente a la derecha del punto xo.
(2) f es estrictamente
creciente a la izquierda del punto xo.
II.
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Demostración
Demostración -2
f es estric. creciente en xo.
en ambos casos
III.
IV.
V. Demostración
Demostraciones análogas.
Ejemplos:
1.
a. es estrictamente creciente en xo.
En la función es estrictamente
creciente.
b. es estrictamente decreciente en xo.
En la función es estrictamente
decreciente.
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2.
La función es estrictamente creciente cuando x sea negativa, pero puesto
que f(x) no está definida en x=-1, el intervalo donde la función es
estrictamente creciente será .
Análogamente la función es estrictamente decreciente en .
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
DE UNA FUNCIÓN
Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.
DEFINICIÓN
La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno
E(xo) tal que:
La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno
E(xo) tal que:
Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la
menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se
excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor
que f(xo).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o
simplemente extremos.
TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE
EXTREMOS)
Sea una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del
dominio.
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Demostración
Demostración
Este teorema se demuestra utilizando el recíproco.
Nota
La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la
pendiente de la recta tangente) es cero.
Ejemplo:
Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no
puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.
TABLA DE VALORES
X Y
1/2 -1/4 P. Crítico
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TABLA DE VALORES
X Y
1/2 -1/4 P. Crítico
RESUMEN
Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo.
CRITERIO - 1:VARIACIÓN DE LA
FUNCIÓN
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CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA
FUNCIÓN
Sea la función f y un punto xo
Tomamos dos puntos
Los casos posibles que se pueden presentar son:
A. En el punto de abscisas xo hay un
máximo relativo.
B. En el punto de abscisas xo hay un
mínimo relativo.
C. Ni A. ni B. No hay extremo.
Ejemplo:
Sea
Calculamos los puntos críticos:
, es un punto crítico.
Siendo h un número positivo y muy pequeño es evidente que el mayor de los tres
es f(0)=1, (caso A) luego xo es un máximo relativo.
TABLA DE VALORES
X Y
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0 1 MÁXIMO
CRITERIO - 2:VARIACIÓN DE LA
DERIVADA
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CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA
DERIVADA
Sea la función f derivable en el intervalo (a ,b)
Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo.
Los casos posibles que se pueden presentar son:
A. y
I. Si la derivada es positiva, la función es creciente.
II. Si la derivada es negativa, la función es decreciente.
Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto xo y es
decreciente después del punto xo, luego en el punto xo hay un máximo relativo.
B. y
I. Si la derivada es negativa, la función es decreciente.
II. Si la derivada es positiva, la función es creciente.
Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto xo y
es creciente después del punto xo, luego en el punto xo hay un mínimo
relativo.
C. Ni A. ni B. No hay extremo.
Ejemplo:
.
Los puntos críticos son:
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Tenemos tres intervalos: .
En el primero:
Luego
En el segundo:
Luego
En el punto xo=0 no hay extremo, porque empieza siendo decreciente y
sigue siendo decreciente.
En el tercero: Ahora
En el punto x1=3/2 existe un mínimo relativo, porque empieza siendo
decreciente y después pasa a ser creciente.
TABLA DE VALORES
X Y
0 3 NADA
3/2 21/16 MÍNIMO
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CRITERIO - 3:VARIACIÓN DE LA 2ª
DERIVADA
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CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA
SEGUNDA DERIVADA
Sea una función derivable más de una vez.
TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE
EXTREMOS)
Pueden ocurrir los siguientes casos:
a. La función f tiene en el punto xo un mínimo relativo.
b. La función f tiene en el punto xo un máximo relativo.
c. No se puede afirmar nada.
Demostración
a. Si es creciente en
La derivada es negativa a la izquierda de xo y es positiva a la derecha de
xo, luego la función f es decreciente a la izquierda de xo y es creciente a la
derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mínimo relativo.
b. Si es decreciente en
La derivada es positiva a la izquierda de xo y es negativa a la derecha de
xo, luego la función f es creciente a la izquierda de xo y es decreciente a la
derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un máximo relativo.
24
Ejemplo:
Los puntos críticos son:
En el punto xo=0, no se puede afirmar NADA.
En el punto x1=3/2 hay un MÍNIMO RELATIVO.
TABLA DE VALORES
X Y
0 3 NADA
3/2 21/16 MÍNIMO
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CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE
UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN
Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY,
dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a
la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.
Condiciones analíticas de concavidad y convexidad
Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el
intervalo (a, b).
Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el
intervalo (a, b).
26
Ejemplo:
27
PUNTOS DE INFLEXIÓN
DEFINICIÓN
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se
llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni
convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.
Los puntos de inflexión están caracterizados por:
TEOREMA
Sea la ecuación de una función.
Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por
el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de
inflexión.
Clasificación de los puntos de inflexión
Nota
Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de
tener una recta tangente que cruza la gráfica de f.
Ejemplo:
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El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada
segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).
TABLA DE VALORES
X Y
1 -2 P. INFLEXIÓN
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ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando
indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al
infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma
que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la
distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe
el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical.
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b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.
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c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
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Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de
unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites
laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por
la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero
calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
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Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la
asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el
SIGNO[f(x)-Asíntota].
Ejemplo:
La función tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.
Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la
asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.
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REGIONES DE EXISTENCIA PARA
UNA FUNCIÓN
Las regiones donde existe la función son las parcelas del plano por donde
tenemos la seguridad de su existencia. Estas regiones se determinan, para
funciones polinómicas y racionales, trazando rectas verticales sobre el eje OX, en
los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función
(considerando su orden de multiplicidad).
Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el
eje OX. Una vez asegurada la existencia de la función en una de ellas (mediante
un valor de la x), alternaremos en una “SI” y en otra “NO” por orden la
existencia, hasta completar todo el plano.
Ejemplo:
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GRÁFICA
Una vez obtenidos todos los cálculos de los puntos del 1 al 9, se realizará un
dibujo de la gráfica de dicha función sobre unos ejes coordenados, indicando
sobre éste las características más importantes de dicha gráfica.
HOJA DE SOLUCIONES
1.-Dominio de la función D=
2.-Puntos de corte con los ejes:
X Y
. .
. .
. .
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3.-Simetría y periodicidad
Si es simétrica la función, indica el tipo TIPO =
Si es periódica la función, indica el periodo PERIODO =
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento
CRECIENTE =
DECRECIENTE =
5.- Máximos y mínimos:
X Y M o m
. . .
. . .
. . .
6.-Intervalos de concavidad y convexidad
CÓNCAVA =
CONVEXA =
7.-Puntos de inflexión:
X Y TIPO
. . .
. . .
. . .
8.-Asíntotas
A. VERTICALES A. HORIZONTALES A. OBLICUAS
. . .
Puntos de corte de la función con la asíntota:
X Y
. .
. .
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