RANGKUMAN
Mata Kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI
DI SUSUN OLEH :
Nama : Indah WijayantiNPM : 200813500172Dosen : Huri Suhendri S.Pd
KELAS : O. MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTAJl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang)
Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530Februari 2010
Geometri Transformasi
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL
DAFTAR ISI.......................................................................................................
BAB PEMBAHASAN
2.1 REFLEKSI..........................................................................................
2.2 TRANSLASI.......................................................................................
2.3 ROTASI..............................................................................................
2.4 DILATASI...........................................................................................
2.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI........................................................
DAFTAR PUSTAKA...........................................................................................
Matematika 2
Geometri Transformasi
REFLEKSI
a. Pengertian Refleksi
Pada gambar 7.5, tampak
bahwa ABC dicerminkan terhadap
garis g sehingga menjadi A’B’C’.
Garis g dinamakan sumbu simetri
atau garis invarian (tetap).
Perhatikan gambar 7.5.
Titik-titik A, B, dan C pada Δ ABC
dicerminkan menjadi titik-titik A’, B’,
dan C’ dengan arah tegak lurus terhadap garis g, dengan AF = FA’, BE = EB’
dan CD = DC’, sehingga diperoleh bayangannya Δ A’B’C’ yang kongruen (sama
bentuk dan ukuran) dengan ABC. Pencerminan seperti ini, yang memindahkan
semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta
bayangannya kongruen dengan bangun semula dinamakan refleksi.
Pada gambar 7.6 terlihat 4 buah titik
yang diketahui pasangan koordinatnya
yaitu titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2),
dan D (2,-4).
Kemudian kita tentukan bayangan
dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2) dan
D (2,-4) pada refleksi (pencerminan)
terhadap sumbu X, sehingga diperoleh
hasil sebagai berikut. Kemudian kita
tentukan bayangan dari titik-titik A (4,2), B
(-2,4), C (-4,-2) dan D (2,-4) pada refleksi
(pencerminan) terhadap sumbu X,
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
Matematika 3
1
Refleksi terhadap
Sumbu X
Geometri Transformasi
Bayangan dari titik-titik A
(4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-
4) pada refleksi (pencerminan)
terhadap sumbu X adalah A’(4,-2),
B’(-2,-4), C’(-4,2), dan D’(2,4). Dari
hasil tersebut diperoleh bahwa
koordinat x dari titik yang
dicerminkan terhadap sumbu X
sama dengan koordinat x dari
bayangannya, sedangkan
koordinat y dari titik yang
dicerminkan terhadap sumbu X
sama dengan negatif dari
koordinat y dari bayangannnya.
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika
dicerminkan terhadap sumbu X.
Penyelesaian:
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(-2,-3).
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah Q’(3,-3).
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah R’(3,-6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap sumbu X adalah titik-titik P’(-2,-3), Q’(3,-3), dan R’(3,-6).
2. Tentukan bayangan garis 3x + y = 7 yang di cerminkan terhadap sumbu x!
Penyelesaian: Ingat : y’ = -f(x) y = 7 – 3x
y’ = - (7-3x)
y’ = -7 + 3x
Matematika 4
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (a,-b)
Refleksi kurva terhadap y = - f (x)
Contoh
Geometri Transformasi
y’ = 3x - 7
Jadi, bayangan garis 3x + y = 7 yaitu y = 3x - 7
Pada gambar 7.8 terlihat 4 buah titik
yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4),
dan D (4,-2).
Kemudian kita tentukan bayangan
dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4) dan
D (4,-2) pada refleksi (pencerminan)
terhadap sumbu Y, sehingga diperoleh hasil
sebagai berikut.
Bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-
4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2) pada refleksi
(pencerminan) terhadap sumbu Y adalah
A’(-2,4), B’(-4,2), C’(-2,-4), dan D’(-4,-2).
Dari hasil tersebut diperoleh bahwa
koordinat y dari titik yang dicerminkan
terhadap sumbu Y sama dengan koordinat y
dari bayangannnya, sedangkan koordinat x
dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu
Y sama dengan negatif dari koordinat x dari
bayangannnya.
3. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika
dicerminkan terhadap sumbu Y.
Penyelesaian:
Matematika 5
Refleksi terhadap
Sumbu Y
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (-
a,b)
Refleksi kurva terhadap y = f (-x)
Contoh
Geometri Transformasi
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’(2,3).
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah Q’(-3,3).
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah R’(-3,6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap sumbu Y adalah titik-titik P’(2, 3), Q’(-3,3), dan R’(-3,6).
4. Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu
y!
Penyelesaian: Ingat : y’ = f(- x) y = 2x + 8
y’ = 2(-x) + 8
y’ = - 2x + 8
Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 yaitu y = -2x + 8
Pada gambar 7.10 terlihat 4 buah titik
yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5),
dan D (4,-2).
Kemudian kita tentukan bayangan dari
titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5) dan D
(4,-2) pada refleksi (pencerminan)
terhadap garis y = x, sehingga diperoleh
hasil sebagai berikut.
Bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-
2,-5), dan D (4,-2) pada refleksi
(pencerminan) terhadap terhadap garis y = x
adalah A’(5,2), B’(2,-4), C’(-2,—5), dan D’(-
2,4). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa
koordinat x pada suatu titik yang
dicerminkan menjadi koordinat y pada
bayangannya, sedangkan koordinat y pada
suatu titik yang dicerminkan menjadi
koordinat x pada bayangannya.
Matematika 6
Refleksi terhadap Garis
y=x
Geometri Transformasi
5. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika
dicerminkan terhadap garis y = x.
Penyelesaian:
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah P’(3,-
2).
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah
Q’(3,3).
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah
R’(6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(3, -2), Q’(3,3), dan R’(6,3).
6. Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu
y=x!
Penyelesaian: Ingat : x’ = f(y) y = 2x + 8
x’ = 2(y) + 8
x’ = 2y + 8
Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 garis yaitu x = 2y + 8
Pada gambar 7.12 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3).
Matematika 7
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’
(b,a)
Refleksi kurva terhadap garis x = f (y)
Contoh
Refleksi terhadap Garis
y = -x
Geometri Transformasi
Bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3) pada refleksi
(pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(-4,1), B’(3,4), C’(4,-1),
dan D’(-3,-4).
Dari hasil tersebut diperoleh bahwa
koordinat x pada suatu titik yang
dicerminkan menjadi negatif dari
koordinat y pada bayangannya,
sedangkan koordinat y pada suatu titik
yang dicerminkan menjadi negatif dari
koordinat x pada bayangannya.
Matematika 8
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (-
b,-a)
Refleksi kurva terhadapa garis x = - f (-y)
Geometri Transformasi
7. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika
dicerminkan terhadap garis y = -x.
Penyelesaian:
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = -x adalah P’(-
3,2).
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(-3,-
3).
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(-6,-
3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,-3), dan R’(-6,-3).
8. Tentukan bayangan garis y =6x + 5 yang di cerminkan terhadap sumbu
y=x!
Penyelesaian: Ingat : x’ = - f(-y) y = 6x + 5
x’ = -(6(-y) + 5)
x’ = 6y - 5
Jadi, bayangan garis y = 6x + 5 garis yaitu x = 6y -5
Pada gambar 7.14 tampak sebuah
titik P(a,b) yang direfleksikan
(dicerminkan) terhadap garis x = k
sehingga bayangannya adalah
P’(a’,b’).
Kemudian kita cari hubungan antara
a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah
sebagai
berikut.
a’ = a + PP’ a’ = a + PP’
Matematika 9
Contoh
Refleksi terhadap Garis
x = k
Geometri Transformasi
a’ = a + 2PQ
a’ = a + 2(k – a)
a’ = a + 2k – 2a
a’ = 2k – a
Selanjutnya, dari gambar 7.14 tampak jelas bahwa b’ = b, sehingga titik P(a,b)
berturut-turut diganti oleh 2k–a dan b. Maka, koordinat titik P’(a’,b’) menjadi
P’(2k–a,b).
9. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika
dicerminkan terhadap garis x = 5.
Penyelesaian:
Bayangan dari P (-2,3) - garis x = 5 maka P’(2(5)-(-2),3) = P’(12,3).
Bayangan dari Q (3,3) - garis x = 5 maka Q’(2(5)-3,3) = Q’(7,3).
Bayangan dari R (3,6) - garis x = 5 maka R’(2(5)-3,6) = R’(7,6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis x = 5 adalah titik-titik P’(12,3), Q’(7,3), dan R’(7,6).
Pada gambar 7.15 terlihat sebuah titik
P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan)
terhadap garis y = k sehingga
bayangannya adalah P’(a’,b’).
Kemudian kita cari hubungan antara a, b,
a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai
berikut.
b’ = b + PP’ b’ = b + PP’
Matematika 10
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’
(2k-a, b)
Refleksi kurva terhadap garis y = f (2k – x)
Contoh
Refleksi terhadap Garis
y = k
Geometri Transformasi
b’ = b + 2PQ
b’ = b + 2(k – b)
b’ = b + 2k – 2b
b’ = 2k – b
Selanjutnya, dari gambar 7.15 tampak jelas bahwa a’ = a, sehingga titik P(a,b)
berturut-turut diganti oleh a dan 2k-b.Oleh karena itu,koordinat titik P’(a’,b’)
menjadi P’(a,2k-b).
10. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika
dicerminkan terhadap garis y = 3.
Penyelesaian:
Bayangan dari P (-2,3) -- garis y = 4 adalah P’ (-2,2(4)-3) = P’ (-2,5).
Bayangan dari Q (3,3) -- garis y = 4 adalah Q’ (3,2(4)-3) = Q’(3,5).
Bayangan dari R(3,6) -- garis y = 4 adalah R’(3,2(4)-6) = R’(3,2).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis y = 4 adalah titik-titik P’(-2,5), Q’(3,5), dan R’(3,2).
No Jenis Transformasi Matriks Bayangan titik
1
2
3
4
Refleksi
Terhadap sumbu x
Terhadap sumbu y
Terhadap garis y=x
Terhadap garis y=-
My=0
Mx=0
My=x
A(x,y) A’ (x,-
y)
A(x,y) A’ (-
x,y)
Matematika 11
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’
(a, 2k-b)
Refleksi kurva terhadap garis y = 2k – f(x)
Contoh
Geometri Transformasi
x My=-x
A(x,y) A’
(y,x)
A(x,y) A’ (-y,-
x)
11. Tentukan bayangan titik (3,-5), jika di cerminkan terhadap garis y=-x!
Penyelesaian : = My=-x
= =
12. Tentukan bayangan kurva y=x2,jika di cerminkan terhadap garis y=x!
Penyelesaian : = My=x
=
=
sehingga di dapat, x = y’ dan y = x’. Substitusikan ke persamaan kurva y=x2
,
maka diperoleh y = x2
x’ = y’2
y’ = ± Jadi, bayangan kurva tersebut adalah y = ±
13. Persamaan garis 3x + y – 2 = 0 dicerminkan terhadap garis y=-x. tentukan
persamaan bayangannya!
Penyelesaian : My=-x , maka T-1 = 1 = =
Misalkan titik (x,y) terketak pada garis 3x + y – 2=0, maka bayangan titik (x’,y’)
adalah:
Matematika 12
Contoh
1- 1
Geometri Transformasi
= T , kemudian masing-masing di kali dengan T-1
T-1 = T-1 T
=
= x = -y’ dan y = -x’
14. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran x2+ y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh
transformasi yang bersesuaian dengan matrix !
Penyelesaian:
Cara I : Diketahui matrik T ,
invers matrix T-1 = 1 = =
Misalkan titik (x,y) terketak pada garis x2+ y2+4x–6y–3= 0,maka bayangan titik
(x’,y’) adalah: = T , kemudian masing-masing di kali dengan T-1
T-1 = T-1 T
=
= x = -y’ dan y = x’
Matematika 13
Subsitusikan x = -y’ dan y = -x’ ke
pesamaan :
3x + y – 2=0
3(-y’) + (-x’) – 2=0
- 3y’ – x’ -2 = 0
x’ + 3y’ + 2 = 0
Sehingga, persamaan bayangan
kurvanya menjadi:
Subsitusikan x = -y’ dan y = x’ ke
pesamaan :
x2+ y2+4x–6y–3= 0
(-y’)2+ (x’)2+4(-y’)–6(x’)–3= 0
y’2 + x’2 - 4y’ – 6x’–3= 0
x’2 + y’2 - 6x’- 4y’- 3 = 0
Sehingga, persamaan bayangan
kurvanya menjadi: x2 + y2 - 6x- 4y- 3 =
Geometri Transformasi
TRANSLASI
a. Pengertian Translasi
Pada gambar 7.1, tampak bahwa Δ ABC digeser sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu sedemikian hingga menjadi Δ A’B’C’. Pada pergeseran tersebut, Δ A’B’C’ merupakan bayangan dari Δ ABC. Pergeseran yang memindahkan Δ ABC menjadi Δ A’B’C’ dapat diwakili oleh ruas garis-ruas garis berarah atau atau .
Perhatikan gambar 7.1, tampak
bahwa AA’ = BB’ = CC’ sehingga Δ A’B’C’
kongruen (sama bentuk dan ukuran)
dengan Δ ABC. Pergeseran seperti ini,
yang memindahkan semua titik pada
sebuah bangun geometri sepanjang garis
lurus dengan arah dan jarak tertentu, serta
bayangannya kongruen dengan bangun
semula dinamakan translasi.
b. Notasi dengan Pasangan Bilangan
Suatu translasi dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu pasangan
bilangan dengan a mewakili pergeseran arah horisontal dan b
mewakilipergeseran arah vertikal.
Pada gambar 7.2, tampak bahwa ruas garis berarah memperlihatkan
sebuah translasi yang memindahkan titik A ke
titik A’. Pergeseran titik A ke titik A’
dilakukan dengan cara menggeser 5 satuan ke
kanan dilanjutkan 3 satuan ke atas. Translasi
tersebut dinyatakan dalam bentuk
atau secara singkat ditulis: .
Matematika 14
2
Geometri Transformasi
c. Menentukan Bayangan Titik oleh Translasi Tertentu
Pada gambar 7.3 tampak sebuah
titik P(x,y) yang ditranslasikan oleh
T = sehingga bayangannya
adalah P’(x’,y’).
Kemudian kita cari hubungan antara x, y, x’, y’, a, dan b, hasilnya adalah
sebagai berikut : x’ = x + a
y’ = y + b
Sehingga titik P(x,y) berturut-turut diganti oleh x + a dan y + b. Oleh
karena itu, koordinat titik P’(x’,y’) menjadi P’(x + a,y + b).
TRANSLASI KURVA
Matematika 15
Kesimpulan :Pada tranlasi T = , bayangan titik P(x,y) adalah P’(x + a,y + b).
Contoh
Translasi berarti :
menggeser “a” satuan ke kanan (jika a > 0) atau a satuan ke kiri (jika
a < 0)
menggeser “b” satuan ke atas (jika b > 0) atau b satuan ke bawah
(jika b< 0).
Komponen a disebut komponen mendatar (absis) dan b disebut
komponen vertical(ordinat)
Jika kurva y = f (x) di tranlasi oleh T = , maka bayangan kurva tersebut y – b = f
(x – a)
Geometri Transformasi
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) oleh translasi T
Penyelesaian:
Bayangan P(-2,3) oleh translasi T = adalah P(-2+(-2),3+3) = P’(-4,6).
Bayangan Q(3,3) oleh translasi T = adalah P(3+(-2),3+3) = Q’(1,6).
Bayangan R(3,6) oleh translasi T = adalah P(3+(-2),6+3) = R’(1,9).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi T = adalah
titik-titik P’(-4,6), Q’(1,6), dan R’(1,9).
2. Koordinat bayangan titik A (7,4) oleh Translasi T = adalah A’ (1,9).
Tentukan translasi T.
Penyelesaian : T = ; A (7,4) A’ (7+a, 4+b) = A’ (1,9)
Sehingga, 7 + a = 1 a = -6
4 + b = 9 b = 5
Jadi, translasi T = =
3. Koordinat bayangan titik M (-5,-4) oleh translasi T = adalah M’ (-4,-6).
Tentukan koordinat bayangan titik N (2,-7) oleh translasi T!
Penyelesaian : T = : M (-5,- 4) M’ (-5+a, - 4+b) = M’ (-4,-6)
Sehingga, -5 + a = -4 a = 1
- 4 + b = -6 b = -2
Jadi, translasi T = =
4. Tentukanlah bayangan dari kurva 3x ― 5y + 7 = 0 jika di translasi oleh T =
Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva y – b = f (x –
a)
Matematika 16
Geometri Transformasi
Maka, 3 (x-(-2)) – 5 (y-(-5)) +7 = 0 3x + 6 ― 5y ― 25 +7 = 0
3x ― 5y ― 12 = 0
5. Tentukan persamaan bayangan kurva y=2x2 oleh translasi T =
Penyelesaian: = + dari tranlasi di samping diperoleh
= -
=
Substitusikan persamaan 1 dan 2 ke y = 2x2 maka :
y = 2x2
y’-2 = 2 (x’ – 3)2
y’ = 2 (x’2- 6x’ + 9) + 2
y’ = 2x’2 – 12x’ + 20
Jadi, bayangan kurva y = 2x2 oleh translasi T = adalah y = 2x2 – 12x +
20
6. Tentukan bayangan garis y = 2x + 4 oleh translasi T =
Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva y – b = f (x –
a)
Maka, y – 2 = 2 (x–(-1)) + 4 y – 2 = 2x+2+4
y = 2x+8
Matematika 17
x = x’ – 3 …………1
y = y’ – 2 …………2
Geometri Transformasi
ROTASIa. Pengertian Rotasi
Pada gambar 7.16, tampak bahwa
Δ ABC diputar menjadi Δ A’B’C’. Setiap
titik pada Δ ABC diputar dalam arah
yang sama, dengan besar sudut rotasi q
pada suatu titik O yang meyebabkan
kedudukan segitiga berubah.
Ukuran-ukuran sisi serta sudut
segitiga tetap, sehingga Δ A’B’C’
kongruen (sama bentuk dan ukuran)
dengan Δ ABC. Perputaran seperti ini,
yang memindahkan semua titik pada
bangun geometri yang masing-masing bergerak sepanjang busur lingkaran
yang pusatnya adalah pusat perputaran sebesar suatu sudut tertentu
dinamakan rotasi.
Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah
sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu
berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam. Sedangkan rotasi dikatakan
memiliki arah negatif, jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.
Pada gambar 7.17 terlihat 2 buah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-
titik A (2,3) dan B (-2,-4).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh
bahwa bayangan dari titik A(2,3) dan B(-2,-4)
pada rotasi sebesar 90º searah jarum jam
masing-masing adalah A’(3,2) dan B’(-4,-2).
Matematika 18
3
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 90º
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a)
Geometri Transformasi
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam?
Penyelesaian:
Ingat : P (a,b) maka P’ (b,-a)
Bayangan titik P (2,3) adalah P’(3,2).
Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(3,-3).
Bayangan titik R (3,6) adalah R’(6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap
titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam adalah titik-titik P’(3,-2), Q’(3,-
3), dan R’(6,-3).
Pada gambar 7.18 terlihat 2 buah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A
(2,-4) dan B (-3, 4).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh
bahwa bayangan dari titik A(2,-4) dan B(-3,4)
pada rotasi sebesar 90º berlawanan dengan
arah jarum jam [0,-90º masing-masing adalah
A’(4,2) dan B’(-4,-3).
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º berlawanan arah jarum jam?
Matematika 19
Contoh
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar -90º
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a)
Contoh
Geometri Transformasi
Penyelesaian:
Ingat : P (a,b) maka P’ (-b,a)
Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(-3,-2).
Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,3).
Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
adalah titik-titik P’(-3,-2), Q’(-3,3), dan R’(-6,3).
Pada gambar 7.19 terlihat sebuah titik
yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (4,-2).
Dari gambar yang tampak di atas
diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,-
2) pada rotasi sebesar 180º searah atau
berlawanan dengan arah jarum jam
adalah A’(-4,2).
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
Penyelesaian:
Ingat : bahwa titik P (a,b) di Rotasi maka P’ (-a,-b)
Matematika 20
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 180º dan -180º
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi dan adalah P’ (-a,-b)
Contoh
Geometri Transformasi
Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(2,-3).
Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,-3).
Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-3,-6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) pada rotasi P’(2,-
3), Q’(-3,-3), dan R’(-3,-6).
Pada gambar 7.20 terlihat sebuah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-
titik A (4,-2).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh
bahwa bayangan dari titik A(3,5) pada rotasi
sebesar 270º adalah A’(-5,3).
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah arah jarum jam.
Penyelesaian:
Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi maka P’
(-b,a)
Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3, 2).
Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3).
Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3).
Matematika 21
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 270º
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a)
Contoh
Geometri Transformasi
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,3) dan R’(-6,3).
Pada gambar 7.21 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan
koordinatnya, yaitu titik-titik A (4,3).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik
A(4,3) pada rotasi sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam adalah
A’(3,-4).
Dalam persamaan matrix maka dapat di simpulkan bahwa bayangan titik P(x,y) oleh rotasi titik asal O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ dapat di nyatakan:
Matematika 22
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar - 270º
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a)
MATRIX TRANSFORMASI ROTASI
1. R90º = 2. R180º =
3. R270º = 4. R-90º =
Y
P’ (x’,y’)
r P (x,y)
r θ α
x
Rotasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan sudut pusat sebesar θ
O
Perhatikan gambar di samping, koordinat titik P(x,y) dapat dinyatakan oleh :
x = r cos α dan y = r sin α
Karena rotasi tersebut, bayangan titik P adalah titik P’ (x’,y’) yang dapat di nyatakan sebagai berikut:
x’ = r cos (α+ θ) dan y’ = r sin (α+ θ)
Gunakan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut,x’ = r cos (α+ θ) = r cos α cos θ – r sin α sin θ = x cos θ – y sin θ x’= x cos θ – y sin θ
y’ = r sin (α+ θ) y’= y cos θ – x sin θ
Geometri Transformasi
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam.
Penyelesaian:
Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi maka P’ (b,-a)
Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3, 2).
Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3).
Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
adalah titik-titik P’(3,2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3).
2. Tentukan bayangan titik A(4,-5) oleh rotasi terhadap titik asal O(0,0) sebesar
90º!
Penyelesaian : = R90º
= =
3. Tentukan bayangan titik A(2,-2) oleh rotasi titik asal O(0,0) sebesar 45º!
Penyelesaian : = R45º
=
= =
Jadi, rotasi bayangan titik A(2,-2) adalah A’ (2 , 0)
4. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4, jika di rotasikan dengan pusat O(0,0)
dan R-90º
Matematika 23
Contoh
=
Untuk Rθ titik A(x,y) dengan pusat P (a,b)
= +
Geometri Transformasi
Penyelesaian : = R-90º
=
= , maka x’ = y y = x’
y’ = -x x = -y
Subsitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x + 2y = 4, di peroleh
- y’ + 2x’ = 4
2x’ – y’ = 4
Jadi, bayangan garis x + 2y = 4 oleh R-90º adalah 2x – y = 4
5. Tentukan bayangan titik A(4,6) oleh R90º dengan pusat titik P (3,-2)!
Penyelesaian :
Pusat rotasi di translasikan sehingga berpindah ke titik asal dengan T= ,
akibatnya titik A(4,6) juga ikut bergeser menjadi A’(1,8).Titik inilah yang
selanjutnya R90º di titik (0,0), maka : = R90º
= =
Jadi, titik A’(1,8) berpindah menjadi titik A”(-8,1). Selanjutnya titik A”(-8,1) di
translasikan lagi dengan lawan translasi menjadi T1 yaitu T2 = yang
menghasilkan titik A’”(-5,1). Maka bayangan titik A(4,6) oleh R90º adalah titik
A’”(-5,-1)
6. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan rotasi sebesar rad searah
jarum jam terhadap O !
Penyelesaian : rotasi sebesar searah jarum jam, artinya θ = — , maka
= =
Matematika 24
Geometri Transformasi
Jadi, matrik rotasi searah jarum jam yaitu
DILATASI
1. Pengertian Dilatasi
Pada gambar 7.22, tampak
bahwa Δ ABC dari titik O diperkecil
menjadi Δ A’B’C’, dengan panjang
sisi dan luas ABC diperkecil,
sedangkan ukuran-ukuran sudut dan
bentuk Δ ABC tidak berubah.
Sehingga diperoleh Δ A’B’C’ dan Δ
A’’B’’C’’ masing-masing sebangun
(sama bentuk dan ukuran sudut)
dengan Δ ABC.
Dilatasi merupakan transformasi yang megubah ukuran objek
(memperbesar atau memperkecil),akan tetapi tidak mengubah bentuknya.
Dalam suatu dilatasi harus di tetapkan pusat dilatasi dan faktor dilatasi atau
faktor skala. Dilatasi yang berpuast di titik asal O (0,0) dan titik sembarang P
(x,y) masing-masing memiliki faktor skala k yang di notasikan berturut-turut
dengan [O, k] dan [P, k].
Secara umum, bayangan objek dengan dilatasi [O,k] dapat dinyatakan
sebagai berikut :
Matematika 25
4
Geometri Transformasi
2. Dilatasi terhadap titik Pusat O (0,0)
Perhatikan gambar
K
3. Dilatasi terhadap titik Pusat P (a,b)
Jika titik A (x,y) di dilatasi terhadap titik pusat P
(a,b) dengan faktor skala k maka di dapat bayangan titik
A’ (x’,y’) yaitu :
4. Dilatasi pada kurva dengan [O,k]
Matematika 26
Jika k > 1 bayangan di perbesar dan letaknya searah terhadap pusat
dilatasi O dan objek
Jika 0 < k < 1 bayangan di perkecil dan letaknya searah terhadap
pusat dilatasi O dan objek
Jika k < -1 bayangan di perbesar dan letaknya berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi O dan objek
Jika -1 < k < 0 bayangan di perkecil dan letaknya berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi O dan objek.
B (4,2) A’ (6,2)
A (3,1)
0 B’(-2,-1)
x
y
Gambar 7.23. Bayangan titik A (3,1) oleh dilatasi [O,2]
dan bayangan titik B (4,2) oleh dilatasi
Koordinat bayangan titik A
(3,1) oleh dilatasi [O,2] adalah titik
A’ (6,2). Adapaun koordinat
bayangan titik B (4,2) oleh dilatasi
adalah titik B’ (-2,-1).
Secara umum, koordinat bayangan
hasil dilatasi dinyatakan sebagai
berikut :
Titik P (x,y) maka P’ ( kx, ky)x’ = k xy’ = k y
x’ = a + k (x – a)
y’ = b + k (y – b)
y = f(x) y’ = k f
Geometri Transformasi
5. Matriks Transformasi Dilatasi
Bahwa bayangan Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k, yang di tulis [O,k] adalah:
x’ = k x x’ = kx + 0.yy’ = k y y’ = 0.y + ky
Persamaan linier di atas dapat di tulis dengan persamaan matriks =
Jadi, matriks transformasi dilatasi [O,k] yaitu :
1. Titik sudut suatu persegi adalah A(1,3) B(4,3) C(4,6) dan D(1,6). Tentukanlah
bayangan dari titik-titik sudut tersebut oleh dilatasi [O,2] dan Gambarlah!
Penyelesaian :
2. Titik P’ (6,-3) adalah bayangan titik P oleh dilatasi [O, ]. Tentukan titik P!
Penyelesaian : Misal P (a,b) maka,
Matematika 27
Contoh
D’ C’
D
2 4 6 8x
y
12
10
8
6
4
2A B
Secara singkar dilatasi [O,k], di tulis :
(x,y) (kx,ky) sehingga
A (1,3) A’ ( 2x1, 2x3) = A’(2,6)
B (4,3) B’ (8,6)
C (4,6) C’ (8,12)
D (1,6) D’ (2,12)
A’
C B’
Geometri Transformasi
P (a,b) P’ ( a, b) = P’ ( 6,-3)
Sehingga, a = 6 a = 18 dan b = -3 b = -9
Jadi, koordinat P adalah (18,-9)
3. Carilah bayangan Titik A (2,-4) oleh dilatasi [O,3] !
Penyelesaian : matrix dilatasi [O,k] = = maka,
=
= Jadi, bayangan titik A’ yaitu (6,-12)
4. Tentukan koordinat bayangan titik A (5,7) dan B(3,6) oleh dilatasi terhadap
titik
P (8,5) dengan factor skala = 4!
Penyelesaian : Ingat : x’ = a + k (x – a) dan y’ = b + k (y – b)
Maka, A (5,7) A’ [8 + 4(5-8), 5 + 4(7-5)] A’ (-4,13)
B (3,6) B’ [8 + 4(3-8), 5 + 4(6-5)] B’ (-12,9)
Jadi, bayangan titik A’ (-4,13) dan B’ (-12,9)
5. Tentukan bayangan titik A (-2,5) oleh dilatasi pusat (1,-1) dan faktor
skala=2
Penyelesaian: = +
= +
= +
= +
=
6. Tentukan bayangan kurva y=x2 oleh dilatasi [O,-2]!
Matematika 28
Geometri Transformasi
Penyelesaian : =
=
Substitusikan nilai tersebut pada y= x2 dan diperoleh : y = x2
y’ =
y’ = Jadi, bayangan kurva y= x2 berubah menjadi y’ =
y’ =
7. Tentukan peta darikurva y= x2 +2 jika dilatasi oleh [O,2]
Penyelesaian : Ingat : y = f(x) y’ = k f sehingga
y= x2 +2 y = 2 y =
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Komposisi Transformasi adalah transformasi yang di gunakan secara berurutan. Suatu transformasi di lanjutkan T1 yang dilanjutkan dengan transformasi T2 di tulis dengan T2 ◦ T1. Karena transformasi juga merupakan suatu pemetaan, maka komposisi transformasi T2 ◦ T1
dapat di tunjukkan sebagai berikut.
T1 T2
T2 ◦ T1
1. Komposisi Dua Translasi Berurutan
Matematika 29
Sehingga di peroleh ,
x’ = -2x x = x’
y’ = -2y y = y’
5
(x,y)
A
(x’,y’)
B
(x”,y”
C y C” (x”,y”)
T2 ◦ T1 T2
B’ (x’,y’) T1
A (x,y)
x
Geometri Transformasi
1. Diketahui translasi T1 = dan T2 . Carilah koordinat peta titik A(1,2)
B(3,-2)
C(-1,4) oleh translasi T1 yang dilanjutkan dengan T2!
Penyelesaian: T2 ◦ T1 = T1 + T2
= + =
Maka, A(1,2) A” (6,5
B(3,-2) B”(8,1)
C(-1,4) C”(4,7)
2. Komposisi Dua Refleksi Berurutan
a. Komposisi dua refleksi berurutan untuk suatu titik terhadap sumbu sejajar
Matematika 30
Komposisi T2 ◦ T1 dapat di nyatakan dengan yaitu translasi yang berpangkal di T1 , yaitu
A, dan berujung di translasi T2 yaitu C.
Misalkan T1 = dan T2 = sehingga,
T2 ◦ T1 = T1 + T2
= +
=
Jadi, jika P (x,y) ditranslasi T2 ◦ T1 , maka :
P (x,y) P’ (x+a, y+b) P”(x+a+c, y+b+d), atau
P (x,y) P” (x+(a+c), y+(b+d))
Contoh
Geometri Transformasi
Refleksi terhadap garis x=a dinyatakan oleh transformasi M1x dan refleksi terhadap x=b dinyatakan oleh transformasi M2x . Dengan demikian, pemetaan A(x,y) ke A’(x’,y’)dapat dinyatakan sebagai berikut :
A(x,y) M1x (refleksi x=a) A’ = (2a-x, y), adapun pemetaan A’ (x’,y’) ke A”(x”,y”) yaitu
A’(x’,y’) M2x (refleksi x=b) A” (2b–x’, y’) = A” (2b – (2a – x’),y)
= A” [2(b-a)+x, y]
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu y
2. Bayangan dari (5,1) oleh refleksi berurutan terhadap x=4 kemudian x=h
adalah (1,1). Tentukan h!
Penyelesaian : Misal refleksi x=4 disebut M1x dan refleksi terhadap x=h
disebut M2x.
Kemudian refleksi x=4 terhadap x=h di notasikan M2x ◦ M1x
(x,y) M2x ◦ M1x [2(b-a)+x, y] a = 4 dan b =
h
(5,1) M2x ◦ M1x [2(h-4)+5, 1] = (1,1)
Jadi, 2(h-4)+5 = 1 2(h-4) = -4
h - 4 = - 2
h = 2
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu x
3. Tentukanlah bayangan dari (-3,2) oleh refleksi berurutan terhadap y=5
kemudian terhadap y= -1!
Penyelesaian : Refleksi tersebut dapat di tulis M1y ◦ M2y
(x,y) M2y ◦ M1y [x, 2(p-q)+y] p = -1 dan q
= 5
(-3,2) M2y ◦ M1y [-3, 2(-1-5)+2] = (-3,-10)
b. Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurusRefleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus :
Ekivalen dengan rotasi π radian terhadap titik perpotongan kedua sumbu.
Bersifat komutatif
Matematika 31
Contoh
Geometri Transformasi
Sehingga refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu koordinat x dan y di
peroleh hasil sebagai berikut : My=b o Mx=a = Mx=a o My=b = R [(a,b), π], dengan
My=b adalah refleksi terhadap y=b, Mx=a refleksi terhadap x=a dan R [(a,b), π]
adalah rotasi π radian terhadap pusat (a,b).
Refleksi berurutan terhadap x=a di lanjtkan dengan y=b
4. Tentukan bayangan titik A (3,5) oleh refleksi berurutan terhadap x=1
kemudian terhadap y=4!
Penyelesaian : (3,5) Mx=1 [(2x1)-3, 5] = (-1,5) (x,y) Mx=a (2a-x,
y)
(-1,5) My=4 [-1, (2x4)-5] = (-1,3) (x,y) My=b
(x, 2b-y)
Jadi, bayangan titik (3,5) adalah (-1,3)
Cara 2 : = +
= +
= +
= +
=
3. Komposisi Dua Rotasi Berurutan untuk suatu titik sepusat.
5. Tentukan bayangan titik (2,6) oleh rotasi sejauh 20º berlawanan arah jarum jam, di lanjutkan dengan rotasi sejauh 40º terhadap titik pusat O!
Penyelesaian : Pada rotasi pertama θ1 = 20º dan θ2 = 40º, maka θ1+ θ2 = 20º+40º =60º
R [O, θ1+ θ2] = R [O, 60º] = =
Matematika 32
Contoh
Geometri Transformasi
= R [O, 60º] = =
Jadi, bayangan titik (2,6) adalah ( )
4. Komposisi Transformasi dengan memakai Matrix
Jenis Transformasi Matriks
Refleksi
Terhadap sumbu x
Terhadap sumbu y
Terhadap garis y=x
Terhadap garis y=-x
Dilatasi terhadap O dengan faktor
skala kD =
Rotasi sejauh θ terhadap titik pusat O
6. Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan M1 = dan T2
bersesuaian dengan M2 . Tentukan bayang titik (-2,3) oleh transformasi
T1 di lanjutkan T2!
Penyelesaian : Untuk transformasi T1 di lanjutkan T2, berlaku
T1 o T2 = M2 o M1
= =
Bayangan (-2,3) di tentukan sebagai berikut :
T1 o T2 = =
Jadi, bayangan (-2,3) oleh T1 o T2 adalah (8,14)
Matematika 33
Contoh
Geometri Transformasi
Matematika 34