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Proyecto 3 Mecánica de fluidos II
Cristian Orlando Angel Valdivia Mecánica de Fluidos 2, Ingeniería Civil Mecánica
La Serena, Primer semestre de 2015
Estudio de la mecánica de fluidos en un túnel de viento virtual en el enfriamiento
de agua en una cavidad llenada con agua y aire
Estudio teórico analítico numérico del flujo de fluidos de aire acondicionado dentro
de la cabina de una auto.
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1. Enfriamiento de agua en recipiente de acero al centro de una cavidad cuadrada – Estudio
de convección mixta en una cavidad cuadrada con un obstáculo cuadrado de lado variable.
Resumen – Este trabajo estudia la mecánica de fluidos y transferencia de calor en una cavidad
cuadrada donde se produce convección mixta con un obstáculo cuadrado de ancho variable en el centro. En la cavidad se induce esfuerzo de corte en el fluido desde la pared superior por una velocidad impuesta además existe convección natural debido a la diferencia de temperatura entre la pared superior a una temperatura fría y la pared inferior a una temperatura alta. Las simulaciones se efectúan para dos fluidos, agua y aire (Pr = 7.1, 0.71 respectivamente) para el mismo número de Reynolds (Re=1000) y para diferentes números de Grashof y Richardson (104, 105, 106; 0.01, 0.1, 1 respectivamente) obteniendo diferentes números de Nusselt en las paredes no adiabáticas que varían según los parámetros numéricos impuestos y el ancho del obstáculo. Introducción:
La convección mixta, es decir,
convección natural y forzada a mismo tiempo, puede observarse en muchas situaciones naturales y de ingeniería como por ejemplo el movimiento de agua en lagos debido a cambios de temperatura de agua y velocidad del viento, enfriamiento de reactores nucleares, piscinas de evaporación solar, industria de alimentos, etcétera.
En este trabajo se presenta un estudio de mecánica de fluidos y transferencia de calor en una cavidad cuadrada con una pared caliente en su parte inferior y una fría en la parte superior con un obstáculo cuadrado caliente que simula ser un objeto que se enfría debido a la convección forzada que se representa como una velocidad impuesta que induce el movimiento del fluido desde la pared superior y la convección natural por los cambios de densidad debido a los cambios de temperatura del fluido. Este trabajo valida sus resultados en el paper “Prandtl number effects on a laminar mixed convection heat trnsfer in a lid driven cavity.” De M.K.Moallemi y K.S.Jang publicado el año 1991. Situación física:
Se desea efectuar un estudio de la
mecánica de fluidos y transferencia de calor en una cavidad cuadrada sometida a convección mixta en estado permanente, es decir, convección forzada y natural al mismo tiempo. La cavidad cuadrada tiene una longitud característica H, con las paredes laterales adiabáticas, la pared inferior a una temperatura alta TH, y la superior a una temperatura baja TC para generar convección natural y al mismo tiempo con una velocidad impuesta U0 en dicha pared para inducir el movimiento forzado en la cavidad. El flujo se
establece como laminar y las propiedades del fluido constante, a excepción de la densidad en los términos de flotación que variará según la aproximación de Boussinesq, ya que se supondrá que el agua tiene un cambio de temperatura tal, que su densidad varía de forma lineal. Se utilizarán dos modelos físicos, el anteriormente nombrado y otro igual con la adición de un obstáculo a temperatura alta que simulará ser un objeto que se enfría dentro de la cavidad. Los parámetros variables utilizados serán el ancho del obstáculo w, y los números de Prandtl, Reynolds, Grashof y Richardson. Este último parámetro es la conjugación de los dos anteriores.
Fig.1 Modelo físico del problema sin y con obstáculo, arriba y abajo respectivamente.
3
Supuestos: Laminar Newtoniano Incompresible Permanente Propiedades constantes, excepto la
densidad en el término de flotación la cual varía según la aproximación de Boussinesq.
Modelo matemático: Modelo matemático dimensional:
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦= 0
𝜌 [𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦] = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜇 [
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2]
𝜌 [𝑢𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦] = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜇 [
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2] + 𝑔𝛽∆𝑇°
𝜌𝐶𝑃 [𝑢𝜕𝑇
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑇
𝜕𝑦] = 𝑘 [
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2]
Condiciones de borde 𝑢(𝑥, 𝐻) = 𝑈𝑜; 𝑢(𝑥, 0) = 0; 𝑢(0, 𝑦) = 0 𝑢(𝐻, 𝑦) = 0; 𝑣(𝑥, 𝐻) = 0; 𝑣(𝑥, 0) = 0
𝑣(0, 𝑦) = 0; 𝑣(𝐻, 𝑦) = 0; 𝑇(𝑥, 𝐻) = 𝑇𝐶
𝑇(𝑥, 0) = 𝑇𝐻; 𝜕𝑇
𝜕𝑥(0, 𝑦) = 0;
𝜕𝑇
𝜕𝑥(𝐻, 𝑦) = 0
Obstáculo de tamaño variable:
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = 0; 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐻; (𝑘, 𝜌, 𝜇)𝑎𝑔𝑢𝑎
Modelo matemático adimensional:
𝜕𝑈
𝜕𝑋+
𝜕𝑉
𝜕𝑌= 0
𝑈𝜕𝑈
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝑈
𝜕𝑌= −𝐸𝑢
𝜕𝑃
𝜕𝑋+ 𝑅𝑒−1 [
𝜕2𝑈
𝜕𝑋2+
𝜕2𝑈
𝜕𝑌2]
𝑈𝜕𝑉
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑌= −𝐸𝑢
𝜕𝑃
𝜕𝑌+𝑅𝑒−1 [
𝜕2𝑉
𝜕𝑋2+
𝜕2𝑉
𝜕𝑌2]
+ 𝑅𝑖𝜃
𝑈𝜕𝜃
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝜃
𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1𝑃𝑟−1 [
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2+
𝜕2𝜃
𝜕𝑌2]
Condiciones de bore 𝑈(𝑋, 1) = 1; 𝑈(𝑋, 0) = 0; 𝑈(0, 𝑌) = 0; 𝑈(1, 𝑌) = 0; 𝑉(𝑋, 1) = 0; 𝑉(𝑋, 0) = 0 𝑉(0, 𝑌) = 0; 𝑉(1, 𝑌) = 0; 𝑇(𝑋, 1) = 0
𝑇(𝑋, 0) = 1; 𝜕𝜃
𝜕𝑋(0, 𝑌) = 0;
𝜕𝜃
𝜕𝑋(1, 𝑌) = 0
Obstáculo de tamaño variable: 𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑉(𝑋, 𝑌) = 0
𝜃(𝑋, 𝑌) = 1; [𝑃𝑟 → ∞ ⟹ Γ𝜃 = 0]
Con las siguientes escalas de adimensionalización:
𝑈 =𝑢 ∙ 𝛼
𝑈𝑜 ∙ 𝜈; 𝑉 =
𝑣 ∙ 𝛼
𝑈𝑜 ∙ 𝜈; 𝑋 =
𝑥
𝐻; 𝑌 =
𝑦
𝐻
𝑃 =𝑝
𝑃0; 𝑃0 =
𝜌𝑈02
2; 𝐸𝑢 =
2∆𝑝
𝜌𝑈02
𝑅𝑒 =𝑈𝑜∗𝐻
𝜈; 𝑃𝑟 =
𝜈
𝛼; 𝐺𝑟 =
𝑔∙𝛽∙𝐻3∙∆𝑇°
𝜈2 ; 𝑅𝑖 =𝐺𝑟
𝑅𝑒2
Parámetros del problema: Agua Aire
Prandtl 7.1 0.71 Euler 1
Grashof Reynolds Richardson
1 105 103 0.1 2 106 103 1 3 107 103 10 Tabla 1. Parámetros numéricos del problema
Metodología de solución:
Implementación computacional: SIMPLE 2D:
𝜙 𝛤 SC SP
U 𝑅𝑒−1 0 0
V 𝑅𝑒−1 𝑅𝑖 ∙ 𝜃 0
𝜃 𝑅𝑒−1𝑃𝑟−1 0 0
𝜃𝑜𝑏𝑠 0 0 0
Tabla 2. Coeficientes computacionales de SIMPLE2D, 𝜃𝑜𝑏𝑠 corresponde a la temperatura en el obstáculo.
Coeficientes de sub relajación
U V P T
0.6 0.6 0.8 0.9 Parámetros a calcular:
𝑁𝑢𝐻 =𝜕𝜃
𝜕𝑌=
𝜃(𝑖, 2) − 𝜃(𝑖, 1)
𝑌(2) − 𝑌(1)
𝑁° 𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑁𝑢𝐶 =𝜕𝜃
𝜕𝑌=
𝜃(𝑖, 𝑀1) − 𝜃(𝑖, 𝑀2)
𝑌(𝑀1) − 𝑌(𝑀2)
𝑁° 𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑓𝑟í𝑎
𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝑋 = ∫
𝜕𝜃
𝜕𝑌
1
0
𝑑𝑋
𝑁° 𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐻 = ∑ [(
𝜃(𝑖, 2) − 𝜃(𝑖, 1)
𝑌(2) − 𝑌(1)) ∙ (𝑋(𝐼 + 1) − 𝑋(𝐼))]
𝐿1−1
1
𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐶 = ∑ [(
𝜃(𝑖, 𝑀1) − 𝜃(𝑖, 𝑀2)
𝑌(𝑀1) − 𝑌(𝑀2)) ∙ (𝑋(𝐼 + 1) − 𝑋(𝐼))]
𝐿1−1
1
4
Criterios de convergencia: En el algoritmo simple, el residuo SMAX se establece que debe ser de orden 10-5 o menor para que los resultados de presión y velocidades obtenidos satisfagan de manera aceptable la ecuación de continuidad, es decir para que se cumpla la ley de continuidad.
𝑆𝑀𝐴𝑋~10−5 Por otro lado se debe cumplir la ley de conservación de la energía, para ello se establece que la transferencia de calor entrante debe ser en la misma cantidad la transferencia de calor saliente. Para cumplir esto, el número de Nusselt promedio de la pared caliente debe ser igual al de la pared fría. Se establece el siguiente criterio de convergencia:
𝑒%𝑁𝑢 = 1 −𝑁𝑢̅̅ ̅̅
𝐻
𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐶
~10−2
Elección de malla: En la elección de malla se establecen los siguientes parámetros:
𝑊 = 0.2; 𝑃𝑟 = 7.1; 𝑅𝑒 = 103; 𝐺𝑟 = 106; 𝑅𝑖 = 1
Mallas Iteraciones SMAX Tiempo CPU [s]
40X40C 10000 6.937321E-08 111.859400 40X40R 10000 6.559384E-07 130.375000 80x80C 10000 7.339342E-05 507.343800 80X80R 20000 6.690128E-06 1063.234000
120x120C 19988 9.680320E-05 2395.953000
Mallas 𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐻 𝑁𝑢̅̅ ̅̅
𝐶 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟%𝑁𝑢̅̅ ̅̅
40X40C 19.527750 19.52762 0.00067% 40X40R 19.826540 19.27811 2.84483% 80x80C 19.756670 58.90444 66.45979% 80X80R 22.620410 21.15531 6.92545%
120x120C 19.500710 60.93089 67.99536%
Tabla 3. Comparación tiempo y error entre las mallas a
utilizar. Los subíndices R y C significan refinada y
constante respectivamente.
Luego de cinco intentos de cálculo
con la mallas 80X80C y 120x120C con
2000,5000, 8000, 10000 y 20000 se concluye
que la malla no converge y que el error del
número de Nusselt hace imposible el
cumplimiento de la ley de conservación de la
energía, por lo tanto estas mallas son
descartadas. Entre las mallas que quedan, la
de 40x40 nodos constante es la mejor debido
a que tiene un error en los números de Nusselt
de orden 10-4 y un error de residuo de 10-8, sin
embargo al momento de simular este modelo
con un obstáculo ancho con diferentes anchos
habrán nodos que serán desperdiciados y en
sus bordes quizá no se calculen de la mejor
forma la temperatura ni la velocidad, por lo
tanto, se elige la malla 40x40 refinada. Esta
malla está programada de tal forma que al
incrementar el ancho del obstáculo la cantidad
de nodos dentro de este es siempre la misma.
Figura 2. Malla utilizada para resolver el problema.
Validación de los resultados:
Los resultados numéricos se validan
comparando el perfil de números de Nusselt
en la pared inferior caliente en el modelo físico
que no posee obstáculo con el programa
utilizado en este trabajo y el perfil obtenido en
la simulación de Moallemi y Jang [1] con los
siguientes parámetros: Re=103, Gr=104,
Pr=7.1 (Ri=0.01) utilizando las mismas 1800
iteraciones con una malla de 40x40 nodos
refinada cerca de las paredes. Obteniendo un
error de 2.96%, 6.08% y 6.02% para Pr = 1,
7.1, 50 respectivamente (ver tabla X).
El error se calculó por medio de
integración numérica de la siguiente manera:
𝑒% =|𝑦1̅̅̅ − 𝑦2̅̅ ̅|
𝑦1̅̅̅=
|∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥−
∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥|
∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥
5
Tabla 4. Números de Nusselt obtenidos en las aredes superior e inferior
=|∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥
𝑋𝐿 −∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥
𝑋𝐿 |
∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥𝑋𝐿
=
𝑒% =|∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥|
∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥
Donde y1(x) es la curva Nu(X) del paper y y2(x)
es la curva obtenida por el programa propio.
∫ 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 = ∑(𝑦𝑖+1 + 𝑦𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)
2
𝑘−1
𝑖=1
𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑥 = {0, … , 𝑘}
Los datos tomados desde el paper
fueron extraídos con el programa “Web Plot
Digitizer 3.8” para luego ser comparados en
MS Excel. Debido a que el programa es de
reconocimiento gráfico, pueden existir
pequeños errores en algunos puntos
obtenidos debido a la mala calidad de imagen
del gráfico analizado.
Figura 3. Resultados numéricos del número de Nusselt
obtenidos en la pared caliente para distintos números de
Prandtl. Las series M-H representan los datos obtenidos
por Moallemi y Jang.
A su vez, los cálculos de Moallemi y
Jang están validados con datos
experimentales obtenidos por Prasad y Koseff
[2] con un 5% de diferencia con los siguientes
parámetros: Pr = 0.6, Re = 2200, Gr = 104.
Pr 𝑁𝑢̅̅ ̅̅
obtenido 𝑁𝑢̅̅ ̅̅
paper error
Tiempo CPU [s]
1.0 7.77484 7.55106 2.96% 28.421880 7.1 16.40098 15.40448 6.08% 28.015630 50 31.97515 34.02514 6.02% 27.015630
Figura 4. Resultados numéricos del número de Nusselt
obtenidos en la pared caliente para distintos números de
Prandtl obtenidos por Moallemi y Jang.
0
20
40
60
80
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Nu
(X)
X
Nu(Pr) M-H
M-H
M-H
0.01
0.1
1.0
7.1
50
6
Tabla 5 Tabla 6
Tabla 7
Tabla 9
Tabla 8
Tabla 10
Figura 5. Figura 6.
Resultados:
Variación del número de Nusselt con respecto al Número de Richardson:
Agua, 𝑃𝑟 = 7.1
𝑅𝑖 = 1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢
0.2 1.54E+01 1.50E+01 2.7662%
0.4 1.60E+01 1.56E+01 2.7660%
0.6 1.90E+01 1.85E+01 2.7664%
0.8 2.46E+01 2.40E+01 2.7654%
𝑅𝑖 = 0.1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢
0.2 1.63E+01 1.58E+01 2.7656%
0.4 1.72E+01 1.68E+01 2.7660%
0.6 1.94E+01 1.89E+01 2.7661%
0.8 2.49E+01 2.43E+01 2.7654%
𝑅𝑖 = 0.01
w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢
0.2 1.98E+01 1.93E+01 2.7661%
0.4 1.60E+01 1.56E+01 2.7660%
0.6 1.90E+01 1.85E+01 2.7664%
0.8 2.46E+01 2.40E+01 2.7654%
Aire, 𝑃𝑟 = 0.71
𝑅𝑖 = 1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢
0.2 1.98E+01 1.93E+01 2.7661%
0.4 9.58E+00 9.31E+00 2.7660%
0.6 1.05E+01 1.02E+01 2.7662%
0.8 1.31E+01 1.27E+01 2.7652%
𝑅𝑖 = 0.1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢
0.2 7.16E+00 6.96E+00 2.7658%
0.4 7.52E+00 7.32E+00 2.7660%
0.6 9.11E+00 8.86E+00 2.7663%
0.8 9.03E+00 8.78E+00 2.7654%
𝑅𝑖 = 0.01
w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢
0.2 6.66E+00 6.47E+00 2.7657%
0.4 7.13E+00 6.93E+00 2.7659%
0.6 8.70E+00 8.46E+00 2.7661%
0.8 8.24E+00 8.01E+00 2.7652%
A continuación gráficos Nusselt vs ancho obstáculo para diferentes números de Richardson en las
paredes no adiabáticas para ambos fluidos.
14
16
18
20
22
24
26
0,2 0,4 0,6 0,8
Nu
ssel
t
Ancho de obstáculo w
Pared caliente - agua
14
16
18
20
22
24
26
0,2 0,4 0,6 0,8
Nu
ssel
t
Ancho de obstáculo w
Pared fría - agua
7
Figura 7.
Figura 10.
Figura 11. Figura 12.
Variación de Nusselt con respecto al número de Richardson:
A continuación se grafican las líneas de corriente y contornos de temperatura para todos los casos simulados.
5
7
9
11
13
15
17
19
21
0,2 0,4 0,6 0,8
Nu
ssel
t
Ancho de obstáculo w
Pared caliente - aire
Ri=1
Ri=0.1
Ri=0.01
5
7
9
11
13
15
17
19
21
0,2 0,4 0,6 0,8
Nu
ssel
t
Ancho de obstáculo w
Pared fría - aire
Ri=1
Ri=0.1
Ri=0.01
14
16
18
20
22
24
26
0,01 0,1 1
Nu
ssel
t
Richardson
Nusselt pared caliente -agua
w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8
14
16
18
20
22
24
26
0,01 0,1 1
Nu
ssel
t
Richardson
Nusselt pared fria -agua
w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8
5
10
15
20
0,01 0,1 1
Nu
ssel
t
Richardson
Nusselt pared caliente -aire
w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8
5
10
15
20
0,01 0,1 1
Nu
ssel
t
Richardson
Nusselt pared fria -aire
w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8
Figura 8.
Figura 9.
8
Figura 11. Figura 12. Figura 13.
Figura 14. Figura 15. Figura 16.
Figura 17. Figura 18. Figura 19.
Figura 20. Figura 21. Figura 22.
Líneas isotermas obtenidas para el caso del agua Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0
9
Figura 26. Figura 27. Figura 28.
Figura 29. Figura 30. Figura 31.
Figura 32. Figura 33. Figura 34.
Figura 23. Figura 24. Figura 25.
Líneas de corriente obtenidas para el caso del agua Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0
10
Figura 35. Figura 36. Figura 37.
Figura 38. Figura 39. Figura 40.
Figura 41. Figura 42. Figura 43.
Figura 44. Figura 45. Figura 46.
Líneas isotermas obtenidas para el caso del aire Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0
11
Figura 47. Figura 48. Figura 49.
Figura 50. Figura 51. Figura 52.
Figura 53. Figura 54. Figura 55.
Figura 56. Figura 57. Figura 58.
Líneas de corriente obtenidas para el caso del aire Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0
12
Análisis de los resultados:
Se observa en todos los casos de manera
independiente del fluido que:
i. En las caras superior y derecha del objeto en el
centro de la cavidad se producen mayores
gradientes de temperatura con respecto a las
otras caras debido a la propia temperatura del
objeto y a la velocidad inducida que rodea al
objeto con corrientes frías, por lo tanto, si se
desea enfriar un objeto de manera similar a la
descrita en este trabajo se deberá considerar que
su temperatura comenzará a descender desde
las dos caras ya descritas.
ii. Al observar la variación del número de
Richardson para cada tamaño de obstáculo se
tiene que a menor número de Richardson, mayor
es la influencia de la velocidad en las isotermas.
Esto es debido a que si este número
adimensional es cada vez menor, la distribución
de las isotermas son influidas de mayor manera
por la convección forzada en vez de la
convección natural.
iii. El tamaño del obstáculo en conjunción con el
número de Prandtl y de Richardson influyen
significativamente en la cantidad de vórtices
generados en el dominio obteniéndose mayor
cantidad de vórtices cuando el ancho w=0.4 y
Richardson Ri=1 (comparar figuras 28 y 52 con
las demás figuras de líneas de corriente con el
mismo número de Prandtl).
iv. Para que el objeto puesto dentro de la cavidad se
enfríe más rápido, el coeficiente de transferencia
de calor (Nusselt promedio) en la pared superior
tiene que ser lo más grande posible, ya que este
número refleja la cantidad de energía que
absorbe el ambiente desde la cavidad.
Para el caso del agua en donde la difusividad de
movimiento es más de siete veces su difusividad
térmica se tiene que:
i. Se recomienda que para que haya una mayor
transferencia de calor desde el objeto caliente al
ambiente representado por la pared superior
cuando el fluido es agua, que el ancho del objeto
sea 0.8, es decir, que ocupe un 80% de la
sección transversal de la cavidad y que el
número de Richardson sea Ri=0.1, es decir que
se produzca el movimiento principalmente por la
convección natural antes que forzada, ya que de
lo contrario, el movimiento inducido no permitiría
la máxima transferencia de calor en la pared
superior.
Para el caso del aire en donde la difusividad de
movimiento 0.7 veces su difusividad térmica se
tiene que:
i. Por las mismas razones que en el caso del agua,
para el caso del aire se establece que las mejores
condiciones que permiten que el objeto se enfríe
más rápidamente es con un ancho de obstáculo
w=0.2 con un número de Richardson Ri=1. Esto
es debido a que las propiedades difusivas del
aire y las características del problema proponen
que cuando el movimiento del fluido se debe
igualmente a la convección natural y forzada, la
transferencia de calor es máxima para los casos
estudiados.
Discusión – Debido a que se buscaba la malla más
eficiente y con menor error, se eligió una de 40x40
nodos refinada hacia los bordes sólidos, pueden
existir inexactitudes en cuanto a valores numéricos
que podrían ser solucionadas si la malla fuera más
fina, por ejemplo, el error de los números de
Nusselt que bordean el 3% (tablas 5, 6, 7, 8, 9, 10)
puede disminuirse mejorando la malla. Pudo
haberse recolectado una mayor cantidad de datos
con más números de Nusselt, ancho w, Prandtl si
hubiera un sistema que cambiara
automáticamente estos valores tras almacenar los
datos en carpetas separadas, por lo tanto, se
plantea la idea de que para futuros trabajos se
programe un algoritmo que haga dicha tarea y que
se acople al programa principal.
Conclusiones:
El efecto de la convección mixta con diferentes
parámetros en la transferencia de calor fue
estudiado obteniendo diferentes resultados
numéricos y gráficos. Se puede concluir que para
obtener una mayor cantidad de transferencia de
calor en convección mixta cuando el número de
Prandtl es del orden de 7, el movimiento del fluido
se debe mayormente a las fuerzas de flotación.
Ocurre lo contrario con el aire (Pr=0.71) en dondes
según los casos estudiados, se produce una mayor
transferencia de calor cuando el movimiento del
fluido se debe igualmente debido a la convección
forzada como a la natural.
13
2. Estudio teórico, analítico y numérico del flujo de fluidos en aire acondicionado dentro de un auto.
Resumen – En esta sección se estudia la mecánica de fluidos y transferencia de calor en una sección
transversal de una limusina, ya que debido a sus longitudes permite efectuar un estudio en dos dimensiones, donde se produce convección mixta debido a que en el interior circula aire frío a una velocidad de entrada impuesta y a la vez se genera convección natural debido al calor que entra por las ventanas. Las simulaciones se efectúan con aire (Pr = 0.71) para el mismo número de Reynolds (Re=105, 106) y para diferentes números de Grashof (109, 1010) y Richardson (0.1, 1 y 100 respectivamente) obteniendo diferentes comportamientos de las líneas de corriente y contornos de temperatura.
Introducción:
Al igual que la sección anterior, esta estudia la convección mixta en un espacio cerrado, en una aplicación más específica. Se busca caracterizar el comportamiento de las corrientes con la energía que transporta dentro de la cabina de una limusina. Se ocupa el programa SAINTS de
Akira Nakayama que viene con el libro “Pc-aided numerical heat transfer and convective flow” simulando que la limusina es lo suficientemente larga como para considerar un comportamiento 2D de la mecánica de fluidos.
Situación física:
Se tiene una sección transversal cuadrada de una limusina, cuyo exterior está aislado térmicamente a
excepción de las ventanas, que simulan tener una temperatura alta TH, también se tiene la sección del asiento
que se considera también adiabática y un minibar que posee la misma característica, los aparatos de aire
acondicionado se representan por los pequeños cuadrados en la parte superior, estos están aislados
térmicamente, en su salida tienen una velocidad impuesta de entrada Uo a una temperatura baja TC. En el
suelo existe un orificio del mismo tamaño que la suma del área de la salida de aire en la parte superior donde
existe una velocidad de salida Uo. Las medidas de cada elemento están en la figura 59.
Figura 59.
Sustancia: Aire, (𝑘, 𝜌, 𝜇)𝑎𝑖𝑟𝑒 Supuestos:
Turbulento Newtoniano Incompresible
Permanente Propiedades constantes, excepto la
densidad en el término de flotación la cual varía con la aproximación de Boussinesq.
14
Modelo matemático:
Continuidad: 𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦= 0
Momento lineal:
𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ (𝜈 + 𝜈𝑡) [
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2]
𝑢𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑦+ (𝜈 + 𝜈𝑡) [
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2]
+ 𝑔𝛽∆𝑇° Energía:
𝑢𝜕𝑇
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑇
𝜕𝑦= (
𝜈
𝑃𝑟+
𝜈𝑡
𝜎𝑇) [
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2]
Turbulencia:
𝑢𝜕𝑘
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑘
𝜕𝑦= (𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎𝑘) [
𝜕2𝑘
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑘
𝜕𝑦2] + 𝑃 + 𝐺 − 𝜀
𝑢𝜕𝜀
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝜀
𝜕𝑦= (𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎𝜀) [
𝜕2𝜀
𝜕𝑥2+
𝜕2𝜀
𝜕𝑦2] +
𝜀
𝑘[𝑐1(𝑃 + 𝐺)
− 𝑐2𝜀] Donde:
𝑃 = 𝜈𝑡 [2 (𝜕𝑢
𝜕𝑥)
2
+ 2 (𝜕𝑣
𝜕𝑦)
2
+ (𝜕𝑢
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑥)
2
]
𝐺 =𝑔𝛽𝜈𝑡
𝜎𝑇(
𝜕𝑇
𝜕𝑥+
𝜕𝑇
𝜕𝑦)
Constantes del modelo de turbulencia: (Launder y Spalding, 1974)
𝑐1 𝑐2 𝜎𝑇 𝜎𝑘 𝜎𝜀
1.44 1.92 0.9 1 1.3 Tabla 11. Constantes del modelo estándar de turbulencia k-
épsilon
Condiciones de borde:
𝑢(0.05𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑈𝑜
𝑢(0.95𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = −𝑈𝑜 𝑣(0.4𝐿 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0) = −𝑈𝑜
𝑢(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0 𝑣(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0
𝑢(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0
𝑣(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0 𝑢(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0
𝑣(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0 𝑢(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝑣(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝑢(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0 𝑣(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝑢(0,0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑣(0,0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 0
𝑢(𝐿, 0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑣(𝐿, 0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 0 𝑢(0 < 𝑥 < 𝐿, 0.7𝐿) = 𝑣(0 < 𝑥 < 𝐿, 0.7𝐿) = 0
𝑢(0 < 𝑥 < 𝐿, 0) = 𝑣(0 < 𝑥 < 𝐿, 0) = 0 𝑇(0.05𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑇𝐶
𝑇(0.95𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑇𝐶
𝑇(0,0.42𝐿 < 𝑦 < 0.65𝐿) = 𝑇𝐻
𝑇(𝐿, 0.42𝐿 < 𝑦 < 0.65𝐿) = 𝑇𝐻 𝜕𝑇
𝜕𝑥(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑥(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑥(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑥(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑥(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑥(𝐿, 0.35𝐿 < 𝑦 < 0.4𝐿) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0.5 < 𝐿 < 0.7𝐿, 0) = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑦(0.05 < 𝐿 < 0.95𝐿, 0.7𝐿) = 0
Modelo matemático adimensional: Continuidad:
𝜕𝑈
𝜕𝑋+
𝜕𝑉
𝜕𝑌= 0
Momento lineal:
𝑈𝜕𝑈
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝑈
𝜕𝑌= −
𝜕𝑃
𝜕𝑋+ 𝑅𝑒−1 [2
𝜕2𝑈
𝜕𝑋2+
𝜕2𝑈
𝜕𝑌2+
𝜕2𝑉
𝜕𝑋𝜕𝑌]
𝑈𝜕𝑉
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑌= −
𝜕𝑃
𝜕𝑌+𝑅𝑒−1 [
𝜕2𝑉
𝜕𝑋2+ 2
𝜕2𝑉
𝜕𝑌2+
𝜕2𝑈
𝜕𝑋𝜕𝑌]
+ 𝑅𝑖𝜃 Energía:
𝑈𝜕𝜃
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝜃
𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1𝑃𝑟−1 [
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2+
𝜕2𝜃
𝜕𝑌2]
Turbulencia:
𝑈𝜕𝐾
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝐾
𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1 [
𝜕2𝐾
𝜕𝑋2+
𝜕2𝐾
𝜕𝑌2] − 𝜀∗ + 𝑃∗ + 𝐺∗
𝑈𝜕𝜀∗
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝜀∗
𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1 [
𝜕2𝜀∗
𝜕𝑋2+
𝜕2𝜀∗
𝜕𝑌2] +
𝜀∗
𝐾[𝒄𝟏(𝑃∗
+ 𝐺∗) − 𝒄𝟐𝜀∗] Donde:
𝐺∗ =−𝑅𝑖
𝑅𝑒 ∙ 𝜎𝑇[𝜕𝜃
𝜕𝑌]
15
𝑃∗ = 𝑅𝑒−1 [2 (𝜕𝑈
𝜕𝑋)
2
+ 2 (𝜕𝑉
𝜕𝑌)
2
+ (𝜕𝑈
𝜕𝑌+
𝜕𝑉
𝜕𝑋)
2
+ 2𝑉2]
Condiciones de borde
𝑈(0.05,0.65 < 𝑌 < 0.7) = 1 𝑈(0.95,0.65 < 𝑌 < 0.7) = −1
𝑉(0.4 < 𝑋 < 0.5,0) = −1 𝑈(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0 𝑉(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0
𝑈(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0 𝑉(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0
𝑈(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0
𝑉(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0 𝑈(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝑉(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝑈(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0 𝑉(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝑈(0,0 < 𝑌 < 0.7) = 𝑣(0,0 < 𝑌 < 0.7) = 0 𝑈(1,0 < 𝑌 < 0.7) = 𝑣(1,0 < 𝑌 < 0.7) = 0
𝑈(0 < 𝑋 < 1,0.7) = 𝑣(0 < 𝑋 < 1,0.7) = 0
𝑈(0 < 𝑋 < 1,0) = 𝑣(0 < 𝑋 < 1,0) = 0 𝜃(0.05,0.65 < 𝑌 < 0.7) = −1
𝜃(0.95,0.65 < 𝑌 < 0.7) = −1 𝜃(0,0.42 < 𝑌 < 0.65) = 1
𝜃(1,0.42 < 𝑌 < 0.65) = 1 𝜕𝜃
𝜕𝑋(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑋(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑋(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑋(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑋(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑋(1,0.35 < 𝑦 < 0.4) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0.5 < 𝑋 < 0.7,0) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑌(0.05 < 𝑋 < 0.95,0.7) = 0
Escalas:
𝑈 =𝑢
𝑈𝑜; 𝑉 =
𝑣
𝑈𝑜; 𝑋 =
𝑥
𝐿; 𝑌 =
𝑦
𝐿; 𝜃 =
2𝑇
𝑇𝐻 − 𝑇𝐶
𝑃 =𝑝
𝑃0; 𝑃0 = 𝜌𝑈0
2; 𝐾 =𝑘
𝑈02 ; 𝜀∗ =
𝜀𝐿
𝑈03
𝐸𝑢 =2∆𝑝
𝜌𝑈02 ; 𝑅𝑒 =
𝑈𝑜∗𝐻
𝜈; 𝑃𝑟 =
𝜈
𝛼; 𝐺𝑟 =
𝑔∙𝛽∙𝐻3∙∆𝑇°
𝜈2 ; 𝑅𝑖 =
𝐺𝑟
𝑅𝑒2
Parámetros del problema: Aire
Prandtl 0.71 Euler 1
Grashof Reynolds Richardson
1 109 105 0.1
2 1010 105 1
3 1010 106 100 Tabla 1. Parámetros numéricos del problema
Metodología de solución:
Se utiliza el programa SAINTS, el cual
ocupa el método SIMPLE con la adición de
turbulencia y medios porosos. Se utiliza una malla
de 80x56 nodos, es decir para las longitudes
dadas, se genera una malla estructurada
cuadrada. El criterio de convergencia principal es
que el residuo máximo debe ser del orden de 10-4.
Figura 60. Malla utilizada en el programa.
16
Resultados:
Grashof Reynolds Richardson
1 109 105 0.1
Figura 61.
Error máximo (I,J) TiempoCPU [s] 3.045802E-04 (3,36) 233.203100
Grashof Reynolds Richardson
2 109 105 0.1
Figura 62.
Error máximo (I,J) TiempoCPU [s] 5.851205E-04 (45,2) 234.515600
17
Grashof Reynolds Richardson
3 1010 106 100
Figura 63.
Error máximo (I,J) TiempoCPU [s] 1.004460E-03 (2,36) 243.093800
Análisis:
Como era de esperarse, los números de
Reynolds, Grashof y Richardson influyen
claramente en las líneas de corriente y como
consecuencia en la distribución de temperatura. Se
puede observar que a mientras mayor es la
convección forzada, mayor área del dominio tiene
una temperatura baja.
Discusión:
Se observa también que en los tres casos
la zona superior adyacente al minibar no es influida
significativamente por los cambios de temperatura,
para solucionar ello se podría cambiar el diseño del
aparato de aire acondicionado en la esquina
superior derecha de manera que todo el dominio
se vea influenciado por la temperatura baja.
Conclusiones:
El efecto de la convección mixta dentro de
una cabina de una limusina con diferentes
parámetros en la transferencia de calor fue
estudiado obteniendo diferentes resultados
gráficos. Se puede concluir que para obtener una
mayor cantidad de transferencia de calor en
convección mixta para las condiciones dadas, la
velocidad de entrada debe ser lo más grande
posible, aunque no se ha tomado en cuenta el
confort de los ocupantes del vehículo.
18
Referencias:
1. Moallemi, M. K. & Jang, K. S. (1992). Prandtl
number effects on laminar mixed convection
heat transfer in a lid-driven cavity. Int. J. Heat
Mass Tran., Vol. 35, pp. 1881–1892,
[doi:10.1016/0017-9310(92)90191-T]
2. A. K. Prasad and J. R. Koseff, Combined
forced and natural convection heat transfer in
a deep lid-driven cavity flow, in Heat Transfer
in Convective Flows, HTD- 10’7, pp. 155-162.
ASME: New York (1989).
Bibliografía:
1. “Numerical heat transfer and fluid flow”, Suhas
V. Patankar, 1980.
2. “PC-Aided numerical heat transfer and
convective flow”, Akira Nakayama, 1994.