7/16/2019 Razones Propo Porcent
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VARIACIONESPROPORCIONALES
RAZONESPROPORCIONES
PORCENTAJES
Presentación realizada por Roberto Muñoz illa!r"nra#$%
RAM% &
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RAZONES'na razón es una co#paración (ue seestablece #ediante Cuociente o )i$isión
'na razón la pode#os escribir de dos *or#as+
o ta#bi,n
En a#bos casos se lee -a. es a -b.
RAM% /
b
a
ba :
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T,r#inos de una razón0os t,r#inos de una razón se deno#inan+
Antecedente Consecuente
RAM% 1
b
a
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Si!ni2cado)ecir (ue en un curso los 3o#bres 4 las#u5eres est"n en la razón -)OS ES A TRES.6/+17 respecti$a#ente8 si!ni2ca (ue+
Por cada dos 9o#bres 3a4 tres #u5eres en elcurso%
RAM% :
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Co#o resol$er un proble#a relati$o
a razonesProble#a+)on 0uis tiene tres nietos+ ;n!el8 Juan 4
Mario8 cu4as edades son &/8 < 4 = añosrespecti$a#ente%Ade#"s posee una bolsa con &1> dulces8 los
cuales $a a repartir entre sus nietos%
0a repartición no la 3ar" en partes i!uales8sino en la #is#a razón (ue est"n las edadesde sus nietos%Al repartirlos de esta #anera% ?Cu"ntos
dulces recibe cada uno@%RAM%
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SO0'CIBNCo#o los dulces ser"n repartidos en la razón&/+<+= 6razón entre las edades de cada nieto78debe#os *or#ar /= !rupos o -#ontoncitos.de dulces6&/<=D/=7A3ora $ere#os cu"ntos dulces debe tener
cada -#ontoncito. 8 para ello di$idi#os eltotal de dulces por la cantidad de !rupos (ue*or#a#os &1>+/=D
Esto (uiere decir (ue cada !rupo tendr" RAM% =
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A9ORA IFN;n!el tiene &/ años8 por lo tanto recibir"+ &/GD=> dulces
Juan tiene < años8 por lo tanto recibir"+ <GD:> dulces Mario tiene = años8 por lo tanto recibir" =GD1> dulces
Si co#pruebas =>:>1>D&1> dulces (uetenHa la bolsa
RAM%
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Razones E(ui$alentes)os razones son e(ui$alentes8 cuando
epresan la #is#a co#paraciónAsH por e5e#plo8 las razones son
e(ui$alentesA#bas epresan la #is#a co#paración
Cada 1 Azules Cada =
Azules
9a4 : ro5os 9a4 < Ro5os
RAM% <
y..........4
3
8
6
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Co#o encontrar razones
e(ui$alentesPara encontrar razones e(ui$alentes a una
razón dada8 pode#os 3acerlo por+
A7 A#pli2cación
7 Si#pli2cación
RAM% K
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A7 POR AMP0ILICACIBN Amplifcando por 2
Amplifcando por 3
Amplifcando por 4
RAM% &>
5
2
10
4
15
6
20
8
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7 Por Si#pli2cación Si#pli2cando por /
Si#pli2cando por 1
Si#pli2cando por :
RAM% &&
2412
12
6
8
4
6
3
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PROPORCIONES'na proporción es una i!ualdad de dosrazones e(ui$alentes
'na proporción la pode#os anotar de dos#aneras+
o ta#bi,n+
En a#bos casos de lee -a. es a -b. co#o -c. esa -d. RAM% &/
d
c
b
a=
d cba :: =
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TFRMINOS )E 'NA PROPORCIBN0os t,r#inos de una proporción se deno#inan
de la si!uiente #anera+
Etre#os
Medios
RAM% &1
d cba :: =
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PROPIE)A) L'N)AMENTA0 )E 0AS
PROPORCIONESEn toda proporción se cu#ple (ue8 el
producto de los etre#os es i!ual al productode los #edios%
Por e5e#plo8 en la proporción+Se cu#ple+
RAM% &:
d
c
b
a= ⇔ cbd a ** =
610
35 =
10*36*5 =
3030 =
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Aplicando la propiedad*unda#ental8 se puedeencontrar el t,r#ino
desconocido de una proporción
RAM% &
8,4
8
3=
x
x
3
88,4
=
* ______
=
24
______
8,4 x
=
5
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
&7 Interca#biar los etre#os
D
RAM% &=
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
/7 Interca#biar los #edios
D
RAM% &
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
1a7 Co#poner
D
RAM% &<
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
+
b
a
c+
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
1b7 Co#poner
D
RAM% &K
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
+
b
a
c+
d
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
:a7 )esco#poner
D
RAM% />
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
−
b
a
c−
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
:b7 )esco#poner
D
RAM% /&
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
−
b
a
c−
d
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
7 Co#poner 4 )esco#poner a la $ez
D
RAM% //
d
c
b
a= ⇒
a
b
c
d
+
b
a
c+
d −
−
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Aplicare#os todas las propiedades
$istas8 para la si!uiente proporción
RAM% /1
12
20
3
5=
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&7 Interca#biar los etre#osPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
&7 Interca#biar los etre#os
D
RAM% /:
12
20
3
5= ⇒
5
3
20
12
3*2012*5 =
6060=
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Intercalar los #ediosPara una proporción se cu#plen las si!uientespropiedades8 entre otras+
/7 Interca#biar los #edios
D
RAM% /
12
20
3
5= ⇒
5
3
20
12
3*2012*5 =
6060=
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
1a7 Co#poner
D
RAM% /=
12
20
3
5= ⇒
5
3
20
12
+
3
5
20+
20
32
5
8=
32*520*8 =
160160=
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
1b7 Co#poner
D
RAM% /
12
20
3
5= ⇒
5
3
20
12
+
3
520+
12
12
32
3
8=
32*312*8 =
9696 =
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
:a7 )esco#poner
D
RAM% /<
12
20
3
5= ⇒
5
3
20
12
−
3
5
20−
20
8
5
2=
8*520*2 =
4040=
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
:b7 )esco#poner
D
RAM% /K
12
20
3
5= ⇒
5
3
20
12
−
3
520
−
1212
8
3
2=
8*312*2 =
2424 =
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Al!unas propiedades de las
proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes
propiedades8 entre otras+
7 Co#poner 4 )esco#poner a la $ez
D
RAM% 1>
12
20
3
5= ⇒
5
320
12
+
3
520
+
12−
−
8
32
2
8=
32*28*8 =
6464 =
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PROPORCIBN )IRECTAObser$e#os la si!uiente tabla de $alores
En pri#er lu!ar8 cuando la $ariable au#enta8 la $ariable ta#bi,n au#enta%Se!undo8 si e*ectua#os los cuocientes entre
los $alores de con los respecti$os $alores de8 obtene#os+
Sie#pre se obtiene un #is#o $alor
6CONSTANTE7
X 2 3 5 6 7 8
1 :8 8 K &>8 &/
RAM% 1&
5,12
3= 5,1
3
5,4= 5,1
5
5,7= 5,1
6
9= 5,1
7
5,10= 5,1
8
12=
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Cuando esto ocurre8 es
decir+&7 Si al au#entar la $ariable 8 la $ariable 8ta#bi,n au#enta%/7 0os cuocientes entre los respecti$os
$alores de las $ariables es sie#pre el #is#o%)ire#os (ue las $ariables son+
)IRECTAMENTE PROPORCIONA0ES%
Al $alor de los cuocientes8 se le lla#aCONSTANTE )E PROPORCIONA0I)A)
RAM% 1/
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r"2ca de una
proporción directaSi e*ectua#os la !r"2ca de los $alores de latabla8 tene#os+
X 2 3 5 6 7 8
1 :8 8 K &>8 &/
RAM% 11
•
•
•
•
•
•
7/16/2019 Razones Propo Porcent
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Pode#os concluir (ue+
0a !r"2ca de una Proporción directa8 es una0Hnea recta (ue pasa por el ori!en%
RAM% 1:
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PROPORCIBN INERSAObser$e#os la si!uiente tabla de $alores
En pri#er lu!ar8 cuando la $ariable au#enta8 la $ariable dis#inu4e%Se!undo8 si e*ectua#os los productos entre
los $alores de con los respecti$os $alores de8 obtene#os+
Sie#pre se obtiene un #is#o $alor
6CONSTANTE7
X 2 4 5 8 ! 6
: / &8= & >8< >8
RAM% 1
82*4 = 84*2 = 85*6,1 = 88*1 = 810*8,0 = 816*5,0 =
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Cuando esto ocurre8 es
decir+&7 Si al au#entar la $ariable 8 la $ariable 8dis#inu4e%/7 0os productos entre los respecti$os $alores
de las $ariables es sie#pre el #is#o%)ire#os (ue las $ariables son+
INERSAMENTE PROPORCIONA0ES%
Al $alor de los PRO)'CTOS8 se le lla#aCONSTANTE )E PROPORCIONA0I)A)
RAM% 1=
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r"2ca de una
proporción in$ersaSi e*ectua#os la !r"2ca de los $alores de latabla8 tene#os+
X 2 4 5 8 ! 6
: / &8= & >8< >8
RAM% 1
•
•
•
•
••
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Pode#os concluir (ue+
0a !r"2ca de una Proporción in$ersa8 es unaCur$a lla#ada 9ip,rbola8 con los e5es co#oAsHntotas%
RAM% 1<
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Co#o Resol$er un proble#a relati$o
a ProporcionesPara resol$er un proble#a relati$o a
proporciones si!a los si!uientes pasos+&7 0ea co#prensi$a#ente el proble#a e
identi2(ue los datos rele$antes%/7 Anote los datos en colu#nas8 de #odo (ue
cada colu#na posea sólo datos del #is#o tipo%17 Represente con una 8 el dato desconocido%:7 )eter#ine si las $ariables est"n relacionadas
#ediante proporción directa8 o in$ersa%
RAM% 1K
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Co#o Resol$er un proble#a relati$o
a Proporcionesa7 Si los datos est"n relacionados
directa#ente8 plantee una proporción conellos tal co#o se encuentran en las colu#nas%b7 Si los datos est"n relacionados
in$ersa#ente8 pri#ero in$ierta una de las
colu#nas 4 lue!o plantee la proporción %=7 Encuentre el t,r#ino desconocido de laproporción%7 ), la respuesta en *or#a escrita
RAM% :>
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E5e#plo &
)oña Juanita8 el S"bado se le$antó te#prano4 a las K de la #añana estaba ca#ino a la*eria con su a#i!a Marta8 doña Juanita8 entreotras cosas co#pró tres Qilos 4 #edio de
li#ones 4 !astó en esta co#pra K<>%?Cu"nto pa!ó la señora Marta si co#pró tresQilos de los #is#os li#ones@%
RAM% :&
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)oña Juanita8 el S"bado se le$antó te#prano 4 a las K de la #añanaestaba ca#ino a la *eria con su a#i!a Marta8 doña Juanita8 entre otrascosas co#pró tres Qilos 4 #edio de li#ones 4 !astó en esta co#pra K<>%
?Cu"nto pa!ó la señora Marta si co#pró tres Qilos de los #is#os li#ones@%
0as $ariables in$olucradas en el proble#a sonilos de li#ones 4 )inero !astado en los li#ones%Con lo anterior tene#os (ue co#pletar nuestra
tabla de $alores%
Pode#os deducir (ue si co#pro #enos li#ones%asto #enos dinero%Por lo tanto es una proporción )irecta%
"ILOS #in$ro
18 K<>
1
RAM% :/
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)oña Juanita8 el S"bado se le$antó te#prano 4 a las K de la #añanaestaba ca#ino a la *eria con su a#i!a Marta8 doña Juanita8 entre otrascosas co#pró tres Qilos 4 #edio de li#ones 4 !astó en esta co#pra K<>%
?Cu"nto pa!ó la señora Marta si co#pró tres Qilos de los #is#os li#ones@%
Por lo tanto8 con los datos tal co#o est"n en latabla8 *or#a#os la proporción%
El $alor de 8 se obtiene al resol$er+Es decir8 el $alor de es+0a señora Marta pa!ó <:> por los 1 ilos de
li#ones%
"ILOS #in$r
o18 K<>
1
RAM% :1
x
980
3
5,3=
5,3
3*980= x
5,32940=
3529400=
840= x
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E5e#plo /
Carlos 4 )aniel est"n pintando un dor#itorio8cuando ter#inan se dan cuenta (uede#oraron = 3oras eactas en realizar eltraba5o8 Carlos pre!unta a )aniel ?Cu"nto3abrHa#os de#orado si nos 3ubiera a4udadonuestro a#i!o Esteban@% Para responder aesta pre!unta procede#os de la si!uiente#anera+
RAM% ::
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Carlos 4 )aniel est"n pintando un dor#itorio8 cuando ter#inan se dan cuenta (uede#oraron = 3oras eactas en realizar el traba5o8 Carlos pre!unta a )aniel ?Cu"nto3abrHa#os de#orado si nos 3ubiera a4udado nuestro a#i!o Esteban@% Para responder aesta pre!unta procede#os de la si!uiente #anera+
0as $ariables in$olucradas en el proble#a son nU#erode personas (ue pintan el dor#itorio 4 tie#po (uede#oran en pintarlo%
Con lo anterior tene#os (ue co#pletar nuestra tabla de$alores%
Pode#os deducir (ue si 3a4 #"s personas a4udando arealizar el traba5o%)e#ora#os #enos tie#po en realizarlo%Por lo tanto es una proporción In$ersa%
N%P$r&on
a&
'i$mpo
/ =
1
RAM% :
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Carlos 4 )aniel est"n pintando un dor#itorio8 cuando ter#inan se dan cuenta (uede#oraron = 3oras eactas en realizar el traba5o8 Carlos pre!unta a )aniel ?Cu"nto3abrHa#os de#orado si nos 3ubiera a4udado nuestro a#i!o Esteban@% Para responder aesta pre!unta procede#os de la si!uiente #anera+
Por lo tanto8 in$erti#os una de las colu#nas dela tabla8 4 *or#a#os la proporción%
El $alor de 8 se obtiene al resol$er+Es decir8 el $alor de es+Si les 3ubiera a4udado su a#i!o Esteban 3abrHan
de#orado : 3oras en pintar el dor#itorio%
N%
P$r&ona&
'i$mp
o()r&*+
/ =
1
RAM% :=
632
x=
3
2*6= x
3
12=
4= x
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PORCENTAJES'n porcenta5e es una razón de consecuente&oo%
Esto (uiere decir (ue un porcenta5e es unaco#paración (ue se establece en relación acada &>> unidades%
El sH#bolo utilizado para porcenta5e es V%
RAM% :
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PORCENTAJESSe!Un lo anterior pode#os a2r#ar (ue+
V D Si!ni2ca de cada &>>
&/ V D
Si!ni2ca &/ de cada &>>
RAM% :<
100
5
10012
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Porcenta5es'n porcenta5e lo pode#os epresar dedistintas *or#as+
Co#o una razón
Co#o una *racción irreductible
Co#o un deci#al
RAM% :K
%12
100
12
100
12 4:
4: 25
3=
100:12=
100
12 12,0=
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Porcenta5esEisten al!unos porcenta5es (ue se puedencalcular r"pida#ente8 en *or#a #ental
El >VPara calcular el >V de un nU#ero basta con
calcular la #itad del nU#eroEl >V de 1: es
El >V de &< esEl >V de / esEl >V de es
RAM% >
17
936
5,2
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Porcenta5esEisten al!unos porcenta5es (ue se puedencalcular r"pida#ente8 en *or#a #ental
El /VPara calcular el /V de un nU#ero debe#os
calcular la #itad8 de la #itad del nU#eroEl /V de => es
El /V de &< esEl /V de / esEl /V de <: es
RAM% &
15
5,45,0
21
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Porcenta5esEisten al!unos porcenta5es (ue se puedencalcular r"pida#ente8 en *or#a #ental
El VPara calcular el V de un nU#ero debe#os
calcular pri#ero el /V 4 lue!o el resultado#ultiplicarlo por 1
El V de :> esEl V de < esEl V de &/> esEl V de = es
RAM% /
30
690
5,4
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EN eneralSi (uiero calcular el tV de n8 procedo+
RAM% 1
nt
*100 100
*nt =
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Co#o resol$er un proble#a (ue
in$olucre porcenta5es Todo proble#a relati$o a porcenta5es8 se le
debe dar un trata#iento de proporcionalidaddirecta8 por lo tanto se debe proceder co#o
eplica#os anterior#ente8 pero ade#"sdebe#os tener presente la si!uienteconsideración+
Al anotar los datos en colu#nas8 al total delos casos8 debe#os 3acerle coincidir el &>>V
RAM% :
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E5e#plo &En un cole!io el V de los alu#nos tiene
beca% Si los alu#nos becados son :1%?Cu"ntos alu#nos tiene el cole!io@
RAM%
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En un cole!io el V de los alu#nos tiene beca% Si los alu#nos becadosson :1%?Cu"ntos alu#nos tiene el cole!io@
Anota#os los datos en colu#nas8 de #odo deasi!nar al total8 el &>>VEn este caso8 no conoce#os el total de alu#nos8
678 por lo cual a la 8 le asi!na#os el &>>V
Al plantear la proporción 4 resol$erla tene#os+
Por lo tanto el cole!io tiene <=> alu#nos
Al,mno& -
:1
&>>
RAM% =
100543 =
x 5100*43= x
54300= x 860= x
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E5e#plo /En una *"brica en la (ue traba5an &/>
operarios8 &< de ellos presentaron licencias#,dicas en el pri#er se#estre% ?Wu,porcenta5e de los operarios presentó licencia#,dica@
RAM%
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En una *"brica en la (ue traba5an &/> operarios8 &< de ellospresentaron licencias #,dicas en el pri#er se#estre% ?Wu, porcenta5ede los operarios presentó licencia #,dica@
Co#o se obser$a al leer co#prensi$a#ente elproble#a8 el total de los casos corresponden alos &/> operarios8 por lo cual a dic3a cantidad8
debe#os asociarle el &>>V% )e esta #anera8tene#os la si!uiente tabla%
Con dic3os datos plantea#os 4 resol$e#os laproporción+
RAM% <
Op$rario&
-
&/> &>>
&<
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En una *"brica en la (ue traba5an &/> operarios8 &< de ellospresentaron licencias #,dicas en el pri#er se#estre% ?Wu, porcenta5ede los operarios presentó licencia #,dica@
Por lo tanto8 los &< operarios8 representan el
&V de los &/> traba5adores%
Op$rario&
-
&/> &>>
&<
x
10018120
=
120100*18
= x
1201800
= x
12180
= x 15= x
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