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Probabilidade e Modelos Probabilísticos
2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo
normal
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Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico de uma variável aleatória:
quais são os resultados possíveis;
qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
Variável discreta: pares valores – probab.
Variável contínua: função densidade de probabilidades
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Exemplo 1
Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento.
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f(x)
0o 360o x
Área = 1
1
360
X = variável aleatória que
indica o ângulo formado
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Exemplo 1
Qual é a probabilidade de obter um ângulo entre 30o e 60o?
f(x)
0o 360o x
1
360
= área = 0,0833
P(30o < X < 60o)
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Variável aleatória contínua Valor esperado e variância
dxxxfXE )()(
dxxfxXV )()()( 22
dxxfxXE )()( 22onde:
22 )()( XEXVou
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Distribuição Uniforme
f(x)
x
f(x) = 1
1
8
Distribuição Uniforme
P(a < X < b) = b - a
f(x)
x a b
12
)(
2)(
2
XVar
XE
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Distribuição Exponencial
Intervalo de tempo entre ocorrências
Variável aleatória X de Poisson tem média de ocorrências em um intervalo de tempo, então o intervalo de tempo T entre ocorrências segue uma distribuição exponencial e tem média de 1/. Em média chegam 2 pessoas/min em uma fila, o tempo
médio entre a chegada de pessoas à fila é 0,5 minuto.
Em média atendem-se 10 pedidos de suprimentos/dia, o tempo médio de atendimento de um pedido é 0,1 dia.
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Distribuição Exponencial
f(t) = e-t, t > 0
- parâmetro da distribuição ( > 0
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t0
P(T > t0) = e - t0
Distribuição Exponencial
f(t) = e - t, t > 0
f(t)
t
2
1)(
1)(
TVar
TE
12
Justificativa para a fórmula da exponencial
0 t A primeira ocorrência
ser depois do tempo t
Nenhuma ocorrência
em [0, t]
T > t Xt = 0
T = tempo até a próxima ocorrência (distrib. exponencial)
Xt = núm. de ocorrências até t (distrib. de Poisson)
!
)()(
k
etkXP
tk
t
t
t eXPtTP > )0()((distrib. exponencial)
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Exercício 1
O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano?
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Resposta
= 0,75
P(T > t) = e - t
P(T > 1) = e -(0)1 = 0,4724 ou 47,24%
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Exercício 2
A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de 10.000 horas?
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Resposta
= 1 / 10000 = 0,0001
P(T < t) = 1 - e - t
P(T < 10.000) = 1 - e -(0,0001)(10000) = = 1 - 0,3679 = = 0,6321 ou 63,21%
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Exercício 2 – cont.
A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado?
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Resposta
= 1 / 10000 = 0,0001
P(T > t) = e - t
P(T > t) = e -(0,0001) t = 1 - 0,25 = 0,75
-(0,0001) t = ln(0,75)
t = 2.876,82 horas
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Exemplo 2 (Distribuição normal)
Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros.
Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso.
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
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Exemplo 2 Representar: o evento “estudante selecionado tem 180 cm
ou mais” (X 180) e sua probabilidade, P(X 180)
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
X 180
P(X 180)
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Distribuição Normal
f(x)
x
f x e
x
( )( )
1
2
1
2
2
: média
: desvio padrão
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Características
x
Área = 1
A variável aleatória pode assumir valores de - ∞ a + ∞ .
Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade) .
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Características
Identificada pela
média ( e pelo
desvio padrão ( .
x
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Média e Desvio Padrão
x 1
mesmo e diferentes µ
2
25
Média e Desvio Padrão
= 2
= 4
X
mesmo e diferentes
26
Características
Simetria em relação à média.
x
50%
27 + -
área = 68,3%
Exemplo
28
+2 -2
Exemplo
área = 95,4%
29
Exemplo
+3 -3
área = 99,7%
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Normal Padronizada
z = x -
z - variável normal padronizada
x - variável normal
- média
- desvio padrão
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Normal Padronizada
x
- + -2 +2
0 z
-1 1 -2 2
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Exemplo 3 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa
universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual é o escore padronizado de um estudante com 190 cm?
x = 190.
z = x -
190 - 170
10 = = 2 =
20
10
33
Exemplo 3
2 z
0
190
10
= 10
x 170
34
Exemplo 3
z 2 0
190 x
170
P(X<190) = P(Z<2)
35
Exemplo 3
-1 1 -3 3 2 -2 z
0
160 180 140 200 190 150
10
= 10
x 170
36
Exercício 3: uso da tabela
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z > 1)
z 0 +1
0,1587 (tabela)
37
Exercício 4
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
b) P(Z > 1,23)
z 0 1,23
0,1093 (tabela)
38
Exercício 5
c) P(-2 < Z < 2)
z 0 2 -2
0,0228 (tabela)
P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9554
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Exercício 6
Selecionar, aleatoriamente, de uma certa
universidade, um estudante do sexo masculino.
Seja X o valor de sua altura, em centímetros.
Admitindo que nesta universidade os estudantes
têm altura média de 170 cm com desvio padrão
de 10 cm, qual é a probabilidade do estudante
sorteado ter altura superior a 185 cm?
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Exercício 6: resposta
x = 185 cm ( 10 10
z ?
z = x -
185 - 170
10 = = 1,5 =
15
10
41
Exercício 6: resposta
P(Z > 1,5)
z 0 1,5
0,0668 (tabela)
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Aproximação da binomial pela normal
Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas.
43
Exemplo 4
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(X)
número de respostas corretas (X)
Distribuição binomial:
n=10 p=0,5
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Exemplo 4
Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas?
P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,044 0,044
0,205
0,117
0,205
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(X>6) = 0,172
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Aproximação da Binomial pela Normal
Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média np e variância np(1- p).
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
46
Exemplo 4 (de novo)
Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X>6,5)
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Exemplo 4 (de novo)
x 5 6,5
P(X>6,5)
48
Exemplo 4 (de novo)
z = x -
6,5 - 5
1,581139 = = 0,95
= 5 = 1,581139 x = 6,5
z 0 0,95
0,1711 Lembrando:
a probabilidade.
Exata (pela
binomial)
era de 0,1720
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