PROCESSO DOS ESFOROS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
Profa. Dra. Rosilene de Ftima Vieira
2015
Processo dos esforos
I - Princpios dos Trabalhos Virtuais PTVAplicado aos corpos rgidos...
uma ferramenta das mais versteis:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
uma ferramenta das mais versteis:Clculo de deslocamentos;
Linha de influncia;Etc...
Processo dos esforos
Obs 1 Deslocamento virtual entende-se um deslocamento infinitesimal hipottico...
Obs 2 Trabalho o produto da fora F
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Obs 2 Trabalho o produto da fora F pelo espao percorrido d...
3
= Fd
Processo dos esforos
A condio necessria e suficiente para o equilbrio ser nula a soma dos trabalhos virtuais de todas as Foras externas, em
todos os deslocamentos virtuais
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
todos os deslocamentos virtuais independentes, compatveis com as
ligaes do sistema
4
ext = 0
Processo dos esforos
Obs 3 O PTV pode ser utilizado no lugar das trs equaes de equilbrio para a
determinao de uma incgnita de cada
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
determinao de uma incgnita de cada vez...
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Processo dos esforos
Exemplo: Calcule a reao RB usando PTV de corpo rgido.
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Processo dos esforos
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
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Foras em equilbrior - deslocamento virtual infinitesimal compatvel com a
vinculao do sistema
Retira o vnculo do
qual se quer obter o valor e coloca-se sua
incgnita...
Processo dos esforos
Aplica-se PTV de corpo rgido
ext = 0
r
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HA0 + RA0 - 50 r2 + RBr=0 RBr = 50 r2 RB=25 kN
Processo dos esforos
II - Princpios dos Trabalhos Virtuais PTVAplicado aos corpos deformveis...
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Obs: a Elemento diferencial genrico (infinitesimal) de comprimento ds
Processo dos esforos
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamentoP1
P
Mqa
ds
'a
a
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10Foras em equilbrio
Deslocamento virtual compatvel
R RA B
AHP2
'a
Processo dos esforos
Sob o estado de deslocamento o elemento
genrico a deforma-se e desloca-se para a
posio a (translada, rotaciona e deforma-se):
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
posio a (translada, rotaciona e deforma-se):
dub deformao axial Esforo axialdvb deformao transversal Esforo cortantedb deformao angular Momento fletor
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Processo dos esforos
Em uma estrutura deformvel em equilbrio, a soma dos trabalhos virtuais das Foras externas, em um deslocamento virtual compatvel com as suas ligaes igual ao trabalho virtual
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
com as suas ligaes igual ao trabalho virtual interno, realizado pelos esforos internos (Na, Va, Ma) na deformao dos elementos da estrutura (dub, dvb e db)
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ext = int
Processo dos esforos
ext = Nadub+ Vadvb+Estr
MadbEstrEstr
ext = int
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Estr
EstrEstr
Obs Se a estrutura for um corpo rgido dub, dvb e db so zero, portanto:
ext = 0
Processo dos esforos
Um procedimento prtico na aplicao do PTV para clculo de deslocamento adotar
III Processo da carga unitria para o clculo de deslocamento
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
PTV para clculo de deslocamento adotar no estado de carregamento uma fora
unitria que age sozinha na estrutura, que corresponde ao deslocamento procurado...
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Processo dos esforos
Para o estado de deslocamento causado por carregamento externo pode-se obter as deformaes com as seguintes expresses:
dub=Nb
dx Deformao axial
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dub= EA dx Deformao axial
dvb=cVbGA dx Deformao transversal
db= MbEI dx Deformao angular de flexo
Processo dos esforos
OndeE Mdulo de elasticidade longitudinal;G Mdulo de elasticidade transversal;I Momento de inrcia da seo transversal; Coeficiente de Poisson;
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Coeficiente de Poisson;c fator de forma;
16
G = E2(1+) Obs c = 1,2 para seo transversal retangular
Processo dos esforos
ext = Nadub+ Vadvb+Estr
MadbEstrEstr
ext = int Voltando na equao do PTV para corpo deformvel
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Estr
EstrEstr
ext = Na NbEA dx+ Va cVbGA dx+Estr MaMbEI dxEstrEstr
Processo dos esforos
Exerccio Determinar a flecha no meio do vo pelo PTV de corpo deformvel
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Dados:E = 2,5E+07 kN/m2 = 0,2c = 1,2 (fator de forma)
Processo dos esforos
Resoluo:A = 0,20,25 = 0,05 cm2
I=bh3
12 =0,200,253
12 =2,60416666667E-04 m4
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
G = E
2(1+) =2,5E07
2(1+0,2) =10416666,666667kN/m2
EA = 2,5E+070,05 = 1250000 kNEI = 2,5E+072,60416666667E-04 = 6510,666667kNm2GA = 10416666,6666670,05 = 520833,33333kN
12 12
Processo dos esforos
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
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Ma= 0,5x (horrio positivo)Va=+0,5 kN
0 x 2 0 x 2Mb= 40x -10x2 (horrio positivo)Vb = 40 - 20x
Processo dos esforosext = int
0
ext = Na NbEA dx+ Va cVbGA dx+4
0 MaMbEI dx
4
0
4
0
1,20,5(40-20x)2 0,5x(40x-10x2)2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21
RA0+HA0+RB0+1f = 2 1,20,5(40-20x)GA dx2
0+ 0,5x(40x-10x2)EI dx
2
0
f=2 1GA 24 - 12xdx + 1EI2
0 (20x2 - 5x3)dx2
0
f = 2GA 24 - 12xdx + 2EI2
0 (20x2 - 5x3)dx2
0
Processo dos esforosf = 2GA 24 - 12xdx + 2EI
2
0 (20x2 - 5x3)dx2
0
f = 2GA 24x 20 -12 x2
2 20 + 2EI 20 x3
3 20 - 5 x4
4 20
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
f =2
GA 242-12 22
2 + 2EI 20 23
3 - 524
4 f =
2GA 24+ 2EI 33,3333333333
Processo dos esforos
f =2
520833,33333 24+ 26510,41666667 33,3333333333 f = 0,00009216 + 0,01024 = 0,01033216m
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23
f = 0,00009216 + 0,01024 = 0,01033216m
Contribuio da cortante
0,89%
Contribuio do momento
99,11%
Processo dos esforos
Quando a deformao angular de flexo existir ela ser maior que a
deformao axial e transversal, por isso a deformao axial e transversal
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
isso a deformao axial e transversal podero ser desprezadas para efeito
de simplificao do clculo no caso do clculo manual.
24
Processo dos esforos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
Processo dos esforos
Exerccio Calculo da flecha com o uso da Tabela de integrais do produto de duas funes
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26
Dados:E = 2,5E+07 kN/m2 = 0,2c = 1,2 (fator de forma)
Processo dos esforos
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 27
Ma Mb
Processo dos esforos
ext = MaMbEI dx4
0
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Linha 9 * Coluna IV
Obs Quando as duas figuras esto para o mesmo lado (no caso para baixo) o produto fica com sinal positivo.
Para lados contrrios o produto fica com sinal negativo.
es
f
o
r
o
s
P
r
o
c
e
s
s
o
d
o
s
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Processo dos esforos
f = 1EI L 512 FG
f = 1
6510,41666667 4 512 401 =0,01024m
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30
f = 6510,41666667 4 12 401 =0,01024m
Processo dos esforos
A soluo de estruturas hiperestticas feita atravs de uma superposio de efeitos e
IV Processo dos EsforosAplicado a vigas
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
atravs de uma superposio de efeitos e estabelecimento de um sistema de equaes
de compatibilidade de deslocamentos...
31
Processo dos esforos
Exemplo Traar os diagramas de esforo cortante e momento fletor.
GH=?
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GH=?
GH=1
Processo dos esforos
Para uma estrutura uma vez hiperesttica retirar apenas um vnculo incgnito:
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Estruturas isostticas fundamentais
Processo dos esforos
Escolheu-se retirar o momento do engaste que passa a ser chamada de incgnita
hiperesttica X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 34
Processo dos esforos
Princpio de Superposio de Efeitos:
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(r) = ( r) = (0) + (1)
Processo dos esforosOu...
(r) = ( r) = (0) + X (1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 36
(r) = ( r) = (0) + X1(1)Obs O problema (0) fica com todo carregamento externo...
Os demais problemas ficam com os carregamentos unitrios...
Processo dos esforosSistema de equao de
compatibilidade de deslocamento:
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1,real = 10 + X111 = 0
X1 = - 1011
Processo dos esforos
Diagramas de momentos fletores para problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 38
Processo dos esforos
Os deslocamentos so calculados atravs do PTV aplicado aos corpos deformveis
pelo processo da carga unitria...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 39
10 e 11
Processo dos esforos
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento10 =?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 40
MbMa
Processo dos esforos
ext = MaMbEI dx4
0
RA0 + HA0 + RB0 + 110 = 1EI Ma4
Mb dx
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RA0 + HA0 + RB0 + 110 = EI Ma0 Mb dx
ou 10 = 1EI M1
4
0 M0 dx 10 = 1EI Ma
4
0 Mb dx
Processo dos esforos
10 = 1EI Ma
4
0 Mb dx
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 42
Linha 1 * Coluna IVG F
Processo dos esforos
10 = 1EI L 13 FG
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 43
10 = 1EI 4 13 401 = 1603EI
Processo dos esforos
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento11 =?
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MbMa
Processo dos esforos
ext = MaMbEI dx4
0
RA0 + HA0 + RB0 + 111 = 1EI Ma4
0Mb dx
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 45
ou
EI 0
11 = 1EI Ma4
0 Mb dx 11 = 1EI M1
4
0 M1 dx
Processo dos esforos
11 = 1EI Ma4
0 Mb dx
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Linha 0 * Coluna IIF F
Processo dos esforos
11 = 1EI 4 13 12 = 43EI
11 = 1EI L 13 F2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 47
11 = EI 4 3 1 = 3EI
Processo dos esforosEquao de
compatibilidade de deslocamento:
X1 = - 1011
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11
X1 = - 1011
= - 1603EI4
3EI= - 1603EI 3EI4 = - 40 kN.m
Obs O sinal negativo significa que o sentido adotado inicialmente para a incgnita esta errado...
Processo dos esforos
Para obter os esforos finais da viga utiliza-se o momento fletor (incgnita
hiperesttica) encontrada...
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Processo dos esforosEsforos finais
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 50
V
M
Processo dos esforosV Processo dos Esforos
Generalizando...Caso se tenha uma estruturas n vezes
hiperesttica, adota-se n incgnitas hiperestticas X1, X2, ..., Xn definindo uma
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 51
hiperestticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isosttica Fundamental...
A aplicao conveniente do Princpio de Superposio de Efeitos conduz equao
de superposio:(r) = ( r) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)
Processo dos esforos
Sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos...
1,real = 10 + 11 X1 + 12 X2 +...+ 1n Xn = + X + X +...+ X
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2,real = 20 + 21 X1 + 22 X2 +...+ 2n Xn
n,real = n0 + n1 X1 + n2 X2 +...+ nn Xn
Processo dos esforosO sistema de equaes de compatibilidade
de deslocamentos usando a notao matricial pode ser escrito:
ijXi=i,real-i0
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Obs i indica a incgnita hiperesttica
j indica qual o problema
Processo dos esforosExemplo GH=2
11 X1 + 12 X2 = 1,real - 1021 X1 + 22 X2 = 2,real - 20
11 1221 22
X1X2 = 1,real-102,real-20
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 54
21 22
X2 2,real-20Obs 1 Os deslocamentos ij so denominados coeficientes de flexibilidade e [ij] a matriz de
flexibilidade.Obs 2 A matriz simtrica ij = ji, portanto 12 = 21
Processo dos esforos
Exerccio Traar os diagramas de esforos normal, cortante e momento fletor.
VI Processo dos EsforosAplicado prticos...
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