RELAÇÕES
1. Produto cartesianoSejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o
conjunto de todo os pares ordenados com .Notação:
2. Relação binária
Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de . Se indicamos por e indicamos por .
3. Domínio e imagem
Seja uma relação binária de A em B.Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de para os quais
existe algum y em B com .Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de para os quais
existe algum x em A com .
4. Propriedades das relações
Seja i) Reflexiva
Dizemos que é reflexiva se ou Exemplo 1:
Mostremos que as relações dadas são reflexivas.a) Seja sobre .
é reflexiva, pois .
b) Seja
é reflexiva, pois para
c) Seja sendo S plano euclidiano.
é reflexiva, pois para
1
ii) SimétricaDizemos que é simétrica se, e somente se .
Exemplo 2: Mostremos que as relações dadas são simétricas.
a) Seja sobre . é simétrica, pois .
b) Seja a relação de perpendicularidade definida por: sendo S plano euclidiano.
é simétrica, pois .
iii) Transitiva
Dizemos que é transitiva se, e somente se .
Exemplo 3: Mostremos que a relação sobre é
transitiva. é transitiva pois, .
iv) Anti-simétrica
Dizemos que é anti-simétrica se, e somente se ou
equivalente .Exemplo 4:
Mostremos que a relação sobre é anti-simétrica.
A sentença é verdadeira, pois é verdadeira.Exemplo 5: A relação sobre não é anti-simétrica.
Não é anti-simétrica pois, .
Observação: Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades
por meio dos diagramas.
2
Reflexiva: Em cada ponto do diagrama deve ter um laço.
Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas.
Transitiva: Todo par de flechas consecutivas deve existir uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.
Anti-simétrica: Não há flechas com duas pontas.
5. Relação de equivalênciaUma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e
somente se, for reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo 6: A relação sobre é de equivalência
pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo 7: Seja . A relação definida por é de equivalência.
i )Reflexiva
A relação é reflexiva pois, ii)Simétrica
A relação é simétrica pois,
ab
c
ab
c d
a b
c d
ab
c d
3
iii) TransitivaA relação é transitiva pois,
Exemplo 8:
A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim
i )ReflexivaA relação é reflexiva pois,
ii)SimétricaA relação é simétrica pois,
iii) TransitivaA relação é transitiva pois, .
Exercícios de Aplicação 1:Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir.
1) sobre
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Anti-simétrica
2) sobrei )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Anti-simétrica
4
3) sobrei )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Anti-simétrica
4)
sobre
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Anti-simétrica
5) Seja , quais propriedades são válidas para as relação.i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Anti-simétrica
6. Classe de equivalênciaSeja uma relação de equivalência sobre A. Dado denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A
formado dos elementos x tal que Simbolicamente
5
7. Conjunto quociente
O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por
Exemplo 9: A relação sobre é de
equivalência.Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim:
, logo podemos ver que a classe , assim temos duas classes, e indicamos por:
Exemplo 10: Seja a relação de equivalência sobre
Determinemos suas classes de equivalência.
pois,
pois, e escrevemos o conjunto quociente:
8. Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se
1) 2) Se
3)
Exemplo 11:Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que
e , assim forma uma partição de A pois. Denominando
6
, tem-se e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e
Exemplo 12:Sejam e definida por .
a) Verifique se é uma relação de equivalência.b) Caso afirmativo dar a classe de .Deixamos a cargo do leitor a demonstração i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
a) , adicionando membro a membro e simplificando tem-se;
, logo é transitiva e portanto é uma relação de equivalência.b) Classe de = = =
Exercícios de aplicação 02:1)Sejam e definida por
.a) Verifique se é uma relação de equivalênciai )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo, dar a classe de .
7
2) Seja a relação de equivalência sobre definida por
a) Verifique se é uma relação de equivalênciai )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo dar .
3) Seja .
a) Mostre que é de
equivalência.i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo dar a classe .
4)Sejam e definida por .(lê-se 3 divide a-b)
a) Verifique se é uma relação de equivalência.i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo, dar
8
5) Seja , complete o quadroRelação Reflexiva Simétrica transitiva
=
=
=
6) Seja a relação de equivalência sobre (conjunto dos números complexos)definida por
Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por
7) Seja e a relação
a) Mostre que é de equivalência.i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b)Sendo , dar a classe .
8) Em , definimos a relação de equivalência por
Descreva geometricamente
9. Relação de ordem
9
Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades:i) é reflexiva se
ii) é anti-simétrica se, e somente se iii) é transitiva se, e somente se .Notação: Se e é uma relação de ordem parcial escrevemos , lê-se “ a precede b” ou “ a antecede b”
Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que A é parcialmente ordenado.
Elementos comparáveisSe a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem
comparáveis se .
10. Ordem total
Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, , então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado.
Exemplo 13:Sejam e a relação definida por (menor ou igual é uma relação
de ordem total, denominada ordem habitual).Mostremos que é uma relação de ordem total.
i) é reflexiva, pois
ii) é anti-simétrica, pois iii) é transitiva, pois . Portanto é de ordem parcial sobre .Verifiquemos se é de ordem total;
,logo é de ordem total.
11. Limites superiores e inferiores
Seja um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja um subconjunto de .
Chamamos de limite superior de a todo elemento Chamamos de limites inferior de a todo elemento
12. Máximo e Mínimo
10
Sejam e uma relação de ordem parcial.
Se então é máximo.Se então é mínimo.
13. Supremo e Ínfimo
Seja um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja um subconjunto de .
Chama-se supremo de o mínimo do conjunto dos limites superiores de (caso exista)Chama-se ínfimo de o máximo do conjunto dos limites superiores de (caso exista).
11. Boa ordem é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo
Exemplo 12:Sejam , e a ordem habitual. Determinar
a) Limites superiores de A, LS(A)=
b) Máximo de A, Max(A)=
c) Supremo de A, Sup(A)=
d) Limites inferiores de A, LI(A)= e) Mínimo de A, não existe Min(A)f) Ínfimo de A, Inf(A)=
Exemplo 14:Sejam e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os
conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que )
a) Max(A)= b) Sup(A)= c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe
Exemplo 15:
a
bc
d
e
11
Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i) a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7}
d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8}
ii) B é parcialmente ordenado (justifique)
a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado.
b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.
c) Anti-simétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B.
é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7.
iii) B é totalmente ordenado (justifique)
Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis.
(V) (V) (V), logo , é totalmente ordenado.
Exercícios de aplicação 03:
12 3
4
56
78
12
1) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { }d) LI(B)={ } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é totalmente ordenado?
2)Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { }d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { }
ii) é totalmente ordenado? (justifique)
iii) O que se deve fazer para ser parcialmente ordenado
iv) é bem ordenado se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem ordenado 3)Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
12
34
6
85
7
654
321
13
Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { }d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é totalmente ordenado? (justifique)
4) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determine 1) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { }d) LI(B)= { } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { }
2) é totalmente ordenado? (justifique)
Exercícios de aplicação 04:
54
3
2
1
14
12
3
4
56
78
0
1) Seja .a) Determinar tal que
b) Verifique se é anti-simétrica.
2) Seja e a relação dada por
a) Verifique se é uma relação de equivalênciai )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Sendo , determinar
3) Em , definimos a relação de por
a) Verifique se é de equivalência
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Descreva geometricamente
15
4) Em , definimos a relação de por
a) Verifique se é de equivalência
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Determine
c) Descreva geometricamente
5) Sejam e relação de equivalência definida por .
Determine os valores de , para que
Exercícios de aplicação 04:
16
1) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é parcialmente ordenado?
iii) é totalmente ordenado?
2) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é parcialmente ordenado?
iii) é totalmente ordenado?
1
35
6
B
2
4
1
2
5
6
34
B
17
3) Seja e
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é parcialmente ordenado?
iii) é totalmente ordenado
4) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é parcialmente ordenado?
6 4 1
3
2 B
57
8
64
1 3
B
5
2
18
5) Em , considere a pré-ordem definida pelo diagrama que segue
Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é parcialmente ordenado?
iii) não é boa ordem, eliminando qual
seta passa a ser boa ordem?
Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama
Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) é parcialmente ordenado?
B
a
b
c
d
e
f
1
2
34
5
6
78 9
19
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